BÁO cáo bài t n môn h c ập lớ ọ PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHỦ 3

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC PHƯƠNG PHÁP TÍNH CHỦ ĐỀ LỚP: L07 – NHĨM: 17 – HK211 GVHD: TS NGUYỄN ĐÌNH DƯƠNG STT MSSV 2012813 2013184 2013322 2013868 1814485 TP HỒ CHÍ MINH, NĂM 2021 30 BẢNG PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ VÀ THEO DÕI TIẾN ĐỘ LÀM VIỆC NHĨM STT MSSV Nhiệm vụ phân Điểm cơng BTL Họ tên 2012813 Đinh Thái Nhật Duy Giải + thuyết trình 2013184 Đồn Minh Hiển Bài + code + slides + thuyết trình 2013322 Nguyễn Thái Huy Bài + code + code + slides + tổng hợp + thuyết trình 2013868 Lý Gia Nghĩa 1814485 Nguyễn Đức Trọng – Lý thuyết + slides 30 Ký tên PROBLEM 1.1 Lý thuyết 1.1.1 1.1.2 Nội dung kết có 1.2 1.2.1 1.2.2 1.3 Bài toán mở rộng 1.3.1 1.3.2 1.4 Kết luận PROBLEM 2.1 Lý thuyết 2.2 Nội dung kết có 2.2.1 2.2.2 2.3 Bài toán mở rộng 2.3.1 2.3.2 2.4 Kết luận PROBLEM 3.1 Lý thuyết 3.1.1 3.1.2 Nội dung kết có 3.2 3.2.1 3.2.2 3.3 Bài toán mở rộng 3.3.1 3.3.2 3.4 Kết luận TÀI LIỆU THAM KHẢO 30 PROBLEM 1.1 Lý thuyết Cho f ( x) hàm số liên tục đoạn a , b thỏa mãn f ( a ) f (b ) Khi đó, tồn giá trị p nằm a b cho f ( p) = Giả sử giá trị p nhất, ta gọi a , b khoảng cách ly nghiệm phương trình f ( x ) = Gọi x * nghiệm gần nghiệm p a, b ta có cơng thức đánh giá sai số tổng quátEquation Chapter Section x* − p f´( x*) , m 1.1.1 Phương trình phi tuyến 1.1.1.1 Phương pháp chia đôi Nội dung: Kiểm tra giá trị hàm điểm khoảng c chắn nghiệm phương trình nằm a, c có độ dài nửa đoạn a, b ban đầu Ngược lại, f ( c) f ( b) ta có điều tương tự đoạn c , b Lặp lại bước giúp định vị ngày xác vị trí nghiệm phương trình Đây gọi phương pháp chia đơi (the bisection method) Công thức đánh giá sai số: Giả sử sau n lần chia đơi, ta tìm đoạn an ,bn nghiệm gần điểm khoảng x xác nhất, ta có cơng thức đánh giá sai số: −p x b − a 2n +1 n 30 1.1.1.2 Phương pháp cát tuyến Ở phương pháp Newton (Newton’s method hay Newton-Raphson method), từ điểm có hồnh độ x −1 đồ thị đường cong y = f n ( x ) , ta kẻ tiếp tuyến với đường cong Hoành độ giao điểm tiếp tuyến với trục hoành xn Ta dễ dàng viết phương trình tiếp tuyến: y=f ´( xn−1 )( x − xn− ) + f ( xn−1 ) Cho y = 0, x = xn ta thu công thức xác định xn , cơng thức lặp phương pháp Newton: x =x − n−1 n Đây công thức tiếng sử dụng rộng rãi việc giải vấn đề tìm nghiệm Tuy nhiên, có điểm yếu, phải biết giá trị đạo hàm f lần xấp xỉ Đôi khi, việc tìm f ´( x) khó khăn khơng thuận tiện cần nhiều kỹ thuật tính tốn Với trường hợp này, ta tính gần đạo hàm công thức f ´( xn ) đó, phương trình (1.3) viết lại thành công thức lặp sau: =x x n−1 n Kỹ thuật gọi phương pháp cát tuyến (the secant method) (xem Hình 1.1) Xuất phát từ hai giá trị gần ban đầu p0 , p1 , giá trị p2 giao điểm