Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Brown phân thứ và nhiễu hỗn hợp Tính ổn định hầu chắc chắn của phương trình vi phân ngẫu nhiên với nhiễu Brown phân thứ và nhiễu hỗn hợp
Chuyºn ởng Brown
Chuyºn ởng Brown ữủc ã xuĐt bði Robert Brown v o nôm 1828 khi ổng quan sĂt sỹ di chuyºn ngău nhiản cừa cĂc hÔt phĐn hoa trong nữợc, ữủc mổ tÊ dữợi ngổn ngỳ xĂc suĐt nhữ sau. ành nghắa 1.1.1 ([49], ành nghắa 4.1, trang 15) Cho(Ω,F,P)l khổng gian xĂc suĐt vợi lồc {F t } t≥0 Mởt chuyºn ởng Brown mởt chiãu chuân tưc l mởt quĂ trẳnh {F t }-thẵch nghi liản tửc nhên giĂ trà thỹc vợi cĂc tẵnh ch§t nh÷ sau
(ii) vợi 0≤ s < t < ∞, gia số B(t)−B(s) l phƠn phối chuân vợi ký vồng toĂn bơng 0 v phữỡng sai bơng t−s;
(iii) vợi 0≤ s < t < ∞, gia số B(t)−B(s) l ởc lêp vợi F s
Náu {B(t)} t≥0 l chuyºn ởng Brown v 0 ≤ t 0 < t 1 < ã ã ã < t k < ∞ thẳ cĂc gia số B(t i ) −B(t i−1 ),1 ≤ i ≤ k l ởc lêp, v ta nõi chuyºn ởng Brown n y cõ cĂc gia số ởc lêp Hỡn nỳa, phƠn phối cừa B(ti)−B(t i−1 ) phử thuởc ch¿ v o hiằu t i −t i−1 , v ta nõi chuyºn ởng Brown n y cõ cĂc gia số dứng.
Chuyºn ởng Brown cõ mởt số tẵnh chĐt quan trồng sau Ơy.
Mằnh ã 1.1.2 ([49], trang 16) (i) Náu {B(t)}l chuyºn ởng Brown thẳ {−B(t)} cụng l chuyºn ởng Brown vợi cũng lồc {F t }.
(ii) Cho c > 0 v X t = B(ct) √ c vợi t≥ 0 Khi õ {X(t)} l chuyºn ởng Brown vợi lồc {F ct }.
(iii) Giợi hÔn lim t→∞ B(t) t = 0 hƯu chưc chưn.
(iv) Vợi hƯu hát ω ∈ Ω, quÿ Ôo mău B(., ω) khổng khÊ vi hƯu khưp nìi.
(v) Vợi hƯu hát ω ∈ Ω, quÿ Ôo mău B(., ω) liản lửc Holder vợi số mụ δ náu δ ∈ (0,1/2) Tuy nhiản, vợi hƯu hát ω ∈ Ω, quÿ Ôo mău B(., ω) khổng liản tửc Holder vợi số mụ δ >1/2. ành nghắa 1.1.3 ([49], ành nghắa 4.3, trang 17) Mởt quĂ trẳnh d-chiãu n
B(t) = B 1 (t), , B d (t)o t≥0 ữủc gồi l chuyºn ởng Brown d-chiãu náu mội {B i (t)} l chuyºn ởng Brown 1-chiãu v {B 1 (t)}, ,{B d (t)} l ởc lêp.
Tẵch phƠn Itổ
Ta biát rơng vợi hƯu hát ω ∈ Ω, quÿ Ôo mău B(., ω) khổng khÊ vi hƯu khưp nỡi, do õ tẵch phƠn Rt t 0f(s)dB(t) khổng thº ữủc ành nghắa theo cĂch thổng thữớng theo kiºu tẵch phƠn Riemann-Stieltjes Thay v o õ, ta cõ thº ành nghắa tẵch phƠn theo phữỡng phĂp cừa Itổ CĂc nởi dung xƠy dỹng tẵch phƠn Itổ dữợi Ơy ữủc trẵch dăn tứ [49] Ngo i ra, t i liằu [1] cụng trẳnh b y cĂc ành nghắa, tẵnh chĐt, chựng minh v vẵ dử minh hồa khĂ ró r ng, dạ hiºu vã tẵch phƠn Itổ v nhỳng vĐn ã liản quan.
Cho (Ω,F,P) l khổng gian xĂc suĐt Ưy ừ vợi lồc {F t } t≥0 ữủc giợi thiằu ð mửc trữợc LĐy B = {B(t)} t≥0 l chuyºn ởng Brown1-chiãu ữủc xĂc ành trản khổng gian xĂc suĐt thẵch nghi vợi lồc trản. ành nghắa 1.1.4 ([49], ành nghắa 5.7, trang 21) Vợif ∈ M 2 ([a, b],R), tẵch phƠn Itổ cừa h m f tữỡng ựng vợi chuyºn ởng Brown {B(t)} ữủc ành nghắa nhữ sau
Z b a g n (t)dB(t) trong L 2 (Ω,R), (1.1) trong õ {g n } l dÂy cĂc quĂ trẳnh ỡn giÊn sao cho n→∞lim E
Tẵch phƠn Itổ cõ mởt số tẵnh chĐt sau Ơy: ành lþ 1.1.5 ([49], ành lþ 5.8, trang 22) Cho f, g ∈ M 2 ([a, b],R) v α, β ∈ R Khi â ta câ
(ii) ER a b f(t)dB(t) = 0; (iii) E|R a b f(t)dB(t)| 2 = ER a b |f(t)| 2 dt;
(iv) Rb a[αf(t) +βg(t)]dB(t) =αR a b f(t)dB(t) +βR a b g(t)dB(t). ành lỵ 1.1.6 ([49], ành lỵ 5.9, trang 22) Vợi f ∈ M 2 ([a, b],R), ta cõ
Cổng thực Itổ
Cổng thực Itổ cho chúng ta mởt cĂch khĂc º tẵnh tẵch phƠn Itổ mởt cĂch tiằn lủi hỡn so vợi ành nghắa.
Cho {B(t)} t≥0 l chuyºn ởng Brown mởt chiãu ữủc xĂc ành trản khổng gian xĂc suĐt Ưy ừ (Ω,F, P) v thẵch nghi vợi lồc {F t } t≥0 Kỵ hiằu L 1 (R + ;R d ) l hồ tĐt cÊ cĂc quĂ trẳnh f = {f(t)} t≥0 thẵch nghi vợi lồc {F t }, o ữủc, nhên giĂ trà trong R d v thọa mÂn
|f(t)|dt < ∞ hƯu chưc chưn vợi mội T >0.
Kỵ hiằu C 1,2 (R + ìR d ;R) l hồ tĐt cÊ cĂc h m nhên giĂ trà thỹc V(t, x) ữủc xĂc ành trản R + ìR d sao cho chúng khÊ vi liản tửc cĐp 2 theo x v cĐp 1 theo t Náu V ∈ C 1,2 (R + ìR d ;R), °t
. ành nghắa 1.1.7 ([49], ành nghắa 6.3, trang 36) Mởt quĂ trẳnh Itổ d chiãu l mởt quĂ trẳnh phũ hủp, liản tửc, nhên giĂ trà trong R d cõ dÔng x(t) = (x1(t), , xd(t)) T , t ≥ 0 v x(t) = x(0) +
Z t 0 g(s)dB(s), trong â f = (f1, , fd) T ∈ L 1 (R +;R d ) v g = (gij) d×m ∈ L 2 (R +;R d×m ). Ta nõi rơng x(t) cõ vi phƠn dx(t) vợi t ≥0 ữủc cho bði dx(t) = f(t)dt+g(t)dB(t). ành lỵ 1.1.8 ([49], ành lỵ 6.4, trang 36) (Cổng thực Itổ nhiãu chiãu) Cho x(t), t ≥0 l quĂ trẳnh Itổ d chiãu vợi vi phƠn ngău nhiản dx(t) = f(t)dt+g(t)dB(t), trong âf ∈ L 1 (R + ;R d ) v g ∈ L 2 (R + ;R d×m ) L§y V ∈ C 1,2 (R + ×R d ;R). Khi õ V(t, x(t)) cụng l mởt quĂ trẳnh Itổ vợi vi phƠn ngău nhiản ữủc cho bði dV(t, x(t)) =hV t (t, x(t)) +V x (t, x(t))f(t) (1.3)
+ 1 2trace g T (t)Vxx(t, x(t))g(t) i dt+Vx(t, x(t))g(t)dB(t).
Phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản
Cho (Ω,F, P) l mởt khổng gian xĂc suĐt Ưy ừ vợi lồc {F t } t≥0 thọa mÂn cĂc iãu kiằn thổng thữớng Kỵ hiằu B(t) = B 1 (t), , B m (t) T , t ≥ 0 l chuyºn ởng Brown m-chiãu trản khổng gian xĂc suĐt n y LĐy 0 ≤ t0 ≤T < ∞; x0 l mởt bián ngău nhiản F t 0 -o ữủc v nhên giĂ trà trong R d sao cho E x 0
2 < ∞; f : [t 0 , T]ìR d → R d l h m o ữủc Borel v g : [t 0 , T]ìR d → R dìm cụng l h m o ữủc Borel X²t phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản d-chiãu dÔng Itổ. dx(t) = f(t, x(t))dt+g(t, x(t))dB(t), t 0 ≤ t≤ T (1.4) vợi giĂ trà ban Ưu x(t0) = x0 Phữỡng trẳnh n y tữỡng ữỡng vợi phữỡng trẳnh tẵch phƠn ngău nhiản sau Ơy x(t) =x 0 +
Z t t 0 g(s, x(s))dB(s), t 0 ≤t ≤ T (1.5) ành nghắa 1.1.9 ([49], ành nghắa 2.1, trang 48) Mởt quĂ trẳnh ngău nhiản {x(t)} t 0 ≤t≤T , nhên giĂ trà trong R d , ữủc gồi l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.4) náu cõ cĂc tẵnh chĐt sau Ơy
(ii) {f(t, x(t))} ∈ L 1 ([t0, T],R d ) v {g(t, x(t))} ∈ L 2 ([t0, T],R d×m ); (iii) phữỡng trẳnh (1.5) úng vợi mồi t∈ [t 0 , T] vợi xĂc suĐt 1.
Nghiằm x(t) ữủc gồi l duy nhĐt náu vợi mồi nghiằm khĂc x(t) cừa phữỡng trẳnh (1.4) ta cõ P(x(t) = x(t),vợi mồit 0 ≤ t ≤T) = 1.
Sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm
X²t phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản d-chiãu (1.4) Sau Ơy l ành lỵ cỡ bÊn vã tẵnh tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.4). ành lỵ 1.1.10 ([49], ành lỵ 3.1, trang 51) GiÊ sỷ tỗn tÔi cĂc hơng số d÷ìng K v K sao cho
(i) (iãu kiằn Lipschitz) Vợi mồi x, y ∈ R d v t∈ [t 0 , T] kf(t, x)−f(t, y)k 2 ≤ Kkx−yk 2 v kg(t, x)−g(t, y)k 2 ≤ Kkx−yk 2 ;
(1.6) (ii) (iãu kiằn tông trữðng tuyán tẵnh) Vợi mồi (t, x) ∈ [t 0 , T]ìR d kf(t, x)k 2 ≤ K(1 +kxk 2 ) v kg(t, y)k 2 ≤ K(1 +kyk 2 ) (1.7)
Khi õ tỗn tÔi nghiằm duy nhĐt x(t) cừa phữỡng trẳnh (1.4) v nghiằm n y thuởc khổng gian M 2 ([t 0 , T],R d ). ành lỵ tiáp theo l trữớng hủp tờng quĂt cừa ành lỵ 1.1.10, trong õ iãu kiằn Lipschitz (ãu) ữủc thay bði iãu kiằn Lipschitz àa phữỡng. ành lỵ 1.1.11 ([49], ành lỵ 3.4, trang 56) GiÊ sỷ iãu kiằn tông trữðng tuyán tẵnh (1.7) úng, những iãu kiằn Lipschitz (1.6) ữủc thay bði iãu kiằn Lipschitz àa phữỡng sau Ơy: Vợi mội số nguyản n ≥ 1, tỗn tÔi hơng số dữỡng K n sao cho vợi mồi t ∈ [t 0 , T] v x, y ∈ R d vợi kxk ≤ n v kyk ≤ n, kf(t, x)−f(t, y)k 2 ≤Knkx−yk 2 v kg(t, x)−g(t, y)k 2 ≤ Knkx−yk 2
(1.8) Khi õ tỗn tÔi nghiằm duy nhĐt nghiằm x(t) cừa phữỡng trẳnh (1.4) trong M 2 ([t0, T],R d ). ành lỵ 1.1.12 ([49], ành lỵ 3.5, trang 58) GiÊ sỷ iãu kiằn Lipschitz àa phữỡng (1.8) úng, những iãu kiằn tông trữðng tuyán tẵnh (1.7) ữủc thay bði iãu kiằn ỡn iằu: Tỗn tÔi hơng số dữỡng K sao cho vợi mồi (t, x) ∈ [t 0 , T]×R d x T f(t, x) + 1
Khi õ tỗn tÔi nghiằm duy nhĐt nghiằm x(t) cừa phữỡng trẳnh (1.4) trong M 2 ([t 0 , T],R d ).
BƠy giớ, náu cĂc giÊ sỷ cừa ành lỵ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm úng trản mội oÔn con hỳu hÔn [t 0 , T] ⊆ [t 0 ,∞), thẳ phữỡng trẳnh (1.4) cõ nghiằm duy nhĐt x(t) trản to n bở [t 0 ,∞) Nghiằm nhữ thá ữủc gồi l nghiằm to n cửc Ta cõ ành lỵ tiáp theo sau Ơy vã nghiằm to n cửc cho phữỡng trẳnh (1.4) trản [t0,∞). ành lỵ 1.1.13 ([49], ành lỵ 3.6, trang 58) GiÊ sỷ vợi mội số thỹc T > t 0 v số nguyản n ≥ 1, tỗn tÔi hơng số dữỡng K T,n sao cho vợi mồi t∈ [t 0 , T] v x, y ∈ R d vợi kxk ≤ n v kyk ≤ n, kf(t, x)−f(t, y)k 2 ≤ K T,n kx−yk 2 v kg(t, x)−g(t, y)k 2 ≤ K T,n kx−yk 2
(1.10) GiÊ sỷ thảm rơng vợi mội T > t 0 , tỗn tÔi hơng số dữỡng K T sao cho vợi mồi (t, x) ∈ [t 0 , T]ìR d , x T f(t, x) + 1
Khi õ tỗn tÔi nghiằm to n cửc duy nhĐt x(t) cừa phữỡng trẳnh (1.4) v nghiằm n y thuởc khổng gian M 2 ([t 0 ,∞),R d ).
Tẵnh ờn ành X²t phữỡng trẳnh dx(t) = f(t, x(t))dt+g(t, x(t))dB(t), (1.12) trong â t≥ t 0 v x 0 = x(t 0 ) ∈ R d ,2≤ p < ∞. Trong phƯn n y, ta giÊ sỷ tẵnh tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.12) luổn ữủc thọa mÂn Hỡn nỳa, giÊ sỷ f(t,0) = g(t,0) = 0 vợi mồi t≥ t0 Khi õ x(t) ≡ 0 l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.12) vợi giĂ trà ban Ưu x(t 0 ) = 0, v ữủc gồi l nghiằm tƯm thữớng hay và trẵ cƠn bơng.
Cho 0 < h ≤ ∞ Kỵ hiằu C 1,2 R + ;S h ì R + l hồ tĐt cÊ cĂc h m khổng Ơm V(t, x) xĂc ành trản ShìR + sao cho chúng cõ Ôo h m cĐp 2 liản tửc theo x v cĐp 1 theo t ành nghắa toĂn tỷ vi phƠn L kát hủp vợi phữỡng trẳnh (1.12) bði
Náu L tĂc ởng lản h m V ∈ C 1,2 R + ;S h ìR + thẳ
2trace g T (t, x)V xx (t, x)g(t, x) Bði cổng thực Itổ, náu x(t) ∈ S h thẳ dV(t, x(t)) = LV(t, x(t))dt+V x (t, x(t))g(t, x(t))dB(t). ành nghắa 1.1.14 ([49], ành nghắa 2.1, trang 110) (i) Nghiằm tƯm thữớng cừa phữỡng trẳnh (1.12) ữủc gồi l ờn ành ngău nhiản hay ờn ành theo xĂc suĐt náu vợi mội ε ∈ (0,1) v r > 0, tỗn tÔi δ = δ(ε, r, t 0 ) sao cho
P(kx(t;t 0 , x 0 )k < r,∀t ≥ t 0 ) ≥1−ε khi kx 0 k < δ Ngữủc lÔi, ữủc gồi l khổng ờn ành theo xĂc suĐt.
