bài tập chương 1 đại cương về phương pháp tính

DAICUGNG VE PHUONG PHAPTINH-CHUONG 1 Chuẩn tắc = chuẩn tắc suy rộng Trước tiên ta có nhận xét sau: - Néu h =0 va zo = 0 thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc.. Dưới đây

Trang 2

Lời giải:

(1) Xây dựng Sơ đồ tính P(a) với a € R:

Xót dãy số {b,}¿_g„ cho bởi công thức:

bo = ao

bp = la — h(n — k)|bp a + ak Khi đó:

P(a) = bn

That vay:

Tit cong thitc xay dung day s6 {b,},_qq ta cé:

Dn, = aby—1 aby—1 = ala — h)b„—1

Trang 3

DAICUGNG VE PHUONG PHAPTINH-CHUONG 1

(2)

bạ — 1

bị ¬

(17 — 9+3) x (—16) + 2 — 162 (17 — 92) x 162 + (—7) — —169

(17 — 9 * 1) * (—169) + (—1) = —1353

= ( )a(- (

Trang 4

return (poly[0]) else:

return(b(n-1)*x + poly{n]) poly = [2, -6, 2, -1]

Trang 5

Cho vi du minh hoa thuật toán với n = 4,5

Viết Code Python thực thi các thuật toán

Lời giải:

Trước tiên ta có nhận xét sau:

- Néu h =0 va zo = 0 thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc

- Nếu hb =0 thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chuẩn tắc

- Nếu h — 1 thì dạng chuẩn tắc suy rộng trở thành dạng chính tắc suy rộng

Do đó, ta chỉ cần tìm hiểu bài toán chuyển đổi từ dạng chuẩn tắc suy rộng này sang dạng chuẩn tắc suy rộng khác Từ đó, ta có thể chuyển đổi qua lại giữa bốn dạng chính tắc, chuẩn tắc, chính tắc suy rộng và chuẩn tắc suy rộng

0.3.1 Cơ sở lý luận

Mệnh đề 0.3.1 Cho zọ,h e Ñ* và đa thức P{z) e IR„|z| có bậc không vượt quá ø

Khi đó hệ đa thức: {( — zg)l°"Ì ;j = ont lập thành cơ sở của R,,[x] Tur đó có duy nhất bộ số thực (zo,m, ,a„) sao cho P(z) = Sy"_g ai (@ — 0)" Wa ER

Tức là dạng chuẩn tắc suy rộng tâm zø bước nhảy b của P(z) tồn tại và duy nhất

Chứngminh

Ta cd tai i= On} là một cơ sở của R,,[z], do dé dim R,,[z] =n +1

Hệ {¿ — ag)" = on} c6 n+1 phan ti nén ta chỉ cần chứng minh hệ nay độc lập tuyến tính trong IR„jz] thì nó sẽ là cơ sở của IR„jz]

Giả sử tồn tại các số thực kọ, kị, , k„ sao cho: Ð 2` 4 kj (x — zọ) 5" — 0,Vz€ R

Trang 6

Cho x = x trong đẳng thức trên ta được ko = 0, dang thitc dude viét lai thanh

Định lí 0.3.2 (PhépchiaEuclide) Cho cac da thite P(x), S(z) € Riz], S(x) 4 0

Khi đó tồn tại duy nhất các đa thức Q(z), R(x) sao cho: P(x) = $(x)Q(x) + R(x), với

deg R(x) < deg S(z)

Cac đa thức Q(x), R(x) duce gọi tương ứng là thương và du trong phép chia P(x) cho

Dinh li 0.3.3 (Dinhly Bezout) Cho da thire P(x) € Riz], c € R Du cua phép chia P(x) cho x —c la gid tri cua da thite P(x) tai c

Chimg minh.Khi chia da thitc da thitc P(x) cho x —« ta duoc du hoac bang 0 hoặc là đa thức bậc 0 nên P{z) = (z — 6): Q(z) +r,recR

Trang 7

Trang 8

0.3.2 Thuật toán

Cho đa thức dạng chuẩn tắc suy rộng:

P(x) = an (x — x9)" + +a (x — xạ) Ì + + ago, h € R

Ta biển dién P(x) vé dang chuẩn tắc suy rộng sau:

P(x) = bạ (& — go) + + bị (e — te) + + bạ; gọ,k € TR,

Để thực hiện được việc chuyển dạng này ta cần xác định các hệ số bj(j = 0,7) Day 86 {bọ, ,bạ„ 4} là các số dư được sinh ra do thực hiện liên tiếp các phép chia

Tu đó ta nêu ra thuật toán để giải quyết bài toán như sau:

- Tên thuật toán:

mh] +a; (v— xp) Hl +

MAL +b (x — Hà

Chuyén da thitc dang chuan tac suy rong P(x) = an (x — xo)!

