bài báo cáo đại cương về phương pháp tính chủ đề đa thức nội suy lagrange

Việc đi tìm những hàm số Q như vậy dẫn ta đến việc giải quyết một lớp các bài toán gọi là bài toán nội suy, trong đó hàm Q được tìm có thể là một đa thức, một đa thức từng đoạn hoặc là m

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HO CHi MINH

Khoa Toan - Tin hoc

Bài báo cáo

Đại cương về phương pháp tính

Chủ đề

ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE

Nhóm thực hiện: NHÓM 9 (Lớp chiều thứ tư)

Giảng viên hướng dẫn: TS Phạm Duy Khánh

Trang 1

Lời nói đầu

Lời đầu tiên, nhóm 9 chúng em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Khánh và thầy Khoa

- giảng viên phụ trách học phần Đại cương về phương pháp tính, đã tạo cơ hội cho chúng em thực hiện tiểu luận giữa học phần với chủ đề Nội suy Lagrange và hỗ trợ chúng em trong quá trình thực hiện tiểu luận Nhóm chúng em đã cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu giáo trình được cung cấp cũng như

tham khảo thêm các nguồn tài liệu khác nhau để giải quyết vấn đề một cách toàn điện và rõ ràng nhất Tuy nhiên, vì còn thiếu sót trong khả năng dịch thuật và kiến thức còn hạn chế nên bài báo

cáo vẫn còn điểm sai sót Nhóm chúng em rất mong nhận được những lời nhận xét và góp ý từ hai

thầy để bài báo cáo được hoàn thiện hơn

Trang 2

Nội suy là phương pháp ước tính giá trị của các điểm đữ liệu chưa biết trong phạm vi của một

tập hợp rời rạc chứa mộtsố điểm dữ liệu đã biết Nội dung của bài báo cáo đề cập chủ yếu đến Đa thức nội suy Lagrange

Trang 3

Nội suy là gì?

Xem xét một bài toán sau đây:

Cho các giá trị của một hàm số chưa biết y “ fpxq tại các điểm phân biệt cho trước được xếp theo thứ tự xo ă xị ă x¿ š ” "ăxạ lần lượt là yo,yn,y›,”” ,ya Câu hỏi đặt ra đó là tìm hàm số

y “ fpxq xác định trên ra,bs sao cho:

hạn như một hàm đơn điệu, liên tục, khả vi, khả tích v.v để phục vụ cho những tính toán phức tạp

hơn đối với hàm số đó Việc đi tìm những hàm số Q như vậy dẫn ta đến việc giải quyết một lớp các

bài toán gọi là bài toán nội suy, trong đó hàm Q được tìm có thể là một đa thức, một đa thức từng đoạn hoặc là một hàm đa thức lượng giác,v.v

Lấy một ví dụ đơn giản, ta hãy xét các giá trị của một hàm số được cho tại 2 điểm pxo,f pxoqq

va px,,f pxiqq Co rat nhiéu ham số mà có đồ thị đi qua 2 điểm cho trước này Tuy nhiên, nếu ta đi

tìm một đa thức có bậc nhỏ hơn hoặc bằng 1 đi qua 2 điểm này, thì rõ ràng ta thấy chỉ có một ham

đa thức thỏa mãn điều đó: đa thức mà đồ thị của nó chính là đường thẳng nối trực tiếp 2 điểm trên

Một đường thẳng, một cách tổng quát thì nó là một đa thức bậc 1, nhưng nếu tại 2 điểm xo.xị ta Có:

f pxoq“f px¡q,

thì đường thẳng nối 2 điểm đó trở thành hằng số: Qpxq”fpxoq, tức là một đa thức bậc 0 Đây là

lý do tại sao ta nói rằng có duy nhất một đa thức có bậc bé hơn hoặc bằng 1 có đồ thị đi qua hai

điểm cho trước Diều này sẽ được chứng minh tổng quát hơn trong Định lý 1.1 dưới đây

