Dạy Học Môn Toán Cho Học Sinh Lớp 10 Theo Định Hướng Tăng Cường Ứng Dụng Thực Tiễn.pdf

Việc thực hiện sách giáo khoa mới theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 từ năm học 2022 – 2023 và những năm học tiếp theo, đòi hỏi các thầy cô giáo cần đổi mới phương pháp dạy học và

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG KIM THOA

DẠY HỌC MÔN TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 THEO ĐỊNH HƯỚNG TĂNG CƯỜNG ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2023

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

HOÀNG KIM THOA

DẠY HỌC MÔN TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 THEO ĐỊNH HƯỚNG TĂNG CƯỜNG ỨNG DỤNG THỰC TIỄN

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

BỘ MÔN TOÁN HỌC Mã số: 8140209.01

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Ngọc Anh

HÀ NỘI – 2023

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của cá nhân tôi, các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là kết quả tôi đã thu thập và xử lý số liệu, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kì một công trình nào khác

Hà Nội, ngày 06 tháng 03 năm 2023

Tác giả luận văn

Hoàng Kim Thoa

Xác nhận của khoa chuyên môn Xác nhận của

người hướng dẫn khoa học

PGS TS Nguyễn Ngọc Anh

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn, lời cảm ơn chân thành nhất tới PGS.TS Nguyễn Ngọc Anh, thầy đã hướng dẫn tận tình, chỉ bảo giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu để hoàn thành luận văn

Tôi xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo Khoa Sư phạm, trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc gia Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi để tôi có thể thực hiện và hoàn thiện luận văn

Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến các thầy cô, học viên Khóa QH2020S – Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán học đã cùng giúp đỡ, chia sẻ hỗ trợ tôi trong quá trình hoàn thiện luận văn

Tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, các thầy cô Tổ Toán – Tin và các em học sinh lớp 10 trường THPT Hoàng Mai đã nhiệt tình hỗ trợ tôi trong suốt quá trình thực nghiệm và hoàn thiện luận văn

Dù đã rất cố gắng, nhưng luận văn vẫn không tránh khỏi những sai sót và hạn chế Tôi hi vọng nhận được sự góp ý từ các thầy cô cũng như các học viên, đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ

Sơ đồ 1.1: Quy trình mô hình hóa của Pollak (1979) 11 Sơ đồ 1.2: Quy trình mô hình hóa theo Swets & Hartzer (1991) 11 Sơ đồ 1.3: Quy trình mô hình hóa toán học được đề xuất bởi Kaiser và Blum 12 Sơ đồ 1.4: Quy trình mô hình hóa mô phỏng theo Stillman & Galbraith (2006)

14

Biểu đồ

Biểu đồ 1.1: Mức độ cần thiết của Toán học trong thực tiễn 29 Biểu đồ 1.2 Thống kê mức độ hứng thú khi tìm hiểu bài toán có nội dung thực tiễn

MỤC LỤC

LỜI CAM ĐOAN 1

LỜI CẢM ƠN 2

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 3

DANH MỤC BẢNG, BIỂU ĐỒ, HÌNH VẼ, SƠ ĐỒ 4

MỞ ĐẦU 8

1.Lý do lựa chọn đề tài 82.Mục đích nghiên cứu 93.Nhiệm vụ nghiên cứu 94.Câu hỏi nghiên cứu 95.Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu 105.1.Khách thể nghiên cứu 10

5.2.Đối tượng nghiên cứu 10

5.3.Phạm vi nghiên cứu 10

6.Giả thuyết khoa học 107.Phương pháp nghiên cứu 108.Những đóng góp mới của 119.Cấu trúc của luận văn 12CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 13

1.1.Về vấn đề tăng cường ứng dụng toán học trong dạy học môn Toán 131.1.1.Xu hướng, tầm quan trọng, sự cần thiết phải tăng cường ứng dụng toán học 131.1.2 Một số nghiên cứu quốc tế về tăng cường ứng dụng môn Toán 14

1.1.3.Một số nghiên cứu tại Việt Nam về tăng cường ứng dụng môn Toán 14

1.2 Xu hướng tăng cường ứng dụng toán học trong dạy học môn Toán 161.3 Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018 và mục tiêu tăng cường ứng dụng 281.3.1.Mục tiêu chung 28

1.3.2.Mục tiêu cấp trung học phổ thông 29

1.3.3.Năng lực mô hình hóa toán học trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018301.3.4.Sách giáo khoa Toán 10 theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018 31

1.4.Tình hình thực hiện tăng cường ứng dụng trong dạy học môn Toán lớp 10

1.4.1.Thực trạng 401.4.2.Cách thức thực hiện 401.4.3.Một số nhận xét 47

CHƯƠNG 2: CÁC BIỆN PHÁP DẠY HỌC MÔN TOÁN CHO HỌC SINH LỚP 10 THEO ĐỊNH HƯỚNG TĂNG CƯỜNG ỨNG DỤNG THỰC TIỄN 492.1 Định hướng đề xuất các biện pháp có nội dung tăng cường ứng dụng thực

của một tình huống thực tiễn 712.2.3 Biện pháp 3: Khuyến khích học sinh tự tìm hiểu và thực hiện giải quyết

các tình huống thực tiễn gắn với các kiến thức toán học công cụ (phù hợp với từng chủ đề) 79

CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 85

3.1.1.Mục đích của thực nghiệm sư phạm 853.1.2.Yêu cầu của thực nghiệm sư phạm 85

MỞ ĐẦU 1 Lý do lựa chọn đề tài

Sử dụng các phương pháp và kĩ thuật dạy học tích cực, dạy học theo hướng định hướng phát triển năng lực người học là những tiêu điểm của đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục nói chung và giáo dục toán học nói riêng Tăng cường các ứng dụng thực tiễn là một điểm nhấn rất quan trọng trong đổi mới nội dung và phương pháp dạy học môn Toán theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018

Với Chương trình giáo dục phổ thông 2006, sách giáo khoa cũng như cách tổ chức thực hiện các giờ học môn Toán tập trung chủ yếu vào việc tiếp cận kiến thức mới Người học thường được tiếp cận với các kiến thức chủ yếu qua việc truyền đạt, thuyết trình, gợi mở vấn đề từ thầy/ cô giáo; không thường xuyên được tham gia thực hiện sử dụng các kiến thức và kỹ năng toán học để giải quyết các tình huống thực tiễn

Việc dạy học môn Toán ở các trường THPT hiện nay đã có nhiều thay đổi tích cực hơn so với trước kia: giáo viên cho học sinh làm quen với nhiều bài tập có nội dung thực tiễn, có tính ứng dụng cao trong cuộc sống Qua đó, cho học sinh thấy được ý nghĩa và tầm quan trọng, tính thiết thực của việc học Toán Đặc biệt hơn, đã tổ chức các buổi học trải nghiệm, lồng ghép kiến thức Toán học vào các buổi trải nghiệm đó… Các hoạt động trải nghiệm như vậy, tuy không nhiều, không thường xuyên nhưng cũng đã phần nào giúp cho học sinh thấy được những ứng dụng rất cụ thể, rất hữu ích của môn Toán trong nhiều lĩnh vực của cuộc sống Qua đó học sinh thấy hứng thú hơn và tích cực chủ động hơn trong học tập môn Toán

Việc thực hiện sách giáo khoa mới theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 từ năm học 2022 – 2023 và những năm học tiếp theo, đòi hỏi các thầy cô giáo cần đổi mới phương pháp dạy học và đánh giá kết quả học tập môn Toán, trong đó tăng cường hơn nữa các ứng dụng thực tiễn của môn Toán có thể được coi là một trong những ưu tiên sâu sắc

Dạy học môn Toán gắn với các ứng dụng thực tiễn, là một xu hướng dạy học đã được nhiều nước trên thế giới cũng như Việt Nam nhấn mạnh trong nhiều thập kỷ gần đây Những tác động tích cực không chỉ thể hiện trên bình diện lý luận mà quan

trọng hơn là những bài học kinh nghiệm quý báu trên thực tiễn nhà trường Bằng cách khai thác các tình huống thực tiễn trong các giờ học trên lớp thêm phong phú, sinh động và gần gũi hơn, giúp giáo viên và học sinh hứng thú tích cực và hiệu quả hơn trong từng bài học cũng như trong suốt quá trình dạy học môn Toán