+ag;zo, h € IR về dạng chuẩn tắc suy rộng P(z) = bn (7 — yo)!

+Ủg;1o,k R

- Input: n,a;( n

- Output: b;(4 = 0,n)

- Giải thuật toán:

+ Bước 1 Xác định n,a;(i = 0;n), x0, yo, A, k

-+ Bước 2 Tính các giá trị như bảng sau:

0; 7), £0, yo, h, k

Trang 9

đạ~1

ma = Yo — Xọ — (n — 1)h n-1 =VYo t+ k— Xp

—(n—2)h

= + 1=Vot2k—Xy

—(n—3)h `

=ÿyạ†+(n- 1L)k — i= at

Xuất bọ = bh, by = b?, bo = b8, , Baa = BM 4, dn = Độ,

+ Buée 3 Két luan P(x) = by (x — yo)! + + bị (œ — go) + + bại go, kER

0.3.3 Ap dung thuật toán giải bài tập 1.3

Chuyển đỗi các đathứctừdạngchuântắcsangđạngchínhtắc

Vi du 0.3.6 (n = 4) Cho P(x) = (# — 1)4 — (w — 1)3 + (z — 1)2 — (z— 1) +1 Chuyển

đa thức về dang P(x) = S74_, bia"

Giai Bước 1 Xác định: ø = 4,d4 = 1,43 = —l,ag = 1a, =—-llag= lr =lh=O0,y=

—1 1| -4

Trang 10

Dưới đây là đoạn code được sử dụng trong Python để tìm giá trị các b; (ñle I.py)

BA main.py

1+ def hornersr(a, x, h, y, k):

Za = = [5, -10, 10, -5, 1]

#hàm chuyên đôi từ dạng chuân tắc suy rộng này

1, -1) Đ[11 = Đ[1] + (y + J*K - X - (1-1)®h) * Đ[1+1]

bn]

2

#sang dạng chuân tác suy rộng khác

4 #a = [a0 al an]: ma Cran các hê số đa thức

5 #x, h- Tam va buec nhảy cũ

6 #y, k: tâm và bước nhảy mới

7 _ 8 #n là bậc đa thức

9 n = len(a)-1 1( b = a[:] #b là dãy copy của a

11

12 #thuật toán 13~ for j in range(0, n):

Buéc 1 Xaéc dinh: n = 5,a5 = lag =

Trang 11

Buéc 3 Két luan P(x) = 2° — 6x4 + 1523 — 20x? + 152 — 6

Dưới đây là đoạn code được sử dụng trong Python để tìm giá trị các b; (ñle 2.py)

1+ fet hornersr(a, x, h, y, k) [-6, 15, -20, 15, -6, 1]

2 #ham chuyén đỗi từ dạng chuẫn tắc suy rộng này

#sang dạng chuan tac suy rộng khác

4 #a = [a0 a an]: ma trận các hệ số đa thức

5 #x, h: tâm và bước nhảy cũ

0,k—1

Bước 2 Tính b; (¿ — 0,4) Ta có bang sau

Nhóm2 7

Trang 13

i+ def hornersr(a, x, h, y, k): (1, 0, 5, 5, 1]

) #hàm chuyên đổi từ dạng chuẩn tắc suy rộng này >

#sang dạng chuân tác suy rộng khác

3

4 #a - [a0 al an]: ma trận các hệ sô đa thức

Bước 3 Két luan P(x) = 2! + 9el4l + 2028) + 10x?! + alll — 1

Nhóm2 9

Trang 14

3 #sang dang chuan tac suy róng khác

4 #a = [a0 al an]: ma trận các hệ sô đa thức

b #x, h: tâm và bước nháy co

Trang 15

det hornersr(a, x, h, y, k): [1, -1, 1, -1, 1]

#hàm chuyên đỏi từ dạng chuẩn tắc suy rộng này > |

#sang dang chuan tac suy réng khac

#a = [a0 al an]: ma trận các hệ sô đa thức

#x, h: tâm và bước nhảy cũ

#y, k: tâm và bước nhảy mới

Trang 16

1+ def hornersr(a, x, h, y, k): [-1, 1, -1, 1, -1, 1]

2 #hàm chuyên đôi từ dạng chuân tắc suy rộng nà

3 #sang dạng chuan tac suy rộng khác

4 #a = [a0 al an]: ma trận các hệ sỏ đa thức

6 #y, k: Tam va bước nhảy mới

14« for i in range(n - 1, j - 1, -1):

