các dạng toán luyện thi vào lớp 10

 áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 phơng trình một ẩn  Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy

Các dạng toán luyện thi vào lớp 10

A Căn thức và biến đổi căn thức

A.1.Kiến thức cơ bản

A.1.1 Căn bậc hai

a Căn bậc hai số học

- Với số dơng a, số a đợc gọi là căn bậc hai số học của a

- Số 0 cũng đợc gọi là căn bậc hai số học của 0

b Quy tắc khai phơng một thơng: Muốn khai phơng một thơng a/b, trong đó a không âm và

b dơng ta có thể lần lợt khai phơng hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai

c Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dơng ta

có thể chia số a cho số b rồi khai phơng kết quả đó

A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

a Đa thừa số ra ngoài dấu căn

- Với hai biểu thức A, B mà B ≥ 0, ta có A B2 = A B, tức là

+ Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B2 = A B

+ Nếu B < 0 và B ≥ 0 thì A B2 = −A B

b Đa thừa số vào trong dấu căn

+ Nếu A ≥ 0 và B ≥ 0 thì A B = A B2+ Nếu B < 0 và B ≥ 0 thì A B = − A B2

c Khử mẫu của biểu thức lấy căn

- Với các biểu thức A, B mà A.B ≥ 0 và B ≠ 0, ta có A AB

B = B

a Kh¸i niÖm c¨n bËc ba:

- C¨n bËc ba cña mét sè a lµ sè x sao cho x3 = a

 2 1 2 1

2 1

k k

k

+ +

+

= với ∀A, B mà B ≠0

2 2

2

k k

k

A A

Đẳng thức xảy ra khi f x i i( )( = 1,n) cùng dấu

 Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, …, an là các số không âm, khi đó

b Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Khi đó ta có

f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a

A.2.4 Biến đổi tam thức bậc hai

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) Khi đó ta có

−

⇔ =

* Chú ý Nếu

'

k A A

b Tính giá trị của P với x= −3 2 2

b Tính giá trị của P với x= −7 4 3

c Tính giá trị lớn nhất của a để P > a

Bài 3 Cho biểu thức 3 2( 3) ( 3)

b Tính giá trị của P với x= −11 6 5

c Tìm giá trị nhỏ nhất của P

c Tìm các giá trị củ m để có các giá trị của x thỏa mãn: M( x+ =1) m x( + −1) 2

Bài 10: Cho biểu thức: ( 2 )2 2 ( )

2 2

b Tìm các giá trị nguyên của x để y có giá trị nguyên

Bài 11: Cho biểu thức: A= x+2 x− +1 x−2 x−1 với x ≥1

a Rút gọn A

b Tìm giá trị nhỏ nhất của A

Bài 12: Cho biểu thức: A= 2x+ x2 − 6x+ 9.

a Rút gọn rồi tìm giá trị của A khi a = -5

Bài 14: Cho biểu thức: Q = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 1

a Chứng minh Q ≥ 0 với mọi x

b Tính giá trị của Q khi 7 5

A= x− − x − +x rồi tìm giá trị của x để A = 3/2.

Bài 17: Cho biểu thức: ( )

b Tìm giá trị lớn nhất của y

a Rút gọn rồi tìm giá trị của x để Q < 1

b Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên

b Tìm các giá trị nguyên của x để P có giá trị nguyên

Bài 21 Cho biểu thức 4 2 2 2

x M

b Tìm x để M có giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn nhất đó

Bài 22 Cho biểu thức

( 2 )2 2

2 2

b Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của A là một số nguyên

c Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của C là một số nguyên

Bài 24 Cho biểu thức

c Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên

Bài 26 Cho biểu thức

b Biết xy = 16 Tìm giá trị của x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó

Bài 28 Cho biểu thức

b Tìm giá trị của x để B có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị đó

Bài 29 Cho biểu thức:

Bài 32: Cho biểu thức: A= x2 + 2 x2 − − 1 x2 − 2 x2 − 1.

