báo cáo giải tích số tìm giá trị riêng trội giá trị riêng trội tiếp theo

ĐỀ TÀI: TÌM GIÁ TR RIÊNG TR I & Ị ỘGIÁ TRỊ RIÊNG TRỘI TIẾP THEO GV hướng dẫn: TS... Với phương pháp Danilepski và phương pháp A.N.Cơrưlôp là nh ng ữ phương pháp tìm trị riêng đúng nếu ng

1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ÚNG DỤNG VÀ TIN HỌC

o0o

BÁO CÁO GIẢI TÍCH S Ố

ĐỀ TÀI :

TÌM GIÁ TR RIÊNG TR I & Ị Ộ

GIÁ TRỊ RIÊNG TR ỘI TIẾ P THEO

GV hướng dẫn: TS HÀ TH NGOC YẾN Ị

Nhóm sinh viên thực hiện:

HÀ NỘI, 4/2021

2

LỜI NÓI Đ UẦ

Vecto riêng và giá trị riêng có vai trò nổi bật trong vi c phân tích các biệ ến đổi tuy n ế tính Trong tiếng Anh, giá tr ị riêng và vecto riêng tương ứng được gọi là eigenvalue và eigenvector Ban đầu được sử dụng để nghiên cứu các trục chính của sự quay của các vật rắn, giá tr riêng và vecto riêng ngày càng có nhi u ng d ng, ví d : trong phân tích n ị ề ứ ụ ụ ổ định, phân tích rung động, lí thuyết orbital nguyên tử, nghiên cứu băng hà trong địa chất,

hệ số lây nhiễm cơ bản, và công ngh nh n di n khuôn mệ ậ ệ ặt

Với phương pháp Danilepski và phương pháp A.N.Cơrưlôp là nh ng ữ phương pháp tìm trị riêng đúng (nếu nghiệm của phương trình đặc trưng được giải đúng) Với những phương trình đặc trưng giải nghiệm gần đúng thì ta chỉ được giá trị riêng gần đúng Sau khi tìm hi u và nghiên c u ể ứ nhóm chúng em xin trình bày phương pháp lũy thừ đểa tìm tr ị riêng gần đúng Bài báo cáo dưới đây của bọn em g m hai ph n: Lí thuy t và Thu t toán ồ ầ ế ậ

áp dụng phương pháp lũy thừa để tìm giá trị riêng trội và phương pháp xuống thang để tìm các giá trị riêng ti p theo ế

Do khả năng viết thuật toán và chương trình của nhóm em còn kém nên không thể ạ t o

ra được một chương trình tìm giá trị riêng trội và giá tr riêng trội tiếp theo một cách hoàn ị chỉnh, nên mong cô góp ý cho bọn em ạ

Chúng em xin cảm ơn cô Hà Thị Ngọc Yến đã có những hướng d n, góp ý trong quá ẫ trình tiến hành bài nghiên c u này ứ

Nhóm sinh viên th c hi n ự ệ

3

2

MỤC LỤC:

I Nội dung lí thuyết 4

1 Trị riêng, vecto riêng 4

1.1 Định nghĩa 4

1.2 Tính chất 4

2 Giá trị riêng trội 4

3 Phương pháp lũy thừa tìm GTR trội 4

3.1 Trường hợp 1: trị riêng trội |𝝀𝟏| > |𝝀𝟐| 5

3.2 Trường hợp 2: |λ1| = |λ2| > |λ3| và λ1 = −λ2 6

3.3 Trường hợp 3: |𝜆1| = |𝜆2| > |𝜆3| và 𝜆1= 𝜆2 7

4 Phương pháp xuống thang tìm GTR trội tiếp theo 9

II Thuật toán và ví 11 dụ 1 Thuật toán 11

1.1 Thuật toán tổng quan 11

1.2 Thuật toán chi tiết 11

2 Ví 13 dụ

4

I Nội dung lí thuyết

1 Trị riêng, vectơ riêng:

1.1 Định nghĩa:

Cho A là ma trận vuông cấp n trên trường số K (K= ℝ ℂ ; ) Số 𝜆 ∈ 𝐾 được gọi là giá tr riêng (gị ọi tắt là tr ị riêng – kí hi u GTR) c a ma tr n A, n u t n t i mệ ủ ậ ế ồ ạ ột vectơ 𝑣 ≠ 0 sao cho: A𝑣 = 𝜆𝑣

