c Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định, khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC.. Vẽ các tiếp [r]
(1)PHẦN 1: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BIỂU THỨC A a 2 a 3 Bài 1: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A B Bài 2: Cho biểu thức a a 2 a b) Tìm giá trị a để A < x x 3 x 2 x 2 : x x x x x a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm giá trị x để B < x1 x x 2 C : 1 x x 9x x Bài 3: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị x để a a D : a 1 a a a a a Bài 4: Cho biểu thức C a) Rút gọn biểu thức D b) Tìm giá trị a để A < c) Tính giá trị D a=19− √ a3 a (1 a) a E : a 1 a 1 a a Bài 5: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức E a b) Xét dấu biểu thức W = a.(E – x 1 2x x x 1 F 1 : 2x 2x 2x Bài 6: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức F x G x x x x Bài 7: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức G 2x x 2x x 3 2 b) Tìm giá trị F ) x : x x 1 b) Tìm giá trị x để G 2a a3 a H a a a a Bài 8: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức H a b) Xét dấu biểu thức: W H a x 2 x 1 x 1 K 1: x x x x x Bài 9: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức K b) So sánh K với 1 a a 1 a a L a a a Bài 10: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức L a b) Tìm giá trị a để L < − √ x x 3x x M 1 : x 3 x x x Bài 11: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức M b) Tìm x để M < c) Tìm giá trị nhỏ M (2) x x 9 x x3 N : x x x 2 x Bài 12: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức N b) Tìm giá trị x để L < 15 x 11 O x2 x Bài 13: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức O b) Tìm giá trị x để O = c) Chứng minh P x 2 x x 1 x x 3 x 3 2 x P x m2 4x 4m với m > x m x m Bài 14: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức P b) Tính x theo m để P = c) Xác định các giá trị m để x tìm câu b thỏa mãn điều kiện x > a2 a Q a a 1 Bài 15: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm a để Q = c) Tìm giá trị nhỏ Q 2a a a 1 a 1 a 1 ab a R 1 : ab ab ab Bài 16: Cho biểu thức ab a 1 ab a) Rút gọn biểu thức R 3 b 1 b) Tính giá trị R a 2 và c) Tính giá trị nhỏ R √ a+ √ b=4 a a a a 1 S a a a a a a Bài 17: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức S b) Với giá trị nào a thì S = 6; S > a T 2 a Bài 18: Cho biểu thức a1 a 1 a) Rút gọn biểu thức T U a 1 a 1 a a a 1 a b) Tìm các giá trị a để P < 0; P = 2 a b ab a b b a a b ab Bài 19: Cho biểu thức a) Tìm điều kiện để U có nghĩa b) Rút gọn U c) Tính giá trị U a 2 và b x 2 x x1 V : x x x x 1 x Bài 20: Cho biểu thức b) Chứng minh V > ∀ x a) Rút gọn biểu thức V x x X x x1 Bài 21: Cho biểu thức x 2 : x 1 x x (3) X x 5 3x Y 1: : x x x x Bài 22: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức X b) Tính a) Rút gọn biểu thức Y b) Tìm giá trị x để Y = 20 x y x y3 A x y y x Bài 23: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức A : x y xy x y b) Chứng minh A ab ab a b B : a b a a b b a b a a b b a ab b Bài 24: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức B b) Tính B a = 16 và b = 2a a 2a a a a a a C 1 1 a 1 a a a1 Bài 25: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức C b) Cho P= √ tìm giá trị a 1+ √ c) Chứng minh P > x x 25 x D 1 : x 25 x x 15 Bài 26: Cho biểu thức x 3 x 5 x 5 x a) Rút gọn biểu thức D b) Với giá trị nào x thì D < a 1 a b a 3a E : a ab b a a b b a b 2a ab 2b Bài 27: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức E b) Tìm giá trị nguyên a để E có giá trị nguyên 1 a 1 G : a1 a a Bài 28: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức G a 2 a b) Tìm giá trị a để P > x y x x y y3 1 H : y x y x y x x y xy3 Bài 29: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức H b) Cho x.y = 16 Xác định x; y để P đạt giá trị nhỏ I x3 2x 1 x xy 2y x x xy y x Bài 30: Cho biểu thức a) Rút gọn biểu thức I b) Tìm tất các số nguyên dương x để y = 625 và I < 0,2 - (4) PHẦN 2: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 Bài 31: Cho phương trình ẩn x: m √2 x − ( √2 −1 ) = √ − x +m2 a) Giải phương trình m=√ 2+1 b) Tìm m để phuơng trình có nghiệm x=3 − √ c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương Bài 32: Cho phương trình ẩn x: ( m− ) x − mx+m− 2=0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm x=√ Tìm nghiệm còn lại b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Tính x 21+ x 22 theo m Bài 33: Cho phương trình ẩn x: x −2 ( m+1 ) x +m −4=0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm phân biệt trái dấu với m c) Chứng minh biểu thức M = x ( − x ) + x ( − x ) không phụ thuộc vào m Bài 34: Tìm m để các phương trình ẩn x: a) x − x +2 ( m− )=0 có hai nghiệm dương phân biệt b) x +2 x+ m−1=0 có hai nghiệm âm phân biệt c) ( m2+ ) x −2 ( m+1 ) x +2 m−1=0 có hai nghiệm trái dấu Bài 35: Cho phương trình ẩn x: x − ( a− ) x −a 2+ a −2=0 a) Chứng minh phương trình trên có hai nghiệm trái dấu với a b) Gọi hai nghiệm phương trình là x1 và x2 Tìm giá trị a để x 21+ x 22 đạt giá trị nhỏ Bài 36: Cho b và c là hai số thỏa mãn hệ thức: 1 + = b c Chứng minh hai phương trình ax + bx + c = 0; x2 + cx + b = phải có nghiệm: Bài 37: Với giá trị nào m thì hai phương trình sau có ít nghiệm số chung: 2x 3m x 12 0 (1) 4x 9m x 36 0 (2) Bài 38: Cho phương trình ẩn x: x −2 mx +m2 − 2=0 a) Tìm các giá trị m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Giả sử phương trình có hai nghiệm kkhông âm, tìm nghiệm dương lớn phương trình Bài 39: Cho phương trình bậc hai tham số m: x 2+ x +m+ 1=0 a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1 và x2 thỏa mãn điều kiện x 21+ x 22=10 Bài 40: Cho phương trình ẩn x: x −2 ( m− ) x +2 m− 5=0 a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu Khi đó hai nghiệm mang dấu gì? Bài 41: Cho phương trình ẩn x: x −2 ( m+1 ) x +2 m+ 10=0 (với m là tham số) a) Giải và biện luận số nghiẹm phương trình b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt phân biệt là x 1; x2 Hãy tìm hệ thức liên hệ x1; x2 mà không phụ thuộc vào m c) Tìm giá trị m để 10 x1 x 2+ x 21 + x 22 đạt giá trị nhỏ Bài 42: Cho phương trình ẩn x: ( m− ) x − mx +m+1=0 với m là tham số a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt ∀ m≠ b) Xác định giá trị m để phương trình có tích, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm phương trình c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức: x1 x2 + + =0 x2 x1 (5) Bài 43: Cho phương trình ẩn x: x − mx +m− 1=0 (với m là tham số) a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x 1; x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) phương trình và giá trị m tương ứng 2 b) Đặt A x1 x 6x1 x 2 1) Chứng minh A m 8m 2) Tìm m để A = 3) Tìm giá trị nhỏ A và giá trị m tương ứng c) Tìm m cho phương trình có nghiệm này hai lần nghiệm Bài 44: Cho phương trình ẩn x: x −2 mx+2 m −1=0 a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1; x2 với m b) Đặt A = 2(x 21+ x22 )− x x2 1) Chứng minh rắng A 8m 18m 2) Tìm m cho A = 27 c) Tìm m cho phương trình có nghiệm này hai nghiệm kia? n n Bài 45: Giả sử pt ax bx c 0 có hai nghiệm phân biệt x1; x2 Đặt Sn x1 x (n Z+) a) Chứng minh rằng: a.Sn 2 bSn 1 cSn 0 b) Áp dụng: Tính giá trị biểu thức: A= ( 1+ √ 1− √ + 2 )( ) Bài 46: Cho f(x) = x2 2(m + 2)x + 6m + a) Chứng minh phương trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x = t + Tính f (x) theo t Tìm điều kiện m để pt f (x) = có hai nghiệm lớn x m x m 4m 0 Bài 47: Cho phương trình ẩn x: a) Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm b) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương c) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối và trài dấu d) Gọi x1; x2 là hia nghiệm có phương trình Tính x 21+ x 22 theo m Bài 48: Cho phương trình x − x √ 3+8=0 có hai nghiệm là x1; x2 Không giải phương trình, W hãy tính giá trị biểu thức: Bài 49: Cho phương trình ẩn x: 6x12 10x1 x 6x 22 5x1 x 32 5x13 x x x m x m 0 a) Giải phương trình m = b) Tìm các giá trị m m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m để: x1 (1 2x ) x (1 2x1 ) m 2 Bài 50: Cho phương trình ẩn x: x mx n 0 (1) (n, m là tham số) a) Cho n = Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với m b) Tìm m và n để hai nghiệm x1; x2 phương trình (1) thỏa mãn hệ: x1 − x 2=1 x 21 − x 22=7 { x k x 2k 0 Bài 51: Cho phương trình ẩn x: (k là tham số) a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị k b) Gọi x1; x2 là hai nghiệm phương trình Tìm giá trị k cho: x 21+ x 22=18 2m x 4mx 0 Bài 52: Cho phương trình ẩn x: (1) a) Giải phương trình (1) m = b) Giải phương trình (1) m bất kì c) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm m (6) x 2m x m 3m 0 Bài 53: Cho phươngtrình ẩn x: a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa 1< x 1< x <6 PHẦN 3: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH m 1 x y m x m 1 y 2 Bài 54: Tìm giá trị m để hpt có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ Bài 55: Giải hệ phương trình và minh họa đồ thị các hệ phương trình sau: x −| y|=2 |x|+1= y | y +1|=x −1 a) b) x + y =1 c) { {2 y −5=x 4 2x by Bài 56: Cho hệ phương trình: bx ay a b { y =3 x −12 a) Giải hệ phương trình b) Xác định a và b để hệ phương trình trên có nghiệm: (1; 2); ( √ 2− 1; √ ); có vô số nghiệm mx y 2m Bài 57: Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m: 4x my 6 m x ay 1 Bài 58: Với giá trị nào a thì hệ phương trình: ax· y 2 a) Có nghiệm b) Vô nghiệm x xy y 19 Bài 59: Giải hệ phương trình: x xy y x y 1 x y m x y 1 x y 0 Bài 60: Tìm m cho hệ phương trình sau có nghiệm: x − xy+3 y 2=13 Bài 61: Giải hệ phương trình: x − xy −2 y 2=−6 a 2b 4b 0 2 a a b 2b 0 a b2 { Bài 62: Cho a và b thỏa mãn hệ phương trình: .Tính (a 1)x y 3 Bài 63: Cho hệ phương trình: a.x y a a) Giải hệ phương trình a = √ b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thỏa mãn điều kiện x + y > (7) PHẦN 4: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ Bài 64: Cho hàm số (d) : y = (m 2)x + n Tìm giá trị m và n để đồ thị (d) hàm số: a) Đi qua hai điểm A(1; 2) và B(3; 4) b) Cắt trục tung điểm có tung độ √ và cắt trục hoành điểm có hoành độ + √2 c) Cắt đường thẳng 2y + x = d) Song song với đường thẳng 3x + 2y = Bài 65: Cho hàm số: (P) : y = 2x2 a) Vẽ đồ thị hàm số (P) b) Tìm trên đồ thị các điểm cách hai trục tọa độ c) Xét số giao điểm (P) với đuờng thẳng (d): y = mx – theo m d) Viết phương trình đường thẳng (d') qua điểm M(0; 2) và tiếp xúc với (P) Bài 66: Cho (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m Xác định m để hai đường đó: a) Tiếp xúc Tìm tọa độ tiếp điểm b) Cắt hai điểm phân biệt A và B, điểm có hoành độ x = 1 Tìm hoành độ điểm còn lại Tìm tọa độ A và B Trong trường hợp tổng quát, giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M và N Tìm tọa độ trung điểm I đoạn MN theo m và quỹ tích điểm I m thay đổi Bài 67: Cho đường thẳng (d): 2(m 1)x (m 2)y 2 a) Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) y=x hai điểm phân biệt A và B b) Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m c) Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng lớn d) Tìm điểm cố đ?nh mà (d) qua m thay đổi Bài 68: Cho (P): y = x2 a) Tìm tập hợp các điểm M cho từ đó có thể kẻ hai đường thẳng vuông góc với và tiếp xúc với (P) b) Tìm trên (P) các điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ √ Bài 69: Cho đường thẳng (d) : y= x − a) Vẽ đồ thị đường thẳng (d) b) Tính diện tích tam giác tạo thành (d) và hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) Bài 70: Cho hàm số (d): y=|x −1| a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị đường thẳng (d) x m b) Dùng đồ thị, biện luận số nghiệm phương trình Bài 71: Với giá trị nào m thì hai đường thẳng: (d) y (m 1)x ; (d') y 3x a) Song song với b) Cắt c) Vuông góc với Bài 72: Tìm giá trị a để ba đường thẳng: (d1 ) :y 2x 5;(d ) : y x 2;(d ) : y ax 12 đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ Bài 73: Chứng minh m thay đổi thì (d): 2x + (m 1)y = luôn qua điểm cố định y x2 Bài 74: Cho (P): và đường thẳng (d): y = ax + b Xác định a và b để đường thẳng (d) qua điểm A(1; 0) và tiếp xúc với (P) y x x2 Bài 75: Cho hàm số a) Vẽ đồ thị hàm số trên b) Dùng đồ thị (câu a) biện luận theo m số nghiệm phương trình |x − 1|+|x +2|=m (8) Bài 76: Cho (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 2x + m a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d) y x2 và (d): y = x + m Bài 77: Cho (P): a) Vẽ đồ thị (P) b) Xác định m để (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) và cắt (P) điểm có tung độ 4 d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông g?c với (d') và qua giao điểm (d') và (P) Bài 78: Cho hàm số (P): y = x2 và hàm số (d): y = x + m a) Tìm m cho (P) và (d) cắt hai điểm phân biệt A và B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) Thiết lập công thức t?nh khoảng cách hai điểm bất kì áp dụng: Tìm m cho khoảng cách hai điểm A và B √ Bài 79: Cho điểm A(2; 2) và đường thẳng (d) y = 2(x + 1) a) Điểm A có thuộc (d)? Vì sao? b) Tìm a để hàm số (P): y = ax2 qua A c) Xác định phương trình đường thẳng (d1) qua A và vuông góc với (d) d) Gọi A và B là giao điểm (P) và (d 1); C là giao điểm (d) với trục tung Tìm toạ độ B và C Tính diện tích tam giác ABC y x2 và đường thẳng (d) qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lầm lượt là 2 và Bài 80: Cho (P): a) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị (P) hàm số trên b) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm điểm M trên cung AB (P) tương ứng hoành độ x ∈ [ − 