Vấn đề thứ nhất là Cơ Học biến dạng của môi trường nhiều thành phần : hỗn hợp thức, các vết nút, với sự tiếp xúc hay lồng thấm, hay giản đơn hơn là các vật liệu không thuần nhất, nhằm mụ
CHƯƠNG 1 Tính đàn hồi và tính đếo
Ứng suất
Trong phần giới thiệu những khái niệm về ứng suất mà được phát triển chỉ tiết nhất trong các tài liệu kinh điển, chúng ta chŸ sẽ chú trọng đến các kết quả chính Tài liêu này cũng chỶ giới thiệu các khái niệm Trong thực tế, những ứng suất có các biểu diễn phúc tạp do các lực mật phân tổ TdS tac động lên phần tử diện tích đS có pháp tuyển n, ảnh là dSọ (pháp tuyến nọ) trong phép biến đổi F, có thể được biểu thị theo cách khác nhau Bằng biến
(@) TdS = (o.n)dS, o:tenxo d6i xting (Cauchy) , va bang bién Lagrange :
TdS=(O.ng)dSp, ôâ: tenxe phi d8i xting (Boussinesq),
®) TdS = F(TL.ng)dSọ, _ II:tenxơ đổi xứng (Kirchhoff)
Sự bảo toàn động lượng thể hiện bằng phương trình sau đối với các hình thdi và sự lựa chọn khác nhau của biển, bằng biển Lagrange X;
96) 3 ©) SE + para; - Sez) =0 trong Q0, va bang bién Euler xj:
me + pOXI(gj - aM ~Vh aa =ũ trong ©,
với v là vận tốc của các hạt vật chất Trong (9),g là lực khối đơn vị được xác định trong trạng khái ban đầu tại điểm Mọ và trong (10) g là lực khối đơn vị trong trạng thái hiện thời, tại điểm M có cùng nguồn gốc Trong trường hợp nhiễu bé, phương trình động lực trở thành
1.3 Sự đối xủ đàn hồi Để đơn giản cách trình bày, người ta giả sử các biến đạng bé Một hệ thức của đối xử đàn hồi là một hệ thức một đối một giữa các tenxơ ơ và e Một vật liệu đàn hồi được gọi là siêu đàn hồi khi ứng suất phát sinh từ hàm mật độ năng lượng của bién dang W(e)
Vì vậy định luật đối xử đàn hồi là
Chang han, vật liệu đàn hồi tuyển tích có năng lượng W hàm bậc hai của
(3) W()=a + bej + (1/2) Aijhk Eij#hkz với A có tính đối xứng
Giả sử A là xác định dương, A.e>0 Định luật đối xử tuyến tính đẳng hướng được xác định bởi
Ava ula ede hé sé Lamé (u50,3A+2u>0), ỉ (Gij=Aijhkấhk )-
Tinh dan hbdi va tinh déo 3
1.4 Biểu đồ đàn hồi Tonti
Chúng ta phân tích cấu trúc của các phương trình với gia thiết các biển đạng là bé Để đơn giản, chúng ta không xét các lực khối ngoài
Van đề ở chỗ phân biệt rõ cái gì là tổng thể hay độc lập của vật liệu được xét, cái gì là phụ thuộc Về mặt đàn hồi, khối lượng thể tích và định luật ứng xử đàn hồi được xem như phụ thuộc vào vật liệu Do vậy chúng ta đưa vào biển phụ động lượng p = pV
Chúng ta cĩ thể xét cả hạ hệ thúc sau như là định luật ứng xử :
Bằng cách đặt D=-div, phương trình chuyển động (11) được viết đối với cỏc biến p và ỉ
Phương trỡnh dẫn đến Dứ=0 thành tựa tớnh
Theo cách đối ngấu, vận tốc v và biển dạng e được biểu điến theo u bởi ma trận cột C= (0u, D*)t d8) w=0u, (9) e=D*u, với D*=1/2 (V+V°) Thực ra, các toàn tử D=-div và D*là liên hợp, mà khẩng định các khái niệm được sử dụng Phụ đính (E.1) trình bầy sự mở rộng đối với đàn hồi tính và động của biểu đồ Tonti (được thiết lập đối với với cọc và đàm) Biểu đồ này nêu lên cấu trúc tổng quát của đàn hồi
Trong biểu đồ này, ở bên trái, người ta nhận thấy xuất hiện chuỗi các phương trình động lực, ở bên phải là chuối các phương trình động học, va: giữa chúng là sự liên hệ tương ứng với các hệ thức ứng xử Ở trên u, chúng ta có biểu diễn bởi các thế vô hướng ộ và thế vectơ
u=grad@+rotH
Biểu đồ Tonti trong đàn hồi
H Động lực học Tĩnh + Vỹ êm |
DỶ= * 1/2 (V+V ) a R,R Các rôta phẩi và trái
Bên dưới (v,c), nhờ áp dụng ma trận toán tử S người ta nhận được hai hệ thức tương thích
Tinh dan hdi va tinh déo 7
RRYe=0
