Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 các chủ chuyên Đề Được nghiên cứu qua các Đề thi và tổng hợp qua các năm Đảm bảo khả năng sắc xuất rất cao, ôn luyện trọng tâm là con đường ngắn nhất dẫn đến thành công
CHO GIÁ TRỊ CỦA X TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC
Bướ c 1 Đặt điều kiện và chỉ ra giá trị đã cho của x thoả mãn điều kiện
Bướ c 2 Tính x rồi thay giá trị của x, x vào biểu thức đã rút gọn
Bướ c 3 Tính kết quả của biểu thức bằng cách trục hết căn thức ở mẫu và kết luận
Ví d ụ 1 : Tính giá trị của biểu thức x 1
= + − h)x 7 x 10 0− + L ờ i gi ả i Điều kiện x 0,x 4≥ ≠ a)Có x 36= thoả mãn điều kiện.
Khi đó x =6 thay vào P ta được 6 1 7
P=4 khi x 36= b)Có x 6 2 5 ( 5 1)= − = − 2 thoả mãn điều kiện
Khi đó x = 4 thay vào P , ta được 4 1 5
Khi đó 1 x = 3, thay vào P , ta được
Khi đó x = 5, thay vào P ta được 5 1 6
ĐƯA VỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
Bướ c 1: Đặt điều kiện để biểu thức xác định
Bướ c 2: Quy đồng mẫu chung
Bướ c 3: Bỏ mẫu, giải x, đối chiếu điều kiện và kết luận Đưa về phương trình tích
⇔ − = ± ⇔ = − (loại), x = ⇔ = 6 x 36(thỏa mãn điều kiện)
Phương trình có chứa trị tuyệt đối
• f x ( ) = a (với a > 0và a là số cụ thể) thì giải luôn hai trường hợp f x ( ) = ± a
• f x ( ) = g x ( )(với g x ( )là một biểu thức chứa x ):
Cách 1: Xét 2 trường hợp để phá trị tuyệt đối:
Trường hợp 1: Xét f x ( ) ≥ 0thì f x ( ) = f x ( )nên ta được f x ( ) = g x ( ).
Giải và đối chiếu điều kiện f x ( ) ≥ 0
Trường hợp 2: Xét f x ( ) < 0thì f x ( ) = − f x ( )nên ta được − f x ( ) = g x ( ).
Giải và đối chiếu điều kiện f x ( ) < 0
Cách 2: Đặt điều kiện g x ( ) ≥ 0và giải hai trường hợp f x ( ) = ± g x ( )
Cách 1: Ta xét hai trường hợp:
Trường hợp 1: Xét x − ≥ ⇔ ≥ 4 0 x 4 thì x − = − 4 x 4nên ta được:
Trường hợp 2: Xét x − < ⇔ < 4 0 x 4 thì x − = − + 4 x 4nên ta được:
Cách 2: Vì x + > 2 0với mọi x ≥ 0, x ≠ 25nên x− =4 x +2
Cách 1: Ta xét 2 trường hợp:
Trường hợp 1: Xét x− ≥ ⇔3 0 x ≥ ⇔ ≥3 x 9thì x− =3 x−3nên ta được
Trường hợp 2: Xét x− < ⇔3 0 x < ⇔ ), trước hết ta cần giải điều kiện phụ P≥0để P xác định, sau đó mới giải P1 0)⇔ x≥ ⇔ ≥2 x 4(thỏa mãn điều kiện)
Kết hợp điều kiện x≥4, ta được 4≤ 0, hãy so sánh B với 3.
