Phương trình vi phân
Để giải bài toán (1.5) với hàm y = y(x), chúng ta cần tìm giá trị y0 tại x = x0 và sử dụng hàm hai biến f(x, y) cùng với các đạo hàm riêng của nó Để tìm nghiệm gần đúng, ta chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với bước chia h.
= − Khi đó, các điểm chia là x 0 = a x , k = x 0 + kh , 0,1,2, , , n k = n x = b
Phương pháp Euler cải tiến là một kỹ thuật giải bài toán vi phân, trong đó giả sử hàm y(x) là nghiệm duy nhất của bài toán Phương pháp này áp dụng cho các hàm có đạo hàm cấp hai liên tục trên đoạn [a, b] Công thức Euler được xây dựng nhằm cải thiện độ chính xác trong việc xấp xỉ nghiệm của phương trình vi phân.
Hình 1.1 Minh họa phương pháp cát tuyến
Nếu thay f x y ( k , k ) trong công th ức (1.6) b ởi ( , ) ( 1 , 1 )
2 k k k k f x y + f x + y + ta được công thức Euler c i ti ả ến ( modified Euler’s method):
= + = − Để đơn giản, ta thay y k + 1 v ph ở ế ải i bở y k − 1 + hf x ( k − 1 , y k − 1 ) , khi đó:
Viết l ại công th c Euler c ứ ả ến: i ti
1.1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn
Ta c n ầ xác đị nh các h s ệ ố A A 1 , , , ; 2 K A n 2 , , , ; 3 K n 21 , 31 , , K n n , − 1 Khai triển Taylor nghiệm y x ( ) tại x k đến b ậc m r i thay ồ x = x k + 1 , ta được:
N ội dung và kết quả có đượ c
Nội dung
A bungee jumper's downward vertical velocity, represented by the equation \( \frac{dv}{dt} = -\frac{g}{m}v - c_d v \), depends on the jumper's mass and the drag coefficient To derive the expression for velocity when the jumper starts from rest, we analyze the system mathematically With given values of gravitational acceleration \( g = 9.8 \, \text{m/s}^2 \), mass \( m = 68.1 \, \text{kg} \), and drag coefficient \( c_d = 0.25 \, \text{kg/m} \), we can compute the jumper's velocity over the first 10 seconds using both the modified Euler’s method and the Runge-Kutta method, with a time step of 1 second Finally, by applying the results from the velocity calculation and employing numerical methods like the bisection and secant methods, we can determine the drag coefficient for a jumper weighing 95 kg.
46 (m/s) v = after 10 seconds of fall until the relative error is less than 5% (Guess the isolated interval containing root)
M ột v ận độ ng viên bungee nh y t m ả ừ ột ng ọn núi với v ận tốc v thẳng đứ ng hướng xuống (xem hình), được mô tả bởi mô hình toán học d v c 2
Trong bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức \( a = -\frac{c_d}{m} v^2 \) để mô tả chuyển động của vận động viên, trong đó \( m \) là khối lượng, \( c_d \) là hệ số cản Đầu tiên, khi vận động viên ở trạng thái nghỉ, chúng ta cần tìm biểu thức trạng thái để mô tả vận tốc Với các thông số \( g = 9.8 \, m/s^2 \), \( m = 68.1 \, kg \), và \( c_d = 0.25 \, kg/m \), chúng ta sẽ tính toán vận tốc của vận động viên trong 10 giây đầu tiên khi nhảy xuống từ đỉnh núi, sử dụng phương pháp Euler cải tiến và phương pháp Runge-Kutta với bước chia \( h = 1 \, s \) Kết quả sẽ được so sánh với giá trị chính xác tìm được từ câu a Tiếp theo, sử dụng kết quả từ câu a, áp dụng phương pháp chia đôi và phương pháp cát tuyến để tìm hệ số cản \( c_d \) cho vận động viên có khối lượng 95 kg và vận tốc 46 m/s sau 10 giây, với yêu cầu sai số tương đối nhỏ hơn 5%.
