bài 02 dạng 02 bài toán tìm max min của hàm số có chứa tham số gv

Dạng 2: Bài toán tìm max, min của hàm số có chứa tham số

Bài tập 1: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

yx m

 liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên 0;2 tại một điểm x 0 0,2

b) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

x my

x



 trên 0;2

bằng 8c) Giá trị nhỏ nhất của hàm số y x33x2 1 m2 trên đoạn 2;1

bằng 1d) Hàm số

2 12

mx my

 có giá trị lớn nhất trên đoạn1;3

bằng 15

 liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên 0;2 tại một điểm x 0 0,2

Điều kiện xác định xmHàm số liên tục trên đoạn 0;2

1' 0

  

 

Vì x1 x2  nên chỉ có nhiều nhất một nghiệm thuộc 2 0,2.Ta thấy: m1>m1,m do đó để hàm số liên tục và đạt giá trị nhỏ nhất trên 0;2 tại một

điểm x 0 0,2 thì 0<m1 2<  1< <m 1 **

Từ  * và ** ta có 0< < m 1b) Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số 2

x my

x



x



 xác định trên 0;2 và đạt các giá trị lớn nhất, nhỏ nhất tại hai đầu mút

bằng 1

BÀI TẬP TỰ LUẬN

mx my

 có giá trị lớn nhất trên đoạn1;3 bằng 15

22





Bài tập 2: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

a) Giá trị lớn nhất của hàm số f x  x3 3x2 m trên 1;1 bằng 0

 trên 1;2

bằng 4 có đạo hàm 2

3 53

my

x

  

Suy ra y  thì 0 min1; 2  1 11 5  4 9

x



 (với m là tham số) Giá trị của m để   

 1;2  

1;2maxf x minf x 8

m 

465

m 

185

mf x

x

 

.Nếu m 6 y (loại).2Nếu m 6 khi đó y 0,  x  1;2 hoặc y 0,  x  1;2 nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất tại x1,x 2



A m 3 B

34

m 

52



Vậy   

0;min f x 1

thì x1 0 2x2

  

x

     

  

Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất của hàm số là 3 2  2 2m3 2 m 2.

Câu 6: Cho hàm số f x  x3 3x m ( với m là tham số thực) Biết (max;0) f x  5

Giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số yf x 

Bảng biến thiên

(;0)max f xf 1

     f( 1) 5   m  2 5 m3

min0;  f x  f 1 m 2 3 2 1.

Câu 7: Cho hàm số 1

x my

x



 ( m là tham số thực) Gọi m là giá trị của 0 m thỏa mãn min2;4 y 3

.Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Lời giải

Ta có: 2

11

my

x

  

 Với x 1.Nếu m 1 0  m 1

0

y

   hàm số đã cho đồng biến trên 2;4  min2;4 yy 2 m2

.Theo giả thiết: m2 3  m1( loại)

      

  

x my

x



x my

x



m

m



Từ bảng biến thiên ta thấy x   1;1 thì t   3;1

Bài toán trở thành: Tìm m để hàm số yf t   t m2có giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 3;1

bằng 4 Ta có f t  2t m   0 t m

.Nếu m   3;1 thì min 3;1 f t  f m  0

, tức là không tồn tại m thỏa mãn yêu cầu bài toán

Nếu m 1 thì     2

3;1min f tf 1 1 m

Vậy có hai giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán: m3;m 5Vậy tổng tất cả các giá trị của m là 2

Câu 12: Cho hàm số

28

x my

x



 với mlà tham số thực Giả sử m là giá trị dương của tham số 0 mđể

hàm số có giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0;3] bằng m Giá trị m thuộc khoảng nào sau đây?0

Lời giải

Ta có : 

228

8

m

Câu 13: Cho hàm số  

24

x mf x

x



 Gọi m là giá trị lớn nhất của tham số 0 m để hàm số đã cho có giá

trị nhỏ nhất trèn đoạn 0;6 bằng 4 Khẳng định nào sau đây đúng?

x m

 , với m là tham số Gọi S là tập các giá trị của m để giá trị lớnnhất của hàm số đã cho trên đoạn 0;4 bằng 1 Tổng tất cả các phần tử của S bằng

Lời giải

22

20,

x



 với m là số thực Tìm tất cả các giá trị của m để tổng giá trị lớn nhấtvà giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên 0;2 bằng 6.