Mà x+ >3 0nên ta được x− >1 0⇔ x >1 ⇔ >x 1 (thoả mãn)
Ví d ụ 4 Cho hai biểu thức 2 1
So sánh giá trị của biểu thức B
Ví dụ 6 Cho biểu thức x 2
= − Khi P xác định, hãy so sánh P và P
TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC
6.1 Dựa vào x≥0 để Tìm giá trị lớn nhất của b ( 0, 0)
Tìm giá trị nhỏ nhất của b ( 0, 0)
+ Bước 1 Đặt điều kiện x≥0 và khử x ở tử để đưa P, Q về dạng trên
Bước 2 Chuyển từng bước từ x ≥0 sang b
Bước 3: Kết luận MaxP = a + b c , MinQ = a b
− c khi x=0 (thỏa mãn điều kiện)
Ví d ụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
= − + Từ đó, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Vậy Min P = −2 khi x=0 (thỏa mãn điều kiện)
Cách 1: (Dùng bất đẳng thức Cô Si)
Vậy MinQ= −4 khi P= −2 hay x=0 (thỏa mãn điều kiện)
Cách 2: (Thay P= −2 được Q= −4 nên ta dự đoán MinQ= −4)
Vậy MinQ= −4 khi P= −2 hay x=0 (thỏa mãn điều kiện)
Ví d ụ 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 6
= + + Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Vậy MaxM=3 khi x=0 (thỏa mãn điều kiện)
Cách 1 (Dùng bất đẳng thức Côsi)
Vậy MinN =7 khi M =3 hay x=0 (thỏa mãn điều kiện)
Cách 2 (Thay M =3 được N =7 nên ta dự đoán MinN =7)
Vậy MinN =7khi M =3 hay x=0 (thỏa mãn điều kiện)
Ví dụ 3 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5
+ Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
= 3 khi x=0 (thỏa mãn điều kiện)
Cách 1 (Dùng bất đẳng thức Cô si)
A=3 hay x=0 (thỏa mãn điều kiện)
A= 3 được B nên ta dự đoán MinB = 11) Xét hiệu 11 3 10 11 3 A 2 11 A 10 3 A 2 5 A 6 A 10
A=3 hay x=0 (thỏa mãn điều kiện)
Ví d ụ 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
= − + Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
MinS = −2 khi x=0 (thỏa mãn điều kiện)
Cách 1 : (Dùng bất đẳng thức Côsi)
S= −2 hay x=0 (thỏa mãn điều kiện)
S= −2 được T = −1 nên ta dự đoán MinT = −1)
S= −2 hay x=0 (thỏa mãn điều kiện)
6.2 Dùng bất đẳng thức Côsi
Bướ c 2: Dựa vào mẫu để thêm bớt hai vế với một số thích hợp
Bướ c 3: Sử dụng bất đẳng thức Côsi a b+ ≥2 ab a,b∀ ≥0 Dấu " "= xảy ra khi a=b
Ví d ụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x x 10
+ (Mẫu là x+2 nên x−3cần cộng thêm 5) Xét A 5 + = ( x + 2 ) + x 16 + 2
+ nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Ví d ụ 2 Cho x>25 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x
Với x>25thì M luôn xác định
nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Vậy MinM = 20 khi x 5 x 5 25 x 5 2 25 x 100( thỏa mãn điều kiện)
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x 3 x
x nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 1 x 9 x
x nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
= + Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =P x+ −x 2 2x−2 x−1.
Ví d ụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C= −B A với 2 3 2
Vậy MinC= −3 khi x=1(thỏa mãn)
≥ ⇒ ≤ chỉ đúng với a và b cùng dương hoặc cùng âm
+ đúng vì x+3 và 3 cùng dương
− − sai vì ta chưa biết x−2 và -2 có cùng âm hay không
*Tìm MaxA: Ta thấy trong hai trường hợp x− >m 0 và x− ⇒m 0 x > ⇒ >m x m 2
*Tìm MinA: Ta thấy trong hai trường hợp x− >m 0và x− 0 rồi kết hợp P∈
• P là số tự nhiên khi { P P ∈ ≥ 0
Bước 1 Giải P∈giống như ví dụ 1
Bước 2: Kẻ bảng để chọn P≥0 hoặc giảiP≥0rồi kết hợp P∈
Ví d ụ 2 : Tìm x ∈ để biểu thức 3
− nhận giá trị nguyên âm
⇒ x là số vô tỷ ⇒ x−3là số vô tỷ
⇒M là số vô tỷ ⇒M∉(loại)
Cách 1: (Kẻ bảng để thử trực tiếp các giá trị) x 0 1 4 16 25 36 81
Từ bảng trên ta được x ∈ { 0;1; 4 }thì M có giá trị là số nguyên âm