trục x với đường thẳng qua hai điểm ( p , f ( p0 )) ( p1, f ( p1 )) Giá trị p3 điểm trục x với đường thẳng qua hai điểm giao ( p1, f ( p1) ) ( p2 , f ( p2 )) , tương tự với giá trị xấp xỉ 30 Hình 1.1 Minh họa phương pháp cát tuyến Khi muốn đánh giá sai số nghiệm gần tìm được, ta dùng cơng thức ước lượng sai số tổng quát (1.1) 1.1.2 Phương trình vi phân Cho toán Cauchy: y ´( x ) = f y ( x ) = y0 với y = y ( x) hàm cần tìm, khả vi đoạn a , b , y0 giá trị ban đầu cho trước y ( x) x = x0 , f ( x , y ) hàm hai biến liên tục với đạo hàm riêng Để tìm nghiệm gần tốn (1.5), ta chia đoạn nhỏ với bước chia h = b − a a , b thành n đoạn Khi đó, điểm chia x n k = 0,1, 2, , n, xn = b 1.1.2.1 Phương pháp Euler cải tiến Giả sử y ( x) nghiệm tốn (1.5), có đạo hàm cấp hai liên tục a, b Ta xây dựng công thức Euler (Euler’s method) sau: y( xk +1 ) yk +1 = yk + hf ( xk , yk ), k = 0,1,2, , n −1 30 Nếu thay f ( x k, y k ) xk +1 công thức Euler cải tiến (modified Euler’s method): y ( xk +1 ) f x , y + f k ) yhfk +1 =x yk, +y h ( k ( k k )) , ) ( x k +1 , y + k k = 0,1,2, , n− Viết lại công thức Euler cải tiến: K (1.7) K y (x ) k+1 1.1.2.2 Phương pháp Runge-Kutta bậc bốn (1.8) y k +1 k K k K K k M K n k Ta cần xác định hệ số A1, A2, K, An; 2, 3, K, n; Taylor nghiệm y K nk − −1 ) n , n−1 Khai triển ) hm m! 30 Trong trường hợp m = n = , ta có cơng thức Runge-Kutta bậc bốn (FourthOrder Runge-Kutta method – RK4): y k+ k K k K = hf k K = hf x k k K = hf (xk + h , y k + K3 1.2 Nội dung kết có 1.2.1 Nội dung A bungee jumper jumps from a mountain with the downward vertical velocity v described by the mathematical model: dv =g− dt c d v2 (see the picture), where m is the m mass of jumper and cd is called drag coefficient a) Suppose that the jumper is initial at rest, find analytically the expression of v b) Let g = 9.8 (m/s 2), m = 68.1 (kg), cd = 0.25 (kg/m) and the jumper is initial at rest, establish the table to compute the velocity of the jumper for the first 10 seconds with step size h =1 (s) by using modified Euler’s and Runge-Kutta method Compare the results to the exact values found in a) c) Using the result of a) and the bisection method, the secant method to determine the drag coefficient for a jumper with the weight of 95 (kg) and the velocity v = 46 (m/s) after 10 seconds of fall until the relative error is less than 5% (Guess the isolated interval containing root) Tạm dịch: Một vận động viên bungee nhảy từ núi với vận tốc v thẳng đứng hướng xuống (xem hình), mơ tả mơ hình tốn học đó, dt dv =g− m c d v2 (1.10), 30 Tạm dịch: Trong sinh họ c, mơ hình kẻ săn mồi – mồi dùng để quan sát tương tác lồi Mơ hình đề xuất Lotka-Volterra dx dt dy dt = ax − bxy = − cy + dxy , x , y số lượng mồi động vật săn mồi, a tốc độ tăng trưởng số lượng