Giả thuyết khoa học Với nội dung “Dạy học chuyên đề các số chính phương cho học sinh khá, giỏi lớp 6 theo hướng phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học”, nếu xây dựng, đề xuất đư
Phân tích chủ đề số và Đại số ở lớp 6
Đối với lớp 5, chương trình môn Toán chưa đòi hởi học sinh cần tư duy ở mức độ cao, mà chỉ cần ở mức độ đơn giản, chủ yếu giúp các con giải quyết vấn đề đơn giản. Ở cấp Trung học cơ sở, trong chủ đề số và Đại số, học sinh cần hệ thống được số (từ số tự nhiên đến số thực); tính toán và sử dụng công cụ tính toán; ngôn ngừ và kí hiệu đại số; biến đổi biểu thức đại số, phương trình, hệ phương trình, bất phương trình; sử dụng ngôn ngừ hàm số để mô tả (mô hình hóa) một số quá trình và hiện tượng trong thực tiễn.
Chương trình Toán học lớp 6 có 140 tiết với 49% mạch kiến thức số và Đại số, 30% mạch kiến thức Hình học và Đo lường, 14% mạch kiến thức Thống kê và Xác suất, 7% Hoạt động thực hành và trải nghiệm. Ở lớp 6, học sinh được học về chủ đề số học, chưa được học về chủ đề Đại số Học sinh được học các nội dung như số tự nhiên, số nguyên, phân số, số thập phân.
Theo nội dung cụ thể và yêu cầu cần đạt của chù đề số học lớp 6, đòi hỏi học sinh cần thực hiện các thao tác tư duy và suy luận ở mức độ cao hơn, suy luận từ những kiến thức đã học để hình thành, khám phá kiến thức mới Ví dụ: ờ 1Ó’P 5, học sinh đã được học về số tự nhiên và thứ tự thực hiện phép tính Tuy nhiên sang lớp 6, phép tính có sự xuất hiện của lũy thừa, khi đó, nếu phép tính có dấu ngoặc, và có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia, lũy thừa, học sinh cần thực hiện phép nâng lên lũy thừa trước, rồi đến nhân và chia, cuối cùng đến cộng và trừ Còn nếu phép tính không có dấu ngoặc, ta thực hiện trong ngoặc trước, ngoài ngoặc sau theo thứ tự: ()—>[]—>{ }. Đối với học sinh khá, giỏi lớp 6, học sinh có thể được học một số chuyên đề sau:
- Áp dụng được bất đẳng thức để tìm khoảng giá trị của số phải tìm.
Một số phương pháp giải toán số học
- Trình bày được phương pháp giải toán số học, phương pháp giả thiết tạm, phương pháp dùng đơn vị quy ước, phương pháp tính ngược từ cuối, phương pháp lựa chọn.
- Vận dụng các phương pháp trên để giải quyết một số bài toán.
- Phân biệt được các dạng toán: chuyển động cùng chiều, chuyển động ngược chiều, chuyển động của vật có chiều dài đáng kể, chuyển động có dòng nước, chuyển động có vận tốc thay đổi trên từng đoạn, vận tốc trung bình và các phương pháp giải các dạng này.
- Vận dụng được phương pháp giải các dạng toán này đê giải quyết bài toán trong thực tiễn.
Do đó, việc phát triên năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong chủ đề số và Đại số ở lớp 6 là vô cùng cần thiết.
Thực trạng giảng dạy Toán tại một số trường THCS
Mục đích của việc khảo sát là đề đánh giá tình trạng dạy và học môn Toán trong việc phát triển nàng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong chuyên đề các số chính phương đối với học sinh khá, giổi lớp 6 Từ đó, có cơ sở thực tiễn để đề xuất các biện phép sư phạm, giúp giáo viên có thế điều chỉnh phương pháp dạy học để tăng cường hiệu quả học tập, tiếp thu kiến thức cùa học sinh.
1.3,2 Đôi tượng và phạm vi khảo sát
Nhàm tìm hiểu thực trạng dạy và học chuyên đề các số chính phương nhàm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh khá, gioi lớp 6 Tôi đã đã tiến hành khảo sát các 32 giáo viên Toán của trường THCS Ngô Quyền, 20 giáo viên Toán của trường THCS Bình Minh và 48 học sinh khá, giỏi lóp 6 của trường THCS Ngô Quyền, 36 học sinh khá, giỏi lóp 6 của trường THCS Bình Minh Hình thức khảo sát chủ yếu là lập phiếu khảo sát dành cho giáo viên và học sinh, ngoài ra tôi còn trực tiếp trao đổi, phỏng vấn với các giáo viên trong trường và các bạn đồng nghiệp ngoài trường.
1.3.3 Nôi dung và kết quả khảo sát 1.3.3 ỉ Kết quả khảo sát đối vói học sinh
Thông qua phiếu khảo sát dành cho học sinh (phụ lục 2), tôi đã tiến hành khảo sát 48 học sinh khá, giỏi lóp 6 của trường THCS Ngô Quyền, 36 học sinh khá, gioi lớp 6 của trường THCS Bình Minh.
Sau khi thu phiếu, tôi đã tổng hợp và thu được kết quả như sau:
Câu 1 Theo em, việc học toán như hiện tại có giúp em phát triển những năng lực, kĩ năng nào sau đây?
Bảng 1.1: Những kĩ năng học sinh được phát triến khi học toán
Nội dung Số lượng Tỉ lệ
Năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề 76 91%
Kĩ năng làm việc nhóm 16 19%
Biêu đô 1.1 Thông kê những kĩ năng học sinh được phát triên khi học toán
Tư duy logic Tư duy trừu Năng lực phát Kĩ năng làm việc Kĩ năng giao tiếp tượng hiện và giải nhóm quyết vấn đề
Dựa vào kết quả khảo sát, hầu hết các em học sinh tham gia khảo sát đều thây việc học toán giúp rèn luyện tư duy, lập luận, năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề Việc học toán đòi hỏi học sinh hình thành và phát triển các kĩ năng về tư duy nhưng phần nào chưa rèn luyện cho học sinh các kĩ năng giao tiêp và làm việc nhóm.
Câu 2 Em hãy tự đánh giá về năng lực tư duy và lập luận của bản thân thông qua bảng tự đánh giá.
Bảng 1.2: Bảng tự đánh giá vê năng lực tư duy và lập luận của học sinh trường THCS Ngô Quyên rp • A _ 1 r
Phân tích, xác định được những
41,67% 50% 8,33% dữ kiện đê bài cho, yêu câu của bài toán
Suy luận và đưa ra phương 33,33% 41,67% 25%
21 hướng giải quyết bài toán
3 Trình bày lời giải ngắn gọn, mạch lạc, rõ ràng
4 Tổng quát hóa, khái quát hóa dạng bài
Bảng 1.3: Bảng tự đánh giá vê năng lực tư duy và lập luận của _ học sinh trường THCS Bình Minh
1 Phân tích, xác định được những dữ kiện đề bài cho, yêu cầu của bài toán
2 Suy luận và đưa ra phương hướng giải quyết bài toán
3 Trình bày lời giải ngắn gọn, mạch lạc, rồ ràng
4 Tổng quát hóa, khái quát hóa dạng bài
Dựa vào kết quả khảo sát, ta thấy phần lớn học sinh phân tích được nhừng dừ kiện đề bài cho và yêu cầu cùa bài toán Học sinh đã suy luận được phương pháp giải của bài toán nhưng trình bày lời giải chưa được ngắn gọn, súc tích Đồng thời, có số ít học sinh tự tin khi khái quát hóa dạng bài.
Câu 3 Theo em, khi tư duy và lập luận lời giăi một bài toán, bước nào là quan trọng nhất?
Bảng 1.4: Bảng thống kê ý kiến của học sinh về bưó’c quan trọng khi tư duy và lập luận lời giải một bài toán
Nội dung Số lượng Tỉ lệ
Thực hiện được các thao tác tư duy như so sánh, phân tích, tống họp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch.