Ben trén (p, 0), ngudi ta nhan thdy rang ma tran lién hp C* =[2y DỊ áp vào (p,ứ)* dẫn ra chớnh xỏc phương trỡnh chuyển động d,p +Do=0 hay cõn bang
Bờn dứơi (p,ứ), người ta thấy rằng ma trận liờn hợp S° ỏp vào ma trận chộo với phần tử Z (= Ă) và B (=B/=BịĂ) cho cặp (p,ỉ)- í nghĩa của B được biết rất rõ đối với tỉnh đàn hồi Đây là tenxơ đối xúng Beltrami mà các ứng suất phát sinh bởi sự cân bằng
Ching hạn, trong các bài tóan cân bằng phẩng, người ta sử dụng tenxơ Beltrami B=y(x1, x2) eŠ@e3, với ự là hàm Airy Các toán tử xuất hiện trong hai chuỗi là liên hợp Điều thú vị của sự biểu diễn Helmholtz của (v,e) bổi (ọ, H) là sự thỏa man tự động đối với 2 hệ thức tương thớch Cũng thế, biểu điến của (p,ứ) nhờ cặp (Z,B) cho phép thổa mãn các phương trình động lực hay tĩnh Những cập (ũ,H) và (Z,B) hay (9, B) là cỏc cặp ô hàm liờn hợpằ
Như thể biểu đồ Tonti cho phép phân biệt tốt các phương điện động lực học và động học từ phạm vi vật lý đặc biệt đối với vật liệu Chúng là các khái niệm phổ biến Hơn nữa, những tóan tử tác động trong hai chuỗi là liên hợp, điều này mang một ý nghĩa rất quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán ngược hay xác định các định luật tương thích
Người ta xây dựng hai loại trường độc lập, một loại là các trường động lực và loại khác là các trường động học Tiếp theo người ta thử dẫn ra sai số trong định luật đối xử, giống như điều được khuyên trước hết trong các công trình của Ladevèze (1975), rồi đến Kohn va Vogelius (1984) và của các tác giả khác tiếp theo các công trình này
1.5 Các biến trạng thái đểo
Chúng ta sẽ xét các nhiếu bé đẳng nhiệt và bài toán tựa tĩnh, thời gian chỉ là một tham số động học mô tổ sự tiên triển của sự chất tải và các biên trạng thái
Trạng thái của của vật liệu (c, o) được mô tả bổi sự biển đạng e và các biến bên trong không đàn hồi œ=(01, 02, -.)-
Trong số những biến không đàn hồi người ta tìm thấy sự biến dạng déo eP, có thể quan sát với thang do thừơng, và các biển trong B chi co thé quan sát
Tinh đàn hồi va tinh déo D cho (25) điều kiện we 2W(A) với việc sử dụng vi phân con (Moreau, 1975) Dé đơn giản, chúng ta gia sử sự lồi đủ đều đế nghiệm đúng (25), biểu diễn qui tắc chuẩn Nhiều công trình thí nghiệm đã phù hợp với qui tắc chuẩn Trên mức độ lý thuyết, người ta có thể chứng tổ rằng nó sinh ra từ qui luật trượt của Schmid được khảo sát trong các đơn tỉnh thể (Mandel, 1961) Người ta đã thực sự chứng tổ rằng gía thiết về môi trường chuẩn suy rộng có liên quan với điều kiện đối xúng của Onsager (Halphen, 197)
Phân tích sự biến dạng
Theo kinh điển, biến dạng tự phân tích thành một phần đàn hồi và một phan déo
(27) e=e&+eP, y6i e& = Co (C}), Ching ta sé xem xét cling với Suquet (1981) trường hợp rất thường gập mà ở đó năng lượng tự do có dạng đặc biệt sau
(28) W(,0) = Wj€ - £P) ~W2(0) điều này, nhờ tách các số hạng thành eP và j, cho ra lực suy rộng
A=(ơ~ỉW2/2P, ~0W2/28) Như thế sự hao tỏn nội tại cú dạng
Các thí nghiệm nhiệt lượng được thực hiện bởi Nakada (1965) cùng với các thí nghiệm của chúng tôi (1965) về kim loại như thép và đồng đã chứng tổ rằng số hạng thứ hai của (29) có thể biểu thị 10% đến 20% công hao tán, trừ trường hop déo hoàn toàn mà ở đó nó bị triệt tiêu Những kết quả này có thể hướng dẫn chúng ta trong việc lựa chọn các hàm
Miền lồi V có thể được xác định bằng thực nghiệm bởi các cập Vụ với œ là hằng số Chớnh xỏc hơn, trong khụng gian con ứ của cỏc hàm suy rộng, miền lồi đàn hồi Vụ được xỏc định nhờ hàm tải f(ứ,œ) bởi f(ơ,ơ) 0 Điều kiện thứ hai rất lý thú bởi vì nó dựa trên độ lớn có thể tính toán trực tiếp bởi phần tử hữu hạn.