(ii) Nghiằm tƯm thữớng cừa phữỡng trẳnh (1.12) ữủc gồi l ờn ành tiằm cên ngău nhiản náu nõ ờn ành ngău nhiản v vợi mội ε ∈ (0,1) tỗn tÔi δ 0 = δ 0 (ε, t 0 ) > 0 sao cho
(iii) Nghiằm tƯm thữớng cừa phữỡng trẳnh (1.12) ữủc gồi l ờn ành tiằm cên ngău nhiản theo nghắa rởng náu nõ ờn ành ngău nhiản v vợi mồi x 0 ∈ R d
P( lim t→+∞x(t;t 0 , x 0 = 0)) = 1 ành nghắa 1.1.15 ([49], ành nghắa 4.1, trang 127) Nghiằm tƯm thữớng cừa phữỡng trẳnh (1.12) ữủc gồi l ờn ành mụ moment bêc q náu tỗn tÔi cĂc hơng số dữỡng λ v C sao cho
Ekx(t;t 0 , x 0 )k q 6 C kx 0 k q e −λ(t−t 0 ) , t > t 0 , q > 0 vợi bĐt ký x 0 = x(t 0 ) ∈ R d
Khi p = 2, nõ ữủc gồi l ờn ành mụ theo bẳnh phữỡng trung bẳnh. ành nghắa 1.1.16 ([49], ành nghắa 3.1, trang 119) Nghiằm tƯm thữớng cừa phữỡng trẳnh (1.12) ữủc gồi l ờn ành mụ hƯu chưc chưn náu lim sup t→+∞
1 t logkx(t;t 0 , x 0 )k < 0 h¦u ch c ch n vợi bĐt ký x 0 = x(t 0 ) ∈ R d
Bờ ã 1.1.17 ([49], Bờ ã 3.2, trang 120) Vợi mồi x 0 6= 0 trong R d ,
Cõ nghắa l hƯu hát cĂc quÿ Ôo cừa nghiằm bĐt ký bưt Ưu tứ trÔng thĂi khĂc 0 s³ khổng bao giớ Ôt án trÔng thĂi 0.
Sau Ơy l mởt số kát quÊ quan trồng vã tẵnh ờn ành mụ hƯu chưc chưn cho nghiằm tƯm thữớng.
Bờ ã Borel-Cantelli
Bờ ã 1.1.18 ([49], Bờ ã 2.4, trang 7) (Bờ ã Borel-Cantelli) GiÊ sỷ F l σ-Ôi số cho trữợc.
Nõi cĂch khĂc, tỗn tÔi mởt têp Ω 0 ∈ F vợi P(Ω 0 ) = 1 v mởt bián ngău nhiản giĂ trà nguyảnk 0 sao cho vợi mồi ω ∈ Ω 0 ta cõ ω /∈ A k khi k ≥ k 0 (ω). (ii) Náu dÂy {A k } ⊂ F ởc lêp v P ∞ k=1 P(Ak) = ∞ thẳ
Nõi cĂch khĂc, tỗn tÔi mởt têp Ω θ ∈ F vợi P(Ω θ ) = 1 sao cho vợi mồi ω ∈ Ωθ, tỗn tÔi mởt dÂy con Ak i sao cho ω thuởc Ak i
ành lþ ergodic cõa Birkhoff
T-bĐt bián Khi õ vợi mồi f ∈ L 1 (Ω,F,P), ta cõ n→+∞lim
Hằ quÊ 1.1.20 ([13]) Cho (Ω,F,P) l mởt khổng gian xĂc suĐt v T : Ω → Ω l ph²p bián ời bÊo to n ở o ergodic Khi õ vợi mồi f ∈ L 1 (Ω,F,P), ta câ n→+∞lim
Phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản vợi nhiạu Brown phƠn thự 24
Tham sè Hurst
Harold Edwin Hurst (1880 - 1978) l mởt nh thừy vôn hồc ngữới Anh.
V o nôm 1951, nghiản cựu thỹc nghiằm cừa ổng vã viằc o lữớng khÊ nông lữu trỳ d i hÔn cừa cĂc hỗ chựa  ch¿ ra tẵnh phử thuởc d i hÔn trong thừy vôn, °c biằt l liản quan án sỹ dao ởng cừa mỹc nữợc sổng Nile.
Cổng trẳnh cừa ổng l cỡ sð cho ã xuĐt cừa Mandelbrot rơng chuyºn ởng Brown phƠn thự ữủc sỷ dửng º thiát lêp mổ hẳnh mỹc nữợc sổng h ng nôm Tham số Hurst H m chúng ta sỷ dửng trong cĂc nghiản cựu hiằn nay ữủc °t theo tản cừa Harold Edwin Hurst v ữủc mổ tÊ cử thº nhữ sau: Kỵ hiằu X 1 , X 2 , l têp cĂc quan sĂt X²t thống kả
, trong õ S n = X 1 + +X n v cĂc X i , i = 1, , n l ởc lêp, cũng phƠn phèi Ta câ
E[R S(X 1 , , X n )] ∼ Cn H , trong õ C hơng số Khi õ, tham số H chẵnh l hằ số hỗi quy tứ sỹ ữợc lữủng mổ hẳnh hỗi quy tuyán tẵnh cừa log[ R S ] theo n.
Sau phữỡng phĂp ữợc lữủng cừa Harold Edwin Hurst vã ở thổ H cừa mởt quĂ trẳnh ngău nhiản, cõ nhiãu phữỡng phĂp khĂc nhau ữủc ã xuĐt º cÊi tián ở chẵnh xĂc cừa ữợc lữủng (Phửc lửc C, [5]).
Vẵ dử 1.2.1 X²t chuội dỳ liằu giĂ õng cỷa theo ng y cừa ch¿ số chựng khoĂn Viằt Nam VN-Index tứ ng y 3/1/2001 án ng y 13/3/2020 Sỷ dửng phƯn mãm thống kả R, giĂ trà tham số Hurst cừa ữủc ữợc lữủng bơng thống kả R/S l H = 0.8544909. ỗ thà cừa chuội dỳ liằu ữủc minh hồa bði ỗ thà bản dữợi.
Hẳnh 1.1: GiĂ õng cỷa theo ng y cừa ch¿ số chựng khoĂn Viằt Nam VN-Index tứ ng y3/1/2001 án ng y 13/3/2020.
Chuyºn ởng Brown phƠn thự
bẳnh à v phữỡng sai σ 2 náu h m °c trững cừa nõ ữủc cho bði
E[e itG ] = e ità−t 2 σ 2 /2 ,∀t∈ R. ành nghắa 1.2.3 ([53], ành nghắa 1.2, trang 2) Cho d ≥2 Mởt v²ctỡ ngău nhiản G = (G 1 , , G d ) ữủc gồi l cõ phƠn phối Gauss d-chiãu náu vợi mội t 1 , , t d ∈ R, bián ngău nhiản Pd k=1t k G k cõ phƠn phối Gauss mởt chiãu.
Mằnh ã 1.2.4 ([53], ành lỵ 1.1, trang 3) Cho C = (C k,l ) 1≤k,l≤d l ma trên dữỡng, ối xựng, nhên giĂ trà thỹc, cù d ì d Khi õ, tỗn tÔi mởt v²ctỡ ngău nhiản Gauss quy tƠm G = (G 1 , , G d ) nhên C l ma trên hiằp phữỡng sai (tực l , E[G k ] = 0 v Cov(G k , G l ) = C k,l vợi mồi k, l = 1, , d).
Mằnh ã 1.2.5 ([53], Bờ ã 1.1, trang 8) (Kolmogorov-Centsõv) Cố ành oÔn T = [0, T] ⊂ R + , v lĐy X = (X t ) t∈ T l quĂ trẳnh Gauss quy tƠm.
GiÊ sỷ tỗn tÔi C, η > 0 sao cho vợi mồi s, t ∈ T
Khi õ vợi mồi α ∈ (0, η 2 ), tỗn tÔi mởt phiản bÊn Y cừa X vợi quÿ Ôo α-Hodler liản tửc.
Chuyºn ởng Brown phƠn thự ữủc giợi thiằu Ưu tiản bði Kolmogorov v sau õ ữủc phĂt triºn bði Mandelbrot v Van Ness [48]. ành nghắa 1.2.6 ([53], ành nghắa 2.1, trang 11) ChoH ∈ (0,1], chuyºn ởng Brown phƠn thự (viát tưt fBm) cừa tham sốH l mởt quĂ trẳnh Gauss liản tửc, quy tƠm B H = (B H (t)) t≥0 vợi h m hiằp phữỡng sai
2(t 2H +s 2H − |t−s| 2H ) (1.16)Mởt số cĂch biºu diạn chuyºn ởng Brown phƠn thự dữợi dÔng tẵch phƠn Itổ ữủc thº hiằn qua cĂc mằnh ã sau Ơy.
Mằnh ã 1.2.7 ([52], Mằnh ã 2.3, trang 13) ChoH ∈ (0,1/2)∪(1/2,1), kỵ hiằu c H s 1 2H +
(1 +u) H−1/2 −u H−1/2 2 du < ∞, v B = (B t ) t∈ R l chuyºn ởng Brown thổng thữớng Khi õ,
((tưu) Hư1/2 ư(ưu) Hư1/2 )dB(u)+
(tưu) H ư1/2 dB(u) , l mởt chuyºn ởng Brown phƠn thự vợi tham số Hurst H.
Mằnh ã 1.2.8 ([52], Mằnh ã 2.4, trang 14) ChoH ∈ (0,1/2)∪(1/2,1), kỵ hiằu d H s 2
1−cosu u 2H +1 du < ∞, v B = (B(t)) t∈ R l chuyºn ởng Brown thổng thữớng Khi õ,
|u| H +1/2 dB(u) , l mởt chuyºn ởng Brown phƠn thự vợi tham số Hurst H.
Mằnh ã 1.2.9 ([52], Mằnh ã 2.5, trang 15) ChoH ∈ (0,1/2)∪(1/2,1), v vợi t > s > 0, kỵ hiằu
−(H −1/2)s 1/2−H R s t u H −3/2 (u−s) H −1/2 du i , H < 1/2 v B = (B(t)) t≥0 l chuyºn ởng Brown thổng thữớng Khi õ,
K H (t, s)dB(s),l mởt chuyºn ởng Brown phƠn thự vợi tham số Hurst H.
Mằnh ã 1.2.10 ([53], Mằnh ã 2.2, trang 12) CĂc kh¯ng ành sau Ơy óng
(i) Chuyºn ởng Brown phƠn thự luổn tỗn tÔi v cõ cĂc quÿ Ôo liản tửc.
(ii) Vợi mồi a > 0,(a −H B H (at)) t≥0 = (B H (t)) t≥0 (iii) Vợi mồi h >0,(B H (t+ h)−B H (h)) t≥0 = (B H (t)) t≥0 (iv) (t 2H B H (1/t))t>0 = (B H (t))t>0.
Mằnh ã 1.2.11 ([53], Nhên x²t 1.2.2, trang 7) Vợi mồi n ≥ 1, ¯ng thùc sau ¥y óng
Vẵ dử 1.2.12 Sỷ dửng phƯn mãm thống kả R, ở thổ mởt quÿ Ôo cừa chuyºn ởng Brown phƠn thự ữủc minh hồa tữỡng ựng vợi cĂc tham số Hurst khĂc nhau nhữ hẳnh bản dữợi.
Hẳnh 1.2: Quÿ Ôo cừa chuyºn ởng Brown phƠn thự ành lþ 1.2.13 ([53], ành lþ 2.1, trang 17) Cho G∼ N(0,1), f : R → R l h m o ữủc sao cho E[f 2 (G)] < ∞ v B H l chuyºn ởng Brown phƠn thự vợi tham số H ∈ (0,1) Khi õ n
Hằ quÊ 1.2.14 ([53], Hằ quÊ 2.1, trang 19) Cho B H l chuyºn ởng Brown phƠn thự vợi tham số Hurst H ∈ (0,1) v p∈ [1,+∞) Khi õ n
0 , p > 1/H E[|G| p ], p = 1/H, G ∼N(0,1) +∞ , p < 1/H ành lþ 1.2.15 ([5], ành lþ 1.6.1, trang 11) Cho H ∈ (0,1) Khi â chuyºn ởng Brown phƠn thự B H cõ cĂc quÿ Ôo liản tửc Holder vợi cĐp lợn hỡn H.
Mằnh ã 1.2.16 ([5], Mằnh ã 1.7.1, trang 12) Cho H ∈ (0,1) Khi õ chuyºn ởng Brown phƠn thự B H cõ cĂc quÿ Ôo khổng khÊ vi. ành lỵ 1.2.17 ([53], ành lỵ 2.2, trang 19) Cho B H l chuyºn ởng Brown phƠn thự vợi tham số Hurst H ∈ (0,1/2)∪ (1/2,1) Khi õ B H khổng cõ tẵnh chĐt nỷa martingale. ành lỵ 1.2.18 ([53], ành lỵ 2.3, trang 20) Cho B H l chuyºn ởng Brown phƠn thự vợi tham số Hurst H ∈ (0,1/2)∪ (1/2,1) Khi õ B H khổng cõ tẵnh chĐt Markov.
Nhên x²t 1.2.19 Trong Chữỡng 2, chúng ta s³ l m viằc vợi khổng gian
(Ω,F,P, θ), ữủc xƠy dỹng tứ chuyºn ởng Brown phƠn thự nhữ sau:
Vợi 1/2 < ν 0 < H cố ành, kỵ hiằu C 0 ν 0 (R,R) l khổng gian cĂc quÿ Ôo ω ∈ C ν 0 (I,R)vợi mồi oÔn õng I ⊂R v ω(0) = 0 Khi õ (Ω,F,P, θ) l khổng gian ữủc cÊm sinh tứ khổng gianC 0 ν 0 (R,R) cừa(C 0 (R,R),B,P, θ),trong õ (C 0 (R,R) l khổng gian cĂc quÿ Ôo liản tửc ω trản R sao cho ω(0) = 0, B l is σ - Ôi số Borel ữủc sinh ra bði tổpổ compact mð, P l ở o Wiener trản R ữủc sinh ra bði chuyºn ởng Brown phƠn thự v θ l sỹ dàch chuyºn Wiener ữủc ành nghắa bði θ t ω(ã) = ω(t+ã)−ω(ã) Tứ[31], sü dàch chuyºn Wiener l ergodic.
Tẵch phƠn Young
ành nghắa 1.2.20 ([29], ành nghắa 5.1, trang 79) Mởt quÿ Ôo x : [a, b] →R d ữủc gồi l
(i) liản tửc Holder vợi mụ α >0 ho°c α-Holder náu
(ii) cõ p-bián phƠn hỳu hÔn vợi p > 0 náu
X i kx t i+1 −x t i k p 1/p < ∞, trong õ Π[a, b] l kỵ hiằu cừa têp tĐt cÊ cĂc ph²p phƠn hoÔch hỳu hÔn trản oÔn [a, b] ⊂ R.
Ta s³ sỷ dửng cĂc kỵ hiằu C α ([a, b],R d ) l têp cĂc quÿ Ôo α-Holder x v C p−var ([a, b],R d ) l têp cĂc quÿ Ôo liản tửc x : [a, b] → R d vợi p-bián ph¥n húu h¤n.
Nhên x²t rơng |||.||| α,[a,b] v |||.|||p−var,[a,b] l cĂc nỷa chuân Vợi bĐt ký α > 0, hiºn nhiản bĐt ký quÿ Ôo α-Holder l mởt quÿ Ôo liản tửc vợi 1/α-bián phƠn hỳu hÔn.
