c3 b2 he thuc luong trong tam giac

Công thức tính diện tích tam giácCho tam giác có là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh ; là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác; là bán kính đường tròn nội tiếp tam g

§2 – HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Ⓐ Tóm tắt kiến thức

❸  Công thức tính diện tích tam giác

Cho tam giác có

là độ dài đường cao lần lượt tương ứng với các cạnh ; là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác;

là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác

là nửa chu vi tam giác; là diện tích tam giác Khi đó ta có:

.

.

.

Câu 1. Cho tam giác có Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b)c)d)

Câu 2. Cho tam giác có các cạnh Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b)c)d)

Câu 3. Cho tam giác biết Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b)c)d)

Câu 4. Cho tam giác biết Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)

Ⓑ Trắc nghiệm Đ/S

Câu 5. Cho tam giác có các cạnh Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b)c)d)

Câu 6. Cho tam giác có Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b) Góc vuông khi và chỉ khi ;c) Góc nhọn khi và chỉ khi ;

d) Góc tù khi và chỉ khi .

Câu 7. Cho tam giác biết các cạnh Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b)c)

Câu 8. Cho tam giác với và Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b)c)d)

Câu 9. Cho tam giác biết cạnh Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b)c)d)

Câu 10. Cho tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7,9 và 12 Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b)c)d)

Câu 11. Cho có và Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b

Câu 12. Cho tam giác , biết Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b)c)d)

Câu 13. Cho có , diện tích Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b)c)d)

Câu 14. Cho tam giác Các mệnh đề sau đúng hay sai?

a)b)c)d)

Câu 15. Cho có Các mệnh đề sau đúng hay sai?

Mệnh đềĐúng Saia)

b)c)d)

LỜI GIẢI THAM KHẢO

Thí sinh ghi dấu X vào cột được chọn tương ứng với mệnh đề bên trái

Câu 1. Cho tam giác có Khi đó:a)

b) c) d)

Lời giải

Áp dụng định lí cosin trong tam giác, ta có: hay

Lời giải

a) Saib) Đúngc) Đúngd) Sai

Ta có Áp dụng công thức Heron ta có:

Áp dụng công thức tính diện tích , suy ra

Câu 6. Cho tam giác có Khi đó:

a) b) Góc vuông khi và chỉ khi ;b) Góc nhọn khi và chỉ khi ;c) Góc tù khi và chỉ khi

Lời giải

a) Áp dụng định lí côsin trong tam giác , ta có: b) Góc vuông khi và chỉ khi ;

Câu 7. Cho tam giác biết các cạnh Khi đó:a)

b)

c) d)

Ta có:

Câu 9. Cho tam giác biết cạnh Khi đó:a)

b) c) d)

Lời giải

Giả sử:

Theo công thức Hê-rông, ta có:

Câu 11. Cho có và Khi đó:

a) b) c) d)

c) d)

Lời giải

Trả lời:………

Lời giải

Áp dụng định lí côsin cho tam giác ta có:

Vậy độ dài dây điện nối từ nhà ra cột điện dài 28,62 m

Câu 2. Để đo đường kính một hồ hình tròn, người ta làm như sau: Lấy ba điểm như hình vẽ,

Vậy đường kính của hồ nước khoảng

Câu 3. Để đo chiều cao của một cột cờ trên đỉnh một toà nhà anh Bắc đã làm như sau: Anh đứng trênmột đài quan sát có tầm quan sát cao so với mặt đất, khi quan sát anh đo được góc quan sát chân cột là và góc quan sát đỉnh cột là , khoảng cách từ chân toà nhà đến vị trí quan sát là Tính chiều cao cột cờ và chiều cao của toà nhà

Trong tam giác ta có:

Lại có góc , áp dụng định lí cosin trong tam giác , ta có:

Vậy chiều cao của cột cờ khoảng 6,34 m.

Câu 4. Cho hình bình hành có và Tính độ dài đường chéo

Câu 6. Từ một miếng bìa hình tròn, bạn Nam cắt ra một hình tam giác có độ dài các cạnh

(Hình) Tính bán kính của miếng bìa ban đầu (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị theo đơn vị xăng-ti-mét)

Câu 8. Từ một tấm bìa hình tròn, bạn Thảo cắt ra một hình tam giác có các cạnh , và

(Hình) Tính độ dài cạnh và bán kính của miềng bìa (làm tròn kết quả đến hàng phần mươii theo đơn vị xăng-ti-mét)

Lời giải

Giả sử sau (giờ) tàu thứ nhất ở vị trí , tàu thứ hai ở vị trí và khoảng cách (hải lí).Ta có: (hải lí); (hải lí) Áp dụng định lí côsin, ta có:

.Vậy sau 3,8 giờ thì khoảng cách giữa hai tàu là 60 hải lí.