Khi đó vectơ 𝑣 được gọi là vectơ riêng của ma trận A ứng v giá tr riêng ới ị 𝜆 1.2 Tính chất:

- Giá trị riêng 𝜆 chính là nghiệm của phương trình det(A- 𝜆I) = 0 được gọi là phương ( trình đặc trưng của ma trận A)

- Một giá trị riêng có thể có nhiều vectơ riêng

- Mỗi vectơ riêng chỉ ứng v i m t giá tr riêng duy nhớ ộ ị ất

- Ma trận A là nghiệm của đa th c đứ ặc trưng của chính nó (trong trường hợp này đa thức đặc trưng được coi là đa thức ma trận, nghĩa là biến số của nó không phải là biến

số thực mà là bi n ma tr n) ế ậ

- Nếu 𝜆 = 0 là giá trị riêng c a ma tr n A thì A không kh ngh ch ủ ậ ả ị Ngược lại, n u mế ọi giá tr riêng cị ủa A đều khác không thì A kh nghả ịch

- Nếu giá tr𝜆là ị riêng c a ma tr n A thì ủ ậ 𝜆𝑘là giá trị riêng của ma tr n ậ 𝐴𝑘

1.3 Một số cách tìm giá tr ị riêng và vector riêng

-Giải phương trình det A − λI = 0( ) tìm các giá trị riêng Ứng với mỗi giá trị riêng λ

ta gi i hả ệ phương trình tuyến tính thu n nhầ ất (A − λI v = 0)

-Sử dụng phương pháp Danhilepski đưa ma trậ A ề ạn v d ng ma trận có phương trình đặc trưng theo công thức để giải và tìm giá trị riêng

-Sử dụng phương pháp luỹ thừa để tính gần đúng giá trị riêng tr i và vector riêng ộ tương ứng

2 Giá trị riêng tr i ộ

Xét ma tr n A= ậ [aij] là ma trận đơn giản, nó là ma tr n mà các ph n t aậ ầ ử ij (i, = 1, 𝑛) j

đều là thực và mỗi tr riêng bội k có đủ k vectơ riêng độc lập tuyến tính ị

Như vậy, giả sử ma trận A cấp n có đủ n trị riêng thực hoặc phức ( đơn hoặc bội ) được đánh số theo module giảm dần:

|𝜆1|≥ |𝜆2|≥ … … … ≥ |𝜆𝑛|

Có các vecto riêng ng vứ ới các giá trị riêng: Avi i iv

Khi đó:|𝜆1|> |𝜆2| ⇒ 𝜆1 là giá trị riêng ội tr

|𝜆1|= |𝜆2| > |𝜆 | ⇒ 𝜆3 1, 𝜆2𝑙à 𝑐á𝑐 á ị 𝑔𝑖 𝑡𝑟 𝑟𝑖ê𝑛𝑔 𝑡𝑟ộ𝑖

3 Phương pháp lũy thừa tìm GTR trội

Sử d ng tính chụ ấ : |𝑞|  <  1  ⇒  𝑞t 𝑛 

𝑛→∞→  0 Xây d ng công th c ự ứ

5

- Xét ma tr n A[a ] là ma tr n vuông c p n, có các ph n t a v i i, j = ậ ij ậ ấ ầ ử ij ớ 1, 𝑛 u là thđề ực

và mỗi trị riêng bội k có đủ k vectơ riêng độ ậc l p tuy n tính ế

- Như vậy, gi s ma tr n A cả ử ậ ấp n có đủ n tr riêng thị ực hoặc phức (đơn hoặc bội) được đánh số theo module giảm dần:

|𝜆1| ≥ |𝜆2| ≥ … … … ≥ |𝜆 |𝑛

- Các vecto riêng tương ứng lần lượt là: 𝑣1, 𝑣2, 𝑣3… 𝑣𝑛 là các vecto độc lập tuyến tính

- Giả ử: có vecto X là tổ ợ s h p tuy n tính các vecto riêng ế

X=

1

n

i i i

a v với ai – Const (I)