Đặc biệt, bắt đầu từ năm học 2022 – 2023, việc thực hiện SGK mới được áp dụng ở cấp THPT, cụ thể là ở lớp 10, có khá nhiều thay đổi về nội dung cũng như cách thức tổ chức bài học Thực hiện tăng cường các ứng dụng thực tiễn trong các giờ học môn Toán, trên cơ sở kế thừa các bài học kinh nghiệm trong nước và quốc tế, cần phải được tổ chức phù hợp với bối cảnh mới của đổi mới Chương trình và sách giáo khoa mới

Trong bối cảnh đó, đề tài: “Dạy học môn Toán cho học sinh lớp 10 theo định hướng tăng cường ứng dụng thực tiễn” , được chúng tôi lựa chọn nghiên cứu với

mong muốn tìm kiếm các biện pháp thực hiện hiệu quả và phù hợp với thực tiễn dạy học trong bối cảnh thực hiện Chương trình và sách giáo khoa mới

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của đề tài sẽ là khai thác một số nội dung toán trong SGK Toán lớp 10 CTGDPT 2018, theo định hướng tăng cường ứng dụng thực tiễn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu tổng quan về vấn đề tăng cường ứng dụng thực tiễn trong dạy học môn Toán và quan điểm của Chương trình GDPT 2018 môn Toán cũng như cách thể hiện SGK Toán lớp 10 về định hướng đó

3.2 Tìm hiểu và phân tích tình hình thực hiện tăng cường ứng dụng trong thực tiễn dạy học Toán 10 tại một số trường phổ thông

3.3 Đề xuất các biện pháp dạy học Toán 10 theo hướng tăng cường ứng thực tiễn 3.4 Thực nghiệm sư phạm nhằm minh họa và kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả bước đầu của các biện pháp đã đề xuất

4 Câu hỏi nghiên cứu

Việc thực hiện các nhiệm vụ nghiên cứu đã nêu trên, hướng tới trả lời các câu hỏi sau đây:

Câu hỏi 1: Tại sao cần phải thực hiện tăng cường ứng dụng thực tiễn trong

dạy học môn Toán

Câu hỏi 2: Trong bối cảnh thực hiện Chương trình Giáo dục phổ thông 2018

và sách giáo khoa Toán 10, cần và có thể vận dụng những biện pháp nào để thực hiện tốt định hướng tăng cường ứng dụng thực tiễn

Câu hỏi 3: Tính khả thi và hiệu quả bước đầu của các biện pháp đã đề xuất

được xác nhận như thế nào

5 Khách thể, đối tượng, phạm vi nghiên cứu 5.1 Khách thể nghiên cứu

Khách thể nghiên cứu của đề tài là học sinh lớp 10 trường THPT Hoàng Mai, được học sách giáo khoa Toán 10 mới

5.2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài là quá trình dạy học Toán 10 theo định hướng tăng cường ứng dụng thực tiễn

6 Giả thuyết khoa học

Nếu đề xuất và sử dụng các biện pháp sư phạm, trên cơ sở khai thác các tình huống ứng dụng thực tiễn, theo quy trình thích hợp thì không những kích thích hứng thú học tập môn Toán của học sinh mà còn rèn luyện cho các em những kỹ năng và thói quen ứng dụng toán học vào thực tiễn

7 Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện đề tài này, cần sử dụng một số phương pháp nghiên cứu sau: 1) Phương pháp nghiên cứu lý luận

Nghiên cứu các tài liệu lý luận và các công trình nghiên cứu về Giáo dục toán học và ứng dụng toán học trong dạy học môn Toán, Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 và sách giáo khoa Toán 10 Từ đó làm rõ ý nghĩa, tầm quan trọng và sự cần

thiết phải thực hiện tăng cường ứng dụng thực tiễn dạy học môn Toán nói chung và dạy học Toán 10 nói riêng

Trên cơ sở đó góp phần trả lời Câu hỏi 1 đã nêu trên 2) Phương pháp nghiên cứu điều tra, quan sát:

- Thu thập, phân tích số liệu - Phương pháp điều tra, phỏng vấn Phương pháp này được sử dụng trong việc thực hiện tìm hiểu và phân tích tình hình thực hiện việc dạy học Toán 10 theo Chương trình Giáo dục phổ thông 2018 theo định hướng tăng cường ứng dụng thực tiễn ở các trường phổ thông Trên cơ sở các phân tích đó, thấy rõ những nguyên nhân cần phải được khắc phục, để thực hiện tốt hơn định hướng đã nêu Từ đó góp phần trả lời Câu hỏi 1 và Câu hỏi 2 đã nêu trên

3) Phương pháp thực nghiệm sư phạm Thực nghiệm sư phạm với mục đích minh họa cho việc vận dụng các biện pháp đã đề xuất, đồng thời xác nhận tính khả thi và hiệu quả bước đầu của các biện pháp đó Kết quả đó sẽ góp phần trả lời Câu hỏi 3 đã nêu trên

4) Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Kế thừa các kinh nghiệm đã được tổng kết bởi nhiều nhà nghiên cứu và nhiều thầy cô giáo giàu kinh nghiệm dạy học cũng như những trải nghiệm của tác giả, là cơ sở để đề xuất các biện pháp tổ chức dạy học Toán 10 theo định hướng tăng cường ứng dụng thực tiễn Kết quả đó góp phần trả lời Câu hỏi 2 đã nêu trên

8 Những đóng góp mới của Về phương diện lý luận: Luận văn đã phân tích và làm rõ quy trình bốn bước thực hiện ứng dụng toán học để giải quyết các tình huống thực tiễn, với các minh họa cụ thể trong chương trình Toán 10

Về phương diện thực tiễn: Luận văn đã phân tích tình hình thực hiện định hướng tăng cường ứng dụng thực tiễn, trên cơ sở kết quả khảo sát tại một số trường

trung học phổ thông

Luận văn đã đề xuất “Các biện pháp thực hiện dạy học Toán 10 theo định hướng tăng cường ứng dụng thực tiễn”, đồng thời xác nhận tính khả thi và hiệu quả bước đầu của việc vận dụng các biện pháp đó

9 Cấu trúc của luận văn

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn Chương 2: Biện pháp dạy học môn Toán cho học sinh lớp 10 theo định hướng tăng cường ứng dụng thực tiễn

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm Kết luận

Phụ lục

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Về vấn đề tăng cường ứng dụng toán học trong dạy học môn Toán

1.1.1 Xu hướng, tầm quan trọng, sự cần thiết phải tăng cường ứng dụng toán học

Môn Toán là môn học về số lượng, hình thức và lôgic trong thế giới khách quan Toán học có nguồn gốc thực tiễn: Số học ra đời đầu tiên từ nhu cầu của số đếm Hệ thống định lượng được hiểu theo nghĩa rất chung chung và trừu tượng

Từ những khái niệm Toán học đầu tiên mà con người tìm được và khái quát được về Số học, Hình học (ví dụ như khái niệm về số tự nhiên, một số khái niệm cơ bản về Đại số và Hình Học), đã được con người trừu tượng hóa, đưa thành khái niệm, được phát sinh do nhu cầu thực tiễn của con người về đếm, đo đạc đơn giản Đây chính là giai đoạn sơ khai, phát sinh của Toán học Theo nhà toán học A N Kolmogorov [22], sự phát triển của Toán học trở thành một môn khoa học có thể được chia làm 3 giai đoạn như sau: Từ những kiến thức rời rạc, có thể nói là con người chưa phát hiện được mối liên quan đến nhau của những đại lượng đó, chỉ đơn thuần dựa vào kinh nghiệm vốn có của con người, dần dần được hệ thống thành một loạt các công thức, mệnh đề, tiên đề

Giai đoạn 1: Tương ứng với trình độ sản xuất theo kiểu thủ công với kĩ thuật thô sơ không đòi hỏi những công cụ tinh vi hơn Toán sơ cấp – Giai đoạn Toán sơ cấp

Giai đoạn 2: Tương ứng với trình độ sản xuất kiểu cơ khí đòi hỏi phải có những công cụ Toán học để phục vụ cho cơ học, thúc đẩy sự ra đời của các môn hình học giải tích, phép tính vi phân và tích phân… Đây là giai đoạn Toán học cao cấp cổ điển

Giai đoạn 3: Tương ứng với trình độ sản xuất tự động hóa là giai đoạn Toán học hiện đại với sự ra đời của lý thuyết tập hợp, các lý thuyết thuật toán… Góp phần phát minh ra máy tính điện tử, phát triển ngành Toán học tính toán

Với 3 giai đoạn phát triển trên, toán học có nguồn gốc từ nhu cầu thực tiễn của con người và cả nhu cầu của Toán học.”