Kết quả
a) Nhân hai vế c ủa phương trình (1.1 0) v ới d m c , ta được d 2 d d d m v gm c t = c − v Đặt d a gm
Do lúc đầ u, v ận độ ng viên ở trạ ng thái ngh nên ỉ v ( ) 0 = 0 , suy ra C = 0 tanh c d v a a t m
(1.11) b) Giá trị vận tốc chính xác v exact được tính b ng bi u th ằ ể ức (1.11) , v ới g = 9.8,
0.25, 68.1 c d = m = , k ết quả đượ c thể ện ở ột 2 của Bả hi c ng 1.1
Với phương pháp Euler cải tiến, t công th ừ ức (1.7):
Thao tác t ương tự đố ớ i v i các giá tr ị t tiế p theo , ta thu được kế t qu ả ở ộ c t 3 và c ột
5 c ủa Bả ng 1.1 Trong đó, m.Euler 10 49.2271057 v , v m.Euler 10 − v 0.1647634
Với phương pháp Runge-Kutta bậ c b n (RK4), ố áp dụ ng công th ức (1.9):
Thao tác tương tự với các giá trị t còn lại, ta thu đượ c kết quả ở cột 4 và cột 6 của
Bảng 1.1 Trong đó, v RK4 10 49.3909717 và
Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn, mặc dù phức tạp hơn, mang lại giá trị xấp xỉ tốt hơn nhiều so với phương pháp Euler cải tiến, với kết quả chính xác là 0.0008974 Điều này cho thấy ưu điểm vượt trội của phương pháp Runge-Kutta trong việc giải các bài toán vi phân.
Bảng 1.1 trình bày sự so sánh giữa giá trị trượt của một vật thể được tính bằng phương pháp Euler cải tiến và phương pháp Runge-Kutta bậc bốn, với các giá trị chính xác Khi thay các giá trị g = 9.8, m = 95, v = 46, t = 10 vào phương trình (1.11), chúng ta có thể thu được kết quả cụ thể cho bài toán.
Kiểm tra điều ki ện phương trình (1.12) trong đoạ n 0.3, 0.5 :
t v exact v m.Euler v RK4 v m.Euler − v v RK4 − v
Ngoài ra, dùng Maple để ki m tra, ể ta thấ y: f ´ ( ) c d 0 c d 0.3, 0.5 , do đó,
0.3, 0.5 là khoả ng cách ly nghi ệm của phương trình (1.12)
Sai số tương đối của d 1 c là 1 0
Quá trình tính toán tiếp di n v ễ ới các bướ tương tự được thể ệ c hi n trong B ng 1 ả 2 Bảng 1.2 Hệ s c n tính theo ố ả phương pháp chia đôi n a n b n c d n n (%) f c ( ) d n
10 0.4123047 0.4125 0.4124023 0.0236798 0.0019246 Nghiệm th a mãn yêu c u c ỏ ầ ủa đề bài ( n 5% ) là giá tr ị tìm được ở ần chia đôi l thứ 3: c d 3 = 0.4125 , v i sai s ớ ố 3 3.0303030%
Như đã đề cập trong chương 1, hàm f(c) đã thể hiện sự phức tạp đáng kể, cho thấy rằng nó còn phức tạp hơn rất nhiều Do đó, việc tìm nghiệm bằng phương pháp cát tuyến sẽ là một sự thay thế hoàn hảo cho phương pháp Newton.
Bảng 1.3 Hệ s c n ố ả tính theo phương pháp cát tuyế n n c d n n (%) f c ( ) d n
Có thể thấy rằng, do khoảng cách ly nghiệm được chọn là 0.3 và 0.5 với độ dài khá nhỏ, sai số yêu cầu là 5% Điều này dẫn đến việc cần tính toán cẩn thận để đánh giá giá trị chính xác và chưa thể đưa ra nhận xét gì về độ chính xác của các phương pháp đã áp dụng.