Chỉ ra được những chứng cứ, lí lè và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận 32 38%
Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức • • giải quyết vấn đề về phương diện toán học 4 5%
Dựa vào kết quả khảo sát, ta thấy đa số học sinh cho rằng thực hiện được các thao tác tư duy như so sánh, phân tích, tổng họp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch là bước quan trọng và cần thiết nhất khi giải quyết một bài toán Rõ ràng, trên thực tế, đế tư duy và trình bày được lời giải của một bài toán, học sinh cần phân tích, tổng họp những dữ kiện đề bài đã cho và yêu cầu của bài toán Sau đó, đưa ra những lập luận hợp lý, cần chọn đúng công cụ phù hợp như định nghĩa, định lí, tính chất, công thức đế đưa ra kết luận của bài toán.
1.3.3.2 Ket quả khảo sát đối với giáo viên
Thông qua phiếu khảo sát dành cho giáo viên (phụ lục 2), tôi đà tiến hành khảo sát 32 giáo viên của trường THCS Ngô Quyền, 20 giáo viên của trường THCS Bình Minh.
Sau khi thu phiếu, tôi đã tổng hợp và thu được kết quả như sau:
Câu 1 Trong quá trình giảng dạy, thầy (cô) sử dụng những phưong pháp dạy học nào và mức độ thường xuyên sử dụng các phương pháp đó như thế nào theo 4 mức độ dưới đây?
Bảng 1.5: Bảng thống kê các phưong pháp dạy học phổ biến tại cấp THCS Mức độ
Dạy học theo dự án 0% 1% 2% 2% 95%
Dạy học dựa trên vấn đề 8% 10% 12% 63% 7%
Giáo dục phổ thông 2018 hướng tới phát triển năng lực và phẩm chất cho người học Đồng thời, có thực trạng là khi dạy các bài toán chứng minh, học sinh hiểu được cách chứng minh bài toán (sau khi được giáo viên gợi ý hoặc hướng dẫn suy luận) nhưng không thể diễn đạt lại một cách trình tự, trình bày rõ ràng các lập luận vừa được tiếp nhận nếu được giáo viên yêu cầu trình bày lại cách chứng minh Và ngay cả khi đã diễn đạt lại được các suy luận đó thì các em vẫn không biết cách vận dụng sự thấu hiểu đó để trình bày lời giải bài toán Hầu hết các em (đặc biệt là học sinh có học lực trung bình - yếu) không biết phải trình bày lời giải như thể nào, phải bắt đầu từ đâu, cần ghi những gì để đạt được một lời giải đầy đủ, chính xác và họp logic Với những tình huống đó, đa số giáo viên sử dụng phương pháp truyền thống: vừa hướng dẫn học sinh suy luận thông qua hoạt động vấn đáp, vừa trình bày những lập luận đó trên bảng để học sinh sửa bài vào vở Do vậy, những học sinh trên ít có cơ hội rèn luyện kĩ năng diên đạt suy luận, một kĩ năng co anil hưởng rat lớn đến khả nãng trình bày bài toán chứng minh hình học, đặc biệt là các bài toán chứng minh cần có tính suy luận chặt chẽ Hệ quả là về sau, học sinh sẽ gặp rất nhiều khó khăn khi cần diễn đạt một ý tưởng, một suy luận đơn giản hoặc trình bày một vấn đề nào đó của mình cho người khác hiếu Khi đối mặt với một bài toán hình học tương đối khó hoặc phức tạp, tâm lí chung là các em chỉ vẽ hình và chờ đợi bài giải mẫu của thày cô hoặc cùa các bạn học gioi hơn hoặc khi đọc một bài toán hình học trong sách bài tập thì công việc đầu tiên là các em đọc bài giải phía sau quyển sách mà không chịu suy nghĩ, tìm tòi hay vận dụng khả năng tư duy của mình đề giải bài toán đó, dần dần thành thói quen ỷ lại người khác và thiếu tự tin về bản thân, dẫn đến tình trạng các em lười suy nghĩ, lười tư duy độc lập hơn.
Câu 3 Thầy (cô) hãy đánh giá mức độ năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh khá, giỏi lớp 6 khi học chuyên đề các số chính phương.
Trong chương này, tác giả đã trình bày vê năng lực nói chung, năng lực toán học và phát triền năng lực tư duy và lập luận toán học nói riêng Đồng thời trong chương 1 cũng nghiên cứu về cơ sở lí luận của phát triền năng lực tư duy và lập luận toán học trong dạy học chuyên đề số chính phương cho học sinh khá, giỏi lóp 6 Ngoài ra trong chương 1 tác giả còn nêu thực trạng cùa việc dạy và học chuyên đề số chính phương cho học sinh khá, giỏi lóp 6
Qua việc tìm hiểu lí luận và thực tiễn các vấn đề trên sẽ là cơ sở để xây dựng các biện pháp sư phạm ở chương 2.
MỌT SÓ BIỆN PHÁP PHÁT TRIÉN NĂNG Lực TƯ DUY VÀ LẬP LUẬN TOÁN HỌC CHO HỌC SINH KHÁ, GIỞI LỚP 6
Quy trình thiết kế tiến trình dạy học cho học sinh nhằm phát triển
tư duy và lập luận toán học
2.1.1 Lựa chọn bài toán phù hợp đối vói nôi dung dạy học Đe đảm bảo học sinh lĩnh hội kiến thức một cách hiệu quả, giáo viên cần có kế hoạch dạy học và lựa chọn bài toán phù hợp với mục tiêu bài học, năng lực cần phát triển cho học sinh Do đó, để phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh, giáo viên cần lựa chọn bài toán phù hợp với chuyên đề số chính phương, phù hợp với đối tượng là học sinh khá, giỏi của lớp 6, phát triển được các thao tác tư duy cho học sinh, đặc biệt là các bài toán thực tiễn Điều này giúp học sinh thực hiện được các thao tác tư duy như so sánh, phân tích, tống hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch.
2.1.2 Các bưởc dạy học nhằm phát triển tư duy và lập luận toán học cho học sinh
- Bước 1 Phân tích, tìm tòi lời giải bài toán.
Giáo viên nêu câu hỏi, dẫn dắt học sinh thông qua các câu hỏi đế tìm
“nút thắt” của lời giải bài toán Dữ kiện chính của bài toán là gì? Dữ kiện chính dẫn chúng ta đến điều gì? Thông qua các thao tác tư duy như phân tích, so sánh, tương tự hóa, quy lạ về quen, tống hợp, học sinh lập luận để dự đoán, phát hiện mối liên hệ giữa yếu tố đã biết và yếu tố phải tìm Bước này có nhiều cơ hội phát triển cho học sinh cả 3 thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học.
- Bước 2 Xây dựng cách giải bài toán.
Giáo viên cần đặt câu hỏi dẫn dắt, gợi mở các hướng giải khác nhau
Học sinh tư duy sáng tạo, tìm tòi các phương pháp, cách thức giải bài toán
Giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh kết hợp phương pháp giải khác nhau nhằm nhấn mạnh tính tích hợp trong giải toán Bước này có nhiềư cơ hội phát triển thành tố 1 và thành tố 2 của năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh.
Giáo viên có thể hỗ trợ vừa phải để học sinh trình bày liền mạch suy luận của mình, từ đó định hướng cho học sinh cách tư duy đúng đắn khi Cần suy luận Bởi vì, theo tư tưởng giúp đỡ học sinh của Polya (1995) thì: “Giúp đỡ học sình là một trong những nhiệm vụ quan trọng nhất mà người thầy nhất thiết phải làm Học sinh với sự nỗ lực của bản thân phải thu được càng nhiều càng tốt những kinh nghiệm độc lập công tác Nhưng nếu anh ta đang đứng trước một hài toán mà không có sự giúp đõ' nào, hay sự giúp đồ' quá ít, thì cũng không có tiến bộ gì được” [17, tr.57] Như vậy, trong quá trình trinh bày bài làm nếu học sinh đó dừng lại, nghĩa là học sinh đó đã quên một số bước trong quy trình lí luận nên không thể “đi tiếp” trong quá trình tìm lời giải, vì vậy giáo viên cần hỗ trợ để học sinh có thể “đi tiếp” bằng cách gợi ý lại cách suy luận về vấn đề mà học sinh đang gặp phải thông qua hoạt động vấn đáp đế học sinh tái hiện lại các bước tiếp theo trong quy trình giải Theo đó, các học sinh còn lại sẽ được quan sát lại và học hỏi một lần nữa cách diễn đạt suy luận chứng minh từ bạn mình Một số học sinh sẽ gặp khó khăn khi viết trình tự các luận cứ và luận chứng trong việc giải bài toán có suy luận chứng minh Do vậy, giáo viên cần kiên trì gợi ý từng ý nhỏ trong quy trình giải để giúp học sinh từ từ hoàn thành được cả bài giải, từ đó cải thiện được khả năng tư duy suy luận cùa các em.
