báo cáo giải tích số phương pháp danielevski tìm trị riêng và vector riêng

9 Chương 3: Tìm vector riêng bằng phương pháp Danilevski ..... ịHơn nữa, nếu B= T−1 AT và u là vector riêng của B ứng với thì .T u là vector riêng của A ng vứ ới .Ta thấy, để tìm giá tr

TRƯỜ NG ĐẠ I H C BÁCH KHOA HÀ N I Ọ Ộ VIỆ N TOÁN NG DỤNG VÀ TIN H C Ứ Ọ

***

PH ƯƠNG PH ÁP DANIELEVSKI TÌM TR ÊNG VÀ VECTOR RIÊNG Ị RI

Mục l c ụ

Chương 1: Nhắc l i m t s ạ ộ ố kiến th ức đạ ối s tuyến tính 2

1.1 Tr riêng và vector riêng c a ma tr n ị ủ ậ 2

1.2 H s cệ ố ủa đa thức đặc trưng sử dụng khai tri n tr c ti p ể ự ế 2

1.3 Khai triển định thức của ma trận – khai tri n Laplace ể 3

1.4 Ma trận đồng dạng 3

1.5 Tính ch t ấ 3

Chương 2: Tìm giá trị riêng bằng phương pháp Danilevski 4

2.1 Ma tr n Frobenius ậ 4

2.1.1 Khái ni m ệ 4

2.1.2 Đa thức đặc trưng của ma trận Frobenius 5

2.2 Phương pháp cho trường hợp lí tưởng 5

2.3 Phương pháp cho các trường hợp đặc biệt 8

2.3.1 Trường hợp 1 8

2.3.2 Trường hợp 2 9

Chương 3: Tìm vector riêng bằng phương pháp Danilevski 10

3.1 Phương pháp cho trường hợp lí tưởng 10

3.2 Phương pháp cho trường hợp lí tưởng 11

3.2.1 Trường hợp 1 11

3.2.2 Trường hợp 2 12

3.2.3 Gi i quy t vả ế ấn đề 12

Chương 4: Thuật toán và ví dụ minh ho ạ 16

4.1 Thu t toán ậ 16

4.2 Ví d minh ho ụ ạ 18

Chương 1: Nhắ c lại mộ ố t s kiến th ức đạ i số tuyến tính

1.1 Trị riêng và vector riêng c a ma tr n ủ ậ

C hoA=( )aij là ma tr n vuông c ậ ỡn n N u t n t i vector ế ồ ạ uvà số thực sao cho Au= u, khi đó được g i là tr riêng c a ọ ị ủA và u được g i là vector riêng ọứng với trị riêng

Giá tr riêng cị ủa A là nghi m cệ ủa đa thức đặc trưng: ( ) det(KA = A− I

Vector riêng c a A là nghi m củ ệ ủa hệ thu n nh ầ ất:(A− I X) =

1.2 H s cệ ố ủa đa thức đặc trưng sử dụng khai triển trực tiếp

Đa thức đặc trưng của ma trận được xác định như sau:

Nhận xét: Có t t c ấ ảnk định th c con bứ ậc ktrên đường chéo chính Khi đó việc tính toán h s cệ ố ủa đa thức đặc trưng tương đương với vi c th c hi n: ệ ự ệ

• Nếu A thì A và B có cùng đa thức đặc trưng, vì vậy có cùng tr riêng ịHơn nữa, nếu B= T− 1 AT và u là vector riêng của B ứng với thì T u là vector riêng của A ng vứ ới .

Ta thấy, để tìm giá tr riêng c a m t ma trị ủ ộ ận ta cần tìm đa thức đặc trưng của ma trận

đó và từ đó tính nghiệm của đa thức Phương pháp đơn giản nhất để tìm hệ số của đa thức đặc trưng đó là sử dụng khai triển trực tiếp (phần 1.2), tuy nhiên độ phức tạp thuật toán sẽ là O ( )2n Hay, khi s d ng kh i triử ụ ả ển theo Laplace để tính định thức

cũng cần thực hiện !n n phép tính

Ý tưởng của phương pháp Danilevski là đưa ma trận A ban đầu về dạng ma trận Pđồng d ng c ạ ụ thể P là ma tr n Frobenius Viậ ệc tính đa thức đặc trưng của P d dàng ễđược th c hiự ện Khi đó, tìm được trị riêng của P, đồng thời cũng là trị riêng của A 2.1 Ma tr n Frobenius ậ

2.1.2 Đa thức đặc trưng của ma trận Frobenius

2.2 Phương pháp cho trường hợp lí tưởng

Mục đích chung của phương pháp là đưa ma trận ban đầu v d ng Frobenius qua mề ạ ột

số h u hữ ạn các bước Trường hợp lí tưởng, gi s các ph n t ả ử ầ ử( 1)

Bước 1: Đặt ma trận ban đầu A A= (0)

Nhậ Khối lượng phép tính để biến đổ ừA đến P c ỡn3− phép nhân và n2

chia Rõ ràng, phương pháp Danilevski có khối lượng tính toán giảm hơn so với phương pháp thông thường

2.3 Phương pháp cho các trường hợp đặ c biệt

Ở trường hợp lí tưởng, ta có giả thi t các phần t ế ử( )