Bài toán m r ở ộng
Nội dung
When factors such as food shortages, pollution, and lack of space inhibit growth, the population growth rate can be formulated as
The growth rate of a population can be expressed by the equation \( k_g = k_{gm} \left(1 - \frac{p}{p_{max}}\right) \), where \( k_g \) represents the actual growth rate, \( k_{gm} \) is the maximum growth rate under ideal conditions, \( p \) is the current population, and \( p_{max} \) is the carrying capacity of the environment At low population densities, the growth rate approaches its maximum value, while as the population nears its carrying capacity, the growth rate diminishes towards zero This relationship allows for the modeling of population change over time, represented by the equation \( \frac{dp}{dt} = k_{gm} \left(1 - \frac{p}{p_{max}}\right)p \).
This is referred to as the logistic model The analytical solution to this model is max 0
To simulate the global population from 1950 to 2000, we apply three methods: the analytical solution, the modified Euler’s method, and the fourth-order Runge-Kutta method, each with a 5-year step size The initial population in 1950 is set at 2,560 million, with a growth rate constant (k) of 0.026 per year and a maximum population capacity (p max) of 12,000 million This simulation provides insights into population dynamics over a 50-year period.
Have the function generate output corresponding to the dates for the following measured population data (in million) Establish the table to compare your result along with these data
Kết quả
Kết quả tính toán đượ c th hi n c t ể ệ ở ộ thứ tư c a B ng 1.4 ủ ả b) Phương trình (1.13) được viế ạ t l i thành d 0.026 1 d 12000 p p t p
Phương pháp Euler cải tiến: Áp dụng công th c (1.8): ứ Với t = 0, p m.Euler 0 = 2560 :
Tính toán tương tự với các giá trị t ti ếp theo, ta thu đượ c kết quả ở cột thứ năm
Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn: Áp dụng công th c (1.9): ứ Với t = 0, p RK4 0 = 2560 :
Tính toán tương tự với các giá trị t ti ếp theo, ta thu đượ c kết quả ở cột thứ sáu trong Bảng 1.4
Năm t p real p m.Euler p anal p RK4
Lý thuyết
Trong một tập hợp các điểm \( M_k (x_k, y_k) \) với \( n \) điểm, trong đó có ít nhất hai điểm khác nhau, việc xây dựng một đường cong đi qua tất cả các điểm này là không khả thi Thay vào đó, mục tiêu là tìm một hàm \( f(x) \) đơn giản nhất có thể, nhằm thể hiện tốt nhất hình dáng của tập hợp điểm đã cho.
M k ( , ) x y k k k n = 1 và không nh ất thiết đi ngang qua các điểm đó
Có nhi ều phương pháp để giả i quy t v ế ấn đề trên, và m t trong nh ộ ững phương pháp như vậ là phương pháp bình phương cự y c tiểu (Least Squares)
Dạng c a hàm c ủ ần xác đị nh f(x) ph ụ thuộc vào nhi u y u t Tuy nhiên, các d ề ế ố ạng đơn giản nh ất thườ ng g p trong th ặ ực tế là:
( ) , ( ) 2 , ( ) , ( ) Bx f x = + A Bx f x = + A Bx Cx + f x = Acosx + Bsinx f x = Ae ,… .Nghĩa là để xác đị nh f(x) ta c ần xác đị nh các hệ số A, B, C, từ điều kiện (**) Trườ ng h p ợ f x ( ) = + A Bx Khi đó:
Bài toán quy v vi c tìm c c ti u c a hàm 2 bi n g(A,B) T ề ệ ự ể ủ ế ọa độ điể m d ng c a hàm ừ ủ đượ c xác đ ị nh b i hệ phương trình: ở
Trườ ng h p ợ f x ( ) = Ap x ( ) + Bq x ( ) Khi đó:
Bài toán quy v vi c tìm c c ti u c a hàm 2 bi n ề ệ ự ể ủ ế g ( A , B ) Tọa độ điể m d ng c a hàm ừ ủ đượ c xác đ ị nh b i hệ phương trình: ở
N ội dung và kết quả có đượ c
2.2 Nội dung và k t qu ế ả có được
Enzymes act as catalysts to speed up the rate of chemical reactions in living cells
In most cases, they convert one chemical, the substrate, into another, the product The Michaelis-Menten equation is commonly used to describe such reactions:
= + where v = the initial reaction velocity, v m = the maximum initial reaction velocity,
S = substrate concentration, and k s = a half-saturation constant a) The relationship between S and v is provided in the following table:
To analyze the given data points (S: 1.3, 1.8, 3, 4.5, 6, 8, 9 and v: 0.07, 0.13, 0.22, 0.275, 0.335, 0.35, 0.36), we employ the least squares method to derive the parameters \( m \) and \( k \) by transforming the model into a linear format Additionally, we apply the least squares method to the quadratic model \( v = aS^2 + bS + c \) to estimate the coefficients \( a \), \( b \), and \( c \) Ultimately, we will assess which model—linear or parabolic—provides a superior approximation of the data.