Học sinh trình bày cách giải bài toán thông qua lập luận toán học và các phép toán Bước này có nhiều cơ hội phát triến cả 3 thành tố của năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh.
- Bước 4 Rút ra kết luận của bài toán.
Giáo viên hướng dẫn học sinh căn cứ vào lời giải bài toán đếrút ra kết luận của bài toán Bước này có nhiều cơ hội phát triển thành tố 2 của năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh.
- Bước 5 Phát triền bài toán.
Giáo viên hướng dẫn học sinh khai thác và phát triển bài toán, nghiên cứu sâu lời giải bài toán để đề xuất bài toán mới Bước này có nhiều cơ hội phần phát triển thành tố 3 của năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh.
Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh thông qua dạy học chuyên đề số chính phương cho học sinh khá,
giỏi lớp 6 2.2.7 Biện pháp 7 Thiết kế tình huống dạy học có vấn đề) gợi động cơ học tập cho học sinh
Gợi động cơ là một trong những khâu quan trọng của quá trình dạy học nhằm kích thích hứng thú học tập cho học sinh Gợi động cơ không phải là chỉ đơn thuần là việc vào bài, việc đặt vấn đề một cách hình thức mà phải giúp biến những mục tiêu sư phạm thành mục tiêu của cá nhân học sinh nhàm tạo ra động lực bên trong thúc đấy học sinh hoạt động Do đó, việc gợi động cơ có thế giúp học sinh có nhu cầu so sánh, phân tích, tống họp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự; quy nạp, diễn dịch thấy được ý nghĩa, sự cần thiết phải học khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp, bài tập đó.
Biện pháp khai thác khả năng gợi động cơ từ các tình huống trong thực tiễn nhằm tạo hứng thú cho học sinh so sánh, phân tích, tống họp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự; quy nạp, diền dịch Bên cạnh đó, kích hoạt và
31 thúc đẩy hoạt động toán học hóa tình huống thực tiễn ở học sinh, hoạt động này có tác dụng hình thành phẩm chất và phát triển năng lực toán học cho người học Hay biện pháp này góp phần bồi dưỡng thành tố 1 và 2 của năng lực tư duy và lập luận toán học. Đe gợi động cơ cho học sinh tiếp cận và có hứng thú với chủ đề số chính phương, giáo viên có thề thực hiện theo cách giao bài tập về nhà từ trước để học sinh tự tìm hiểu Bài tập về nhà có thể cho dưới dạng một đề kiểm tra gồm một số bài toán liên quan đến định nghĩa, tính chất cùa số chính phương ở mức độ dự đoán các tính chất, nhằm mục đích giúp học sinh nhận biết, liên tưởng và có một cách nhìn khái quát nhất về số chính phương Từ các bài toán đó, giáo viên sẽ tống kết lại các định nghĩa, tính chất của số chính phương trên lớp, điều này cũng có thể giúp học sinh nhớ các tính chất của số chính phương một cách dễ dàng hơn bằng cách chỉ cần nêu ra một số ví dụ cụ thể.
Ví dụ 1 (Tìm hiểu về định nghía của số chỉnh phương) Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh
Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là số chính phương Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không? Đe trả lời được bài toán này, học sinh bắt buộc phải tự tìm hiểu về định nghĩa của một số chính phương: “Số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên”.
Học sinh cũng có thể thực nghiệm bằng cách lấy hai mảnh bìa, và sau đó cầm mỗi mảnh lên và xé ra làm bốn mảnh Dễ dàng nhận được kết quả số mảnh bìa trong một số lần xé đầu tiên lần lượt là 8, 32, 128, 512, 2048, và các số này đều không phải là số chính phương Từ đó dự đoán kết quả của bài toán là cậu bé khồng thực hiện được mong muốn đó.
Giáo viên có thế định hướng cho học sinh cách giải bài toán này sau khi tìm hiểu xong các tính chất về số chính phương.
Ví dụ 2 (Tìm hiếu tỉnh chất về chữ số tận cùng của số chỉnh phương) Ta đã biết, một số nguyên bất kì luôn luôn có chữ số tận cùng là một trong 10 số tự nhiên đầu tiên 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Từ đó, em có thể rút ra nhận xét gì về chữ số tận cùng của một số chính phương.
Mỗi học sinh đều có thể tự đưa ra ví dụ cụ thể về các số nguyên có chừ số tận cùng là 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Sau đó bình phương chúng lên và nhận xét kết quả từ các số chính phương tìm được Cụ thể, ta có
Nói cách khác, chừ sô tận cùng của các sô chính phương cũng chính là chữ số tận cùng của bình phương các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Từ đó, ta có thể kết luận rằng số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1,4, 5, 6, 9 và không thể có chữ số tận cùng bàng 2, 3, 7, 8 Như vậy, để chứng minh một số không phải là số chính phương, ta có thế chỉ ra số đó có chữ số hàng đơn vị (hay chữ số tận cùng) là 2, 3, 7, 8 Giáo viên tổng kết lại thành tính chất 1 như sau để học sinh ghi nhớ và áp dụng trong dạng bài chứng minh một sổ không phải là số chính phương.
Tính chất 1 số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6,
9 và không thê có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
Ví dụ 3 (Tỉnh chất khi phân tích số chính phương ra thừa số nguyên tố) Cho các số chính phương sau đây 144, 1296, 15876 Em hãy phân tích các số đó ra thừa số nguyên tố Từ đó, em có nhận xét gì về số mũ của các thừa số nguyên tố vừa phân tích được.
Ví dụ 4 (Tính chất chia cho 3 và 4 của một số chính phương) Xét 10 số chính phương liên tiếp sau đây: 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144
Chia các số đó cho số 3 và 4, em có nhận xét gì về số dư của các phép chia này?
Học sinh có thế tự tìm ra số dư của các phép chia này và đưa ra nhận xét rằng khi thực hiện phép chia các số đà cho cho 3 và cho 4, ta chỉ nhận được hai trường hợp của số dư là 0 hoặc 1 Như vậy, giáo viên có thể tồng kết lại thành tính chất 3 như sau:
+ Một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thê dư 0 hoặc 1, không thể dư
2 Nói cách khác, số chính phương chỉ có thê có một trong hai dạng 3n hoặc
3n +1, không cỏ số chính phương nào có dạng 3n + 2 (với n G N/
+ Một số chỉnh phương khi chia cho 3 chỉ có thê dư 0 hoặc 1, không thê dư
2 và 3 Nói cách khác, số chính phương chỉ có thê có một trong hai dạng 4n hoặc 4n +1, không có số chỉnh phương nào cỏ dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (với n e N/
Việc chứng minh tính chất 3 sẽ dẫn đến bài toán sau đây và một số bài toán tương tự, giáo viên có thế đưa ra bài toán và định hướng cho học sinh cách làm.
Ví dụ 5 Chứng minh rằng: a) Một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1. b) Một số chính phương khi chia cho 4 chỉ có thể có số dư là 0 hoặc 1. c) Một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thế có số dư là 0 hoặc 1 hoặc 4. d) Một số chính phương lẻ khi chia cho 8 chỉ có số dư là 1.
Giáo viên có thế hướng dẫn, gợi mở cho học sinh cách chứng minh phần a), từ đó yêu cầu học sinh chứng minh tương tự đối với các phần tiếp theo của bài toán.
Lời giải và phân tích bài toán. a) Ta đà biết rằng, một số nguyên dương bất kì khi chia cho 3 chỉ có thể xảy ra ba trường hợp: dư 0, hoặc dư 1, hoặc dư 2 Ta xét từng trường hợp này.
Nếu số đó chia hết cho 3, thì sẽ có dạng y4 = 3Zr với k G N Khi đó,
Nếu số đó chia cho 3 dư 1, thì sẽ có dạng A = 3k +1 với k e N Khi đó, 42 =(3£ + l)2 =9Ẳ2+6£ + l = 3£(3£ + 2) + l D o 3£(3£ + 2) chia hết cho 3 nên A2 chia cho 3 dư 1.