a Tìm điều kiện của x để A có nghĩa

b Tính giá trị của A khi x ≥ 2.

a

+

= +

b Tìm các giá trị của a sao cho B > 1

c Tính giá trị của B nếu a= −6 2 5

Rút gọn rồi tính giá trị của P khi x = 1/2, từ đó tính α sao cho sinα = P

Bài 47 Cho biểu thức A= 4x− 9x2 − 12x+ 4

Xác định x để giá trị của A là một số tự nhiên

• Phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c ∈ R (a2 + b2 ≠ 0)

• Tập nghiệm của phơng trình bậc nhất hai ẩn:

Phơng trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm của nó

đợc biểu diễn bởi đờng thẳng (d): ax + by = c

b Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

• Hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn: ax by c a x b y c' ++ '= = '



trong đó a, b, c, a’, b’, c’ ∈ R

• Minh họa tập nghiệm của hệ hai phơng trình bậc nhất hai ẩn

Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có

 áp dụng quy tắc cộng đại số để đợc hệ phơng trình mới, trong đó có một phơng trình

mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (phơng trình một ẩn)

 Giải phơng trình một ẩn vừa thu đợc rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho

Hệ hai phơng trình hai ẩn x và y đợc gọi là đối xứng loại 2 nếu ta đổi chỗ

hai ẩn x và y thì phơng trình này trở thành phơng trình kia và ngợc lại

b Cách giải

• Trừ vế theo vế hai phơng trình trong hệ để đợc phơng trình hai ẩn

• Biến đổi phơng trình hai ẩn vừa tìm đợc thành phơng trình tích

• Giải phơng trình tích ở trên để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x)

• Thế x bởi y (hoặc y bởi x) vào 1 trong 2 phơng trình trong hệ để đợc phơng trình một ẩn

• Giải phơng trình một ẩn vừa tìm đợc ròi suy ra nghiệm của hệ

- Xét xem x = 0 có là nghiệm của hệ phơng trình không

- Nếu x ≠0, ta đặt y = tx rồi thay vào hai phơng trình trong hệ

- Khử x rồi giải hệ tìm t

- Thay y = tx vào một trong hai phơng trình của hệ để đợc phơng trình một ẩn (ẩn x)

- Giải phơng trình một ẩn trên để tìm x từ đó suy ra y dựa vào y = tx

* Lu ý: ta có thể thay x bởi y và y bởi x trong phần trên để có cách giải tơng tự

12

2 12

2

2

1 1

b Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phơng trình

c Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duy nhất

Bài 5 Với giá trị nào của m thì hệ phơng trình

4 1

+ Khi đó hãy tìm các giá trị của x và y.

Bài 6 Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phơng trình

Bài 8 Cho hai đờng thẳng (d1): 2x – 3y = 8 và (d2): 7x – 5y = -5

Tìm các giá trị của a để đờng thẳng y = ax đi qua giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2)

Bài 9 Cho ba đờng thẳng

Bài 12 Tìm các giá trị của m để

Bài 15 Hãy tìm giá trị của m và n sao cho đa thức

P(x) = mx3 + (m + 1)x2 – (4n + 3)x + 5n đồng thời chia hết cho (x – 1) và (x + 2)

Bài 16 Cho hệ phơng trình

a Giải và biện luận hệ phơng trình

b trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất hãy tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trìnhthỏa mãn điều kiện x > 0, y < 0

Bài 18 Tìm a và b để hệ phơng trình sau có nghiệmcó nghiệm với mọi giá trị của tham số m

Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P = xy + 2(x + y)

Bài 21 Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ phơng trình: 2 22 21

a Giải và biện luận theo tham số m

b Tìm các số nguyên m để cho hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x, y là các số nguyên

a Giải và biện luận theo m

b Với giá trị nào của số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y là các số nguyên dơng.Bài 25 Cho hệ phơng trình: ( 1) 3 1

a Giải hệ khi m = -1.