2; ] cho tam giác MAB có diện tích lớn (Gợi ý : cung AB (P) tương ứng hoành độ x ∈ [ − 2; ] có nghĩa là A(-2; y A ) và B(4;yB) tính yA ; yB) Bài 81: Cho (P): y=− x và điểm M(1; 2) a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M và có hệ số góc là m b) Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B m thay đổi 2 c) Gọi xA; xB là hoành độ A và B Xác định m để x A x B x A x B đạt giáỉtị nhỏ và tính giá trị nhỏ đó d) Gọi A' và B' là hình chiếu A và B trên trục hoành và S là diện tích tứ giác AA'B'B 1) Tính S theo m 2) Xác định m để S = (8+ m2 √ m2 +m+2) Bài 82: Cho hàm số y=x (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là 1 và Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P) Bài 83: Trong hệ toạ độ Oxy cho Parabol (P): y=− x và đường thẳng (d): y mx 2m a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm m cho (P) và (d) tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) luôn qua điểm cố định Bài 84: Cho (P) y=− x và điểm I(0; 2) Gọi (d) là đường thẳng qua I và hệ số góc m (9) a) Vẽ (P) Chứng minh (d) luôn cắt (P) hai điểm phân biệt A và B, b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn Bài 85: Cho (P): x2 y= và đường thẳng (d) qua điểm I( ∀ m∈ R ; ) có hệ số góc là m a) Vẽ (P) và viết phương trình (d) b) Tìm m cho (d) tiếp xúc (P) c) Tìm m cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt Bài 86: Cho (P): y= x2 x và đường thẳng (d): y=− + a) Vẽ (P) và (d) b) Tìm toạ độ giao điểm (P) và (d) c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đ? đường ti?p tuy?n (P) song song với (d) Bài 87: Cho (P): y = x2 a) Vẽ (P) b) Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ là 1 và Viết pt đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và ti?p xúc với (P) Bài 88: Cho (P): y = x2 a) Vẽ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x = và điểm B có hoành độ x = Xác định các giá trị m và n để đường thẳng (d): y = mx + n tiếp xúc với (P) và song song với AB Bài 89: Xác định giá trị m để hai đường thẳng có phương trình (d1): x + y = m và (d2): mx + y = cắt điểm trên (P): y 2x PHẦN : MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH CHUYỂN ĐỘNG Bài 90: Hai tỉnh A và B cách 180 km Cùng lúc, ôtô từ A đến B và xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ôtô hết giờ, còn từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết trên đường AB hai xe chạy với vận tốc không đổi Bài 91: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B lại ngược dòng từ bến B bến A tất Tính vận tốc ca nô nước yên lặng, biết quãng sông AB dài 30 km và vận tốc dòng nước là km/h Bài 92: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h, sau đó lại ngược dòng từ B trở A.Thời gian xuôi dòng ít thời gian ngược dòng 20 phút Tính khoảng cách hai bến A và B biết vận tốc dòng nước là km/h Bài 93: Một người chuyển động đêu trên quãng đường gồm đoạn đường và đoạn đường dốc Vận tốc trên đoạn đường và trên đoạn đường dốc tương ứng là 40 km/h và 20 km/h Biết đoạn đường dốc ngắn đoạn đường là 110km và thời gian để người để quãng đường là 30 phút Tính chiều dài quãng đường người đó đã Bài 94: Một xe tải và xe cùng khởi hành từ A đến B Xe tải với vận tốc 30 Km/h, xe với vận tốc 45 Km/h Sau quãng đường AB, xe tăng vận tốc thêm Km/h trên quãng đường còn lại Tính quãng đường AB biết xe đến B sớm xe tải 2giờ 20 phút Bài 95: Một người xe đạp từ A đến B cách 33 Km với vận tốc xác định Khi tới B A người đó đường khác dài trước 29 Km với vận tốc lớn vận tốc lúc Km/h Tính vận tốc lúc đi, biết thời gian nhiều thời gian là 30 phút (10) Bài 96: Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách 85 Km ngược chiều Sau 40 phút thì gặp Tính vận tốc riêng ca nô, biết vận tốc ca nô xuôi lớn vận tốc ca nô ngược 9Km/h và vận tốc dòng nước là Km/h Bài 97: Hai địa điểm A, B cách 56 Km Lúc 45 phút người xe đạp từ A với vận tốc 10 Km/h Sau đó người xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 Km/h Hỏi đến họ gặp và chỗ gặp cách A bao nhiêu Km? Bài 98: Một người xe đạp từ A đến B với vận tốc 15 Km/h Sau đó thời gian, người xe máy xuất phát từ A với vận tốc 30 Km/h và không có gì thay đổi thì đuổi kịp người xe máy B Nhưng sau nửa quãng đường AB, người xe đạp giảm bớt vận tốc Km/h nên hai ngưòi gặp C cách B 10 Km Tính quãng đường AB Bài 99: Một người xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình là 30 Km/h Khi đến B người đó nghỉ 20 phút quay trở A với vận tốc trung bình là 24 Km/h Tính quãng đường AB biết thời gian lẫn là 50 phút