1.1.2 Một số nghiên cứu quốc tế về tăng cường ứng dụng môn Toán

Các công trình về ứng dụng toán học trong thực tiễn trên thế giới trong thời gian gần đây thường mang tính địa phương, tập trung nghiên cứu về vấn đề này trong phạm vi quốc gia, khu vực, trong một khoảng thời gian cụ thể

Trong nghiên cứu “Teaching applications of Mathematics in other disciplines: teachers' opinion and practice” [17], tác giả Asli, Abdallah, và Iuliana Zsoldos-Marchis đã nghiên cứu những lợi ích và trở ngại của toán ứng dụng nói chung và những trở ngại khi áp dụng ứng dụng toán học vào giảng dạy liên môn Hai tác giả đã thực hiện khảo sát trên 221 giáo viên toán từ các trường tiểu học tại Israel và đưa ra kết luận: lợi ích quan trọng nhất của việc dạy toán ứng dụng là khơi dậy hứng thú học toán của học sinh (44,3%) và tạo động lực học toán cho học sinh (34,8%) Trở ngại lớn nhất của việc dạy toán ứng dụng là hạn chế về thời gian (30,8%) và giáo viên thiếu kỹ năng dạy toán ứng dụng trong các môn học khác (24,6%)

Bàn sâu hơn về các mô hình hóa toán học, nghiên cứu “Research into Mathematical Applications and Modelling” [20] của nhóm tác giả Gloria Stillman, Jill Brown, Peter Galbraith và Kit Ee Dawn Ng đã nghiên cứu về việc giảng dạy thông qua mô hình hóa toán học và ứng dụng của mô hình hóa toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn tại Úc vào giai đoạn 2012-2015 Nghiên cứu chỉ ra có một sự khác biệt rõ ràng giữa các tiết học về ứng dụng của toán học sử dụng phương pháp truyền thống, so với các tiết học sử dụng mô hình hóa toán học

1.1.3 Một số nghiên cứu tại Việt Nam về tăng cường ứng dụng môn Toán

Trước năm 2018 (chưa áp dụng chương trình giáo dục phổ thông), những

nghiên cứu về chủ đề tăng cường ứng dụng môn Toán tại Việt Nam chủ yếu tập trung vào chủ đề có tính bao quát: Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh phổ thông, tầm quan trọng của mô hình hóa toán học trong dạy học toán THPT, quy trình mô hình hóa toán học trong dạy học toán ở trường phổ thông…Cụ thể:

Tiếp cận từ hướng nghiên cứu tầm quan trọng của mô hình hóa toán học trong dạy học toán, tác giả Nguyễn Thị Tân An (Đại học Sư phạm thành phố Hồ

Chí Minh) với bài viết “Sự cần thiết của mô hình hóa trong dạy học Toán” đăng

trên Tạp chí Khoa học Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh số 37 năm 2012 đã chỉ ra các yếu tố cơ bản của chu trình mô hình hóa, đồng thời minh họa cho các yếu tố đó, giới thiệu tóm tắt lịch sử và các tiếp cận lý thuyết về mô hình hóa trong giáo dục Toán để thấy được sự quan tâm của thế giới trong lĩnh vực này

Nghiên cứu “Năng lực mô hình hóa toán học của học sinh phổ thông”

(2015) của TS Nguyễn Danh Nam (trường Đại học Sư phạm – Đại học Thái Nguyên) đã tìm hiểu về năng lực mô hình hóa trong học tập toán của học sinh phổ thông, từ đó đánh giá cấp độ mô hình hóa trong giải các bài toán, đặc biệt là các bài toán có liên hệ với thực tiễn Kết quả của nghiên cứu đã khẳng định phương pháp mô hình hóa trong dạy học toán góp phần bồi dưỡng năng lực mô hình hóa Toán học của học sinh, giúp học sinh biết sử dụng công cụ và ngôn ngữ của toán học để giải quyết những tình huống nảy sinh trong thực tiễn

Tìm hiểu về logarit, hai tác giả Dương Hữu Tòng và Trần Văn Tuấn (2016)

với bài viết “Dạy học bằng mô hình hóa toán học: Một chiến lược dạy học khái

niệm logarit ở trường phổ thông” trên Tạp chí Khoa học trường Đại học Cần Thơ

số 46 (2016) đã tìm ra hạn chế trong việc dạy học chỉ cung cấp kiến thức cho học sinh, không tập trung vào ý nghĩa thực tiễn của khái niệm logarit Hai tác giả đã đề xuất cách tiếp cận các bài toán thực tiễn khi hình thành khái niệm logarit và chiến lược dạy học khái niệm logarit bằng mô hình hóa

Trong nghiên cứu “Mô hình hóa trong dạy học khái niệm đạo hàm” [3], tác giả Lê Thị Hoài Châu đã nghiên cứu các khái niệm liên quan đến mô hình hóa trong dạy học Toán; cách tổ chức một kiến thức theo tiếp cận mô hình hóa Ngoài ra, nghiên cứu còn làm rõ các nghĩa khác nhau liên kết trong khái niệm đạo hàm, được học sinh huy động trong quá trình giải quyết một tình huống ngoài toán học

Sau năm 2018, các nghiên cứu của các tác giả trong nước chủ yếu nghiên

cứu tính ứng dụng toán học trong thực tiễn ở một số mảng kiến thức toán học cụ thể như: thống kê xác suất, đạo hàm, hình học… hoặc một đối tượng học sinh cụ thể:

sinh viên sư phạm, học sinh một cấp học cụ thể Có thể kể đến một số nghiên cứu như sau:

Bài viết “Một số biện pháp bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho

học sinh tiểu học thông qua dạy học phân số” của tác giả Phạm Thị Thanh Tú đăng

trên Tạp chí Khoa học Giáo dục Việt Nam năm 2019 đã tập trung nghiên cứu vào đối tượng học sinh tiểu học Nghiên cứu nhận thấy, theo yêu cầu của chương trình giáo dục phổ thông 2018, năng lực mô hình hóa toán học là một trong 5 năng lực mà giáo viên dạy toán cần phải hình thành và phát triển cho học sinh; đồng thời, đề xuất 3 biện pháp nhằm bồi dưỡng năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh tiểu học thông qua dạy học nội dung phân số

Bài viết “Thiết kế tình huống trong dạy học Toán nhằm hỗ trợ quá trình

đánh giá năng lực mô hình hóa toán học cho học sinh lớp 11” của hai tác giả Thái

Thị Hồng Lam và Đặng Thị Thanh Giang đăng trên Tạp chí Giáo dục (2021) đã sử dụng phương pháp thực nghiệm nhằm chứng minh việc sử dụng tình huống trong dạy học Toán với dụng ý sư phạm phù hợp sẽ hỗ trợ đắc lực cho quá trình đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh trung học phổ thông Đồng thời, các tác giả đề xuất quy trình thiết kế tình huống trong dạy học Toán, vận dụng vào việc thiết kế tình huống cụ thể, hỗ trợ quá trình đánh giá năng lực mô hình hóa toán học của học sinh lớp 11