b Tìm m để hệ có vô số nghiệm, trong đó có nghiệm: x = 1, y = 1

Bài 28 Giải và biện luận hệ phơng trình sau đây theo tham số m: 2 1

b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0 và y < 0

c Tìm số nguyên n để có nghiệm duy nhất (x; y) mà x, y là các số nguyên

a Giải và biện luận hệ đã cho

b Tìm điều kiện của m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thỏa mãn hệ thức: 2

a Chứng minh rằng nếu hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thì điểm M(x; y) luôn luôn thuộc một

đờng thẳng cố định khi m thay đổi

b Xác định m để M thuộc góc vuông phần t thứ nhất

c Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 5

Bài 34 Với giá trị nào của số nguyên m, hệ phơng trình: 4 2

a Giải và biện luận theo m

b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) với x; y là các số nguyên

c Chứng minh rằng khi hệ có nghiệm duy nhất (x; y), điểm M(x; y) luôn luôn chạy trên một

đờng thẳng cố định

d Xác định m để M thuộc đờng tròn có tâm là gốc tọa độ và bán kính bằng 2

2 Bài 36 Giải và biện các hệ phơng trình:

b Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số

Bài 38 Cho hệ phơng trình (m là tham số ): 1

Bài 39 Với giá trị nào của x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 – 4x – 6y – 8z +3 = 0.

Bài 40 Với giá trị nào của m, hệ phơng trình: 2 2 25

 Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó.

Bài 44 Cho x, y là hai số nguyên dơng sao cho: 2 2 71

a Giải và biện luận hệ phơng trình trên

b Không giải hệ phơng trình, cho biết với giá trị nào của m thì hệ phơng trình có nghiệm duynhất?

b Giải và biện luận hệ phơng trình

c Tìm giá trị nguyên của a để hệ phơng trình có nghiệm nguyên

d Tìm giá trị của a để nghiệm của hệ thỏa mãn điều kiện x + y nhỏ nhất

Bài 47 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua gốc O và song song với AB biết:

b Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm nguyên.

c Tìm giá trị của m để hệ phơng trình có nghiệm dơng duy nhất

b Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất

2 Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình sau vô nghiệm

b x

- Nếu hai số x và y có tổng x1+ =x2 S và tích x x1. 2 =P thỏa mãn S2 ≥ 4P thì hai số x và y là

hai nghiệm của phơng trình t2 – St + P = 0

Bài 2 Cho hai phơng trình x2 + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = 0

Chứng minh rằng nếu p p1 2≥ 2(q1+q2) thì ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm

Bài 3 Với giá trị bào của k thì hai phơng trình sau:

2x2 + (3k + 1)x - 9 = 0; 6x2 + (7k – 1)x - 19 = 0

Có ít nhất một nghiệm chung, tìm nghiệm chung đó

Bài 4 Chứng minh rằng phơng trình sau luôn có nghiệm với mọi a, b, c

Chứng minh rằng ít nhất một trong ba phơng trình trên có nghiệm

Bài 7 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm nếu

một trong hai điều kiện sau đợc thỏa mãn

a a(a + 2b + c) < 0

b 5a + 3b + 2c = 0

Bài 8 Tìm các giá trị của k để phơng trình: kx2 – (1 – 2k)x + k – 2 = 0 có nghiệm là số hữu

tỉ

Bài 10 Cho phơng trình: 2x2 – 3x + 1 = 0 Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Không

giải phơng trình hãy tìm giá trị các biểu thức sau:

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình Tìm giá trị của m để biểu thức

Bài 16 Cho phơng trình bậc hai: mx2 – (5m – 2)x + 6m - 5 = 0

a Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số đối nhau

b Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm là hai số nghịch đảo của nhauBài 17 Cho phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0

Tìm các giá trị của m để hai nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn

1 2 1 2

10

A= x x + +x x đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó

Bài 18 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: M = |x1x2 - 2x1 – 2x2|

Bài 19 Cho phơng trình: x2 – mx + m – 1 = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 2

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b Chứng minh rằng biểu thức: A = x1(1 – x1) + x2(1 – x2) tron đó x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình không phụ thuộc vào m

Bài 26 Cho phơng trình (m – 1)x2 – 2mx + m + 4 = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm có tích bằng 5, từ đó hãy tính tổng hai nghiệm của phơng trình

c Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

d Tìm các giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn đẳng thức:

1 2

2 1

5 0 2

Bài 28 Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm dơng phân biệt x1, x2

a Chứng minh rằng phơng trình cx2 + bx + a = 0 cũng có hai nghiệm dơng phân biệt

b Chứng minh rằng S = x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4

Bài 29 Cho phơng trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + m = 0

a Biết rằng phơng trình có một nghiệm x1 = 2,tìm m rồi tìm nghiệm còn lại

b Tìm các giá trị của m để các nghiệm của phơng trình thỏa mãn bất đẳng thức

-2 < x1 < x2 < 4

Bài 30 Tìm a sao cho nghiệm của phơng trình

x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + 1 = 0

Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất

Bài 31 Cho a, b, c là ba số dơng khác nhau có tổng bằng 12 Chứng minh rằng trong ba phơng trình sau:

3 Xác định m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn x1 + 4x2 = 3

4 Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 45 Xác định m để phơng trình: (m + 1)x2 – 2(m + 2)x + 2(m + 1) = 0 có hai nghiệm cùng

âm, cùng dơng, và trái dấu nhau

Bài 46 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có đúng hai nghiệm phân biệt: x3 – m(x + 1) + 1 =0

Bài 47 Chứng minh rằng phơng trình sau có nghiệm với mọi a, b và c:

Bài 53 Cho phơng trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Chứng minh rằng nếu tồn tại số thực α mà af(α) ≤ 0 thì phơng trình có nghiệm

Bài 60 Tìm giá trị nguyên của a để hai phơng trình sau có ít nhất một nghiệm chung:

2x2 + (3m – 1)x – 3 = 0 và 6x2 – (2m – 3)x – 1 = 0

Bài 61 Tìm giá trị của m để một nghiệm của phơng trình 2x2 – 13x + 2m = 0 (1) gấp đôi một nghiệm của phơng trình x2 – 4x + m = 0 (2)

Bài 62 Cho các số a, b, c khác nhau đôi một, c ≠ 0 Biết rằng các phơng trình

x2 + ax + bc = 0(1) và x2 + bx + ca = 0 (2) có ít nhất một nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó.Bài 63 Cho các phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) và cx2 + dx + a = 0 (2)

Biết rằng phơng trình (1) có các nghiệm m và n, phơng trình (2) có các nghiệm p và q Chứng minh rằng:

Bài 72 Với giá trị nào của m thì hai nghiệm của phơng trình x2 + x + m = 0 đều lớn hơn m?Bài 73 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có ba nghiệm phân biệt:

x3 – (m + 1)x2 + (m2 + m – 3)x – m2 + 3 = 0

Bài 74 Tìm giá trị của m để phơng trình sau có nghiệm: (m – 3)x4 – 2mx2 + 6m = 0

Bài 75 Tìm giá trị của m để phơng trình: mx4 – 10mx2 + m + 8 = 0

1 Có bốn nghiệm phân biệt

2 Có bốn nghiệm x1, x2, x3, x4 (x1< x2< x3< x4) thỏa mãn điều kiện:x4 – x3 = x3 – x2 = x2

– x1

Bài 76 Cho phơng trình ẩn x: x2 – 2(m – 1)x – 3 – m = 0

1 Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m

2 Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn điều kiện: 2 2

1 2 10

x +x ≥ Bài 77 Cho phơng trình: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0

1 Chứng tỏ phơng trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

a Định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này

b Định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt đều âm

a Tơng đơng với nhau

b Có ít nhất một nghiệm chung.