loài bị săn, c tốc độ chết loài săn, b d theo thứ tự tỷ lệ đặc trưng cho ảnh hưởng tương tác kẻ săn mồi – mồi lên chết mồi tăng trưởng lồi săn mồi, t thời gian tính tháng a) Cho a =1.2, b = 0.6, c = 0.8, d = 0.3 với điều kiện ban đầu x = y = Tìm số lượng loài bị săn loài săn sau 10 tháng phương pháp Euler cải tiến với bước chia h = 0.625 b) Với liệu tìm được, xây dựng spline bậc ba tự nhiên cho x y Vẽ đồ thị x ( t ) , y (t ) hệ tọa độ 3.2.2 Kết a) Ta có: t0 n= 10 = h dx dt dy dt = ax − bxy = 1.2 x − 0.6 xy = f ( x ; y ; t ) = −cy + dxy = − 0.8 y + 0.3xy = g ( x ; y ; t ) Bắt đầu tính tốn (1.2 K1 x = hf ( x ; y ; t ) = h(1.2 x − 0.6 xy) = 0.625 − 0.6 1) = 0.75 K1 y = hg ( x ; y ; t ) = h (− 0.8 y + 0.3xy) = 0.625 (− 0.8 1+ 0.3 1) = − 0.125 K x = hf (t + h ; x + K x ; y + K y ) = h (1.2( x + K 1x ) − 0.6( x + K 1x ) ( y + K 1y )) = 0.625(1.2 (2+ 0.75)− 0.6 (2 + 0.75)(1− 0.125)) =1.1602 K y = hg (t + h ; x + K 1x ; y + K 1y ) = h (− 0.8( y + K 1y )+ 0.3( x + K 1x )(y + K 1y )) = 0.625(−0.8 (1− 0.125)+ 0.3 (2 + 0.75)(1−0.125 )) = 0.0137 28 30 K y = hg (t + h ; x + K = 0.625(−0 1x ;y0+K 1y ) = h (− 0.8( y + K 1y ) + 0.3(x + K 1x )(y + K 1y )) (1− 0.125 )+0.3 (2 + 0.75 )(1 − 0.125 )) = 0137 x=x + (K y=y+ Ta làm tương tự với giá trị x, y lại tổng hợp bảng: Số lượng loài bị săn 1.8974 loài săn 3.6834 sau 10 tháng b) Ta tính hàm spline x(t) hk = t k +1 − tk ; Bk = f [ t k , ; t k + 1]; u k = 2( hk + hk − 1); k t 0.0000 0.6250 1.2500 1.8750 2.5000 30 vk ' = 3( Bk −Bk −1) (K 10 11 12 13 14 15 16 Áp dụng công thức slides để lập ma trậ n vuông cấp 17 Thay số A= 30 30 Ta Giải ck Ta áp dụng công thức: k 30 10 11 12 13 14 15 16 Thay k; t; a; b; c; d vào hàm bên dưới: x k (t ) = a k + bk (t − t k ) + ck (t − t k ) + d k (t − tk )3 x (t ) = 2.0000 + 1.3831(t − 0.0000) + 0.0000(t − 0.0000) + 0.3714( t −0.0000)3 t 0.0000;0.6250 x1 (t ) = 2.9551 + 1.8163 (t − 0.6250 ) + 0.9640 (t − 0.6250 ) + −0.1856 (t −0.6250)3 t 0.6250;1.2500 x (t ) = 4.3170 + 2.4689(t −1.2500) + 3484(t −1.2500) + −1.4706( t −1.2500)3 t 1.2500;1.8750 x (t ) = 5.6371 + 1.1811(t − 1.8750 ) + −2.4090 (t −1.8750 ) + −0.96 (t −1.8750 ) t 1.8750;2.5000 x (t ) = 5.1999 + −2.9553 (t −2.5000 ) + −4.2090 (t −2.5000 ) +4.0011 (t −2.5000 ) t 2.5000;3.1250 x (t ) = 2.6855 + −3.5273 (t − 3.1250 ) + 3.2930 (t − 3.1250 ) + −1.3879 (t −3.1250 ) t 3.1250 ;3.7500 x (t ) = 1.4284 + −1.0377 (t − 3.7500) + 0.6907 (t − 3.7500 ) + −0.1091(t −3.7500) t 3.7500;4.3750 x (t ) = 1.0230 + −0.302 (t − 4.3750 ) +0.4861( t − 4.3750 ) + −0.1275 ( t −4.3750)3 t 4.3750;5.0000 x (t ) = 0.9930 + 0.1562 (t − 5.0000 ) + 0.2471 (t − 5.0000 ) + 0.0337 (t −5.0000 )3 t 5.0000;5.6250 x (t ) =1.1954 + 0.5045 (t −5.6250 ) +0.3103 (t − 5.6250 ) + 0.0598 (t −5.6250 )3 t 5.6250; 6.2500 x10 (t ) = 1.6465 + 