Vậy x ∈ { 0;1; 4 } là các giá trị cần tìm
Ví d ụ 3 : Tìm x ∈ để biểu thức 2
= − nhận giá trị là một số tự nhiên
Pnhận giá trị là một số tự nhiên khi { P P ∈ ≥ 0
⇒ x là số vô tỷ ⇒ x−2là số vô tỷ
⇒P là số vô tỷ ⇒ ∉P (loại)
Cách 1: (Kẻ bảng để thử trực tiếp các giá trị) x 0 1 9 16 36
Từ bảng trên ta được x ∈{ 0;9;16;36 }thì M có giá trị là một số tự nhiên
Kết hợp với x∈{0;1;9;16;36} ta được x ∈{ 0;9;16;36 }
Vậy x ∈ { 0;9;16;36 } là các giá trị cần tìm
+ thì khi giải ta vẫn phải xét trường hợp x ∈, x∉ và trường hợp x ∈và x∈
Ví d ụ 4 : Tìm x ∈để biểu thức 2
Trường hợ p 1 : Xét x =2 => F=0∈ => x =2 (thỏa mãn)
⇒ x là số vô tỷ ⇒ x−3là số vô tỷ
Mà x-2 là số nguyên khác 0 nên 2
⇒F là số vô tỷ ⇒ ∉F (loại)
Vậy là các giá trị cần tìm
Bướ c 1 Đặt điều kiện và chặn hai đầu của P:
+ Như vậy ta chặn hai đầu của P là 0 a
Ví dụ 1 Tìm x∈ để các biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên :
Lời giải Điều kiện : x≥0 a)Vì 10>0, 3x+ >0 nên A>0
là giá trị cần tìm b)Vì 5>0, 3 x+ >2 0nên P>0
là các giá trị cần tìm
Chú ý: Với bài toán x∈ để a (a, b, c * , m ) m b x c ± ∈ ∈ ∈
Bước 1: Lập luận: Vì m∈nên a m b x c ± ∈
Bước 2: Giải theo cách chặn 2 đầu của a b x+cnhư ví dụ 1
Ví dụ 2: Tìm m∈để các biểu thức sau có giá trị là số nguyên a) 2 5
Lời giải Điều kiện: x≥0 a) Có 2 2 3 2 2 3 3
là các giá trị cần tìm b) Có 2 5 5
là các giá trị cần tìm
DẠNG 8: TÌ THAM SỐ ĐỂ PHƯƠNG TRÌNH P=m CÓ NGHIỆM
Bướ c 1: Đặt điều kiện để P xác định
Bướ c 3: Dựa vào điều kiện của x để giải m
Ví dụ 1: Cho biểu thức 1
= − + Tìm m để phương trình P=mcó nghiệm
Do x ≥0 nên phương trình đã cho có nghiệm khi 2 1 2 1
− ≤ < là giá trị cần tìm
Ví dụ 2 Cho hai biểu thức 4 ( 1 )
Do x ≥0, x ≠2 nên phương trình đã cho có nghiệm khi 8 2 8 2
Vậy m ∈ { 1;3;4 }là giá trị cần tìm
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ
Bài 1 Rút gọn biểu thức x 2 x 3x 9
Bài 2 Rút gọn biểu thức x 1 2 9 x 3
Bài 3 Rút gọn biểu thức x 2 x 1 1
Bài 4 Rút gọn biểu thức
Bài 5 Tính giá trị của biểu thức x 1
Bài 9 Cho hai biểu thức x 3
Bài 13 Cho hai biểu thức 4
Bài 18 Cho hai biểu thức x 4
= − Tìm x∈ và x lớn nhất để A = −A
Bài 23 Cho hai biểu thức x 1
= − Khi A > 0, hãy so sánh B với 3
Bài 24 Cho hai biểu thức x 1 x 6
Bài 25 Cho hai biểu thức 2 x 1
− So sánh giá trị của biểu thức B
= − Khi P xác định, hãy so sánh P và P
Bài 28 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 2
= − + Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 29 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 x 6
= + + Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 30 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 5
Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 3A 10
Bài 31 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
+ Từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
Bài 32 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x x 10
Bài 33 Cho x > 25 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x
Bài 34 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức x 3
Bài 35 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức x 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T P x x 2 2x 2 x 1= + − − −
Bài 37 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = B – A với 2x 3 x 2
Bài 38 Tìm x∈ để biểu thức 3
− đạt giá trị a) lớn nhất b) nhỏ nhất
Bài 39 Tìm x∈ để biểu thức x 2
− đạt giá trị a) lớn nhất b) nhỏ nhất
Bài 40 Tìm x∈ để biểu thức x
− đạt giá trị a) lớn nhất b) nhỏ nhất
Bài 41 Tìm x∈ để biểu thức 2 x 1