1.2 Xu hướng tăng cường ứng dụng toán học trong dạy học môn Toán

Tăng cường ứng dụng toán học làm giảm nhẹ đi yêu cầu cao của môn Toán trong việc tính toán, giải quyết các bài tập nặng về tính toán hoặc nặng về lý thuyết, cung cấp cho học sinh những kiến thức cần thiết cho cuộc sống, trang bị tốt cho học sinh kiến thức ứng dụng môn Toán để giải quyết các vấn đề, là công cụ để học tốt trong các môn học khác và trong cuộc sống Tăng cường ứng dụng môn Toán làm cho những tri thức trong môn Toán trở nên gần gũi hơn đối với học sinh, giúp học sinh trang bị được kiến thức cơ sở để luôn sẵn sàng ứng dụng toán học giải quyết các vấn đề thực tiễn mỗi khi gặp phải, chẳng hạn vận dụng kiến thức hàm số bậc hai trong việc tính chiều cao của cổng Parabol, vận dụng kiến thức hệ thức lượng trong

tam giác để tính chiều rộng của con sông… và để đo đạc, tính toán trong những môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Khoa học kĩ thuật… Cần tổ chức nhiều hoạt động tăng cường ứng dụng Toán học trong nhà trường hoặc đưa học sinh đi tham gia trải nghiệm ngoài nhà trường để học sinh có thể tập dượt được quy trình xây dựng một bài toán có tính ứng dụng Toán học và tìm lời giải và giải quyết bài toán

Việc tăng cường ứng dụng cần giúp học sinh luôn luôn hướng tới việc sẵn sàng ứng dụng Toán học trong các hiện tượng, các vấn đề trong cuộc sống Từ đó hình thành những phẩm chất, luôn luôn muốn ứng dụng Toán học, giải quyết được các vấn đề, giải thích phê phán, giải quyết các sự kiện xảy ra trong cuộc sống

Vì vậy, để học sinh có được suy nghĩ, hình thành nên nhận thức luôn muốn tăng cường ứng dụng Toán học trong cuộc sống, trong các nhà trường phổ thông hiện nay, việc đưa môn các nội dung có tính ứng dụng của môn Toán, khai thác triệt để các đơn vị bài học, mảng kiến thức có tính ứng dụng cần được thực hiện mở rộng và thường xuyên trong nhà trường

Trong các giải pháp thực hiện tăng cường ứng dụng đậm nét hơn, cần phải nghiên cứu các giải pháp tổng thể như: Chỉ đạo (chương trình), Sách giáo khoa (nội dung dạy học), điều chỉnh đánh giá thích hợp và thường xuyên, cần phải nghiên cứu các biện pháp cụ thể nằm dạy học gắn liền với các ứng dụng, phù hợp với nhà trường phổ thông; chú trọng đào tạo bồi dưỡng giáo viên, làm cho giáo viên muốn nghiên cứu những nội dung có tính ứng dụng toán học, chuẩn bị tốt những nội dung Toán học ứng dụng thực tiễn Đối với môn Toán ở trường phổ thông, bên cạnh việc gắn liền các kiến thức Toán học với nguồn gốc thực tiễn, cần phải đặc biệt chú ý tới 2 hướng sau đây:

Hướng thứ nhất: Tiếp tục đưa vào giảng dạy ở mức độ phù hợp những nội dung có nhiều ứng dụng thực tiễn, cần phải trang bị cho học sinh các nội dung Toán học phù hợp hơn với nhu cầu của xã hội hiện nay như: thống kê, xác suất, phương pháp tính… Trong điều kiện chương trình giáo dục phổ thông 2018 với bộ sách giáo khoa mới được đưa vào áp dụng, có thể đưa vào các giờ học ngoại khóa, thực hành hoặc bằng các giờ học tự chọn

Hướng thứ hai: Khai thác và làm đậm nét hơn nữa những ứng dụng của những nội dung vốn đã có trong chương trình sách giáo khoa bằng những biện pháp thích hợp, nhằm rèn luyện kỹ năng tính toán, xây dựng quy trình tính toán, kỹ năng xây dựng mô hình toán học, kĩ năng lựa chọn, giải quyết các bài toán từ thực tiễn

Cả hai hướng trên có tác dụng tích cực, bổ sung lẫn nhau góp phần chủ động thực hiện mục tiêu tăng cường làm rõ tính ứng dụng của môn Toán trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông

Tăng cường ứng dụng Toán học trong dạy học môn Toán ở nhà trường phổ thông giúp làm rõ hơn tính ứng dụng của môn Toán trong thực tiễn, học đi đôi với hành, sử dụng Toán học để giải quyết các tình huống cụ thể trong lao động, sản xuất và đời sống

1.2 Mối liên hệ giữa tăng cường ứng dụng toán học với mô hình hóa toán học

Có nhiều tác giả đã đưa ra một số cách tiếp cận về mô hình hóa toán học, có thể kể đến như sau:

Mô hình hóa toán học: Theo Lê Thị Hoài Châu [3] có viết: “Mô hình hóa toán học là sự giải thích bằng toán học cho một hệ thống ngoài toán học với những câu hỏi xác định mà người ta đặt ra trên hệ thống này Quá trình mô hình hóa toán học là quá trình thiết lập một mô hình toán học cho vấn đề ngoài toán học, giải quyết vấn đề trong mô hình đó rồi thể hiện và đánh giá lời giải trong ngữ cảnh thực tiễn, cải tiến mô hình nếu cách giải quyết không thể chấp nhận”

Theo IU Xviregiev [8], “Mô hình hóa toán học” là quá trình chuyển đổi từ vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học bằng cách thiết lập và giải quyết các mô hình toán học Sự chuyển đổi này được đặt dưới sự kiểm tra của tư duy toán học

Theo tác giả Trần Vui [15]: Nói một cách ngắn gọn thì mô hình hóa toán học là quá trình giải quyết những vấn đề thực tiễn bằng công cụ toán Hay mô hình hóa toán học là toàn bộ quá trình chuyển đổi thực tiễn sang vấn đề toán và ngược lại cùng với mọi thứ liên quan đến quá trình đó, từ bước xây dựng lại tình huống thực tiễn, quyết định một mô hình toán phù hợp, làm việc trong môi trường Toán, giải thích đánh giá kết quả liên quan đến tình huống thực tiễn và đôi khi cần phải điều chỉnh các mô hình, lặp lại quá trình nhiều lần đến khi có được một kết quả hợp lý

Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán (2018), một vài cấu trúc Toán học dùng để mô hình hóa là công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị…

Như vậy, có thể quan niệm như sau: Mô hình toán học của một tình huống là một mô hình trừu tượng, sử dụng ngôn ngữ toán học để mô tả về một tình huống; mô hình toán học được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học tự nhiên và chuyên ngành kĩ thuật (ví dụ như vật lý, sinh học, kĩ thuật điện tử) đồng thời trong cả các ngành khoa học xã hội (như kinh tế, xã hội học, khoa học chính trị)

Mô hình hóa toán học là quá trình chuyển đổi và giải quyết các vấn đề thực tiễn sang vấn đề toán học để có thể giải quyết được các vấn đề thực tiễn bằng phương pháp toán học sẵn có, là phương pháp quan trọng thể hiện rõ vai trò của toán học với thực tiễn

Phương pháp mô hình hóa toán học là: Phân tích thu thập số liệu từ tình huống thực tiễn => Chuyển đổi ngôn ngữ thực tiễn sang ngôn ngữ toán học => Dùng công cụ toán học phù hợp để giải quyết vấn đề toán học => Phân tích và kiểm nghiệm lại kết quả

Năng lực mô hình hóa toán học theo chương trình giáo dục phổ thông 2018 là sự kết hợp của năng lực chuyên môn, năng lực phương pháp, và có thể phát biểu: Năng lực mô hình hóa toán học là kĩ năng ứng dụng, thông hiểu, diễn tả giao lưu và giải quyết các vấn đề liên quan đến mô hình hóa toán học

Kế thừa những quan niệm của các tác giả Swetz và Hartzler (1991), Kaiser và cộng sự (2011), một quy trình mô hình hóa có thể bao gồm các bước như sau [21]:

Bước 1: Phân tích, thu thập số liệu từ tình huống thực tiễn và nảy sinh câu hỏi thực tiễn -> xác định vấn đề có liên quan tới công cụ toán học

Bước 2: Chuyển đổi ngôn ngữ thực tiễn sang ngôn ngữ Toán học: Xác định các tham biến, tham số và các ràng buộc giữa chúng Phát biểu bài toán bằng ngôn ngữ Toán học

Bước 3: Dùng công cụ toán học phù hợp để giải quyết bài toán toán học đã phát biểu

Bước 4: Phân tích và kiểm định lại các kết quả thu được ở bước 3 để xác định mức độ phù hợp của mô hình, và kết quả tính toán với vấn đề thực tiễn Nếu có những chi tiết cần điều chỉnh thì trở lại bước 1 Cuối cùng là trả lời câu hỏi – giải quyết vấn đề đặt ra ban đầu