Nếu số đó chia cho 3 dư 2, thì sẽ có dạng A = ĩk + 2 với k G N, khi đó
CHƯƠNG 3 THỤC NGHIỆM sư PHẠM
Mục đích của thực nghiệm SU’ phạm
Tố chức thực nghiệm sư phạm nhàm đáp ứng những mục tiêu sau:
- Kiểm nghiệm những lí luận và giả thuyết khoa học đã nêu ra.
- Xác định tính khả thi, hiệu quả của các biện pháp được đề xuất.
+ Các biện pháp nhằm phát triển nãng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh khá, giỏi lớp 6 có phù họp và khả thi hay không?
+ Tổ chức dạy học theo một số biện pháp được Luận vàn đề xuất có mang lại hiệu quả về dạy học và rèn luyện các kĩ nãng cho học sinh hay không?
Phương pháp thực nghiệm sư phạm
Chuẩn bị thực nghiệm: Thiết kế nội dung bài dạy thực nghiệm Tiến hành thực nghiệm:
+ Trình bày tiến trình thực nghiệm với Ban giám hiệu và tổ Toán tại trường chọn thực nghiệm Lựa chọn các giáo viên tham gia dạy thực nghiệm.
+ Tiến hành dạy thực nghiệm.
+ Thu thập kết quả thực nghiệm bằng phiếu tự đánh giá, bài kiểm tra.
+ Nhận xét, đánh giá kết quả thực nghiệm.
Kế hoạch và nội dung thực nghiệm sư phạm
3.3.1 Kế hoạch thực nghiệm sư phạm Đe thực nghiệm sư phạm vận dụng một số biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh khá, giỏi lóp 6 khi dạy học chuyên đề số chính phương, tác giả lựa chọn tổ chức thực nghiệm tại trường THCS Ngô Quyền - Hai Bà Trưng - Hà Nội.
Lớp thực nghiệm là lớp 6H, lớp đối chứng kết quả là lớp 6K. Được sự đồng ý cùa Ban giám hiệu trường THCS Ngô Quyền - quận Hai Bà Trưng - Hà Nội cho phép thực nghiệm sư phạm, kiểm nghiệm kết quả nghiên cứu, tác giả đà tìm hiếu học sinh và tình hình dạy học bộ môn Toán.
Tác giả chọn lớp thực nghiệm và lóp đôi chứng này là do khi thực hiện khảo sát nhằm đánh giá năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh khá, giỏi lóp 6 tại trường THCS Ngô Quyền thì kết quả cho thấy sĩ số hai lóp này tương đương nhau, đồng thời, kết quả học tập môn Toán trong nửa đầu kỳ I của năm học 2023 - 2024 là khá tương đồng nhau Dưới đây là kết quả thi giữa kỳ môn Toán của lớp thực nghiệm và lóp đối chứng:
Bảng 3.1 Kết quả thi giữa kỳ môn Toán của lớp 6H và 6K
Lớp Sĩ số Điểm số xt ự = 1,10)
6H 40 số học sinh đạt điểm
6K 41 Số học sinh đạt điểm xt
Thời gian tổ chức thực nghiệm là từ tháng 10/2023 đến tháng 11/2023, tổng số tiết thực nghiệm là 5 tiết.
Lớp thực nghiệm 6H do cô giáo Nguyễn Thị Nguyệt Anh dạy, áp dụng các biện pháp đã đề xuất ở chương 2.
Lóp đối chứng 6K do cô giáo Vũ Thị Lan dạy, áp dụng các phương pháp dạy học truyền thống.
Khi tác giả trình bày đề xuất dạy học thực nghiệm tại lóp 6H và 6K, tác giả nhận được sự đồng ý và ùng hộ nhiệt tình của Ban giám hiệu và tập thể giáo viên tổ Toán của trường THCS Ngô Quyền Đồng thời, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình tổ chức thực nghiệm Do đó, việc tổ chức thực nghiệm diễn tra theo đúng như kế hoạch thực nghiệm đã đề ra.
Nội dung thực nghiệm SU’ phạm
Căn cứ vào nội dung của chuyên đề số chính phương, các thành tố, biểu hiện của năng lực tư duy và lập luận toán học, các biện pháp đã được đề xuất
61 ở chương 2 Tuy nhiên, tác giả chỉ tập trung vào dạng bài chứng minh một biếu thức là số chính phương hoặc không phải số chính phương, tìm giá trị của biển để giá trị của biểu thức là một số chính phương, tìm số chính phương thoa mãn điều kiện cho trước.
Tiến trình thực nghiệm SU’ phạm
MỤC TIÊU 1 Kiến thức
Sau khi học xong bài này HS sẽ:
- Nêu được khái niệm về số chính phương.
- Phát biểu được các tính chất và hệ quả về số chính phương.
- Vận dụng khái niệm, tính chất và hệ quả của số chính phương để giải quyết một số bài toán (chứng minh được một số là số chính phương, hoặc không là số chính phương, tìm chừ số tận cùng của tìm được giá trị của biến để giá trị biểu thức là một số chính phương, tìm số chính phương thỏa mãn những điều kiện cho trước, tìm chữ số tận cùng của một lũy thừa hoặc kết quả cùa một biểu thức, )
2 Năng lực a Năng lực chung
- Năng lực tự chủ và tự học: đọc, chuẩn bị bài mới khi tới lóp;
- Năng lực giải quyết vấn đề: thực hiện được các bài tập trong phiếu bài tập và các đề thi.
- Năng lực giao tiếp và họp tác: tự tin trong hoạt động nhóm, báo cáo, thảo luận, đánh giá kết quả trình bày của nhóm bạn. b Năng lực đặc thù
- Năng lực giải quyết vấn đề toán học: phát hiện được các vấn đề cần giải quyết; biến đổi biểu thức về dạng bình phương cùa một tổng hoặc một hiệu để chứng minh là số chính phương.
- Năng lực tư duy và lập luận toán học: thực hiện được các thao tác: thực hiện được việc lập luận hợp lý khi biến đổi biểu thức về dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu đề chứng minh là số chính phương hoặc đưa về bình phương cùa một số đề tìm được chừ số tận cùng, biết khái quát hóa, tương tự hóa khi giải các bài toán cùng dạng.
- Năng lực giao tiếp toán học: nghe hiểu, đọc hiểu, ghi chép được kiến thức về số chính phương dạng văn bản hoặc thông qua cô giáo và các bạn nói Trình bày, diễn đạt, thảo luận các nội dung và thế hiện sự tự tin khi trình bày, diễn đạt nội dung này.
- Chăm chỉ: thực hiện đầy đủ các nhiệm vụ được giao khi tìm hiểu về số chính phương.
- Trách nhiệm: góp phần xây dựng bài nhóm,
- Trung thực: trung thực khi đánh giá phần trình bày và thái độ làm việc nhóm của nhóm bạn.
CHUẨN BỊ
- Sách giáo khoa, phiếu học tập, bảng phụ, nam châm, bút dạ, thước kẻ, các phong bì đựng đề thi
- Vở ghi, compa, thước kẻ,
- Ôn tập khái niệm số chính phương.
- Tìm hiểu, đọc trước về số chính phương trước khi tới lớp.
TIẾN TRÌNH DẠY HỌC A Tổ chức lóp (1 phút)
- Ôn định tổ chức - Kiểm tra sĩ số
NỘI DUNG DẠY HỌC
Hoạt động 1 HOẠT ĐỘNG KHỞI ĐỘNG a Mục tiêu
- Gây hứng thú và gợi động cơ học tập cho HS.
- Nhắc lại khái niệm về số chính phương.
- Nhớ được 11 số chính phương đầu tiên (các lũy thừa bậc hai của 11 số đầu tiên). b Nội dung: HS chú ý lắng nghe và thực hiện yêu cầu. c Sản phẩm: Từ bài toán HS vận dụng kiến thức để trả lời câu hỏi GV đưa ra. d Tổ chức thực hiện - Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
+ GV đặt vấn đề qua bài toán: “Lúc đầu có hai mảnh bìa, một cậu bé tinh nghịch cứ cầm một mảnh bìa lên lại xé ra làm bốn mảnh Cậu ta mong rằng cứ làm như vậy đến một lúc nào đó sẽ được số mảnh bìa là số chính phương
Cậu ta có thực hiện được mong muốn đó không?”.