Mằnh ã 1.2.21 ([29], Hằ quÊ 5.31, trang 96) (i) GiÊ sỷ {x n }, x thuởc C p−var [a, b],R d sao cho sup n
Khi õ vợi p 0 > p, ta cõ sup
|||x n ||| p 0 −var,[ã,ã] : n ∈ N o liản tửc ãu theo nghắa vợi mồi > 0 tỗn tÔi δ sao cho |t−s| < δ suy ra sup n
(ii) Náu {x n }, x thuởc C α ([a, b],R d ) sao cho sup n |||x n ||| α,[a,b] < ∞ v lim n→+∞ sup t∈[a,b] kx n (t)−x(t)k = 0, thẳ vợi mồi s < t trong [a, b], khi n→ ∞, vợi α 0 < α, sup
Mằnh ã 1.2.22 ([29], Hằ quÊ A.2, trang 573) (Ph²p nhúng Besov- Holder) Cho q > 1, α ∈ ( 1 q ,1), x ∈ C([a, b],R d ) v °t
Khi õ tỗn tÔi C = C(α, q) sao cho vợi mồi a ≤s < t ≤ b, kx(s)−x(t)k q ≤ C|t−s| qα−1 F s,t , v cõ thº chồn C = 32(α+
1 q ) α− 1 q ành nghắa 1.2.23 ([17]) (Tẵch phƠn Young) Vợi p ≥ 1 v [a, b] ⊂ R, khổng gian con Cˆ p ([a, b],R d ) ⊂ C([a, b],R d ) gỗm tĐt cÊ cĂc quÿ Ôo x vợi p-bián phƠn hỳu hÔn v ữủc trang bà bði chuân p-var nhữ sau kxkp−var,[a,b] := |x(a)|+|||x|||p−var,[a,b], l khổng gian Banach khổng khÊ ly Tuy nhiản,
C ∞ ([a, b],R d ) := ˆC 0,p ([a, b],R d ) ⊂ Cˆ p ([a, b],R d ) l khổng gian Banach khÊ ly Khổng gian n y bao gỗm cĂc quÿ Ôo liản tửc x sao cho limδ→0 sup Π(a,b),|Π|≤δ
BƠy giớ ta ành nghắa tẵch phƠn Young nhữ sau: Cho x ∈ Cˆ q ([a, b],R dìm ) v ω ∈ Cˆ p ([a, b],R m ), p, q ≥ 1 Náu vợi ph²p phƠn hoÔch hỳu hÔn bĐt ký Π = {a = t0 < t1 < ã ã ã < tn = b} cừa oÔn [a, b] v bĐt ký ξi ∈ [ti, ti+1], têng Riemann-Stieltjes
X i=0 x(ξ i )(ω(t i+1 )−ω(t i )) (1.17) hởi tử khi |π| := max 0≤i≤n−1 |t i+1 −t i | → 0 thẳ ta gồi giợi hÔn n y l tẵch phƠn Young cừa x ựng vợi ω trản oÔn [a, b], v kỵ hiằu l Rb a x(t)dω(t). ành lỵ 1.2.24 ([17]) (ìợc lữủng Young-Lõeve) GiÊ sỷx ∈ Cˆ q ([a, b],R dìm ), ω ∈ Cˆ p ([a, b],R m ) v p, q ≥ 1 Khi õ ta cõ ữợc lữủng sau Ơy
Mằnh ã 1.2.25 ([24], Hằ quÊ 3.5) X²t phữỡng trẳnh dz(t) = Az(t)dt+Cz(t)dω(t) trong õ A, C ∈ R dìd , A l xĂc ành Ơm, tực l tỗn tÔi hơng số h A > 0 sao cho hx, Axi ≤ −h A kxk 2 ,∀x ∈ R d
Kỵ hiằu Φ(t, ω) l nghiằm ma trên cừa phữỡng trẳnh trản, Φ(0, ω) = Id. Khi õ vợi bĐt ký δ >0 cho trữợc, ta cõ kΦ(t, ω)k ≤ expn−h A t+δ + max{kCk,kCk p }κ(t, ω)o,∀t ∈ [0,1] trong â
G := max n8kAk,16KkCk,8 p kAk p ,16 p K p kCk p o, v κ(t, ω) := 1 δ p−1 |||ω||| p p−var,[0,t]+4KG|||ω|||p−var,[0,t] t+|||ω|||p−var,[0,t]+|||ω||| p p−var,[0,t]
X²t phữỡng trẳnh vi phƠn tĐt ành theo nghắa Young dx(t) = [A(t)x(t) +F(t, x(t))]dt+C(t)x(t)dω(t), x(0) = x 0 , (1.19) trong õ1 < p < 2, T > 0cố ành, quÿ Ôo liản tửcω thuởcC p−var ([0, T],R), 0 ≤ t ≤ T, x 0 ∈ R d , A ∈ C([0, T],R dìd ) v C ∈ C q−var ([0, T],R dìd ) vợi q thọa mÂn q ≥ p v 1 p + 1 q > 1 Hỡn nỳa, F liản tửc Lipschitz to n cửc theo x, tực l tỗn tÔi L > 0 sao cho vợi mồi t ∈ [0, T], vợi mồi x, y ∈ R d : kF(t, x)−F(t, y)k ≤ Lkx−yk Ta cõ mằnh ã sau Ơy.
Mằnh ã 1.2.26 ([24], ành lỵ 2.1) Tỗn tÔi nghiằm duy nhĐt cừa hằ dx(t) = [A(t)x(t) + F(t, x(t))]dt+C(t)x(t)dω(t), x(0) = x 0 , trong khổng gian C q−var ([0, T],R d ).
BƠy giớ, giÊ sỷ thảm rơng (H1) A xĂc ành Ơm theo nghắa tỗn tÔi h m h : R + → R + sao cho hx, A(t)xi ≤ −h(t)kxk 2 ,∀x ∈ R d
(H2) F(t,0) ≡ 0 vợi mồi t ∈ R + v F(t, x) liản tửc Lipschitz to n cửc theo x, tực l tỗn tÔi h m liản tửc dữỡng f :R + →R + sao cho kF(t, x)−F(t, y)k ≤ f(t)kx−yk,∀ ∈ x, y ∈ R d (H3) Tỗn tÔi cĂc hơng số
< ∞,trong â ∆ := [k, k + 1] Ta câ ành lþ sau ¥y: ành lỵ 1.2.27 ([24], ành lỵ 3.4) GiÊ sỷ cĂc iãu kiằn (H1) − (H3) ữủc thọa mÂn, v lim inf t→+∞
Khi õ vợi iãu kiằn h 0 > K(1 + 4 ˆG) ˆChΓ(ω,2) + Γ(ω,4) 2 + Γ(ω,2p+p) p+1 i trong â K := (1−2 1−θ ) −1 , θ := 1 p + 1 q > 1 v
Gˆ := maxn8 ˆA,16KC,ˆ 8 p Aˆ p ,16 p K p Cˆ p o,nghiằm tƯm thữớng (Y ≡ 0) cừa hằ (1.19) ờn ành mụ.
Ôo h m v tẵch phƠn phƠn thự
Theo [54], vợi mội a, b ∈ R, a < b cố ành, kỵ hiằu W a α,1 ([a, b],R d ) l khổng gian cĂc h m khÊ tẵch h : [a, b] −→R d sao cho khk α,1 :Z b a kh(s)k (s−a) α +
! ds < +∞. ành nghắa 1.2.28 ([54]) Vợi h ∈ W a α,1 ([a, b],R d ), Ôo h m phƠn thự bản trĂi cừa h, kỵ hiằu D a+ α h(u), ữủc ành nghắa nhữ sau:
Ta cụng kỵ hiằu W b 1−α,∞ ([a, b],R d ) l khổng gian cĂc h m liản tửc k : [a, b]−→ R d thọa mÂn kkk 1−α,∞ := sup a 6 s α > 1−ν, ta cõ h ∈ W a α,1 ([a, b],R d ) v ω ∈ W b 1−α,∞ ([a, b],R) Khi õ tẵch phƠn theo nghắa Zahle ữủc xĂc ành nh÷ sau
Phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản cõ trạ vợi nhiạu ph¥n thù
thù X²t phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản d-chiãu dx(t) =f(t, x t )dt+g(t, x t )dB H (t), t ≥0 (1.22) trong â x t = {x(t+ θ) : −r ≤ θ ≤ 0} ∈ C([−r,0],R d ), f, g : [t 0 , T]× C([−r,0],R d ) → R d v B H l chuyºn ởng Brown phƠn thự vợi 1 2 < H 0, B H trong phữỡng trẳnh (1.22) cõ hƯu hát cĂc quÿ Ôo thuởc C ν ([0, T],R) , 1 2 < ν < H nản phữỡng trẳnh n y cõ thº ữủc viát lÔi dữợi dÔng tẵch phƠn xĂc ành x(t) = η(0) +
Z t 0 g(s, x s )dω(s),0 ≤t ≤ T, (1.24) x0 = η ∈ Cr, trong õ ω ∈ C ν , g ∈ C β , ν +β > 1 v tẵch phƠn thự hai ð phữỡng trẳnh (1.24) ữủc hiºu theo nghắa cừa (1.20). ành nghắa 1.2.31 H m liản tửcxvợi giĂ trà trongR d ữủc gồi l nghiằm cừa phữỡng trẳnh (1.24) trản [−r, T] náu nõ thọa mÂn phữỡng trẳnh n y v x0 = x| [−r,0] = η.
Ta cõ ành lỵ quan trồng sau Ơy vã sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm ối vợi phữỡng trẳnh (1.24). ành lþ 1.2.32 ([7], ành lþ 2.1) Gi£ sû
(i) H m f : Ωì[0, T]ìC r →R liản tửc Hỡn nỳa, nõ l liản tửc Lipschitz v tông trữðng tuyán tẵnh theo bián ξ, ãu theo t; cõ nghắa l , tỗn tÔi cĂc hơng số L1, L2 sao cho vợi mồi ξ, η ∈ Cr v t ∈ [0, T], ta cõ
(ii) H m g : Ωì[0, T]ìCr → R liản tửc v khÊ vi Fr²chet theo bián ξ.Hỡn nỳa, tỗn tÔi cĂc hơng số L 3 , L 4 v L 5 sao cho vợi mồi ξ, η ∈ C r v t∈ [0, T]
Hỡn nỳa, náu 1−H < α < H v η thuởc C 1−α ([−r,0]) thẳ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh x(t) = η(0) +
Z t 0 g(s, x s )dB H (s), t ≥ 0, x0 = η ∈ Cr vợi hƯu chưc chưn cĂc quÿ Ôo cừa B H trong C 1−α ([0, T]), ð õ α < γ 0 sao cho vợi mồi ξ, η ∈ C r kf(ξ)−f(η)k ≤ L1kξ −ηk ∞ v kf(ξ)k ≤ L2(1 +kξk ∞ ) (1.27)
(H g ) H m g thuởc lợp C 1 sao cho Ôo h m Fr²chet tữỡng ựng vợi ξ bà ch°n v liản tửc Lipschitz to n cửc, tực l tỗn tÔi cĂc hơng số L 3 v L 4 sao cho vợi mồi ξ, η ∈ C r kD 1 g(ξ)k ≤ L 3 v kD 1 g(ξ)−D 1 g(η)k ≤ L 4 kξ −ηk ∞ ành lỵ 1.2.33 ([20]) GiÊ sỷ f, g thọa mÂn cĂc giÊ ành Hf v Hg Cố ành α ∈ (1−H, 1 2 ) v T >0 Khi õ vợi mội η ∈ C 0,1−α ([−r,0],R d ), tỗn tÔi nghiằm duy nhĐt x(t, ω, η) cừa (1.26) sao cho x(., ω, η) ∈ C 0,1−α ([−r, T],R d ) hƯu chưc chưc Nghiằm n y sinh ra hằ ởng lỹc ϕ: R + ×Ω×C 0,1−α ([−r,0],R d ) → C 0,1−α ([−r,0],R d ) ữủc xĂc ành bði ϕ(t, ω, η) =xt(., ω, η),∀t≥ 0.
Nhên x²t 1.2.34 Tứ cĂc tẵnh chĐt thổng qua cĂc ành lỵ ð trản, trong giÊi tẵch Itổ, chúng ta nhên thĐy rơng nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản l mởt quĂ trẳnh ngău nhiản o ữủc theo ω v thuởc khổng gian L p ([a, b],R d ) Trong Chữỡng 2 cừa luên Ăn, chúng ta s³ thĐy mởt số tẵnh chĐt àp hỡn vã nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản phƠn thự õ l tẵnh chĐt liản tửc cừa nghiằm.
Trong Chữỡng 1, luên Ăn trẳnh b y cĂc kián thực cỡ sð nhơm hộ trủ cho cĂc kát quÊ Ôt ữủc trong cĂc chữỡng tiáp theo, bao gỗm cĂc nởi dung sau ¥y.
- ành nghắa v tẵnh chĐt vã chuyºn ởng Brown, tẵch phƠn Itổ, cổng thực Itổ, nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản vợi chuyºn ởng Brown chuân tưc, sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm, tẵnh ờn ành nghiằm, bờ ã Borel-Cantelli v ành lỵ ergodic cừa Birkhoff.
- Giợi thiằu tham số Hurst, ành nghắa v tẵnh chĐt vã chuyºn ởngBrown phƠn thự, tẵch phƠn Young, tẵch phƠn phƠn thự, Ôo h m phƠn thự v nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản cõ trạ vợi nhiạu phƠn thự.
TNH ÊN ÀNH CÕA PH×ÌNG TRNH VI PHN NGU NHIN C TR VẻI NHIU BROWN PHN THÙ
Khi x²t b i toĂn trong ho n cÊnh cõ trạ theo thới gian, viằc chựng minh ành lỵ tỗn tÔi duy nhĐt nghiằm  ữủc kh¯ng ành ð nhiãu kát quÊ cừa Boufoussi v Hajji [7], Duc v Schmalfuss [20]), ð õ cĂc h m hằ số l liản tửc Lipschitz to n cửc Trong trữớng hủp cĂc h m hằ số l tuyán tẵnh, chúng tổi ữa ra mởt chựng minh tữớng minh trong ành lỵ 2.1.8.
Tuy vêy, b i toĂn ờn ành cừa nghiằm tƯm thữớng trong trữớng hủp hằ cõ cÊ trạ v dữợi tĂc ởng cừa nhiạu Holder l mởt b i toĂn tữỡng ối phực tÔp Khõ khôn chừ yáu nơm ð kÿ thuêt chựng minh tẵnh ờn ành.
Thổng thữớng vợi cĂc phữỡng trẳnh ð dÔng Itổ, chúng ta cõ thº Ăp dửng cổng thực Itổ cho mởt h m Lyapunov n o õ, sau õ triằt tiảu ữủc phƯn nhiạu ngău nhiản thổng qua toĂn tỷ ký vồng Khi x²t hằ phữỡng trẳnh Young, ta khổng thº sỷ dửng cĂc kÿ thuêt trong giÊi tẵch Itổ, m buởc phÊi phĂt triºn cĂc kÿ thuêt ho n to n mợi ị tữðng côn bÊn l thỹc hiằn cĂc xĐp x¿ liản tiáp nghiằm trản tứng oÔn cõ ở d i bơng trạ, tứ õ dăn án cổng thực truy hỗi vã Ănh giĂ tông trữðng nghiằm Cuối cũng s³ dăn án cĂc tiảu chuân ờn ành cho nghiằm tƯm thữớng Kÿ thuêt n y ữủc sỷ dửng trong cĂc ành lỵ 2.2.5, ành lỵ 2.2.6 v ành lỵ 2.3.9.
Chữỡng n y trẳnh b y cĂc kát quÊ nghiản cựu m chúng tổi Ôt ữủc vã:
- ành lỵ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cho phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản tuyán tẵnh cõ trạ vợi nhiạu Brown phƠn thự 1-chiãu vợi cĂc h m hằ số thuởc khổng gian R dìd v phử thuởc v o thới gian.
- Tẵnh ờn ành nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản tuyán tẵnh cõ trạ vợi nhiạu Brown phƠn thự trong trữớng hủp cĂc hằ số l cĂc ma trên trong khổng gian R dìd v khổng phử thuởc v o thới gian, khổng cõ trạ ð phƯn nhiạu.