Bài 100: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B với vận tốc trung bình 30 Km/h, sau đó ngược dòng từ bến B bến A Thời gian xuôi ít thời gian ngược là 40 phút Tính khoảng cách hai bến A và B biết vận tốc dòng nước là Km/h và vận tốc riêng ca nô là không đổi Bài 101: Một ô tô dự định từ tỉnh A đến tỉnh B với vận tốc trung bình là 40 Km/h Lúc đầu ô tô với vận tốc đó, còn 60 Km thì nửa quãng đường AB, người lái xe tăng vận tốc thêm 10 Km/h trên quãng đường còn lại Do đó ô tô đến tỉnh B sớm so với dự định Tính quãng đường AB Bài 102: Hai ca nô khởi hành cùng lúc và chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h, ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h Trên đường ca nô II dừng lại 40 phút, sau đó tiếp tục chạy Tính chiều dài quãng đường sông AB biết hai ca nô đến B cùng lúc Bài 103: Một người xe đạp từ A đến B cách 50 Km Sau đó 30 phút, người xe máy từ A và đến B sớm Tính vận tốc xe, biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp Bài 104: Một ca nô chạy trên sông giờ, xuôi dòng 108 Km và ngược dòng 63 Km Một lần khác, ca nô đó chạy giờ, xuôi dòng 81 Km và ngược dòng 84 Km Tính vận tốc dòng nước chảy và vận tốc riêng (thực) ca nô Bài105: Một tầu thuỷ chạy trên khúc sông dài 80 Km, và 20 phút Tính vận tốc tầu nước yên lặng, biết vận tốc dòng nước là Km/h Bài 106: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau đó 20 phút chếc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo và gặp thuyền điểm cách bến A 20 Km Hỏi vận tốc thuy?n, bi?t ca nô chạy nhanh thuy?n 12 Km/h Bài 107: Một ôtô chuyển động với vận tốc đã định để hết quãng đường dài 120 Km thời gian đã định Đi nửa quãng đường xe nghỉ phút nên để đến nơi đúng giờ, xe phải tăng vận tốc thêm Km/h trên nửa quãng đường còn lại Tính thời gian xe lăn bánh trên đường Bài 108: Một ôtô dự định từ A đến B cách 120 Km thời gian quy định Sau ôtô bị chắn đường xe hoả 10 phút Do đó, để đến B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm Km/h Tính vận tốc lúc đầu ôtô Bài 109: Một người xe đạp từ A đến B thời gian đã định Khi còn cách B 30 Km, người đó nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc đi, tăng vận tốc thêm Km/h thì tới đích sớm nửa Tính vận tốc xe đạp tren quãng đường đã lúc đầu NĂNG SUẤT Bài 110: Hai đội công nhân cùng làm công việc thì làm xong Nếu đội làm mình để làm xong công việc ấy, thì đội thứ cần thời gian ít so với đội thứ hai là Hỏi đội làm mình xong công việc bao lâu? (11) Bài 111: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhưng cải tiến kỹ thuật nên ngày đã vượt mức 6000 đôi giầy đó đã hoàn thành kế hoạch đã định 24 ngày mà còn vượt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch Bài 112: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt 20 cá, đã vượt mức tuần nên đã hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà còn vượt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch đã định Bài 113: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trước làm việc đội xe đó bổ xung thêm xe nên xe chở ít so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe? Biết số hàng chở trên tất các xe có khối lượng Bài 114: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung mức khoán Nếu làm chung thì hoàn thành mức khoán Nếu để tổ làm riêng thì tổ này làm xong mức khoán thì tổ phải làm bao lâu? Bài 115: Hai tổ công nhân làm chung 12 hoàn thành xong công việc đã định Họ làm chung với thì tổ thứ điều làm việc khác, tổ thứ hai làm nốt công việc còn lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm mình thì sau bao lâu hoàn thành công việc Bài 116: Hai người thợ cùng làm công việc 16 thì xong Nếu người thứ làm và người thứ hai làm thì họ làm 25% công việc Hỏi người làm công việc đó thì xong THỂ TÍCH Bài 117: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không chứa nước đã làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ là Hỏi chảy riêng thì vòi chảy bao lâu đầy bể? Bài upload.123doc.net: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể không có nước và chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng, vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai 30 phút Hỏi chảy riêng thì vòi chảy đầy bể bao lâu? Bài 119: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào bể chứa thời gian quy định thì phải bơm 10 m3 Sau bơm thể tích bể chứa, máy bơm hoạt động với công suất lớn hơn, bơm 15 m Do so với quy định, bể chứa bơm đầy trước 48 phút Tính thể tích bể chứa Bài 120: Nếu hai vòi