PHẦN II Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1: Cho hàm số

2 2

x my

x m

 , với m là tham số

a) Tập xác định của hàm số là D 

b) Khi m 1 thì hàm số đồng biến trên mỗi khoảng  ;1

và 1; 

c) Khi m 1 thì trên đoạn 1;4 hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 12

d) Có duy nhất 1 giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0;4 bằng 1

20,

c) Sai: Khi m 1 thì trên đoạn 1;4 hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng 12

d) Đúng: Có duy nhất 1 giá trị của tham số m để giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0;4





2

20

0

32

6 01

4

m

m

mm

m





Câu 2: Cho hàm số f x  x3 3x m , với m là tham số

a) Khi m 0 thì hàm số đồng biến trên khoảng 1;1

b) Khi m 0 thì hàm số có hai điểm cực trịc) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;2

bằng m  2d) Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số y f x 

trên đoạn 0;2 bằng 3 Khi đó S có một phần tử

Lời giải

Xét hàm số f x  x3 3x m có đạo hàm f x  3x2 3 Bảng biến thiên như sau:

Trường hợp 1: 2m0 m 2 Khi đó max f x0; 2      2 m  2 m









b) Đúng: Khi m 0 thì hàm số có hai điểm cực trịc) Đúng: Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;2 bằng m  2

d) Sai: Gọi S là tập tất cả các giá trị của tham số m sao cho giá trị lớn nhất của hàm số



y mx

x , với m là tham số

a) Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn 0;3 khi m 0

b) Khi m 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;3

là 3m 9c) Khi

9

364 m thì giá trị nhỏ nhất của hàm số

361

x

  



Với m0, hàm số nghịch biến trên 0;3 nên min0;3  3 3 9

'

1

m xy

61

x

mx

m

 



 

m ta có bảng biến thiên của hàm số:

46

m ta có bảng biến thiên của hàm số:

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra   

a) Đúng: Hàm số đã cho nghịch biến trên đoạn 0;3 khi m 0

b) Đúng: Khi m 0 thì giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn 0;3 là 3m 9

c) Đúng: Khi

9

364m thì giá trị nhỏ nhất của hàm số

361

 d) Sai: Có đúng một giá trị nguyên của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

361

 , với m là tham số thực dương

a) Tập xác định của hàm số là D 

b) Trên đoạn 2;4 thì đạo hàm của hàm số luôn nhận giá trị dương

c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 2;4 là    

2 ; 4minyy 2

d) Chỉ có duy nhất một giá trị của tham số m để 2 ; 4

9min

9min

; f x 3x2 12; f x   0 x2

Vậy với a 1 thì hàm số đạt   

;0maxf xf 2

Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số

mđể giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 0;1

không vượt quá 7 Số phần tử nguyên của S

Lời giải

Ta có f x  x31m x2  1 f x'  3x2  1 m2 0, x 

Do đó hàm số đồng biến trên 0;1

0;1max f x f 1 m 3

Yêu cầu bài toán tương đương m2    3 7 2 m2.Vậy S    2, 1,0,1,2 hay S có 5 phần tử.

Câu 3: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để hàm số yf x  4x m  x2

đạt giá trị lớn nhấtbằng5?





22

4 5, 4 5,

 





11

mm

 



  vớimlà tham số thực GọiSlà tập hợp các giá trị nguyêndương củamđể hàm số có giá trị lớn nhất trên đoạn1;8

nhỏ hơn 3 Số phần tử của tập S làbao nhiêu?

Lời giải

Đạo hàm: 2

11

my

x

 



mm



.Do m nguyên thuộc đoạn 2020;2020 nên m     2; 3; 4; ; 2020  Vậy có 4038 số nguyên m thỏa mãn đề bài

 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn

2025;2025

để giá trị lớn nhất của hàm số lớn hơn 4 ?

Lời giải

Hàm số đã cho xác định   x do sinx 2 0,   x

Câu 8: Cho hàm số

2 21

mx my

3

y





Có bao nhiêu giá trịdương của mthỏa mãn điều kiện bài toán?

Lời giải

22

201

mx my

x

  đồng biến trên 2;0

   

2;0maxyy 0