Phân tích Ổn Định và Động lực phi tuyến của vỏ trống có cơ tính biến thiên theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao

Phân tích ổn định và động lực phi tuyến của vỏ trống có cơ tính biến thiên theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao Phân tích ổn định và động lực phi tuyến của vỏ trống có cơ tính biến thiên theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao

MỤC TIÊU CỦA LUẬN ÁN

Luận án giải quyết hai vấn đề là:

- Phân tích ổn định tĩnh vỏ trống FGM dưới tác dụng của tải cơ, tải nhiệt Cụ thể là xác định tải tới hạn và biểu thức liên hệ tải – độ võng nhằm phân tích ứng xử sau tới hạn

- Phân tích ổn định động và dao động của vỏ trống FGM Cụ thể là xác định tải tới hạn động, biểu thức của tần số dao động tự do tuyến tính, các đường cong biên độ – tần số và biên độ – thời gian nhằm phân tích ứng xử động lực của vỏ.

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Luận án sử dụng tiếp cận giải tích cho các bài toán tĩnh và tiếp cận nửa giải tích cho các bài toán động Các hệ thức cơ bản được xây dựng dựa trên TSDT của

Reddy và Liu [74] Quan điểm san đều tác dụng gân của Lekhnitskii được sử dụng để tính toán đóng góp của gân gia cường đến nội lực của kết cấu Dạng nghiệm ba số hạng được sử dụng cho bài toán phân tích ổn định tĩnh của vỏ chịu tác dụng của áp lực ngoài và trong bài toán vỏ chịu tải xoắn Dạng nghiệm một số hạng được sử dụng trong bài toán phân tích ổn định vỏ chịu tải nén dọc trục, tải nhiệt và bài toán động

Phương pháp hàm ứng suất, phương pháp Galerkin và phương pháp cân bằng điều hòa được sử dụng xuyên suốt cho các bài toán trong luận án.

Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ Ý NGHĨA THỰC TIỄN CỦA LUẬN ÁN

Các kết quả nghiên cứu trong luận án về ổn định và dao dao động của vỏ trống FGM sử dụng TSDT có thể được sử dụng làm tham khảo trong tính toán thiết kế và kiểm nghiệm kết cấu Đặc biệt các công thức hiển của tải vồng và tần số dao động tự do có thể được sử dụng một cách tiện lợi cho các nhà thiết kế góp phần tạo ra các kết cấu hoạt động hiệu quả, an toàn và tin cậy

Về mặt học thuật, các kết quả tính toán trong luận án sử dụng tiếp cận giải tích cũng góp một phần nhỏ làm phong phú thêm kho tàng tri thức về phân tích kết cấu

Các kết quả nghiên cứu có thể góp phần nâng cao chuyên môn, phục vụ giảng dạy và sử dụng làm tài liệu tham khảo cho những người nghiên cứu về ổn định và dao động của tấm, vỏ.

BỐ CỤC CỦA LUẬN ÁN

Khái niệm về vật liệu FGM

Vật liệu FGM có cấu tạo từ hai hay nhiều thành phần có cơ tính khác nhau

Hiện nay, loại vật liệu FGM được quan tâm nghiên cứu nhiều được cấu tạo từ hai thành phần là kim loại và gốm, trong đó tỷ lệ thể tích của mỗi thành phần biến thiên liên tục từ mặt này sang mặt kia của thành kết cấu

Bảng 1.1 Tính chất của một vài vật liệu thành phần trong FGM [2, 5]

Silicon Nitric (Si3N4) 322,2.10 9 0,24 3,2.10 -6 13,72 2370 Nhôm ôxit (Al2O3) 380.10 9 0,3 7,2.10 -6 10,4 3800

Kim loại Thép không gỉ 207,7.10 9 0,318 12,46.10 -6 15,38 8166

Các thuộc tính hiệu dụng của vật liệu FGM

Vì các thành phần kim loại và gốm trong vật liệu FGM biến đổi liên tục nên tại một vị trí nào đó trong khối vật liệu FGM luôn có cả hai thành phần kim loại và gốm, các đặc trưng hiệu dụng của vật liệu FGM luôn phụ thuộc vào thuộc tính của cả hai thành phần vật liệu Việc thiết lập công thức liên hệ giữa các đặc trưng hiệu dụng của vật liệu FGM với các đặc trưng của các vật liệu thành phần là một chủ để thú vị đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học Có một nhánh nghiên cứu về vấn đề này Theo những kết quả nghiên cứu, có một số mô hình xác định đặc trưng hiệu dụng của vật liệu FGM là mô hình Voight, mô hình Mori-Tanaka, mô hình

Reuss, mô hình Hashin-Shtrikman, mô hình Tamura…Trong khuôn khổ luận án, các đặc trưng hiệu dụng của vật liệu FGM như mô đun đàn hồi E, hệ số giãn nở nhiệt α, khối lượng riêng ρ hay hệ số truyền nhiệt K (ký hiệu chung là P eff ) có mối liên hệ

20 tuyến tính (mô hình Voight) qua các đặc trưng tương ứng của các thành phần kim loại và gốm như sau [84, 91]:

Pr m và Pr c kí hiệu cho các đặc trưng như mô đun đàn hồi, hệ số truyền nhiệt, hệ số Poisson, hệ số giãn nở nhiệt và khối lượng riêng V m và V c là tỷ phần thể tích của thành phần kim loại và gốm tương ứng.

Các hàm phân bố vật liệu thông dụng trong FGM

Tỷ phần thể tích của các vật liệu thành phần trong FGM phân bố liên tục theo một quy luật nào đó Chúng có thể biến đổi liên tục theo một chiều (1D-FGM), hai chiều (2D-FGM) hoặc ba chiều (3D-FGM) Trong khuôn khổ luận án, chỉ xét loại vật liệu 1D-FGM, trong đó các đặc trưng của kim loại và gốm biến đổi theo một chiều từ mặt giàu kim loại sang mặt giàu gốm hoặc ngược lại Theo các nghiên cứu đã được công bố, đối với loại vật liệu 1D-FGM, tỷ phần thể tích của kim loại và gốm có thể biến đổi theo quy luật hàm lũy thừa (P-FGM), hàm sigmoid (S-FGM) hoặc hàm mũ (E-FGM) của biến chiều dày z như sau:

Quy luật hàm lũy thừa (P-FGM)

Theo quy luật này, tỷ phần thể tích của các thành phần vật liệu trong FGM là các hàm lũy thừa, chẳng hạn, có dạng [5]:

  (1.2) trong đó h là độ dày thành kết cấu, – h/2 ≤ z ≤ h/2 Số mũ k, thường được gọi là chỉ số tỷ phần thể tích, đặc trưng cho mức độ đóng góp của các thành phần kim loại và gốm trong FGM Từ phương trình (1.2), giá trị k = ∞ tương ứng với trường hợp thuần vật liệu 2 (V 1(z) = 0, V 2(z) = 1) Khi giá trị k giảm thì tỷ lệ thể tích của thành phần vật liệu 1 trong FGM tăng, khi k = 0 thì tỷ lệ thể tích của thành phần vật liệu 1 đạt giá trị cực đạt (V 1(z) = 1, V 2(z) = 0) tương ứng với trường hợp thuần vật liệu 1 Áp dụng mô hình Voight, các đặc trưng hiệu dụng của vật liệu P-FGM được xác định như sau:

Từ các thông tin trong Bảng 1.1, thấy rằng hệ số Poisson của kim loại và gốm khác biệt không lớn, do vậy, trong khuôn khổ luận án, hệ số này được coi là hằng số ν(z) = hằng số Theo công thức (1.3) thì mặt z = h/2 là thuần vật liệu 1, trong khi đó mặt z = – h/2 là thuần vật liệu 2, sự biến đổi của các đặt trưng vật liệu là liên tục từ mặt z = h/2 đến mặt z = – h/2 của thành kết cấu

Quy luật hàm Sigmoid (S-FGM)

Theo quy luật này, các đặc trưng hiệu dụng của vật liệu FGM được xác định như sau [5]:

Từ công thức (1.4), thấy rằng, khi z = ± h/2 thì P eff (z) = Pr1, các mặt z = ± h/2 là thuần vật liệu 1 Khi z = 0 thì P eff (z) = Pr2, mặt giữa (z = 0) là thuần vật liệu 2 Như vậy, hàm phân bố có tính đối xứng qua mặt giữa của thành kết cấu

Quy luật hàm mũ (E-FGM)

Theo quy luật này, các đặc trưng hiệu dụng của FGM được xác định theo công thức sau [5]:

Theo công thức (1.5), thấy rằng, khi z = h/2 thì P eff (z) = Pr2, mặt z = h/2 là thuần vật liệu 2 Khi z = – h/2 thì P eff (z) = Pr1, mặt z = – h/2 là thuần vật liệu 1

Trong khuôn khổ luận án chỉ xét vật liệu P-FGM phía trong (z = h/2) là mặt giàu gốm, phía ngoài (z = – h/2) là mặt giàu kim loại Để có sự hình dung rõ ràng hơn về sự phân bố của các thành phần gốm và kim loại trong vật liệu P-FGM luận án sử

22 dụng các công thức (1.2) để vẽ đồ thị mô tả tỷ phần thể tích của thành phần gốm vào biến độ dày, được trình bày trong Hình 1.1 dưới đây

Hình 1.1 Tỷ phần thể tích của thành phần gốm trong P-FGM

Thông tin trong Hình 1.1 cho thấy mặt trong (z = h/2) tỷ phần thể tích của gốm cực đại (V c = 1), mặt ngoài (z = – h/2) giàu kim loại với tỷ phần thể tích của gốm V c

= 0 Khi chỉ số tỷ phần thể tích giảm dần thì tỷ phần thể tích của gốm tăng dần Chẳng hạn với k = 0,05 thì tỷ phần thể tích của gốm lớn hơn 0,8 (80%) tại hầu hết vị trí trong vỏ Ngược lại khi k tăng thì tỷ phần thể tích của gốm giảm Chẳng hạn với k = 20 thì tỷ phần thể tích của gốm xấp xỉ bằng không tại các điểm có tọa độ – 0,5h ≤ z ≤ 0,05h (chiờ́m khoảng ắ độ dày vỏ).