+ GV cho HS thực hành trên hai mảnh bìa cho sẵn.
- Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: e • • •
+ HS suy nghĩ, thảo luận nhóm và suy đoán, giải thích.
+ HS thực hành xé theo hướng dẫn của GV: Học sinh cũng có thể thực nghiệm bằng cách lấy hai mảnh bìa, và sau đó cầm mồi mảnh lên và xé ra làm bốn mảnh Dễ dàng nhận được kết quả số mảnh bìa trong một số lần xé đầu tiên lần lượt là 8, 32, 128, 512, 2048, và các số này đều không phải là số chính phương Từ đó dự đoán kết quả của bài toán là cậu bé không thực hiện được mong muốn đó.
- Bước 3: Báo cáo, thảo luận: GV gọi một số HS trả lời, HS khác nhận xét.
- Bước 4: Kêt luận, nhận định: GV đánh giá kêt quả của HS, trên cơ sở đó nêu lại khái niệm số chính phương, đọc được 11 số chính phương đầu tiên và dẫn dắt HS vào bài học mới.
+ Khái niệm số chính phương: số chính phương là bình phương đúng của một số nguyên.
+ 11 số chính phương đầu tiên là: 0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100.
Hoạt động 2 HÌNH THÀNH KIẾN THỨC MỚI Hoạt động 2.1 Tìm hiểu tính chất về chữ số tận cùng của số chính phương a Mục tiêu
+ Nhận biết được tính chất về chữ số tận cùng của số chính phương.
+ Vận dụng dấu hiệu về chữ số tận cùng để kiểm tra số nào là số chính phương, số nào không phải là số chính phương. b Nội dung: HS thực hiện theo hướng dẫn của GV. c Sản phấm: HS hoàn thành tìm hiểu kiến thức và làm được các bài tập ví dụ và luyện tập. d Tổ chức thực hiện
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS
- Bước 1: Chuyển giao nhiệm vụ:
+ GV yêu cầu HS thực hiện lần lượt các
HĐ1: Ta đã biết, một số nguyên bất kì luôn luôn có chữ số tận cùng là một trong 10 số tự nhiên đầu tiên 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Từ đó, em có thể rút ra nhận xét
> Ạ _ 1 _ Ạ 4 * A _ _ Ạ 1 A 1 gi vê chư sô tận cùng cua một sô chính phương?
SẢN PHẨM DỤ KIẾN 1 Chữ số tận cùng của số chính phương
+ GV tô chức chia lớp thành 4 nhóm cho HS thực hiện HĐ1 bằng cách yêu cầu từng nhóm đưa ra ví dụ cụ thề về các số nguyên có chữ số tận cùng là 0, 1, 2, 3, 4,
5, 6, 7, 8, 9 Sau đó bình phương chúng lên và nhận xét kết quả từ các số chính phương tìm được.
+ Yêu cầu các nhóm điền các chữ số tận cùng tươn ứng.
+ GV yêu cầu 2 HS lên bảng trình bày các kết quả điền được lên bảng.
+ GV cho HS nhận xét và đưa ra kết luận.
+ GV yêu cầu HS nhắc lại tính chất về chữ số tận cùng của số chính phương Từ đó chỉ ra dấu hiệu về chữ số tận cùng của số chính phương.
+ GV phân tích và chữa mẫu cho HS Ví dụ 1.
+ GV yêu cầu HS tự làm VD2 và gọi hai
HS lên bảng trình bày lời giải.
+ GV đưa ra kết luận và chuẩn hóa bài làm của HS.
- Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ:
+ HS chú ý lắng nghe, tìm hiểu nội thông qua việc thực hiện yêu cầu của GV
+ GV: quan sát và trợ giúp HS.
4- SÔ chính phương chỉ có thê có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 và không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8.
Vi dụ 1 Cho = 11 +112 +113 B có phải là số chính phương không, vì sao?
=>/? có chữ số tận cùng là 3 nên
B không phải là số chính phương.
D - 100!+ 7 Số nào là số chính phương, vì sao?
+ Ta có 10l0 + 8 có chữ số tận cùng là 8 nên không phải là số chính phương.
+ Ta có 100!+7 có chữ số tận cùng là 7 nên không phải là số chính phương.
- Bưó’c 3: Báo cáo, thảo luận:
+HS: Chú ý, thảo luận và phát biểu, nhận xét và bồ sung cho nhau.
- Bước 4: Kết luận, nhận định: GV chính xác hóa và gọi 1 học sinh nhắc lại nội dung chính: Dấu hiệu chừ số tận cùng của số chính phương.
Hoạt động 2.2 Tính chât khi phân tích sô chính phưong ra thừa sô nguyên tố a Mục tiêu
+ Phát biểu được tính chất khi phân tích số chính phương ra thừa số nguyên tố.
+ Áp dụng tính chất vào làm một số bài tập liên quan. b Nội dung: HS theo dõi và thực hiện theo yêu cầu của GV. c Sản phẩm: HS hoàn thành tìm hiểu kiến thức và làm được các bài tập ví dụ và luyện tập. d Tổ chức thực hiện:
HOẠT ĐỘNG CỦA GV VÀ HS SẢN PHÁM DỤ’ KIÊN - Bước 1: Chuyển giao nhỉệm vụ: •
+ GV cho các số chính phương sau đây 144, 1296, 15876.
+ GV yêu cầu hãy phân tích các số đó ra thừa số nguyên tố Từ đó, em có nhận xét gì về số mũ của các thừa số nguyên tố vừa
2 Tính chất khi phân tích số chính phương ra thùa số nguyên tố
144 = 24.32; 1296 = 24.34; 15876 = 22.34.72 - Các thừa số nguyên tố của các số phân tích ở trên chỉ mang số mũ chẵn, không mang số mũ lẻ.
Tính chất Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các
+ GV cho HS trao đổi, thảo luận và đưa ra đáp án.
+ GV cho HS rút ra nhận xét.
+ GV nhận xét, chuẩn hóa câu trả lời của HS và rút ra kết luận về tính chất của số chính phương khi phân tích ra thừa số nguyên tố.
+ GV yêu cầu HS suy nghĩ và rút ra hệ quả của tính chất đối với các phép chia hết.
+ GV yêu cầu HS tự làm Ví dụ 3 và yêu cầu ba HS lên bảng trình bày lời giải.
+ GV kết luận tính đúng sai của lời giải đó.
- Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: • • • ♦
+ HS chú ý lắng nghe, tìm hiểu nội thông qua việc thực hiện yêu cầu của GV.
+ GV: quan sát và trợ giúp HS.
- Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
+HS: Chú ý, thảo luận và phát biểu, nhận xét và bổ sung cho nhau.
- Bước 4: Kết luận, nhận định:
GV chính xác hóa, tống quát hóa thừa sô nguyên tô với mũ chằn, không chứa thừa số nguyên tố với mũ lẻ.
Từ tinh chất đó, ta có:
+ số chỉnh phương chia hết cho 2 thì phải chìa hết cho 4.
+ Số chỉnh phương chia hết cho 3 thì phải chia hết cho 9.
+ Sổ chính phương chia hết cho 5 thì phải chia hết cho 25.
+ Số chinh phương chia hết cho 8 thì phải chia hết cho 16.
+ Tích của các số chỉnh phương là một số chính phương.
+ Với A là số chính phương và A = a.b, nếu a là số chính phương thì b cũng là số chính phương.
Tổng quát Nếu số chính phương A chia hết cho p2k+x thì A chia hết cho p2k+2
(với p là số nguyên tố và k e N/
Vỉ dụ 3 Các số sau cỏ phải là số chỉnh phương không? Vì sao? £ = 1010+5; F = 1O100 + 1O50 +1;
+ Ta có 101(’ + 5 có cặp chữ số tận cùng là 05 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25 nên không phải là số chính phương.
68 và gọi 1 học sinh nhăc lại nội dung chính: Tính chất của số chính phương khi phân tích ra thừa số nguyên tố.
+ Ta có lOloo+lO3 * 5° + l có tổng các chữ số là 3 chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 nên không phải là số chính phương.
3 Tính chất chia cho 3 và 4 của một số chính phương Tính chất: Tính chất chia cho 3.
+ Một sô chính phương khi chìa cho 3 chỉ có thê dư 0 hoặc 1, không thê dư 2 Nói cách khác, sô chính phương chỉ có thẻ có một trong hai dạng 3n
+ Ta có số 2004000 có tận cùng là ba chữ số 0.