- Tẵnh ờn ành mụ hƯu chưc chưc cừa nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản tuyán tẵnh cõ trạ vợi nhiạu Brown phƠn thự 1-chiãu trong trữớng hủp cĂc h m hằ số ữủc x²t trản R v phử thuởc v o thới gian, vợi trạ ð phƯn nhiạu.
ành lỵ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cho phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản tuyán tẵnh cõ trạ vợi nhiạu phƠn thự 1 -chiãu 41
trẳnh vi phƠn ngău nhiản tuyán tẵnh cõ trạ vợi nhiạu phƠn thự 1 -chiãu
Kát quÊ vã sỹ tỗn tÔi tẵch phƠn Stieltjes dỹa trản bĐt ¯ng thực Holder ữủc ã xuĐt v chựng minh v o nôm 1936 bði L C Young [66] Nôm 1998, sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh tờng quĂt khổng cõ trạ ữủc nghiản cựu bði T Lyons [47] v M Zahle [67] Phiản bÊn cõ trạ ữủc chựng minh bði Boufoussi v Hajji [7], trong õ f, g trong phữỡng trẳnh(1.24) l cĂc h m theo (t, ξ) ∈ [0, T] ìC r thọa mÂn iãu kiằn Lipchitz theo bián ξ Tuy nhiản, cĂc iãu kiằn ữủc ữa ra trong [7] l quĂ mÔnh cho trữớng hủp tuyán tẵnh vẳ nõ ỏi họi h m g v Ôo h m Fr²chet cừa nõ l Lipchitz theo bián t Trong nhỳng kát quÊ gƯn Ơy nhĐt [58], cĂc iãu kiằn cho phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản hộn hủp ữủc nhiạu bði quĂ trẳnh Wiener v quĂ trẳnh liản tửc Holder ữủc thiát lêp Phữỡng trẳnh n y ữủc xĐp x¿ bði phữỡng trẳnh ngău nhiản cõ nghiằm hởi tử vã mởt quĂ trẳnh l nghiằm cừa phữỡng trẳnh thữớng M°c dũ mổ hẳnh cừa chúng tổi l mởt trữớng hủp °c biằt, dỹa trản cĂc kát quÊ cừa Boufoussi v Hajji [7], chúng tổi ữa ra mởt chựng minh ngưn gồn vã tẵnh tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1) trong khổng gian Holder º thuên tiằn cho viằc trẳnh b y cĂc nởi dung tiáp theo.
X²t phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản cõ trạ tuyán tẵnh khổng thuƯn nhĐt ữủc iãu khiºn bði chuyºn ởng Brown phƠn thự nhữ sau dx(t) = [A(t)x(t) +B(t)x(t−r)]dt+ [C(t)x(t) + D(t)x(t−r)]dB H (t)
(2.1) trong õ x 0 ∈ C r , A, B, C, D l cĂc h m ma trên tứ R+ v o R dìd , r l hơng số trạ, B H (t) l chuyºn ởng Brown phƠn thự ữủc xĂc ành trản khổng gian xĂc suĐt Ưy ừ (Ω,F,P) vợi ch¿ số Hurst H ∈ (1/2,1) (xem Duc v cởng sỹ [20]) v C r := C([−r,0],R d ) l khổng gian cĂc h m liản tửc tứ [−r,0] v o R d ữủc trang bà bði chuân sup, k.k ∞ Kỵ hiằu f(t, ξ) =A(t)ξ(0)+B(t)ξ(−r) v g(t, ξ) =C(t)ξ(0)+D(t)ξ(−r), (2.2) trong õ t ∈ R + ; ξ ∈ C r v x t ∈ C r ữủc xĂc ành bði x t (u) = x(t+ u), vợi mồi u ∈ [−r,0].
Phữỡng trẳnh (2.1) cõ thº ữủc viát lÔi dữợi dÔng tẵch phƠn nhữ sau x(t) = η(0) +
Vợiω ∈ C ν ([0, T],R), cố ành α ∈ (1−ν, β) v x²tx ∈ C 1−α ([−r, T],R d ). Kỵ hiằu
M := max{kAk ∞,[0,T ] +kBk ∞,[0,T ] ,kCk ∞,β,[0,T ] +kDk ∞,β,[0,T ] } (2.5)
Chú ỵ rơng vẳ g ∈ C β ([0, T],R d ) v β +ν > 1 nản J(x) ữủc xĂc ành.
Trong phƯn n y, chúng tổi s³ chựng minh lÔi sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.3) trong khổng gian C 1−α ([−r, T],R d ) v thu ữủc cĂc kát quÊ tữỡng tỹ ối vợi phữỡng trẳnh (2.1).
Vợi bĐt ký λ > 0, x²t chuân trong khổng gian C 1−α ([a, b],R d ) nhữ sau kxk1−α,λ,[a,b] := sup t∈[a,b] e −λt kx(t)k+ sup a 6 s 1 v η ∈ C 1−α ([−r,0],R d ), thẳ (2.1) cõ nghiằm duy nhĐt trong C 1−α ([−r, T],R d ).
Chựng minh Viằc chựng minh ành lỵ n y ữủc thỹc hiằn bơng cĂch sỷ dửng Ănh xÔ co.
Kỵ hiằuC 1−α ([−r, T], η) = X ∈ C 1−α ([−r, T];R d )|X = η trản [−r,0] v ành nghắa Ănh xÔ F : C 1−α ([−r, T], η) → C 1−α ([−r, T], η) bði
Tứ Hằ quÊ 2.1.7, ta cõ kF(X)k1−α,λ,[−r,T ] ≤ M +kηk1−α,λ,[−r,0]+c 3 (λ)kXk1−α,λ,[−r,T ].
Vẳ c 3 (λ) →0 khi λ → ∞ nản ta cõ thº chồn λ 0 sao cho c 3 (λ 0 ) ≤ 1/2 Kỵ hiằu M 0 = 2(M +kηk 1−α,λ 0 ,[−r,0] ) v
Do õ F(X) ∈ Bλ 0 ,∀X ∈ Bλ 0 Vợi mồi X, Y ∈ Bλ 0 , ta cõ kF(X)−F(Y)k1−α,λ,[−r,T ] ≤ c 4 (λ)kX −Yk1−α,λ,[−r,T ]. L§y λ > λ 0 sao cho c 4 (λ) < 1/2, khi â kF(X)−F(Y)k1−α,λ,[−r,T ] ≤ 1
Do õ F l Ănh xÔ co trản têp con B λ 0 cừa khổng gian mảtric Ưy ừ
C 1−α ([−r, T]), khi õ F cõ iºm bĐt ởng duy nhĐt trongB λ 0 Vêy phữỡng trẳnh (2.1) cõ nghiằm trong C 1−α ([−r, T]).
BƠy giớ, giÊ sỷ X, Y l hai nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1) Sỷ dửng Hằ quÊ 2.1.7 vợi λ ừ lợn, ta ữủc kX −Yk1−α,λ,[−r,T ] ≤ 1/2kX −Yk1−α,λ,[−r,T ].Suy ra X = Y Vêy nghiằm cừa phữỡng trẳnh (2.1) l duy nhĐt.
Tiảu chuân ờn ành cho phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản tuyán tẵnh cõ trạ vợi nhiạu phƠn thự: Trữớng hủp khổng cõ trạ ð nhiạu
ngău nhiản tuyán tẵnh cõ trạ vợi nhiạu phƠn thự: Trữớng hủp khổng cõ trạ ð nhiạu
Trong phƠn n y, chúng tổi giợi thiằu cĂc kát quÊ vã tẵnh ờn ành tiằm cên cừa phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản cõ trạ sau Ơy dy(t) = [Ay(t) +f(y(t−r))]dt+Cy(t)dB H (t), (2.17) trong õ iãu kiằn ban Ưu η ∈ C([−r,0],R d ), cĂc ma trên A, C ∈ R dìd , r l hơng số trạ, f(0) = 0 v f l h m Lipschitz, tực l kf(y 1 )−f(y 2 )k ≤ C f ky 1 −y 2 k (2.18)
B H l chuyºn ởng Brown phƠn thự 1-chiãu trản khổng gian xĂc suĐt
(Ω,F,P) vợi ch¿ số Hurst H > 1/2 Phữỡng trẳnh (2.17) ữủc hiºu v ữủc giÊi theo nghắa tứng quÿ Ôo dữợi dÔng phữỡng trẳnh vi phƠn Young sau ¥y dy(t) = [Ay(t) +f(y(t−r))]dt+Cy(t)dω(t) (2.19)
Khi r = 0, (2.17) trð th nh phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản tuyán tẵnh khổng cõ trạ, v tẵnh ờn ành cừa nghiằm tƯm thữớng  ữủc nghiản cựu trong cĂc cổng trẳnh gƯn Ơy [21, 22, 24] Tuy nhiản, viằc nghiản cựu vã tẵnh ờn ành cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cõ trạ Young (2.17) văn ang ð giai oÔn sỡ khai, m°c dũ mởt số tẵnh chĐt khĂc nhữ sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm  ữủc nghiản cựu, xem [21-23] Vẳ khổng biát viằc Ăp dửng kÿ thuêt nỷa nhõm cho trữớng hủp cõ trạ cõ khÊ thi hay khổng nản thay vẳ tiáp cên b i toĂn theo hữợng n y, chúng tổi sỷ dửng cĂc kÿ thuêt  ữủc nghiản cựu trong [24] º chựng minh tẵnh ờn ành mụ cho nghiằm tƯm thữớng cừa phữỡng trẳnh (2.17). é Ơy, chúng tổi giợi thiằu lÔi mởt cĂch ngưn gồn phữỡng trẳnh vi phƠn Young vợi cĂc h m liản tửc Holder º hộ trủ cho viằc giÊi quyát b i toĂn cõ trạ Vợi mội 0 < α < 1, kỵ hiằu C α ([a, b],R d ) l khổng gian cĂc h m liản tửc Holder trản [a, b], ữủc trang bà chuân kuk ∞,α,[a,b] := kuk ∞,[a,b] +|||u||| α,[a,b] , trong õ k ã k ∞,[a,b] l chuân sup cừa h m liản tửc trản oÔn [a, b] v
|||u||| α,[a,b] := sup a≤s 1, ta biát rơng tẵch phƠn Young Rb a y(t)dω(t) tỗn tÔi Tẵch phƠn n y thọa mÂn tẵnh chĐt cởng tẵnh, ữủc gồi l ữợc lữủng Young-Lõeve (xem ành lỵ 1.2.24)
K := (1−2 1−θ ) −1 , θ := β +ν > 1 (2.21) Theo ành lỵ 1.2.32, náu f liản tửc Lipchitz thẳ tỗn tÔi nghiằm duy nhĐt y(ã, ω, η) cừa (2.17) trản C β ([−r, T],R d ) hƯu chưc chưn vợi H > β >
1 − H Mởt kát quÊ tữỡng tỹ cụng ữủc ã cêp án trong [23] Thêt vêy, (2.17) cõ thº ữủc giÊi quyát bơng phữỡng phĂp quy nÔp trản mội oÔn [kr,(k + 1)r] nhữ l phữỡng trẳnh vi phƠn Young Cõ nghắa l , vợi y 0 = η ∈ C β ([−r,0],R d ) cho trữợc, (2.19) suy ra dy(kr+t) = [Ay(kr +t) +f(y((k −1)r +t))]dt+Cy(kr +t)dθ kr ω(t), vợi mồi t ∈ [0, r] Nghiằm cừa (2.19) cõ thº ữủc viát dữợi dÔng quy nÔp nhữ sau: y 0 (ã) =η(ã) ∈ C β v y(kr +t) = Φ(t, θkrω)y(kr) +
(2.22) vợi mồi t∈ [0, r] v k ≥ 1, trong õΦ(t, x) l ma trên nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn Young dz(t) = Az(t)dt+Cz(t)dω(t) (2.23) v thọa mÂn Φ(0, ω) = Id. Thêt vêy, vợi k ≥ 0, t ∈ [0, r], ta cõ y(kr+t) = y(kr) +
Hỡn nỳa, x²t phữỡng trẳnh vi phƠn lũi dΨ(t, x) =−A T Ψ(t, x)dt−C T Ψ(t, x)dω(t), (2.25) trong õ Ψ(0, x) = id R nìn , A T v C T lƯn lữủt l cĂc ma trên chuyºn và cừa A v C Ta cõ thº ch¿ ra rơng rơng tỗn tÔi nghiằm duy nhĐt Ψ(t, x) cừa (2.25) v Φ(s, x)Ψ(s, x) T = id R nìn °t u(t) = Ψ(t, x) T y(t) Bði cổng thực tẵch phƠn tứng phƯn, ta ữủc dΨ(t, x) T y(t) = du(t)
= [−A T Ψ(t, x) T dt−C T Ψ(t, x) T dx(t)]y(t) +Ψ(t, x) T [(Ay(t) + f(y(t−r)))dt+Cy(t)dx(t)]
= [−Ψ(t, x) T Adt−Φ(t, x) T Cdx(t)]y(t) +Ψ(t, x) T [(Ay(t) + f(y(t−r)))dt+Cy(t)dx(t)]
= Ψ(t, x) T f(y(t−r))dt (2.26) iãu n y suy ra Ψ T (kr +t, x)y(kr +t)−Ψ T (kr, x)y(kr) Z kr+t kr Ψ T (s, x)f(y(s−r))ds,
Ta cõ Φ(ã, θ kr ω)y(kr) ∈ C β ([0, r],R d ). Do õ (2.22) dăn án y(kr + ã) ∈ C β ([0, r],R d ) Bơng phữỡng phĂp chựng minh quy nÔp, ta cõ thº chựng tọ rơng y(ã) ∈ C β ([−r, T],R d ) vợi mồi T ≥ −r Do vêy y t (ã) ∈ C β ([−r,0],R d ) vợi mồi t≥ 0.
Trong phƯn n y, chúng tổi ữa ra cĂc kát quÊ vã tẵnh ờn ành mụ cừa nghiằm tƯm thữớng cừa (2.17) Chúng ta s³ l m viằc vợi khổng gian(Ω,F,P, θ) cừa chuyºn ởng Brown phƠn thự Kº tứ bƠy giớ, ta cố ành ν ∈ (1/2, ν 0 ) v β ∈ (1−ν, ν) Ta câ B H (ω)| [a,b] ∈ C 0 0,ν ([a, b],R), ∀ω ∈ Ω v E
B H m ν,[a,b] bà ch°n vợi mồi [a, b] ⊂ R v m >0. º thu ữủc cĂc kát quÊ chẵnh vã tẵnh ờn ành mụ cừa nghiằm tƯm thữớng, ta cƯn mởt số bờ ã sau Ơy.
Bờ ã 2.2.1 GiÊ sỷ rơng vợi T, y ữủc cố ành, thọa mÂn
(2.29) vợi mồi 0 ≤a < b ≤T, trong õ M, L l cĂc hơng số Khi õ
Chựng minh Cố ành à= 2M 1 , ta xƠy dỹng dÂy {t i } sao cho t 0 = 0 v ti+1 = inf{t ≥ti | (t−ti) + (t−ti) ν |||ω||| ν,[t i ,t] ≥ à}.