Trong bài toán nội suy, các điểm cho trước xo,xị, 7” „xạ được gọi là các mốc nội suy, hàm Qpxq trên được gọi là hàm nội suy của fpxq trên ra,bs Trong một số bài toán vật lý, nếu hàm cần nội suy

có tính chất tuần hoàn thì đa thức lượng giác được tru tiên khảo sát hơn

Trang 4

Ví dụ 1.1.Giả sử rằng Qpxq là một đa thức nội suy bậc 2 với các mốc nội suy được cho trong

bảng sau:

¡|0 1 2

x /l 2 4 yil2 5 2

Do Q có bậc 2 nên ta có thể viết Q dưới đạng:

Qpxq#a ` bx` cx’, trong đó a,b,e là các hệ số mà ta cần phải xác định

Thay lần lượt các cặp giá trị pXo.Voq; PXI.Y1d; PXz,y2q vào biểu thức của Q trên ta được một hệ phương trình tuyến tính với 3 ẩn 3 phương trình:

a`b`e“2

a’ 2b* 4c “5 a`4b` lóc “2

% Giải hệ này ta sẽ được a “4; b “1542; c “342

Trong ví dụ này, ta nói rằng hàm số

,, 15 3

nội suy 3 điểm p1,2q; p2, 5q và p4, 2q

Ta thay rằng có duy nhất một đa thức bậc 2 nội suy qua 3 điểm Một đa thức bậc hai thì có 3

hệ số xác định Một cách tổng quát, ta có định lí 1.1 dưới đây

Định lý 1.1 (Sự tồn tại và duy nhất của đa thức nội suy)

Cho n` 1 điểm phân biệt xo,xị,”” ,xạ và n` 1 giá trị yo.vi.”” ,yạ bất kỳ Khi đó, tồn tại duy nhất một đa thức Pạ bậc bé hơn hoặc bằng n sao cho:

Papxqfv, (@1L“0,1,2,”” m

Chứng minh

+ Sự duy nhất: Giả sử tồn tại hai đa thức Pạ %o Q„ có bậc bé hơn hoặc bằng n thỏa mãn:

P, pxiq “ Qn pxiq “yi, @i~0,1,2,°° wn

Khi d6 da thitc hiéu 0 %e P “ P,Q, JA một đa thức cũng có bậc bé hơn hoặc bằng n thỏa mãn:

hay x; 1A nghiệm của đa thức P với mọi 1 “0,1,2,”” mn Hơn nữa, bởi vì số nghiệm của đa

thức P (khác đa thức không) bằng với số bậc của P nên theo Định lý cơ bản của đại số ta phải có:

P“0

tức là Pạ ” Qaạ

Trang 5

Sự tồn tại: Với n “0 ta có Pạ *“ fpxeq “vo Giả sử P„¡ là một đa thức có bậc bé hơn hoặc

bằng n ˆ 1 và giả sử:

Pai pxig’yi, 1° 0,1,2,°° wn 1,

Ta thiết lập đa thức Pạ đưới đạng:

Pnapxq”P„ipxq`e px ˆ xoqpx ˆ xiq”””PX ˆ Xa,

và rõ ràng khi đó đa thức Pạ có bậc bé hơn hoặc bằng n Hơn nữa, đa thức Pạ thoả mãn các ràng buộc nội suy:

Papxqfv, 150/12 n1, >

Với ràng buộc nội suy cuối cùng ¡'“n ta cũng có Papxaq va Thật vậy,

PnpXnad xi DXagd €PXn ˆ Xoq ”””PXa ˆ Xaig,

với hệ số c được cho bởi:

Do đó, đa thức bậc n như (1) tồn tại và duy nhất thỏa mãn các ràng buộc nội suy

Việc tìm đa thức nội suy với phương pháp giải bằng định thức Vandermonde (hoặc việc giải hệ phương trình các hệ số như trong Ví dụ 1.1) trên lý thuyết là có thể giải được Tuy nhiên, trên thực tế,

sô điều kiện cia hé Vandermonde la rat x4u Chang han, néu ta c6 x9 “0.x, “ — =,x2 “© —, ” xa] n thi khi đó Vạ đ — và khi sô môc nội suy càng lớn, việc tìm đa thức nội suy bằng phương pháp này ma dường như là rất khó khăn