Câu 10. Cho tam giác có Hãy tính độ dài đường trung tuyến của tam giác đã cho.?

Vậy tháp hải đăng có chiều cao xấp xỉ

Câu 12. Biết hai lực cùng tác động vào một vật tạo với nhau góc Cường độ của hai lực đó là và Tính cường độ của lực tổng hợp?

Vậy độ lớn của lực tổng hợp tác động vào vật là xấp xỉ

Câu 13. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện , trong đó là độ dài trung tuyến tam giác kẻ từ là các cạnh của tam giác Khi đó tam giác là tam giác gì?

Lời giải

Vậy tam giác vuông tại

Câu 14. Cho tam giác thỏa mãn điều kiện Khi đó tam giác là tam giác gì?

Câu 15. Cho tam giác có và đường trung tuyến Tính độ dài cạnh ?

Lời giải

Ta có:

Câu 16. Cho tam giác cân có và Lấy điểm trên cạnh sao cho

Xét

Câu 18. Một cái cây dạng thẳng đứng bị gió mạnh làm gãy không hoàn toàn (hai đoạn thân bị gãy vẫn dính liền nhau như hình vẽ) Một người muốn đo chiều cao của cây trước khi gãy, người ấy đó được

dài của cây trước khi bị gãy (giả sử sự biến dạng lúc gãy không ảnh hưởng đến tổng độ dài của cây)?

Lời giải

Theo định lí sin: ;

.Vậy chiều cao ban đầu của cây xấp xỉ bằng

Câu 19. Cho tam giác thỏa mãn , trong đó là ba cạnh, là chiều cao ứng với cạnh của tam giác và là nửa chu vi tam giác đó Tam giác là tam giác gì?

Lời giải

Ta có:

Câu 20. Cho có Kéo dài một đoạn Tính độ dài

Lời giải

Vì nên vuông tại hay

Câu 21. Cho hình thoi có cạnh bằng Góc Tính diện tích hình thoi

Câu 24. Muốn đo chiều cao của tháp chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận người ta lấy hai điểm và trên mặt đất có khoảng cách cùng thẳng hàng với chân của tháp để đặt hai giác kế Chân của giác kế có chiều cao Gọi là đỉnh tháp và hai điểm cùng thẳng hàng với

Câu 25. Cho có Tính chiều cao của

Lời giải

Câu 27. Cho tam giác nhọn có và diện tích Tính bán kính của đường trònngoại tiếp tam giác đó

Với là kí hiệu diện tích tam giác ta có

Câu 29. Trên ngọn đồi có một cái tháp cao (hình vẽ) Đỉnh tháp và chân tháp lần lượt nhìn điểm ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng và so với phương thẳng đứng Tính chiều cao của ngọn đồi

Lời giải

Câu 30. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc Tàu thứ nhất chạy với tốc độ , tàu thứ hai chạy với tốc độ Hỏi sau 3 giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu km?

Lời giải

Quãng đường tàu thứ hai đi được là

với là vị trí tàu thứ nhất chạy đến sau 3 giờ, nghĩa là là vị trí tàu thứ hai chạy đến sau 3 giờ, nghĩa là

Câu 31. Thành phố Hải Đông dự định xây dựng một trạm nước sạch để cung cấp cho hai khu dân cư và Trạm nước sạch đặt tại vị trí trên bờ sông Biết , khoảng cách từ và đến

và Tìm giá trị nhỏ nhất của

Lời giải

Gọi đối xứng với qua là trung của

Câu 32. Tam giác có Tính cạnh

Lời giải

Câu 33. Tam giác có ba cạnh lần lượt là Tính độ dài đường cao ứng với cạnh lớn nhất

Lời giải

Đặt Nửa chu vi của tam giác là: Diện tích của tam giác là:

Câu 34. Tam giác vuông cân tại và nội tiếp trong đường tròn tâm bán kính Gọi là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác Tính tỉ số

Câu 38. Hình bình hành có một cạnh là 4 hai đường chéo là 6 và 8 Tính độ dài cạnh kề với cạnh có độ dài bằng 4

Lời giải

Suy ra (do tam giác nhọn).

Câu 41. Cho tam giác nhọn thỏa mãn Tính số đo góc

Lời giải

Câu 42. Cho tam giác có góc , góc Tính

Lời giải

Câu 43. Hai chiếc tàu thuyền cùng xuất phát từ một vị trí , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau góc Tàu chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ Tàu chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ Sau hai giờ, haitàu cách nhau bao nhiêu hải lí?

Trả lời:………

Lời giải

Sau 2 giờ tàu đi được 40 hải lí, tàu đi được 30 hải lí

Áp dụng định lí cô-sin vào tam giác , ta có:

Vậy sau 2 giờ hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí

Câu 44. Để đo khoảng cách từ một điểm trên bờ sông đến gốc cây trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm cùng ở trên bờ với sao cho từ và có thể nhìn thấy điểm Ta đo được

bao nhiêu mét?