Ta chọn vectơ X nào có a 0 và tính dãy: i≠

AX

i i i i i i i

A2X

1

2 1

i i i i i i

A a v a v (VìAvi i iv )

………

AkX = A(A X) k-1

1

n k

i i i i

a v

⇒ A Xkk = a v1 1+

2 1

k n i

i k i i

3.1 Trường hợp 1: trị riêng trội |𝝀𝟏| > |𝝀𝟐|

Giả sử trị riêng c a ma tr n A thủ ậ ỏa mãn điều ki n: ệ

|𝜆1| > 𝜆| 2| ≥ … … … ≥ |𝜆 |𝑛 (*)

• Từ (2) tính:

k

s

A X

lim lim[a v a v ] a v

(Do giả thiết (*) nên khi k→ ∞ thì (𝜆𝑖

𝜆1)𝑘→ 0 với i= 2, 𝑛 ) Hay khi k l n thì đủ ớ : kk 1 1 k 1k kk 1 1 1

1

A(A X) (A X) vecto riêng của 𝜆1là (AkX)

Và: k 1 j

j

(A X)

Ví dụ 1: Tìm tr riêng trị ội của ma tr n A ậ

A =

2 3 3

4 3 5

3 2 9

6

Giải:

Ta chọn vector riêng X bất kì, ở đây lấy X = (1,1,1) t Ta tính được AX, A2X, được viết thành bảng sau:

A X AX A2X A3X A4X A5X A6X

2 3 2 1 7 78 900 10589 125128 1480345

4 3 5 1 12 134 1569 18512 218927 2590563

3 2 9 1 14 171 2041 24207 286654 3393124

Ta thấy:

6

5

j

j

A X

A X

{

1480345

125128≈ 11 8306 ( 𝑗 = 1)

2590563

218927≈ 11 8330 ( 𝑗 = 2)

3393124

286654≈ 11 8370 (𝑗 = 3)

Do đó có thể lấy λ1 ≈ 11.83 và vector riêng là vector A6X Tuy v y các vector riêng khác ậ nhau một hằng s nhân, nên ta ch n vector riêng X = (1; 1.750; 2.991) ố ọ 1 t

Nhận xét: Vậy v i gi thiớ ả ế (*), ta cht ọn vectơ 𝑋 ấ bt kì có 𝑎1 ≠ 0, tính dãy

𝐴𝑋, 𝐴 𝑋, … , 𝐴2 𝑘+1𝑋, tính cho đến khi tỉ số (1) xấp xỉ bằng nhau, 𝑘 đủ lớn, thì tìm được trị riêng trội là 𝜆1 c a ma tr n N u các t sủ ậ 𝐴 ế ỉ ố này không tương đương nhau thì ta chuyển sang trường h p 2 ợ

3.2 Trường hợp 2: |λ1| = λ| 2| > λ| |3 và λ1= −λ2

Giả sử: |𝜆1| = 𝜆| 2| > 𝜆| 3| ≥ ⋯ ≥ 𝜆| |𝑛 và 𝜆1= −𝜆2

Ta có:

AX 1 1 1 2 2 2

3

n

i i i i

𝐴𝑋 = 𝜆1(𝑎1𝑣1− 𝑎2𝑣2) +

3 n

i i i i

a v

1 1 1 2 2

3

i

1 1 1 2 2

3

i i i i

2 2

1 1 2 2

3

k

i

i

A X a v a v a v

7

3

A X

a v a v a v a v a v Vì: khi k và i 1 (i= 3, 𝑛)

2k i 1

0

2

1 1 2 2 2

k

k

A X

a v a v (khi k đủ l n) ớ

A

2 2

2 2

k

j k j

Nhận xét:

Trong quá trình tính các bước lũy thừa liền nhau các tỷ số các thành phần không có xu hướng gần nhau, nhưng ở các bư c cùng chẵn hoặc cùng lẻ các t số có xu hư ng trùng ớ ỉ ớ nhau, t sỉ ố đó được xem là x p x cấ ỉ ủa 𝜆1⇒ ±𝜆1

* Để tìm vecto riêng tương ứng:

Từ: A2n−1X ≈ λ12n−1(a1v1− a2v2)

A2nX ≈ λ12n(a1v1+ a2v2)