Ta thiết lập đa thức nội suy bằng một hệ cơ sở †pa.p,p›, 7” ,pau của không gian các đa thức có

bậc bé hơn hay bằng n Ta viết:

P pxq“aopopxq aipipxq ~~ anPaPxq

Ta cần tìm các hệ số ao.at, ”” ,an sao cho:

P pxoq4øÐo pXoq`” ” "`anPn DXoq”Yo,

P pxiq”aopo pXIg`”” ”`ânPa PXIQ V1, : P.PXad”4oPoPXnq`”””`ânPn PXndYa

%

Ta viết lại hệ phương trình này dudi dang ma tran:

Po PXoq PIPXoQ ~~ Pa PXoq me fi » ao

PoPX1q PiPXId Pn PX19 ay fi» o£ Y1

— PoPXnQ PiPXnq ~~ Pa ma fo ` n i Nếu tồn tại ¡, j sao cho x;=x¡ thì cột thứ ¡ và thứ j của hệ tỷ lệ nhau Khi đó:

»

» Nếu y¡ %o y¡ thì hệ trên vô nghiệm

» Nếu y¡ “y¡ thì hệ này có vô số nghiệm

Chả sử xị %o xị, (Ø1 2o J Khi đó, hệ cơ sở fpo,pi,

ứng như sau:

1 Hệ cơ sở đơn thức: pipxqfM¡pxq“x!, với 1 “0,1,2,” on;

2 Hé co sé Lagrange: p;pxq‘‘lipxq* , -

:«œ: Mi Xị ] 0% %oi J

3 Hé cd sé Newton: popxq1 va pipxq“Nipxq* „ px xiq, với! “1,2, ”” on

fro Các bài toán nội suy thường được áp dụng để tính xấp xỉ tích phân:

zy z„ Qapxqdx,

‘ fpxqdx«

thỏa mãn điều kiện f?*4pxq«QP'1 pxq tai các mốc nội suy, và đóng vai trò quan trọng trong việc xấp

xỉ nghiệm của các phương trình vi phân

Trang 7

Định nghĩa 1.1 (Số điều kiện của hàm số )

Số điều kiện của một hàm số f tại một điểm x “ e, ký hiệu là cond p£q, được xác định bởi

f'peq

condpfq““* ce Néu cond pfq!1, ham f được gọi là có điều kiện tB†°fwelLconditioned), và ngược lại f được

gọi là có điều kién xAu (ill-conditioned)

Trang 8

2_ Đa thức nội suy Lagrange

2.1 Cơ sở Toán học

Một số định lý

Định lý 2.1 (Định lí xấp xỉ Weierstrass)

Cho f P Cra,bs Khi đó với mỗi e ạ 0 tồn tại một đa thức Ppxq thoả mãn

lfpxq Ppxqlăe,với mọi x Pra,bs Nhậnxét: Định lý trên cho thấy tầm quan trọng của lớp hàm đa thức Với bất kỳ một hàm số liên

tục trên ra,bs, ta luôn tìm được một đa thức xấp xỉ với nó với độ chính xác nhĩ mong muốn

Định lý 2.2 (Định lí Rolle tổng quát)

Cho ham số f P Cra,bs, khả ví đến cấp n trên khoảng pa,bq Khi đó, nếu fpxq”0 tại n` I

điểm phan biét a d’ xo 4 x, 4” “Ax, @ b, thì tồn tại một số thực e trong khoảng pa,bq sao cho

fpcq“0

Trang 9

2.2 Đa thức nội suy Lagrange

Bài toán xác định đa thức bậc nhất đi qua các điểm phân biệt pXo.yoq và px¡,y¡q cũng giống như bài toán xấp xỉ hàm số f sao cho fpxoq vo và fpxiq Ýy¡ của phép nội suy đa thức bậc một, hoặc phù hợp với các giá trị của f tại các điểm đã cho Việc sử dụng đa thức này để tính gần đúng trong

khoảng được cho bởi các điểm cuối được gọi là phép nội suy đa thức

© ` $é x , x

Ppxq“Lopxgqfpxoq Lipxgfpxiq

trong đó Lạpxoq”l,Lapxiq9,Lipxog290 và Lipxiq”lL,

Khi đó Ppxosq“l.fpxoq`0.fpxigfpxoqfvovà Ppx¡g20.fpxog' L.fpxiq Zfpxiq vi

Vì vậy P là đa thức duy nhất có bậc nhất đi qua pXo,yoq, pXI.V14

Để khái quát khái niệm nội suy tuyến tính, ta xét việc xây dựng đa thức có bậc không vượt quá

n đi qua n` 1 điểm là pxa,Ÿpxoqq, pxi,FPxiqd, ,PXa,Ÿpxaqd

và được gọi là các đa thức Lagrange cơ sở

Sơ đồ đồ thị của Laxđiển hình ( khi n chẫn) được biểu diễn dưới hình sau:

Định lý 2.3

Nếu xo,xị xa làn ` 1 số thực phân biệt và f là hàm có giá trị cho bởi các số này thì tồn tại

một đa thức duy nhất Ppxq có bậc không vượt quá n thỏa mãn:

fpx.gfPpx¿q với k “ 0, L, ,n

Khi đó đa thức được cho bởi:

Ppxq“fpxeqLnopxd` ` fpxaqLanpxq” ở fpxxqLnxpxq,

“0 trong đó với k “ 0, l, ,.n,

as ly

(b) Xap xi fp3q* 3 la:

9 105 49 ,29 fp3q«Pp3qZ 22 gg ` 34 _ « 0.32955

Trang 13

Định lý 2.4 (Định lý sai số của phép nội suy Lagrange)

Giả sử xo.xu xa là n` 1 điểm phân biệt trong ra,bs và f P C"'rabs Khi đó, với mọi

x Pra,bs, tồn tại một số Épxq nằm giữa các giá trị xo.Xị xạ và trong pa,bq ta có:

f"'pÉpxqq

fpxq“Ppxq` _pn`lạt P* ” XoqpX ˆ x¡g PX ˆ xaq,P q trong đó P(x) là đa thức nội suy Lagrange qua các mốc nội suy xạ,XỊ, ,X

, px Xiq

49 Thay vào (1) ta có: f*!pšq'0 rfpxq Ppxqs pn tq “0,

px’ xiq

fo

f 'péq

pn’ lq! g, Suy ra fpxq“Ppxq px xi

Trang 14

Ví dụ 2.3: Trong Ví dụ 2.2, ta tìm được đa thức nội suy Lagrange của hàm fpxq* x trên r2, 4s 1

bằng cách sử dụng các mốc xọ “2,xị '“2.75,x; “ 4 Xác định công thức sai số của đa thức này, và sai số lớn nhất khi sử dụng đa thức để tính gần đúng fpxq với x Pr2, 4s

Giá trị lớn nhật của, p§pxqq' trong khoảng là 2' “ T6:

Bây giờ ta cần xác định giá trị lớn nhất trên khoảng này của giá trị tuyệt đối của đa thức

35 gpxq “ px ˆ 2qpx ˆ 2.75qpx ˆ 4q x` ˆ ra = x2 —x 2 49 2 _— ,49 21 Zo

fp§pxqq,„ 3Ị |px ˆ xoqpx ˆ xiqpx ˆ xaq|d , p dl v 9Q 3

2.3 Thuật toán

Dựa trên lý thuyết trình bày về đa thức nội suy Lagrange, ta có thuật toán tính gần đúng giá trị

của fpxq tại x “ x¡, được trình bày như sau

Thuật toán: Phương pháp đa thức nội suy Lagrange để tính giá trị gần đúng

TNPUT số mốc nội suy npn PNq; các mốc nội suy x¡ và các y¡ tương ứng pi “ 0,n ˆ lq; giá trị xị

OƯTPUT giá trị gần đúng Ppx¡q của fpx¡q

nl Buéc 1: Xay dung cac da thtic Lagrange La,pxq* PŠ X4 (với k“0,1, n 1)

"đã Px< Xđ

nl Bước 2: Xây dựng đa thức nội suy Lagrange P pxq* fpxxqLnkpxq (với k“0,1, ,n ˆ 1)

Ko

Bước 3: Tính Ppx¡d

Bước 4: OUTPUT (Giá trị Ppx¡q«fpx¡q)

Nhận xét: Bài toán xây dựng đa thức nội suy Lagrange ở bước 1 khá cồng kềnh trong việc biểu

điễn về đa thức

Trang 16

30 243PX lqpx ˆ2.2qpx ' 3.1q _, , , Mặt khác fpxoqffvo “ 1.678,fpxidfvi “ 3.267,fpxaq va; “ 2.198,fpxaq7va “ 3.787

Do đó, ta có đa thức nội suy Lagrange là:

2.5 Chương trình Python

*DƯỜNG DÂN ĐẾN GOOGLE COLAB: Đa thức nội suy Lagrange

Tìm đa thức nội suy Lagrange

x_values list(map(sp.Rational, input("Nhap cac gia ti x (vi du: 1 2 3): ").splitQ))

y_values list(map(sp.Rational, imput("Nhap cac gia tri y tuong ung (vi du: 3 4 5):

").splitQ))

# Tinh da thuc noi suy

P = lagrange interpolation(x_values, y_ values)

# Rut gon da thuc noi suy Lagrange

result=_ sp.simplify(P)

# Xuat ket qua

print("Da thuc noi suy can tim la: ",result)

x = list(map(sp.Rational, input("Nhap cac gia ti x (vi du: 1 2 3): ").sphitQ))

y = list(map(sp.Rational, input("Nhap cac gia tri y tuong ung (vi du: 3 4 5):

").splitQ))

# Yeu cau nhap so luong gia tri cua xj can noi suy

num xj = int(input("So cac gia ti xj can noi suy: "))

for j in range(num xị):

xj = sp.Rational(input(f’Nhap gia tii xj thu {j+1} can nor suy: "))

# Tinh gia ti gan dung

P = floatdagrange interpolation(x, y, xj))

# Nhap so chu so thap phan can lam tron

Trang 18

k= int(@input("Nhap so chu so thap phan can lam tron: "))

print(f"Gia tri gan dung cua Íx) tai x={xj} khi dung da thuc noi suy Lagrange la:

{round(P,k)}")

(b) Tính gần đúng fp2.5q

Lời giải

(a) Để tìm đa thức nội suy Lagrange cho hàm fpxq, ta làm như sau:

Ta nhập các dữ liệu đầu vào:

Nhap cac gia trí x (ví dụ: | 2 3) L 22 31 4

Nhap cac gia trí y tuong ung (vi du: 3 4 5): 1.678 3.267 2.198 3.787

Nhap cac gia trí x (ví dụ: | 2 3) L 22 31 4

Nhap cac gia trí y tuong ung (vi du: 3 4 5): 1.678 3.267 2.198 3.787

So cac gia tri xj can nor suy: Ì

Nhap gia ti xj thu 1 can noi suy: 2.5

Nhap so chu so thap phan can lam tron: 6

3 Ban luận

3.1 Tổng kết

Bài báo cáo trên đã trình bày những vấn đề cơ bản của Đathức nội suy Lagrange bao gồm Cơ

sở Toán học, nội dung Đa thức nội suy Lagrange, Thuật toán và Ví dụ minh hoạ Từ đây ta rút ra

những ưu điểm và hạn chế của Đathứcnội suy Lagrange

Ưu điểm

* Cong thitc Lagrange mang tính thuật toán, đễ lập trình và số lượng phép toán không quá lớn,

thuận tiện để có thể tính toán một cách rất khả thi bằng máy tính

» Cách tìm đa thức nội suy Lagrange đơn giản, phù hợp khi các mốc nội suy x¡ cố định dù các giá trị y¡ thay đổi Khi đó các đa thức nhân tử Lagrange được thiết lập sẵn và có thể dùng cho nhiều hàm nội suy khác nhau

Hạn chế

+ Mỗi lần thêm một hay nhiều mốc nội suy, phải tính lại từ đầu từng đa thức nhân ttt Lagrange + Nếu hàm số có càng nhiều mốc nội suy, việc tính toán các hàm đa thức nhân tử Lagrange là càng nhiều, làm mất thời gian và khối lượng tính toán

Trang 20