Ứng dụng của vật liệu FGM

Hiện nay vật liệu FGM đã được sử dụng trong nhiều lĩnh vực, có thể kể đến một số lĩnh vực tiêu biểu như sau:

Lĩnh vực công nghiệp hàng không vũ trụ: Vật liệu FGM được sử dụng để chế tạo các thiết bị như các thành phần động cơ tên lửa đẩy, cấu trúc giàn tàu vũ trụ, tấm trao đổi nhiệt và một số cấu trúc như gương phản xạ, tấm pin mặt trời, vỏ máy ảnh, bánh tuabin, lớp phủ tuabin, nắp mũi, cạnh đầu tên lửa và tàu con thoi

Lĩnh vực công nghiệp ô tô: Hiện nay, một số bộ phận của ô tô như lớp lót cho xi lanh, piston của động cơ diesel, lò xo lá, bugi, buồng đốt, trục truyền động, giảm xóc, bánh đà, một số bộ phận thân xe, kính cửa sổ và phanh xe đua đã được chế tạo từ vật liệu FGM Tuy nhiên việc sử dụng các vật liệu FGM trong ngành công nghiệp ô tô vẫn còn hạn chế vì chi phí sản xuất vật liệu FGM cao

Lĩnh vực quốc phòng, an ninh: Với khả năng hạn chế sự lan truyền vết nứt, vật liệu FGM được ứng dụng trong ngành công nghiệp quốc phòng, để chế tạo một số thiết bị như áo khoác chống đạn, các tấm áo giáp, vật liệu chống đâm xuyên cho thân xe bọc thép

Lĩnh vực năng lượng: Với tính chất kháng nhiệt xuất sắc, vật liệu FGM đã được ứng dụng trong các thiết bị như tường bên trong của lò phản ứng hạt nhân, panel năng lượng mặt trời, pin mặt trời, ống và bình chịu áp lực, sản xuất nhiên liệu oxit rắn, các vật liệu áp điện áp dụng cho đầu dò siêu âm, điện môi, pin nhiên liệu, lớp phủ lưỡi tuabin, và lớp phủ cản nhiệt

Ngoài ra, vật liệu FGM còn được sử dụng trong các lĩnh vực khác như: điện, điện tử (chế tạo điốt, cảm biến), lĩnh vực y sinh, lĩnh vực công nghiệp hàng hải (chế tạo trục cánh quạt, bình lặn, vòm âm sắc), lĩnh vực công nghiệp quang điện tử (chế tạo các bộ phận được làm bằng vật liệu sợi quang học, thấu kính, laze GRINSH, các bộ chụp ảnh hiệu quả cao, các pin mặt trời, bộ điều chỉnh tách sóng, thiết bị lưu trữ từ, lĩnh vực thể thao…

Công nghệ chế tạo vật liệu FGM

Công nghệ chế tạo kết cấu FGM phức tạp, tùy thuộc vào độ dày của thành kết cấu mà lựa chọn cách sản xuất phù hợp Đối với kết cấu FGM dạng thành mỏng (có tiết diện mỏng hoặc lớp phủ FGM bề mặt mỏng) thường sử dụng phương pháp lắng đọng hơi vật lý hay hóa học Phương pháp này được sử dụng để phủ một lớp FGM lên bề mặt kết cấu nhằm mục đích có được kết cấu vi mô tuyệt vời, tuy vậy phương pháp này chỉ được sử dụng để sơn bề mặt mỏng Do đòi hỏi nguồn năng lượng lớn, tốc độ sản xuất chậm và sản sinh ra các khí độc hại trong quá trình sản xuất nên

24 phương pháp lắng đọng hơi không được sử dụng để sản xuất FGM dạng khối Một số phương pháp để sản xuất FGM dạng khối như sau:

Phương pháp luyện kim bột: Theo phương pháp này, quá trình sản xuất thông qua ba bước sau: cân và trộn bột theo quy luật thiết kế, tiến hành xếp chồng theo từng lớp và đầm trộn hỗn hợp bột đã trộn, cuối cùng là nung kết

Phương pháp li tâm: Phương pháp li tâm thực hiện nhờ lực quán tính li tâm thông qua chuyển động quay của khuôn để tạo thành khối FGM Phương pháp này thường dùng để chế tạo các kết cấu FGM hình trụ

Phương pháp chế tạo vật rắn theo hình dạng tự do: Chế tạo vật rắn theo phương pháp này được thực hiện nhờ một máy in 3D do đó nó mang lại rất nhiều ưu điểm như tốc độ sản xuất cao, ít tốn năng lượng, sử dụng tối đa vật liệu, khả năng sản xuất các hình dạng phức tạp.

Các nghiên cứu về vật liệu FGM

Kể từ khi được đề xuất năm 1984, vật liệu FGM đã thu hút được sự quan tâm của đông đảo các nhà khoa học trong các lĩnh vực khác nhau của kỹ thuật và cuộc sống như: vật lý, hóa học, y sinh học, khoa học vật liệu, công nghiệp hàng không vũ trụ, năng lượng và đặc biệt là các nhà cơ học vật liệu và kết cấu

Trong khoảng thời gian đầu, xuất hiện những nghiên cứu về khía cạnh tối ưu hóa vật liệu [68, 91] Những nghiên cứu này tập trung xác định quy luật phân bố vật liệu để tối đa khả năng chịu nhiệt và giảm thiểu sự tập trung ứng suất của kết cấu

Tiếp đó, có một hướng nghiên cứu khác tập trung vào công nghệ chế tạo Hướng nghiên cứu thứ ba là tìm hiểu ứng xử cơ học của các kết cấu làm từ vật liệu FGM

Trong những năm gần đây, hướng nghiên cứu thứ ba đang diễn ra rất sôi động

Các nghiên cứu theo hướng này thường được mở rộng từ các nghiên cứu trước đó cho các kết cấu làm từ vật liệu thuần nhất và vật liệu composite phân lớp Trong đó, ngoài việc xem xét các loại tải thông thường như tải cơ và tải nhiệt thì các loại tải kết hợp như tải cơ-nhiệt, cơ-điện, cơ-nhiệt-điện lên ứng xử của kết cấu FGM cũng đã thu

25 hút được sự quan tâm của các nhà khoa học Hơn nữa, những nghiên cứu về ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu, độ không hoàn hảo hình dáng, thông số hình học, tính phi tuyến hình học, nền đàn hồi, gân gia cường và vết nứt lên đáp ứng của các kết cấu FGM cũng đã được thực hiện Hầu hết các loại kết cấu FGM với hình dáng khác nhau đều đã được nghiên cứu ví dụ như kết cấu dầm, tấm phẳng, panel, vỏ trụ, vỏ cầu, vỏ nón, vỏ hai độ cong…Các lý thuyết về tấm, vỏ cổ điển và lý thuyết tấm, vỏ bậc cao (bậc nhất, bậc ba) đã được các nhà khoa học sử dụng trong các nghiên cứu

Khi các kết cấu FGM tiếp xúc với nhiệt độ cao thì các tính chất cơ học của các thành phần vật liệu có thể thay đổi theo nhiệt độ, điều này cũng đã được xét đến trong nhiều nghiên cứu về các kết cấu FGM Trong một số nghiên cứu, bài toán truyền nhiệt trong kết cấu FGM theo bề dày hoặc theo chiều dọc của thành kết cấu cũng đã được xem xét Để thực hiện các nghiên cứu thì các phương pháp như phương pháp giải tích, phương pháp số và phương pháp thực nghiệm đều đã được sử dụng

Có thể thấy rằng, sự xuất hiện của vật liệu FGM đã đặt ra rất nhiều bài toán mới về lý thuyết và thực tiễn cần được giải quyết cho các nhà khoa học Những vấn đề chính được quan tâm nghiên cứu về ứng xử cơ học của các kết cấu FGM trong thời gian gần đây được tổng hợp lại trong các phần dưới đây, trong đó sự phân chia các chủ đề chỉ mang tính tương đối

1.2.1 Phân tích tĩnh các kết cấu tấm vỏ FGM

Bài toán phân tích tĩnh là bài toán tính toán ứng suất, biến dạng trong kết cấu

Bài toán này đã được mở rộng từ các kết cấu tấm và vỏ làm bằng vật liệu thuần nhất và vật liệu composite phân lớp sang các kết cấu tấm vỏ FGM

Một vài nghiên cứu theo hướng này có thể kể ra như sau: Shariyat và Alipour [80] đã tính toán đáp ứng tĩnh của tấm, vỏ trụ và vỏ nón làm bằng vật liệu P-FGM chịu tải là áp lực ngoài và lực cắt trên bề mặt Các tác giả đã sử dụng CST, nguyên lý năng lượng cực tiểu để dẫn ra phương trình cơ bản và giải chúng bằng biến đổi Taylor

Sử dụng FSDT và phương pháp phần tử hữu hạn, Praveen và Reddy [72] đã tính toán đáp ứng tĩnh và đáp ứng động lực của tấm P-FGM chịu tác dụng của tải cơ trong môi

26 trường nhiệt Sử dụng lý thuyết tấm bậc ba, dạng nghiệm Navier và phương pháp phần tử hữu hạn, Reddy [75] đã tiến hành một nghiên cứu về ảnh hưởng của sự phân bố các thành phần vật liệu trong FGM lên đáp ứng tĩnh của tấm chịu tải nhiệt và tải cơ Sử dụng phương pháp Galerkin và lý thuyết biến dạng trượt bậc nhất, Tùng [95] thực hiện một phân tích ứng xử uốn của tấm FGM sandwich ba lớp Trong nghiên cứu [95], tác giả đã xét hai trường hợp của tấm FGM sandwich đó là tấm sandwich có lớp lõi làm bằng vật liệu FGM, hai lớp ngoài thuần gốm hoặc thuần kim loại, và trường hợp thứ hai là tấm sandwich có lớp lõi thuần gốm hoặc thuần kim loại, hai lớp ngoài được làm từ vật liệu FGM Các nghiên cứu về phân tích tĩnh của tấm còn được trình bày trong luận án của Long [8]

1.2.2 Phân tích ổn định tĩnh các kết cấu tấm và vỏ FGM Ổn định của kết cấu chịu biến dạng là khả năng duy trì được trạng thái cân bằng ban đầu của kết cấu khi nó chịu kích động nhỏ, nếu khả năng đó mất đi thì kết cấu đó là không ổn định [2, 3, 5, 13] Trạng thái ranh giới giữa trạng thái ổn định và trạng thái không ổn định được gọi là trạng thái tới hạn, tải trọng ứng với trạng thái này được gọi là tải tới hạn [2, 3, 5, 13] Để xác định tải tới hạn, hai tiêu chuẩn thường được sử dụng là tiêu chuẩn ổn định rẽ nhánh và tiêu chuẩn ổn định cực trị Các tiêu chuẩn này được trình bày chi tiết trong các tài liệu [2, 3, 5, 13] Trong luận án này tải tới hạn được xác định theo tiêu chuẩn rẽ nhánh

Dưới tác dụng của tải vỏ xuất hiện biến dạng nhưng chưa bị võng hoặc bị võng đều Giá trị của tải mà vỏ bắt đầu bị võng không đều được hiểu là tải tới hạn Để xác định tải tới hạn tại điểm rẽ nhánh, trước hết đi thiết lập quan hệ tải – độ võng sau tới hạn, sau đó lấy giới hạn của biểu thức này khi thành phần độ võng không đều tiến đến không [2, 3, 5, 13]

Hai vấn đề chính được quan tâm nghiên cứu trong bài toán ổn định tĩnh là xác định tải tới hạn và xác định quan hệ tải – độ võng sau tới hạn giúp phân tích ứng xử của kết cấu ở giai đoạn sau khi tải tác dụng vượt quá giá trị tới hạn, thường được biết đến như trạng thái sau vồng (tên tiếng Anh là postbuckling) Sau đây là một vài nét