Tinh dan hbi va tinh déo 11
Người ta chứng minh rằng điều kiện (37) bảo đầm chắc chấn sự tồn tại và duy nhất của các định luật gia tăng ứng sii dan déo theo một trong hai dạng
Các tenxơ M và M~Ì có tính đối xúng tương tự với tenxơ mô- đun đàn hồi A Từ điều này, định lý tương hỗ của Betti được mở rộng đến các hệ thúc gia tăng trong dẻo Đặc biệt, khi không có lực thể tích, nhờ thực hiện hai số gia độc lập ðTI,ðT? tương ứng với nó ôul và ôu2, người ta có được hệ thức ÍBT1.ðu2dS=[8T2.8u ldS
Cuối cùng người ta có thể nhận xét rằng (37) có một giải thích vật lý đơn giản : bằng sự kéo thuần túy với o=eP, mô-đun tái bền h, bang do/deP, phải cao hơn -E (E: mô-đun Young)
1.8 Nguyên lý Hill - Bất đẳng thúc đối ngấu
Qạui tác chuẩn (33) là sự thể hiện nguyên lý công cực đại của HiI1 (1950) ô Trong biến dạng dẻo thực, cụng của cỏc ứng suất thực ơ luụn lớn hơn hay bằng công của tất cả tenxơ ứng suất o* khác, có thể chấp nhận theo đểo f(ứ*,0)0, với e là biển đạng thực, e" là biến dạng có thể chấp nhận liên quan với ứ*, thuộc về miền lồi của đềo cú nghĩó là, theo Lubliner (1991), tồn tại một hàm Q sao cho
Bất đẳng thức đối ngấu (40) là một cách biểu diễn khác của (39) Lubliner (1991) cũng đã xác lập rằng (40) là tương đương với bất đẳng thức suy ra từ (38) (Nguyễn về Bùi, 1974)
Về phương điện vật lý, điều kiện (41) được giải thích như điều kiện đủ của sự ổn định vật liệu, nó yếu hơn điều kiện ốn định cổ điển của Driicker
Marigo (1989) đã chứng tổ rằng điều kiện Driicker có liên quan với luận điểm Iliushin (1961) về công đương trong toàn bộ chu trình Ông cũng đã chứng tổ những mối liên hệ giữa các bất đắng thức này với nguyên lý công cực đại của Hill
Chú thỉch Sự hao tán cục bộ là đại lượng ơ‡P, điều này nhờ bổ qua số hạng thứ hai của (29), nói chung là không chắc Vận tốc dẻo được biểu diễn trong cùng không gian ứng suất, là vuông góc với mặt tải lồi Vo, tai điểm ứ f( ứ, œ)=0
Vo, Hỡnh 1.2 - Miền lồi dẻo trong khụng gian ứ
Trong trường hợp tái bền đẳng hướng và theo tiêu chuẩn V Misès, vận tốc đẻo thực là cộng tuyến với hướng lệch của ứng suất Tất cả các vận tốc déo kha dĩ khác cùng chuẩn với vận tốc thực và không nhất thiết phải trực giao với mặt tải, sẽ tương ứng với sự hao tán đếo yếu
Nhận xét này là có.ích đối với việc thiết lập có thể được của bài toán đàn hồi- dẻo trong trường hợp tái bền đẳng hướng
Người ta coi trường vận tốc dẻo, không bắt buộc phải thỏa mãn qui tắc chuẩn, như là ẩn số mà người ta điều khiển theo cỏch cực đại cụng dộo ô
Tĩnh đàn hồi va tinh déo 13
1.9 Các phương trinh Lagrange va Hamilton
Biểu đồ Tonti mở rộng đối với đàn hồi làm sáng tổ hai cấu trúc đối ngấu lấn nhau, liên kết giữa chúng bởi các định luật ứng xử Các phương trình được viết là cục bộ và không phần ánh các điều kiện biên Để biết rõ chuyển động của vật rắn, cần phải thêm các điều kiện biên và các điều kiện ban đầu Phương pháp biến phân cho phép thực hiện đồng thời biến cục bộ và toàn cục Để đơn giản, chúng ta giả sử rằng các lực khối là triệt tiêu và lực mặt T được chỉ rõ trên biên dQ@ của vật rấn Đối với vật rấn đàn hồi thuần nhất chúng ta đưa vào những ký hiệu sau theo giả thiết nhiễu bé d9) E(@)=[ W(Vw)do - [ T.udŠ (hếnọng)
Chúng ta xét một biến phân khả di ồu, triệt tiêu bên ngoài khoảng thời gian được chọn bất kỳ [tị t2] Biến phân của L là triệt tiêu đối với ðu và ớ cĩ thể chấp nhận được §L= Hs pu.dadQ + ie (divo[u]).5u dQ = 0 Điều đó được viết tóm tắt lại đ6) — ðL=ụgLụọ+ụuLụu=0:
CHƯƠNG 2 Phá hủy và hu hong
Cơ học phá hủy
Vấn đề đặt ra là nghiên cứu bằng tựa tĩnh một vết nút trong môi trường đàn hồi tuyến tính và các điều kiện phát sinh Một vết nứt trong một vật rắn là một mặt gián đoạn vật chất mà đi qua nó trường chuyển vi chịu một bước nhẩy
Sự gián đoạn vuông góc [un] được gọi là độ mổ của vết nút Thành phần này luôn luôn không âm Khi độ mở là có thực, điều mà chúng ta sẽ giả thiết sau đây, vectơ lực kéo T tác động lên hai bờ của vết nút là triệt tiêu
Trong trường hợp ngược lại, tồn tại sự khép kín một phần của vết nút, sự gián đoạn pháp tuyến là không có (bài toán tiếp xúc một bên), và thành phần pháp tuyến của T là âm trong vùng tiếp xúc.Thông thường người t4 phõn biệt 3 cỏch rạn nỳt ẽ và II là biến dạng phẳng và III là biến đạng
Hình 2.1 - Các cách rạn nút không phẩng Chúng ta sử dụng hệ qui chiếu trực giao OxIx2xa nằm trên mặt vết nút, Oxa hướng theo mặt vết nút
Người ta biết rõ nghiệm tiệm cận chính xác trong lân cận của đầu vết nút