⇒ A2kX + λ1A2k−1X ≈ λ12k2a1v1 và A2kX − λ1A2k−1X ≈ λ12k2a2v2 (cộng trừ 2 v ) ế

Hay A A( 2kX + λ1A2k−1X) ≈ λ12k2a1Av1= λ12k2a1λ1v1= λ1(λ12k2a1v1) ≈ λ1(A2kX +

λ A1 2k−1X)

Vậy v ới 𝛌𝟏 thì vecto riêng tương ứ ng là:

v1≈ A2kX + λ1A2k−1X

Còn với 𝛌 = −𝛌𝟐 𝟏thì vecto riêng tương ứng là:

v ≈ A2 2kX − λ A1 2k−1X

3.3 Trường hợp 3: |𝜆1| = 𝜆| 2| > 𝜆| |3 và 𝜆1= 𝜆2

Giả sử: |𝜆1| = 𝜆| 2| > 𝜆| 3| ≥ 𝜆| 4| ≥ ⋯ ≥ |𝜆𝑛| và 𝜆 = 𝜆1 2

Ta có:

𝐴 𝑋𝑘

𝜆𝑘1 = 𝑎1𝑣1+ 𝑎2𝜆2

𝑘

𝜆1𝑘𝑣2+

3 1

k n i

i k i i

a v ; 𝜆1,2= 𝛼 ± 𝑖𝛽

Ta tính: lim

𝑘→∞[

3 1

k

n

i

i k i

i

a v] = 0

⇒ 𝐴𝜆𝑘𝑋

1

𝑘 ≈ 𝑎1𝑣1+ 𝑎2𝜆2

𝑘

𝜆1𝑘𝑣2⇒ 𝐴𝑘𝑋= 𝑎1𝜆1𝑘𝑣1+ 𝑎2𝜆2𝑘𝑣2

⇒ 𝐴𝑛+2𝑋 − 𝜆 + 𝜆(1 2)𝐴𝑛+1𝑋 + 𝜆 𝐴

1𝜆2 𝑛𝑋 = 0 Đặt: 𝜆 + 𝜆 = 𝑝 ; 𝜆1 2 1𝜆2= 𝑞; (1; -p; q) ≠ (0; 0; 0)

𝐴𝑛+2𝑋 − 𝑝𝐴𝑛+1𝑋 + 𝑞𝐴 𝑋 = 0𝑛

8

• 𝜆 , 𝜆1 2 là 2 nghi m cệ ủa phương trình: 𝜆 − 𝑝𝜆+ 𝑞 = 0

• Viết dưới d ng tạ ọa độ : (𝐴𝑛+2𝑋)𝑖− 𝑝 𝐴( 𝑛+1𝑋)𝑖+ 𝑞 𝐴( 𝑛𝑋)𝑖= 0 𝑖 = 1, 𝑛

• Lấy hai tọa độ ấ b t kì, ch ng h n iẳ ạ = 𝑟 , 𝑖 = 𝑠, (𝑟 ≠ 𝑠) ta được hai phương trình và ghép với phương trình (19) được hệ 3 phương trình:

{

𝜆2− 𝑝𝜆 + 𝑞 = 0 (𝐴𝑛+2𝑋)𝑟− 𝑝(𝐴𝑛+1𝑋)𝑟+ 𝑞(𝐴𝑛𝑋)𝑟= 0 (𝐴𝑛+2𝑋)𝑠− 𝑝(𝐴𝑛+1𝑋)𝑠+ 𝑞(𝐴𝑛𝑋)𝑠= 0 𝑣ớ𝑖 3 ẩ𝑛 𝑙à 1, 𝑝, 𝑞

• Hệ trên là hệ thuần nhất nên để có nghiệm khác 0 thì định thức phả ằi b ng 0 𝐷𝑒𝑡 |

(𝐴𝑛+2𝑋)𝑟 (𝐴𝑛+1𝑋)𝑟 (𝐴𝑛𝑋)𝑟

(𝐴𝑛+2𝑋)𝑠 (𝐴𝑛+1𝑋)𝑠 (𝐴𝑛𝑋)𝑠

| = 0

Từ đó ta tính được 𝜆1;2

• Để tìm vecto riêng, ta xét:

𝐴 𝑋 ≈𝑛 𝜆1𝑛𝑎1𝑣1+ 𝜆2𝑛𝑎2𝑣2

=> { 𝐴𝑛+1𝑋 − 𝜆 𝐴 𝑋 ≈ 𝑎1 𝑛 2𝜆2𝑛(𝜆2− 𝜆1)𝑣2

𝐴𝑛+1𝑋 − 𝜆 𝐴 𝑋 ≈ 𝑎 𝜆

2 𝑛 1 1𝑛(𝜆1− 𝜆2)𝑣1

=>{ 𝐴(𝐴𝑛+1𝑋 − 𝜆 𝐴1 𝑛𝑋) ≈ 𝜆2(𝐴𝑛+1𝑋 − 𝜆 𝐴

1 𝑛𝑋) 𝐴(𝐴𝑛+1𝑋 − 𝜆 𝐴 ≈ 𝜆

2 𝑛𝑋) 1(𝐴𝑛+1𝑋 − 𝜆 𝐴

2 𝑛𝑋) Vecto riêng ứng với 𝜆2là(𝐴𝑛+1𝑋 − 𝜆 𝐴

1 𝑛𝑋) Vecto riêng ứng với 𝜆1 là (𝐴𝑛+1𝑋 − 𝜆 𝐴

2 𝑛𝑋)

Ví dụ 2: Tính tr riêng và vector riêng c a ma tr n sau ị ủ ậ

𝐴 =

2 1 1 1

7 5 2 1

1 0 1 0 Giải:

Chọn = (-1,1,0,0) Ta tính A X thành b ng sau: X t m ả

9

Qua bảng này, ta th y r ng các t s (8) và (12) biấ ằ ỉ ố ến đổi khá linh tinh, điều đó chứng t ỏ rằng ma trận A có các trị riêng trội là ph c liên h p ứ ợ 𝜆 𝑣à1 𝜆2= 𝜆1 Chúng là nghiệm của phương trình dạng (19), cụ thể là:

|

1 -29573 -10922

𝑍 78374 201490

𝑍2 −35205 −1396942

| = 0

Hay 𝑍2+ 8, 𝑍 +02 20 05, = 0

Ta tính ra: 𝑍 = −4,01± 1,99𝑖

Vậy 𝜆1= −4,01+ 1, 𝑖 ; 𝜆99 2= −4.01− 1,99𝑖

Sau khi đã tìm ra trị riêng λ1 và λ2, ta có thể tìm các vector riêng tương ứng

Dựa vào (21), ta có

𝐴𝑚+1𝑋 − 𝜆 𝐴

1 𝑚𝑋 ≈ 𝐶2𝜆2 𝑚(𝜆2− 𝜆1)𝑋1

𝐴𝑚+1𝑋 − 𝜆 𝐴 ≈ 𝐶

2 𝑚𝑋 1𝜆1𝑚(𝜆1− 𝜆2)𝑋2

Do đó

𝐴(𝐴𝑚+1𝑋 − 𝜆 𝐴 𝑋) ≈ 𝜆 (𝐴 𝑋 − 𝜆 𝐴

𝐴(𝐴𝑚+1𝑋 − 𝜆 𝐴 𝑋) ≈ 𝜆 (𝐴 𝑋 − 𝜆 𝐴 𝑋)

Vậy 𝐴𝑚+1𝑋 − (−4,01+ 1, 𝑖)𝐴99 𝑚𝑋 là vector riêng ứng vớ λi 2

𝐴𝑚+1𝑋 − (−4,01− 1, 𝑖)𝐴99 𝑚𝑋 là vector riêng ứng vớ λi 1

4 Phương pháp xuống thang tìm GTR trội tiếp theo

Mối quan h giệ ữa trị riêng c a hai ma tr n và : ủ ậ 𝐴 𝐴𝑇

Giả s là tr riêng cử λ ị ủa ma trậ An T Khi đó: det( AT- λI) = 0

Ta có : det( AT- λI) = det( AT- λIT) ( do IT= I)

= det ((A −λI)T)

= det( A − λI) ( do det(A) = det(AT) )