Theo Mằnh ã 1.2.21, ta cõ | |||ω||| ν,[t i ,t 0 ] − |||ω||| ν,[t i ,t]| ≤ |||ω||| ν,[t,t 0 ] vợi mồi t i ≤ t ≤ t 0 v ω ∈ C 0,ν (I,R) vợi mồi oÔn õng I Do õ | |||ω||| ν,[t i ,t 0 ] −
|||ω||| ν,[t i ,t]| ≤ |||ω||| ν,[t,t 0 ] → 0 khi t 0 → t Suy ra vợi t i cho trữợc, h m f(t) = (t−t i ) + (t−t i ) ν |||ω||| ν,[t i ,t] liản tửc trản [t i ,+∞) Hỡn nỳa, f l h m tông ng°t, f(ti) = 0 v limt→+∞f(t) = +∞ Do õ, tỗn tÔi ti+1 sao cho
(t i+1 −t i ) + (t i+1 −t i ) ν |||ω||| ν,[t i ,t i+1 ] = à (2.31) Kỵ hiằu N := sup{n| t n ≤ T} < ∞ Vợi i = 0, , N −1, (2.31) dăn án à = (ti+1−ti) ν h (ti+1 −ti) 1−ν +|||ω||| ν,[t i ,t i+1 ] i
Vợi giÊ thiát cừa Bờ ã n y, khi 0≤ i ≤ N −1, ta cõ
1−M à h T 1−β +T ν−β |||ω||| ν,[0,T ] i. Ngo i ra, ta công câ
Vẳ [0, T] ⊂ ∪ N−1 i=0 [t i , t i+1 ]∪[t N , T] v chuân Holder cõ tẵnh dữợi cởng tẵnh nản
1−M à h T 1−β +T ν −β |||ω||| ν,[a,b] i. Kát hủp Ănh giĂ trản vợi (2.33) ta ữủc
≤ L[1∨(2M)] 1+ ν 1 T −β ×hT +T ν |||ω||| ν,[0,T ] + (T +T ν |||ω||| ν,[0,T ] ) 1+ 1 ν i (2.34) Sỷ dửng cĂc bĐt ¯ng thực sau Ơy x p +p−1 ≥px, ∀x ≥ 0, p≥ 1, (2.35) v
Bờ ã tiáp theo sau Ơy l dÔng Holder cừa Mằnh ã 1.2.25, hộ trủ cho viằc chựng minh tẵnh ờn ành cho hằ cõ trạ.
Bờ ã 2.2.2 GiÊ sỷ rơng trong phữỡng trẳnh (2.23), A l ma trên xĂc ành Ơm, tực l tỗn tÔi hơng số h 0 > 0 sao cho hy, Ayi ≤ −h0kyk 2 , ∀y ∈ R d (2.38) Khi õ vợi mồi 0 6 s < t 6 r, cĂc bĐt ¯ng thực dữợi Ơy úng
(i) kΦ(t, ω)k ≤ exp{−h 0 t+ kCktQ(r, ω) + 2KGkCk}; (2.39) (ii) kΦ(t−s, θ s ω)k ≤ exp{−h 0 (t−s)
(2.42) Chùng minh (i) Trong chùng minh cõa ành lþ 1.2.27, ta câ logkΦ(t, ω)k ≤ −h 0 t+
≤ −h 0 t+kCkt ν |||ω||| ν,[0,t] 1 + 2Kt β |||y||| β,[0,t] vợi y(t) = kΦ(t,ω)k Φ(t,ω) thọa mÂn
|||y||| β,[s,t] ≤ (2kAk ∨4KkCk)h(t−s) 1−β + (t−s) ν −β |||ω||| ν,[s,t] i ×h1 + (t−s) β |||y||| β,[s,t] i, ∀s < t. p dửng Bờ ã 2.2.1 cho M = 2kAk ∨4KkCk v L = 1, ta ữủc
Do õ, vợi 0≤ t≤ r, logkΦ(t, ω)k ≤ −h 0 t+kCkt ν |||ω||| ν,[0,t] ×h1 + 2KG 1 +t 1+ 1 ν +t 1+ν |||ω||| 1+
Kát luên Q(t−s, θsω) ≤ Q(r, ω) v (2.40) ữủc chựng minh.
Tiáp theo, chúng tổi giợi thiằu bĐt ¯ng thực Gronwall-Bellman, xem chi tiát chựng minh trong [34].
Mằnh ã 2.2.3 LĐy t 0 ∈ R,0 < t 0 ≤ ∞, c ≥ 0 v a : [t 0 , T] → R + l khÊ tẵch àa phữỡng GiÊ sỷ r ≥ 0, v τ : [t0, T) → R + l h m o ữủc sao cho t 0 −r ≤ t−τ(t), t 0 ≤t < T Náu x : [t 0 −r, T) → R + l h m o ữủc Borel v bà ch°n àa phữỡng sao cho x(t) ≤ c+
Z t t 0 γ(s)ds , t 0 ≤t < T, (2.44) trong õ h m γ : [t 0 −r, T) →R + khÊ tẵch àa phữỡng, v thọa mÂn a(t) exp
Khi a v τ l cĂc h m hơng, ta ữủc hằ quÊ sau Ơy.
Hằ quÊ 2.2.4 Cho t 0 ∈ R, t 0 < T 6 ∞ v c, a, τ ≥ 0 Náu y : [t 0 − τ, T) → R + l o ữủc Borel v bà ch°n àa phữỡng sao cho y(t) 6 c+
Z t t 0 ay(u−τ)du, t0 6 t < T, (2.47) thẳ y(t) 6 Ke γ(t−t 0 ) , t 0 6 t < T, (2.48) trong õ số khổng Ơm γ thọa mÂn bĐt ¯ng thực a 6 γe γτ (2.49) v
Kát quÊ chẵnh thự nhĐt cừa chúng tổi cõ nởi dung nhữ sau. ành lỵ 2.2.5 GiÊ sỷ A l ma trên xĂc ành Ơm, tực l tỗn tÔi h 0 > 0 sao cho hy, Ayi ≤ −h 0 kyk 2 (2.51) v C f < h 2 0 e − h 0 2 r Khi õ tỗn tÔi > 0 sao cho náu kCk < thẳ nghiằm tƯm thữớng cừa hằ (2.17) ờn ành mụ tián hƯu chưc chưn, tực l vợi mồi nghiằm y cừa (2.17) ta cõ lim sup t→∞
Chựng minh Ta chựng minh ành lỵ trản qua cĂc bữợc nhữ sau.
Bữợc 1: ìợc lữủng giợi hÔn lim sup t→∞
Trữợc tiản, chúng ta cố ành ω, η v kỵ hiằu y(t), t ∈ [−r,∞) l nghiằm cừa hằ (2.19) Ta cõ kf(y)k ≤ C f kyk (2.54)
≤ exp{−h 0 t+kCktQ(r, θ kr ω) + 2KGkCk}ky(kr)k +C f
Z t 0 exp{−h 0 (t−s) + kCk(t−s)Q(r, θ kr ω) + 2KGkCk} ×ky(kr+s−r)kds.
Vợi mội k ∈ N cố ành °t z k (t) = ky(kr+t)kexp{h 0 t− kCktQ(r, θ kr ω)}, t ∈ [−r, r] (2.55) Ta câ z k (t) ≤ e 2KGkCk ky(kr)k
Z t 0 exp{h 0 s− kCksQ(r, θ kr ω)}ky(kr +s−r)kds
≤ e 2KGkCk ky(kr)k +C f exp{h 0 r − kCkrQ(r, θ kr ω) + 2KGkCk}
(2.56) Vợi giÊ thiát C f < h 2 0 e − h 0 2 r , tỗn tÔi 1 > 0 sao cho
Khi õ vợi kCk < 1 , ta ữủc
< h 0 2 e h 0 2 r Ta cõ thº chồn γ ∈ (0, h 2 0 ) khổng phử thuởc v o k v ω sao cho
Cf exp{h 0 r − kCkrQ(r, θ kr ω) + 2KGkCk} 6 Cf exp{h 0 r + 2KGkCk}
Kát hủp iãu n y vợi Hằ quÊ 2.2.4, ta cõ z k (t) 6 M k e γt vợi mội t ∈ [0, r] hay nâi c¡ch kh¡c ky(kr+t)k ≤ M k exp{−h 0 t+γt+kCktQ(r, θ kr ω)}, (2.57) trong â
M k = maxne γr+2KGkCk ky(kr)k, sup s∈[−r,0] ky(kr+ s)kexp{h 0 s−γs− kCksQ(r, θ kr ω)}o.
(2.58) Tiáp theo, ta sỷ dửng h m ρ k (t) = M k exp{−h 0 t+γt+kCktQ(r, θ kr ω)}.
Ró r ng rơng ky(kr +t)k ≤ ρ k (t) vợi mồi t∈ [0, r] v ρ k (r) = M k exp{−h 0 r +γr+kCkrQ(r, θ kr ω)}
Thêt vêy, trữợc tiản, vợi ành nghắa cừa M k v (2.57), vợi s ∈ [−r,0], ky(kr +s)kexp{h 0 s−γs− kCksQ(r, θ kr ω)}
≤ ky((k−1)r+ s+ r)kexp{h 0 (s+r)−γ(s+r)} ×exp{−h 0 r+ γr+kCkrQ(r, θ kr ω)}
≤ ky((k−1)r+ s 0 )kexp{h 0 s 0 −γs 0 } ×exp{−h 0 r +γr+kCkrQ(r, θ kr ω)}
≤ M k−1 exp{kCkrQ(r, θ (k−1)r ω)}exp{−h 0 r +γr+kCkrQ(r, θ kr ω)}, trong â 0≤ s+r = s 0 ≤ r. M°t kh¡c,
[−r,0] ky(ks+r)kexp{h 0 s−γs− kCksQ(r, θ kr ω)s} ≤ ρ k−1 (r)e kCkrQ(r,θ kr ω)
(2.60) Thù hai, ta câ e γr+2KGkCk ky(kr)k = e γr+2KGkCk ky((k−1)r + r)k
M k ≤ ρ k−1 (r) exp{γr+kCkrQ(r, θ kr ω) + 2KGkCk} (2.61) iãu n y dăn án ρ k (r) = M k exp{−h 0 r+ γr+kCkrQ(r, θ kr ω)}
+2KGkCkiko. Tứ Nhên x²t 1.2.19, Mằnh ã 1.2.10 v Hằ quÊ 1.1.20, ta cõ λ := − lim k→∞ n−(h 0 −2γ)r + 2KGkCk+ 2kCkr k k
= (h0 −2γ)r −2KGkCk −2kCkrE[Q(r, ω)] (2.62) úng vợi hƯu hát ω Chồn
Khi õ λ > 0 miạn l kCk < Ngo i ra, ρ 0 (r) = M 0 exp{−h 0 r +γr+kCkrQ(r, ω)}, trong â
M 0 = maxne γr+2KGkCk kη(0)k, sup s∈[−r,0] kη(s)kexp{h 0 s−γs− kCksQ(r, ω)}o
≤ kηk ∞,[−r,0] expnγr+kCkQ(r, ω) + 2KGkCko. Do â ρ 0 (r) ≤ kηk ∞,[−r,0] expn2γr+ 2kCkrQ(r, ω) + 2KGkCko. Vêy, khi k ừ lợn, (2.62) suy ra h−(h 0 −2γ)r + 2KGkCk+ 2kCkr1 k k
M°t khĂc, vợi mồi 0 ≤ t≤ r ta cõ ky(kr +t)k ≤ ρ k (t) ≤ e h 0 r ρ k (r) ≤ e − λk 2 +h 0 r ρ 0 (r).
1 t logky t k ∞,[−r,0] < −λ/2 (2.64) Bữợc 2: ìợc lữủng giợi hÔn lim sup t→∞ log|||y t ||| β,[−r,0] t (2.65)
Vợi mồi 0 ≤t 1 < t 2 ≤ r, kỵ hiằu l(k, ω, η) =y(kr+s−r, ω, η), ta cõ ky(kr+t 2 , ω, η)−y(kr +t 1 , ω, η)k
+(t 2 −t 1 )C f ky(kr+ã, ω, η)k ∞,[−r,0] kΦ −1 (ã, θ kr ω)k ∞,[0,r] ìkΦ(ã, θ kr ω)k ∞,[0,r]
+(t 2 −t 1 )C f ky(kr+ã, ω, η)k ∞,[−r,0] kΦ −1 (ã, θ kr ω)k ∞,[0,r] ìkΦ(ã, θ kr ω)k ∞,[0,r]
+(t 2 −t 1 ) β rC f ky(kr+ã, ω, η)k ∞,[−r,0] kΦ −1 (ã, θ kr ω)k ∞,[0,r] ì |||Φ(ã, θ kr ω)||| β,[0,r] (2.66) Vêy, vợi k ừ lợn, ta ữủc y (k+1)r β,[−r,0]
+rC f ky(kr+ã, ω, η)k ∞,[−r,0] kΦ −1 (ã, θ kr ω)k ∞,[0,r] |||Φ(ã, θ kr ω)||| β,[0,r]
≤ e − λ(k−1) 2 +h 0 r ρ 0 (r) ìh1 +Cf(r 1−β + r)kΦ −1 (ã, θ kr ω)k ∞,[0,r] ikΦ(ã, θ kr ω)k ∞,β,[0,r] (2.67) M°t khĂc, Φ v Ψ := Φ −1 thọa mÂn dΦ(t, ω) = AΦ(t, ω)dt+CΦ(t, ω)dω(t); dΨ(t, ω) = −A T Ψ(t, ω)dt−C T Ψ(t, ω)dω(t). p dửng Mằnh ã 1.2.26 ta ữủc kΦ(ã, ω)k ∞,[0,r] ≤ e 2kAkr
≤ (kAk ∨KkCk)h(t−s) 1−β + (t−s) ν−β |||ω||| ν,[s,t] i ×hL+ (t−s) β |||y||| β,[s,t] i, with L = e 2kAkr
. Sỷ dửng Bờ ã 2.2.1, ta cõ
|||Φ(ã, ω)||| β,[0,r] ≤ L[2∨4kAk ∨4KkCk] 1+ ν 1 r −β 1 +r 1+ 1 ν +r 1+ν |||ω||| 1+ ν,[0,r] ν 1 Vẳ lim sup k→∞ |||θ kr ω||| k ν,[0,r] = 0 nản lim sup k→∞ log
1+C f (r 1−β +r)kΦ −1 (ã, θ kr ω)k ∞,[0,r] kΦ(ã, θ kr ω)k ∞,β,[0,r] = 0 vợi mồi ω ∈ Ω 0 ,P(Ω 0 ) = 1 Kát hủp iãu n y vợi (2.67), ta ữủc y (k+1)r β,[−r,0] ≤ e −λk/4 khi k ừ lợn Vợi t∈ [kr,(k+ 1)r],
|||y t ||| β,[−r,0] ≤ |||y kr ||| β,[−r,0] + y (k+1)r β,[−r,0] ≤ 2e −λ(k−1)/4 Do â lim sup t→∞ log|||y t ||| β,[−r,0] t < −λ/4 (2.68)
Bữợc 3: Kát luên vã tẵnh ờn ành cho hằ (2.17).
Ta câ ky t (ω, y 0 )k ∞,β,[−r,0] = ky t (ω, y 0 )k ∞,[−r,0] +|||y t (ω, y 0 )||| β,[−r,0] (2.69) Tứ (2.64) v (2.68), suy ra (2.52) ành lỵ ữủc chựng minh.
Trong kát quÊ chẵnh tiáp theo sau Ơy, chúng tổi chựng minh rơng nghiằm tƯm thữớng cừa (2.17) l ờn ành mụ lũi hƯu chưc chưn. ành lỵ 2.2.6 Vợi cĂc giÊ thiát cừa ành lỵ 2.2.5, tỗn tÔi > 0 sao cho náu kCk< thẳ nghiằm tƯm thữớng cừa hằ (2.17) l ờn ành mụ lũi ựng vợi chuân k ã k ∞,β,[−r,0] , tực l lim sup t→∞
Chựng minh Ta chựng minh ành lỵ trản qua cĂc bữợc sau Ơy.