Sự khai triển tiệm cận này là tổ hợp tuyến tính của 3 nghiêm kỳ đị có dạng ugeKot!/2ge(6) đối với 3 cdch al, Il, III (o: gde cue trong mật phẩng Oxqxa;r : bán kính cực trong mặt phẳng này ) Các hệ số Kụ là các thừa số cường độ chuyển động được xác định bởi (uw: mô-đun cắt ;v: hệ số
Ki=lime-spx 3ÿ) Ô/01/2[al,
(Chúng ta không sử dụng lý thuyết ứng suất phẳng bởi vì lý thuyết đó không đúng ở chỗ điều kiện tương thích không được thỏa mãn)
Chúng có thể được định nghĩa theo cách tương đương như là các thừa số cường độ úng suất
Kmi= lim(.0) (2mr)1/2ứza(r, ÿ=0)
Lý thuyết về các kỳ di tiệm cận, trong đàn hồi tuyền tính, có thể được mở rộng đến các định luật phúc tạp hơn Tuy nhiên, các hệ số kỳ dị nhận được
Phá hủy và hư hồng 23 không phải luôn luôn có sự giải thích vật lý đơn gidn Y nghia của kỳ di toán học là như sau
Người (a gia thiết rằng miền không đàn hồi ©ị gần đầu vết nứt có kích thước rất bộ so với kớch thước của cấu trỳc Đõy là gớa thiết ô hạn chộ dộo ằ hay hạn chế hư hồng trong một miền bé ở đầu vết nút Người ta sử dụng các khai triển tiệm cận (6) đến (8) để thực hiện việc nối giữa miền trong ©Ị và miền ngoài bù O* Đúng hơa đây là vấn đề toán học mà không phải là một vấn đề vật lý (các ứng suất vô hạn là không có ý nghiã) Nguyên lý của phương pháp khai triển tiệm cận móc nối mà chúng ta sẽ chỉ ra là như thé
Khai triển tiệm cận nổi
Căn cứ vào sự bé của miền bị chặn O, miền bù hay miền ngoài của nó, thực tế vẫn còn đàn hồi Điều đó có nghiã là khi người ta đến gần điểm vết nút (bài toán 2 chiều) các ứng suất tăng lên và theo qui luật gia tăng được xỏc định bởi cỏc cụng thức (6) - (8), được gọi là ô khai triển tiệm cận ngoàiằ, bờn ngoài điểm vết nỳt
Khi đi khắp miền ©\, lời giải hoàn toàn khác với lời giải đàn hồi Trong miền này các quá trình không thuận nghịch sử dụng các qui luật ứng xử phức tạp là chủ yếu Để nghiên cứu nghiệm trong miền này, người ta thay đổi đơn vị đo độ dài aphin để dân tỷ lệ, miền ©ị một khi bị dấn sẽ chiếm toàn không gian hình học vô hạn ký hiệu bởi ©', vết nút đường thẳng trở nên bán vô hạn Vi dang hinh học của © là đơn giản nhất, nên người ta có thé mong đợi tìm thấy ở nó những lời giấi chính xác với những mô hình ting xử phức tạp Đấy cũng là điều người ta tìm thấy trong miền ©' các lời giải tiệm cận đối với các qui luật : déo ; hu hong-dan hồi-dễo-vỡ ; nhớt-dếo
Kỹ thuật ô khai triển tiệm cận nổi ằ bao gồm việc xem xột trong phần vật ran Q*, miền ngoài đối với 0), bài toán ngoài với khai triển tiệm cận đối với r-›0 và đồng nhất khai triển này với khai triển của bài toán trong đối với ©\, hay nói chính xác hơn là ©' nhưng vi re Trong 91, khi r0, người ta có các kỳ dị khác nhau với (6) - (8), tùy thuộc vào bẩn chất các qui luật ting xử được xem xét Điều kiện giới hạn đối với bài toán trong dựa trên điều kiện tại vô hạn trong Q!
Cỏc mụ hỡnh ô múc xớch ằ trong dộo với sự hư hồng mà chỳng ta tranh luận sau này, sử dụng điều kiện giới hạn (9)
Một ví dụ khác của sự áp dụng là bài toán về sự lệch cực nhỏ của một vết nút trong môi trường đàn hồi Bài toán này được giải bằng giải tích bởi cũng chớnh kỹ thuật khai triển tiệm cận nối Sau khi ô phỏng đại ằ miền cú yết nút lệch hướng, độ dài của nhánh nhỏ bị lệch được lấy làm đơn vị do, thể thì nhánh chính trở nên bán vô hạn Dạng hình học đơn giản này trong mặt phẩng vô hạn cho phép nhận được lời giải giải tích của bài toán, bang phương pháp biến phúc (Armestoy và công sự, 1979)
2.2 Nhiệt động lực học phá hủy
Griffith da giới thiệu lý thuyết rạn nút bởi việc xét theo năng lượng, trong khi gia sử rằng sự rạn nút là một quá tình tiêu hao năng lượng Nó tỶ lệ với diện tích vết nút mới bị gây ra 2ydS Nếu người ta xét hệ vật chất O* lập nên bởi vật rắn, ngoại trừ miền bé của điểm nút, hệ này tiêu hao năng lượng (dưới dạng nào đú) để lan chuyền điểm nỳt, với tỷ lệ G dude gọi là ô1 lệ phục hồi năng lượng ằ Tiờu chuyển của Griffith được viết G=2y
Theo Nguyễn (1980), chúng ta có thể phân tích sự rạn nút trong phạm vỉ tổng quát nhất của các môi trường chuẩn suy rộng và nhiệt động lực học của quá trình không thuận nghịch, nhờ sự dụng trường biến đạng e(x) (hay chuyển vị u(x)) và độ dài vết nứt a như là các biến trạng thái của hệ thống
Chúng ta xét trường hợp vật liệu đàn dẻo có thể hư hồng, xác định bởi năng lượng thể tích tự do đã cho W(e-eP, œ„ 9), với 0 ký hiệu nhiệt độ và œ các biển trong œ=(P, 3) Các biển về hư hồng có thể được xét và được biểu thị trong danh sách các jị Sự hao tán cục bộ được biểu diễn bởi
D=ứ.ÊP - 0W/90 còn sự hao tan toàn cục là d0 D= ie D dQ + (G-2y0)a-