=> 2 ma tr n A và ậ ATcó cùng trị riêng

Tiếp theo, ta đi tìm mối quan hệ giữa các vectơ riêng ứng với các trị riêng khác nhau của

ma tr n A và ậ AT

Đặt vấn đề Giả sử 𝑣: 1 là vectơ riêng của ma trận 𝐴 tương ứng v i giá tr riêng và ớ ị 𝜆1 𝑊1

là vectơ riêng của ma trận 𝐴𝑇tương ứng với giá tr ị riêng 𝜆1

Từ định nghĩa 𝐴𝑣 = 𝜆 𝑣1 1 1 ta viết: (𝐴 −𝜆𝐸)𝑣1= 0

• Ta tạo ma tr n ậ 𝐴1 d ng: ạ 𝐴1= 𝐴 −𝜆1

𝑊1𝑇 𝑣1𝑣1𝑊1𝑇 (**)

Chú ý là 𝑣 𝑊1 1𝑇 là m t ma tr n còn ộ ậ 𝑊1𝑇𝑣1 là một con số Khi nhân hai vế c a biủ ểu thức

(**) với 𝑣1 ta có:

𝐴1𝑣1= 𝐴𝑣1− 𝜆1

𝑊 1𝑇𝑣1𝑣1𝑊1𝑇𝑣1

10

= 𝐴𝑣 − 𝜆 𝑣1 1 1

𝑊1𝑇 𝑣1 = 𝐴𝑣 − 𝜆 𝑣1 1 1= 0

=> 𝐴1 chấp nh n giá tr riêng b ng không ậ ị ằ

Nếu v 2là vec tơ riêng tương ứng với giá trị riêng ,thì khi nhân (**) v2 ới v2 ta có:

𝐴1𝑣2= 𝐴𝑣2− 𝜆1

𝑊 1𝑇𝑣1𝑣1𝑊1𝑇𝑣2 = 𝐴𝑣 − 𝜆 𝑣2 1 1.𝑊1𝑇𝑣2

Theo định nghĩa vì W1 là vectơ riêng của AT 𝜆 𝑊1 1= 𝐴𝑇𝑊1

Chuyển vị ta nhận được: (𝐴 𝑊𝑇

1)𝑇= 𝜆1𝑊1𝑇

Áp dụng tính ch t: ấ (𝐴𝑣)𝑇= 𝑣 𝐴𝑇 𝑇 và (𝐴𝑇)𝑇= 𝐴

=> 𝑊1𝑇𝐴 = 𝜆1𝑊1𝑇

Nhân cả 2 v vế ới 𝑣2=> 𝑊 1𝑇𝐴𝑣2= 𝜆1𝑊1𝑇𝑣2 mà 𝐴𝑣2= 𝜆 𝑣2 2

Nên: 𝑊1𝑇𝜆2𝑣2= 𝑊1𝑇𝜆1𝑣2 ⇒ (𝜆1− 𝜆2)𝑊1𝑇𝑣2= 0

Khi 𝜆 ≠ 𝜆1 2 thì: 𝑊1𝑇𝑣2= 0 thay vào (***) ta có: 𝐴1𝑣2= 𝐴𝑣2= 𝐴𝑣2

Nhận xét:

Như vậy 2 là giá trị riêng lớn nhất của ma trận A1và như vậy có thể áp dụng thuật toán này để tìm các giá trị riêng còn lại của ma trận Các bước tính toán như sau :

- Khi đã có 1 và v1 ta tìm 𝑊1 là vectơ riêng của 𝐴𝑇 ng v i giá tr riêng ứ ớ ị 1 (ví dụ tìm 𝑊1 b ng cách giằ ải phương trình (𝐴 − 𝜆 𝐸)𝑊1𝑇 n theo

1 = 0) Từ đó tính ma trậ 𝐴1 công th c ứ

Tìm giá tr - ị riêng và vec tơ riêng của A1 b ng cách l p luằ ặ ỹ thừa và cứ thế tiế ụp t c và xuống thang (n-1) lần ta tìm đủ n giá trị riêng c a ma tr n A ủ ậ