Quy trình mô hình hóa toán học theo Pollak

Sơ đồ về quy trình mô hình hóa toán học của Pollak (1979) là một trong những sơ đồ được thiết kế đầu tiên về biểu diễn đơn giản sự chuyển đổi giữa toán học và thực tiễn theo hai chiều khi thực hiện mô hình hóa Trong sơ đồ của Pollak, ta sẽ thấy được một quy trình như sau: từ một mô hình trong thực tiễn, người học chuyển sang ngôn ngữ toán học hay tạo ra một mô hình toán rồi giải bài toán trong mô hình toán học đó, sau đó áp dụng kết quả vào tình huống thực tiễn ban đầu Chiều mũi tên thể hiện hai chiều là một vòng lặp, quá trình thể hiện một mối quan hệ giữa thế giới thực và thế giới toán học nhiều lần lặp đi lặp lại [16]

Sơ đồ 1.1: Quy trình mô hình hóa theo Pollak (1979) Quy trình mô hình hóa toán học theo Swetz và Hartzer (1991)

Sau Pollak, quy trình mô hình hóa toán học trong những năm sau đó được thể hiện bởi các hình ảnh chi tiết hơn Quy trình mô hình hóa toán học trong các tình huống hay vấn đề đặt ra được thể hiện chi tiết trong các công cụ, ngôn ngữ toán học như các công thức, định luật, thuật toán, bảng biểu, biểu đồ, kí hiệu toán học… Quy trình giải quyết vấn đề toán học và mô hình hóa có những đặc điểm tương tự với nhau, giúp rèn luyện cho học sinh những kĩ năng giải quyết các vấn đề toán học cần thiết Quy trình mô hình hóa toán học có thể được coi là một chu trình khép kín, các vấn đề được nảy sinh từ các tình huống thực tiễn, kết quả của quá trình được dùng để giải quyết các tình huống thực tiễn [21]

Sơ đồ 1.2: Quy trình mô hình hóa theo Swets & Hartzer (1991) Quy trình mô hình hóa toán học theo Swetz & Hartzler được mô tả gồm 4 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Quan sát hiện tượng, phác thảo tình huống và nhận ra các yếu tố quan trọng (như biến số, tham số) có tác động đến vấn đề

Giai đoạn 2: Lập giả thuyết về mối quan hệ giữa các yếu tố dưới góc nhìn toán học Từ đó phác họa mô hình toán học tương ứng

Giai đoạn 3: Áp dụng các phương pháp, công cụ toán học phù hợp để mô hình hóa vấn đề và phân tích mô hình

Giai đoạn 4: Thông báo kết quả, đối chiếu mô hình với thực tiễn và đưa ra kết luận

Sơ đồ 1.3: Quy trình mô hình hóa toán học được đề xuất bởi Kaiser và Blum

Ví dụ 1.1: Trong sách giáo khoa Toán lớp 10 tập 1, trang 20 bộ Cánh diều, có đề cập đến bài toán sau đây:

Nhân dịp Tết trung thu, một doanh nghiệp dự định sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo Lượng đường cần cho mỗi chiếc

bánh nướng, bánh dẻo lần lượt là 60g, 50g Doanh nghiệp đã nhập về 500 kg đường

Hỏi số bánh nướng và bánh dẻo doanh nghiệp dự định sản xuất cần thỏa mãn điều kiện ràng buộc gì để lượng đường sản xuất bánh không vượt quá lượng đường đã nhập về?

Có thể thấy thấy bài toán trên là một ví dụ, có thể giải quyết bài toán thực tiễn trên theo các bước sau đây:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Kết quả mong đợi Bước 1: Giáo viên hướng

dẫn học sinh đọc đề bài, xác định các đại lượng tham gia bài toán đã biết: lượng đường trong mỗi chiếc bánh nướng, bánh dẻo, tổng số đường doanh nghiệp đã nhập về: 500 kg; đại lượng chưa biết: số bánh nướng và bánh dẻo mỗi loại

Hướng dẫn học sinh đặt ẩn biểu diễn các đại lượng chưa biết

Học sinh đọc đề bài, xác định các đại lượng đã biết: lượng đường trong mỗi chiếc bánh nướng, bánh dẻo, tổng số đường doanh nghiệp đã nhập về: 500 kg; đại lượng chưa biết: số bánh nướng và bánh dẻo mỗi loại

Gọi x, y lần lượt là số bánh nướng và số bánh dẻo doanh nghiệp dự định sản xuất (x,y là số tự nhiên)

Đại lượng đã biết: + Lượng đường trong 1 chiếc bánh nướng: 60g + Lượng đường trong mỗi chiếc bánh dẻo: 50g

+ Tổng số đường nhập về: 500kg

Đại lượng chưa biết: + Số bánh nướng doanh nghiệp dự định sản xuất + Số bánh dẻo doanh nghiệp dự định sản xuất

Bước 2: Giáo viên hướng dẫn học sinh biểu diễn mối liên hệ giữa các đại lượng đề bài cho với các đại lượng chưa biết

Dựa vào đề bài, xác định được:

Lượng đường trong tổng số

bánh nướng là: 60x(g),

lượng đường trong tổng số

bánh dẻo là: 50 y (g)

Tổng lượng đường cần để sản xuất số bánh nướng và bánh dẻo là: 60x50y(g)

+ Lượng đường dùng

làm bánh nướng là: 60x

(g) + Lượng đường làm bánh dẻo là: 50y (g) + Tổng lượng đường

Giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu bài toán toán học

Vì doanh nghiệp nhập về 500 kg đường để làm bánh nướng, bánh dẻo, ta có bất phương trình sau:

0, 06x0, 05y500

Bước 4: Cho học sinh nhận xét: Bất phương

Quan sát bất phương trình vừa lập, đưa nhận xét bất

Bất phương trình tìm được là bất phương trình

trình vừa thiết lập: 0, 06x0, 05y500 là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

phương trình vừa lập là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn

bậc nhất hai ẩn

Quy trình mô hình hóa toán học được Kaiser và Blum đề xuất [19]

Trong đó: (a) Xây dựng mô hình thực tiễn từ một tình huống thực tiễn; (b) Xây dựng mô hình toán học từ mô hình thực tiễn;

(c) Giải quyết bài toán theo mô hình toán học đã chọn; (d) Lý giải kết quả toán học theo tình huống thực tiễn Ở quy trình này, có thể xây dựng được nhiều mô hình toán học khác nhau để giải quyết một tình huống thực tiễn

Sơ đồ 1.4: Quy trình mô hình hóa theo Stillman & Galbraith (2006) Theo Stillman và Galbraith, để giải quyết một bài toán theo sơ đồ trên, học sinh thực hiện lần lượt các bước sau đây [18]:

(1) Hiểu vấn đề thực tiễn, xây dựng các giả thuyết để đơn giản hóa vấn đề, tạo ra một mô hình thực tiễn của tình huống;

(2) Mô tả và diễn đạt vấn đề bằng các công cụ và ngôn ngữ toán học Tức là xây dựng mô hình toán biểu diễn trung thực cho mô hình thực tiễn;

(3) Trong môi trường toán học, cần sử dụng các công cụ và phương pháp toán học thích hợp để giải quyết vấn đề;

(4) Thể hiện kết quả trong ngữ cảnh thực tiễn; (5) Xem xét tính hợp lý, thỏa đáng của kết quả thực tiễn hay quyết định thực hiện quá trình lần hai;

(6) Xem xét lại giả thuyết, tìm hiểu các hạn chế của mô hình toán học cũng như lời giải của bài toán, xem lại các công cụ và phương pháp toán học đã sử dụng, đối chiếu thực tiễn để cải tiến mô hình đã xây dựng nếu cần

Chương trình GDPT môn Toán 2018 đã chỉ ra các yêu cầu cơ bản về năng lực mô hình hóa toán học cần rèn luyện cho học sinh, đặc biệt ở cấp THPT được thể hiện như sau:

- Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị…) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán có nội dung thực tiễn

- Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình đã được thiết lập - Lý giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là

có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hóa…) để đưa đến những bài toán giải được

Ví dụ 1.2: SGK Toán 10 tập 1 trang 31 bộ Cánh diều bài Hàm số và đồ thị có bài toán mở đầu sau đây:

Galileo Galilei (1564 – 1642), sinh tại thành phố Pisa (Italia), là nhà bác học vĩ đại của thời kì Phục hưng Ông được mệnh danh là “cha đẻ của khoa học hiện đại” Trước Galileo, người ta tin rằng vật nặng rơi nhanh hơn vật nhẹ, ông đã bác bỏ điều này bằng thí nghiệm nổi tiếng ở tháp nghiêng Pisa Từ thí nghiệm của Gaileo, các nhà khoa học sau này được truyền cảm hứng rằng chúng ta chỉ có thể rút ra tri thức khoa học từ các quy luật khách quan của tự nhiên, chứ không phải từ niềm tin

Làm thế nào để mô tả được mối liên hệ giữa thời gian t và quãng đường đi được S của vật rơi tự do? Làm thế nào để có được hình ảnh hình học minh họa mối liên hệ giữa hai đại lượng đó?