Bài 81

a Chứng minh hằng đẳng thức: (m2 + m – 1)2 + 4m2 + 4m = (m2 + m + 1)2

b Cho phơng trình: mx2 – (m2 + m + 1)x + m + 1 = 0 Tìm điều kiện của m để phơng trình

có hai nghiệm phân biệt khác -1

Bài 82 Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0

Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y2 + qy + 1 = 0

Chứng minh hệ thức: (a – c)(a – d)(b – c)(b – d) = (p – q)2

Bài 83 Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0

Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y2 + qy + 1 = 0

Chứng minh hệ thức: (a – c) (b – c) (a + d) (b + d) = q2– p2

Bài 84 Cho phơng trình: (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0

1 Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m

2 Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và khi đó hãy tìm giá trị của m để nghiệm này gấp hai lần nghiệm kia

1 Xác định m để phơng trình có 2 nghiệm không âm

2 Khi đó hãy tính giá trị của biểu thức: E= x1 + x2 theo m

Bài 87 Cho phơng trình: 3x2 – mx + 2 = 0 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm thỏa mãn: 3x1x2 = 2x2 – 2

Bài 94 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để

ph-ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp đôi nghiệm kia là: 9ac = 2b2

Bài 95 Cho phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để

ph-ơng trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia (k > 0) là: kb2 = (k + 1)2 ac

Bài 96 Cho hai phơng trình: x2 + mx + 2 = 0 (1) x2 + 2x + m = 0 (2)

a Định m để hai phơng trình có ít nhất một nghiệm chung

b Định m để hai phơng trình tơng đơng

c Xác định m để phơng trình: (x2 + mx +2)(x2 + 2x + m) = 0 có 4 nghiệm phân biệt.Bài 97 Với giá trị nào của tham số a và b, các phơng trình:

(2a + 1)x2 – (3a – 1)x + 2 = 0 và (b + 2)x2 – (2b + 1)x – 1 = 0 có hai nghiệm chung

Bài 98 Với giá trị nào của tham số k, hai phơng trình sau có nghiệm chung:

2x2 + (3k + 1)x – 9 = 0 và 6x2 + (7k – 1)x – 19 = 0

Bài 99 Với giá trị nào của số nguyên p, các phơng trình sau đây có nghiệm chung: 3x2 – 4x + p– 2 = 0; x2 – 2px + 5 = 0

Bài 100 Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0 với a, b, c là các số hữu tỉ, a ≠ 0 Cho biết

ph-ơng trình có một nghiệm 1+ 2 Hãy tìm nghiệm còn lại

Bài 101 Tìm tất cả các số nguyên k để phơng trình: kx2 – (1 – 2k)x + k – 2 = 0 luôn luôn có nghiệm số hữu tỷ

Bài 102 Cho phơng trình: 3x2 + 4(a – 1)x + a2 – 4a + 1 = 0 xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn hệ thức: 1 2

= 0 có hai nghiệm b và c Chứng minh hệ thức: (b – a)(b – c) = pq – 6

Bài 104 Cho các phơng trình: x2 – 5x + k = 0 (1) x2 – 7x + 2k = 0 (2)

Xác định k để một trong các nghiệm của phơng trình (2) lớn gấp hai một trong các nghiệm của phơng trình (1)

Bài 105 Cho hai phơng trình: 2x2 + mx – 1 = 0 (1) mx2 – x + 2 = 0 (2)

Với giá trị nào của m, phơng trình (1) và phơng trình (2) có nghiệm chung

Bài 106 Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phơng trình: 3x2 – cx + 2c – 1 = 0 Tính theo c giá trị của biểu thức: 3 3

Bài 107 Xác định a để 2 phơng trình: x2 + ax + 8 = 0 và x2 + x + a = 0 có nghiệm chung