= 15 b[i] = bi] + (y + j*k - x - (i-j)*h) * bit]

16 #két qua tra vé 1a b = [bO b1 bn]

Trang 17

Buéc 3 Két ludn P(x) = (a + 4)!*?! — 5(@ + 4)187] + 35(a + 4)2?7) — 155(+ + 4)? + 341,

Dưới đây là đoạn code được sử dụng trong Python để tìm giá trị cdc b; (file 7.py)

Trang 18

ee main.py za She

1+ def hornersr(a, x, h, y, k): (341, -155, 35, -5, 1]

2 #hàm chuyên đói từ dạng chuán tắc Suy rộng này > |

#Sang dang chuan tac suy rong knac

#a = [a0 al an]: ma trận các hệ số đa thức

#x, h: tân và bước nhảy cũ

#y, k: tam va bước nhảy mới

Trang 19

1x def hornersr(a, x, h, y, k): [-1365, 651, -155, 25, -1, 1]

2 #hàm chuyên doi tir dang chuan tac suy rộng này >

3 #sang dang chuan tac suy rộng khác

Trang 20

Bước 3 Kết luận P(z) — 24-23 +2? -—a2 + 1

1x def hornersr(a, x, h, y, k) [1, -1, 1, -1, 1]

#ham chuyên đỗi từ dạng chuẩn tắc suy rộng này >

#sang dang chuan tac suy rộng khác

4 #a = [a0 al an]: ma trận các hệ số đa thức

5 #x, h: tâm và bước nhảy co

6 #y, k: tâm và bước nhảy

14+ for i in range(n - 1, j - 1, -1)

= 15 b[i] = bli] + (y + j*k - x - (i-j)*h) * b[i+1]

16 #kêt quả trả về là b = [bO b1 bn]

Giải Bước 1 Xác định: œ = 5,øs = l, d4 = —l, øạ = 25, øa = —155,øị = 651, ao = —1365, z =

~4,h=9,u=0,k=0

Bước 2 Tính b; (¡ =0,5) Ta có bảng sau

Trang 21

2 #hàm chuyển đổi từ dạng chuẩn tắc suy rộng này >

3 #sang dạng chuan tac suy rộng khác

4 #a = [a0 al an]: ma trận các hệ số đa thức

5 #x, h: tâm và bước nhảy Cũ

6 #y, k: tâm và bước nháy mới

Chuyển đỗi các đathứctừdạngchuântắc sangđạngchuẩntắc suy rộng vàngược lại

Tirdang chuantacsang dang chuantacsuyréng

Vi du 0.3.16 (n = 4) Cho P(x) = (# — 1)4 — (x — 1)8 + (a — 1)? — (z— 1) +1 Chuyên

đa thức về dạng P(x) = an bj(a — 2) 161,

Nhom2 17

Trang 22

Giải Bước 1 Xác định: ø = 4,a4 = 1,daạ = —l,øaạ = l,øị = —l,dọ = 1l, =l,h =0, =

Trang 23

det hornersr(a, x, h, y, k): tle 65 Ue USn

#nam chuyén déi tử dạng chuẩn tắc suy rộng này

#sang dạng chuân tặc suy rộng khác

#a = [a0 al an]: ma trận các hệ số đa thức

#x, h: tâm và bước nhảy cũ

#y, k: tâm Và bươc nhảy mo1

#n là bậc đa thức

n - len(a)-1

b = a[:] #b là dãy copy của a

#thuật Toán for j in range(0, n) for i in range(n - 1, j 1, -1):

b[i] = b[i] ~ (y ~ j*k - x - (i-j)*h) * b[i+1]

#kèt quả trả về là b = [b0 b1 bn]

return(b)

a = |Ữ, -†1, 1, -1, 1Ì x=1

h=0 y=2 print(hornersr(a, x, h, y, k)) x

Chuyên đa thức về dang P(x) = 3>°_, bi(a — 2) 171

Bước 1 Xác định: ø = 5,as = 1,ø+ = —l,dạ = l,øạ = —l,ứi = l,øo =T—l,z—=l,h=

Trang 24

Dưới đây là đoạn code được sử dụng trong Python để tìm giá trị các bạ

x def hornersr(a, x, h, y, k):