Nó bao gồm số hạng bổ sung (G-2yo), với 2yo là năng lượng đặc tinh thuận nghịch Tí lệ phục hồi năng lượng được cho bởi biểu thức
(1) 2yo Hệ mất đi cơ năng do điểm nút, nhưng nhận lại từ vết nút nhiệt năng một phần hay toàn phần, tùy theo cơ chế vật lý thực tế đối với điểm nút Kết quả (12) chứng tổ rằng trong biển dang phẳng, trường nhiệt độ nhận một kỳ di loga có dạng
(k : hé s6 truyén) va day chinh 14 ngudn nhiét có thể dò tìm bởi tiến hành nhiệt độ thị Trong nhiêt-đàn hồi động lực, người ta có thể đưa ra các qui luật bổ sung để đặc trưng sự tiêu tán trong rạn nút, bằng cách cho hàm hao tấn đœ(ọ) Nhưng khụng may, do thiểu thực nghiệm đỳng dan vộ d6ng lực học rạn nứt, nên người ta không có ý niệm về hàm hao tán này Không nghỉ ngờ, người ta phẩi xét các hiện tượng nhớt trong miền không cố kết để xây dựng một mô hình cơ học vi mô của động lực học rạn nút Thực nghiệm đã chúng tổ một cách quả nhiên rằng người ta không phải luôn luôn có được tiêu chuẩn G=Gc (hằng số) Chúng ta sẽ trở lại vấn đề này trong tiết 2.4 cũng như ở chương 4, để thảo luận tiêu chuẩn động lực học Tạn nút
Trong đàn hồi tựa tĩnh, mô hình Grifith tương ứng với hàm hao tán đ(ọ):=2yà, đú là bổ qua năng lượng thuận nghịch, cho tiờu chuẩn lan truyền vết nứt G=Gc=2y Trường hợp đàn hồi tĩnh là trường hợp mà ở đó người ta có nhiều cách tính cùng một đại lượng Ơ Người ta chỉ ra được các hệ thức sau d4) G=- a (Griffith)
(15) G =a { Ky + Ki j, (Irwin), (16) G=J:= (is {W(e)ny - T.dyu}ds (Rice-Cherepanov).
2.3 Các mô hình móc xích
Chúng ta đã gợi ra những khó khăn gặp phẩi trong động lực học rạn nút, cũng như trong đàn hồi Nhưng khó khăn này là do các hiện tượng dẻo, nhét-déo va hư hỏng rất nhạy với vận tốc biến dạng, không thể bổ qua trong động lực học Việc nghiên cứu sự rạn nút trong đẻo rất khó Sự áp dụng công thức (11), chấp nhận được đối với đẻo, đấn đến một kết quả có về nghịch lý và không thú vị G=0, khi người ta lấy tích phân theo đường cong biên mất tại điểm nút (T-›0) Điều này có nghiã là vật rắn O* không cung ứng một chút năng lượng nào tại điểm nứt Người ta không mong đợi viết được một tiêu chuẩn cục bộ loại G=Œc trong rạn nút đàn- đềo Để khắc phục khó khăn này, có hai cách có thể :
+ thay đổi mô hình theo cách để tìm thấy Gz0 trên một chu tuyển xác định Đây là đối tượng của các định lý hư hỏng để xác định miền hư hồng
với 8 và hàm góc (Hui va Riedel, 1981)
G1) weg) = @ yD IMD f(g, véi f(g) là hàm được xác định duy nhất bởi phương trình vi phân phi tuyến
bậc 3 trong |0<ð<r}
Jus 42 (W(e(u))ny ~ n.6(u).d;u} ds,
Hình 3.1.- Đường vòng tích phân của tich phan J
Tính chất đầu tiên của tích phân J là độc lập với đường vòng tích phân T
Thực vậy, đó là do (3) viết cho thành phần theo 0xị và do nỊ=0 và o.n=0 trên vết nút Nhờ có sự không biến đổi đó, ta có những thông tin về sự kỳ di khi biết các trường cơ học bên ngoài đường vòng bất kỳ bao quanh nó
Nói chính xác hơn, ta bắt đầu lấy trên đường vòng rất nhỏ bao quanh đỉnh Định luật bảo toàn 39 yết nút và các đại lượng tiệm cận của các trường cơ học, ta thấy rõ ràng J, ở biến dạng phẳng và đối phẳng, biến thiên theo các chỉ số cường độ ting suất K
1 không có gì khác là tỷ lệ thu hồi năng lượng G của Irwin Co nhiều dang khác tương đương với Ở của các tích phân đường vòng, tích phân vành khăn và tích phân chỉ sử dụng những đại lượng có thế thực nghiệm được, điều đó cho phép xác định trực tiếp Ơ
Biểu thức của J về tính đàn hồi tuyến tính là một đạng toàn phương của trường u (và các đạo hàm riêng của nó), viết là J(u,u) Ta có thể kết hợ nó với dạng song tuyến J(u,u*) khi xét hai trường đáp số độc lập của bài toán về rạn nút sao cho
)- Jua*)==E— KKIKỶ + KnKR): Đó là đạng song tuyến đối xúng của hai cập chỉ số về cường độ ứng suất, cặp thực tại và cặp phụ Các biểu thức của J(u,u*) qua các tích phân đường vòng sẽ được chỉ dẫn sau này
Một biểu thức đáng chú ý là dạng trong đó u* ứng với một trường tốc độ trong sự truyền thực sự vết nút Ta thu được trực tiếp biểu thức của đạo hàm của Ơ (theo đơn vị chiều dài của sự truyền rạn nút) hay của đạo hàm bậc hai của năng lượng (Nguyễn và Stolz, 1986)
Tích phân đối ngấu I Định luật ứng xử theo kiểu đối ngấu là viết dưới dạng s== 9U 9ứ“
Ta lấy trường ứng suất cân bằng ơ làm biến số độc lập Từ định luật bảo toàn ta rỳt ra e(x)=C.ứ(x), sau đú tớch phõn cỏc hệ thức tương thớch mà cỏc hợp phần của e thỏa mãn được, ta tính ra trường u(o) Tích phân đối ngấu | được định nghiã bởi Ớ) 1 [_CU@m| + (62,0) dề.