Bài 108 Cho phơng trình: 2x2 + 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: 1 2

2 1

2

x x

x + x = Bài 109 Cho biết x1, x2 là hai nghiệm phân biệt khác 0 của phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c

= 0 (a≠ 0; , ,a b c R∈ ) Hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là: 2 2

1 2

1 1 ,

x x Bài 110 Biết rằng x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình: ax2 + bx + c = 0 Hãy viết phơng trình bậc hai nhận 3 3

1 , 2

x x làm hai nghiệm

Bài 111 Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1

1 Chứng minh rằng phơng trình f(x) = 0 có nghiệm với mọi m

2 Đặt x = t + 2 Tính f(x) theo t, từ đó tìm điều kiện đối với m để phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm lớn hơn 2

Bài 112 Cho phơng trình: x2 – (2m + 1)x + m2 + m – 6

1 Định m để phơng trình có hai nghiệm đều âm

2 Định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 3 3

1 2 50

x −x = Bài 113 Chứng minh rằng phơng trình: (x + 1)(x + 3) + m(x + 2)(x + 4) = 0 Luôn luôn có nghiệm số thực với mọi giá trị của tham số m

Bài 114 Cho phơng trình: x2 – 6x + m = 0 Với giá trị nào của tham số m, phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn 3 3

1 2 72

x +x = Bài 115 Giả sử a và b là hai số khác nhau Chứng minh rằng nếu phơng trình:

x2 + ax + 2b = 0 (1) và x2 + bx + 2a = 0 (2) có đúng một nghiệm chung thì các nghiệm còn lại của (1) và (2) là nghiệm của phơng trình: x2 + 2x + ab = 0

Bài 116 Cho phơng trình: x2 – (m – 1)x – m2 + m - 2 = 0.

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi m

2 Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: 2 2

1 2

E x= +x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 117 Cho hai phơng trình: x2 + a1x + b1 = 0 và x2 + a2x + b2 = 0

Cho biết a1a2 ≥ 2(b1 + b2) Chứng minh ít nhất một trong hai phơng trình đã cho có nghiệm

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

2 Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: 2 2

3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: -1 < x1 < x2 < 1

4 Trong trờng hợp phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1,

x2 không có m

Bài 124 Cho phơng trình: x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0

1 Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có nghiệm với mọi m

2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm đối nhau

Bài 125 Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0 Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 – x2 = 5 và 3 3

1 2 35

x − =x Tính các nghiệm đó

Bài 126 Giả sử phơng trình: ax2 + bx + c = 0; (a, b, c khác 0) có hai nghiệm phân biệt trong đó

có đúng một nghiệm dơng x1 thì phơng trình: ct2 + bt + a = 0 cũng có hai nghiệm phân biệt trong

đó t1 > 0 thỏa mãn: x1 + t1 ≥ 2

Bài 127 Cho hai phơng trình: ax2 + bx + c = 0 (1) cx2 + bx + a = 0 (2) (a, b, c khác 0) Chứng minh rằng nếu (1) có hai nghiệm dơng x1, x2 thì (2) cũng có hai nghiệm x3 và x4 Ngoài racác nghiệm đó thỏa mãn: x1 + x2 + x3 + x4 ≥ 4

Bài 128 Không giải phơng trình: 3x2 + 17x – 14 = 0 Hãy tính giá trị của biểu thức:

2 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt.