#ham chuyên đôi từ dang chuan tac suy rong nay

#sang dạng chuân tắc suy rộng khác

#x rh

ty,

#n la bac da len(a)-1

b = a[:] #b la day copy

n

#thuật toán

k

= [a0 al an]: ma trận các hệ sô đa thức

tâm và bước nhảy cũ tâm và bước nhảy mới thức

Chuyén da thire vé dang P(x) = ~*

Buéc 1 X4c dinh: n = 4,a4 = lag = 15,a2 = 50,4, = 30,a9 = 1x = 2,h = 2,y

(x— 2) 4) 445(2— 2)81+50(2— 2)? +30(2— 2) H+ 1

4

Nhóm2 20

Trang 25

Bước 3 Kết luận P(z) — 24-23 +2? -—a2 + 1

1x def hornersr(a, x, h, y, k) (1, -1, 1, -1, 1]

2 #ham chuyén đỗi từ dạng chuẩn tac suy rộng nay > |

3 #sang dang chuan tac ng khác

4 #a = [a0 al an]: ma tran cdc hé sé da thức

6 #y, k và bước nhảy mới

Vi du 0.3.19 (n = 5) Cho P(x) = (x — 2)! + 24(a — 2)47] + 155(@ — 2)8! + 280(a2 —

2)Í2?l + 91(z — 2)Í!?l, Chuyén da thire vé dang P(r) = SD, bi(x — 1)! ¡=0 Di

Giải Bước 1 Xác định: ø = 5,øs = 1,44 = 24,a3 = 155, a2 = 280,a, = 91,a9 =0,2 =l1,h=

0, —=2,k= 2

Bước 2 Tính ủ; (¡—= 0,5) Ta có bằng sau

Trang 26

1+ def hornersr(a, x, hn, y, k): [-1, 1, -1, 1, -1, 1]

#ham chuyén doi tw dang chuan tac suy rộng này

3 #sang dang chuan tac suy réng khac

4 #a = [a0 al an]: ma tran cdc hệ só đa thức

Vi dụ 0.3.20 (n = 4) Cho P(x) = (x — 1)4 — (ew — 1)8 + (z— 1)? — (z — 1) +1 Chuyên

da thire vé dang P(x) = an ball,

Trang 27

Giải Bước 1 Xác định: ø = 4,a4 = 1,daạ = —l,øaạ = l,øị = —l,dọ = 1l, =l,h =0, =

0, —1

Bước 2 Tính b; (¡=0,4) Th có bảng sau

=1

Bước 3 Kết luận 7(z) = z#! + zl + 2z) — acl + 5

Trang 28

B main.py Zn Shell

1+ def hornersr(a, x, h, y, k): [5, -4, 2, 1, 1]

2 #hàm chuyên đổi từ dạng chuẩn tắc suy rộng này > |

Bì #sang dạng chuẩn tắc suy rộng khác

4 #a = [a0 al an]: ma tran các hệ số đa thức

5 #x, h: tâm và bước nhây co

Giải Bước 1 Xác định: ø = 5,as = 1,ø+ = —l,dạ = l,øạ = —l,ứi = l,øo =T—l,z—=l,h=

Trang 29

Dưới đây là đoạn code được sử dụng trong Python để tìm giá trị các b;(file 16.py)

1+ def hornersr(a, x, h, y, k): [-6, 5, -2, 4, 4, 1]

2 #hàm chuyên đổi từ dang chuân tác suy réng nay >

3 #sang dạng chuân tặc suy rộng khác

0

Bước 2 Tính b; (¡ = 0,4) Ta có bảng sau

1l 1

—2 1|1|_—I

—1

Trang 30

Bước 3 Kết luận P(z) — 24-23 +2? -—a2 + 1

Dưới đây là đoạn code được sử dụng trong Python để tìm giá trị các b;(file 17.py)

1~ def hornersr(a, x, h, y, k) (1, -1, 1, -1, 1]

2 #hàm chuyên đôi từ dạng chuân tắc suy rộng này > |

3 #sang dang chuan tac suy réng khdc

4 #a = [a0 al an]: ma tran các hệ sô đa thức

5 #x, h: tâm và bước nhảy Cũ

Vi du 0.3.23 (n = 5) Cho P(x) = (4-1)? (x-1)*+(e—- 1)? = (@-1)? + (e@- I 1

Chuyén da thire vé dang P(r) = an bail,

Giải Bước 1 Xác định: ø = 5,as = 1,ø+ = —l,dạ = l,øạ = —l,ứi = l,øo =T—l,z—=l,h=

0,—0,k— 1

Bước 2 Tính ủ; (¡— 0,5) Ta có bằng sau

Tiêu đề	Đại cương về phương pháp tính
Người hướng dẫn	Phạm Duy Khỏnh, PTS. Nhúm
Trường học	Trường Đại học Sư Phạm Tp.HCM
Chuyên ngành	Toán - Tin
Thể loại	Bài tập
Năm xuất bản	2022
Thành phố	TP.HCM

Định dạng
Số trang	56
Dung lượng	6,69 MB