Enzymes đóng vai trò quan trọng trong việc xúc tác và đẩy nhanh tốc độ các phản ứng hóa học diễn ra trong các tế bào sống Chúng thường chuyển đổi một cơ chất thành một sản phẩm cụ thể nào đó Để mô tả các phản ứng này, phương trình Michaelis-Menten thường được sử dụng.
Trong phản ứng hóa học, tốc độ phản ứng ban đầu (v) được xác định bởi các yếu tố như tốc độ phản ứng cực đại (v_m), nồng độ cơ chất (S), và hằng số bán bão hòa (k_s) Mối liên hệ giữa nồng độ cơ chất và tốc độ phản ứng được thể hiện rõ ràng trong bảng số liệu liên quan.
Phương pháp bình phương cự tiểu được sử dụng để xác định các hệ số a, b và c trong mô hình v = aS² + bS + c bằng cách đưa phương trình về dạng tuyến tính Việc này giúp đánh giá mô hình nào, giữa mô hình tuyến tính và mô hình parabol, phù hợp hơn cho việc dự đoán giá trị trong các tình huống cụ thể.
= = = = Đưa phương trình về dạng tuyến tính: Y = BX + A Bảng số liệu được thay th : ế
Áp d ng công th ụ ức bình phương nhỏ nh ất cho trườ ng h p ợ f x ( ) = + A Bx :
0.4084 2.8132 = b) S ử d ng b ng s ụ ả ố liệ u t ừ đề bài và áp d ụng phương pháp bình phương cự c ti ểu cho trườ ng h p ợ f x ( ) = + A Bx Cx + 2
Vậy phương trình vận tốc : v = − 0.0062 S 2 + 0.0987 S − 0.0352
Ta có thể đánh giá hai mô hình trên dự a vào sai s c ố ủa từng trườ ng h p: ợ
Trường h p mô hình tuy n tính: ợ ế
Trườ ng h p mô hình parabol: ợ v S ( ) = − 0.0352 0.0987 – 0.0062 + S S 2
Vì sai s mô hình tuy n tính l ố ế ớn hơn sai số mô hình parabol nên mô hình parabol cho giá trị x p x t ấ ỉ ốt hơn.
Bài toán m r ở ộng
A company conducted a test market for a new soft drink across 10 cities of similar size, analyzing the relationship between the selling price and weekly sales volume The findings indicate how price variations impact consumer purchasing behavior, providing valuable insights for pricing strategies This data-driven approach aims to optimize sales performance and enhance market penetration for the new product.
To determine the demand curve for the company, we need to establish a relationship between price (P) and sales (S) per week, represented by the least squares line S = c1 + c2P We will derive the normal equations to calculate the coefficients c1 and c2 that best fit the provided data Following the analysis of test marketing results, the company aims to set a uniform selling price across the country With a manufacturing cost of $0.23 per unit, the total weekly profit per city can be expressed as S(P - 0.23) Utilizing the least squares approximation, we will identify the optimal selling price that maximizes the company's profit.
b) Ta có công thức tổng lợi nhuận: S(P - 0.23) khi đó, thay S là hàm vừa tìm đượ c
= − là hàm l ợi nhuậ n Tìm giá bán mà l i nhu n c a công ty t ợ ậ ủ ối đa tức là tìm giá trị P cực trị ủ c a L(P)
Vậy công ty bán v ới giá đơn lẻ P = 0.6834 dollars trong các thành ph trên s ố ẽ đạt lợi nhuận t ối đa.