Trả lời:………

Lời giải

Áp dụng định lí sin vào tam giác ta có

Câu 45. Từ vị trí người ta quan sát một cây cao (hình vẽ) Biết , Tính chiều cao của cây?

Câu 46. Giả sử là chiều cao của tháp trong đó là chân tháp Chọn hai điểm , trên mặt

Trong tam giác vuông , có

Câu 47. Trên nóc một tòa nhà có một cột ăngten cao Từ vị trí quan sát cao so với mặt đất,có thể nhìn thấy đỉnh và chân của cột ăng-ten dưới góc và so với phương nằm ngang Tính chiều cao của tòa nhà?

Lời giải

Từ hình vẽ, suy ra và

Áp dụng định lí sin trong tam giác , ta có

Câu 48. Xác định chiều cao của một tháp mà không cần lên đỉnh của tháp Đặt kế giác thẳng đứng

khi ngắm theo thanh ta nhìn thấy đỉnh của tháp Đọc trên giác kế số đo của góc Tính chiều cao của ngọn tháp?

Lời giải

Tam giác vuông tại , có

Vậy chiều cao của ngọn tháp là

Câu 49. Từ hai vị trí và của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh của ngọn núi Biết rằng độ

nằm ngang góc Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất là bao nhiêu mét?

Lời giải

Từ giả thiết, ta suy ra tam giác có và Khi đó

Theo định lí sin, ta có

Gọi là khoảng cách từ đến mặt đất

Câu 50. Giả sử chúng ta cần đo chiều cao của một cái tháp với là chân tháp, là đỉnh tháp

cao của tháp?

Trả lời:………

Lời giải

Vậy chiều cao của thấp xấp xỉ

Câu 1: Cho có , , Tính diện tích tam giác

Lời giảiⒹ Câu hỏi trắc nghiệm

Diện tích tam giác là

Câu 2: Cho có ; ; Diện tích của tam giác là

Lời giảiChọn B

Câu 3: Cho tam giác có , , Diện tích tam giác bằng

Lời giảiChọn C

Câu 4: Cho có , , Diện tích của tam giác là

Lời giảiChọn C

Câu 5: Tam giác có độ dài ba cạnh lần lượt là , , có diện tích bằng:

A B C D

Lời giảiChọn B

Nửa chu vi của tam giác đã cho là

Câu 6: Khoảng cách từ đến không thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm lầy.Người ta xác định được một điểm mà từ đó có thể nhìn được và dưới một góc

Lời giảiChọn C

Câu 7: Khoảng cách từ đến không thể đo trực tiếp được vì phải đi qua một đầm lầy.Người ta xác định một điểm mà từ đó có thể nhìn được và dưới một góc Biết rằng , Khoảng cách bằng bao nhiêu?

A B C D

Lời giảiChọn A

Áp dụng đinh lí Côsin ta có:

Vậy

Câu 9: Trên ngọn đồi có một cái tháp cao (hình vẽ) Đỉnh tháp và chân tháp lần lượt nhìn điểm ở chân đồi dưới các góc tương ứng bằng và so với phươngthẳng đứng Tính chiều cao của ngọn đồi

Lời giảiChọn B

Câu 10: Cho tam giác có ba cạnh Tính côsin góc

Lời giảiChọn A

Áp dụng định lí côsin trong tam giác ta có

Câu 11: Cho tam giác có ; ; Số đo góc bằng

Lời giảiChọn C

Câu 14: Cho tam giác có , và Độ dài cạnh bằng?

Lời giảiChọn B

Áp dụng định lý cosin trong tam giác , ta có:

Câu 18: Tam giác có , , Độ dài cạnh bằng bao nhiêu?

Lời giảiChọn D

Câu 19: Cho có , góc Khi đó độ dài cạnh là:

A B C D

Lời giảiChọn D

Lời giảiChọn A

Lời giảiChọn A

Ta có

222 62 72 52 5cos

bcaA

Áp dụng định lí cô-sin cho tam giác ta có

Mặt khác theo giả thiết

Do đó ta được

Câu 26: Cho tam giác có , , Khi đó độ dài cạnh bằng

Lời giảiChọn D

Theo định lý côsin:

Câu 28: Trong tam giác có , , Khi đó độ dài cạnh là

Lời giảiChọn D

Câu 31: Tam giác đều cạnh nội tiếp trong đường tròn bán kính bằng

Lời giảiChọn B

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh :

Câu 32: Cho tam giác có góc , góc Tính

Lời giảiChọn C

Ta có

Câu 35: Cho tam giác có Tính độ dài cạnh ?