nước cùng chảy vào cái bể chứa không có nước thì sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khoá lại và mở vòi thứ hai chảy tiếp 20 phút thì bể Hỏi vòi chảy riêng thì sau bao lâu đầy bể? Bài 121: Hai vòi nước cùng chảy vào cái bể chứa không có nước thì sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng thì vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng thì vòi chảy đầy bể bao lâu? PHẦN 6: MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ HÌNH HỌC Bài 122: Cho hai đường tròn tâm O và O’ có R > R’ tiếp xúc ngoài C Kẻ các đường kính COA và CO’B Qua trung điểm M AB, dựng DE AB a) Tứ giác ADBE là hình gì? Tại sao? b) Nối D với C cắt đường tròn tâm O’ F CMR ba điểm B, F, E thẳng hàng c) Nối D với B cắt đường tròn tâm O’ G CMR EC qua G d) Xét vị trí MF đường tròn tâm O’, vị trí AE với đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE Bài 123: Cho nửa đường tròn đường kính COD = 2R Dựng Cx, Dy vuông góc với CD Từ điểm E bất kì trên nửa đường tròn, dựng tiếp tuyến với đường tròn, cắt Cx P, cắt Dy Q (12) a) Chứng minh POQ vuông; POQ ∽ CED b) Tính tích CP.DQ theo R PC R POQ 25 Chứng minh CED 16 c) Khi d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đường tròn tâm O và hình thang vuông CPQD chúng cùng quay theo chiều và trọn vòng quanh CD Bài 124: Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AOB, COD vuông góc với Lấy điểm E bất kì trên OA, nối CE cắt đường tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đường tròn, qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I là giao điểm Fx và Ey a) Chứng minh I, F, E, O cùng nằm trên đường tròn b) Tứ giác CEIO là hình gì? c) Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên đường nào? Bài 125: Cho đường tròn tâm O và điểm A trên đường tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q bất kì, dựng tiếp tuyến QB a) Chứng minh tứ giác QBOA nội tiếp b) Gọi E là trung điểm QO, tìm quỹ tích E Q chuyển động trên Ax c) Hạ BK Ax, BK cắt QO H CMR tứ giác OBHA là hình thoi và suy quỹ tích điểm H Bài 126: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao AD, BK cắt H, BK kéo dài cắt đường F Vẽ đường kính BOE a) Tứ giác AFEC là hình gì? Tại sao? b) Gọi I là trung điểm AC, chứng minh H, I, E thẳng hàng OI BH và H; F đối xứng qua AC c) Chứng minh OI = Bài 127: Cho (O; R) và (O; R’) (với R > R’) tiếp xúc A Đường nối tâm cắt đường tròn O’ và đường tròn O B và C Qua trung điểm P BC dựng dây MN vuông góc với BC Nối A với M cắt đường tròn O’ E a) So sánh AMO với NMC b) Chứng minh N, B, E thẳng hàng và O’P = R; OP = R’ c) Xét vị trí PE với đường tròn tâm O’ Bài 128: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính OB Đường tròn này cắt đường tròn O C và D a) Tứ giác ODBC là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh OC AD; OD AC c) Chứng minh trực tâm tam giác CDB nằm trên đường tròn tâm B Bài 129: Cho đường tròn tâm O và đường thẳng d cắt đường tròn đó hai điểm cố định A và B Từ điểm M bất kì trên đường thẳng d nằm ngoài đoạn AB người ta kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn là MP và MQ (P, Q là các tiếp điểm) a) Tính các góc MPQ biết góc hai tiếp tuyến MP và MQ là 450 b) Gọi I là trung điểm AB Chứng minh điểm M, P, Q, O, I cùng nằm trên đường tròn c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp MPQ M chạy trên d Bài 130: Cho ABC nội tiếp đường tròn tâm O, tia phân giác góc A cắt cạnh BC E và cắt đường tròn M a) Chứng minh OM BC b) Dựng tia phân giác ngoài Ax góc A Chứng minh Ax qua điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB, kéo dài F Chứng minh FB EC = FC EB (Hướng dẫn: áp dụng tính chất đường phân giác tam giác) Bài 131: Cho ABC (AB = AC, Â < 900), cung tròn BC nằm ABC và tiếp xúc với AB, AC B và C Trên cung BC lấy điểm M hạ các đường vuông góc MI, MH, MK (13) xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi P là giao điểm MB, IK và Q là giao điểm MC, IH a) Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp b) Chứng minh tia đối tia MI là phân giác góc HMK c) Chứng minh tứ giác MPIQ nội tiếp Suy PQ BC Bài 132: Cho ABC (AC > AB; BAC > 900) Gọi I, K theo thứ tự là các trung điểm AB, AC Các đường tròn đường kính AB, AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đường tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đường tròn (I) điểm thứ hai F a) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp c) Chứng minh ba đường thẳng AD, BF, CE đồng quy d) Gọi H là giao điểm thứ hai tia DF với đường tròn