11

II Thuật toán và h ệ thống ví d ụ

1 Thuật toán

a Nhập ma tr n vuông c p n ậ ấ

b Lặp n lần:

i Khởi t o vector X=(1,1, 1) ạ t

ii Tính các vector A X và ki m tra: m ể

1 Nếu các vector k nhau h i tề ộ ụ, đánh dấu là trường hợp 1

2 Nếu các vector có b c luậ ỹ thừa cùng ch n ho c l h i tẵ ặ ẻ ộ ụ,

3 Nếu từ vector th 10 tr ứ ở đi, 2 trường hợp trên không có dấu hi u tho ệ ả mãn, đánh dấ là trường hợp 4 u iii Xử lý các trường hợp:

iv TH1&2: Đưa ra trị riêng trội và vector tương ứng Tính ma trận mới để tìm tr riêng ti p theo ị ế

v TH3&4: Đưa ra các trị riêng trội và vector riêng tương ứng Thông báo kết thúc chương trình

1.2 Thuật toán chi ti ết:

Trong chương trình, ta sẽ lưu các vector AmX vào các c t c a 1 mộ ủ ảng 2 chi u là ề mảng B Ta có th ể thay vì lưu toàn bộ các vector tính được thì chỉ lưu 1 số lượng

truy c p tu ý n các vector ậ ỳ đế AmX

Đối với phương pháp luỹ thừa, quan tr ng nh t cọ ấ ủa thuật toán là điều ki n d ng vòng ệ ừ lặp tính toán vì vi c tính toán ch g m các phép nhân ma tr n và các công th c có ệ ỉ ồ ậ ứ

vector được lưu trong mảng B:

a Dữ u vào: m ng B, hàng h1, hàng h2, s liệ ả ố n

b Biến tam ≔ |b 1,[ h1]− b[1,h2 ]|

i Nếu (|b[i,h1]− b[i,h2]|)> tam thì tam ≔ b i,| [ h1]− b[i,h2]|

d kiemtra = tam

12

e Nếu kiemtra b, m, m − 1, n( ) ≤ E, thì th= 1, kết thúc vi c tính toánệ

f Nếu kiemtra b, m, m − 2, n ≤ E( ) , thì th = 3, kết thúc vi c tính toánệ

g Nếu kiemtra b, m, m − 1, n − kiemtra b, m − 1, m − 2, n > 0( ) ( ) và

kiemtra b, m, m − 2, n − kiemtra b, m − 1, m − 3, n > 0( ) ( ) và 𝑚 >10 thì th = 4, kết thúc vi c tính toán.ệ

th=3 thì th=4 b i n u tr ở ế ị riêng không rơi vào 3 trường hợp đầu thì s ẽ rơi và trường h p phức) ợ

hội tụ thì hi u c a chúng ph i nh ệ ủ ả ỏ hơn 0, ngược lại tức là không h i t Bi n th dùng ộ ụ ế

h Trường h p 1 và 2: ợ

i Tính thêm 1 vector Am+1X Tính được giá trị riêng trội b ng to ằ ạ độ lớn nh t cấ ủa Am+1X

ii In ra vector riêng là Am+1X

iii Tính ma tr n A mậ ới để tìm tr riêng ti p theo ị ế

i Trường h p 3: ợ

ii Tìm to l n nh t cạ độ ớ ấ ủa Am+2X và AmX

iii Tính được 2 trị riêng trái d u lấ à 2 căn củ ỷ s a t ố giữa 2 to trên ạ độ

iv Tính được 2 vector riêng tương ứng v i các tr riêng theo công thớ ị ức

v Kết thúc chương trình

k Trường h p 4: ợ

i Tính thêm 2 vector Am+1X và Am+2X

ii Thiết lập và giải phương trình (8) để tìm được 2 trị riêng ph c ứ

iv Kết thúc chương trình

2 Ví d : ụ

13

2.1 Tìm giá tr riêng c a ma trị ủ ận:

2 3 2

4 3 5

3 2 9

A

Kết qu in ra màn hình: ả

Đây là trường h p 1: thợ ực, đơn bội 1

Ma tr n A có giá tr riêng trậ ị ội 1 11.835782 và vecto riêng tương ứng

X = (0.436218;0.763408;1)t

2.2 Tìm tr riêng c a ma trị ủ ận:

14

B=

(

2 0 0 0

0 2 0 0

0 0 1 0

0 0 0 0.5)

Ma tr n B có giá tr riêng trậ ị ội 1 2và vecto riêng tương ứng là: X = (1;1;0.000061;0) t

2.3 Tìm tr riêng ma tr n ị ậ