Lý thuyết
3.1.1 Phương pháp Euler cả i ti ế n cho h ệ phương trình vi phân Xét hệ phương trình vi phân: Equation Section 3
• Chia đoạ n [t , t 0 0 + H] thành n đoạ n con b ằng nhau có độ dài h = H/n
• Các điểm chia là t = t k 0 + kh, k = 0, 1, …, n
• Giá trị g ần đúng củ a x(t) , y(t) t ại t k l ần lượ t là x k ≈ x(t k ), y k ≈ y(t k ),
Công thức Euler c ải tiến
3.1.2 Spline b c ba t nhiên ậ ự Định nghĩa:
Cho hàm y=f(x) xác định trên đoạn [a,b] và bảng số
Một spline bậc 3 nội suy hàm f(x) là hàm g(x) th ỏa các điề u ki n sau : ệ i) g(x) có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên [a,b] iii) g(x k ) = yk , k=0,1, …, n
Cách xây d ng spline b ự ậc 3: Đặt h k = x k+1 - x k g k (x) là đa thức bậc 3 nên có thể viết dưới dạng : g k (x) = a k +b k (x-x k )+c k (x-x k ) 2+d k (x-x k ) 3 Các h s a , b , d ệ ố k k k đượ c xác đ ị nh theo các công th ức :
H s c ệ ố k đượ c tính theo công th c: ứ
Phương trình (4) là hệ pt tuyến tính gồm n-1 pt dùng để xác đị nh các hệ số c k
Phương trình (4) có số ẩn = n+1 > số phương trình = n-1 (thiếu 2 phương trình ) nên chưa giả i đư ợc, để giải được ta cần bổ sung thêm 1 số điều kiện
Spline t nhiên là spline v ự ới điề u ki ện: g ”(a) = g”(b) = 0 Giải thuật x ác đị nh spline t nhiên: ự Điều ki ện g”(a)=g”(b) = 0 suy ra c o = c = 0 n
N ội dung và kết quả có đượ c
3.2 Nội dung và k t qu ế ả có được
In biology, the predator-prey model is used to observe the species interaction One model is proposed by Lotka Volterra as: - d d d , d x ax bxy t y cy dxy t
To analyze the dynamics of prey and predator populations over time, we utilize the equations x' = ax - bxy and y' = dxy - cy, where x represents the number of prey and y the number of predators With given parameters a = 1.2, b = 0.6, c = 0.8, and d = 0.3, and initial conditions of x = 2 and y = 1, we apply the modified Euler’s method with a step size of h = 0.625 to determine the populations after 10 months Subsequently, we construct a natural cubic spline for the obtained data of x and y, and plot their graphs on a single figure to visualize the interaction between prey and predator populations over time.
Trong sinh học, mô hình kẻ săn mồi - con mồi được sử dụng để nghiên cứu sự tương tác giữa các loài Mô hình này được đề xuất bởi Lotka-Volterra, thể hiện mối quan hệ động học giữa hai quần thể sinh vật, trong đó bao gồm các yếu tố như tỷ lệ sinh sản và tỷ lệ tử vong của cả kẻ săn mồi và con mồi.
Để nghiên cứu sự tương tác giữa con mồi và động vật săn mồi, ta sử dụng phương trình mô tả sự thay đổi số lượng của hai loài theo thời gian Với các tham số a = 1.2, b = 0.6, c = 0.8, d = 0.3 và điều kiện ban đầu x = 2, y = 1, ta áp dụng phương pháp Euler cải tiến với bước chia h = 0.625 để tính toán số lượng của loài bị săn và loài đi săn sau 10 tháng Sau khi thu thập dữ liệu, chúng ta sẽ xây dựng spline bậc ba để mô phỏng và vẽ đồ thị số lượng x(t) và y(t) trong cùng một hệ tọa độ.