=> G không tận cùng là chằn lần chữ số
G không là số chính phương.
Hoạt động 2.3 Tính chất chia cho 3 và 4 của một số chính phương a Mục tiêu
- Phát biểu được tính chất khi chia cho 3 và 4 của một số chính phương.
- Tổng quát hóa tính chất chia hết, chia có dư của một số chính phương.
- Áp dụng tính chất vào một số bài tập liên quan. b Nội dung HS theo doi va thực hiẹn theo yeu cau cua C j V. c Sản phấm HS hoàn thành tìm hiểu kiến thức và làm được các bài tập ví dụ và luyện tập. d Tổ chức thực hiện
- Bước 1: Chuyên giao nhiệm vụ:
+ GV cho 10 số chính phương liên tiếp sau đây: 4, 9, 16, 25, 36, 49,
+ GV yêu câu HS chia các số đó cho số 3 và 4 và nêu nhận xét về số dư của các phép chia này.
+ GV cho HS trao đổi, thảo luận và đưa ra đáp án.
+ GV cho HS rút ra nhận xét.
+ GV nhận xét, chuẩn hóa câu trả lời của HS và rút ra kết luận về tính chất của số chính phương khi chia cho 3 và 4.
+ GV yêu cầu HS tự làm Ví dụ 4 và yêu cầu ba
HS lên bảng trình bày lời giải.
+ GV kết luận tính đúng sai của lời giải đó.
- Bước 2: Thực hiện nhiệm vụ: • •
+ HS chú ý láng nghe, tìm hiếu nội thông qua việc thực hiện yêu cầu của GV. hoặc 3/7 + 1, không có sô chính phương nào cỏ dạng 3/7 + 2 (với n G N/
+ Một số chính phương khi chia cho 3 chỉ có thế dư 0 hoặc 1, không thê dư 2 và 3 Nói cách khác, số chỉnh phương chỉ củ thê có một trong hai dạng
4/7 hoặc 4/7 +1, không có số chính phương nào có dạng 4/7 + 2 hoặc 4/7 + 3 (với n G N/
Ví dụ 4 Chứng minh rằng: a) Một số chính phương khỉ chia cho 3 chỉ cỏ thê có số dư là 0 hoặc 1. h) Một số chỉnh phương khi chia cho 4 chỉ có thê có số dư là 0 hoặc ỉ. c) Một số chính phương khi chia cho 5 chỉ có thê cỏ số dư là 0 hoặc ỉ hoặc 4. d) Một số chính phương lẻ khỉ chia cho 8 chỉ có số dư là 1.
Lời giai a) Ta đã biết rằng, một số nguyên dương bất kì khi chia cho 3 chỉ có thế xảy ra ba trường họp: dư 0, hoặc dư 1, hoặc dư 2 Ta xét từng trường họp này
Nếu số đó chia hết cho 3, thì sẽ có dạng A = 3k với k G N Khi đó, A2 = (3£)2 = 9k2 chia hết cho 3
Nếu số đó chia cho 3 dư 1, thì sẽ có dạng
+ GV: quan sát và trợ giúp HS.
- Bước 3: Báo cáo, thảo luận:
+HS: Chú ý, thảo luận và phát biểu, nhận xét và bổ sung cho nhau.
Cho m +1 và 2m +1 (với m e N) đồng thời là hai số chính phương
Chứng minh ràng m chia hết cho 24.
Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2/? + l và 3/? + l đều là các số
Tìm số chính phương có bốn chữ số, biết rằng hai chữ số đầu giống
nhau và hai chữ số cuối giống nhau.
Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mồi chữ số
của A một đơn vị thì ta được số B cũng là số chính phương Tìm hai số A và
Tìm số có hai chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của
tổng các chữ số của nó.
Tìm số chính phương mà nó bằng bình phương của một số có hai chừ
số và bàng lập phương của tổng hai chừ số của số có hai chừ số đó.
Tìm một số chính phương biết nó bàng tổng của một số có hai chữ số
với số gồm hai chữ số đó viết theo thứ tự ngược lại.
Tìm một số chính phương có 4 chừ số là số là một lập phương của
Trích đề thi vào 10 chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa năm học 2012 -
2013} Tìm số nguyên dương n sao cho —- là số chính phương.
Trích đê thỉ vào 10 chuyên Phan Bôi Châu - Nghệ An năm học 2010
KÉ HOẠCH ĐÁNH GIÁ
+ Sự tích cực chủ động của HS trong quá trình tham gia các hoạt động học tập.
+ Sự hứng thú, tự tin, trách nhiệm cùa HS khi tham gia các hoạt động học tập cá nhân.
+ Thực hiện các nhiệm • • • vụ họp tác nhóm (rèn luyện theo nhóm, hoạt
+ GV quan sát qua quá trình học tập: chuẩn bị bài, tham gia vào bài học (ghi chép, phát biểu ý kiến, thuyết trình, tương tác với GV, với các bạn,
+ GV quan sát hành động cũng như thái độ, cảm xúc của đánh giá
-Báo cáo thực hiện công việc
- Hệ thống câu hởi và bài tập
3.3.2 Nội dung kiêm tra đánh giá
Sau khi tiến hành dạy thực nghiệm và dạy đối chứng 2 tiết, tác giả tiến hành lấy kết quả nhận xét đánh giá giờ dạy, xin ý kiến từ các giáo viên dự giờ Đồng thời tiến hành kiếm tra học sinh hai lớp thực nghiệm và lớp đối chứng hai bài kiểm tra đánh giá hiệu quả cùa các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh qua dạy học chủ đề các số chính phương Dưới đây là nội dung bài kiểm tra: ĐÈ KIỂM TRA SAƯ THỤC NGHIỆM
Thời gian làm bài: 45 phút
Chứng minh ràng TÍ không phải là số chính phương.
Câu 2 (2,5 điểm) Cho tổng M = 1 + 3 + 5 + + (2 h -1) (với n e N,z? 0)
Chứng tỏ M là một số chính phương.
Câu 3 (2,5 điểm) Tìm n để rí + 2006 là một số chính phương.
Câu 4 (3 điểm) Cho A = 1O2012 + 1O2011 + 1O2010 + 1O2009 + 8 a Chứng minh A chia hết cho 24. b Chứng minh A không là số chính phương.
Câu Đáp án Biểu điểm
Ta có các số : 1O2°12;1O2"";1O2,"O;1O201’9 đều có chừ số tận cùng là 0.
Suy ra A = 1O2012 + IO20" + IO2010 + 1O2009 + 8 cỏ chữ số tận cùng là 8.
Vậy A không phải là số chính phương (Vì số chính phương có chữ số tận cùng là 1;4;5;6;9 ).
2 Xét dãy số trong tổng M, từ 1 đến 2n -1 có 1
Vi M = n2 nên M là một số chính phương.
Giả sử n~ +2006 là số chính phương Đặt a2 = n2 + 2006 (a G Z)
+) Nếu a,n khác tính chẵn lẻ thi vế trái cùa (*) là số lẻ nên không thỏa mãn (*)
+) Nếu a, n cùng tính chẵn lẻ a-n 2
Mà vế phải của (*) là 2006 không chia hết cho 4
Vậy không tồn tại n đề n2 + 2006 là một số chính phương
Ta lại có 102012,102011,102010,102009 có tổng các chữ số bằng 1 nên khi chial02012,1020I1,10201°,102009 cho 3 đều dư 1.
Vậy A chia 3 có số dư là dư của phép chia
Hay dư của phép chia 6 chia cho 3 (có sô dư băng 0)
Vì 8 và 3 là hai số nguyên tố nguyên cùng nhau, A':3,
A':8 nên ^:24 b) Ta có 102012,102011,102010,102009 có chữ số tận cùng là 0 nên:
A = ÍO2012 + IO2011 + 1O2010 + 1O2009 + 8 có chữ số tận cùng là 8
Vậy A không là số chính phương vì số chí nil phương có tận cùng là 1; 4; 5; 6; 9
3.4 Phân tích và đánh giá kêt quả thực nghiệm sư phạm
Việc đánh giá định lượng dựa vào kết quả khảo sát về năng lực tư duy và lập luận cùa học sinh lóp thực nghiệm 6H trước và sau khi thực nghiệm, đồng thời dựa vào kiểm tra của học sinh trong quá trình thực nghiệm tại các lớp thực nghiệm 6H và lớp đối chứng 6K để kiếm tra tính khả thi và hiệu quả của đề tài nghiên cứu.