0.9626 (t − 6.2500 ) + 0.4224 (t −6.2500 ) +0.1117 ( t −6.2500) t 6.2500;6.8750 32 30 x11( t ) = 2.4404 + 1.6214( t − 6.8750) + 0.6319( t − 6.8750) + −0.0632( t −6.8750) t 6.8750;7.5000 x12 (t ) = 3.6852 + 2.3374 (t − 7.5000 ) + 0.5135 (t − 7.5000 ) + −0.3181(t −7.5000)3 t 7.5000;8.1250 x13 (t ) = 5.2690 + 2.573 (t − 8.1250 ) + −0.083 0( t − 8.1250) + −3.1653( t − 8.1250) t 8.1250;8.7500 x14 (t ) = 6.0719 + − 1.3746(t − 8.7500 ) + −6.0179 (t −8.7500 ) + 4.2217 (t −8.7500)3 t 8.7500;9.3750 x15 (t ) = 3.8927 + −3.9832(t − 9.3750) + 1.8978(t − 9.3750) + −1.0122 (t −9.3750) t 9.3750;10.0000 Ta giải tương tự với hàm y(t): hk = t k +1 − tk ; Bk = f [ t k ; t k +1 ]; u k = 2( hk + hk−1 ); vk ' = 3( Bk − Bk−1 ) k 0.0000 1.0000 2.0000 3.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 8.0000 9.0000 10.0000 11.0000 12.0000 13.0000 14.0000 15.0000 16.0000 Áp dụng công thức slides để lập ma trận vuông cấp 17 33 30 Thay số A= Ta ck ck k Ta áp dụng công thức: 0.00000.0000 1.00000.3250 2.00000.3688 3.00001.5027 4.0000 -0.4236 5.0000 -3.2312 6.00000.6182 7.00000.0851 8.00000.3115 9.00000.2075 10.0000 0.1941 11.0000 0.1941 12.0000 0.3719 13.0000 0.6699 14.0000 2.2098 15.0000 -4.4498 16.0000 0.0000 34 30 k 10 11 12 13 14 15 16 Thay k; t; a; b; c; d vào hàm bên dưới: y k (t ) = a k + bk (t − tk ) + ck (t − tk )2 + d k (t − tk )3 y (t ) = 1.0000 + −0.1568 (t − 0.0000 ) + 0.0000 (t − 0.0000 ) + 0.1733 (t −0.0000)3 t 0.0000;0.6250 y1 (t ) = 0.9443 + 0.0465 (t − 0.6250 ) + 0.3250 (t − 0.6250 )2 + 0.0234 (t −0.6250 )3 t 0.6250;1.2500 y (t ) = 1.1060 + 0.4798 (t −1.2500 ) +0 3688(t −1.2500) + 0.6047( t −1.2500)3 t 1.2500;1.8750 y ( t ) = 1.6976 +1.6496 ( t −1.8750 ) +1.5027 ( t −1.8750 ) + −1.0274 ( t −1.8750) t 1.8750;2.5000 y (t ) = 3.0648 + 2.3241(t − 2.5000 ) + − 0.4236 (t − 2.5000 ) + −1.4974 (t − 2.5000)3 t 2.5000;3 1250 y (t ) = 3.9863 + 0.0398 (t − 3.1250 ) + −3.2312 (t − 3.1250 )2 + 2.0530 (t −3.1250)3 t 3.1250;3.7500 y (t ) = 3.2502 + −1.5932 (t − 3.7500 ) + 0.6182 (t − 3.7500 ) + −0.2843(t −3.7500)3 t 3.7500;4.3750 35 Ak 1.0000 0.9443 1.1060 1.6976 3.0648 3.9863 3.2502 2.4265 1.7682 1.3102 1.0261 0.8954 0.9395 1.2898 2.3251 4.0192 3.6834 30 y (t ) = 2.4265 + −1.1536 (t − 4.3750 ) + 0.0851 (t − 4.3750 ) + 0.1207 (t −4.3750 )3 t 4.3750;5.0000 y8 ( t ) = 1.7682 + −0.9058( t − 5.0000) + 0.3115( t −5.0000) + −0.0555 ( t −5.0000)3 t 5.0000;5.6250 y (t ) = 1.3102 + −0.5815 (t −5.6250 ) +0.2075 (t − 5.6250 ) + −0.0071(t −5.6250)3 t 5.6250;6.2500 y10( t) = 1.0261 + −0.3304( t − 6.2500) + 0.1941( t − 6.2500 ) + 0.0000( t −6.2500) t 6.2500;6.8750 y11( t ) = 0.8954 + −0.0878( t − 6.8750 ) + 0.1941( t − 6.8750 ) +0.0948 ( t −6.8750) t 6.8750;7.5000 y12( t) = 0.9395 + 0.2660( t − 7.5000) + 0.3719( t − 7.5000) + 0.1589( t − 7.5000) t 