Bữợc 1: ìợc lữủng giợi hÔn lim sup t→∞
Trữợc tiản, ta viát y(t, ω, η) v ρ k (t, ω, η) º nhĐn mÔnh sỹ phử thuởc cừa y v ρ k trong ành lþ 2.2.5 v o ω v η Chùng minh cõa ành lþ n y düa trản cĂc lêp luên nhữ trong chựng minh cừa ành lỵ 2.2.5 Thêt vêy, cố ành u ∈ [kr,(k+ 1)r] v thay ω trong (2.62) bði θ −u ω, ta thu ữủc ρ k (r, θ−uω, η)
2KG+ 2rE[P(r, ω)] o v x²t kCk < 0 Tứ Nhên x²t 1.2.19, Mằnh ã 1.2.10 v Hằ quÊ 1.1.20, vợi hƯu hát ω, ta ữủc k→∞lim n−(h0 −2γ)r + 2KGkCk+ 2kCkr k k−1
Hỡn nỳa, vẳ ρ 0 (r, θ −u ω, η) ≤M 0 exp{−h 0 r + γr+ kCkrP(r, θ −kr ω)}, trong â M0 = max n e γr+2KGkCk kη(0)k, sup s∈[−r,0] kη(s)kexp{h 0 s−γs− kCksQ(r, θ −u ω)}o
≤ kηk ∞,[−r,0] exp n γr+kCkrP(r, θ −kr ω) + 2KGkCko. Do â ρ 0 (r, θ −u ω, η) ≤ kηk ∞,[−r,0] exp n2kCkrP(r, θ −kr ω) + 2KGkCko. Chùng minh t÷ìng tü ành lþ 2.2.5, ta câ ρ 0 (r, θ−uω, η) ≤ kηk ∞,[−r,0] exp n 2γr+ 2kCkrP(r, θ−krω) + 2KGkCko. Khi k ừ lợn, h−(h 0 −2γ)r + 2KGkCk+ 2kCkr1 k k−1
0 k 4 M°t khĂc, vợi mồi 0 ≤ t≤ r, ky(kr +t, θ −u ω, η)k ≤ ρ k (t, θ −u ω, η)
0 k 2 +h 0 r. Ta cõ thº chồn k > n(ω) ừ lợn sao cho ky(ã, θ −u ω, η)k∞,[(k−2)r,(k+1)r] ≤e − λ
0 (k−2) 2 +h 0 r (2.73) Bữợc 2: ìợc lữủng giợi hÔn lim sup t→∞
Lỵ luên tữỡng tỹ nhữ (2.22), vợi u ∈ [kr,(k + 1)r] v u 0 = u−r ta cõ y(u 0 +t, ω, η) = Φ(t, θu 0 ω)y(u 0 , ω, η)
Do vêy, vợi k ≥ n(ω) v u ∈ [kr,(k+ 1)r], ta cõ y(u 0 +t, θ −u ω, η) = Φ(t, θ −r ω)y(u 0 , θ −u ω, η)
Vợi mồi 0 ≤ t 1 < t 2 ≤ r, kỵ hiằu l 0 (u 0 , ω, η) = y(u 0 + s−r, θ −u ω, η), tẵnh toĂn tữỡng tỹ nhữ trong (2.66), ta ữủc ky(u 0 +t 2 , θ −u ω, η)−y(u 0 +t 1 , θ −u ω, η)k
Bữợc 3: Kát luên vã tẵnh ờn ành nghiằm cho hằ (2.17).
2 < 0. iãu n y cõ nghắa l nghiằm tƯm thữớng cừa hằ (2.17) l ờn ành mụ lũi h¦u ch c ch n.
2.3 Tiảu chuân ờn ành cho phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản tuyán tẵnh cõ trạ vợi nhiạu phƠn thự: Trữớng hủp 1 chiãu cõ trạ ð phƯn nhiạu phƠn thự v hằ số phử thuởc v o thới gian
Trong phƯn n y, chúng tổi nghiản cựu tẵnh ờn ành mụ cừa phữỡng trẳnh vi phƠn cõ trạ ngău nhiản phƠn thự sau Ơy dx(t) = [a(t)x(t) +b(t)(t−r)]dt+ [c(t)x(t) +d(t)x(t−r)]dB H (t), (2.76) trong õ a, b, c, d l cĂc h m số nhên giĂ trà trong têp số thỹc R, r > 0 l hơng số trạ v H ∈ (1/2,1) l ch¿ số Hurst Phữỡng trẳnh (2.76) ữủc hiºu theo nghắa (2.3) Vợi mội quÿ Ôo ω(.) =B H (ω), x²t phữỡng trẳnh x(t) = η(0) +
Trữợc tiản, chúng tổi ữa ra cĂc giÊ thiát trản cĂc h m số a, b, c, d º Êm bÊo tẵnh tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa (2.76) trản R + nhữ Â ữủc ã cêp trong ành lỵ 2.1.8.
GiÊ thiát 2.3.1 (i) a, b bà ch°n trản R + ; (ii) c, d bà ch°n v l β-Holder trản R + vợi 1−H < β < 1/2. Kỵ hiằu a := kak ∞, R + , b := kbk ∞, R + , c := kck ∞,β, R + , d := kdk ∞,β, R +
Vẳ 1−H < β nản tỗn tÔi ν ∈ (1/2, H) thọa mÂn ν +β > 1 Tiáp theo, chúng tổi giợi thiằu thảm mởt số kỵ hiằu º hộ trủ cho cĂc Ănh giĂ phẵa sau ra := sup t∈ R + a(t)− inf t∈ R + a(t), a 0 := lim sup n→∞
Z nr 0 a(s)ds, m := K(1 +γr β ), trong õ K, γ ữủc cho bði
(β −α)(β −α + 1), vợi α ∈ (1−ν, β) Hỡn nỳa, x²t thảm cĂc bián ngău nhiản khổng Ơm τ ν (ω) := |||ω||| ν,[−r,r] , τ(ω) := sup u∈[0,r] e r a u+2mcu ν τ ν (ω) −1 u β
Bờ ã 2.3.2 ([26], Bờ ã 1) Cho trữợc s, t ∈ R, ν ∈ (0, H) v f, g ∈ C κ ([s, t],R) CĂc ữợc lữủng sau Ơy úng
(i) kf(.)g(.)k ∞,[s,t] ≤ kfk ∞,[s,t] kgk ∞,[s,t] ; (ii) kf(.)g(.)k κ,[s,t] ≤ kfk ∞,[s,t] |||g||| κ,[s,t] +kgk ∞,[s,t] |||f||| κ,[s,t] ; (iii) kf(.)g(.)k ∞,κ,[s,t] ≤ kfk ∞,κ,[s,t] kgk ∞,κ,[s,t]
Bờ ã 2.3.3 ([26], Bờ ã 2) Cho trữợc 1 2 < β < ν v 1−ν < α < 1 2 Kỵ hiằu
Khi õ vợi bĐt ký f ∈ C β ([s, t],R) v ω ∈ C ν ([s, t],R), ta cõ ữợc lữủng sau ¥y
Bờ ã 2.3.4 ([26], Bờ ã 3) Cho trữợc chuyºn ởng Brown phƠn thự B H v p, r, ν ∈ R, r >0, ν ∈ ( 1 2 , H), cĂc ữợc lữủng sau Ơy úng
(i) Ehsup u∈[−r,r] |B H (u)|i < ∞; (ii) Ehexp psup u∈[−r,r] |B H (u)|i < ∞; (iii) Ehsup−r≤s (N+ 1)r, ta cõ [t − r,0] ⊂ [(n − 1)r,(n+ 1)r] vợi n ≥ N, do õ kx t k ∞,[−r,0] ≤ kx t k∞,[(n−1)r,(n+1)r]. Vêy lim sup t→∞
−C(n−1) (n+ 1)r < 0. ành lỵ ữủc chựng minh.
Nhên x²t 2.3.10 Trong ành lỵ trản, ta cõ kát quÊ cho tẵnh ờn ành mụ cừa phữỡng trẳnh khi ν v α ữủc cố ành Tiáp theo sau Ơy, chúng tổi s³ ữa ra iãu kiằn ừ Êm bÊo sỹ tỗn tÔi ν v α sao cho (2.86) ữủc thọa mÂn vợi H v β cho trữợc. º l m iãu n y, kỵ hiằu 2ε 0 = H + β − 1 v ε = H − ν, khi õ 0< ε < 2ε 0
Bờ ã 2.3.11 CĂc ữợc lữủng sau Ơy úng (i) h mc(4r ν + 2r ν−β ) +e ar K 2 i ≤ H{r π(ν+α−1)(β−α) ν +r ν−β }(1+r β ) 4c+e ar d ;
(ii) Eτ ν (ã) ≤ 64H √ 8 πr ε p1 + 2/ε, vợi mồi 0 < < 2 0 sao cho 2 ε ∈ N ∗ Chựng minh (i) Kỵ hiằu F(ν, α) := mc(4r ν + 2r ν −β ) +e ar K 2 , ta cõ
≤ (1 +γ)K(1 +r β )(r ν +r ν−β ) 4c+ e ar d (2.98) Tứ ành nghắa cừa K, γ, nhên thĐy rơng
F(ν, α) ≤ H(r ν +r ν −β )(1 +r β ) π(ν +α−1)(β −α) 4c+e ar d (2.99) (ii) p dửng Mằnh ã 1.2.22, ta cõ τ ν 2/ ≤
Tứ Nhên x²t 1.2.11 vã tẵnh chĐt cừa chuyºn ởng Brown phƠn thự ta cõ vợi n≥ 1,
Ngo i ra, vợi x ≥ 2, ta cụng cõ Γ(x) ≤ (x/2) x−1 Do vêy, vợi 2 ε ∈ N ∗ ,
P ν = {α | 1−ν < α < β}. Nhên thĐy rơng vợi mội ν, ta cõ α∈Pinfν
(ii) Tứ Bờ ã 2.3.11, ữợc lữủng sau Ơy úng vợi mồi 0 < < 2 0 sao cho
B i toĂn ờn ành nghiằm cho hằ hộn hủp vợi nhiạu Bernoulli 85
Hằ iãu khiºn mÔng lữợi
Trong nhỳng nôm gƯn Ơy, hằ iãu khiºn mÔng lữợi (Networked Control Systems - NCS) ang rĐt ữủc quan tƠm nghiản cựu do nhỳng ựng dửng rởng rÂi cừa nõ trong hằ thống truyãn thổng tin vổ tuyán ho°c hỳu tuyán.
CĂc cổng trẳnh nghiản cựu Ưu tiản ữủc ã xuĐt bði Walsh, Beldiman v Bushnell [62-64] CĂc cổng trẳnh n y giợi thiằu vã tẵnh ờn ành cừa hằ iãu khiºn vợi giao thực xĂc ành GƯn Ơy hỡn, khĂ nhiãu b i bĂo khoa hồc ã cêp án tẵnh ờn ành cừa hằ lai bơng cĂch xƠy dỹng h m Lyapunov v cĂc tham số cử thº, xem chi tiát trong [11, 12, 14, 15, 55, 68].
Cho F : R n ìR m →R n ,(x, u) 7→F(x, u) l h m liản tửc Lipschitz àa phữỡng theo x X²t phữỡng trẳnh ˙ x = F(x, u), (3.1) trong õ x ∈ R n , u ∈ R m v x ∗ = 0 l iºm cố ành GiÊ sỷ rơng tỗn tÔi h m iãu khiºn liản tửc κ : x 7→u, sao cho ˙ x = F(x, κ(x)) (3.2) l ờn ành tiằm cên ãu ối vợi x ∗ = 0 Trong thỹc tá, thổng tin sđn cõ ối vợi h m iãu khiºn tÔi thới iºm t khổng phÊi trÔng thĂi x(t) m ch¿ l ữợc lữủng x(t)ˆ , ữủc cêp nhêt thữớng xuyản thổng qua giao thực Tực l , ˙ x = F(x, κ(ˆx)) (3.3) ìợc lữủng xˆ l h m số hơng tứng khúc, ð õ cĂc giĂ trà mợi ữủc cêp nhêt t¤i c¡c thíi iºm 0 := t 0 < t 1 < t 2 < , trong â
0< δ ≤t t+1 −t k ≤ τ (3.4) º giÊm Ăp lỹc truyãn thổng tin, giĂ trà τ cƯn cõ ở lợn phũ hủp KhoÊng thới lữủng truyãn tin cho ph²p lợn nhĐt τ M AT I l cên trản b² nhĐt cừa τ sao cho hằ (3.3) l ờn ành tiằm cên ối vợi mồi dÂy thọa mÂn (3.4).
Giao thực truyãn thổng tin
CĂc nghiản cựu cừa chúng tổi dỹa trản giao thực truyãn thổng tin ữủc mổ tÊ bði cĂc h m Lyapunov Mởt giao thực truyãn thổng tin l mởt Ănh xÔ h cêp nhêt thổng tin x(t)ˆ dỹa trản lội hiằn tÔi e(t) = ˆx(t)−x(t), ữủc x¡c ành nh÷ sau h : N×R n 7→R n ,(k, e) 7→h(k, e) (3.5) Ta x²t hằ thới gian rới rÔc mổ tÊ sỹ thay ời cừa lội dữợi dÔng giao thực. e(k + 1) = h(k, e(k)) (3.6)
Thổng thữớng, lợp cĂc giao thực ữủc x²t án ð Ơy l giao thực truyãn thổng tin "thỷ mởt lƯn rỗi hừy" (Try Once Discard-TOD), ữủc xƠy dỹng nhữ sau: GiÊ sỷ rơng trÔng thĂi x ữủc chia th nh l trÔng thĂi con x (x 1 , , x l ) TrÔng thĂi thự s cừa bián số lội e := ˆx−x ữủc truyãn i l trÔng thĂi thự i lợn nhĐt sao cho giĂ trà ke i k = kˆx i −x i k l lợn nhĐt trong tĐt cÊ cĂc trÔng thĂi, cử thº s(e) := max{arg max i=1, ,lke i k} (3.7)
Khi õ giao thực h ữủc ành nghắa nhữ sau h(k, e(t k )) i e(t k ) i i 6= s(e(t k )) 0 i = s(e(tk)) i = 1, , l (3.8) ành nghắa 3.1.1 ([25]) Mởt giao thực h ữủc xĂc ành nhữ trong (3.5) ữủc gồi l ờn ành mụ ãu (uniformly exponentially stable - UGES) vợi h m Lyapunov W náu tỗn tÔi h m liản tửc W : R n → R + v cĂc hơng số 0 ≤ λ < 1, a 1 , a 2 > 0 sao cho vợi mồi k ∈ N v mồi e ∈ R n ta cõ a 1 kek ≤ W(e) ≤ a 2 kek v W(h(k, e)) ≤ λW(e).
Mằnh ã 3.1.2 ([25]) Giao thực thỷ mởt lƯn rỗi hừy (TOD) l ờn ành mụ ãu (UGES) vợi h m Lyapunov W(e) = kek, cĂc hơng số a 1 = a 2 = 1,v λ = p(l−1)/l.
MÔch iãu khiºn vợi cĂc lội truyãn thổng tin ngău nhiản
Trong phƯn n y, chúng tổi mổ tÊ mổ hẳnh ngău nhiản sinh ra tứ tĂc ởng cừa cĂc lội ngău nhiản GiÊ sỷ x˙ˆ = 0, nghắa l h m x(t)ˆ l hơng tứng khúc Náu bọ qua cĂc lội truyãn thổng tin, hằ ữủc mổ phọng nhữ sau ˙ x = F(x, κ(x+e)), t ∈ (t k , t k+1 ), ˙ e = −F(x, κ(x+e)), t ∈ (tk, tk+1), x(t + k ) = x(tk), k = 0,1,2, e(t + k ) = h(k, e(t k )), trong õ e(t + k ) = lim t&t k e(t) l giĂ trà lội sau khi truyãn thổng tin v (k, e) 7→ h(k, e) mổ phọng giao thực cử thº BƠy giớ, º ỡn giÊn, kỵ hiằu f(x, e) := F(x, κ(x, e)) v giÊ sỷ f thọa mÂn iãu kiằn º Êm bÊo tẵnh tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa hằ phữỡng trẳnh trản.
Trong thỹc tá, thổng tin ữủc truyãn i cõ thº xÊy ra lội trong quĂ trẳnh truyãn Hằ iãu khiºn khi õ ữủc x²t trản khổng gian xĂc suĐt (Ω,F,P), trong â S := {0,1},Ω = S N := {(b k ) k∈ N : b k ∈ S,∀k ∈ N}, σ-¤i sè F := 2 S ì2 S ì v ở o xĂc suĐt P cõ tẵnh chĐt
P(b ∈ S N : b k = 1) = p, ∀k ∈ N. GiÊ sỷ rơng phữỡng trẳnh e(t + k ) =h(k, e(t k )) cõ dÔng e(t + k ) = b k h(k, e(t k )) + (1−b k )e(t k ), (3.9) trong õ b k = 1 náu thổng tin ữủc truyãn th nh cổng v giao thực h xĂc ành lội ữủc cêp nhêt; bk = 0 khi thổng tin truyãn i bà lội v lội n y văn khổng thay ời tÔi thới iºm k Khi õ hằ (3.9) trð th nh ˙ x = f(x, e), t ∈ (t k , t k+1 ), (3.10a) ˙ e = −f(x, e), t ∈ (t k , t k+1 ), (3.10b) x(t + k ) = x(t k ), (3.10c) e(t + k ) = b k h(k, e(t k )) + (1−b k )e(t k ), k = 0,1,2, (3.10d) º ỡn giÊn, kỵ hiằu ξ := (x, e) v ξ(t, s, ξ 0 , b), s ≤t l nghiằm cừa hằ
(3.10) vợi iãu kiằn ban Ưu (s, ξ 0 ) v phử thuởc v o b ∈ S N Vợi cĂc giÊ thiát f(0,0) = 0 v h(k,0) = 0,∀k ∈ N, hằ (3.10) cõ nghiằm tƯm thữớng
(x ∗ , e ∗ ) = (0,0). CĂc giÊ thiát sau Ơy ữủc °t lản hằ (3.10) (xem [11, 37]).
