Các dạng toán ôn thi vào 10 - 2010 theo định hướng của sở GD Thanh Hóa

Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm đợc của m.. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằ

Chuyên đề i

A Những công thức biến đổi căn thức:

1) A2 A

2) AB  A. B ( với A  0 và B  0 )3)

B

A B

A

 ( với A  0 và B > 0 )4) A2B A B (với B  0 )5) A B A2B

 ( với A  0 và B  0 )

A B A2B



 ( với A < 0 và B  0 )6)

B

AB B

A

 ( với B > 0 )

B A

B A C B A

9)

B A

B A C B A

x x

14 6

Bài 6: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:

x x

HD: a) §KX§ lµ: 



 1 0

x x

Bµi 2: Cho biĨu thøc: B =

4

5 2 2

2 2

x x

x x

1 :

1 1

1

a

a a

a a

a a

x x

x

4

4 2 2

b) TÝnh gi¸ trÞ cđa D khi x = 6  2 5

HD: a) §iỊu kiƯn: 



 4 0

x x

, rĩt gän biĨu thøc ta cã: D = x b) D = 5  1

Bµi 5: Cho biĨu thøc E =

1

3 1

x x

x x

,rĩt gän biĨu thøc ta cã: E =

x



 1

3.c) x = 4

2

2 2

a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức F

b) Tính giá trị của biểu thức F khi x=3 + 8;

c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức F có giá trị nguyên ?

HD: a) §KX§: 



 4 0

x x

1 2 2 2 3

2

a a a

a P

a

 2 1

1 :

1 1

1

a

a a

a a

x x

3 6

5

9 2

3 1

2 x 1

c) Tìm giá trị lớn nhất của M

1 :

1

x x

a Khái niệm hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho trớc và a 0

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0)

Bớc 1 Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành

Bớc 2 Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b

d Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a 0) và (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) Khi đó

e Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a 0)

 Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox

- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng

 Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b

- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b

f Một số phơng trình đờng thẳng

- Đờng thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0

- Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 0 là

- Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

c Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)

- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị

2.Kiến thức bổ xung

2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng

Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2) Khi đó

- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức

2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax 2 (a 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0)

Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) và đờng thẳng (d): y = mx + n Khi đó

- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình

- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)

+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung

+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau

+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt

II Bài tập mẫu:

Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x – m + 6 (d)

a Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến

b Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm đợc của m

c Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2

d Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2

e Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k – 3)x – 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2)

Tìm các giá trị của k để:

a (d1) và (d2) cắt nhau

b (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung

c (d1) và (d2) song song với nhau

d (d1) và (d2) vuông góc với nhau

e (d1) và (d2) trùng nhau.

Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m ≠ có đồ thị là đờng thẳng d

Tìm giá trị của m để :

a Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)

b (d) đi qua điểm (2;-1)

c (d)// với đờng thẳng y =3x-4

d (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1

e (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0

f (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2

g Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung

Bài 4: cho (p) y = 2x2 và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x – m2-9 Tìm m để :

a Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

a) Tỡm cỏc điểm A, B thuộc (P) cú hoành độ lần lượt bằng –1 và 2

b) Viết phương trỡnh đường thẳng AB

c) Viết phương trỡnh đường thẳng song song với AB và tiếp xỳc với (P) Tỡm tọa độ tiếp điểm

Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 cú đồ thị (P)

a) Tỡm m để hàm số đồng biến khi x > 0

b) Với m = – 2 Tỡm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3

c) Tỡm m để (P) tiếp xỳc với (d): y = 2x – 3 Tỡm tọa độ tiếp điểm

Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luụn tiếp xỳc với Parabol (P) biết:

8.2)Tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong cỏc trường hợp trờn

Bài 9: Cho Parabol (P) cú phương trỡnh: y = ax2 và hai đường thẳng sau:

(d1): 4

13

y x (d2): 4x + 5y – 11 = 0a) Tỡm a biết (P), (d1), (d2) đồng quy

b) Vẽ (P), (d1), (d2) trờn cựng hệ trục tọa độ với a vừa tỡm được

c) Tỡm tọa độ giao điểm cũn lại của (P) và (d2)

d) Viết phương trỡnh đường thẳng tiếp xỳc với (P) và vuụng gúc với (d1)

Bài 10: Cho Parabol (P): 1 2

2

y x và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1

a) Tỡm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) cú hoành độ bằng – 2

b) Tỡm m để (d) tiếp xỳc với (P) Tỡm tọa độ tiếp điểm

c) Tỡm m để (d) cắt (P) tại hai điểm cú hoành độ cựng dương

d) Tỡm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm cú hoành độ x1  x2 thỏa món: 2 2

a) Chứng minh (d) luụn đi qua một điểm M cố định

b) Tỡm a để (P) đi qua điểm cố định đú

c) Viết phương trỡnh đường thẳng qua M và tiếp xỳc với Parabol (P)

Chuyên đề iv: phơng trình bậc hai

PHẦN II KIẾN THỨC CẦN NẮM VỮNG

1 Cụng thức nghiệm:

Phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a  0) cú  = b2- 4ac

+Nếu  < 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm

+Nếu  = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp: x1 = x2 =

+Nếu ’ < 0 thỡ phương trỡnh vụ nghiệm

+Nếu ’= 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp: x1 = x2 =

b) Ứng dụng:

+Hệ quả 1:

Nếu phương trỡnh ax2+bx+c = 0 (a  0) cú: a+b+c = 0 thỡ phương trỡnh cú nghiệm: x1 = 1; x2 =

a c

+ Định lớ Vi-ột chỉ ỏp dụng được khi phương trỡnh cú nghiệm (tức là  ≥ 0)