2.3.1 Trường hợp 1

Trong hàng n k− +1 t n t i ph n t ồ ạ ầ ử ( )k 1, 0

n k j

a− + với j n k − Khi đó, ma trận có d ng: ạ

Trường h p này, ta hoán v cợ ị ột j và cột n k− , hàng j và hàng n k− , s thu ẽđược m t ma tr n m i ộ ậ ớA( ) k =C A C− 1 ( ) k đồng d ng v i ma trạ ớ ận ban đầu ớ V i ma tr n ậ

Cnhư sau:

k

n k n

a− + − Khi đó, ma trận A( ) k có d ng: ạ

Biểu di n thành ma tr n khễ ậ ối như hình vẽ:

( ) k 1 3

A− I= A − I= D− I D− I

Chương 3: Tìm vector riêng bằng phương pháp Danilevski

3.1 Phương pháp cho trường hợp lí tưởng

Gọi y là vector riêng c a ma trủ ận P A P M~ : = 1 −AM, ta có:

Từ đó, ta sẽ thu được vector riêng x ng v i tr riêng ứ ớ ị c a ủ A

3.2 Phương pháp cho trường hợp lí t ưởng

3.2.3 Gi i quy t vả ế ấn đề

Vấn đề trong tr ng hườ ợp đặc bi t 2 x y ra do vi c chia nh ma tr n ệ ả ệ ỏ A thành ậ( ) k

2 ma tr n nh hậ ỏ ơn Vì vậy, ta sẽ chỉnh sửa thuật toán tìm giá tr êng ị ri để giữ nguyên kích th c c a ma tr n qua các b c biướ ủ ậ ướ ến đổi b ng cách b qua không làm gì và thằ ỏ ực hiện b c ti p theo ướ ế

Khi ó, sau đ n − 1 b c th c hi n, ma ướ ự ệ trận A( n − 1)có d ng: ạ

1

( 1)

1000

n

p

A − =

a) Tìm giá tr êng ị ri

Ví d , sau ụ n − 1 b c biướ ến đổi

Ta duy t tu n t cệ ầ ự ác phần t ửai i, 1− t d i lên tr ừ ướ ên(i n= ,1)

Nếu ai i, 1− = => Trong hàng i, các ph n t 0 ầ ửa n i i , đế a là các h s ci j , ệ ố ủa đa thức đặc trưng của một ma tr n con vậ ới j thỏa mãn aj+1,j là ph n t bầ ử ằng 0 liền trước

Giải các đa thức đặc trưng thu được các giá tr riêng c a ma trị ủ ận ban đầu

b) Tìm vector riêng

Xét 2 phương trình cuối: 6 7 6

7 6

3 4 5 4

− − − với y6và y 7đã tính được ở bước trước

Tương tự như trên,

Chương 4: Thuật toán v ví d à ụ minh hoạ

4.1 Thu t to ậ án

//B1: ĐƯA MA TRẬN BAN ĐẦU VỀ MA TR N FROBENIUS Ậ

A = đầu vào là ma trận kích thước nxn;

C = ma trận đơn vị kích thước nxn;

for i=1 to n-1 do: //Th c hiự ện bước xử lý th i ứ

j = n-i+1; //X lý hàng th jử ứ

M1, M = ma trận đơn vị kích thức thước nxn; //Khởi t o ma tr n M1 và M ạ ậ

if A[j,j-1] != 0: //Trường hợp lý tưởng

eigenvalue []; //Lưu trữ các trị riêng

for i=n-1 down to 0 do{ //Duy t ma tr n t ệ ậ ừ dưới lên

if A[i,i-1] == 0 or i==0{

ChaPoly = A[i,i:j]; //H s cệ ố ủa đa thức đặc trưng

Thêm vào trước ChaPoly ph n t - ầ ử 1;

Giải phương trình đa thức với hệ số ChaPoly;

Thêm vào eigenvalue các nghi m v a giệ ừ ải được;

ChaPoly = a[i,j]; //h s cệ ố ủa đa thức đặc trưng

Thêm ph n t -ầ ử 1 và trước ChaPoly;

f(value) = giá tr cị ủa đa thức h s ChaPoly; ệ ố

if f(value)==0{

Thêm vào y các ph n t có giá tr value^k v i k = ầ ử ị ớ 0,𝑗 − 𝑖; }

else{

Tính s = sum(a*b) v i a,b tu n t trong y và arr[j:]; ớ ầ ự

Thêm vào y các ph n t có giá trầ ử ị -s/f(value)*value^k v i k = ớ 0,𝑗 − 𝑖; }

}

}

y = y.reverse(); //Vector riêng của ma trận Frobenius

y = C*y; //Vector riêng c a ma tr n Aủ ậ

Thêm vào eigenvector vector y vừa tìm được;

}

//Thu được danh sách eigenvector các vector riêng ng v i tr riêng trong ứ ớ ịeigenvalue

VD2: Tìm tr êng và vector riêng cị ri ủa ma tr n sauậ

VD3: Tìm tr êng và vector riêng cị ri ủa ma tr n sau ậ

Và thu được k t qu ế ả