bài báo cáo đại cương về phương pháp tính chủ đề đa thức nội suy lagrange

HỒ CHÍ MINH Bài báo cáo Đại cương về phương pháp tính Chủ đề ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE Nhóm thực hiện: NHÓM 9 Lớp chiều thứ tư Giảng viên hướng dẫn: TS.. Đại cương 0ê phương pháp tính Nhó

TRUONG DAI HOC SU PHAM TP HO CHi MINH

Khoa Toan - Tin hoc

® Sp

TP HỒ CHÍ MINH

Bài báo cáo

Đại cương về phương pháp tính

Chủ đề

ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE

Nhóm thực hiện: NHÓM 9 (Lớp chiều thứ tư)

Giảng viên hướng dẫn: TS Phạm Duy Khánh

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

Trang 1

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

Lời nói đầu

Lời đầu tiên, nhóm 9 chúng em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Khánh và thầy Khoa

- giảng viên phụ trách học phần Đại cương về phương pháp tính, đã tạo cơ hội cho chúng em thực hiện tiểu luận giữa học phần với chủ đề Nội suy Lagrange và hỗ trợ chúng em trong quá trình thực hiện tiểu luận Nhóm chúng em đã cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu giáo trình được cung cấp cũng như

tham khảo thêm các nguồn tài liệu khác nhau để giải quyết vấn đề một cách toàn điện và rõ ràng nhất Tuy nhiên, vì còn thiếu sót trong khả năng dịch thuật và kiến thức còn hạn chế nên bài báo

cáo vẫn còn điểm sai sót Nhóm chúng em rất mong nhận được những lời nhận xét và góp ý từ hai

thầy để bài báo cáo được hoàn thiện hơn

Trang 2

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

Nội suy là phương pháp ước tính giá trị của các điểm đữ liệu chưa biết trong phạm vi của một

tập hợp rời rạc chứa mộtsố điểm dữ liệu đã biết Nội dung của bài báo cáo đề cập chủ yếu đến Đa

thức nội suụ Lagrange

Trang 3

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

Nội suy là gì?

Xem xét một bài toán sau đây:

Cho các giá trị của một hàm số chưa biết = ƒ{z) tại các điểm phân biệt cho trước được xếp theo thứ tự #o < #I < #2 < - < #„ lần lượt là 0,01, 1a, : ,„ Câu hỏi đặt ra đó là tìm hàm số y = ƒ(z) xác định trên [a, b] sao cho:

ƒ(¡) = tụ, Vi = 0,1, ,75

hoặc tính giá trị của ham sé y = f(x) véi x e [a, b| bất kỳ mà không là các giá trị z; đã biết trên Bài toán nội suy là bài toán thiết lập một hàm số @(z) có đồ thị đi qua tất cả các điểm cho trước này, nghĩa là một hàm số (z) thỏa mãn ràng buộc nội suy:

Q (ai) = Yi, Vi = 0,1,2, ,n

Một cách dễ dàng nhất để thiết lập Q(z) đó là nối các điểm có tọa dé (xj, y;) lại với nhau bởi các đường thẳng Tuy nhiên, người ta quan tâm đến những hàm số có tính chất đặc biệt hơn, chẳng

hạn như một hàm đơn điệu, liên tục, khả vi, khả tích v.v để phục vụ cho những tính toán phức tạp

hơn đối với hàm số đó Việc đi tìm những hàm số ( như vậy dẫn ta đến việc giải quyết một lớp các

bài toán gọi là bài toán nội suy, trong đó hàm Q được tìm có thể là một đa thức, một đa thức từng đoạn hoặc là một hàm đa thức lượng giác,v.v

Lây một ví dụ đơn giản, ta hãy xét các giá trị của một hàm số được cho tại 2 điểm (z, ƒ (Zo)) và (#, ƒ (z¡)) Có rất nhiều hàm số mà có đồ thị đi qua 2 điểm cho trước này Tuy nhiên, nếu ta đi

tìm một đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1 đi qua 2 điểm này, thì rõ ràng ta thấy chỉ có một ham

đa thức thỏa mãn điều đó: đa thức mà đồ thị của nó chính là đường thẳng nối trực tiếp 2 điểm trên

Một đường thẳng, một cách tổng quát thì nó là một đa thức bậc 1, nhưng nếu tại 2 diém x, 7, ta Có:

có tính chất tuần hoàn thì đa thức lượng giác được tru tiên khảo sát hơn

Trang 4

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

Ví dụ 1.1 Giả sử rằng (z) là một đa thức nội suy bậc 2 với các mốc nội suy được cho trong

bảng sau:

¿|0 1 2 zfl 2 4 ymil2 5 2 Do Q có bậc 2 nên ta có thể viết Q dưới đạng:

Q(z) = a+ bã + ca”, trong đó ø, b, e là các hệ số mà ta cần phải xác định

Thay lần lượt các cặp giá trị (#o, o); (1, 1); (a, 2) vào biểu thức của Q trên ta được một hệ phương trình tuyến tính với 3 ẩn 3 phương trình:

a+b+c=2 a+2b+4ce=5 | a+4b+ l6c = 2

Giải hệ này ta sẽ được a = —4;b = 15/2;c = —3/2 Trong ví dụ này, ta nói rằng hàm số

15 3

nội suy 3 điểm (1,2); (2,5) và (4,9)

Ta thay rằng có duy nhất một đa thức bậc 2 nội suy qua 3 điểm Một đa thức bậc hai thì có 3

hệ số xác định Một cách tổng quát, ta có định lí 1.1 dưới đây Định lý 1.1 (Sự tồn tại và duy nhất của đa thức nội suy)

Cho n + 1 điểm phân biệt #ọ,Z\. : ,#„ và n + 1 giá trị /o,0\.-::,„ bất kỳ Khi đó, tồn tại duy nhất một đa thức P„ bậc bé hơn hoặc bằng ® sao cho:

P=0

tức là P, = Qn

Trang 5

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9 e Sự tồn tại: Với ø = Ú ta có Py = ƒ (zo) = 1o Giả sử P„ ¡ là một đa thức có bậc bé hơn hoặc

với hệ số c được cho bởi:

Một cách tự nhiên, bài toán nội suy đa thức bậc tìm một đa thức P„ dưới dạng:

n P, (2) = » byx*, (1)

k=0 với các ràng buộc nội suy được xét là:

¬ f= of

Để hệ trên có nghiệm duy nhất thì định thức của ma trận hệ số không suy biến, nghĩa là

1 ot -'' #5 Loa: x x #1

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9 Do đó, đa thức bậc ø như (1) tồn tại và duy nhất thỏa mãn các ràng buộc nội suy

Việc tìm đa thức nội suy với phương pháp giải bằng định thức Vandermonde (hoặc việc giải hệ phương trình các hệ số như trong Ví dụ 1.1) trên lý thuyết là có thể giải được Tuy nhiên, trên thực tế, sô điều kiện của hệ Vandermonde là rât xâu Chẳng hạn, nêu ta có #ạ = Ú,#ị =—,#a =T—,-'',#ạ =l

n n

thi khi do V,, < — và khi số mốc nội suy càng lớn, việc tìm đa thức nội suy bằng phương pháp này

n đường như là rất khó khăn

Ta thiết lập đa thức nội suy bằng một hệ cơ sở {pọ, Ðị, Øa, - :- ,p„} của không gian các đa thức có

bac bé hon hay bang n Ta viết:

P(x) = aopo(@) + aipi(z) + +++ + An pn(2) Ta cần tìm các hệ số øo, ứi, - , ø„ sao cho:

( P (xq) = aopo (%0) ++: + GnPn (%0) = Yo,

P (x1) = dopo (@1) + +++ + GnPn (G1) = M1, ( P (xn) = @oPo (fn) ttt Ann (Xn) = Un- Ta viết lại hệ phương trình này dudi dang ma tran:

(10) pile) ~~ paleo) [ao fw

Po\to) Pr\%o) -'' Đa (To ao Yo

Po (71) PL (71) " Dn (71) | đi it u it

Nếu tồn tại ?, 7 sao cho z;¿—z; thì cột thứ ¿ và thứ j7 của hệ tỷ lệ nhau Khi đó: e Néu y; # ; thì hệ trên vô nghiệm

e Nếu y; = ; thì hệ này có vô số nghiệm

Giả sử ø; # z;,V¿ # j7 Khi đó, hệ cơ sở {Øo,Øi, :, pa} sẽ xác định các đa thức nội suy tương

thoa man diéu kién f(x) ~ Qh (z) tại các mốc nội suy, và đóng vai trò quan trọng trong việc xấp

xỉ nghiệm của các phương trình vi phân

Trang 7

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

Định nghĩa 1.1 (Số điều kiện của hàm số )

Số điều kiện của một hàm số ƒ tại một điểm x = e, ký hiệu là cond (ƒ), được xác định bởi FO,

Flo)”

Néu cond (f) « 1, ham ƒ được gọi là có điều kiện tốt (welLconditioned), và ngược lại ƒ được

gọi là có điều kién xAu (ill-conditioned)

cond(ƒ) =

Trang 8

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

2_ Đa thức nội suy Lagrange

2.1 Cơ sở Toán học Một số định lý

Định lý 2.1 (Định lí xấp xỉ Weierstrass)

Cho f e C[a, b| Khi đó với mỗi e > 0 tồn tại một da thtte P(x) thoa man |[ƒ(z) — P(z)| < e, với mọi z e [a, b]

Nhận xét: Dịnh lý trên cho thấy tầm quan trọng của lớp hàm đa thức Với bất kỳ một hàm số liên

tục trên [a,b]|, ta luôn tìm được một đa thức xấp xỉ với nó với độ chính xác như mong muốn

Định lý 2.2 (Định lí Rolle tổng quát)

Cho ham số ƒ C[ø,b], khả vi đến cấp + trên khoảng (a,b) Khi đó, nếu ƒ(z) = 0 tại ® + 1

điểm phân biệt ø < #o < #\ < - < #„ < b, thì tồn tại một số thực e trong khoảng (a, b) sao cho

FOC) =0

Trang 9

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

2.2 Đa thức nội suy Lagrange

Bài toán xác định đa thức bậc nhất đi qua các điểm phân biệt (Zọ, ) và (#¡, ¡) cũng giống như

bài toán xấp xỉ hàm số ƒ sao cho ƒ(#o) = 9o và ƒ(#¡) = 9ì của phép nội suy đa thức bậc một, hoặc

phù hợp với các giá trị của ƒ tại các điểm đã cho Việc sử dụng đa thức này để tính gần đúng trong

khoảng được cho bởi các điểm cuối được gọi là phép nội suy đa thức

— #Ị #1 — #0 ‘

Đa thức nội suy Largrange tuyến tính qua (79, yo) va (1, y1) Ia:

F (20) +" (a1)

#0 — Z1 #1 — #0 LE Ly

P(x) = Lo(x)f(®0) + Li(x) f(a1) =

trong d6 Lo(ao) = 1, ho(#i) = 0, Li (ve) = 0 va Ly (2) = 1,

Khi đó P(zs) = 1.f(%o) + 0 f (21) = f(a) = yova P(x) = 0.f (to) + 1 f(a) = f(a) =m

Vì vậy P là đa thức duy nhất có bậc nhất di qua (x9, yo), (71, 91)

Ví dụ 2.1: Xác định đa thức nội suy Lagrange tuyến tính đi qua các điểm (2,4) và (5, 1)

Pla) = (@—5)A+ 3(@—2.L=— Sat Zt gr- 5 = cứ +,

Đồ thị = P(z) được thé hiện trên hình sau:

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9 Để khái quát khái niệm nội suy tuyến tính, ta xét việc xây dựng đa thức có bậc không vượt quá

n di qua n+ 1 điểm là (xo, f(xo)), (v1, ƒ(m)) ney (Tr, ƒ(za))

1, nếu j=k n#(8¡) = { 0, nến? zkˆ

và được gọi là các đa thức Lagrange cơ sở

Sơ đồ đồ thị của L„„ điển hình ( khi ø chãn) được biểu diễn dưới hình sau:

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

Định lý 2.3

Nếu #o, #I, ,#„ là m= + 1 số thực phân biệt và ƒ là hàm có giá trị cho bởi các số này thì tồn tại

một đa thức duy nhất P(x) cé bậc không vượt quá n thỏa mãn:

fax) = P(ay), với k = 0,1, ,1

Khi đó đa thức được cho bởi:

P(x) = f(x0)Lno(x) +o + ƒ(#n) La n(#) = 3 ƒk)La (3), trong đó với k = 0,1, ,??,

_ (x = to) (a = %1) (@ = Pe-1)(@ = Te41).-(V = Fn)

Ena(t) = (#¿ — #p)(k — #1) (#w — #a—1)(#& — ®k-~1) (#w — #a)

— + (Ti) 1=0,14k (tq — a)

Chi y: Chiing ta cé thé viét L,4(x) don gian 1A Ly (x) khi khong c6 su nhầm lẫn về bậc của nó

Trang 12

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

Định lý 2.4 (Định lý sai số của phép nội suy Lagrange)

Giả sử zo,z, ,z„ là nm + 1 điểm phân biét trong [a,b] va f ¢ C°* [a,b] Khi dé, vdi moi € [a,b|, tồn tại một số £(z) nằm giữa các giá tri 79,21, ., 2, Va trong (a,b) ta có:

Do fe C™ [a,b] va P € C”[a, b], nén g ¢ C"+![a, b] Lay t = xp, ta có:

g(r) = flax) — Plos) — [Fl0) — Pe] | =) = 0-[F(0) - P(a)].0 =0

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

Hệ quả 2.5

Giả sử hàm ƒ thỏa mãn các điều kiện của Định lý 2.4 Ta có:

Z6) = PA)| < TT | = ân) — ny) a)

Vì ƒ(z) = z~! nên ta có: ƒƑ(z) = —# 2, ƒ?'(m) = 2x3, Ƒ"(z) = —6z$,

Do đó, đa thức nội suy Lagrange có sai số là

véi €(x) nằm trong (2, 4)

Giá trị lớn nhất của (£(z)) trong khoảng là 2° = Te

Bây giờ ta cần xác định giá trị lớn nhất trên khoảng này của giá trị tuyệt đối của đa thức

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

2.3 Thuật toán

Dựa trên lý thuyết trình bày về đa thức nội suy Lagrange, ta có thuật toán tính gần đúng giá trị

cia f(x) tai x = x;, được trình bày như sau

Thuật toán: Phương pháp đa thức nội suy Lagrange để tính giá trị gần đúng

INPUT số mốc nội suy z(n e Ñ); các mốc nội suy z; và các 1 tương ứng (2 = Ũ,œz— T); giá trị xj

OUTPUT giá trị gần đúng P(z;) của ƒ(z;)

Buéc 4: OUTPUT (Gia tri PŒ;) + ƒ(z;))

Nhận xét: Bài toán xây dựng đa thức nội suy Lagrange ở bước I khá céng kénh trong viéc biéu

điễn về đa thức

Trang 16

x 2870655

Trang 17

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

2.5 Chương trình Python

*DƯỜNG DÂN ĐẾN GOOGLE COLAB: Đa thức nội suy Lagrange

Tìm đa thức nội suy Lagrange

result= sp.simplify(P) # Xuat ket qua

print("Da thuc noi suy can tim la: ",result)

xj = sp.Rational(input(f"Nhap gia tri xj thu {j+1} can noi suy: ")) # Tinh gia tri gan dung

P = float(lagrange_interpolation(x, y, xj)) # Nhap so chu so thap phan can lam tron

Trang 18

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

k= int(input("Nhap so chu so thap phan can lam tron: "))

print(f"Gia trí gan dung cua f(x) tai x={xj} khi dung da thuc noi suy Lagrange la: {round(P,k)}")

Vi du 2.4: Cho ham sé y = ƒ(z) có bảng giá trị:

x| I | 22 | 31 | 4 y | 1.678 | 3.267 | 2.198 | 3.787

(a) Tìm đa thức nội suy Lagrange cho ham f(z)

Nhap cac gia tri x (vi du: 1 2 3): 1 2.2 3.1 4

Nhap cac gia tri y tuong ung (vi du: 3 4 5): 1.678 3.267 2.198 3.787

Nhap cac gia tri x (vi du: 1 2 3): 1 2.2 3.1 4

Nhap cac gia tri y tuong ung (vi du: 3 4 5): 1.678 3.267 2.198 3.787 So cac gia trí xj can noi suy: 1

Nhap gia tri xj thu 1 can noi suy: 2.5 Nhap so chu so thap phan can lam tron: 6

Đại cương 0ê phương pháp tính Nhóm 9

Ưu điểm

e Công thức Lagrange mang tính thuật toán, đễ lập trình và số lượng phép toán không quá lớn,

thuận tiện để có thể tính toán một cách rất khả thi bằng máy tính

e Cách tìm đa thức nội suy Lagrange đơn giản, phù hợp khi các mốc nội suy z; cổ định đù các giá trị ; thay đổi Khi đó các đa thức nhân tử Lagrange được thiết lập sẵn và có thể dùng cho nhiều hàm nội suy khác nhau

Cho hàm ƒ được xác định bởi các điểm #o,#\ , z„ và giả sử rằng tị, ma, , my là k số nguyên

phan biét sao cho 0 < m; < n, với mỗi ¡ Khi d6, da thite Lagrange cho ham f(x) tai k diém

Lams Emgs 5 Em, Aue k¥ hiéu la Py, my any (2):

Vi du 3.1: Cho ham sé f(x) = e” va cdc diém x9 = 1,21 = 2,73 = 4,24 = 6 XAc dinh da thite ndi suy P1a4(z) và sử dụng đa thức này để tính xấp xỉ ƒ(5)

Lời giải

Da thức Lagrange cho hàm f(x) tại các điểm x, = 2,#¿ = 3 và #4 = 6:

p (2) = #=3) =8) ¿ (œ2) —6) 3 (@— 3) — 3) s 24/2 (2=3)0-=6) (-=2(8-=6) (6=2(6-=3) - Vậy