Bảng 3.2 Bảng kết quả khảo sát về năng lực tư duy và lập luận của học sinh lớp thực nghiệm 6H trước và sau khi thực nghiệm
Trước khi thực nghiệm Sau khi thực nghiệm
1 Phân tích, xác định được những dữ kiện đề bài cho, yêu cầu của bài toán
2 Suy luận và đưa ra phương hướng giải quyết bài toán
3 Trình bày lời giải ngắn gọn, mạch lạc, rõ ràng
4 Tổng quát hóa, khái quát hóa dạng bài
Bảng 3.3 Bảng kết quả khảo sát của học sinh lớp thực nghiệm 6H thông qua dạy học chuyên đề số chính phương của cô giáo Nguyễn Thị
1 Phân tích, xác định được những dừ kiện đề bài cho, yêu cầu của bài toán
2 Suy luận và đưa ra phương hướng giải quyết bài toán
3 Trình bày lời giải ngăn gọn, mạch lạc, rõ ràng
4 Tổng quát hóa, khái quát hóa dạng bài
Bảng 3.4 Bảng kêt quả khảo sát của học sinh lớp đôi chúng 6K thông qua dạy học chuyên đề số chính phương của cô giáo Vũ Thị Lan
1 Phân tích, xác định được những dữ kiện đê bài cho, yêu câu cùa bài toán
2 Suy luận và đưa ra phương hướng giải quyết bài toán
3 Trình bày lời giải ngắn gọn, mạch lạc, rõ ràng
4 Tổng quát hóa, khái quát hóa dạng bài
Từ bảng kết quả trên cho thấy, đại đa số học sinh lóp thực nghiệm 6H tham gia khảo sát đều tự cảm nhận về sự tiến bộ và phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học Có tới 52,5% học sinh được hỏi cảm thấy mình tăng khả năng suy luận và đưa ra phương hướng giải quyết tốt và 62,5% học sinh thấy mình trình bày lời giải ngắn gọn, rõ ràng, tăng 15% so với trước khi học chuyên đề số chính phương Học sinh tự tin khả năng tông quát hóa, khái quát hóa dạng bài của học sinh tốt tăng từ 22,5% lên 42,5% so với trước khi thực nghiệm Tuy nhiên, vẫn còn tình trạng học sinh chưa phát huy được sự sáng tạo đế tìm ra những hướng giải mới, tống quát hóa và khái quát hóa
79 dạng bài Đây cũng chính là một vấn đề lớn mà giáo viên cần chú trọng nhằm nâng cao khả năng tư duy và lập luận của học sinh.
Ngoài ra, kết quả thu được sau các bài kiểm tra cùa lớp thực nghiệm 6H và lóp đối chứng 6K cùng tham gia thực hiện bài kiểm tra với nội dung thuộc phạm vi chuyên đề số chính phương và cho kết quả cụ thể như sau:
Bảng 3.5 Bảng kết quả bài kiểm tra sau khi thực nghiêm r 9 r A
Kết quả bài kiểm tra
Số bài học sinh đạt điểm Xi
Theo như kêt quả tông hợp trên cho thây bước đâu cùa việc thực nghiệm đã cho kết quả khả quan, điếm trung bình của lóp thực nghiệm có sự tiến bộ rõ rệt Tuy nhiên để khẳng định được về tính hiệu quả của phương pháp một cách chính xác thì cần có sự xử lý số liệu thống kê để đưa ra kết luận.
Tác giả sử dụng phần mềm phân tích thống kê SPSS 16.0 để kiểm định kết quả định lượng nhằm đưa ra đánh giá chính xác về hiệu quả đạt được của tiến trình thực nghiệm Dưới đây là kết quả sau khi xử lý số liệu:
Băng 3.6 Bảng phân phôi tân suât các bài kiêm tra
Kết quả bàỉ kiểm tra r rỉ lệ % học sinh đạt điểm Xi
Bảng 3 7 Băng so sánh các thông sô thông kê
Các thông số thống kê số mẫu Điểm thấp nhất Điểm cao nhất
Mode Điểm trung bình Độ lệch chuẩn
Từ kết quả trên cho thấy, kết quả của các bài kiếm tra giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng có sự khác biệt rõ rệt Điểm trung bình của lóp thực nghiệm là 7,5 cao hơn rõ rệt so với lớp đối chứng là 6,65 Tỉ lệ học sinh đạt điềm khá gioi cùa lớp thục nghiệm cao hơn đáng kể so với lớp đối chứng; ở lớp thực nghiệm, tỉ lệ học sinh đạt điểm 10 là 5,0%, điểm 9 là 20,0%; trong khi tỉ lệ này ở lớp đối chứng theo thứ tự là 2,46% và 12,19% Tương tự, tỉ lệ học sinh đạt điếm 7-8 của lớp thực nghiệm là 55%, trong khi ở lớp đối chứng tỉ lệ này chỉ đạt 36,59% Ngược lại, ở lớp đối chứng tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình và yếu lại cao hơn đáng kể so với lớp thực nghiệm Ờ lớp đối chứng, tỉ lệ học sinh đạt điếm 5-6 là 41,46%, trong khi tỉ lệ này ở nhóm thực nghiệm chỉ có 20% Đặc biệt ở nhóm đối chứng, số học sinh dưới 4 chiếm tỉ lệ 7,31%; trong khi ở lóp thực nghiệm không có học sinh nào dưới điểm 5
Mức độ phân hóa điểm cụ thể được thể hiện qua biểu đồ 3.1, bảng 3.8 và biểu đồ 3.2 như sau:
■ Lớp thực nghiệm ■ Lớp đối chứng
Biểu đồ 3 ỉ Phân phối tần suất điểm các bài kiểm tra
Bảng 3.8 Bảngphãn hóa mức độ điêm các bài kiêm tra
MÚC độ điểm Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng
Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng
■ Dưới TB (0-4,0) ■ Trung bình (5,0-6,0) ■ Khá (7,0-8,0) ■ Giỏi (9,0-10)
Biêu đô 3.2 Phãn hóa học sinh vê mức độ diêm các bài kiêm tra
Tuy nhiên, để kiểm chứng sự sai khác về điểm trung bình của các bài kiếm tra là do ngẫu nhiên hay do tác động của thực nghiệm đem lại, tác giả sử dụng phép kiểm chứng T-test theo cặp Kết quả được trình bày trong bảng
Bảng 3.9 Kiểm định sự sai khác về điểm trung hình giữa các bài kiểm tra
Cặp Sai khác trung bình Sig.
Kết quả trên cho thấy sự sai khác về điểm trung bình giữa hai bài kiểm tra tương ứng với giai đoạn trước và sau khi thực nghiệm ở lớp đối chứng và lớp thực nghiệm, các giá trị Sig đều nhở hơn 0,05 có ý nghĩa về mặt thống kê Điều này khắng định sự tiến bộ của học sinh ở lớp thực nghiệm là do thực nghiệm đem lại, qua đó có thể kết luận việc áp dụng các biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh là có hiệu quả và khả thi.
Như vậy, từ những kết quả trên cho thấy kết quả dạy học sau khi áp dụng một số biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận có kết quả cao hơn trước khi thực nghiệm.
Trong suốt quá trình thực nghiệm, nghiên cứu, tác giả đã tập trung quan sát học sinh của lớp thực nghiệm 6H, về cơ bản tác giả đã quan sát được các mặt đạt được và những mặt còn hạn chế của một số biện pháp nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học của học sinh khi dạy chuyên đề số chính phương như sau:
- Kêt quả học tập cùa học sinh lớp thực nghiệm 6H có tiên bộ khá rõ ràng.
- Khả năng khái quát hóa, tổng quát hóa dạng bài của học sinh tốt hơn.
- Bước đầu thực hiện, học sinh vẫn quen với tư duy lối mòn, chưa chịu suy nghĩ thêm nhiều cách giải mới Tuy nhiên, sau khi vận dụng hợp lý các biện pháp trên, đa số học sinh đã tích cực hơn.