0.625 16. n = h = = d 1.2 0.6 ( ; ; ) d d 0.8 0.3 ( ; ; ) d x ax bxy x xy f x y t t y cy dxy y xy g x y t t
Ta làm tương tự v i các giá tr x, y còn l ớ ị ại tổng h ợp đượ c b ảng: k t x y
Số lượng c a loài b ủ ị săn 1.8974 và loài đi săn 3.6834 sau 10 tháng b) Ta sẽ tính hàm spline c ủa x(t)
16 10.0000 1.8974 Áp dụng công th c trong ứ slides l p ma tr n vuông c p 17 để ậ ậ ấ
Ta áp dụng công th ức: k A k B k C k D k
Thay k; t; a; b; c; d vào hàm bên dưới:
Ta cũng sẽ gi ải tương tự ới hàm y(t): v
0.0000 0.0000 1 0.6250 -0.0891 1.0000 0.6250 0.9443 0.6250 0.2587 2.5000 1.0435 2.0000 1.2500 1.106 0.6250 0.9466 2.5000 2.0635 3.0000 1.8750 1.6976 0.6250 2.1875 2.5000 3.7229 4.0000 2.5000 3.0648 0.6250 1.4744 2.5000 -2.1394 5.0000 3.1250 3.9863 0.6250 -1.1778 2.5000 -7.9565 6.0000 3.7500 3.2502 0.6250 -1.3179 2.5000 -0.4205 7.0000 4.3750 2.4265 0.6250 -1.0533 2.5000 0.7939 8.0000 5.0000 1.7682 0.6250 -0.7328 2.5000 0.9614 9.0000 5.6250 1.3102 0.6250 -0.4546 2.5000 0.8347 10.0000 6.2500 1.0261 0.6250 -0.2091 2.5000 0.7363 11.0000 6.8750 0.8954 0.6250 0.0706 2.5000 0.8390 12.0000 7.5000 0.9395 0.6250 0.5605 2.5000 1.4698 13.0000 8.1250 1.2898 0.6250 1.6565 2.5000 3.2880 14.0000 8.7500 2.3251 0.6250 2.7106 2.5000 3.1622 15.0000 9.3750 4.0192 0.6250 -0.5373 2.5000 -9.7435 16.0000 10.0000 3.6834 Áp dụng công th c trong ứ slides l p ma tr n vuông c p 17 để ậ ậ ấ
Ta áp dụng công th ức: k c k
Thay k; t; a; b; c; d vào hàm bên dưới:
Từ các hàm x và y tìm được ta vẽ đồ thị x(t) và y(t) x y
Bài toán m r ở ộng
Một nghiên cứu đã được thực hiện để khảo sát số lượng cá thể của quần thể rắn, nhằm đánh giá ảnh hưởng của một loại thuốc tiêm Trong quá trình thu thập dữ liệu, máy gặp trục trặc và chỉ thu được 3 lần số liệu đo đạt, như bảng bên dưới Cần vẽ đồ thị thể hiện số lượng loài rắn theo thời gian và áp dụng hàm spline tự nhiên để phân tích.
3.3.2 K ế t qu ả Tìm đa thức spline bậc 3 của hàm k k 1 k h = x + − x ; B k = f x x [ k , k + 1 ] u k = 2( h k + h k − 1 ) v k = 6( B k − B k − 1 ) x (s) 0 2 7 y (nghìn con) 4 6 2
Ta thay các giá trị tìm được vào phương trình
Theo sơ đồ ta thấy số lượng loài có tăng và giảm sau đó nhưng vẫn cao hơn mức ban đầu.
K ết luận
Sử dụng hàm spline để biểu diễn dữ liệu tự nhiên giúp tạo ra đồ thị đường đi chính xác hơn so với việc chỉ nối các điểm bằng đường thẳng Bằng cách cụ thể hóa thông qua các phương trình nối điểm, độ chính xác trong việc vẽ hình sẽ tăng lên khi có nhiều số liệu hơn.