GiÊ thiát (A1) Tẵnh ởc lêp cũng phƠn phối.
XĂc suĐt cừa sỹ truyãn thổng tin th nh cổng l p ∈ (0,1) CĂc bián ngău nhiản b k l ởc lêp v cũng phƠn phối.
GiÊ thiát (A2) H m Lyapunov cho giao thực v hằ khổng nhiạu.
(i) Giao thực h l ờn ành mụ ãu vợi h m Lyapunov W, trong õ W l liản tửc Lipschitz Cõ nghắa l tỗn tÔi h m liản tửc Lipschitz W :
R n → R + v cĂc hơng số a 1 , a 2 > 0 cũng vợi λ ∈ [0,1) sao cho vợi mồi k ∈ N, e ∈ R n , ta cõ a 1 kek ≤ W(e) ≤a 2 kek;
(ii) H m Lyapunov W thoÊ mÂn: Tỗn tÔi hơng số L ≥ 0 v h m liản tửc H : R n → R + sao cho vợi hƯu hát x, e ∈ R n ,
(iii) Tẵnh ờn ành theo iãu kiằn ban Ưu cừa hằ khổng nhiạu: Tỗn tÔi h m Lyapunov V thuởc lợp C 1 , h m xĂc ành dữỡng ρ, v cĂc hơng số b 1 , b 2 , γ > 0 sao cho vợi mồi x, e ∈ R n , b 1 kxk 2 ≤ V(x) ≤ b 2 kxk 2 , (3.12) h5V(x), f(x, e)i ≤ −ρ(kxk)−ρ(W(e))−H 2 (x) + γ 2 W 2 (e).
Tẵnh ờn ành v kát quÊ ờn ành cho hằ hộn hủp vợi nhiạu Bernoulli
nhiạu Bernoulli ành nghắa 3.1.3 ([25]) X²t hằ (3.10).
(A) Tẵnh ờn ành: Nghiằm ξ ∗ = (x ∗ , e ∗ ) = (0,0) cừa (3.10) ữủc gồi l
(i) ờn ành hƯu chưc chưn, náu tỗn tÔi têp Ω ⊂ S N ,P(Ω) = 1 sao cho vợi mồi b ∈ Ω, kát quÊ sau Ơy úng: Vợi mồi > 0 tỗn tÔi r = r(ε, b) > 0 sao cho vợi mồi kξ 0 k < r, sup t≥0 kξ(t,0, ξ 0 , b)k < ε (ii) ờn ành mụ hƯu chưc chưn náu
(iii) ờn ành theo xĂc suĐt náu vợi mồi ε > 0 tỗn tÔi r = r(ε) > 0 sao cho vợi mồi kξ 0 k< r,
≥1−ε (B) Tẵnh hút: Nghiằm ξ ∗ = (x ∗ , e ∗ ) = (0,0) cừa (3.10) ữủc gồi l
(i) hút hƯu chưc chưn, náu
(ii) hút theo xĂc suĐt, náu vợi mồi ε > 0, tỗn tÔi r = r() sao cho kξ 0 k ≤ r,
(C) Tẵnh ờn ành tiằm cên: Nghiằm ξ ∗ = (x ∗ , e ∗ ) = (0,0) cừa (3.10) ữủc gồi l
(i) ờn ành tiằm cên hƯu chưc chưn, náu nõ ờn ành hƯu chưc chưn v hót h¦u ch c ch n.
(ii) ờn ành tiằm cên theo xĂc suĐt, náu nõ ờn ành theo xĂc suĐt v hót theo x¡c su§t.
(iii) ờn ành theo nghắa rởng, náu nõ ờn ành theo xĂc suĐt v vợi mồi ε > 0 tỗn tÔi r = r(ε) > 0 sao cho vợi mồi kξ 0 k < r, τlim→∞P sup t≥τ kξ(t,0, ξ 0 , b)k > ε
Theo ành nghắa trản, tẵnh ờn ành hƯu chưc chưn v ờn ành xĂc suĐt theo nghắa rởng suy ra tẵnh ờn ành theo xĂc suĐt, v tẵnh ờn ành tiằm cên hƯu chưc chưn suy ra tẵnh ờn ành tiằm cên theo xĂc suĐt iãu ngữủc lÔi nõi chung khổng úng, xem [49].
XƠy dỹng ch°n dữợi cho τ MATI Vợi λ ∈ [0,1), p ∈ (0,1), γ > 0 v L ≥ 0, tứ cĂc giÊ thiát (A1)v (A2), mởt ch°n dữợi cừa τ MATI ữủc xĂc ành nhữ sau: Ta cõpλ 2 +(1−p) < 1 Vợi mộiη ∈ (0,1)thọa mÂnpλ 2 +(1−p) < η 2 , ành nghắa h m φ : [0, τ(η)] →R l nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn φ˙ = −2Lφ−γ(φ 2 + 1), φ(0) = η −1 (3.13) Chồn τ(η) sao cho vợi mồi τ ∈ [0, τ(η)] ta cõ φ(τ) ∈ [η, η −1 ] (3.14)
Khi õ mởt ch°n dữợi cừa τ MATI l τ ∗ := max τ(η) η ∈ q pλ 2 + (1−p),1
= φ −1 (η ∗ ), (3.15) trong â η ∗ = ppλ 2 + (1−p). ành lỵ 3.1.4 ([25]) Vợi cĂc giÊ thiát (A1) v (A2) thẳ nghiằmξ ∗ = (0,0) cừa hằ (3.10) l ờn ành theo xĂc suĐt ựng vợi τ ∗ ữủc xĂc ành tứ (3.15).
Cử thº, vợi mồi 0< τ < τ¯ ∗ ,0< δ < τ¯ v mồi dÂy 0 := t 0 < t 1 < t 2 < vợi
0 < δ ≤ t k+1 −t k ≤τ ,¯ (3.16) thẳ nghiằm ξ ∗ = (0,0) cừa hằ (3.10) ờn ành theo xĂc suĐt. ành lỵ 3.1.5 ([25]) Vợi cĂc giÊ thiát (A1) v (A2) thẳ nghiằmξ ∗ = (0,0) cừa hằ (3.10) l ờn ành theo xĂc suĐt theo nghắa rởng ựng vợi τ ∗ ữủc xĂc ành tứ (3.15) Cử thº, vợi mồi 0 < τ < τ¯ ∗ ,0 < δ < τ¯ v mồi dÂy 0 := t 0 < t 1 < t 2 < vợi
0 < δ ≤ t k+1 −t k ≤τ ,¯ (3.17) thẳ nghiằm ξ ∗ = (0,0) cừa hằ (3.10) ờn ành theo xĂc suĐt theo nghắa rởng. ành lỵ 3.1.6 ([25]) Vợi cĂc giÊ thiát (A1) v (A2) thẳ nghiằmξ ∗ = (0,0) cừa hằ (3.10) l hút hƯu chưc chưn ựng vợi τ ∗ ữủc xĂc ành tứ (3.15) Cử thº, vợi mồi 0< τ < τ¯ ∗ ,0< δ < τ¯ v mồi dÂy 0 :=t 0 < t 1 < t 2 < vợi
0 < δ ≤ t k+1 −t k ≤τ ,¯ (3.18) thẳ nghiằm ξ ∗ = (0,0) cừa hằ (3.10) l hút hƯu chưc chưn.
B i toĂn ờn ành nghiằm vợi nhiạu hộn hủp
Trong thỹc tá, hằ iãu khiºn (3.2) cõ dÔng ngău nhiản, ð õ ta cõ thº giÊ sỷ quĂ trẳnh truyãn thổng tin v quĂ trẳnh iãu khiºn l ngău nhiản v ởc lêp vợi nhau Do õ hằ (3.3) cụng cõ dÔng ngău nhiản Vẳ vêy hằ nhiạu hộn hủp cõ dÔng tờng quĂt nhữ sau dx(t) = f 1 (x(t), e(t))dt+ f 2 (x(t), e(t))dB(t), t ∈ (t k , t k+1 ) de(t) = g1(x(t), e(t))dt+g2(x(t), e(t))dB(t), t ∈ (tk, tk+1)(3.19) x(t + k ) = x(tk) e(t + k ) = b k h(k, e(t k )) + (1−b k )e(t k ), k = 0,1,2, trong õx ∈ R d l trÔng thĂi cừa hằ, e ∈ R d l lội iãu khiºn,h l h m cêp nhêt v mổ phọng cĂc giao thực cử thº, v B(t) quĂ trẳnh Brown chuân tưc ữủc xĂc ành trản khổng gian xĂc suĐt (Ω B ,F B ,P B ).
Hằ iãu khiºn n y ữủc x²t trản khổng gian xĂc suĐt (Ω,F,P), trong â Ω = Ω b ×Ω B ,F = σ{F b × F B },Ω b = S N = {(b k ) k∈ N : b k ∈ S,∀k ∈ N}, S = {0,1},F b = 2 S ì2 S ì ., ở o xĂc suĐt P = P b ìP B vợi
GiÊ sỷ rơng f 1 , f 2 , g 1 v g 2 thọa mÂn iãu kiằn Lipschitz v tông trữðng tuyán tẵnh º Êm bÊo tẵnh tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cừa hằ (3.19) Ngo i ra, giÊ sỷ f 1 (0,0) = f 2 (0,0) = g 1 (0,0) = g 2 (0,0) = 0 v h(k,0) = 0 vợi mồi k ∈ N º (x ∗ , e ∗ ) = (0,0) l nghiằm tƯm thữớng cừa (3.19) Chú ỵ rơng khi Ăp dửng v o hằ truyãn thổng tin thẳ ta cõ thº chồn g 1 = −f 1 v g 2 = −f 2 Ta cƯn cĂc giÊ thiát sau Ơy cho tẵnh ờn ành cừa hằ.
GiÊ thiát (B1) XĂc suĐt cừa sỹ truyãn thổng tin th nh cổng l p∈ (0,1). CĂc bián ngău nhiản bk l ởc lêp v cũng phƠn phối.
GiÊ thiát (B2) CĂc nhiạu ngău nhiản b v B ởc lêp.
Tỗn tÔi cĂc hơng số 0< a 1 , a 2 ,0 < λ < 1 sao cho vợi mồi e ∈ R d a 1 kek 2 ≤ W(e) ≤ a 2 kek 2 , (3.20)
Tỗn tÔi hơng số α ≥ 0, β ∈ R v h m liản tửc H : R n → R + sao cho vợi mồi x, e ∈ R d
Tỗn tÔi h m Lyapunov V thuởc lợp C 2 v cĂc hơng số b 1 , b 2 , b 3 > 0 sao cho vợi mồi x ∈ R d b1kxk 2 ≤ V(x) ≤ b2kxk 2 , (3.23)
∂x 2 f2(x, e) ≤ −b3V(x), (3.24) trong â f i T (x, e) h f i (1) ã ã ãf i (n) il chuyºn và cõa fi(x, e) ∈ R n , i= 1,2, g T i (x, e) = hg i (1) ã ã ãg i (n) il chuyºn và cừa g i (x, e) ∈ R n , i = 1,2,
Chúng tổi ữa ra iãu kiằn ừ º hằ (3.19) ờn ành mụ hƯu chưc chưn, ữủc thº hiằn trong ành lỵ sau Ơy. ành lỵ 3.2.1 X²t hằ (3.19) GiÊ sỷ (B1), (B2) v (B3) úng Náu tỗn tÔi η ∈ (0,1) v γ > 0 ữủc xĂc ành nhữ (3.13) thọa mÂn g 2 T (x, e).∂ 2 W
(3.25) thẳ nghiằm ξ ∗ = (0,0) cừa hằ (3.19) l ờn ành mụ hƯu chưc chưn.
Chựng minh Trữợc tiản, ta giÊ sỷ rơng hằ gỗm hai phữỡng trẳnh Ưu tiản cừa (3.19) l ờn ành mụ hƯu chưc chưn Vợi cĂc h m v tham số ữủc xƠy düng ð (3.13), (3.14), (3.15), x²t h m d¤ng Lyapunov
Ta câ b 1 kxk 2 ≤ V(x) ≤ b 2 kxk 2 , a1kek 2 ≤ W(e) ≤ a2kek 2 , η ≤φ(τ) ≤ 1 η. Suy ra b 1 kxk 2 +γηa 1 kek 2 ≤ U(x, e, τ) =V(x)+γφ(τ)W(e) ≤ b 2 kxk 2 +γη −1 a 2 kek 2
⇒mkξk 2 = mk(x, e)k 2 ≤U(x, e, τ) ≤ Mk(x, e)k 2 = Mkξk 2 , (3.27) trong â m = min{b 1 , γηa 1 }, M = max{b 2 , γη −1 a 2 }. Kỵ hiằu E b [.] v E B [.] tữỡng ựng l ký vồng toĂn theo phƠn phối cừa ở o xĂc suĐt P b v P B Ta cõ dU(x, e, τ) = ∂U
Do õ, (3.24) v (3.28) dăn án dU(x, e, τ) ≤ −b 3 V(x)dt−γφ(τ)b 3 W(e)dt
= 0 nản dE B [U(x, e, τ)] ≤ −b 3 E B [U(x, e, τ)]dt (3.28) Vợi mội k = 1,2 ., tẵch phƠn hai vá cừa (3.28) tứ t + k−1 án tk, ta ữủc E B hU x(t k , b), e(t k , b), τ(t k )i ≤ E B hU x(t + k−1 , b), e(t + k−1 , b), τ(t + k−1 ))i
Tữỡng tỹ [25], ta x²t hai khÊ nông sau.
≤E B hV x(t k , b)i +η −2 γφ τ(t k ) E B hW e(t k , b)i. Tứ hai trữớng hủp trản, ta thu ữủc bĐt ¯ng thực sau Ơy
< E B hU x(t k , b), e(t k , b), τ(t k )i −κγηE B hW e(t k , b)i (3.29) trong â κ := 1−(1−p+ pλ)η −2 Tứ (3.28) suy ra
LĐy ký vồng toĂn hai vá cừa bĐt ¯ng thực trản theo b ta cõ e b 3 t E b {E B [U(ξ(t, b), τ(t))]} < e b 3 t k E b {E B [U(ξ(t + k , b), τ(t + k ))]} (3.30) Hỡn nỳa, tứ (3.29), (3.29) ta ữủc
Tứ (3.27), (3.30) v (3.31) suy ra me b 3 t Eb{E B kξ(t, b)k} ≤ e b 3 t Eb{E B [U(ξ(t, b), τ(t))]}
E b {E B kξ(t, b)k} ≤ M mE B kξ 0 k 2 e −b 3 t , ∀t ≥0 (3.33) Tứ hằ (3.19), ta cõ x(t) =x(tk) +
Hỡn nỳa, cĂc iãu kiằn f 2 (0,0) = f 1 (0,0) = g 1 (0,0) = g 2 (0,0) = 0 suy ra tỗn tÔi hơng số dữỡng K sao cho kf 1 (x, e)k 2 ∨ kf 2 (x, e)k 2 6 Kk(x, e)k 2 kg 1 (x, e)k 2 ∨ kg 2 (x, e)k 2 6 Kk(x, e)k 2 (3.34) Do õ, ta thu ữủc
Vêy, vợi mồi 0 < τ < τ¯ ∗ < τ MATI ,0 < δ < τ¯ v mồi dÂy 0 = t 0 < t 1 < t 2 < thọa mÂn 0< δ ≤t k+1 −t k ≤ τ¯, ta cõ
≤ 3h1− 2 b 3 K(τ ∗ + 1) 1−e b 3 τ ∗ iM mE B kξ 0 k 2 e −b 3 t k+1 6 Ce −b 3 t k+1 , trong õ τ ∗ ữủc xĂc ành tứ (3.15) v
1−e b 3 τ ∗ iM mEBkξ 0 k 2 p dửng bĐt ¯ng thực Chebyshev ta thu ữủc
Sỷ dửng Bờ ã 1.1.18, tỗn tÔi têp Ω 0 ⊆ Ω b vợi P b (Ω 0 ) = 1 v bián ngău nhiản giĂ trà nguyản k0 sao cho vợi mội b ∈ Ω0 ta cõ sup t k 6 t 6 t k+1
Lỵ luên tữỡng tỹ nhữ trản, tiáp tửc sỷ dửng Bờ ã 1.1.18, tỗn tÔi têp
Ω 1 ⊆ Ω B vợi P B (Ω 1 ) = 1 v bián ngău nhiản giĂ trà nguyản k 1 sao cho vợi mội ω ∈ Ω 1 ta ữủc kξ(t, b)k 2 ≤ e − b 4 3 t k+1 ,∀t∈ (t k , t k+1 ),∀k ≥ k 1 (ω) (3.37) L§y k c = max{k 0 , k 1 },Ω c = Ω 0 ×Ω 1 , ta câ P(Ω c ) = 1 v kξ(t, b)k 2 ≤ e − b 4 3 t k+1 ,∀t∈ (tk, tk+1),∀k ≥ kc(ω),(b, ω) ∈ Ωc (3.38) Tõm lÔi, ta chựng minh ữủc lim sup t→∞
8 < 0 h¦u ch c ch n (3.39) ành lỵ ữủc chựng minh.