Ta kiểm tra lại tích phân đối ngấu độc lập với đường vòng tích phân T và tích phân đó có cùng một trị số như J Trong đàn hồi tuyến tính, ta có U(s)=W(e)
Từ đó kết hợp (4) và (7), ta rút ra hệ thức ®) J=1= SỈ, {u(s).dj0.n — n.0.9,u) ds
Tiếp theo ta ldy đường vòng biến dần bao quanh đính vết nứt, có thể sử dụng các trường kỳ dị ch phụ thuộc vào sự kết hợp (xị~að¡1) Khi thay thế 9/2xị bằng -0/ửa ta thu được cỏc dang tương đương của J hay | lp du at
J=I= al (TộT T2 2]ds (T=ơm)
(đường vòng không thay đổi trong sự biến d6i cia T, dn/da=0) Trong quang học về sự xác định bằng thực nghiệm các chỉ số cường độ ứng suất, công thức (9) có ý nghiã lớn, vì các đại lượng cơ học biểu hiện trong dan tích phân, có thể tiếp cận bằng thực nghiệm như sức kéo bề mặt T và sự dời chỗ u, khi ta lấy T là đường cong S của vật thể rắn bị nút rạn Đú là phương phỏp ôhai ống nghiệmằ, một ống nghiệm với chiều đài vết nút a và ống nghiệm kia với chiều dài vết nút a+đa Hai cách tính tĩnh học và động học với tích phân J và đối ngấu của nó, có thể kết hợp trong một phương pháp phần tử hữu hạn lai, sử dụng hai trường độc lập, động học u và tinh hoc o (Boulazred, Courta de và Surry, 1989)
Dạng song tuyến tính (6) tạo khả năng phân tách hai cách bể gấy nghiã là tính toán riêng biệt các chỉ số cường độ ứng suất KỊ và Kịi trong khi đó, các thừa số này có thể kết hợp trong G theo một biểu thức toàn phương Muốn vậy, người ta lấy lần lượt hai trường phụ, trường thứ nhất là một nghiệm kỳ dị đối xúng u*=uS và nghiệm thứ hai là một nghiệm không đối xứng u*=u^ của các chỉ số cường độ ứng suất (K$J=1, KS=0) và (K31=0, K^I=1)
Chẳng hạn các trường uề và u^ là những nghiệm của bài toán rạn nứt bán vô định, theo cách I va II Vì vậy :
(0) J@w,w°)= TK, =y2 Định luật bảo toàn 4
Một phương pháp phân tách khác, tự nhiên hơn, chỉ sử dụng trường hiện tai u và dựa vao khi dong hoc tuyén tinh (Germain, 1962)
Phương pháp này dựa vào sự phân tách trực tiếp trường đáp số u(x) có thể thu được ví dụ bằng phương pháp phần tử hữu hạn, thành hai phần đối xúng (cách I) và không đối xứng (cách II), các trường u! và ullcó thể được xác định bằng các công thúc (vết nút ở trên trục OxI)
Sự phõn tỏch đú chỉ cú ý nghió trong phần giao của cỏc miền â và ỉ', đối xúng so với đường thắng chiếm bởi vết nút rạn Cũng trong phần giao này mà người ta vẽ được các đường vòng của tích phân, Hình 3.2
Cỏc tớch phõn Jị =J(wl,uÙ) và J =J(ul,ul) được xỏc định chớnh xỏc như ẽ nhưng với các trường đối xúng và không đối xứng chứ không phải với u
Các tích phân này có gia trị
Hình 3.2.- Đường vòng tích phân cho sự phân tách
Trong phương pháp mà làn đầu tiên được đề nghị bởi Ishikawa và công tác viên (1979), các sự chuyển dịch và ứng suất được phân ra hai phần đối xúng và không đối xứng, sau đó được sử dụng trong biểu thức Ở như đạo hàm của thế năng, G=-2I1/ửa (Chương 2)
3.3 Định luật bảo toàn nhiệt-đàn hồi
Trong nhiệt-đàn hồi kinh điển, ta có thể viết định luật bảo toàn ở đạng (1) với các đại lượng
B46, trong đó 6(x) là trường nhiệt độ ở thể cân bằng Trái với trường hợp đàn hồi, sự có mặt của nguồn B không cho phép tìm tích phân cong đặc trưng cho sự kỳ dị nhiệt- đàn hồi Trở ngại này đã làm chậm sự phát triển của các phương pháp số học trong nhiệt-đàn hồi Ví dy tich phan do Wilson và Yu
(1979) đề nghị luôn có số hạng tích phân trên một miền ky di, vay khong có lợi ích cho việc tính toán số học Chf trong những trường hợp rất đặc biệt khi grad9=0 mà người ta có sự tổng quát hóa tích phân J cho nhiét-dan hồi tuyến tính
Người ta tự hồi nếu một định luật bảo toàn các tính chất bất biến trong sự thay đối kích thước cho mọi hướng do bản chất của trường nhiệt học bởi sự truyền ding hướng, có cho phép xây dựng định luật bảo toàn không có số hạng nguồn hay không? Vấn đề này sẽ được gợi ý sau này