+ Nếu a và c trỏi dấu thỡ phương trỡnh luụn cú 2 nghiệm trỏi dấu

PHẦN II BÀI TẬP RẩN LUYỆN

I TOÁN TRẮC NGHIỆM

(Mục đớch: Củng cố, khắc sõu lớ thuyết)

Bài 1: Điền vào chỗ để cú mệnh đề đỳng

a) Phương trỡnh mx2+nx+p = 0 (m  0) cú  =

Nếu  thỡ phương trỡnh vụ nghiệm

Nếu  thỡ phương trỡnh cú nghiệm kộp: x1 = x2 =

Nếu  thỡ phương trỡnh cú 2 nghiệm phõn biệt:

x1 = ; x2 =

b) Phương trỡnh px2+qx+k = 0 (p  0) cú ’= (với q = 2q’ )

Nếu ’ thì phương trình vô nghiệm

Nếu ’ thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

Nếu ’ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

x1 = ; x2 =

Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai

A Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a  0)

B Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a  0)

C Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =

a c

D Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =

a c

E Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =

G Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0

H Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- P x+S = 0

Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:

A.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 =

a c

B.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 =

D.Phương trình 2x2-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là

2

1

và tích hai nghiệm là

23

Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng

Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai

Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai

Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?

GV:cần khắc sâu hơn về a  0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK:  ≥ 0)

II TOÁN TỰ LUẬN

LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN

Bài 1: Giải phương trình

1

2

51)49(

1    

2

51)49(

)

1(5049

50)1(49

2

1 2

1

2 1

x

x x

x

x x

Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = 50

(

2

432

432

23

23

32

+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)

+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán

* B i t ài tương tự: Giải các phương trình sau: ương tự: Giải các phương trình sau: ng t : Gi i các ph ự: Giải các phương trình sau: ải các phương trình sau: ương tự: Giải các phương trình sau: ng trình sau:

Giải

Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình

x2 – 42x + 441 = 0 (*)

Ta có: ’ = (- 21)2- 441 = 0

Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21

Vậy u = v = 21

*Bài tương tự:

1 Tìm hai số u và v biết:

a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24

c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10

2 Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2

Bài 3: Giải các phương trình sau

(phương trình quy về phương trình bậc hai)

a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0

b)

)4)(

1(

81

1(

81

x

(2) Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì

.2

23)3(

23)3(



; x2 =

2

51



Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 =

2

51

 ; x2 =

2

51

x

9

x x

Bài 4: Cho phương trình x2 + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2

Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:

A =

2 2

11

x

x  ; B = x1 + x2 ; C = 22 22

11

3

11

2 1

2 1 2 2

x x x

523

Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2

Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:

A =

2 2

11

x

x  ; B = x1 + x2 ; C = 2

2

2 2

11

3 2 1

2 2 2 1

2

1

55

610

6

x x x x

x x x x

2 2 1

2 2 2 1

2 1

44

35

3

x x x x

x x x x







LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN

(Phương trình bậc hai chứa tham số)

Bài 1: (Bài toán tổng quát)

Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a  0) có:

1 Có nghiệm (có hai nghiệm)    0

2 Vô nghiệm   < 0

3 Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau)   = 0

4 Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau)   > 0

5 Hai nghiệm cùng dấu   0 và P > 0

6 Hai nghiệm trái dấu   > 0 và P < 0  a.c < 0

7 Hai nghiệm dương(lớn hơn 0)   0; S > 0 và P > 0

8 Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0)   0; S < 0 và P > 0

9 Hai nghiệm đối nhau   0 và S = 0

10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và P = 1

11 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0

12 Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

Nếu ’< 0  1- k < 0  k > 1  phương trình vô nghiệm

Nếu ’= 0  1- k = 0  k = 1  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1

Nếu ’> 0  1- k > 0  k < 1  phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 = 1- 1 k ; x2 = 1+ 1 k

Kết luận:

Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm

Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1

Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1 k ; x2 = 1+ 1 k

Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)

a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?

c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?

Giải

a) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =

2

3 (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1 Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm  ’ = 3m-2  0  m 

32

+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m 

3

2 thì phương trình có nghiệm

b) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x =

2

3 (là nghiệm) + Nếu m ≠ 1 Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

(1) có nghiệm duy nhất  ’ = 3m-2 = 0  m =

3

2 (thoả mãn m ≠ 1)

Khi đó x = 1 3

32

11

với m =

3

2 thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:

(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0  4m – 3 = 0  m =

43

Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =

4

3-1=

31

Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x1+x2  10

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2

Giải

a) Ta có: ’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =

4

152

Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3

Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)

Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0

3

10

)3(

0)1(

230230

0320

0320

m m

m m m m

m m m m

Vậy m 

2

3 hoặc m  0e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

22

)3(

)1(2

2 1

2 1 2

1

2 1

m x

x

m x x m

x x

m x

21

8

x

x x

Bài 5: Cho phương trình: x2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)

a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn

2 1 1

1

x x

y   ;

1 2 2

1

x x

y   với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở trên

1

02

m P

2.y +

*Yêu cầu:

+ HS nắm vững phương pháp

+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi

+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải khác

* Bài tương tự:

1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)

a) Định m để phương trình có nghiệm kép

a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm

khi m thay đổi

b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6

4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Đặt A = 2(x1 + x2 ) – 5x1x2

a) C/m A= 8m2 – 18m + 9

b) Tìm m sao cho A=27

c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần

a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m

b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2:

* Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m