Lời giảiChọn C

Áp dụng định lý hàm số sin ta có:

Câu 36: Cho tam giác nhọn có và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là Tính số đo góc

Lời giảiChọn C

Suy ra (do tam giác nhọn)

Câu 37: Cho có Độ dài gần nhất với kết quả nào?

Lời giảiChọn A

Chọn B

Câu 39: Cho tam giác nhọn có và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là Tính số đo góc

Lời giảiChọn C

Suy ra (do tam giác nhọn)

Câu 40: Cho có , Bán kính đường tròn ngoại tiếp là

Lời giảiChọn D

Câu 41: Cho tam giác nhọn thỏa mãn Tính số đo góc

Lời giải

Câu 44: Cho có và góc Bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng

Lời giảiChọn D

Theo định lí sin trong tam giác ta có:

Câu 46: Cho tam giác có và Tính chu vi tam giác đó

Lời giảiChọn A

Theo định lý sin trong tam giác ta tính được Chu vi tam giác là

Câu 47: Cho tam giác thỏa mãn hệ thức Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Lời giảiChọn B

A

Theo công thức tính độ dài đường trung tuyến;ta có:

A

Câu 56: Trong khi khai quật một ngôi mộ cổ, các nhà khảo cổ học đã tìm được một chiếcđĩa cổ hình tròn bị vỡ, các nhà khảo cổ muốn khôi phục lại hình dạng chiếc đĩa này Để

xác định bán kính của chiếc đĩa, các nhà khảo cổ lấy 3 điểm trên chiếc đĩa và tiến hành đo đạc thu được kết quả như hình vẽ ( cm;cm; cm) Bán kính của

chiếc đĩa này bằng

A B 6,01cm. C 5,85cm. D 4,57cm.

Lời giải

Bán kính của chiếc đĩa bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác

Ta có

Áp dụng định lý sin trong tam giác ABD ta có:

Tam giác BCD vuông tại C nên có:

Gọi lần lượt là độ dài cạnh đối diện góc

( do tam giác vuông cân)

Câu 59: Từ một đỉnh tháp chiều cao , người ta nhìn hai điểm và trên mặt đất dưới các góc và Ba điểm thẳng hàng Tính khoảng cách

Lời giảiChọn B

Câu 60: Từ hai vị trí và của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh của ngọn núi Biết rằng độ cao , phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc , phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc (tham khảo hình vẽ) Ngọn núi đó có độ cao so với mặt đất gần nhất với giá trị nào sau đây?

Lời giảiChọn D

Từ giả thiết, ta suy ra tam giác có , và

Vậy ngọn núi cao khoảng

Câu 61: Từ hai vị trí và của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh của ngọn núi Biết rằng độ cao bằng , phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc Phương nhìn tạo với phương nằm ngang góc Khi đó chiều cao của ngọn núi so với mặt đất (làm tròn đến hàng đơn vị) bằng

Chọn A

Câu 62: Từ hai vị trí của một tòa nhà, người ta quan sát đỉnh của một ngọn núi Biết rằng là điểm nằm phía chân của tòa nhà tiếp xúc với mặt đất, là điểm nằm trênnóc của tòa nhà, phương vuông góc với mặt đất, khoảng cách là 70 , phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc , phương nhìn tạo với phương nằm ngang một góc Hỏi ngọn núi đó cao bao nhiêu mét so với mặt đất (làm tròn đến hàng phần trăm)?

A 143,7(m) B 134,7(m) C 77,77(m) D 126,21(m)

Lời giảiChọn B

Gọi là hình chiếu của trên mặt đất, là hình chiếu của trên Chiều cao của ngọn núi là Xét điều kiện trong thực tế đỉnh núi cao hơn nóc tòa nhà thì và

nằm giữa hai điểm và

Câu 64: Từ vị trí người ta quan sát một cây cao.

Biết , , Khi đó chiều cao của cây (làm tròn đến hàng phầnmười) bằng

Lời giải

C

M

.Áp dụng định lý sin cho tam giác , ta có

.Đặt , khi đó ta được

Suy ra

Vậy chiều cao của cây bằng

Cách 2 (Tính gần đúng chiều cao của cây)

Vì tam giác vuông tại nên ta có

Lời giảiChọn C

Trong 1h, xe 1 đi được quãng đường là Trong 1h, xe 2 đi được quãng đường là

Câu 66: Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ vị trí , đi thẳng theo hai hướng tạo với nhau một góc Tàu thứ nhất chạy với tốc độ , tàu thứ hai chạy với tốc độ

Hỏi sau giờ hai tàu cách nhau bao nhiêu

Lời giảiChọn A

600A

Câu 67: Thành phố Hải Đông dự định xây dựng một trạm nước sạch để cung cấp cho haikhu dân cư và Trạm nước sạch đặt tại vị trí trên bờ sông Biết ,

khoảng cách từ và đến bờ sông lần lượt là , (hình vẽ) Gọi là