Việc xây dựng các định luật bảo toàn khác nhau mà không chứa số hạng nguồn là một ý tưởng mới Muốn đạt tới đó, chúng ta nhận xét rằng J hay G là những ôđạo hàmằ của năng lượng, cũn cỏc dạng song tuyến J(u, u*) cú thể coi như ôcỏc cụng xuất aỏằ của trường thực ơ(u) trong trường lan truyền ảo của vết nút rắn được mô tả bởi trường ư`
Sự giải thích này mổ ra nhiều khẩ năng trong việc lựa chọn tốc 46 (ad) cd khổ năng cung cấp những định luật bảo toàn không có số hạng nguồn Vậy chúng ta tổng quát hóa dang song tuyến tính để đưa vào những hiệu ứng nhiét. Định luật bảo toàn 4
Bên cạnh trường nhiệt đàn hồi hiện tại (u,6) chúng ta đưa vào một cập trường phụ khác (u*,w*) thỏa mãn các phương trình
+ Trường nhiêt- đàn hồi (17) o(u)— bel, đivơ=0 trong ©,
39 ant trén Ft, voi b=a(3A+2 u), 01 lệ số kéo dai do nhiệt
Aw* =0, trong ©, ơ*n =0 teen FE dw* _du*y
Như vậy trường u* là nghiệm của bài toán rạn nút trong đàn hồi thuần túy, trường điều bòa w* được kết hợp với trường trên Những sự lựa chon này cho phép xây dựng một định luật bảo toàn không có số hạng nguồn,
B=0 Định luật đó như sau (Bùi và Proix, 1984)
+ yÍ (uŸ w*)grad9 ~ 6grad(u† ~ w*)}, với Y=-o(3A+2 H) H/2(Ă0, và đấu (+) cho Xz0
Trong (6) đường vòng tích phân C đi từ =5 đến +s và lượn qua điểm kỳ di + =-1 bằng nửa vòng tròn nhỏ khác theo hướng trực tiếp Các sự chính xác đó cần thiết cho sự tính toán mình bạch lời giải (4)-(6) Trên Hình 6.3 có vẽ sơ đồ các vùng khác nhau quan sát ở thời điểm t>0: (1) sóng chiếu xuống bề mặt trên cuả vết nút, (2) sóng tới không bị nhiễu, (3) vùng chưa hoạt động, (4) sóng nhiễu xạ bởi đính vết nút Trên mặt phid dudi, ngoại trừ vùng có sóng khúc xạ, vật thể rắn đứng yên như thể vết nút làm bình phong chắn sóng tới Ngược lại, trên mặt phẳng phiá trên, biên độ sóng được nhân đôi
Hình 6.3 - Sự khúc xạ sóng đàn hồi bởi vét nuit (Achenbach, 1980).
Khuyết tật khối
Ta hay xét khuyết tật ©, nhỏ so với cấu trúc nghiên cứu, được mô hình hóa ở đây bởi môi trường đàn hồi vô hạn Khuyết tật có thể là một sự bao hàm các hằng số đàn hồi (hay khối lượng riêng) khác hẳn với các hằng số tương ứng của môi trường chung quanh Chúng ta hãy xét một sóng phẩng tới làm sáng tổ khuyết tật : uiN(x, t) = Aexp(iK.x)exp(-iat) véi tan s6 0, tii cule A va vectd séng K=kd0 chạy theo hướng dŨ về phiá có vật ngăn trổ Các veotơ A và d0là đơn vị Đối với sóng P, ta có AP đối với sóng cắt ngang SH hay cất dọc SV, ta có ASLdÙ Sóng nhiễu xạ được chi rd bang u4(x)exp(-iat)
Ta có thể xác định phương trình tích phân của bài toán với nhận xét răng hợp lực u=u'"+u3 (chúng ta bổ qua không viết số hạng exp(-iot)) nghiệm đúng các phương trình động lực học
(7) AimkUhkj† p@2u¡ =0 (trong IR3-©) ()— Afynkunxj+pĐoŸu,=0 (trong Q) ở đó chúng ta dat £j=0)f(x) Chúng ta định nghĩa AA = A0~A và Ap =pỦ~p không biến đổi trong © và bằng không ngoài khuyết tật ©
Chúng ta có thể viết một phương trình trong toàn không gian vô hạn : (9) AinkUnkj +p@2u¡ + (AAiink Uh kj +@2Apui) =0
Cách viết (9) cho ta sự biểu diễn tích phân của nghiệm tổng quát qua tensơ
Sự nhiễu xạ cửa sóng đàn hồi 93
Green G® (x,y) của phương trình (7) đưới đạng : ấm (0) m6) =uẽb) + AAmjnk J, 0uk0)G), j6, y)40y
GỀ.;:@,y):= Ag Gin y= ~9y|Gim(% y) imj
Nghiệm gần đúng theo Born
Phương trình tích phân (10) ở dạng u=u”'+.2u, nối liền trường hợp lực u với sóng tới là dữ kiện đã cho biết uin Trong thực tế, người ta thỏa mãn với sự ước lượng mà chỉ giữ lại số hạng đầu của chuỗi lũy thừa hình thức
Neumann kết hợp với phương trình tích phân, nghiã là nghiệm gần đúng u=uin¿ứ4Ín, Đú là sự gần đỳng theo Born trong động lực học đàn hồi, điều đó hoàn toàn có thể giải thích được, khi ta có tỉ số nhỏ IAA l/IAl (sự gần đúng theo sự không thuần nhất nhỏ) hay khi œ2Ap/p cũng bé (sự gần đúng theo các tần số thấp hay sự biến đổi nhỏ của mật độ)
Có nhiều sự rút gọn khác khi khuyết tật ở xa nơi nhận sóng (điểm quan sát x) Người ta dùng những sự gần đúng ($=y/Ìy| : vecto đơn vị, y là điểm trong khuyết tật)