> Nhược điểm - Một số học sinh vẫn còn phân tâm, chưa tập tmng trong giờ học.
- Học sinh còn ngại tìm tòi, sáng tạo ra bài toán mới dựa trên những kiến thức sẵn có.
Kết luận chương 3 Để kiểm định tính đúng đắn của giả thuyết khoa học của đề tài, nghiên cứu đã tiến hành thực nghiệm trên 2 lớp của trường THCS Ngô Quyền, Hà Nội Tác giả đã áp dụng các biện pháp đề xuất ở chương 2 xuyên suốt thời gian thực nghiệm nhằm phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh khá, giỏi lớp 6 thông qua dạy học chuyên đề số chính phương.
Kết quả thực nghiệm cho thấy những biện pháp đó vừa phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh, vừa giúp học sinh tiếp thu tốt kiến thức về số chính phương Do đó, các biện pháp đã đề xuất có tính khả thi, có hiệu quả nâng cao chất lượng giáo dục.
KÉT LUẬN CHUNG VÀ KIÉN NGHỊ
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Bernd Meier, Nguyễn Văn Cường (2005), “Phát triển năng lực thông qua phương pháp và phương tiện dạy học mới”, Tài liệu hội thảo tập huấn, Dự án phát triển giáo dục THPT, Hà Nội.
[2] Hoàng Hòa Bình (2016), Năng lực và đánh giá theo năng lực Tạp chí
Khoa học, Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh, số 6(71) năm 2015.
[3] Vũ Hữu Bình (2012), Nâng cao và phát triển Toán 6 (tập ỉ, 2), NXB
[4] Nguyễn Lăng Bình, Dạy và học tích cực, NXB Đại học sư phạm.
[5] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình tổng thể.
[6] Bộ Giáo dục và Đào tạo (2018), Chương trình môn Toán học.
[7] Phạm Văn Đức, Nguyễn Văn Tài, Nguyễn Anh Tuấn (2023), Hỏi đáp
Môn Triết học Mác - Lênin, NXB Chính trị quốc gia sự thật Bùi Văn
Huệ (2000), Giáo trình tâm lí học NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[8] Nguyễn Thanh Hưng (2019), Rèn luyện thao tác tư duy cho học sinh trong dạy học chương “Tứ giác ” (Toán 8) ở trường trung học cơ sở Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt tháng 4.
[9] IU Xviregiev (1988), Các mô hình Toán học trong sinh thái học Toán học trong hệ sinh thải, NXB Khoa học và Kĩ thuật.
[10] Hà Huy Khoái và cộng sự (2021), Sách giáo khoa Toán 6 (tập ỉ, 2) bộ
Kết nối tri thức, NXB Giáo dục Việt Nam.
[11] Nguyễn Bá Kim (2006), Phương pháp dạy học môn Toán, Nhà xuất bản Đại Học Sư Phạm.
[12] Nguyễn Văn Lộc (1995), Hình thành kĩ năng lập luận có căn cứ cho học sinh các lớp đầu cấp phổ thông cơ sở Việt Nam thông qua dạy học hình học, Luận án Tiến sĩ Giáo dục học, Trường Đại học Vinh.
[13] Trần Luận (2011), về Cấu trúc năng lực toán học của học sinh Kỉ yếu
Hội thảo Quốc gia về Giáo dục toán học ở trường phố thông, NXB Giáo dục.
Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Đặng Hùng Thắng, Đặng Huy Ruận (2008), Một số vấn đề số học chọn lọc, NXB Giáo dục.
M.N Sacđacov (1970), Tư duy của học sinh, NXB Giáo dục, Hà Nội.
Hoàng Phê (2022), Từ điển tiếng Việt NXB Đà Nằng.
Polya G (1995), Giải một bài toán như thế nào, NXB Giáo dục Hà Nội.
Polya G (1997), Sáng tạo toán học (bản dịch), NXB Giáo dục Hà Nội.
Polya G (1997), Toán học và những suy luận cỏ lý, NXB Giáo dục Hà
Trần Mạnh Sang, Nguyễn Văn Thái Bình (2020), Một số biện pháp phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh chuyên toán trung học phô thông trong dạy học chủ đề “Phương phảp đếm nâng cao Tạp chí Giáo dục, số đặc biệt kì 1 tháng 5/2020, tr 111-116. Đồ Đức Thái (2017), Xác định năng lực Toán học trong chương trình giảo dục phô thông mới Tạp chí Khoa học Giáo dục, số 146, tháng 11 năm 2017. Đồ Đức Thái và cộng sự (2018), Dạy học phát triển năng lực môn Toán trung học cơ sở, NXB Đại học Sư phạm.
Vũ Văn Thiệu (2022), Các chuyên đề Toán học THPT Chuyên, Viện
Nguyễn Văn Thuận, Nguyễn Thị Mỹ Hằng, Nguyễn Thị Xoan (2023),
Phát triển năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh trong dạy học chủ đề “Đại số tô hợp ” ở Trung học phô thông Tạp chí Giáo dục,
Lê Đình Trung, Dạy học theo định hướng hình thành và phát triển năng lực người học ở trường phô thông, NXB Đại học sư phạm.
[26] Blum, w & Leip, D (2006), Kuenzi, J.J., Science, technology, engineering, and mathematics (STEM) education: Background, federal policy, and legislative action, 2008, Congressional Research Service.
[27] John Erpenbeck, Volke Heyse, 1999 Die Kompetenzbiographie:
Strategien der Kompetenzentwicklung, durch selbstorganisiertes Lernen und multimediale Kommunikation Waxmanri Publisher VoL 10, ISSN
[28] Lithner, J (2008) The development of argumentation and proof competencies in mathematics students: A longitudinal study Journal of Learning Sciences, 17(4).
[29] Niss, M Mathematical Competencies and the Learning of Mathematics:
The Danish KOM Project Journal 3rd Mediterranean conference on mathematical education.
[30] Nguyễn Văn Mậu (2016), Hanoi Open Mathematics Competition:
Problems and solutions NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
PHỤ LỤC
Nội dung khảo sát
Câu 1 Theo em, việc học toán như hiện tại có giúp em phát triên những năng lực, kĩ năng nào sau đây?
A Tư duy logic B Tư duy trừu tượng c Năng lực phát hiện và giải quyêt vân đê D Kĩ năng làm việc nhóm
Câu 2 Em hãy tự đánh giá vê năng lực tư duy và lập luận của bản thân thông qua bảng tự đánh giá sau:
1 Phân tích, xác định được những dừ kiện đề bài cho, yêu cầu cùa bài toán
2 Suy luận và đưa ra phương hướng giải quyết bài toán3 Trình bày lời giải ngắn gọn, mạch lạc, rõ ràng 4 Tổng quát hóa, khái quát hóa dạng bài
Câu 3 Theo em, khi tư duy và lập luận lời giải một bài toán, bước nào là quan trọng nhất?
A Thực hiện được các thao tác tư duy như so sánh, phân tích, tồng hợp, đặc biệt hóa, khái quát hóa, tương tự, quy nạp, diễn dịch.
B Chỉ ra được những chứng cứ, lí lẽ và biết lập luận hợp lí trước khi kết luận c Giải thích hoặc điều chỉnh được cách thức giải quyết vấn đề về phương diện toán học.
Câu 4 Em hãy đưa ra những khó khăn khi học chuyên đề các số chính phương.
PHỤ LỤC 2 PHIÉU ĐIÈU TRA GIÁO VIÊN
Thông tin cá nhân
Họ và tên: Giới tính: Đơn vị công tác:
Số năm tham gia giảng dạy:
B Nội dung khảo sát Câu 1 Trong quá trình giáng dạy, thầy (cô) sù’ dụng những phương pháp dạy học nào và mức độ thường xuyên sử dụng các phương pháp đó như thế nào theo 4 mức độ dưó’i đây?
Thỉnh thoảng ít khi Không sử dụng
Thuyết trình Gợi mở - Vấn đáp Trực quan
Làm việc nhóm • Kiến tạo
Dạy học theo dự án
Câu 2 Thầy (cô) nhận thấy việc phát triến năng lực tư duy và lập luận toán học cho học sinh lớp 6 có mức độ cần thiết như thế nào?
A Rất cần thiết B Cần thiết c Bình thườngD Chưa cần thiết