27 chính về những kết quả đạt được trong việc phân tích ổn định tĩnh các kết cấu tấm và vỏ FGM

Javaheri và Eslami [53] đã sử dụng CPT để nghiên cứu vấn đề ổn định của tấm chữ nhật FGM hoàn hảo dưới tác dụng của lực nén đều trên các cạnh Sau đó, họ đã mở rộng các nghiên cứu này cho các tấm dày và sử dụng HSDT [77] Đức và Công [28] đã tiến hành một nghiên cứu về ổn định tĩnh của tấm FGM Trong nghiên cứu

Đánh giá chung về các kết quả đã đạt được và những vấn đề cần được phát triển

Từ những phân tích tổng quan ở trên, một vài nhận xét có thể được rút ra như sau:

1) Các vấn đề tĩnh và động của các kết cấu tấm như tấm chữ nhật, tấm tròn; các kết cấu panel như panel trụ, panel hai độ cong, panel cầu; các kết cấu vỏ như vỏ trụ, vỏ cầu, vỏ nón, vỏ hai độ cong, vỏ trống làm bằng vật liệu FGM đều đã được các nhà khoa học nghiên cứu Các bài toán đối với vỏ mỏng sử dụng CST đã được nghiên cứu khá đầy đủ Các bài toán tương ứng cho vỏ dày sử dụng HSDT còn ít được quan tâm

2) Xét riêng kết cấu vỏ trống thì:

Các vấn đề về tĩnh và động của vỏ trống thuần nhất, vỏ trống FGM và vỏ trống làm bằng các loại vật liệu mới (FG-CNTRC, FG-GRC, kim loại xốp, vật liệu rỗng) đều đã được các nhà khoa học nghiên cứu

Các bài toán xét vỏ trống làm bằng vật liệu thuần nhất trong các nghiên cứu [52, 59, 69, 89, 90, 97] đều sử dụng CST

Các bài toán xem xét vỏ trống FGM được trình bày trong các nghiên cứu [21, 24, 25, 64, 66, 93] về vấn đề ổn định, trong các nghiên cứu [22, 65] về vấn đề dao động và trong các nghiên cứu [20, 22, 23, 42, 92] về vấn đề ổn định động đều sử dụng CST Chỉ có các nghiên cứu [14, 56, 63] về ổn định động lực vỏ trống FGM sử dụng HSDT Rõ ràng, còn thiếu vắng các nghiên cứu về vỏ trống dày sử dụng HSDT Đối với vỏ trống làm bằng vật liệu khác như (FG-CNTRC, FG-GRC, kim loại xốp, vật liệu rỗng) thì chỉ có một vài nghiên cứu, trong đó nghiên cứu [46, 47, 67] sử dụng HSDT

Các bài toán phân tích dao động và ổn định của kết cấu vỏ trống FGM sử dụng

HSDT còn ít được quan tâm Nếu giải được các bài toán này thì sẽ giúp ích tìm hiểu các đặc trưng trong ứng xử cơ học của vỏ trống dày giúp ích cho các nhà thiết kế và hoàn thiện bức tranh nghiên cứu về loại vỏ này Vì vậy, luận án lựa chọn nghiên cứu về “phân tích ổn định và động lực phi tuyến của vỏ trống có cơ tính biến thiên theo lý thuyết biến dạng trượt bậc cao”

CHƯƠNG 2: PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH TĨNH VỎ TRỐNG FGM 2.1 Đặt vấn đề

Vấn đề về ổn định tĩnh của kết cấu vỏ trống được đề cập trong các tài liệu [52, 59, 69, 89, 90, 97] cho vỏ làm bằng vật liệu thuần nhất, và được trình bày trong các nghiên cứu [21, 24, 25, 57, 63, 64, 66, 93] cho vỏ trống FGM , trong đó, ổn định của vỏ trống chịu tải áp lực ngoài được trình bày trong nghiên cứu [21, 24, 25, 57], ổn định vỏ trống chịu lực nén dọc trục được trình bày trong nghiên cứu [93], ổn định của vỏ trống chịu tải xoắn được trình bày trong hai nghiên cứu [63, 64, 66] Các nghiên cứu kể trên đều sử dụng CST ngoài trừ các nghiên cứu vừa mới được công bố [57, 63]

Chương này, luận án sẽ giải quyết bài toán ổn định vỏ trống FGM chịu tải cơ, tải nhiệt sử dụng TSDT được phát triển bởi Reddy và Liu [74] Mục 2.2 trình bày quá trình xác định nội lực, nội lực bậc cao và tìm ra hệ phương trình cân bằng với bốn phương trình đạo hàm riêng với bốn ẩn là hàm độ võng w (x, y), hàm ứng suất

F (x, y), và các hàm góc xoay ɸ x (x, y), ɸ y (x, y) Các mục tiếp theo 2.3 đến 2.5 sẽ lần lượt trình bày lời giải cho ba bài toán vỏ chịu áp lực ngoài (mục 2.3), vỏ chịu tải xoắn (mục 2.4), và vỏ chịu lực nén dọc trục và tải nhiệt (mục 2.5) Mục 2.6 xem xét bài toán ổn định của vỏ trống được gia cường bởi hệ thống gân dọc và gân vòng

Mục 2.7 là phần kết luận chương Phương pháp xuyên suốt trong các bài toán ở phần này là:

- Bước 1: chọn nghiệm hàm độ võng w (x, y), sau đó tìm ra dạng nghiệm của các ẩn hàm còn lại (hàm ứng suất F (x, y), và các hàm góc xoay ɸ x (x, y), ɸ y (x, y)) Dạng nghiệm của hàm độ võng được chọn trong từng bài toán được tham khảo từ các nghiên cứu trước đó, việc tìm ra dạng nghiệm tương ứng của các ẩn hàm còn lại là kết quả mới của luận án

- Bước 2: sử dụng phương pháp Galerkin và những phép biến đổi để tìm ra biểu thức tải vồng, biểu thức tải – độ võng cực đại Đây cũng là kết quả mới của luận án

Hình 1.3 Mô hình vỏ trống lồi và vỏ trống lõm Hình 2.1 Mô hình vỏ trống lồi và vỏ trống lõm

- Bước 3: lập trình để phục vụ mục đích so sánh số kiểm nghiệm sự tin cậy của các công thức lý thuyết, khảo sát số nhằm tìm ra những đặc trưng trong ứng xử ổn định của vỏ trống FGM, từ đó giúp ích cho các nhà thiết kế tạo ra các kết cấu an toàn và hiệu quả.

Các phương trình cơ bản của vỏ trống

Vỏ trống là một loại vỏ tròn xoay hai độ cong được tạo thành khi cho một cung tròn quay quanh trục nằm trong cùng mặt phẳng với cung tròn Vỏ trống với độ cong Gauss dương được gọi là vỏ trống lồi, vỏ có độ cong Gauss âm là vỏ trống lõm Khi bán kính cong a → ∞ thì vỏ trống trở thành vỏ trụ bán kính R Khảo sát vỏ trống có độ dài L, bán kính đường tròn xích đạo R, bán kính lớn a như biểu diễn ở Hình 2.1

Từ hình vẽ ta có bán kính của đường vĩ tuyến R 0 được cho bởi:

R 0 là khoảng cách từ một điểm trên vỏ đến trục đối xứng, φ là góc giữa pháp tuyến của vỏ với trục đối xứng a > 0 đối với vỏ trống lồi, a < 0 đối với vỏ trống lõm Sử dụng giả thiết vỏ thoải của Stein and McElman [59, 89] và Hutchinson [52], thì góc φ xấp xỉ π/2 Vì thế sinφ ≈ 1, cosφ ≈ 0 và R ≈ R 0, do vậy, có thể coi gần đúng mô hình vỏ trống được xem xét trong luận án là vỏ hai độ cong với bán kính cong không đổi là a và R Vỏ được làm bằng vật liệu FGM, phía trong là gốm phía ngoài là kim loại

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho trục x theo hướng kinh tuyến, trục y theo hướng vĩ tuyến, trục z theo theo hướng pháp tuyến và hướng vào trong, gốc tọa độ nằm ở mặt giữa và ở một đầu của vỏ

Quy luật vật liệu: Như đã trình bày ở chương 1, trong khuôn khổ luận án chỉ xét vỏ làm bằng vật liệu P-FGM, trong đó tỷ phần thể tích của thành phần gốm và kim thành phần kim loại lần lượt là: ( ) 2

= −   Các đặc trưng hiệu dụng là mô đun đàn hồi E, hệ số giãn nở nhiệt α và khối lượng riêng ρ được xác định theo mô hình Voigt như sau:

E cm = E c – E m ; α cm = α c – α m ; ρ cm = ρ c – ρ m ; k ≥ 0; – h/2 ≤ z ≤ h/2, trong đó h là độ dày của vỏ, k là chỉ số tỷ phần thể tích

Từ các thông tin trong Bảng 1.1, thấy rằng sự khác biệt giữa các hệ số Poisson của các thành phần kim loại và gốm là không lớn, và để cho đơn giản trong quá trình tính toán, trong khuôn khổ luận án, hệ số này được coi là hằng số

Vỏ trống là vỏ có hai độ cong, tất cả các bài toán được xét đến trong luận án đều dựa trên TSDT của Reddy và Liu phát triển [74] Theo lý thuyết này thì trường chuyển vị tại một điểm có tọa độ (x, y, z) có dạng:

(2.3) trong đó u, v, w là chuyển vị tại mặt giữa, ϕ x , ϕ y là góc quay của pháp tuyến của mặt giữa so với trục y và trục x tương ứng Dấu phẩy ở chỉ số dưới chỉ đạo hàm riêng theo biến tương ứng (ví dụ ,x w w x

Quan hệ biến dạng – chuyển vị cho vỏ trống được xác định như sau [74]:

Thay (2.3) vào (2.4), thực hiện các biến đổi, bỏ đi các vô cùng bé bậc cao, thu được hệ thức sau [74]:

; ; , x x x x y y y y xy xy xy xy xz xz xz yz yz yz zk z k zk z k zk z k z k z k

= + + = + = + (2.5) trong đó      x , , y xy , xz , yz là ten xơ biến dạng tại mặt giữa được xác định bởi:

3 3 y y y x x x xy y x x y xz x x yz y y x xx x x y yy y y xy xy x y y x k k k k w h k w k w h h k w k w h h

Mối liên hệ giữa ứng suất và biến dạng được cho bởi định luật Hook như sau:

1 1 ; 2 1 xy xy x y x xz xz y y x yz yz z T

(2.8) trong đó T là độ tăng nhiệt độ từ trạng thái tự do với ứng suất nhiệt Trong khuôn khổ luận án T được giả thiết là như nhau tại mọi vị trí trong vỏ

Các thành phần nội lực, nội lực bậc cao của vỏ có dạng:

, ,1 ; , ; , , , ,1 h j j j j h h h j j jz xy xy xy xy h h

Thực hiện các phép tính tích phân dọc theo chiều dày vỏ, các thành phần nội lực, nội lực bậc cao ở công thức trên có dạng sau:

2 1 2 1 6 1 x x y y y x x xx y y x x y y y x y x x y y yy x x y y x x xy xy y x x y xy y x x y

2 1 2 1 6 1 x x y x x y y xx y y x x y y y x y x x y y yy x x y y x x xy xy y x x y xy y x x y

2 1 2 1 6 1 x x y y y x x xx y y x x y y y x y x x y y yy x x x x y y xy xy y x x y xy y x x y

(2.13) trong đó các hệ số E i (i = 1-5, 7) và các tham số nhiệt Φ1, Φ2, Φ4 được trình bày trong Bảng A1 của phần phụ lục

Vỏ được giải thiết là bao quanh bởi nền đàn hồi Lực tương tác giữa nền và vỏ theo mô hình nền Pasternak có dạng [70]:

42 trong đó K 1 (N/m 3 ) là mô dun của nền Winkler, K 2 (N/m) là độ cứng chống cắt của mô hình Pasternak, w là độ võng của vỏ,  là toán tử Laplace ( = w w , xx + w , yy )

Theo tài liệu tham khảo [74], hệ phương trình cân bằng của vỏ trống chịu tác dụng của áp lực ngoài q (N/m 2 ) có dạng:

/ 2 0 x x y y x x y y x xx xy xy y yy x y y yy xy xy x xx xx yy

Các bài toán được trình bày trong luận án sử dụng phương pháp hàm ứng suất

Theo phương pháp này, hàm ứng suất F = F (x, y) được đưa vào sao cho:

Khi đó phương trình (2.15) thỏa mãn đồng nhất Thay (2.19) vào (2.10), sau vài phép biến đổi ta thu được các phương trình:

3 2 yy xx x x x xx x x yy xx y y y yy y y xy xy y x x y y x xy x y

Thay (2.20) vào các biểu thức nội lực bậc cao trong (2.11-2.13), sau đó thay các kết quả vừa tìm được vào hệ phương trình (2.16-2.18), rút gọn ta thu được hệ ba phương trình sau:

2 0 y y x x yy xx yy xx xx yy xy xy

3 x yy , x yy , y yx , 2 x xx , y yx , 4 , xyy , xxx 5 x , x 0

3 x xy , y xx , x xy , y xx , 2 y yy , 4 , xxy , yyy 5 y , y 0,

A  − + + +  + A w + w + A  + w = (2.23) trong đó  là toán tử Laplace kép :  = F F , xxxx + 2 F , xxyy + F , yyyy Các hệ số

A i (i = 1-5) được trình bày trong Bảng A2 của phần phụ lục

Ba phương trình đạo hàm riêng (2.21-2.23) có bốn ẩn hàm là hàm ứng suất

F = F (x, y), hàm độ võng w = w (x, y), các hàm góc xoay ϕ x = ϕ x (x, y) và ϕ y = ϕ y (x, y) Còn thiếu một phương trình nữa để khép kín hệ, đó chính là phương trình tương thích biến dạng Xuất phát từ mối quan hệ giữa ten xơ biến dạng với các thành phần chuyển vị ở phương trình (2.6), thực hiện một vài phép biến đổi dẫn đến phương trình tương thích biến dạng cho vỏ trống như sau :

, , , , , , , / , / y xx x yy xy xy w xy w w xx yy w yy a w xx R

Thay thế    x , y , xy từ phương trình (2.20) vào (2.24), sau vài phép biến đổi dẫn đến phương trình sau :

1 , xy 1 , xx , yy , yy , xx

Phương trình tương thích (2.25) cùng với ba phương trình cân bằng (2.21-

2.23) tạo thành một hệ bốn phương trình đạo hàm riêng với bốn ẩn hàm F = F (x, y), w = w (x, y), ϕ x = ϕ x (x, y) và ϕ y = ϕ y (x, y) Bốn phương trình này là các phương trình chủ đạo được sử dụng cho bài toán phân tích ổn định tĩnh vỏ trống dưới tác dụng của tải cơ và tải nhiệt trong các mục tiếp theo từ 2.3 đến 2.5 Việc tìm ra hệ bốn phương trình nói trên là kết quả mới của luận án Nếu sử lý thuyết vỏ mỏng thì hệ phương trình tương ứng sẽ có hai phương trình với hai ẩn hàm là hàm ứng suất F = F (x, y) và hàm độ võng w = w (x, y) (hệ phương trình (13-14) trong tài liệu [25]) Như vậy

44 bài toán được xét trong luận án có lẽ phức tạp hơn bài toán tương ứng khi sử dụng lý thuyết vỏ mỏng (bốn phương trình-bốn ẩn hàm so với hai phương trình-hai ẩn hàm) Để có được kết quả phân tích ổn định thì việc tiếp theo là sử dụng hệ bốn phương trình vi phân đạo hàm riêng nói trên tìm ra tải tới hạn và mối liên hệ tải – độ võng sau tới hạn Việc này có thể thực hiện bằng các phương pháp số hoặc phương pháp giải tích Ưu điểm của phương pháp giải tích là cho ra các biểu thức hiển về tải tới hạn và biểu thức hiển của mối quan hệ tải – độ võng giúp cho việc phân tích ổn định theo các tham số được dễ dàng và thuận tiện

Trong phần tiếp theo phương pháp giải tích với thủ tục Galerkin sẽ được sử dụng để biến đổi hệ phương trình cơ bản, từ đó cho ra biểu thức tải tới hạn cũng như biểu thức tải – độ võng Cuối cùng các so sánh để kiểm chứng độ tin cậy của phương pháp tiếp cận cũng như những khảo sát số sẽ được thực hiện nhằm minh họa, phân tích những ảnh hưởng của các tham số nền, tham số vật liệu, tham số hình học đến ứng xử ổn định của vỏ trống Trong phần tiếp theo bốn trường hợp chịu tải của vỏ : tải xoắn, tải áp lực ngoài, tải nén dọc trục và tải nhiệt sẽ lần lượt được khảo sát.

Phân tích ổn định vỏ trống FGM chịu áp lực ngoài 1 Phương pháp Galerkin

Xét vỏ trống tựa đơn ở hai đầu và chịu áp lực ngoài phân bố đều trên bề mặt vỏ với cường độ q (N/m 2 ) (xem Hình 2.2) q q q q

Hình 2.2 Vỏ trống chịu tác dụng của áp lực ngoài

Khi đó, điều kiện biên có dạng [4, 5]: w = 0, ɸ y = 0, N xy = 0, N x = 0, M x = 0 tại x = 0 và x = L (2.26)

Hàm độ võng với ba số hạng thỏa mãn điều kiện biên (w = 0 tại x=0 và x=L) theo nghĩa trung bình [5, 7, 9] được chọn như sau:

0 1sin sin 2sin w W= +W Mx Ny W+ Mx (2.27) trong đó m

N = R, m, n є N * , W 0, W 1, W 2 không phụ thuộc vào tọa độ Các điều kiện biên còn lại sẽ được kiểm chứng sau khi xác định các ẩn hàm còn lại: ϕ x = ϕ x (x, y), ϕ y = ϕ y (x, y) và F (x, y) Thế hàm độ võng w ở (2.27) vào các phương trình (2.22), (2.23) và (2.25) dẫn đến hệ phương trình sau:

2 1 sin sin sin 3 sin 0,5 cos 2

8 - 2 cos 2 sin sin x xyy y yxx x xyy x xxx y yxx x x

2 sin sin x xyy x xyy y yxx y yxx y yyy y y

Phương trình (2.28) có dạng tương tự như phương trình (21) của tài liệu tham khảo [21] và phương trình (18) của tài liệu tham khảo [25] ([21, 25] trình bày về nghiên cứu ổn định tĩnh vỏ trống chịu tác dụng của áp lực ngoài theo CST), do đó, dạng nghiệm của phương trình này được tham khảo trong các tài liệu [21, 25] như sau:

2 4 sin sin cos 2 sin 3 sin cos 2

Hai phương trình (2.29) và (2.30) là điểm khác của nghiên cứu sử dụng lý thuyết biến dạng trượt bậc cao so với các nghiên cứu sử dụng lý thuyết vỏ mỏng

Dạng nghiệm của (2.29) và (2.30) có dạng:

1 1cos sin 2 2sin 2 x C W Mx Ny C W Mx

Việc tìm ra dạng nghiệm cho hai phương trình (2.29) và (2.30) là một điểm mới của nghiên cứu này Thay (2.31-2.33) vào (2.28-2.30), sau đó cân bằng hệ số của các hàm điều hòa ở hai bên của phương trình để xác định các hệ số

B i= C j= và D 1 ( ) 1 (Bảng A3 của phần phụ lục) Đến đây, ta có thể kiểm tra được điều kiện biên N xy = 0, ɸ y = 0 tại x = 0 và x = L được thỏa mãn trực tiếp, trong khi đó điều kiện còn lại M x = 0, N x = 0 tại x = 0 và x = L được thỏa mãn theo nghĩa trung bình [5, 7], tức là:

Thay các hàm F, ϕ x , ϕ y ở (2.31-2.33) vào phương trình (2.21) ta thu được phương trình dạng Φ (x, y) = 0 Phương trình trên không thỏa mãn với mọi x và y Ở đây ta cho phương trình Φ (x, y) = 0 thỏa mãn theo nghĩa Galerkin như sau [5, 7]:

Sau một số phép tính toán, các tích phân Galerkin được đưa về dạng sau:

H W − H WW −H WW +H W + hN W = (2.37) trong đó các hệ số H i ( ) 1 ( i= 1 5 ) được liệt kê trong Bảng A4 của phần phụ lục

Các loại vỏ kín như vỏ nón, vỏ trụ, vỏ trống luôn thỏa mãn điều kiện chu vi kín Điều kiện này được sử dụng rộng rãi trong nhiều nghiên cứu ví dụ như các nghiên cứu trong [5, 7, 9] Trong nghiên cứu này vỏ trống cũng thỏa mãn điều kiện chu vi kín như sau:

Sử dụng (2.6), (2.20), (2.27), và (2.31-2.33), phương trình (2.38) được biến đổi về dạng:

Từ biểu thức hàm độ võng (2.27), độ võng cực đại của vỏ được xác định như sau: w max = W 0 + W 1 + W 2 (2.40)

Từ hệ các phương trình (2.35-2.37) và (2.39) ta giải ra được q và w max như sau:

Kết hợp (2.41) và (2.42) ta vẽ được đường cong tải – độ võng cực đại, từ đó phân tích được ứng xử của vỏ trống ở giai đoạn sau khi mất ổn định Lấy giới hạn của q ở phương trình (2.41) khi cho W 2 → 0, dẫn đến biểu thức của tải vồng cận trên như sau:

Cực tiểu q buck ở biểu thức (2.43) theo m, n bằng phương pháp số ta tìm được tải tới hạn (q cr ) Để giải bài toán ổn định vỏ chịu tác dụng của áp lực ngoài, một số nghiên cứu đã thực hiện với dạng nghiệm một số hạng được chọn, ví dụ nghiên cứu [40] Tuy nhiên, với dạng nghiệm một số hạng thì trong kết quả cuối cùng ở biểu thức tải tới hạn hay biểu thức tải – độ võng cực đại sẽ chỉ khảo sát được với các mode m và n đều là các số lẻ, do trong quá trình thực hiện thủ tục Galerkin sẽ bị mất các mode khác

Trong luận án, dạng nghiệm ba số hạng được chọn không chỉ đầy đủ, tiệm cận gần thực tế hơn do tính đến số hạng vồng phi tuyến mà còn giúp khảo sát đầy đủ các mode Việc sử dụng dạng nghiệm ba số hạng và tìm ra biểu thức cụ thể của các ẩn hàm F (x, y), ɸ x (x, y) và ɸ y (x, y), biểu thức của tải tới hạn và biểu thức tải – độ võng là một trong các kết quả mới trong luận án

2.3.2.1 So sánh Để kiểm tra các công thức vừa được thiết lập, một nghiên cứu so sánh sẽ được thực hiện Khảo sát vỏ trống FGM có các tham số hình học, thuộc tính vật liệu và các tham số nền đàn hồi được chọn như sau: R = 0,5 m, a = 4R, L = 2R, E m = 105,69 GPa,

E c = 168,08 GPa, ν m = ν c = 0,3, k = 1, K 1 = 1,5.10 7 N/m 3 , K 2 = 1,5.10 5 N/m Tỷ số R/h được chọn lần lượt bằng 10, 20, 30, 40, 50, 80, 100, 200 và 500 Sử dụng công thức số (2.43), tải tới hạn được tính toán và được so sánh với các kết quả tương ứng được tính toán theo công thức (34) trong tài liệu [25], sử dụng CST Kết quả tính toán, so sánh được trình bày ở Bảng 2.1

Bảng 2.1 So sánh tải tới hạn q cr (MPa)

Có nền đàn hồi Không có nền đàn hồi Luận án Bích và cộng sự [25]

Luận án Bích và cộng sự [25]

Sai số % 10 355,57(1,4) a 368,51(1,4) 3,64 354,558(1,4) 367,494(1,4) 3,52 20 73,875(1,5) 74,755(1,5) 1,2 73,165(1,5) 74,044(1,5) 1,19 30 30,373(1,6) 30,596(1,6) 0,73 29,794(1,6) 30,017(1,6) 0,74 40 16,527(1,7) 16,620(1,7) 0,56 16,023(1,7) 16,116(1,7) 0,58 50 10,362(1,7) 10,393(1,7) 0,3 9,865(1,7) 9,896(1,7) 0,31 80 4,046(1,9) 4,054(1,9) 0,19 3,627(1,9) 3,634(1,9) 0,21 100 2,670(1,10) 2,674(1,10) 0,14 2,273(1,10) 2,277(1,13) 0,16 200 0,895(1,14) 0,896(1,14) 0,05 0,543(1,13) 0,543(1,13) 0,06 500 0,4124(1,23) 0,4125(1,23) 0,01 0,08403(1,21) 0,08405(1,21) 0,02 a Mode vồng (m, n)

Những thông tin trong Bảng 2.1 cho thấy sự tương đồng cao giữa kết quả tính toán của nghiên cứu này với nghiên cứu [25], điều đó cho thấy phương pháp tiếp cận cũng như các tính toán trong luận án là đáng tin cậy Ở một khía cạnh khác, thông tin trong Bảng 2.1 cũng cho thấy đối với vỏ mỏng, sự khác nhau của tải tới hạn được tính toán ở nghiên cứu này và giá trị tương ứng ở nghiên cứu [25] là khá nhỏ, sai số càng lớn khi vỏ càng dày hơn Chẳng hạn, khi R/h = 500 (vỏ mỏng) thì tải tới hạn được tính ở hai nghiên cứu trong trường hợp không nền lần lượt là 0,41241 MPa (nghiên cứu này) và 0,41245 MPa (nghiên cứu [25]), sự sai khác khoảng 0,01%, nhưng khi R/h = 10 (vỏ khá dày) thì sự sai khác tương ứng vào khoảng 3,64% Điều đó có thể được giải thích là đối với vỏ mỏng thì giả thiết về ‘pháp tuyến thẳng và vuông góc với mặt giữa trong suốt quá trình biến dạng’ trong lý thuyết vỏ cổ điển là phù hợp, tuy nhiên, vỏ càng dày thì các giả thiết này càng không phù hợp với thực tế Trong khi đó, lý thuyết vỏ bậc cao có tính toán đến sự đổi phương và cong đi của các sợi vật chất trong quá trình biến dạng, rõ ràng mô hình này gần với thực tế hơn mô hình trong lý thuyết vỏ cổ điển, đặc biệt cho vỏ dày

2.3.2.2 Khảo sát ổn định của vỏ trống FGM

Trong các phần khảo sát sau đây, các tham số nền, vật liệu và hình học được chọn như mục 2.3.2.1 Ảnh hưởng của sự phân bố vật liệu đến khả năng chịu tải của vỏ

Mục này sẽ khảo sát ảnh hưởng của hệ số k đến ứng xử cơ học của vỏ Sử dụng các công thức (2.41), (2.42) và (2.43), cùng với các kích thước hình học và các tham số vật liệu được chọn trong mục 2.3.2.2, ảnh hưởng của chỉ số k lên tải tới hạn và mối quan hệ tải – độ võng được khảo sát Các kết quả số được hiển thị trong Bảng 2.2, Hình 2.3, và Hình 2.4

Phân tích ổn định vỏ trống sandwich có lõi FGM chịu tải nén dọc trục và

tải nhiệt 2.5.1 Phương pháp Galerkin

Phần này khảo sát vỏ trống có ba lớp với tổng độ dày là h, trong đó lớp lõi có độ dày h co làm bằng vật liệu FGM, hai lớp ngoài mỏng hơn với cùng độ dày h f làm từ vật liệu thuần nhất Lớp trong là gốm và lớp ngoài là kim loại Mô hình vật liệu được mô tả như hình vẽ sau [2, 4, 5, 10]:

Hình 2.27 Mô hình vật liệu FGM sandwich

Các đặc trưng hiệu dụng là mô đun đàn hồi Evà hệ số giãn nở nhiệt α được xác định như sau [2, 4, 5, 10]: h f h f h co z 1 z 2 z 3 z 4 z x, y Kim loại

Hệ phương trình chủ đạo và các biểu thức nội lực vẫn có dạng như (2.10), (2.11), (2.12), và (2.13), trong đó các hệ số E i (i = 1-5, 7) và các tham số nhiệt được thay thế bởi các biểu thức tương ứng trong Bảng A7 của phần phụ lục

Khảo sát vỏ trống tựa đơn ở hai đầu và chịu lực nén dọc trục hoặc tải nhiệt

Hai trường hợp sau được xem xét:

Trường hợp 1: hai đầu vỏ có thể di chuyển (độ dài vỏ có thể thay đổi) và chịu tác dụng của lực nén dọc trục (xem Hình 2.28), điều kiện biên có dạng [40]: w = 0, M x = 0, N xy = 0, ɸ y = 0, N x = N x0, P x = 0 tại x = 0 và x = L (2.62)

Trường hợp 2: hai đầu vỏ không thể di chuyển (độ dài của vỏ không thay đổi) và chịu tác dụng của tải nhiệt, điều kiện biên có dạng [40]:

Hình 2.28 Vỏ trống chịu lực nén dọc trục

, trong đó N x = N x0 là lực nén dọc trục trung bình theo hướng x trong trường hợp 1 và là phản lực tại hai đầu vỏ trong trường hợp 2

Dạng nghiệm xấp xỉ một số hạng được chọn cho cả hai trường hợp như sau [40]: sin sin w = W Mx Ny (2.64)

Thực hiện những bước biến đổi như ở bài toán vỏ chịu áp lực ngoài (mục 2.3), thu được dạng nghiệm của các ẩn hàm còn lại như sau:

 = (2.67) trong đó các hệ số B i ( ) 3 ( i=1, 2 ,) C 1 ( ) 3 và D 1 ( ) 3 được trình bày trong Bảng A8 của phần phụ lục

Thay các biểu thức của các ẩn hàm w, F, ϕ x và ϕ y ở (2.64-2.67) vào phương trình chủ đạo (2.21), sau đó cho phương trình này thỏa mãn dưới dạng trung bình có trọng số (Galerkin), dẫn đến các phương trình sau:

H − K − K N + M − N N − M N + H W = (2.69) trong đó các hệ số H i ( ) 3 ( i=1, 2 ) được tra cứu trong Bảng A9 của phần phụ lục

Trường hợp 1: vỏ chịu tác dụng của tải cơ

Gọi cường độ của lực nén dọc trục là P, ta có: N x0 = – Ph Khử N y0 ở hai phương trình (2.68) và (2.69) dẫn đến biểu thức tải – độ võng cực đại như sau:

Cho W → 0, biểu thức (2.70) dẫn đến biểu thức của tải vồng cận trên theo tiêu chuẩn rẽ nhánh như sau:

Cực tiểu P buck ở phương trình (2.71) theo mode (m, n) sẽ thu được tải tới hạn

P cr Đặc biệt hóa biểu thức tải vồng (2.71) cho trường vỏ trống làm bằng vật liệu thuần nhất đẳng hướng và không xét đến ảnh hưởng của nền đàn hồi dẫn đến:

Trong khi đó Hutchinson [52] sử dụng lý thuyết vỏ cổ điển cũng tìm ra được biểu thức của tải vồng cho vỏ trống chịu nén dọc trục như sau:

So sánh hai biểu thức (2.72) và (2.73) có thể nhận thấy chúng khác nhau một lượng là vô cùng bé bậc bốn của độ dày vỏ Kết quả số ở phần sau sẽ cho thấy rõ hơn sự khác biệt này

Trường hợp 2: vỏ chịu tác dụng của tải nhiệt

Khảo sát vỏ trống FGM sandwich tựa đơn và bị chặn ở hai đầu, chịu tác dụng của tải nhiệt So với trường hợp 1 thì trường hợp này vỏ có thêm điều kiện sau [40, 82]:

Dưới tác dụng của nhiệt độ, vỏ có thể bị dài ra, tuy nhiên hai đầu vỏ bị chặn lại làm phát sinh phản lực, gây ra sự vồng cho vỏ Phương trình (2.74) mô tả điều kiện vỏ bị chặn lại ở hai đầu Với sự trợ giúp của các phương trình (2.6) và (2.20), phương trình (2.74) được đưa về dạng:

1 1 x 2 x xx yy xx x x w cE E cE u w w F F

Thay thế các biểu thức của các ẩn hàm w (x, y), ϕ x (x, y) và F (x, y) ở (2.64- 2.66) vào (2.75), sau đó đưa vào tích phân (2.74) dẫn đến:

Khử N x0 và N y0 trong các phương trình (2.68), (2.69) và (2.76) dẫn đến:

Mặt khác, theo Bảng A7 của phần phụ lục, ta có: Φ1 = Φ10ΔT với

10 1 2 1 m cm cm m co cm cm co m m f f

 = +  + + +  + +  Vậy quan thệ độ biến nhiệt độ – biên độ độ võng của vỏ trống FGM sandwich được xác định như sau:

Cho W → 0, phương trình (2.78) dẫn về biểu thức của tải nhiệt vồng cận trên theo tiêu chuẩn rẽ nhánh như sau:

 = −   − − +  (2.79) Độ biến thiên nhiệt độ tới hạn (ΔT cr) sẽ là giá trị nhỏ nhất của ΔT buck theo mode vồng

Mục này sẽ trình bày một so sánh của tải nén dọc trục tới hạn với nghiên cứu của Hutchinson [52] cho vỏ trống làm bằng vật liệu thuần nhất đẳng hướng Các tính chất vật liệu và kích thước hình học được chọn như sau: E = 70 GPa, ν = 0,3, h 0,001 m, L = R Sử dụng công thức (2.73), tải tới hạn được tính toán và được so sánh trong Bảng 2.12 với kết quả được tính toán theo công thức (2.72) của Hutchinson

So sánh cho thấy, các kết quả của tài liệu [52] và của luận án là phù hợp với nhau

Hơn thế nữa, sai số giảm dần khi tỷ số R/h tăng lên

Bảng 2.12 So sánh tải nén tới hạn P cr (MPa)

P cr (MPa) Hutchinson [52] Luận án Sai số (%)

R = 50h 497,615 495,526 0,421 Để kiểm chứng công thức tải nhiệt tới hạn, so sánh thứ hai được thực hiện với kết quả được công bố bởi Shen [81] và Wu và cộng sự [98] cho vỏ trụ FGM Hai

75 nghiên cứu [81, 98] đều sử dụng lý thuyết vỏ mỏng Các tham số được cho như sau:

E m = 207,79 GPa, E c = 322,27 GPa, α m = 1,5321.10 -5 1/K, α c = 0,7474.10 -5 1/K, ν m = ν c = 0,3, h = 0,001 m, h f = 0 m, R = 400h, T cr = T i + ΔT cr, L 2 = 300Rh, T i = 300 K (nhiệt độ phòng) Tải nhiệt tới hạn T cr = T i + ΔT cr được tính toán và được liệt kê trong Bảng 2.13 Có thể nhận thấy kết quả của tải nhiệt tới hạn tính toán trong luận án phù hợp tốt với các kết quả trong các tài liệu [81, 98]

Bảng 2.13 So sánh tải nhiệt tới hạn T cr (K)

Hệ số k Shen [81] Wu và cộng sự [98] Luận án

2.5.2.2 Kết quả số và thảo luận

Trong phần này, các tính chất vật liệu được chọn theo tài liệu [81]: Ảnh hưởng của tỷ số h f /h và chỉ số tỷ phần thể tích k đến sự ổn định của vỏ

Ảnh hưởng cơ tính của vật liệu FGM (đặc trưng bởi hệ số k) và tỷ số giữa độ dày lớp vỏ với tổng độ dày của kết cấu FGM sandwich h f /h tới tải nén dọc trục và tải nhiệt tới hạn được trình bày trong Bảng 2.14 Trong khi đó đường cong tải nén dọc trục-độ võng cực đại và tải nhiệt – độ võng cực đại được minh họa trong các Hình 2.29 đến 2.34 Các tham số được chọn như sau: h = 0,01 m, R = 50h, L = R, a = ± 10R, K 1 = 1,5.10 7 N/m 3 , K 2 = 1,5.10 5 N/m

Bảng 2.14 Sự phụ thuộc của tải tới hạn vào tỷ số h f /h và sự phân bố vật liệu k và tỷ số h f /h

Vỏ trống lõm Vỏ trống lồi Vỏ trống lõm Vỏ trống lồi k = 1 h f /h = 0,1 1922,56 (1,6) a 3171,23 (4,1) 639,55 (1,6) 1120,17 (4,1)

Thông tin trong Bảng 2.14 cho thấy một điều khá thú vị là khi tỷ số giữa độ dày lớp áo sandwich và tổng độ dày kết cấu h f /h tăng lên thì tải nén tới hạn giảm đi trong khi đó tải nhiệt tới hạn lại tăng cho cả vỏ trống lồi và vỏ trống lõm Ví dụ, khi tỷ số h f /h tăng từ giá trị h f /h = 0,1 lên giá trị h f /h = 0,15 thì tải nén tới hạn của vỏ trống lõm giảm từ giá trị P cr = 1922,56 MPa xuống giá trị P cr = 1918,30 MPa, trong khi đó tải nhiệt tới hạn lại tăng từ giá trị ΔT cr = 639,55 K lên giá trị ΔT cr = 641,42 K Vỏ trống lồi cũng phô diễn ứng xử tương tự Khi tỷ số h f /h tăng từ giá trị h f /h = 0,1 lên giá trị h f /h = 0,15 thì giá trị của tải nén tới hạn của vỏ trống lồi giảm từ giá trị P cr = 3171,23 MPa xuống giá trị P cr = 3166,98 MPa, trong khi đó tải nhiệt tới hạn lại tăng từ giá trị ΔT cr = 1120,7 K lên giá trị ΔT cr = 1124,45 K Bảng 2.14 cũng cho thấy khi chỉ số tỷ phần thể tích k tăng thì cả tải nén dọc trục tới hạn và tải nhiệt tới hạn đều giảm

Phân tích ổn định vỏ trống FGM có gân gia cường chịu áp lực ngoài 1 Giới thiệu

Trong thực tế, để tăng cường khả năng chịu lực của kết cấu người ta có thể thêm vào kết cấu chính một hệ thống gân Rõ ràng, những hiểu biết về tác động của

82 gân gia cường đến ứng xử cơ học của kết cấu là cần thiết và hữu ích cho các nhà thiết kế Đối với các kết cấu FGM được gia cường bởi hệ thống gân đã có nhiều nghiên cứu được thực hiện, ví dụ như các nghiên cứu về ứng xử cơ học của kết cấu vỏ trụ có gân gia cường [31, 33, 37, 40], vỏ nón có gân gia cường [29, 32, 35, 38], vỏ trống có gân gia cường [23, 24, 64-66]

So với bài toán của kết cấu không gân, thì bài toán tương ứng cho kết cấu có gân phức tạp hơn, các phương trình toán học xuất hiện nhiều hệ số hơn, gây khó khăn cho việc tính toán Đặc biệt, bài toán sử dụng HSDT cho kết cấu có gân sẽ có khối lượng tính toán lớn hơn hẳn so với các bài toán cho kết cấu không gân Đối với kết cấu vỏ trống có gân, các nghiên cứu kể trên [23, 24, 64-66] đếu sử dụng CST, chưa có nghiên cứu nào cho vỏ trống có gân sử dụng HSDT Phần này sẽ trình bày một lời giải cho bài toán ổn định của vỏ trống FGM có gân gia cường Mô hình bài toán được xây dựng trong khuôn khổ của TSDT

2.6.2 Các phương trình cơ bản

Khảo sát vỏ trống FGM có các kích thước hình học như được mô tả ở mục 2.2

Hệ thống gân dọc và gân vòng FGM được gia cường vào phía trong vỏ sao cho sự liên tục của vật liệu giữa vỏ và gân được thỏa mãn (Xem Hình 2.43)

Hệ tọa độ được chọn sao cho trục x hướng theo đường sinh, trục y hướng theo đường vòng, trục z hướng vào phía trong, gốc tọa độ được đặt tại mặt giữa và ở một đầu của vỏ Quy luật vật liệu của vỏ và gân được mô tả bởi các phương trình sau [24, 66]:

  (2.82) trong đó k là chỉ số tỷ phần thể tích của vật liệu, c, m, s và r ký hiệu cho gốm, kim loại, vân dọc và gân vòng h r , h s lần lượt là độ dày của gân vòng và gân dọc E s , E r là mô đun đàn hồi hiệu dụng của vật liệu tại một điểm trên gân dọc và trên gân vòng cách mặt giữa một đoạn z

Có thể nhận thấy từ các phương trình (2.80-2.82) rằng sự liên tục về vật liệu giữa vỏ và gân được thỏa mãn Hệ số Poisson được cho là hằng số Vỏ được bao quanh bởi nền đàn hồi Pasternask

Hình 2.43 Vỏ trống có gân gia cường

Các hệ thức liên hệ giữa các thành phần của tenxo biến dạng với các thành phần chuyển vị tại một điểm trên vỏ hoặc trên gân vẫn có dạng như các công thức (2.4), (2.5), và (2.6) Hệ thức liên hệ giữa ứng suất và biến dạng của một điểm trên vỏ vẫn được cho bởi phương trình (2.8), trong khi đó hệ thức giữa ứng suất với biến dạng tại một điểm trên gân thì được cho bởi [23, 24, 64-66]:

Các thành phần nội lực tổng cộng của vỏ và gân được cho bởi công thức sau:

, , , ,1 h s s s j j j j j j j h h s s j j jz j j h h xy xy xy xy h

(2.84) trong đó N M P Q R s j , s j , j s , s j , s j với j = x, y là các thành phần nội lực, nội lực bậc cao được đóng góp bởi gân Sử dụng quan hệ biến dạng – chuyển vị, ứng suất – biến dạng và kỹ thuật san đều tác dụng gân của Lekhnitskii thu được hệ thức sau:

34 , 33 , 32 , 31 x yy xx y y x x y x y yy xx y y x x y x xy xy y x x y xy b w b w b b b N b N b w b w b b b N b N b w b b b N

34 , 33 , 32 , 31 x yy xx y y x x y x y yy xx y y x x y x xy xy y x x y xy

34 , 33 , 32 , 31 x yy xx y y x x y x y yy xx y y x x y x xy xy y x x y xy

 (2.88) trong đó các hệ số b c d ij * , ij * , ij * ,e g * ij , ij * được cho trong Bảng A10 của phần phụ lục

Thay thế các biểu thức nội lực ở (2.86-2.88) vào các phương trình cân bằng của vỏ trống (2.16-2.18), đồng thời thay thế các biểu thức của  x ,  y và  xy ở (2.85) vào (2.24) dẫn đến hệ phương trình sau:

0 yy xx xxyy yyyy xxxx xx yy yy xx xy xy yy xx yy xx xxyy yyyy xxxx y y x x y yxx x xyy y yyy x xxx

28 27 , 26 , 25 , 0 xxx xyy xxx xyy x x y xy x yy x xx a F a F a w a w a w a  a  a  a 

34 , 33 , 32 , 31 , 0 y y x xy y xx y yy xxy yyy xxy yyy a w a a a a a w a w a F a F