3 Xác định m để phơng trình có hai nghiệm mà một nghiệm gấp đôi nghiệm còn lại Tìm các nghiệm đó

Bài 131 Cho phơng trình: x2 + ax + b = 0 Xác định a và b để phơng trình có hai nghiệm là a và b

Bài 132 Cho f(x) = (4m – 3)x2 – 3(m + 1)x + 2(m + 1)

1 Khi m = 1, tìm nghiệm của phơng trình f(x) = 0

2 Xác định m để f(x) viết đợc dới dạng một bình phơng

3 Giả sử phơng trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Lập một hệ thức giữa x1, x2

không phụ thuộc vào m

Bài 133 Cho x, y > 0 thỏa mãn hệ thức: x( x+ y) = 3 y( x+ 5 y) Hãy tính giá trị của biểu thức: E 2x xy 3y

Chứng tỏ rằng phơng trình có nghiệm số với mọi m

Tìm m sao cho nghiệm x1, x2 của phơng trình thỏa mãn điều kiện: 2 2

1 2 10

x +x ≥ Với giá trị nào của tham số m, biểu thức: 2 2

có hai nghiệm phân biệt

Bài 137 Giả sử phơng trình: x2 + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm nguyên dơng Chứng minh rằng:

a2 + b2 là một hợp số

Bài 138 Giả sử phơng trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Xác

định m để biểu thức: 2 2

1 2 10 1 2

E x= + +x x x đạt giá trị nhỏ nhất Tính min E

Bài 139 Cho phơng trình: x2 + px – 1 = 0 (p là số lẻ) có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Chứng minh rằng: nếu n là số tự nhiên thì: x1n+x2n và 1 1

b Xác định m để phơng trình có một nghiệm x = 4 Tính nghiệm còn lại

Bài 141 Cho phơng trình: x2 – mx + m – 1 = 0 Có 2 nghiệm x1, x2 Với giá trị nào của m, biểu thức: 1 2

+

= + + + đạt giá trị lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó.

Bài 142 Cho a là số thực khác -1 Hãy lập một phơng trình bậc hai có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn các hệ thức: 4x1x2 + 4 = 5(x1 + x2) (1)

1 2 2 2

x +x ≥ + Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 144 Cho a khác 0 Giả sử x1, x2 là nghiệm của phơng trình: 2

1 2

E x= +x Bài 145 Cho phơng trình: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0

a Với giá trị nào của a, phơng trình có nghiệm kép Tính các nghiệm kép

b Xác định a để phơng trình có hai nghiêm phân biệt lớn hơn -1

Bài 146 Cho phơng trình: x2 – ax + a + 1 = 0 có hai nghiệm là x1 và x2

a Không giải phơng trình, hãy tính giá trị của biểu thức: 12 22

a Chứng minh rằng phơng trình có nghiệm với mọi m

b Chứng minh rằng có một hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m

Bài 148 Cho phơng trình: ax2 + (ab + 1)x + b = 0

a Chứng minh rằng với mọi a, b phơng trình đã cho đều có nghiệm

b Muốn cho phơng trình đã cho có nghiệm duy nhất bằng 1/2 thì a và b phải bằng bao nhiêu?

Bài 149 Cho phơng trình: x2 – 2mx – m2 – 1 = 0

a Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m

b Tìm biểu thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m

c Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 2

2 1

5 2

x x

x + x = − .

Bài 150 Cho phơng trình: (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0

a Giải và biện luận phơng trình theo m

b Khi phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x1, x2:

a Chứng minh phơng trình luôn có nghiệm với mọi m

b Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 2

1 2

x =x Bài 153 Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình: x2 – 3x + a = 0

Gọi t1, t2 là hai nghiệm của phơng trình: t2 – 12t + b = 0

a Khái niệm hàm số bậc nhất

- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b Trong đó a, b là các số cho

- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b

- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b ≠0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0

* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠0)

Bớc 1 Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.

Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành

Bớc 2 Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b

d Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng

Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a ≠0) và (d’): y = a’x + b’ (a’≠0) Khi đó

• Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox

- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và

có tung độ dơng

• Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b

- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b

f Một số phơng trình đờng thẳng

- Đờng thẳng đi qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0

- Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) và B(0; y0) với x0.y0 ≠0 là

- Hàm số y = ax2 (a ≠0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:

+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0

+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0

c Đồ thị của hàm số y = ax2 (a ≠0)

- Đồ thị hàm số y = ax2 (a ≠0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng

+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị

+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị