Kỹ Thuật - Công Nghệ - Khoa học xã hội - Kế toán Chương 4 NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM I. ĐẶT BÀI TOÁN : Để tính giá trị của một hàm liên tục bất kỳ, ta có thể xấp xỉ hàm bằng một đa thức, tính giá trị của đa thức từ đó tính được giá trị gần đúng của hàm Xét hàm y = f(x) cho dưới dạng bảng số x xo x1 x2 . . . xn y yo y1 y2 . . . yn Các giá trị xk, k = 0, 1, .., n được sắp theo thứ tự tăng dần gọi là các điểm nút nội suy Các giá trị yk = f(xk ) là các giá trị cho trước của hàm tại xk Bài toán : xây dựng 1 đa thức pn(x) bậc ≤n thoả điều kiện pn(xk) = yk, k=0,1,.. n. Đa thức này gọi là đa thức nội suy của hàm f(x). II. ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE: y = f(x) và bảng số x xo x1 x2 . . . xn y yo y1 y2 . . . yn Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x) trên a,b=x0, xn. Cho hàm Đặt Ta có Đa thức có bậc ≤ n và thỏa điều kiện Ln(xk) = yk gọi là đa thức nội suy Lagrange của hàm f Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x 0 1 3 y 1 -1 2 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange và tính gần đúng f(2). n = 2 Giải Đa thức nội suy Lagrange f(2) Ln(2) = -23 Để tính giá trị của Ln(x), ta lập bảng x x0 x1 .... xn x0 x1 … xn x- x0 x0- x1 .... x0- xn x1- x0 x- x1 .... x1- xn .... .... .... .... xn- x0 xn- x1 .... x- xn D0 D1 … Dn (x) tích dòng tích đường chéo Cách biểu diễn khác : Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x -9 -7 -4 y -1 -4 -9 Tính gần đúng f(-6) Ta lập bảng tại x = -6 x = -6 -9 -7 -4 -9 -7 -4 3 -2 -5 2 1 -3 5 3 -2 30 -6 -30 -6 Vậy f(-6) L2(-6) = -6(-130+46+930) = -5.6 Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x 0 1 3 4 y 1 1 2 -1 Tính gần đúng f(2) Ta lập bảng tại x = 2 x = 2 0 1 3 4 0 1 3 4 2 -1 -3 -4 1 1 -2 -3 3 2 -1 -1 4 3 1 -2 -24 6 6 -24 4 Vậy f(2) Ln(2) = 4(-124 + 16 + 13 +124) = 2 TH đặc biệt : các điểm nút cách đều với bước h = xk+1 – xk Đặt Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x 1.1 1.2 1.3 1.4 y 15 18 19 24 Tính gần đúng f(1.25) Ta có n = 3 x = 1.25 h = 0.1 q = (1.25-1.1)0.1 = 1.5 giải Vậy f(1.25) 18.375 Công thức đánh giá sai số : Giả sử hàm f(x) có đạo hàm đến cấp n+1 liên tục trên a,b. Đặt Ta có công thức sai số Ví dụ : Cho hàm f(x)=2x trên đoạn 0,1. Đánh giá sai số khi tính gần đúng giá trị hàm tại điểm x=0.45 sử dụng đa thức nội suy Lagrange khi chọn các điểm nút xo=0, x1=0.25, x2=0.5, x3=0.75, x4=1 Giải Ta có n = 4, f(5)(x) = (ln2)52x M5 = max f(5)(x) = 2(ln2)5 công thức sai số III. ĐA THỨC NỘI SUY NEWTON: 1. Tỉ sai phân : Cho hàm y = f(x) xác định trên a,b=xo, xn và bảng số x xo x1 x2 . . . xn y yo y1 y2 . . . yn Đại lượng gọi là tỉ sai phân cấp 1 của hàm f trên xk,xk+1 Tỉ sai phân cấp 2 Bằng qui nạp ta định nghĩa tỉ sai phân cấp p Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x 1.0 1.3 1.6 2.0 y 0.76 0.62 0.46 0.28 Tính các tỉ sai phân k xk f(xk) fxk,xk+1 fxk,xk+1,xk+2 fxk,xk+1,xk+2,xk+3 0 1 2 3 1.0 1.3 1.6 2.0 0.76 0.62 0.46 0.28 -0.4667 -0.5333 -0.45 -0.111 0.119 0.23 Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân 2. Đa thức nội suy Newton : Công thức Newton tiến Công thức Newton lùi Để đánh giá sai số của đa thức nội suy Newton, ta dùng công thức sai số của đa thức nội suy Lagrange Ví dụ : Cho hàm f xác định trên 0,1 và bảng số x 0 0.3 0.7 1 y 2 2.2599 2.5238 2.7183 Tính gần đúng f(0.12) bằng Newton tiến và f(0.9) bằng Newton lùi xk f(xk) fxk,xk+1 fxk,xk+1,xk+2 fxk,xk+1,xk+2,xk+3 0 0.3 0.7 1 2 2.2599 2.5238 2.7183 0.8663 0.6598 0.6483 -0.2950 -0.0164 0.2786 Giải : ta lập bảng các tỉ sai phân Newton lùi Newton tiến Ta có 3. TH các điểm nút cách đều : Sai phân hữu hạn cấp 1 của hàm tại điểm xk yk = yk+1 - yk Bằng qui nạp, Sai phân hữu hạn cấp p của hàm tại điểm xk pyk = ( p-1yk) = p-1yk+1 - p-1yk Ta có công thức Công thức Newton tiến Công thức Newton lùi Ví dụ : Cho hàm f và bảng số x 30 35 40 45 y 0.5 0.5736 0.6428 0.7071 Tính gần đúng f(32) bằng Newton tiến và f(44) bằng Newton lùi xk f(xk) yk 2yk 3yk 30 35 40 45 0.5 0.5736 0.6428 0.7071 0.0736 0.0692 0.0643 -0.0044 -0.0049 -0.0005 Giải : ta lập bảng các sai phân hữu hạn Newton lùi Newton tiến Tính gần đúng f(32) : dùng công thức Newton tiến n = 3, xo = 30, q=(32-30)5 = 0.4 Tính gần đúng f(44) : dùng công thức New...
Chương NỘI SUY VÀ XẤP XỈ HÀM I ĐẶT BÀI TỐN : Để tính giá trị hàm liên tục bất kỳ, ta xấp xỉ hàm đa thức, tính giá trị đa thức từ tính giá trị gần hàm Xét hàm y = f(x) cho dạng bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Các giá trị xk, k = 0, 1, , n theo thứ tự tăng dần gọi điểm nút nội suy Các giá trị yk = f(xk) giá trị cho trước hàm xk Bài toán : xây dựng đa thức pn(x) bậc ≤n thoả điều kiện pn(xk) = yk, k=0,1, n Đa thức gọi đa thức nội suy hàm f(x) II ĐA THỨC NỘI SUY LAGRANGE: y = f(x) bảng số x xo x1 x2 xn y yo y1 y2 yn Ta xây dựng đa thức nội suy hàm f(x) [a,b]=[x0, xn] Cho hàm Đặt Ta có Đa thức có bậc ≤ n thỏa điều kiện Ln(xk) = yk gọi đa thức nội suy Lagrange hàm f Ví dụ : Cho hàm f bảng số x01 y -1 Xây dựng đa thức nội suy Lagrange tính gần f(2) Giải n = Đa thức nội suy Lagrange f(2) Ln(2) = -2/3 Cách biểu diễn khác : Để tính giá trị Ln(x), ta lập bảng x x0 x1 xn tích x0 x- x0 x0- x1 x0- xn D0 dòng x1 x1- x0 x- x1 x1- xn D1 … … tích đường chéo xn xn- x0 xn- x1 x- xn Dn (x) Ví dụ : Cho hàm f bảng số x -9 -7 -4 y -1 -4 -9 Tính gần f(-6) Ta lập bảng x = -6 x = -6 -9 -7 -4 -9 -2 -5 30 -7 -3 -6 -4 -2 -30 Vậy f(-6) -6 L2(-6) = -6(-1/30+4/6+9/30) = -5.6 Ví dụ : Cho hàm f bảng số x 01 34 y 1 -1 Tính gần f(2) Ta lập bảng x = Vậy f(2) x=2 -1 -3 -4 -24 1 -2 -3 3 -1 -1 4 -2 -24 Ln(2) = 4(-1/24 + 1/6 + 1/3 +1/24) =