(82 /ayidy;exp(ik |x - yl)/|x~—yl = —k? £i9jl x1" lexpfik(lxl - &-y)}
Nếu a là kích thước của khuyết tật, ta phai thỏa mãn những điều kiện a0, Axn) bac n, va ce IR", be gm,
Phương pháp đơn hình (Dantzig)
Lời giải tối ưu của hàm tổn thất tuyến tính nằm ở biên miền lồi, chính xác hon là ở đính một khối nhiều mặt được định bằng n đắng thức lấy từ (13)
Vì ta không biết trước các đẳng thức cần lấy, ta phải thử xem có bao nhiêu cách kết hợp (CP' khá năng) và kiểm tra tại mỗi lần tính sự tối ưu hay không của hàm số tổn thất tương ứng Thuật toán của Dantzig là : lấy n rằng buộc bất đẳng thúc và coi chúng như những đẩng thức, xác định đáp số chấp nhận được, mà có thể tối ưu hay không Trong trường hợp không tối uu, người ta thay đẳng thúc bằng một đẳng thức khác rút ra từ một bất đẳng thức khác Ta cú tiếp tục cách tính như vậy cho đến khi tìm ra lời giải tối ưu
Như vậy phương pháp đơn hình dấn tới bài toán kết hợp và giải những bài toán tuyến tính Thuật toán trong các thư viện về chương trình tính toán trên máy tính điện tử có thể làm mất nhiều thì giờ tính toán cho những bài toỏn cố lớn Ta cú thể ước tớnh thời gian tớnh toỏn, hay ô sự phỳc tạp ằ của thuật toán, đó không phải là đa thức O(n9) mà có đạng mũ O(2")
Sự phát hiện của Karmarkar (1984) về một phương pháp giải quy hoạch tuyến tính với sự phức tạp đa thúc mổ ra triển vọng mới trong giải tích lồi tuyến tính Lưu ý tdi kha nang ting dung trong các bài toán ngược, chúng tôi trình bày gọn phương pháp mới đó, không nhấn mạnh tới phần chứng minh
Ta xét bài toán chuẩn dưới day
Lam các biến đối bậc nhất thích hợp trên các biến số, thêm các biến số phụ và chuẩn hóa, ta đưa bài toán chuẩn đến dạng chính tấc
Ví dụ ta chuyển từ dạng chuẩn đến đạng chính tắc bằng cách đặt xY=(1,Z)) e IR", ze IRnr1,
Ta hãy xét dang chính tắc có khác đi một chút, do thay biến số sao cho bài toán ban đầu trở thành bài toán : cực tiêu hóa cũng hàm số tổn thất c.x trong đơn hình mới S
(16) S={x | Ax=0, x20, e.x =1} voi e* = (1,1,1 , 1) Ta đưa ra các giả thuyết : HI Trị số tối ưu là c.x*=U,
H2 xọ =(1/n)e là điểm chấp nhận được của đơn hình S, H2 A là ma trận m dòng, n cột, hàng m
Thuật toán của Karmarkar dựa trên hai ý niệm chính : - tìm một cách đơn giản tâm của đơn hình mà từ đó người ta tối ưu hoá sự tổn thất (phương pháp đi xuống theo građien với vài bước)
- và tìm nhanh bán kính của bán cầu nằm trong đơn hình bằng cách giới hạn bước đi xuống
Muốn vậy, ta xột một điểm cố định xk va đưa vào ô sự biến đổi theo hỡnh chiếu ằ DK liờn hợp với điểm xk
PK: x y = (Dk)~1x /£.(DK)~1x ở đó DK là ma trận chéo có phần tử là các thành phần cuẩ vectơ xk:
(Dk); = xk 8; &hông cOng theo i)
Bang sự biến đổi đó, đơn hình S xác định bởi (16) là bất biển PK(S)=S, nếu k k
=xn>0 xkaxke., Điều đáng chú ý là ảnh của xk chính là tâm điểm aạ
Phép phân tích vi lượng 151
=TPK(xk) =(z ~z- 13 7) ag = PRON EC
Còn cách tính toán bán kính của hình cầu trong đơn hình §, có thể thu được ngay Đơn giản là
Chúng ta nhận thấy phép biến đổi hình chiếu ngược được xác định bởi
Van dé con lại là tính toán hướng đi xuống c Ta đưa vào ma trận E thu được bằng cách thêm vào phiá dưới ma trận ADX một dòng gồm các số 1
Gọi c là hình chiếu thẩng góc của DXc trong không gian không của E (nhân của E chứa những điểm y, Ey=0) Hình chiếu đó là đáp số của bài toán cực tiểu hóa Min | DKc =c |, dưới ràng buộc Ec = 0
Muốn tìm đáp số của bài toán, ta có thể đặt Ety=Dkc -c' (Lisser va Tolla,
Người ta đưa vào sự gid-nguge (EE*)-1 để thu được hình chiếu cần tìm c
Thuật toán của Karmarkar được tóm tắt trong phụ đính (E.10)
1 Giá thiết xK là một điểm nhận được của đơn hình S tại lần lặp k Ta tính ma trận liên hợp chéo DK, ma trận ADK va E
2 Tính hình chiều thắng góc c của DKc trong hạt nhân của E
3 Ap dụng phép biến đổi PK trên xk để đi đến tâm điểm aụ Hàm số tổn| thất giảm đi khi người ta di chuyển theo hướng ~c, từ tâm điểm về điểm zk của đơn hình zk=ag - œRe/lel, (0