7.5000;8.1250 y13( t) = 1.2898 + 0.9170 ( t − 8.1250 ) + 0.6699( t − 8.1250) + 0.8213( t −8.1250) t 8.1250;8.7500 y14( t) = 2.3251 + 2.7169( t − 8.7500) + 2.2098 (t −8.7500 )2 + −3.5518 (t −8.7500)3 t 8.7500;9.3750 y15( t) = 4.0192 + 1.3168( t − 9.3750) + − 4.4498( t − 9.3750) + 2.3732( t − 9.3750) t 9.3750;10.0000 Từ hàm x y tìm ta vẽ đồ thị x(t) y(t) 36 30 x y 3.3 Bài toán mở rộng 3.3.1 Nội dung Một trại nghiên u số lượng cá thể quần thể rắn tiêm loại thuốc xem xét ảnh hưởng tới quần thể Tuy nhiên thời gian đo đạt máy gặp trục trặc lấy lần số liệu đo đạt bảng bên Hãy vẽ đồ thị số lượng loài rán theo thời gian áp dụng hàm spline tự nhiên 3.3.2 Kết Tìm đa thức spline bậc hàm h k = xk +1 − xk ; B k = f [x k, xk+1 ] uk = 2( hk + hk −1) vk = 6( Bk − Bk −1 ) 37 30 T h = 2;5 z0 14 z z Ta thay giá trị tìm vào phương trình z g k (x ) = k (x k +1 − x ) + 6hk g (x ) = g1 ( x) = −3 (7 500 Ta hình Theo sơ đồ ta thấy số lượng lồi có tăng giảm sau cao mức ban đầu 3.4 Kết luận Việc sử dụng phương pháp Euler cải tiến giúp ta tính xấp xỉ ẩn cần tìm chúng cách xác Hàm Euler cải tiến sai số có q giá trị 38 30 z k+1 (x − x k ) + ( y để ta sử dụng Dự a vào số liệu có sẵn ta sử a dụ ng hàm spline tự nhiên để vẽ đồ thị đường với số liệu có cách xác so với vẻ đường thẳng nối điểm Cụ thể hóa phương trình nối điểm Càng nhìu số liệu việc vẽ hình xác 39 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Richard L Burden, J Douglas Faires & Annette M Burden (2016) Numerical Analysis (tenth ed.) Cengage Learning, Boston, Massachusetts, USA [2] Steven C Chapra (2012) Applied Numerical Methods with MATLAB® for Engineers and Scientists (third ed.) McGraw-Hill Education, New York, USA [3] Steven C Chapra & Raymond P Canale (2015) Numerical Methods for Engineers (seven ed.) McGraw-Hill Education, New York, USA [4] Timothy Sauer (2012) Numerical Analysis (second ed.) Pearson Education Inc., Boston, Massachusetts, USA [5] Zhonggang Zeng (2016) Introduction to Scientific Computing with Maple Programming Access at bitly.com.vn/co77p0 40 30 ... t? ?nh t? ? ?n cho k? ?t c? ? độ x? ?c cao c? ? q trình t? ?nh t? ? ?n ph? ?c t? ??p Tuy nhi? ?n vi? ?c t? ?nh t? ? ?n th? ?c máy t? ?nh, chí siêu máy t? ?nh với khả th? ?c l? ?n đ? ?n 10 triệu t? ?? phép t? ?nh giây q trình t? ?nh t? ? ?n c? ? ph? ?c t? ??p... M? ?c dù phương pháp chia đơi trơng dễ dàng th? ?c th? ?c t? ??, ta phải th? ?c nhiều bư? ?c t? ?nh t? ? ?n mà phương pháp lại c? ? t? ? ?c độ h? ??i t? ?? nghiệm chậm so với phương pháp c? ?t tuy? ?n Qua đó, ta thấy phương pháp. .. Sử dụng phương pháp bình phương c? ? ?c tiểu để x? ?c định vm , ks c? ?ch đưa phương trình dạng tuy? ?n t? ?nh b) Cho mơ h? ?nh v = aS + bS + c, tiếp t? ? ?c dùng phương pháp bình phương c? ? ?c tiểu để x? ?c định a