Dạng 2: Bài toán tìm max, min của hàm số có chứa tham số
Bài tập 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
2
yx
−=
+ trên 0; 2 bằng 8 c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số 322
y= − +xx − −m trên đoạn −2;1 bằng −1d) Hàm số
212
1' 0
= = − −
Vì x1−x2 =2 nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc ( )0, 2 Ta thấy: − +m 1 − − m 1, m do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên 0; 2 tại một điểm x 0 ( )0, 2 thì 0 − +m 1 2 −1 m 1 **( )
Từ ( )* và ( )** ta có 0 m 1 b) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
yx
−=
−=
+ xác định trên 0; 2 và đạt các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tại hai đầu mút Do đó
=
BÀI TẬP TỰ LUẬN
Trang 25 Ta có
22
2 1;33 1 1
=
=
Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
a) Giá trị lớn nhất của hàm số ( ) 32
3
f x = − −xx +m trên −1;1 bằng 0b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 5
= − −
Xét f( )− = − +1 2 m f; ( )1 = − +4 m suy ra
1;1max f x 2 m
Theo đề bài − + = 2 m 0 m=2 b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) 5
− trên 1; 2 bằng 4 có đạo hàm
3 53
my
x
− − =
5
y= y − + m= = −m (loại)
Trang 3PHẦN I Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án
− (với m là tham số) Giá trị của m để ( ) ( )
1;21;2
Theo bài ra ta có:
1;21;2
0;min f x 2
0;min f x 3
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Trang 4= = − − =
Để hàm số nghịch biến trên ( )0; 2 thì x1 0 2 x2
( )( )
2 1;1
xy
x
= −=
= −
Trang 5Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là 3 2 2 2 + =m 3 2 m= 2
Câu 6: Cho hàm số ( ) 3
3
f x =x − x+m ( với m là tham số thực) Biết ( )
(;0)max f x 5
− = Giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( ) trên (0; +) là
Bảng biến thiên
(;0)max f xf 1
− = − f( 1)− = + = 5 m 2 5 m=3
0;min f xf 1 m 2 3 2 1
+=
− ( m là tham số thực) Gọi m0 là giá trị của m thỏa mãn
2;4miny =3 Mệnh đề nào dưới đây đúng?
my
x
− − =
− Với x 1.Nếu − − m 1 0 m −1
Nếu − − m 1 0 m −1
Trang 62 1; 2
xy
x
= − =
= − −
yx
−=
+ có giá trị nhỏ nhất trên 0;3bằng 9
2− ?
A 0 B 2 C 3 D 1
Lời giải
Hàm số
28
yx
−=
+ có tập xác định D = \ −8 nên hàm số xác định và liên tục trên đoạn
Trang 7 0;3 Ta có
228
m
m
=
Bảng biến thiên của g x ( )
Từ bảng biến thiên ta thấy x − 1;1 thì t − 3;1Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số ( ) ()2
y= f t = −tm có giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn −3;1 bằng 4
Ta có f( )t =2(t−m)= =0 tm Nếu m − 3;1 thì
Nếu m −3 thì
3;1min f tf 3 3 m
Trang 8Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán: m=3;m= −5 Vậy tổng tất cả các giá trị của m là −2
Câu 12: Cho hàm số
28
yx
−=
− với mlà tham số thực Giả sử m0là giá trị dương của tham số mđể hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng m Giá trị m0 thuộc khoảng nào sau đây?
2[0;3]
+ Gọi m0 là giá trị lớn nhất của tham số m để hàm số đã cho có giá trị nhỏ nhất trèn đoạn 0;6 bằng −4 Khẳng định nào sau đây đúng?
Câu 14: Cho hàm số
22
20,
Khi đó S = − 3 Tổng tất cả các phần tử của S bằng −3
Trang 9Câu 15: Cho hàm số
1
yx
−=
+ với m là số thực Tìm tất cả các giá trị của m để tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 0; 2 bằng 6
b) Khi m =1 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−;1) và (1; + )c) Khi m =1 thì trên đoạn 1; 4 hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1
2d) Có duy nhất 1 giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0; 4 bằng −1
20,
− nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−; m) và (m + ; )
c) Sai: Khi m =1 thì trên đoạn 1; 4 hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 1
2d) Đúng: Có duy nhất 1 giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0; 4bằng −1
Từ bảng biến thiên, hàm số đạt giá trị lớn nhất trên 0; 4 bằng −1 khi
( )0
mf
2
20
0
32
m
m
mm
Trang 10+
−
b) Đúng: Khi m =0 thì hàm số có hai điểm cực trị c) Đúng: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0; 2 bằng m −2d) Sai: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y= f x( )trên đoạn 0; 2 bằng 3 Khi đó S có hai phần tử
Trang 11Lời giải
Ta có
36.1
x
= −
+Với m0, hàm số nghịch biến trên 0;3 nên
1
m xy
x
+ −=
616
61
x
mx
m
m
= − +
= − −
4
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra
46
m ta có bảng biến thiên của hàm số:
Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra
Trang 12d) Sai: Có đúng một giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số 36
b) Trên đoạn 2; 4 thì đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị dương c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 2; 4 là
;0max f xf 2 f 2 0 12a 4 a 2 0 a 1
0;3max f x =1
Trang 13Câu 2: Cho hàm số ( ) 3 ( 2)
f x =x + +mx+ Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số
m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0;1 không vượt quá 7 Số phần tử nguyên của S là bao nhiêu?
Lời giải
f x =x + +mx+ fx = x + +m x Do đó hàm số đồng biến trên 0;1
0;1max f x = f 1 =m +3 Yêu cầu bài toán tương đương 2
Lời giải
Hàm số y= f x( ) đạt giá trị lớn nhất bằng 5 thì 22
4x−m −x 5 4x−m x +5, x
22
22
4 5, 4 5,
11
mm
−
= −
+ + với m là tham số thực GọiSlà tập hợp các giá trị nguyên dương
của m để hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn−1;8nhỏ hơn 3 Số phần tử của tập S là bao nhiêu?
− =
Trường hợp 2: Nếu m 8 f( )x 0 hàm số nghịch biến trên (−1;8)
Trường hợp 3: Nếu m= 8 f x( )=2
1;8max f x 2 3
− = (thỏa mãn)m=8 thỏa mãn
Trang 14Lời giải
Đạo hàm:
11
my
x
+ =
mm
+ −
+ Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn −2025; 2025 để giá trị lớn nhất của hàm số lớn hơn 4?
Lời giải
Hàm số đã cho xác định x do sinx+ 2 0, x
Trang 15Ta có 3 3.cos sin 2 3 3.cos
m
− −
Vì m là số nguyên thuộc đoạn −2022; 2022nên m − 2025; 2021; ; 3; 2;2;3;4; ;2025− − − Vậy có 4048 giá trị m thỏa mãn yêu cầu bài toán
Câu 8: Cho hàm số
221
3
y
−
−= Có bao nhiêu giá trị
dương của m thỏa mãn điều kiện bài toán?
Lời giải
Ta có
22
201
2;0maxyy 0
2
m
= + Theo đề bài ta có 2