Bài toán trên có thể được giải quyết như sau:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Kết quả mong đợi Bước 1: Yêu cầu học sinh

đọc kĩ đề bài, xác định các đại lượng đã biết, các đại lượng chưa biết, các đại lượng cần tìm

Đọc kĩ đề bài, xác định được bài toán đang đề cập đến nội dung quãng đường của vật rơi tự do, cần tìm công thức tính quãng đường của vật theo thời gian t

Xác định các đại lượng tham gia gồm: Quãng đường (s), thời gian (t), gia tốc rơi tự do

Nhắc lại công thức tính quãng đường đi được của vật rơi tự do: 1 2

s gt

Bước 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh lập công thức biểu diễn quãng đường đi được của vật rơi tự do

Giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát công thức

Công thức tính quãng đường đi được của vật rơi tự do là:

2

12

s gt , trong đó s là quãng đường đi được, t là thời gian,

2

9,8 /

g m s là gia tốc rơi tự do

Quan sát công thức, học sinh nhận ra với mỗi giá trị tương

vừa tìm được, nêu nhận xét về công thức tìm được: Với mỗi giá trị tương ứng của t, có bao nhiêu giá trị tương ứng của s

ứng của t, có duy nhất một giá trị tương ứng của s

Bước 4: Dựa vào nhận xét của học sinh, giáo viên hướng dẫn học sinh đưa ra kết luận, công thức vừa tìm được là một hàm số, biểu diễn hình học minh họa mối liên hệ giữa hai đại lượng thời gian và quãng đường là việc vẽ đồ thị hàm số

Nhận xét về công thức vừa đưa ra, với mỗi giá trị của t cho duy nhất một giá trị của s, vì vậy công thức vừa tìm được là một hàm số biểu diễn mối liên hệ giữa hai đại lượng t và s

Muốn biểu diễn hình học minh họa mối liên hệ giữa t và s, ta phải vẽ đồ thị hàm số

Công thức vừa tìm được là một hàm số biểu diễn mối liên hệ giữa hai đại lượng t và s

Vai trò của mô hình hóa trong dạy học môn Toán: Mô hình hóa toán học trong dạy học môn Toán ở trường phổ thông hiện nay được chú trọng nghiên cứu vì không những giúp học sinh giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn, mà còn hiểu sâu hơn về các kiến thức toán học và nắm chắc hơn các kiến thức đó

Dạy học ứng dụng mô hình hóa toán học giúp cho học sinh tiếp cận được các tri thức, vận dụng được các kiến thức đã học một cách phong phú, từ đó có động lực hơn Học tập sử dụng mô hình hóa toán học giúp học sinh tăng cường được hoạt động học tập làm việc nhóm trên lớp, hỗ trợ nhau trong quá trình giải quyết các hoạt động học tập trên lớp, cùng tham gia nhiệm vụ của dự án học tập Các hoạt động học tập trên lớp có sự hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau giúp học sinh giảm sự cạnh tranh, học sinh hòa đồng với nhau, tránh được sự cô lập, thúc đẩy thành tích học tập của học sinh, giúp học sinh mau tiến bộ hơn Dạy học mô hình hóa toán học còn giúp

học sinh có được phương tiện học tập hiệu quả, đặc biệt là những học sinh gặp vấn đề khó khăn khi học toán, tương tác xã hội, nuôi dưỡng được tính ứng dụng thực tiễn của toán học, kĩ năng hợp tác trong một bối cảnh thực tiễn của cuộc sống (ví dụ như nhóm hoạt động) Mô hình hóa toán học nếu được ứng dụng rộng rãi còn giúp thúc đẩy thành tích toán học của học sinh

Giáo viên có thể sử dụng mô hình toán học để tạo ra các tình huống, gợi vấn đề trong quá trình dạy học môn toán Từ việc giúp học sinh ứng dụng mô hình hóa vào việc học toán, sẽ giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa các hoạt động mô hình hóa toán học và các hoạt động toán học, hiểu được quá trình mô hình hóa toán học Đó cũng là xu thế của giáo dục toán học phổ thông – tăng cường ứng dụng toán học, chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn

1.3 Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán 2018 và mục tiêu tăng cường ứng dụng

Theo Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán, ban hành kèm Thông tư số 32/2018/TT-BGDĐT, về mục tiêu chương trình đã có những điểm nổi bật sau đây [1]:

b Góp phần hình thành và phát triển ở học sinh các phẩm chất chủ yếu và năng lực chung theo các mức độ phù hợp với môn học, cấp học được quy định tại Chương trình tổng thể

c Có kiến thức, kĩ năng toán học phổ thông, cơ bản, thiết yếu; phát triển khả năng giải quyết vấn đề có tính tích hợp liên môn giữa môn Toán và các môn học khác như Vật lý, Hóa học, Sinh học, Địa lý, Tin học, Công nghệ, Lịch sử, Nghệ

thuật…; tạo cơ hội để học sinh được trải nghiệm, áp dụng toán học vào thực tiễn

d Có hiểu biết tương đối tổng quát về sự hữu ích của toán học đối với từng ngành nghề liên quan để làm cơ sở định hướng nghề nghiệp, cũng như có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu vấn đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời

1.3.2 Mục tiêu cấp trung học phổ thông

Môn Toán cấp Trung học phổ thông nhằm giúp học sinh đạt được các mục tiêu chủ yếu sau:

Thứ nhất, góp phần hình thành và phát triển năng lực toán học với yêu cầu cần đạt: nêu và trả lời được câu hỏi khi lập luận, giải quyết vấn đề; sử dụng được các phương pháp lập luận, quy nạp và suy diễn để hiểu được những cách thức khác nhau trong việc giải quyết vấn đề; thiết lập được mô hình toán học để mô tả tình huống, từ đó đưa ra cách giải quyết vấn đề toán học đặt ra trong mô hình được thiết lập; thực hiện và trình bày được giải pháp giải quyết vấn đề và đánh giá được giải pháp đã thực hiện, phản ánh được giá trị của giải pháp, khái quát hóa được cho vấn đề tương tự; sử dụng được công cụ, phương tiện học toán trong học tập, khám phá và giải quyết vấn đề toán học

Thứ hai, có những kiến thức và kĩ năng toán học cơ bản, thiết yếu về: Đại số và Một số yếu tố giải tích: Tính toán và sử dụng công cụ tính toán; sử dụng ngôn ngữ và kí hiệu đại số; biến đổi biểu thức đại số và siêu việt (lượng giác, mũ, logarit), phương trình, hệ phương trình, bất phương trình; nhận biết các hàm số sơ cấp cơ bản (lũy thừa, lượng giác, mũ, logarit); khảo sát hàm số và vẽ đồ thị hàm số bằng công cụ đạo hàm; sử dụng ngôn ngữ hàm số, đồ thị hàm số để mô tả và phân tích một số quá trình và hiện tượng trong thế giới thực; sử dụng tích phân để tính toán diện tích hình phẳng và thể tích vật thể trong không gian

Hình học và Đo lường: Cung cấp những kiến thức và kĩ năng (ở mức độ suy luận logic) vè các quan hệ hình học và một số hình phẳng, hình khối quen thuộc; phương pháp đại số (vectơ, tọa độ) trong hình học; phát triển trí tưởng tượng không gian; giải quyết một số vấn đề thực tiễn đơn giản gắn với Hình học và Đo lường