Nhên x²t 3.2.2 (i) CĂc bĐt ¯ng thực iãu kiằn (3.22) v (3.25) l tỗn tÔi trong thỹc tiạn Thêt vêy, chồn g1(x, e) = g2(x, e) = e, W(e) = kek= (e 2 1 +e 2 2 ) 1/2 v β = 0 Khi â ta câ
(ii) iãu kiằn (3.24) l mÔnh º duy trẳ tẵnh ờn ành mụ cừa hằ Tuy nhiản, iãu kiằn n y thữớng thĐy trong viằc kiºm soĂt tẵnh ờn ành cừa cĂc quĂ trẳnh trong thỹc tá.
Trong Chữỡng 3, chúng tổi giợi thiằu cĂc kát quÊ ờn ành cho hằ hộn hủp gỗm 2 loÔi nhiạu ởc lêp Bernoulli v Brown thổng thữớng Nhỳng kát quÊ n y hộ trủ cho nhỳng nghiản cựu cừa chúng tổi cho hằ mð rởng trong trữớng hủp nhiạu hộn hủp tờng quĂt trong tữỡng lai.
CĂc kát quÊ nghiản cựu ữủc trẳnh b y trong chữỡng n y dỹa v o b i bĂo số 2 ữủc liằt kả ð phƯn Danh mửc cĂc cổng trẳnh khoa hồc cừa tĂc giÊ liản quan án luên Ăn.
I Kát luên Luên Ăn nghiản cựu tẵnh ờn ành cừa phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản cõ trạ vợi mởt số nhiạu iºn hẳnh, nhữ nhiạu Brown phƠn thự, nhiạu hộn hủp gỗm nhiạu Bernoulli v nhiạu Brown thổng thữớng CĂc kát quÊ chẵnh cừa luên Ăn l :
1 Chựng minh sỹ tỗn tÔi v duy nhĐt nghiằm cho phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản tuyán tẵnh cõ trạ vợi nhiạu Brown phƠn thự trong khổng gian nhiãu chiãu, cõ trạ ð phƯn nhiạu v cĂc hằ số phử thuởc v o thới gian.
2 ữa ra tiảu chuân ờn ành nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản tuyán tẵnh cõ trạ vợi nhiạu Brown phƠn thự trong khổng gian nhiãu chiãu những khổng cõ trạ ð phƯn nhiạu, trong õ cĂc hằ số khổng phử thuởc v o thới gian.
3 ữa ra cĂc tiảu chuân ờn ành nghiằm cừa phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản tuyán tẵnh cõ trạ vợi nhiạu Brown phƠn thự trong trữớng hủp mởt chiãu v cõ trạ ð phƯn nhiạu, trong õ cĂc hằ số phử thuởc v o thới gian.
4 Thiát lêp tiảu chuân ờn ành nghiằm cho hằ phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản vợi nhiạu hộn hủp, bao gỗm 2 nhiạu ởc lêp Bernoulli v Brown thổng thữớng.
II Kián nghà (Mởt số hữợng nghiản cựu tiáp theo) Trong thới gian tợi chúng tổi mong muốn tiáp tửc nghiản cựu nhỳng vĐn ã sau:
1 Nghiản cựu tẵnh ờn ành cừa phữỡng trẳnh vi phƠn ngău nhiản cõ trạ thuƯn nhĐt trong khổng gian nhiãu chiãu, vợi nhiạu cõ số gia dứng v liản tửc Holder hƯu chưc chưn, trong õ hằ số cừa phƯn nhiạu chựa yáu tố trạ.
2 Nghiản cựu tẵnh ờn ành cho hằ hộn hủp vợi 2 nhiạu ởc lêp Bernoulli v Brown phƠn thự Khi Đy cĂc kắ thuêt sỷ dửng ký vồng v cổng thực Itổ khổng thº Ăp dửng ữủc, v s³ phÊi sỷ dửng án cĂc Ănh giĂ theo tứng quÿ Ôo nhiạu Ngo i ra chúng tổi cụng ký vồng phĂt triºn b i toĂn tữỡng tỹ cho cĂc hằ hộn hủp cõ yáu tố trạ.
3 Nghiản cựu kát quÊ cừa ành lỵ 2.3.13 khi r → 0.
DANH MệC CC CặNG TRNH KHOA HÅC CếA TC
1 Hong P T., Binh C T (2018), "A note on exponential stability of non-autonomous linear stochastic differential delay equations driven by a fractional Brownian motion with Hurst index > 1/2", Statistics &
2 Binh C T., Son T C (2021), "On Stability for Hybrid System un- der Stochastic Perturbations", VNU Journal of Science: Mathematics- Physics 37(1), pp 82-90.
3 Binh C T., Duc L H., Hong P T., "On the exponential stability for a class of stochastic differential delay equations with fractional Brownian noises",
Preprint: http://math.ac.vn/images/Epreprint/2019/IMH20190902.pdf.
[1] °ng Hũng Thưng (2010), XĂc suĐt nƠng cao, NXB Ôi hồc Quốc gia H Nởi, H Nởi.
[2] Arnold L (1995), Random Dynamical Systems, Springer, Berlin, Hei- delberg.
[3] Arriojas M., Hu Y., Mohammed S E., Pap G (2007), "A delayed Black and Scholes formula", Stochastic Analysis and Applications 25(2), pp 471-492.
[4] Beretta E., Kolmanovskii V., Shaikhet L (1998), "Stability of epi- demic model with time delays influenced by stochastic perturbations".
Mathematics and Computers in Simulation 45(3-4), pp 269-277.
[5] Biagini F., Hu Y., Oksendal B., Zhang T (2008) Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications, Springer Science &
[6] Bocharov G A., Rihan F A (2000), "Numerical modelling in bio- sciences using delay differential equations", Journal of Computational and Applied Mathematics 125(1-2), pp 183-199.
[7] Boufoussi B., Hajji S (2011), "Functional differential equations driven by a fractional Brownian motion", Computers & Mathematics with Applications 62(2), pp 746-754.
[8] Boufoussi B., Hajji S (2012), "Neutral stochastic functional differ- ential equations driven by a fractional Brownian motion in a Hilbert space", Statistics & Probability Letters 82(8), pp 1549-1558.
[9] Boufoussi B., Hajji S., Lakhel E H (2012), "Functional differential equations in Hilbert spaces driven by a fractional Brownian motion", Afrika Matematika 23(2), pp 173-194.
[10] Bucy R S (1965), "Stability and positive supermartingales", Journal of Differential Equations 1(2), pp 151-155.
[11] Carnevale D., Teel A R., Nesic D (2007), "Further results on stability of networked control systems: a lyapunov approach", In 2007 IEEE American Control Conference, pp 1741-1746.
[12] Carnevale D., Teel A R., Nesic D (2007), "A Lyapunov proof of an improved maximum allowable transfer interval for networked control systems", IEEE Transactions on Automatic Control 52(5), pp 892- 897.
[13] Choirat C., Hess C., Seri R (2003), "A functional version of the Birkhoff ergodic theorem for a normal integrand: a variational ap- proach", The Annals of Probability 31(1), pp 63-92.
[14] Christmann D., Gotzhein R., Kuhn T (2009), "Multi-hop clock syn- chronization in wireless ad-hoc networks", Electronic Communications of the EASST, 17.
[15] Cloosterman M B., Van de Wouw N., Heemels W P M H., Nijmei- jer H (2009), "Stability of networked control systems with uncertain time-varying delays", IEEE Transactions on Automatic Control 54(7), pp 1575-1580.
[16] Comte F., Renault E (1996), "Long memory continuous time models", Journal of Econometrics 73(1), pp 101-149.
[17] Cong N D., Duc L H., Hong P T (2018), "Nonautonomous Young differential equations revisited", Journal of Dynamics and DifferentialEquations 30(4), pp 1921-1943.
[18] De la Fuente I M., Perez-Samartin A L., Martẵnez L., Garcẵa M A., Vera-Lâpez A (2006), "Long-range correlations in rabbit brain neural activity", Annals of Biomedical Engineering 34(2), pp 295-299.
[19] Di Paola M., Pirrotta A (2001), "Time delay induced effects on con- trol of linear systems under random excitation", Probabilistic Engi- neering Mechanics 16(1), pp 43-51.
[20] Duc L H., Schmalfuò B., Siegmund S (2015), "A note on the gener- ation of random dynamical systems from fractional stochastic delay differential equations", Stochastics and Dynamics 15(03), 1550018.
[21] Duc L H., Garrido-Atienza M J., Neuenkirch A., Schmalfuò B.
(2018), "Exponential stability of stochastic evolution equations driven by small fractional Brownian motion with Hurst parameter in (1/2, 1)", Journal of Differential Equations 264(2), pp 1119-1145.
[22] Duc L H., Hong P T (2019), "Asymptotic dynamics of Young dif- ferential equations", Journal of dynamics and differential equations. https://doi.org/10.1007/s10884-021-10095-1
[23] Duc L H., Hong P T (2019), "Young differential delay equations driven by Holder continuous paths", In Modern Mathematics and Me- chanics, Springer, Cham, pp 313-333
[24] Duc L H., Hong P T., Cong N D (2019), "Asymptotic stability for stochastic dissipative systems with a Holder noise", SIAM Journal on Control and Optimization 57(4), pp 3046-3071.
[25] Duc L H., Christmann D., Gotzhein R., Siegmund S., Wirth F (2015),
"The stability of try-once-discard for stochastic communication chan- nels: Theory and validation", In 2015 54th IEEE Conference on De- cision and Control (CDC), pp 4170-4175.
[26] Duc L H., Garrido-Atienza M J., SchmalfuòB, "Criteria for exponen- tial stability of stochastic differential equations driven by a fractionalBrownian motion with Hurst index > 1/2, preprint.
[27] Ferrante M., Rovira C (2006), "Stochastic delay differential equations driven by fractional Brownian motion with Hurst parameter H >
[28] Friz P., Victoir N (2010), "Differential equations driven by Gaussian signals", In Annales de l'IHP Probabilit²s et statistiques 46(2), pp.
[29] Friz P K., Victoir N B (2010), Multidimensional Stochastic Pro- cesses as Rough Paths: Theory and Applications, Cambridge Univer- sity Press.
[30] GarridoAtienza M J., Lu K., Schmalfuss B (2010), "Random dy- namical systems for stochastic partial differential equations driven by a fractional Brownian motion", Discrete & Continuous Dynamical Systems-B 14(2), pp 473.
[31] Garrido-Atienza M J., Schmalfuò B (2011), "Ergodicity of the infi- nite dimensional fractional Brownian motion", Journal of Dynamics and Differential Equations 23(3), 671.
[32] Garrido-Atienza M J., Neuenkirch A., SchmalfuòB (2018), "Asymp- totical stability of differential equations driven by Holder continuous paths", Journal of Dynamics and Differential Equations 30(1), pp.
[33] Garzân J., Tindel S., Torres S (2019) "Euler scheme for fractional delay stochastic differential equations by rough paths techniques".
[34] Gy˝ori I., Horv¡th L (2016), "Sharp Gronwall-Bellman type integral inequalities with delay", Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations 2016(111), pp 1-25.
[35] Hahn W (1967), Stability of Motion, Springer, Berlin.
[36] Hale J K., Lunel S M V (2013), Introduction to Functional Differ- ential Equations, Springer Science & Business Media.
[37] Heemels W M H., Teel A R., Van de Wouw N., Nesic D (2010),
"Networked control systems with communication constraints: Trade- offs between transmission intervals, delays and performance" IEEE Transactions on Automatic control 55(8), pp 1781-1796.
[38] Hu Y., Nualart D (2009), "Rough path analysis via fractional calcu- lus", Transactions of the American Mathematical Society 361(5), pp.
[39] Hurst H E (1951), "Long-term storage capacity of reservoirs", Trans- actions of the American society of civil engineers 116(1), pp 770-799.
[40] Khas'minskii R Z (1967), "Necessary and sufficient conditions for the asymptotic stability of linear stochastic systems" Theory of Probabil- ity & Its Applications 12(1), pp 144-147.
[41] Khas'minskii R (2011), Stochastic Stability of Differential Equations, Springer Science & Business Media.
[42] Kloeden P E., Platen E (2013), Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer Science & Business Media.
[43] Krasovskii N N (1963), Stability of Motion, Stanford University Press.
[44] Lakshmikantham V., Leela S., Martynyuk A A (1989), "Stability analysis of nonlinear systems", New York: M Dekker, pp 249-275.
[45] Kolmogorov A N (1940), "The Wiener spiral and some other inter- esting curves in Hilbert space", In Dokl Akad Nauk SSSR 26 (2), pp.
[46] Lyapunov A M (1992), "The general problem of the stability of mo- tion", International journal of control 55(3), pp 531-534.
[47] Lyons T J (1998), "Differential equations driven by rough signals",Revista Matem¡tica Iberoamericana 14(2), pp 215-310.
[48] Mandelbrot B B., Van Ness J W (1968), "Fractional Brownian mo- tions, fractional noises and applications" SIAM review 10(4), pp 422- 437.
[49] Mao X (2007), Stochastic Differential Equations and Applications, Elsevier.
[50] Maslowski B., Nualart D (2003), "Evolution equations driven by a fractional Brownian motion" Journal of Functional Analysis 202(1), pp 277-305.
[51] Minorsky N (1942), "Self-excited oscillations in dynamical systems possessing retarded actions", ASME J Appl Mech 9, pp A65A71.
[52] Mishura Y (2008) Stochastic Calculus for Fractional Brownian Mo- tion and Related Processes, Springer Science & Business Media.
[53] Nourdin I (2012), Selected Aspects of Fractional Brownian Motion , Springer, Milan.
[54] Nualart D., Rascanu A (2002), "Differential equations driven by frac- tional Brownian motion", Collect Math 53(1), pp 55-81.
[55] Nesic D., Liberzon D (2009), "A unified framework for design and analysis of networked and quantized control systems", IEEE Trans- actions on Automatic Control 54(4), pp/ 732-747.
[56] Oksendal B (2013), Stochastic Differential Equations: An Introduc- tion with Applications, Springer Science & Business Media.
[57] Samko S., Kilbas A., Marichev O (1993), Fractional Integrals and Derivatives: Theory and Applications, Springer-Verlag, New York.
[58] Shevchenko G (2014), "Mixed stochastic delay differential equations", Theory of Probability and Mathematical Statistics 89, pp 181-195.
[59] Shiryaev A.N (1995), Probability, Springer-Verlag, New York.