Bài 42 Tìm x∈ để biểu thức x 3
− nhận giá trị nguyên âm
Bài 43 Tìm x∈ để biểu thức 2 x
− nhận giá trị là một số tự nhiên
Bài 44 Tìm x∈ đề biểu thức x 2
Bài 45 Tìm x∈ để các biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên: a 10
Bài 46 Tìm x∈ để các biểu thức sau nhận giá trị là số nguyên: a 2 5
= − + Tìm m để phương trình P=m có nghiệm
Bài 48 Cho hai biểu thức 4( 1)
CHỦ ĐỀ 2 – HỆ PHƯƠNG TRÌNH
I HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ 33 DẠNG 1: HỆ ĐA THỨC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI X VÀ Y 33 DẠNG 2: HỆ CHỨA PHÂN THỨC 34 DẠNG 3: HỆ CHỨA CĂN 36 DẠNG 4: HỆ THỨC CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI 38
II HỆ CHỨA THAM SỐ 40
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ 43
I HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ 43
II HỆ CHỨA THAM SỐ 43
I HỆ KHÔNG CHỨA THAM SỐ
DẠNG 1: HỆ ĐA THỨC BẬC NHẤT ĐỐI VỚI X VÀ Y
Cách gi ả i Rút gọn về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn dạng:
Ví d ụ 1 Giải hệ phương trình: ( )( )
2 5 50 5 2 10 50 x y xy xy x y xy x y xy xy x y xy
Ví d ụ 2 Giải hệ phương trình: 2( 1) 3( ) 15
Ví d ụ 3 Giải hệ phương trình: ( ) ( )
Lời giải Cách 1: (Giải trực tiếp)
Cách 2: Đặt ẩn phụ Đặt: 1
DẠNG 2: HỆ CHỨA PHÂN THỨC
Bướ c 1: Đặt điều kiện cho hệ phương trình
Bướ c 2: Giải bằng cách đặt ẩn phụ hoặc quy đồng giải trực tiếp
Ví d ụ 1 Giải hệ phương trình:
Cách 1: Đặt ẩn phụ Đặt 1 1
= − + hệ phương trình trở thành
(thỏa mãn điều kiện) Vậy (x;y) = (3; – 1)
Ví d ụ 2 Giải hệ phương trình
Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt 1
; y 1 a b x y = + + hệ đã cho trở thành
Ví d ụ 3 Giải hệ phương trình
Trước hết ta khử x , trên tử trong phương trình (2) của hệ
Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt 1 1
1 a; 2 b x = y + + hệ đã cho trở thành
Bướ c 1: Đặt điều kiện xác định của hệ
Bướ c 2: Giải bằng cách đặt hai ẩn phụ cho gọn hoặc giải trực tiếp
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 2 1 3 2 8
Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt x+ =1 a; y− =2 b(điều kiện a ≥ 0 ; b ≥ 0 )hệ đã cho trở thành
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
Cách 1: (Đặt ẩn phụ) Đặt 1 ; y 1
3 4 a b x = + − điều kiện b ≥ 0 hệ đã cho trở thành
(thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (2; 3
(thỏa mãn điều kiện) Vậy (x ; y) = (2; 3
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
Trước hết ta khử x y, ở trên tử trong phương trình sau của hệ:
Cách 1 (Đặt ẩn phụ) Đặt 7
= − + (điều kiện: a>0,b≠0), hệ trở thành
DẠNG 4: HỆ THỨC CHỨA TRỊ TUYỆT ĐỐI
Bướ c 1 Đặt điều kiện xác định của hệ
Bướ c 2 Giải bằng cách đặt hai ẩn phụ cho gọn hoặc giải trực tiếp
Ví dụ 1 Giải hệ phương trình 2 4 1 5
Cách 1 (Đặt ẩn phụ) Đặt a= +x 2 ,b= y−1 (điều kiện: a≥0,b≥0), hệ đã cho trở thành
⇔ − = ⇔ − = ⇔ = = (thỏa mãn điều kiện) Vậy 1 3
Ví dụ 2 Giải hệ phương trình
Lời giải Điều kiện: 0, 9, 1. x≥ x≠ y≠ 2 Do 1 2− y = 2y−1 nên hệ
Cách 1 (Đặt ẩn phụ) Đặt 4 1
= − − (điều kiện: a≠0,b>0), hệ đã cho trở thành
Ví dụ 3 Giải hệ phương trình 2 2 3 9
Đặt a= −x 2; b= y+3 (điều kiện: b≥0), hệ trở thành
Trường hợp 1: Xét a≥0 thì a −2a⇔ −a 2a⇔ = −a 15 (loại)
Trường hợp 2: Xét a ∀ 1) 1 0 m,do đó Phương trình (*) luôn có hai nghiệm x ,x 1 2 phân biệt nên d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt
Do 1∆ = ' nên hai nghiệm của (*) là x = m 1± ⇔x = m - 1, x = m + 1
Vậy m > 1 hoặc m < -1 là giá trị cần tìm
Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = - x 2 và đường thẳng d: y = 2x + m 1.− Tìm mđể d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x :y ), B(x ;y ) 1 1 2 2 mà x y - x y - x x = -4 1 1 2 2 1 2
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
Có ∆ = ' 1 2 −1.(m 1) 2 m− = − d cắt (P) tại hai điểm phân biệt ⇔Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
Theo định lí vi-et ta có: 1 2 1 2 b c x +x = 2, x x m 1 a a
Vậy 7 m=4 là giá trị cần tìm
DẠNG 5: BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỘ DÀI, DIỆN TÍCH
Ghi nhớ m ột số công thức về khoảng cách
- Khoảng cách từ gốc tọa độ đến một điểm
+) Nếu M a b ( ; ) bất kì thì OM = a 2 +b 2
- Khoảng cách giữa hai điểm trên cùng một trục Ox hoặc Oy
+) Nếu A B, ∈Ox (hoặc AB Ox// ) thì AB= x A −x B
+) Nếu M N, ∈Oy (hoặc MN Oy// ) thì MN = y M −y N
- Khoảng cách giữa hai điểm A x ( A ;y A ) (, B x B ;y B ) bất kỳ
(Công thức này cần chứng minh khi sử dụng)
Ví dụ 1: Cho Parabol ( ) P : y = x 2 và đường thẳng d y: =mx+2 a) Chứng minh d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B thuộc hai phía Oy b) Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục hoành Tính độ dài MN theo m và tìm m để S ∆ OAM =S ∆ OBN c) Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục tung Tính độ dài đoạn HK theo m d) Tính độ dài đoạn AB theo m và chứng minh AB≥ m 2 + ∀8 m e) Tính diện tích ∆OAB theo m và tìm m để S ∆ OAB =2m+1 (đvdt) f) Chứng minh với mọi m , ∆OAB không thể vuông tại O
Lời giải a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) P :
Có ∆ = − ( ) m 2 − 4.1 ( ) − = 2 m 2 + > ∀ 8 0 m nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt
Do đó d luôn cắt ( ) P tại hai điểm phân biệt A, B
Theo định lý Viét, ta có A B x x b m
Vì x x A B = − < ⇒2 0 x A , x B trái dấu nên A, B thuộc hai phía Oy
Vậy d luôn cắt ( ) P tại hai điểm A, B thuộc hai phía Oy b) Có
Do ∆OAM, ∆OBN lần lượt vuông tại M , N nên
Vậy m=0 thì S ∆ OAM =S ∆ OBN c) Có HK = y A −y B = x 2 A −x 2 B = ( x A +x B )( x A −x B ) = m x ( A −x B )
= − + = + + ≥ + e) Gọi I là giao điểm của d và Oy ⇒I ( ) 0; 2 ⇒OI = y I =2
Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A, B trên trục tung nên
Chú ý Câu này ta cần lưu ý đến điều kiện 1 m> −2 trong quá trình giải f) Ta có OA 2 =x 2 A +y 2 A , OB 2 =x B 2 +y B 2
Do đó OA 2 +OB 2 ≠ AB 2 nên ∆OAB không thể vuông tại O (đpcm)
Bài 2: Cho Parabol ( ) P : y = x 2 và đường thẳng d y: = − +2x 3 a) Tìm tọa độ giao điểm A, B của d và (P) với x A >0 và vẽ d, (P) b) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB của (P) sao cho diện tích ∆ABC lớn nhất c) Tìm tọa độ điểm M∈Oy để S MAB =4 (đvdt) d) Cho điểm E ( ) 3; 0 Tìm tọa độ điểm F ∈ ( ) P sao cho độ dài EF ngắn nhất
Lời giải a) Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và ( ) P :
* ( ) P : y = x 2 x −2 −1 0 1 2 y 4 1 0 1 4 b) Có A(1; 1) , B(-3; 9) cố định nên độ dài đoạn AB không đổi, do đó S ABC lớn nhất khi khoàng cách từ C đến đường thẳng d lớn nhất, khi đó C là tiếp điểm của đường thẳng d 1 //d 2 và d 1 tiếp xúc với (P)
Gọi phương trình của d 1 : y = ax + b
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d 1 và (P): x 2 = – 2x + b ⇔ x 2 + 2x – b = 0 (*) d 1 tiếp xúc với (P) ⇔ (*) có nghiệm kép ⇔ ∆ ’ = 1 + b = 0 ⇔ b = – 1 (thỏa mãn)
Khi đó x c là nghiệm kép của (*): x c = – 1 ⇒ y c = (– 1) 2 = 1
Vậy C(1; –1) là điểm cần tìm c) Gọi N là giao điểm của d và Oy ⇒ N(0; 3)
Kẻ AH ⊥ Oy tại H, BK ⊥ Oy tại K thì: AH = x A = 1 = 1, BK = x B = –3 = 3
Vì A và B thuộc hai phía của Oy nên:
S =S +S = MN AH+ MN BK = y − (đvdt)
Do đó S AMB = 4 ⇒ y M – 3= 2 ⇒ y M – 3 = ± 2 ⇒ y M = 5, y M = 1 (thỏa mãn)
HỆ THỐNG BÀI TẬP SỬ DỤNG TRONG CHỦ ĐỀ
Bài 1 Cho phương trình x 2 – 2(m + 3)x + m 2 +3 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn: (2x 1 - 1)( 2x 2 - 1) = 9
Bài 2 Cho phương trình x 2 – 2(m – 3)x – 2 (m – 1) = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn sao cho biểu thức T =x 1 2 +x 2 2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3 Cho phương trình x 2 – 2(m + 1)x + 4m – m 2 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho biểu thức A = x 1 – x 2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 4 Cho phương trình x 2 + mx – 3 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn: x 1 + x 2 = 4
Bài 5 Cho phương trình x 2 – mx + 2m – 4 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + x 2 = 3
Bài 6 Cho phương trình: x 2 – 4x – m 2 – 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 phân biệt thỏa mãn x 2 = 5x 1
Bài 7 Cho phương trình: x 2 – 2(k – 1)x – 4k = 0 Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn 3x 1 – x 2 = 2
Bài 8 Cho phương trình: x 2 – 6x + m + 3 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 2 =x 1 2
Bài 9 Cho phương trình x 2 – 3x – m 2 + 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + 2x 2 = 3
Bài 10 Cho phương trình: x 2 – (m – 3)x – 5 = 0 Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 là các số nguyên
Bài 11 Cho phương trình: x 2 – 20x + m + 5 = 0 Tìm k để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 là các số nguyên tố
Bài 12 Cho phương trình x 2 – 2(m + 1)x + 4m = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 = – 3x 2
Bài 13 Cho phương trình: x 2 + 4x + 4a – a 2 = 0 Tìm a để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 phân biệt thỏa mãn x 1 =x 2 2 −6
Bài 14 Cho phương trình x 2 – (2m + 5)x – 2m – 6 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + x 2 = 7
Bài 15 Cho phương trình x 2 – 2mx + m 2 – 4 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn
Bài 16 Cho phương trình x 2 – mx – 8 = 0 Chứng minh rằng với mọi m, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 và giá trị của biểu thức 1 2 1 2 2 2
Bài 17 Cho phương trình x 2 – 2x + m – 1 = 0 Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn 2 1 2 2
Bài 18 Cho phương trình x 2 + 2mx – 2m – 1 = 0 Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho 2 1 2
− + − đạt giá trị nhỏ nhất
II HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ VIET
Bài 1 Cho phương trình x 2 – 2mx + m – 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 + x 2 =2
Bài 2 Cho phương trình x 2 – (2m + 5)x + 2m + 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 mà biểu thức M = x 1 − x 2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 3 Cho phương trình x 2 – 5x + m – 1 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 sao cho 2x 1 = x 2
Bài 4 Cho phương trình x 2 – (m + 5)x + 3m + 6 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 :
+ Là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5 + Là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông cân
Bài 5 Cho phương trình x 2 + (m + 2)x – m – 4 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 < 0 ≤ x 2
Bài 6 Cho phương trình x 2 + (m – 2)x + m – 5 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1 ≤ 0 < x 2
Bài 7 Cho phương trình x 2 + 2mx + 4m – 4 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 thỏa mãn x 1