Thống kê và Xác suất: Hoàn thiện khả năng thu thập, phân loại, biểu diễn, phân tích và xử lý dữ liệu thống kê; sử dụng các công cụ phân tích dữ liệu thống kê thông qua các số đặc trưng đo xu thế trung tâm và đo mức độ phân tán cho mẫu số liệu không ghép nhóm và ghép nhóm; sử dụng các quy luật thống kê trong thực tiễn; nhận biết các mô hình ngẫu nhiên, các khái niệm cơ bản của xác suất và ý nghĩa của xác suất trong thực tiễn

Thứ ba, góp phần giúp học sinh có những hiểu biết tương đối tổng quát về các ngành nghề gắn với môn Toán và giá trị của nó; làm cơ sở cho định hướng nghề nghiệp sau trung học phổ thông; có đủ năng lực tối thiểu để tự tìm hiểu những vấn đề liên quan đến toán học trong suốt cuộc đời

Ở mục tiêu môn Toán cấp trung học phổ thông, mặc dù không trực tiếp đề cập đến tính ứng dụng của Toán học, tuy nhiên việc đề cập đến tính ứng dụng của Toán học trong một số mảng cụ thể như: Hình học, Đo lường, Thống kê và Xác suất, Hình học… đã thể hiện tính ứng dụng của Toán học trong các lĩnh vực cụ thể đó

1.3.3 Năng lực mô hình hóa toán học trong Chương trình giáo dục phổ thông 2018

Chương trình GDPT 2018 đã chỉ ra các yêu cầu cơ bản cho năng lực mô hình hóa toán học, đặc biệt ở cấp THPT được thể hiện như sau:

Thiết lập được mô hình toán học (gồm công thức, phương trình, sơ đồ, hình vẽ, bảng biểu, đồ thị…) để mô tả tình huống đặt ra trong một số bài toán có nội dung thực tiễn

Giải quyết được những vấn đề toán học trong mô hình được thiết lập Lý giải được tính đúng đắn của lời giải (những kết luận thu được từ các tính toán là có ý nghĩa, phù hợp với thực tiễn hay không) Đặc biệt nhận biết được cách đơn giản hóa, cách điều chỉnh những yêu cầu thực tiễn (xấp xỉ, bổ sung thêm giả thiết, tổng quát hóa…) để đưa đến những bài toán giải được

Vậy ta có thể nhận thấy, năng lực mô hình hóa toán học là một trong những năng lực quan trọng nhất góp phần giải quyết các bài toán, vấn đề thực tiễn có liên quan đến toán học, đưa các bài toán, các vấn đề có nội dung thực tiễn trở thành

những bài toán toán học, toán học hóa các nội dung thực tiễn từ đó giải quyết được các vấn đề đặt ra bằng công cụ toán học

Mô hình hóa toán học trong dạy học môn toán ở trường phổ thông hiện nay được chú trọng nghiên cứu vì nó giúp học sinh giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn, từ đó hiểu sâu hơn về các kiến thức toán học và nắm chắc hơn các kiến thức đó

Dạy học ứng dụng mô hình hóa toán học giúp cho học sinh tiếp cận được các tri thức, vận dụng được các kiến thức đã học một cách phong phú và có động lực hơn Học tập sử dụng mô hình hóa toán học giúp học sinh tăng cường được hoạt động học tập làm việc nhóm trên lớp, hỗ trợ nhau trong quá trình giải quyết các hoạt động học tập trên lớp, cùng tham gia nhiệm vụ của dự án học tập Các hoạt động học tập trên lớp có sự hỗ trợ, giúp đỡ lẫn nhau giúp học sinh giảm sự cạnh tranh, học sinh hòa đồng với nhau, tránh được sự cô lập, thúc đẩy thành tích học tập của học sinh, giúp học sinh mau tiến bộ hơn Dạy học mô hình hóa toán học còn giúp học sinh có được phương tiện học tập hiệu quả, đặc biệt là những học sinh gặp vấn đề khó khăn khi học toán, tương tác xã hội, nuôi dưỡng được tính ứng dụng thực tiễn của toán học, kĩ năng hợp tác trong một bối cảnh thực tiễn của cuộc sống (ví dụ như nhóm hoạt động) Mô hình hóa toán học nếu được ứng dụng rộng rãi còn giúp thúc đẩy thành tích toán học của học sinh

Giáo viên có thể sử dụng mô hình toán học để tạo ra các tình huống, gợi vấn đề trong quá trình dạy học môn toán Từ việc giúp học sinh ứng dụng mô hình hóa vào việc học toán, sẽ giúp học sinh thấy được mối quan hệ giữa các hoạt động mô hình hóa toán học và các hoạt động toán học, hiểu được quá trình mô hình hóa toán học Đó cũng là xu thế của giáo dục toán học phổ thông – tăng cường ứng dụng toán học, chú trọng rèn luyện kĩ năng giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn

1.3.4 Sách giáo khoa Toán 10 theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018

Năm học 2022 – 2023, SGK chương trình giáo dục phổ thông gồm: Có 3 bộ sách giáo khoa phục vụ học tập cấp THPT đó là: Cánh diều, Kết nối tri thức với cuộc sống, Chân trời sáng tạo Cả ba bộ sách, theo tinh thần định hướng giáo dục phổ thông Toán, đều chú trọng việc tăng cường ứng dụng môn Toán vào các bài

toán có nội dung thực tiễn Các bài học được thiết kế ngắn gọn, súc tích, đủ kiến thức, đưa các tri thức toán học lồng ghép vào các bài toán có nội dung thực tiễn Các bài toán có nội dung thực tiễn, có thể mở đầu bằng vấn đề mà học sinh thấy được việc ứng dụng Toán học là cần thiết để có thể giải quyết được vấn đề hoặc tình huống đặt ra đó, đứng trước vấn đề đó thì người học cần công cụ toán học nào đó để có thể giải quyết vấn đề được đặt ra Từ đó giúp người học thấy được ý nghĩa thiết thực của việc ứng dụng Toán học trong thực tiễn

Bởi vậy ta thấy được tư tưởng ứng dụng Toán học luôn được đề cập xuyên suốt và trở thành quan điểm chung khi học tập môn Toán theo chương trình giáo dục phổ thông 2018 Tác giả khi viết sách đã nhận thức được tầm quan trọng của việc ứng dụng Toán học trong thực tiễn quan trọng như thế nào, và nó có mối quan hệ mật thiết, quan trọng như thế nào đối với việc học môn Toán Vì vậy mỗi nội dung, mỗi kiến thức để học sinh tiếp thu được, tác giả đều khéo léo đưa ra một hoạt động, hoặc một ví dụ thực tiễn, từ đó giúp học sinh thấy được tính ứng dụng cao của việc áp dụng các tri thức Toán học vào thực tiễn, tính ứng dụng của môn Toán được thể hiện một cách thường xuyên hơn, theo từng đơn vị bài học và được chú trọng hơn trong cả khâu kiểm tra, đánh giá học sinh

Ví dụ 1: Sách giáo khoa Toán 10 tập 1 (trang 22 bộ Kết nối tri thức với cuộc sống), Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có bài toán mở đầu như sau:

Nhân ngày Quốc tế Thiếu nhi 01/06, một rạp chiếu phim phục vụ các khán giả một bộ phim hoạt hình Vé được bán ra có hai loại:

Loại 1 (dành cho trẻ từ 6-13 tuổi): 50 000 đồng/vé; Loại 2 (dành cho người trên 13 tuổi): 100 000 đồng/vé Người ta tính toán rằng, để không phải bù lỗ thì số tiền vé thu được ở rạp chiếu phim này phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng

Hỏi số lượng vé bán được trong những trường hợp nào thì rạp chiếu phim phải bù lỗ?