ngoại tiếp AEF Hãy so sánh độ dài các đoạn thẳng DH, DE Bài 133: Cho đường tròn (O; R) và điểm A với OA R , đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M, N; gọi I là trung điểm đoạn MN a) Chứng minh OI MN Suy I di chuyển trên cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B, C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB, AC Suy A, O, B, C là bốn đỉnh hình vuông c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB, AC và cung nhỏ BC (O) Bài 134: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C là trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F bất kì Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF a) AFC và BEC có quan hệ với nào? Tại sao? b) Chứng minh FEC vuông cân c) Gọi D là giao điểm đường thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đường tròn Chứng minh tứ giác BECD nội tiếp Bài 135: Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD vuông góc với E là điểm bất kì trên cung nhỏ BD (E B; E D) EC cắt AB M, EA cắt CD N a) Chứng minh AMC ∽ ANC b) Chứng minh AM.CN = 2R2 CN c) Giả sử AM = 3MB Tính tỉ số ND Bài 136: Một điểm M nằm trên đường tròn tâm (O) đường kính AB Gọi H, I là hai điểm chính các cung AM, MB; gọi Q là trung điểm dây MB, K là giao điểm AM, HI a) Tính độ lớn góc HKM b) Vẽ IP AM P, Chứng minh IP tiếp xúc với đường tròn (O) c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp các điểm R M di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB Bài 137: Gọi O là trung điểm cạnh BC ABC Vẽ góc xOy = 60 cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB, AC M, N a) Chứng minh OBM ∽ NCO, từ đó suy BC2 = 4BM.CN b) Chứng minh MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC c) Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn cố định, góc xOy quay xung quanh O cho các tia Ox,Oy cắt các cạnh AB, AC tam giác ABC Bài 138: Cho M là điểm bất kì trên nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R (M AB) Vẽ các tiếp tuyến Ax, By, Mz nửa đường tròn đó Đường Mz cắt Ax, By N và P Đường thẳng AM cắt By C và đường thẳng BM cắt Ax D Chứng minh: a) Tứ giác AOMN nội ti?p đường tròn và NP = AN + BP b) N và P là trung điểm các đoạn thẳng AD và BC c) AD.BC = 4R2 d) Xác định vị trí M để tư giác ABCD có diện tích nhỏ (14) Bài 139: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tâm (O) và I là điểm chính cung AB (cung AB không chứa C và D) Dây ID, IC cắt AB M và N a) Chứng minh tứ giác DMNC nội tiếp đường tròn b) IC và AD cắt E; ID và BC cắt F Chứng minh EF // AB Bài 140: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B (B C) và vẽ đường tròn tâm (O’) đường kính BC Gọi M là trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt đường tròn (O’) I a) Tứ giác ADBE là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng c) Chứng minh MI là tiếp tuyến đường tròn (O’) và MI2 = MB.MC Bài 141: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và điểm M di động trên nửa đường tròn Người ta vẽ đường tròn tâm (E) tiếp xúc với đường tròn (O) M và tiếp xúc với đường k?nh AB N Đường tròn này cắt MA, MB các điểm thứ hai C, D a) Chứng minh CD // AB b) Chứng minh MN là tia phân giác góc AMB và đường thẳng MN luôn qua điểm K cố định c) Chứng minh tích KM.KN không đổi Bài 142: Cho đường tròn đường kính AB, các điểm C, D trên đường tròn cho C, D không nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi các điểm chính các cung AC, AD là M, N; giao điểm MN với AC, AD là H, I; giao điểm MD với CN là K a) Chứng minh NKD; MAK cân b) Chứng minh tứ giác MCKH nội tiếp Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK Bài 143: Cho ba điểm A, B, C trên đường thẳng theo thứ tự và đường thẳng (d) vuông góc với AC A Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy điểm M bất kì Tia CM cắt đường thẳng d D; tia AM cắt đường tròn điểm thứ hai N; tia DB cắt đường tròn điểm thứ hai P a) Chứng minh tứ giác ABMD nội tiếp b) Chứng minh CM.CD không phụ thuộc vị trí M c) Tứ giác APND là hình gì? Tại sao? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAC chạy trên đường tròn cố định M di động Bài 144: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm M nằm trên cung AB; gọi H là điểm chính cung AM Tia BH cắt AM điểm I và cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) điểm K Các tia AH; BM cắt S a) Tam giác BAS là tam giác gì? Tại sao? Suy điểm S nằm trên đường tròn cố định b) Xác định vị trí tương đối đường thẳng KS với đường tròn (B; BA) c) Đường tròn qua B, I, S cắt đường tròn (B;BA) điểm N Chứng minh đường thẳng MN luôn qua điểm cố định M di động trên cung AB ˆ 90 MKA d) Xác định vị trícủa M cho Bài 145: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn và P là điểm chính cung AB không chứa C và D Hai dây PC và PD cắt dây AB E và F Các dây AD và PC kéo dài cắt I; các dây BC và PD kéo dài cắt K Chứng minh rằng: a) Góc CID góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp c) IK // AB d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA A Bài 146: Cho hai đường tròn (O1) và (O2) tiếp xúc ngoài với A, kẻ tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O 1), (O2) các điểm B, C và cắt Ax điểm M Kẻ các đường kính BO1D và CO2E (15) a) Chứng minh M là trung điểm BC b) Chứng minh Δ O1MO2 vuông c) Chứng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hàng d) Gọi I là trung điểm DE Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác IO 1O2 tiếp xúc với đường thẳng d Bài 147: Cho (O; R) trên đó có dây AB = R √ cố định và điểm M di động trên cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm tam giác MAB; P, Q là các giao điểm thứ hai các đường thẳng AH, BH với đường tròn (O); S là giao điểm các đường thẳng PB, QA a) Chứng minh PQ là đường kính đường tròn (O) b) Tứ giác AMBS là hình gì? Tại sao? c) Chứng minh độ dài SH không đổi d) Gọi I là giao điểm các đường thẳng SH, PQ Chứng minh I chạy trên đường tròn cố định Bài 148: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB, kẻ tiếp tuyến Ax và trên đó lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M là tiếp điểm) a) Chứng minh BM // OP b) Đường thẳng vuông góc với AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP là hình gì? Tại sao? c) Gọi K là giao điểm AN với OP; I là giao điểm ON với PM; J là giao điểm PN với OM Chứng minh K, I, J thẳng hàng d) Xác định vị trí P cho K nằm trên đường tròn (O) Bài 149: Cho đường tròn (O; R), hai đường kính AB và CD vuông góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M (khác điểm O), đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đường tròn (O) điểm P a) Chứng minh tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO là hình gì? Tại sao? c) Chứng minh tích CM.CN không đổi d) Chứng minh M di động trên đoạn AB thì P chạy trên mộtđường thẳng cố định Bài 150: Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt hai điểm A và B Các đường thẳng AO, AO’ cắt đường tròn (O) các điểm thứ hai C, D và cắt đường tròn (O’) các điểm thứ hai E, F a) Chứng minh B, F, C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung các đường tròn (O), (O’) Bài 151: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R và điểm M trên nửa đường tròn (M khác A và B) Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M và cắt đường trung trực đoạn AB I Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d C và D (D nằm góc BOM) a) Chứng minh các tia OC, OD là các tia phân giác các góc AOM, BOM b) Chứng minh CA và DB vuông góc với AB c) Chứng minh AMB ∽ COD d) Chứng minh AC.BD = R2 Bài 152: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB và điểm M trên đường tròn Gọi các điểm chính các cung AM, MB là H, I Cãc dây AM và HI cắt K a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi b) Hạ IP AM Chứng minh IP là tiếp tuyến (O;R) c) Gọi Q là trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đường tròn (O; R) d) Chứng minh M di động thì thì đường thẳng HI luôn luôn tiếp xúc với đường tròn cố định (16) Bài 153: Cho nửa đường tròn (O) đường k?nh AB và hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn cho cung AC < 900 và COD 90 Gọi M là điểm trên nửa đường tròn cho C là điểm chính cung AM Các dây AM, BM cắt OC, OD E và F a) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao? b) Chứng minh D là điểm chính cung MB c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M và cắt các tia OC, OD I, K Chứng minh các tứ giác OBKM; OAIM nội tiếp d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Xác định vị trí C và D cho điểm M, O, B, K, S cùng thuộc đường tròn Bài 154: Cho ABC (AB = AC), cung tròn BC nằm bên tam giác ABC và tiếp xúc với AB, AC B, C cho A và tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ các đường vuông góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC, CA, AB Gọi giao điểm BM, IK là P; giao điểm CM, IH là Q a) Chứng minh các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp b) Chứng minh MI2 = MH MK c) Chứng minh tứ giác IPMQ nội tiếp Suy PQ MI d) Chứng minh KI = KB thì IH = IC - (17)