1 1 y yxx y yyy x xyy x xxx xxyy xxxx yyyy xxyy yyyy xxxx yy xx xx yy xy a a a a a F a F a F a w a w a w w w w w w a R

(2.92) trong đó các hệ số a ij được liệt kê trong Bảng A11 của phần phụ lục

Có thể nhận thấy hệ phương trình (2.89-2.92) cho vỏ trống có gân gia cường vẫn có bốn phương trình với bốn ẩn hàm là w (x, y), ϕ x (x, y), ϕ y (x, y), và F (x, y) tương tự như hệ phương trình (2.21-2.23, 2.25) cho vỏ trống không gân nhưng phức tạp hơn về hệ số, điều đó dẫn đến những khó khăn trong quá trình tìm ra lực tới hạn của vỏ Mục tiếp theo sẽ trình bày chi tiết hơn những khác biệt khi giải bài toán vỏ có gân so với bài toán tương ứng của vỏ không gân

2.6.3 Biểu thức tải tới hạn và biểu thức tải – độ võng cực đại

Khảo sát vỏ trống FGM tựa đơn ở hai đầu, chịu áp lực ngoài với cường độ q Điều kiện biên vẫn có dạng như vỏ trống không gân (2.26) Dạng nghiệm ba số hạng có tính đến số hạng vồng phi tuyến được chọn như mục (2.27) của vỏ trống không gân Thay dạng nghiệm của hàm độ võng ở (2.27) vào hệ (2.89-2.91), thu được một hệ 3 phương trình đạo hàm riêng với ba ẩn hàm là ϕ x (x, y), ϕ y (x, y), và F (x, y) như sau:

11cos 2 12sin sin xxxx xxyy x xxx x xyy y yxx x x u F u F u u u u

21sin sin yyyy xxyy y yyy y yxx x xyy y y u F u F u u u u

31cos 2 32cos 2 33sin sin 34sin 3 sin xxxx yyyy xxyy x xxx y yyy x xyy y yxx u F u F u F u u u u

G Mx G Ny G Mx Ny G Mx Ny

= + + + (2.95) trong đó các hệ số u ij và G ij được chỉ ra trong Bảng A12 của phần phụ lục

Hệ này tương tự như hệ (2.28-2.30) đối với vỏ trống không gân Tuy nhiên, hệ

(2.28-2.30) tách biến, tức là phương trình (2.28) chỉ chứa một ẩn hàm F (x, y), hệ còn lại (2.29-2.30) chứa hai ẩn hàm đồng thời là ϕ x (x, y) vàϕ y (x, y) Trong khi đó đối với vỏ trống có gân ở mục này, hệ (2.93-2.95) không tách biến – đó là một trong những khó khăn khi giải bài toán cho vỏ trống có gân so với bài toán tương tự ở vỏ trống không gân Ở bài toán tương tự của vỏ trống không gân và vỏ trống có gân sử dụng lý thuyết vỏ mỏng, phương trình tương ứng chỉ có một phương trình với một ẩn hàm là F (x, y) (phương trình (17) trong [64], (21) trong [21], và (18) trong [25]) Dạng nghiệm của hệ (2.93-2.95) có dạng:

1 sin 3 sin sin sin cos 2 sin 3 sin sin sin cos 2 cos 2 cos 2 sin 3 sin sin sin

C Mx Ny C Mx Ny C Mx

D Mx Ny D Mx Ny D Ny

(2.96) với các hệ số B i ( ) 4 ,C i ( ) 4 ,D i ( ) 4 được xác định trong Bảng A12 của phần phụ lục

Việc xác định được các ẩn hàm F (x, y), ϕ x (x, y) vàϕ y (x, y) như ở (2.96) là một điểm mới của luận án Thay thế các biểu thức của các hàm w (x, y), F (x, y), ϕ x

(x, y) vàϕ y (x, y) vừa tìm được vào (2.89), sau đó áp dụng thủ tục Galerkin dẫn đến các phương trình sau:

H W +H WW +H WW +H W − hN W = (2.99) trong đó các hệ số H i ( ) 4 được xác định trong Bảng A13 của phần phụ lục Điều kiện chu vi kín cho vỏ trống có gân có dạng tương tự như vỏ trống không gân (2.38) Phương trình này có thể được biến đổi về dạng sau:

Từ hai tích phân Galerkin (2.97, 2.98) và điều kiện chu vi kín (2.100), sau vài phép biến đổi dẫn đến:

Khử Ϭ 0y từ hai phương trình (2.99) và (2.103) thu được biểu thức tải – độ võng như sau:

Cho W 2 → 0, phương trình (2.104) dẫn đến biểu thức của tải vồng cho vỏ trống FGM có gân gia cường như sau:

Tải tới hạn sẽ là giá trị nhỏ nhất của tải vồng theo mode vồng (m, n) Hơn nữa từ các phương trình (2.101) và (2.102), độ võng cực đại của vỏ được xác định theo phương trình:

Hệ gồm hai phương trình (2.104) và (2.106) xác lập quan hệ tải – độ võng cực đại giúp khảo sát ứng xử của vỏ trống FGM sau vồng

Kết luận của chương 2

Chương 2 đã khảo sát bốn bài toán ổn định tĩnh của vỏ trống FGM đó là: vỏ trống FGM không gân chịu tải áp lực ngoài; vỏ trống FGM không gân chịu tải xoắn; vỏ trống FGM sandwich không gân chịu tải nén dọc trục hoặc tải nhiệt; vỏ trống FGM có gân gia cường chịu áp lực ngoài Các khảo sát số đã được thực hiện nhằm khảo sát ảnh hưởng của các tham số hình học, nền, chỉ số tỷ phần thể tích đến tải tới hạn và đường cong tải – độ võng cực đại sau tới hạn

Các kết quả chính của chương 2 được đăng trên 4 bài báo ISI (đó là các công trình số 1, 3, 6, 9 trong danh mục công trình khoa học liên quan đến luận án), 2 báo cáo tại hội nghị cơ học toàn quốc (đó là các công trình số 2 và số 4), và 1 báo cáo tại Hội nghị quốc tế lần thứ 5 về Cơ học kỹ thuật và Tự động hóa (ICEMA5) (công trình số 5)

PHÂN TÍCH ỔN ĐỊNH ĐỘNG VÀ DAO ĐỘNG

Các phương trình cơ bản

Xét vỏ trống FGM với quy luật vật liệu được cho ở phương trình (2.2) Vỏ có độ dày h, độ dài L, bán kính xích đạo R và bán kính lớn a Vỏ chịu tác dụng của lực nén dọc trục và áp lực ngoài có cường độ phụ thuộc thời gian q = q(t) Phương trình chuyển động của vỏ được tham khảo trong nghiên cứu của Reddy và Liu [74]:

9 y y x x y y x x x y x xx y yy xy xy xx x yy y xy xy yy xx tt t ttx x ttx tty y tty ttyy ttxx

4 4 xy y x x x x 3 xy y x x tt x tt xtt

4 4 y y xy x y y 3 xy x y y tt y tt tty

, trong đó ε là tham số cản và các hệ số I I I i , , i i * ( 1 1 5,7=  ) được trình bày trong

Bảng B1 của phần phụ lục Đưa vào hàm ứng suất theo công thức (2.19), khi đó hai phương trình (3.1) và (3.2) được đưa về dạng:

1 1 1 1 tt x tt xtt , tt y tt ytt

Thế phương trình (3.6) vào các phương trình (3.3-3.5), đồng thời thế các biểu thức của nội lực ở (2.10-2.13) vào các phương trình (3.3-3.5) dẫn đến hệ phương trình sau:

, 2 x y tt t x xtt y ytt xxtt yytt

L w +L  +L  =I  −I w (3.9) trong đó các hệ số I I i i , i * ( =3,5,7 ) và các toán tử L ij được xác định trong Bảng B2 của phần phụ lục

Trong khuôn khổ của luận án, giả thiết, thành phần lực quán tính gây ra bởi các hàm ϕ x (x, y, t) và ϕ y (x, y, t) là rất nhỏ so với lực quán tính gây ra bởi hàm độ võng, được bỏ qua [69] Phương trình (2.25) và ba phương trình (3.7-3.9) tạo thành một hệ bốn phương trình vi phân đạo hàm riêng với bốn ẩn hàm là w (x, y, t), F (x, y, t), ϕ x (x, y, t) và ϕ y (x, y, t), đó là hệ phương trình vi phân chuyển động của vỏ trống FGM Hệ phương trình này là hệ phương trình cơ sở để giải các bài toán động lực của vỏ trống FGM Việc xây dựng được hệ phương trình nói trên là kết quả mới của luận án

3.3 Phân tích dao động vỏ trống FGM 3.3.1 Các công thức lý thuyết

Xét vỏ trống tựa đơn ở hai đầu vỏ và chịu tác dụng của áp lực ngoài cường độ q = q(t) Điều kiện biên có dạng: w = ϕ y = 0, N xy = 0, N x = 0, P x = 0, M x = 0 tại x = 0 và x = L (3.10)

Dạng nghiệm của hàm độ võng được chọn như sau [22, 23, 65]:

Thay biểu thức của hàm độ võng ở (3.11) vào (2.25), (3.8) và (3.9), sau đó thực hiện những tính toán tương tự như ở mục 2.3.1, thu được dạng nghiệm của các ẩn hàm còn lại như sau:

1 cos sin , 1 sin cos x C Mx Ny y D Mx Ny

 =  = (3.13) trong đó các hệ số B i ( ) 5 ( i= 1 3 ,) C 1 ( ) 5 và D 1 ( ) 5 được trình bày trong Bảng B3 của phần phụ lục Tiếp theo, các biểu thức của các ẩn hàm w (x, y, t), F (x, y, t), ϕ x (x, y, t) và ϕ y (x, y, t) được thay thế vào phương trình chủ đạo còn lại (3.7), sử dụng phương pháp Galerkin thu được phương trình sau:

+ + − + (3.14) trong đó các hệ số H i ( ) 5 ( i= 1 6 ) được trình bày trong Bảng B4 của phần phụ lục

3.3.1.1 Tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ trống FGM

Từ phương trình (3.14), tần số góc tự do tuyến tính của vỏ trống FGM được xác định như sau:

= (3.15) Để thấy rõ ảnh hưởng của nền đàn hồi và nhiệt độ đến giá trị tần số dao động của vỏ trống, biểu thức (3.15) được viết lại dưới dạng:

Biểu thức (3.16) cho thấy nền đàn hồi có tác dụng làm gia tăng tần số của vỏ, ngược lại yếu tố nhiệt độ làm giảm giá trị này Khảo sát chi tiết sẽ được trình bày trong phần tính toán số

3.3.1.2 Dao động cưỡng bức của vỏ trống FGM

Xét vỏ trống FGM chịu kích động là áp lực ngoài có cường độ biến thiên điều hòa theo thời gian với phương trình: q = QsinΩt, trong đó Q và Ω lần lượt là biên độ và tần số của ngoại lực, được giả thiết không phụ thuộc vào thời gian Khi đó phương trình (3.14) có dạng:

Phương trình (3.17) được sử dụng để tính toán dao động cưỡng bức của vỏ trống FGM

3.3.1.3 Phương trình biên độ – tần số của vỏ trống FGM Để thiết lập phương trình biên độ – tần số của vỏ trống FGM, trước hết, thay thế W = AsinΩt vào phương trình (3.17) rồi nhân hai hai vế với biểu thức sinΩt, sau đó tích phân phương trình này trong một phần tư chu kỳ dao động [22, 23, 65] dẫn đến phương trình sau:

=  là tỷ số giữa tần số của ngoại lực với tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ Các hệ số c 1 – c 5 có dạng:

Phương trình (3.18) được sử dụng để tìm hiểu mối liên hệ giữa tần số và biên độ của dao động tự do (Q = 0) cũng như dao động cưỡng bức (Q ≠ 0) của vỏ trống FGM

3.3.2.1 Nghiên cứu so sánh Để kiểm chứng các công thức đã được tìm ra, phần này thực hiện hai so sánh số Trong so sánh thứ nhất, khảo sát vỏ trụ thuần nhất (là trường hợp riêng của vỏ trống thuần nhất khi bán kính lớn a → ∞) có các tham số hình học cũng như tham số vật liệu được chọn như sau [82]: E = 210 GPa, ρ = 7850 kg/m 3 , ν = 0,3, h = 0,06 m,

R = 100h, L = 0,5R Tần số không thứ nguyên ( * =  ( h /  ) ( 2 1 +   ) / E ) được tính toán theo công thức (3.16) cho trường hợp không kể đến ảnh hưởng của nhiệt và nền đàn hồi Kết quả số được liệt kê trong Bảng 3.1, so sánh với các kết quả tương ứng trong các nghiên cứu của Bhimaraddi [18], Shen [82] và Xuebin [100] Các nghiên cứu [18] và [82] sử dụng HSDT, nghiên cứu [100] sử dụng CST

Bảng 3.1 So sánh tần số không thứ nguyên  * =  ( h /  ) ( 2 1 +   ) / E

(m, n) Bhimaraddi [18] Shen [82] Xuebin [100] Luận án

Trong so sánh thứ hai, xét vỏ trống FGM với các tham số vật liệu và hình học như sau [23]: E c = 380 GPa, E m = 70 GPa, ρ c = 3800 kg/m 3 , ρ m = 2702 kg/m 3 , α m = 23.10 -6 1/K, α c = 5,4.10 -6 1/K, ν m = ν c = 0,3, k = 1, h = 0,06 m, R = 50h, a = 5R,

L = 0,5R Tần số dao động của vỏ trống FGM ứng với vài mode dao động đầu tiên

100 được tính toán dựa theo công thức (3.16), được liệt kê trong Bảng 3.2 cùng với với các kết quả tương ứng được tính toán theo công thức (21) trong nghiên cứu [23] của Bích và cộng sự sử dụng CST

Bảng 3.2 So sánh tần số dao động của vỏ trống FGM

Nền và nhiệt ω (rad/s) Bích và cộng sự [23] Luận án Sai số %

Không kể đến ảnh hưởng của nền và nhiệt ω (1,1) a 2832,54 2788,18 1,6 ω (1,2) 2786,73 2654,06 4,5 ω (2,1) 3616,78 3673,8 1,6 ω (2,2) 3611,15 3673,67 1,7 ΔT = 100 K

Thông tin trong Bảng 3.1 và Bảng 3.2 cho thấy sự phù hợp tốt giữa các giá trị tần số dao động của vỏ tính theo các công thức trong luận án và các giá trị tương ứng trong các nghiên cứu [18, 23, 82, 100] Sai số lớn nhất trong Bảng 3.2 là 4,9% tương ứng với mode m = 1, n = 2

3.3.2.2 Tần số dao động tự do tuyến tính của vỏ trống FGM

Khảo sát vỏ trống FGM có các đặc trưng vật liệu thành phần được chọn như sau [23]: E m = 70 GPa, ρ m = 2702 kg/m 3 , E c = 380 GPa, ρ c = 3800 kg/m 3 , α m = 23.10 -6 1/K, α c = 5,4.10 -6 1/K, ν m = ν c = 0,3 Ảnh hưởng của nhiệt độ và nền đàn hồi

Xét vỏ trống FGM có các kích thước hình học như sau: h = 0,06 m, R = 50h, a = 10R, L = 0,5R Ảnh hưởng các tham số nền và nhiệt độ đến tần số dao động của vỏ trống FGM cho vài mode đầu tiên được minh họa trong Bảng 3.3 Nhiệt độ càng tăng thì tần số dao động tự do tuyến tính càng giảm Ví dụ khi nhiệt độ tăng từ 300 K

Kết luận của chương 3

Chương 3 đã trình bày hai bài toán đó là: bài toán khảo sát dao động của vỏ trống FGM và bài toán ổn định động của vỏ trống FGM chịu tác dụng của lực nén dọc trục tăng tuyến tính theo thời gian

Các kết quả chính của chương 3 được công bố trên 3 bài báo ISI (đó là các công trình số 7, 8, 10 trong tập danh mục công trình liên quan đến luận án)

KẾT LUẬN Những đóng góp mới của luận án

Luận án đã sử dụng tiếp cận giải tích, nửa giải tích để giải quyết một loạt các bài toán về ổn định tĩnh, ổn định động và dao động của vỏ trống FGM dựa trên lý thuyết biến dạng trượt bậc ba, giúp ích phân tích ứng xử của vỏ trống dày Trước đó chỉ có các nghiên cứu về vỏ trống sử dụng lý thuyết vỏ mỏng

Cụ thể hơn, luận án đã giải quyết sáu bài toán về ổn định và dao động của vỏ trống, trong đó có bốn bài toán về ổn định tĩnh, một bài toán ổn định động, và một bài toán phân tích dao động Bốn bài toán phân tích ổn định tĩnh là bài toán vỏ trống chịu tải áp lực ngoài; vỏ trống chịu tải xoắn; vỏ trống chịu lực nén dọc trục hoặc tải nhiệt; và vỏ trống có gân chịu áp lực ngoài Một bài toán về ổn định động lực của vỏ trống chịu lực nén dọc trục tăng tuyến tính theo thời gian và một bài toán phân tích dao động của vỏ trống chịu áp lực ngoài biến đổi điều hòa theo thời gian Chi tiết hơn, luận án đã có những đóng góp sau:

- Tìm ra biểu thức của tải vồng, biểu thức tải – độ võng cực đại cho các bài toán ổn định tĩnh; tìm ra biểu thức của tần số dao động tự do tuyến tính, liên hệ biên độ – tần số và phương trình vi phân biên độ độ võng – thời gian cho bài toán phân tích dao động; tìm ra tải tới hạn động theo tiêu chuẩn Budiansky-Roth cho bài toán ổn định động của vỏ trống FGM dày chịu một số loại tải trọng khác nhau

- Xây dựng các chương trình tính toán số nhằm khảo sát ảnh hưởng của các kích thước hình học, tính chất vật liệu, tham số nền đàn hồi và nhiệt độ đến ổn định tĩnh, ổn định động và dao động của vỏ trống FGM

Hướng phát triển của luận án

1 Nghiên cứu ổn định tĩnh, ổn định động và dao động của vỏ làm bằng các loại vật liệu khác như vật liệu gia cường sợi và tấm nano các bon nano FG-CNTRC, FG-GPLRC, auxetic…

2 Nghiên cứu bài toán động của vỏ trống chịu tải phức tạp, trong môi trường phức tạp như dưới tác dụng của điện trường, từ trường, tải trọng nổ

3 Kết cấu có vết nứt với các điều kiện biên khác nhau

4 Nghiên cứu ổn định tĩnh, động và dao động của vỏ có tính phi tuyến về vật liệu

DANH MỤC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ

LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN

1 Dung D.V., Vuong P.M (2017), "Analytical investigation on buckling and postbuckling of FGM toroidal shell segment surrounded by elastic foundation in thermal environment and under external pressure using TSDT", Acta Mechanica Vol 228 (10), pp 3511-3531 (Springer, SCIE, IF = 2.698)

2 Nguyễn Đình Đức, Phạm Minh Vương Phân tích ổn định tĩnh của vỏ trống FGM dưới tác dụng của tải xoắn Hội nghị cơ học toàn quốc lần thứ X 2018 Hà Nội ngày 8-9/12/2017 Tập 3: Cơ học vật rắn Quyển 1 Trang 300-306 3 Vuong P.M., Duc N.D (2018), "Nonlinear response and buckling analysis of eccentrically stiffened FGM toroidal shell segments in thermal environment",

Aerospace Science and Technology Vol 79, pp 383-398 (Elsevier, SCI, IF 5.107)

4 Phạm Minh Vương, Nguyễn Thị Nga (2018) Phân tích ổn định của vỏ trống sandwich FGM chịu áp lực ngoài theo lý thuyết biến dạng trượt bậc ba Hội nghị cơ học toàn quốc lần thứ X Hà Nội ngày 8-9/12/2017 Tập 3: Cơ học vật rắn

5 Pham Minh Vuong and Nguyen Dinh Duc (2019) Buckling and post-buckling of

FGM toroidal shell segments loaded by axial compression using Reddy’s third- order shear deformation theory The 5th International Conference on Engineering Mechanics and Automation (ICEMA 5) Hanoi, October 11÷12,

2019 Trường Đại học Công nghệ, ĐHQGHN

6 Vuong P.M., Duc N.D (2019), "Nonlinear Buckling and Postbuckling of a FGM Toroidal Shell Segment Under a Torsional Load in a Thermal Environment Within Reddy’s Third-Order Shear Deformation Shell Theory", Mechanics of Composite Materials Vol 55 (4), pp 467-482 (Springer, SCIE, IF = 1.333)

7 Vuong P.M., Duc N.D (2020), "Nonlinear vibration of FGM moderately thick toroidal shell segment within the framework of Reddy’s third order-shear

119 deformation shell theory", International Journal of Mechanics and Materials in

Design Vol 16 (2), pp 245-264 (Springer, SCIE, IF = 4.011)

8 Vuong P.M., Duc N.D (2020), "Nonlinear static and dynamic stability of functionally graded toroidal shell segments under axial compression", Thin- Walled Structures Vol 155, pp 106973 (Elsevier, SCI, IF = 4.442)

9 Vuong P.M., Duc N.D (2020), "Nonlinear buckling and post-buckling behavior of shear deformable sandwich toroidal shell segments with functionally graded core subjected to axial compression and thermal loads", Aerospace Science and

Technology Vol 106, pp 106084 (Elsevier, SCI, IF = 5.107)

10 Duc N.D., Vuong P.M (2022), "Nonlinear vibration response of shear deformable FGM sandwich toroidal shell segments", Meccanica Vol 57 (5), pp 1083-1103