Đối với bài toán này, tác giả đưa một vấn đề thực tiễn chưa có cách giải, vào đầu bài học mà học sinh còn chưa có cách giải quyết Sau đó, khi học nội dung kiến thức bài Bất phương trình bậc nhất hai ẩn, học sinh có được kiến thức để mô hình

hóa nội dung bài toán mở đầu thành một bất phương trình bậc nhất hai ẩn, sau đó được học phương pháp biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn, hay nói cách khác là có công cụ để giải quyết bài toán, sau đó quay trở lại giải quyết được vấn đề mà bài toán đặt ra ban đầu Đó là một quy trình giải quyết bài toán có tính ứng dụng thực tiễn

Phân tích hoạt động của giáo viên và học sinh khi giải quyết bài toán:

Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Kết quả Bước 1: Giáo viên yêu

cầu học sinh đọc kĩ đề bài, xác định các đại lượng đã biết: Giá tiền mỗi vé loại 1 và loại 2, số tiền tối thiểu để cửa hàng không phải bù lỗ Xác định các đại lượng chưa biết: Số vé mỗi loại, từ đó dẫn đến việc đặt ẩn x, y biểu diễn số vé loại 1 và số vé loại 2

Đọc kĩ đề bài, xác định các đại lượng đã biết và chưa biết, từ đó đặt ẩn:

Gọi x là số vé loại 1, y là số vé loại 2 (x,y là số tự nhiên)

+ Giá tiền 1 vé loại 1: 50 nghìn đồng

+ Giá tiền 1 vé loại 2: 100 nghìn đồng

+ Số tiền tối thiểu để cửa hàng không phải bù lỗ: 20 triệu đồng

+ Đại lượng chưa biết: Số vé loại 1, số vé loại 2 Gọi x là số vé loại 1, y là số vé loại 2 (x, y là số tự nhiên)

Bước 2: Từ dữ kiện bài toán, giáo viên hướng dẫn học sinh biểu diễn số tiền bán được mỗi loại vé:

Số tiền bán được mỗi vé loại 1 là: 50000 x

Số tiền bán được mỗi vé

Vì tổng số tiền bán vé thu được phải đạt tối thiểu 20 triệu đồng nên ta có bất

50000x100000y20000000hay x2y400

Ta có bất phương trình: 50000x100000y20000000hay x2y400 (biến đổi tương đương lớp 9)

loại 2 là: 100000 y

Giáo viên hướng dẫn học sinh suy luận: Để cửa hàng không phải bù lỗ thì tổng số tiền thu được hai loại vé đạt tối thiểu 20 triệu đồng, từ đó ta biểu diễn bài toán toán học phù hợp:

50000x100000y20000000.Bước 3: Giáo viên

hướng dẫn học sinh nhận xét bài toán đưa về việc giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn, yêu cầu học sinh nhắc lại quy trình giải bài toán bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Sau khi học sinh nêu quy trình giải quyết bài toán, giáo viên dẫn dắt để học sinh thấy được giải quyết bài toán là việc biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên hệ trục tọa độ Từ đó, giáo viên yêu cầu

Học sinh quan sát bất phương trình vừa lập được, có nhận xét đó là một bất phương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó nêu quy trình giải quyết một bài toán bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Học sinh biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn

2 400

x y

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn x2y400

học sinh biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình lên mặt phẳng tọa độ Oxy

Bước 4: Giáo viên hướng dẫn học sinh nhận xét miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ không kể đường thẳng d

Giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát và đưa ra nhận xét nếu số vé loại 1 và loại 2 bán ra nằm trong miền tam giác OAB thì rạp chiếu phim phải bù lỗ, còn nếu nằm trên đoạn AB thì rạp hòa vốn, nằm ngoài đoạn AB thì rạp có lãi

Học sinh quan sát miền nghiệm tìm được, từ đó nêu nhận xét về các trường hợp rạp chiếu phim có lãi, rạp hòa vốn, rạp chiếu phải bù lỗ

Từ đó đưa ra một số ví dụ nhận xét:

Nếu bán được 150 vé loại 1 và 150 vé loại 2 thì rạp chiếu phim có lãi

Nếu bán được 200 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim hòa vốn

Nếu bán được 100 vé loại 1 và 100 vé loại 2 thì rạp chiếu phim phải bù lỗ

+ Nếu điểm biểu diễn nằm trong vùng tam giác OAB (không kể biên) thì rạp phải bù lỗ

+ Nếu điểm biểu diễn nằm trên cạnh AB thì rạp hòa vốn

+ Nếu điểm biểu diễn nằm ngoài tam giác OAB thì rạp có lãi

Ví dụ 2: Sách giáo khoa Toán 10 (tập 1 bộ Cánh diều trang 25) mở đầu với tình huống như sau:

Quảng cáo sản phẩm trên truyền hình là một hoạt động quan trọng trong kinh doanh của các doanh nghiệp

Theo thông số 10/2019, giá quảng cáo trên VTV là 30 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khoảng 20h30; là 6 triệu đồng cho 15 giây/1 lần quảng cáo vào khung giờ 16h00 – 17h00

Một công ty dự định chi không quá 900 triệu đồng để quảng cáo trên VTV1 với yêu cầu quảng cáo về số lần phát như sau: ít nhất 10 lần quảng cáo vào khoảng 20h30 và không quá 50 lần quảng cáo vào khung giờ 16h00 – 17h00 Gọi x, y lần lượt là số lần phát quảng cáo vào khung giờ 20h30 và vào khung giờ 16h00 – 17h00

Tìm x và y sao cho số lần quảng cáo của công ty là nhiều nhất Phân tích hoạt động của giáo viên và học sinh trong quá trình quyết bài toán: Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Kết quả mong đợi Bước 1: Giáo viên yêu

cầu học sinh đọc kĩ đề bài, xác định các đại lượng đã biết: số tiền quảng cáo cho 15 giây mỗi khung giờ 20h30 và khung giờ 16h – 17h, số lần phát quảng cáo: ít nhất 10 lần vào khung giờ 20h30, không quá 50 lần vào khung giờ 16h – 17h; các đại lượng chưa biết: số lần phát quảng cáo trong mỗi khung giờ

Đọc kĩ đề bài, xác định các đại lượng đã biết, đại lượng chưa biết, từ đó:

Gọi x là số lần phát quảng cáo vào khung giờ 20h30, y là số lần phát quảng cáo vào khung giờ 16h – 17h (x, y là số tự nhiên)

+ Số tiền quảng cáo khung giờ 16h – 17h: 6 triệu đồng

+ Số tiền quảng cáo khung giờ 20h30: 30 triệu đồng

+ Số lần quảng cáo tối thiểu khung giờ 16h – 17h: không quá 50 lần + Số lần quảng cáo tối thiểu khung giờ 20h30: ít nhất 10 lần

+ Đại lượng chưa biết: số lần phát quảng cáo mỗi khung giờ

+ Gọi x là số lần phát quảng cáo vào khung giờ 20h30, y là số lần phát quảng cáo vào khung giờ 16h – 17h (x, y là số tự nhiên)

Bước 2: Giáo viên hướng dẫn học sinh phân tích đề bài: Số quảng cáo phát khung giờ 20h30 ít nhất 10 lần, số quảng cáo phát khung giờ 16h – 17h không quá 50 lần

Giáo viên hướng dẫn học sinh biểu diễn tổng số tiền phải chi cho mỗi loại khung giờ, từ đó liên hệ với tổng số tiền công ty dự định chi để lập bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Từ các bất phương trình học sinh tìm được, giáo viên hướng dẫn học sinh lập hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Phân tích đề bài: Vì số quảng cáo phát khung giờ 20h30 ít nhất 10 lần, ta có bất phương trình: x10.Vì số quảng cáo phát khung giờ 16h -17h không quá 50 lần, ta có phương trình:

0 y 50.Số tiền công ty phải chi cho quảng cáo ở khung giờ

30x6y900 Hay 5x y 150

Quan sát các bất phương trình tìm được, tổng hợp và đưa ra hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn:

 

   

Vì công ty dự định chi không quá 900 triệu đồng cho quảng cáo, ta có bất phương trình: 30x6y900 Hay 5x y 150

Bước 3: Giáo viên hướng dẫn học sinh quan sát hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn vừa tìm được, từ đó đưa ra phương pháp giải bài toán: Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ Oxy

Hướng dẫn học sinh biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn: Biểu diễn miền nghiệm của từng bất

Học sinh quan sát hệ bất phương trình vừa tìm được, nhận xét hệ tìm được là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn, từ đó nêu cách giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Sau khi nêu cách giải bài toán, học sinh biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn