Đang tải... (xem toàn văn)
CÁC DẠNG TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10A.CĂN THỨC VÀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC D.1.Kiến thức cơ bảnA.1.1.Căn bậc haia.Căn bậc hai số họcVới số dương a, số được gọi là căn bậc hai số học của aSố 0 cũng được gọi là căn bậc hai số học của 0Một cách tổng quát: b.So sánh các căn bậc hai số học Với hai số a và b không âm ta có: A.1.2.Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức a.Căn thức bậc haiVới A là một biểu thức đại số , người ta gọi là căn thức bậc hai của A, A được gọi là biểu thức lấy căn hay biểu thức dưới dấu căn xác định (hay có nghĩa) A 0b.Hằng đẳng thức Với mọi A ta có Như vậy: + nếu A 0 + nếu A < 0 A.1.3.Liờn hệ giữa phộp nhõn và phộp khai phương a.Định lí: + Với A 0 và B 0 ta có: + Đặc biệt với A 0 ta có b.Quy tắc khai phương một tích: Muốn khai phương một tích của các thừa số không âm, ta có thể khai phương từng thừa số rồi nhân các kết quả với nhau c.Quy tắc nhân các căn bậc hai: Muốn nhân các căn bậc hai của các số không âm, ta có thể nhân các số dưới dấu căn với nhau rồi khai phương kết quả đóA.1.4.Liờn hệ giữa phộp chia và phộp khai phương a.Định lí: Với mọi A 0 và B > 0 ta có: b.Quy tắc khai phương một thương: Muốn khai phương một thương ab, trong đó a không âm và b dương ta có thể lần lượt khai phương hai số a và b rồi lấy kết quả thứ nhất chí cho kết quả thứ hai.c.Quy tắc chia các căn bậc hai: Muốn chia căn bậc hai của số a không âm cho số b dương ta có thể chia số a cho số b rồi khai phương kết quả đó.A.1.5.Biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai a.Đưa thừa số ra ngoài dấu cănVới hai biểu thức A, B mà B 0, ta có , tức là+ Nếu A 0 và B 0 thì + Nếu A < 0 và B 0 thì b.Đưa thừa số vào trong dấu căn+ Nếu A 0 và B 0 thì + Nếu A < 0 và B 0 thì c.Khử mẫu của biểu thức lấy căn Với các biểu thức A, B mà A.B 0 và B 0, ta có d.Trục căn thức ở mẫu Với các biểu thức A, B mà B > 0, ta có Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có Với các biểu thức A, B, C mà và , ta có A.1.6.Căn bậc ba a.Khái niệm căn bậc ba:Căn bậc ba của một số a là số x sao cho x3 = aVới mọi a thì b.Tính chất Với a < b thì Với mọi a, b thì Với mọi a và thì A.2.Kiến thức bổ sung A.2.1.Căn bậc na.Căn bậc n ( ) của số a là một số mà lũy thừa n bằng ab.Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) •Mọi số đều có một và chỉ một căn bậc lẻ•Căn bậc lẻ của số dương là số dương•Căn bậc lẻ của số âm là số âm•Căn bậc lẻ của số 0 là số 0 c.Căn bậc chẵn (n = 2k )•Số âm không có căn bậc chẵn•Căn bậc chẵn của số 0 là số 0•Số dương có hai căn bậc chẵn là hai số đối nhau kí hiệu là và d.Các phép biến đổi căn thức. • xác định với xác định với • với A với A• với A, B với A, B mà • với A, B với A, B mà • với A, B mà B 0 với A, B mà B 0, • với A, mà • với A, mà A.2.2.Bất đẳng thức và bất phương trỡnh •Bất đẳng thức•Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), …,fn(x) là các biểu thức bất kì . Đẳng thức xảy ra khi cùng dấu•Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, …, an là các số không âm, khi đó Đẳng thức xảy ra khi a1 = a2 = … = an•Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1, a2, …, an ) và (b1, b2, …, bn ) là hai bộ số bất kì, khi đó Đẳng thức xảy ra khi (quy ước bi == 0 thì ai = 0)•Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối hoặc A.2.3.Dấu của nhị thức bậc nhất và dấu của tam thức bậc hai a.Cho nhị thức f(x) = ax + b (a 0). Khi đó ta có.x ba + f(x) = ax + bTrái dấu với a Cùng dấu với ab.Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0). Khi đó ta cóNếu x b2a + f(x) = ax2 + bx + c Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với aNếu x x1 x2 + f(x) Cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 Cùng dấu a A.2.4.Biến đổi tam thức bậc haiCho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0). Khi đó ta có với •Nếu a > 0 thì nên •Nếu a < 0 thì nên Chú ý. Nếu (k là hằng số dương) khi đó ta có •Amin A’max•Amax A’min B.HỆ PHƯƠNG TRèNHB.1.Kiến thức cơ bảnb.1.1.Hệ phương trỡnh bậc nhất một ẩna.Phương trình bậc nhất hai ẩn•Phương trình bậc nhất hai ẩn: ax + by = c với a, b, c R (a2 + b2 0)•Tập nghiệm của phương trình bậc nhất hai ẩn: Phương trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. Tập nghiệm của nó được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = cNếu a 0, b 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị hàm số Nếu a 0, b = 0 thì phương trình trở thành ax = c hay x = ca và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục tungNếu a = 0, b 0 thì phương trình trở thành by = c hay y = cb và đường thẳng (d) song song hoặc trùng với trục hoànhb.Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn•Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn: trong đó a, b, c, a’, b’, c’ R •Minh họa tập nghiệm của hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, khi đó ta có(d) (d’) thì hệ vô nghiệm(d) (d’) = thì hệ có nghiệm duy nhất(d) (d’) thì hệ có vô số nghiệm •Hệ phương trình tương đương Hệ hai phương trình tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệmc.Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế•Quy tắc thế•Giải hệ phương trình bằng phương pháp thếDùng quy tắc thế biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩnGiải phương trình một ẩn vừa có rồi suy ra nghiệm của h
CÁC DẠNG TOÁN LUYỆN THI VÀO LỚP 10 A CĂN THỨC VÀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC D.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học a - Với số dương a, số gọi bậc hai số học a - Số gọi bậc hai số học x ≥ x= a ⇔ x = a - Một cách tổng quát: b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b không âm ta có: a ta có: b Quy tắc khai phương thương: Muốn khai phương thương a/b, a không âm b dương ta khai phương hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dương ta chia số a cho số b khai phương kết A.1.6 Biến đổi biểu thức chứa thức bậc hai a Đưa thừa số dấu - Với hai biểu thức A, B mà B ≥ A2 B = A 0, ta có B , tức A.1.7 + Nếu A ≥ B A.1.8 + Nếu A < B a Đưa thừa số vào dấu A.1.9 + Nếu A ≥ B A.1.10 + Nếu A < B a Khử mẫu biểu thức lấy ≥ ≥ ≥ ≥ A2 B = A B A2 B = − A B thì A.1.11 - Với biểu thức A, B mà A.B A B = A2 B A B = − A2 B ≥ B ≠ A = B AB B 0, ta có a Trục thức mẫu A.1.12 - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có A A B = B B A.1.13 - Với biểu thức A, B, C mà A≥0 A ≠ B2 , ta có C C ( A ± B) = A − B2 A±B A.1.14 - Với biểu thức A, B, C mà A ≥ 0, B ≥ A≠ B , ta có C ( A ± B) C = A− B A± B A.1.15 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a số x cho x3 = a - Với a b Tính chất ( a )3 = a3 = a - Với a < b a0 15 - x + 16 x1 ∞ 17 f( 18 ∞ Cùng dấu a x2 Trái dấu a Cùng dấu a Biến đổi tam thức bậc hai 19 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a f ( x) = ax + bx + c = a ( x − f ( x) ≥ Nếu a > f ( x) ≤ Nếu a < A= 20 * Chú ý Nếu Amin ⇔ k A' −∆ 4a −∆ 4a b ∆ ) − 2a 4a ≠ với 0) Khi ta có ∆ = b − 4ac f ( x) = −∆ −b ⇔x= 4a 2a max f ( x) = −∆ −b ⇔x= 4a 2a x∈R nên x∈R nên (k số dương) ta có A’max Amax ⇔ A’min B HỆ PHƯƠNG TRèNH B.1 Kiến thức b.1.1 Hệ phương trỡnh bậc ẩn a Phương trình bậc hai ẩn ∈ ≠ • Phương trình bậc hai ẩn: ax + by = c với a, b, c R (a2 + b2 0) • Tập nghiệm phương trình bậc hai ẩn: Phương trình bậc nhât hai ẩn ax + by = c luôn có vô số nghiệm Tập nghiệm biểu diễn đường thẳng (d): ax + by = c ≠ ≠ - Nếu a 0, b đường thẳng (d) đồ thị hàm số ≠ y=− a c x+ b b - Nếu a 0, b = phương trình trở thành ax = c hay x = c/a đường thẳng (d) song song trùng với trục tung ≠ - Nếu a = 0, b phương trình trở thành by = c hay y = c/b đường thẳng (d) song song trùng với trục hoành b Hệ hai phương trình bậc hai ẩn ax + by = c a ' x + b ' y = c ' • Hệ hai phương trình bậc hai ẩn: a, b, c, a’, b’, c’ • Minh họa tập nghiệm hệ hai phương trình bậc hai ẩn Gọi (d): ax + by = c, (d’): a’x + b’y = c’, ta có (d) // (d’) hệ vô nghiệm (d) (d) ∩ ≡ ∈ R { A} (d’) = hệ có nghiệm (d’) hệ có vô số nghiệm • Hệ phương trình tương đương Hệ hai phương trình tương đương với chúng có tập nghiệm c Giải hệ phương trình phương pháp • Quy tắc • Giải hệ phương trình phương pháp Dùng quy tắc biến đổi hệ phương trình cho để hệ phương trình có phương trình ẩn Giải phương trình ẩn vừa có suy nghiệm hệ d Giải hệ phương trình phương pháp cộng đại số • Quy tắc cộng • Giải hệ phương trình phương pháp Nhân hai vế phương trình với số thích hợp (nếu cần) cho hệ số ẩn hai phương trình đối áp dụng quy tắc cộng đại số để hệ phương trình mới, có phương trình mà hệ số hai ẩn (phương trình ẩn) Giải phương trình ẩn vừa thu suy nghiệm hệ cho b.1.2 Hệ phương trỡnh đưa phương trỡnh bậc ≥ - Nếu hai số x y thỏa mãn x + y = S, x.y = P (với S2 4P) hai số x, y nghiệm phương trình: x2 + SX + P = B.2 Kiến thức bổ sung b.2.1 Hệ phương trỡnh đối xứng loại a Định nghĩa: Hệ hai phương trình hai ẩn x y gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y phương trình hệ không đổi b Cách giải ≥ • Đặt S = x + y, P = x.y, Đk: S2 4P • Giải hệ để tìm S P • Với cặp (S, P) x y hai nghiệm phương trình: t2 – St + P = c Ví dụ • Giải hệ phương trình x + y + xy = 2 x + y + xy = 13 x + y + xy + = 2 x + y − x − y = 22 b.2.2 Hệ phương trỡnh đối xứng loại a Định nghĩa x + y + x2 + y2 = xy ( x + 1)( y + 1) = 12 Hệ hai phương trình hai ẩn x y gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y phương trình trở thành phương trình ngược lại b Cách giải • Trừ vế theo vế hai phương trình hệ để phương trình hai ẩn • Biến đổi phương trình hai ẩn vừa tìm thành phương trình tích • Giải phương trình tích để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) • Thế x y (hoặc y x) vào phương trình hệ để phương trình ẩn • Giải phương trình ẩn vừa tìm ròi suy nghiệm hệ c Ví dụ • Giải hệ phương trình x = y − y + y = x − x + x = 13x − y y = 13 y − x b.2.3 Hệ phương trỡnh đẳng cấp bậc a Định nghĩa 2 ax + bxy + cy = 2 a ' x + b ' xy + c ' y = - Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai có dạng: b Cách giải - Xét xem x = có nghiệm hệ phương trình không ≠ - Nếu x 0, ta đặt y = tx thay vào hai phương trình hệ Khử x giải hệ tìm t Thay y = tx vào hai phương trình hệ để phương trình ẩn (ẩn x) Giải phương trình ẩn để tìm x từ suy y dựa vào y = tx * Lưu ý: ta thay x y y x phần để có cách giải tương tự c Ví dụ Giải hệ phương trình 2 x − xy + y = y − 3xy = 2 2 x − 3xy + y = 2 x + xy − y = C PHƯƠNG TRèNH C.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN C.1.1 Phương trỡnh bậc ẩn a Định nghĩa - Phương trình có dạng ax + b = Trong a, b b Cách giải biện luận - Nếu a = Khi đó: + b = phương trình có VSN ≠ +b ≠ ∈ R a ≠ 0 phưong trình VN - Nếu a Khi phương trình có nghiệm x = - b/a C.1.2 Phương trỡnh bậc hai ẩn a Định nghĩa ∈ ≠ - Phương trình có dạng: ax2 + bx + c = Trong a, b, c R a b Cách giải biện luận - Nếu a = Phương tình có dạng bx + c = 0: Phương trình bậc ≠ - Nếu a Khi + + + ∆0 (hoặc (hoặc (hoặc ∆ = b − 4ac ∆' < ∆' = ∆' > x1,2 = (hoặc ∆ ' = b '2 − ac ) ): Pt vô nghiệm x1 = x2 = − ): Pt có nghiệm kép b 2a x1 = x2 = − (hoặc b' a ) ): Pt có hai nghiệm phận biệt −b ' ± ∆ ' a x1,2 = −b ± ∆ 2a (hoặc ) • Chú ý: Nếu phương trình ax + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 ta viết ax2 + bx + c = a(x - x1)(x -x2) Định lý Viet a Định lí thuận - Nếu phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 tổng tích hai nghiệm S = x1 + x2 = − b a b Định lí đảo P = x1.x2 = c a x1 + x2 = S x1.x2 = P S ≥ 4P - Nếu hai số x y có tổng tích thỏa mãn hai số x y hai nghiệm phương trình t2 - St + P = 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 D HÀM SỐ VÀ ĐỒ THỊ 20 Kiến thức 21.Hàm số a Khái niệm hàm số - Nếu đại lượng y phụ thuộc vào đại lượng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định giá trị tương ứng y y gọi hàm số tương ứng x x gọi biến số - Hàm số cho bảng công thức b Đồ thị hàm số - Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm M mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn phương trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) mặt phẳng tọa độ) c Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Cho hàm số y = f(x) xác định với giá trị x thuộc R - Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến R - Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến R * Tổng quát + f ( x2 ) − f ( x1 ) > 0, ∀x1 , x2 ∈ D, x1 ≠ x2 ⇒ x2 − x1 f ( x2 ) − f ( x1 ) < 0, ∀x1 , x2 ∈ D, x1 ≠ x2 ⇒ x2 − x1 Hàm số f(x) đồng biến D + Hàm số f(x) nghịch biến D Hàm số bậc a Khái niệm hàm số bậc - Hàm số bậc hàm số cho công thức y = ax + b Trong a, b số cho ≠ trước a b Tính chất Hàm số bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: - Đồng biến R a > - Nghịch biến R a < c Đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) ≠ Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) đường thẳng - Cắt trục tung điểm có tung độ b ≠ - Song song với đường thẳng y = ax, b 0, trùng với đường thẳng y = ax, b = ≠ * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Bước Cho x = y = b ta điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy Cho y = x = -b/a ta điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bước Vẽ đường thẳng qua hai điểm P Q ta đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tương đối hai đường thẳng Cho hai đường thẳng (d): y = ax + b (a + a = a ' d // d ' ⇔ b ≠ b ' d '∩ d ' = { A} ⇔ a ≠ a ' + ≠ ≠ 0) (d’): y = a’x + b’ (a’ 0) Khi + 10 + a = a ' d ≡d'⇔ b = b ' d ⊥ d ' ⇔ a.a ' = −1 ≠ e Hệ số góc đường thẳng y = ax + b (a 0) • Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox f - Góc tạo đường thẳng y = ax + b trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đường thẳng y = ax + b với trục Ox, T điểm thuộc đường thẳng y = ax + b có tung độ dương • Hệ số góc đường thẳng y = ax + b g - Hệ số a phương trình y = ax + b gọi hệ số góc đường thẳng y = ax +b h Một số phương trình đường thẳng - Đường thẳng qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x - x0) + y0 ≠ - Đường thẳng qua điểm A(x0, 0) B(0; y0) với x0.y0 i Hàm số bậc hai a Định nghĩa x y + =1 x0 y0 ≠ j - Hàm số có dạng y = ax2 (a 0) b Tính chất ≠ k - Hàm số y = ax (a 0) xác đinh với giá trị c thuộc R và: l + Nếu a > hàm số nghịch biến x < 0, đồng biến x > m + Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghịch biến x > ≠ c Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) ≠ n - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) Parabol qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng o + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành, O điểm thấp đồ thị p + Nếu a < đồ thị nằm phía dười trục hoành, O điểm cao đồ thị q Kiến thức bổ sung r Cụng thức tớnh tọa độ trung ddiemr đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng s Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) B(x2, y2) Khi - Độ dài đoạn thẳng AB tính công thức AB = ( xB − x A )2 + ( yB − y A )2 t - Tọa độ trung điểm M AB tính công thức xM = u x A + xB y + yB ; yM = A 2 ≠ ≠ v Quan hệ Parabol y = ax2 (a 0) đường thẳng y = mx + n (m 0) ≠ w Cho Parabol (P): y = ax2 (a 0) đường thẳng (d): y = mx + n Khi - Tọa độ giao điểm (P) (d) nghiệm hệ phương trình x y = ax y = mx + n - Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phương trình y ax2= mx + n (*) - Số giao điểm (P) (d) số nghiệm phương trình (*) z + Nếu (*) vô nghiệm (P) (d) điểm chung aa + Nếu (*) có nghiệm kép (P) (d) tiếp xúc ab + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt ac Một số phộp biến đổi đồ thị ad Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) - Đồ thị (C1): y = f(x) + b suy cách tịnh tiếc (C) dọc theo trục tung b đơn vị - Đồ thị (C2): y = f(x + a) suy cách tịnh tiến (C) dọc theo trục hoành –a đơn vị - Đồ thị (C3): y = f(|x|) gồm hai phần ae + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải Oy, bỏ phần (C) nằm bên trái Oy af + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên phải Oy qua Oy - Đồ thị (C4): y = |f(x)| gồm hai phần ag + Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên Ox, bỏ phần (C) nằm bên Ox ah + Lấy đối xứng phần (C) nằm bên treen Ox qua Ox Hàm số chẵn, hàm số lẻ d Hàm số chẵn, Hàm số lẻ - Hàm số y = f(x) gọi chẵn aj + ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D ∀x ∈ D ak - + f(-x) = f(x) Hàm số y = f(x) gọi lẻ ∀x ∈ D ⇒ − x ∈ D al + am + f(-x) = - f(x) ∀x ∈ D e Chú ý - Đồ thị hàm số chẵn đối xứng qua trục tung - Đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ ≠ an Sơ lược hàm số bậc hai tổng quỏt y = ax2 + bx + c (a 0) Tính chất ao Hàm bậc hai y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) xác định với giá trị x thuộc R ∀x ∈ ( −∞; − - Nếu a > 0: Hàm số nghịch biến ∀x ∈ (−∞; − - Nếu a < 0: Hàm số đồng biến Đồ thị ap b ] 2a Đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c (a x=− b ] 2a ≠ ∀x ∈ [ − b ; +∞) 2a ∀x ∈ [ − b ; +∞) 2a , đồng biến , nghịch biến S (− 0) Parabol có đỉnh b ∆ ;− ) a 4a có trục đối b 2a xứng - Nếu a > 0: Parabol có bề lõm quay lên nhận S làm điểm thấp - Nếu a < 0: Parabol có bề lõm quay xuống nhận S làm điểm cao nhất Chú ý ≠ - Tọa độ giao điểm (P): y = ax2 + bx + c (a 0) (D): y = mx + n nghiệm hệ y = ax + bx + c y = mx + n ≠ - Hoành độ giao điểm (P): y = ax2 + bx + c (a 0) (D): y = mx + n nghiệm phương trình: ax2 + bx + c = mx + n ≠ - Giao điểm (P): y = ax2 + bx + c (a 0) trục hoành nghiệm phương trình ax2 + bx + c = aq dw dx.Phần 2: cỏc tập hệ phương trỡnh bậc dy Bài 31: Cho phương trình : m 2x − dz a) Giải phương trình ( ) 2 − = − x + m2 m = +1 x = 3− b) Tìm m để phương trình có nghiệm c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương ea Bài 32: Cho phương trình : ( m − 4) x − 2mx + m − = eb (x ẩn ) x= a) Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm lại b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt c) Tính x12 + x22 theo m ec ed Bài 33: Cho phương trình : x − 2( m + 1) x + m − = ee (x ẩn ) a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu b) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt với m c) Chứng minh biểu thức M= x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − x1 ) không phụ thuộc vào m ef eg Bài 34: Tìm m để phương trình : eh a) x − x + 2( m − 1) = 4x + 2x + m − = có hai nghiệm dương phân biệt ei ej b) c) (m ) có hai nghiệm âm phân biệt + x − 2( m + 1) x + 2m − = có hai nghiệm trái dấu ek el Bài 35: Cho phương trình : x − ( a − 1) x − a + a − = em a) Chứng minh phương trình có nghiệm tráI dấu với a b) Gọi hai nghiệm phương trình x1 x2 Tìm giá trị a để en Bài 36: Cho b c hai số thoả mãn hệ thức: x12 + x22 đạt giá trị nhỏ 1 + = b c x + bx + c = eo CMR hai phương trình sau phải có nghiệm x + cx + b = ep eq Bài 37:Với giá trị m hai phương trình sau có nghiệm số chung: x − ( 3m + ) x + 12 = 0(1) er x − ( 9m − ) x + 36 = 0(2) es Bài 38: Cho phương trình : x − 2mx + m − = et a) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn phương trình eu Bài 39: Cho phương trình bậc hai tham số m : x2 + 4x + m + = ev a) Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm b) Tìm m cho phương trình có hai nghiệm x1và x2 thoả mãn điều kiện ew ex Bài 40: Cho phương trình x12 + x22 = 10 x − 2( m − 1) x + 2m − = ey a) Chứng minh phương trình có hai nghiệm với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu Khi hai nghiệm mang dấu ? ez Bài 41: Cho phương trình x − 2( m + 1) x + 2m + 10 = fa a) Giải biện luận số nghiệm phương trình (với m tham số ) b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 ; tìm hệ thức liên hệ mà không phụ thuộc vào m 10 x1 x2 + x12 + x22 c) Tìm giá trị m để fb Bài 42: Cho phương trình đạt giá trị nhỏ ( m − 1) x − 2mx + m + = fc x1; x2 với m tham số ∀m ≠ a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Xác định giá trị m dể phương trình có tích hai nghiệm 5, từ tính tổng hai nghiêm phương trình c) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m d) Tìm m để phương trình có nghiệm x1; x2 thoả mãn hệ thức: x1 x2 + + =0 x2 x1 fd fe ff Bài 43: A) Cho phương trình : x − mx + m − = fg a) Chứng tỏ phươnh trình có nghiệm giá trị m tương ứng b) Đặt A = x12 + x22 − x1 x2 A = m − 8m + • Chứng minh • Tìm m để A=8 (m tham số) x1; x2 với m ; tính nghiệm kép ( có) phương trình • Tìm giá trị nhỏ A giá trị m tương ứng c) Tìm m cho phương trình có nghiệm hai lần nghiệm fh B) Cho phương trình x − 2mx + 2m − = fi fj a) Chứng tỏ phươnh trình có nghiệm fk b) Đặt A= x1; x2 với m 2( x + x ) − x1 x2 2 8m − 18m + • CMR A= • Tìm m cho A=27 fl c)Tìm m cho phương trình có nghiệm hai nghiệm fm fn Bài 44: Giả sử phương trình a.x + bx + c = có nghiệm phân biệt x1; x2 Đặt S n = x1n + x2n (n nguyên dương) a) CMR a.S n + + bS n +1 + cS n = b) áp dụng Tính giá trị : A= 1 + 1 − + fo fp Bài 45: Cho fq f(x) = x2 - (m+2).x + 6m+1 a) CMR phương trình f(x) = có nghiệm với m b) Đặt x=t+2 Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phương trình f (x) = có nghiệm lớn fr Bài 46: Cho phương trình : x − 2( m + 1) x + m − 4m + = fs a) Xác định giá trị m để phương trình có nghiệm b) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm phân biệt dương c) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm có giá trị tuyệt đối trái dấu d) Gọi x1; x2 hai nghiệm có phương trình Tính x12 + x22 theo m ft fu fv Bài 47: Cho phương trình x2 − 4x + = M = tính giá trị biểu thức : có hai nghiệm x + 10 x1 x2 + x x1 x23 + x13 x2 2 fw fx Bài 48: Cho phương trình fy x x − 2( m + 2) x + m + = a) Giải phương trình m= b) Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm trái dấu x1; x2 Không giải phương trình , x1; x2 c) Gọi hai nghiệm phương trình Tìm giá trị m để : x1 (1 − x2 ) + x2 (1 − x1 ) = m fz ga gb.Bài 49: Cho phương trình gc x + mx + n − = (1) (n , m tham số) • Cho n=0 CMR phương trình có nghiệm với m • Tìm m n để hai nghiệm x1; x2 phương trình (1) thoả mãn hệ : x1 − x2 = 2 x1 − x2 = gd ge gf Bài 50: Cho phương trình: x − 2( k − ) x − k − = gg ( k tham số) a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với giá trị k b) Gọi x1; x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị k cho x12 + x22 = 18 gh gi gj Bài 51: Cho phương trình ( 2m − 1) x − 4mx + = gk (1) a) Giải phương trình (1) m=1 b) Giải phương trình (1) m c) Tìm giá trị m để phương trình (1) có nghiệm m gl gm Bài 52:Cho phương trình : x − ( 2m − 3) x + m − 3m = gn a) CMR phương trình có hai nghiệm phân biệt với m b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm go x1 , x2 thoả mãn < x1 < x2 < gp Phần 3: Hệ phương trỡnh gq gr Bài53: Tìm giá trị m để hệ phương trình ; ( m + 1) x − y = m + x + ( m − 1) y = gs gt Có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y nhỏ gu.Bài 54: Giải hệ phươnh trình minh hoạ bằmg đồ thị gv a) gw x +1 = y 2 y − = x b) x − y = x y + =1 4 c) y +1 = x −1 y = x − 12 gx.Bài 55: Cho hệ phương trình : 2 x + by = −4 bx − ay = −5 a= b gy a)Giải hệ phương trình gz b)Xác định a b để hệ phương trình có nghiệm : * (1;-2) − 1; hb *( ) hc *Để hệ có vô số nghiệm hd.Bài 56:Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m: mx − y = 2m 4 x − my = + m he hf Bài 57: Với giá trị a hệ phương trình : x + ay = ax·+ y = hg a) Có nghiệm b) Vô nghiệm hh.Bài 58 :Giải hệ phương trình sau: x + xy + y = 19 x − xy + y = −1 hi hj Bài 59*: Tìm m cho hệ phương trình sau có nghiệm: x −1 + y − = ( x − y ) + m( x − y − 1) − x + y = hk hl Bài 60 :GiảI hệ phương trình: x − xy + y = 13 2 x − xy − y = −6 hm hn.Bài 61*: Cho a b thoả mãn hệ phương trình : a + 2b − 4b + = 2 a + a b − 2b = ho hp Bài 61:Cho hệ phương trình : hq .Tính a2 + b2 (a + 1) x − y = a.x + y = a a) Giải hệ phương rình a=b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn điều kiện x+y>0 hr Phần 4: Hàm số đồ thị hs Bài 62: Cho hàm số : ht y= (m-2)x+n (d) hu Tìm giá trị m n để đồ thị (d) hàm số : a) Đi qua hai điểm A(-1;2) B(3;-4) b) Cắt trục tung điểm cótung độ 1c) Cắt đường thẳng -2y+x-3=0 d) Song song vối đường thẳng 3x+2y=1 cắt trục hoành điểm có hoành độ 2+ y = 2x hv Bài 63: Cho hàm số : (P) a) Vẽ đồ thị (P) b) Tìm đồ thị điểm cách hai trục toạ độ y = mx − c) Xét số giao điểm (P) với đường thẳng (d) theo m d) Viết phương trình đường thẳng (d') qua điểm M(0;-2) tiếp xúc với (P) y = 2x + m y = x2 hw Bài 64 : Cho (P) đường thẳng (d) hx 1.Xác định m để hai đường : a) Tiếp xúc Tìm toạ độ tiếp điểm b) Cắt hai điểm phân biệt A B , điểm có hoành độ x=-1 Tìm hoành độ điểm lại Tìm toạ độ A B hy 2.Trong trường hợp tổng quát , giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt M N hz Tìm toạ độ trung điểm I đoạn MN theo m tìm quỹ tích điểm I m thay đổi 2(m − 1) x + (m − 2) y = ia Bài 65: Cho đường thẳng (d) a) b) c) d) y = x2 Tìm m để đường thẳng (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm toạ độ trung điểm I đoạn AB theo m Tìm m để (d) cách gốc toạ độ khoảng Max Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi y = − x2 ib Bài 66: Cho (P) a) Tìm tập hợp điểm M cho từ kẻ hai đường thẳng vuông góc với tiếp xúc với (P) b) Tìm (P) điểm cho khoảng cách tới gốc toạ độ y= x−3 ic Bài 6: Cho đường thẳng (d) a) Vẽ (d) b) Tính diện tích tam giác tạo thành (d) hai trục toạ độ c) Tính khoảng cách từ gốc O đến (d) y = x −1 id Bài 68: Cho hàm số (d) a) Nhận xét dạng đồ thị Vẽ đồ thị (d) x −1 = m b) Dùng đồ thị , biện luận số nghiệm phương trình ie Bài 69: Với giá trị m hai đường thẳng : if (d) y = (m − 1) x + y = 3x − ig (d') a) Song song với b) Cắt c) Vuông góc với ih Bài 70: Tìm giá trị a để ba đường thẳng : (d1 ) y = x − (d ) y = x + (d ) y = a.x − 12 ii đồng quy điểm mặt phẳng toạ độ ij ik Bài 71: CMR m thay đổi (d) 2x+(m-1)y=1 qua điểm cố định il y= im x Bài 72: Cho (P) đường thẳng (d) y=a.x+b Xác định a b để đường thẳng (d) đI qua điểm A(-1;0) tiếp xúc với (P) in y = x −1 + x + io Bài 73: Cho hàm số a) Vẽ đồ thị hàn số x −1 + x + = m b) Dùng đồ thị câu a biện luận theo m số nghiệm phương trình ip y = x2 iq Bài 74: Cho (P) đường thẳng (d) y=2x+m a) Vẽ (P) b) Tìm m để (P) tiếp xúc (d) y=− x2 ir Bài 75: Cho (P) (d) y=x+m a) Vẽ (P) b) Xác định m để (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B c) Xác định phương trình đường thẳng (d') song song với đường thẳng (d) cắt (P) điẻm có tung độ -4 d) Xác định phương trình đường thẳng (d'') vuông góc với (d') qua giao điểm (d') (P) y = x2 is Bài 76: Cho hàm số (P) hàm số y=x+m (d) a) Tìm m cho (P) (d) cắt hai điểm phân biệt A B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) tiếp xúc với (P) c) Thiết lập công thức tính khoảng cách hai điểm áp dụng: Tìm m cho khoảng cách hai điểm A B d1 it Bài 77: Cho điểm A(-2;2) đường thẳng ( ) y=-2(x+1) d1 a) Điểm A có thuộc ( ) ? Vì ? b) Tìm a để hàm số y = a.x (P) qua A d2 d1 c) Xác định phương trình đường thẳng ( ) qua A vuông góc với ( ) d2 d1 d) Gọi A B giao điểm (P) ( ) ; C giao điểm ( ) với trục tung Tìm toạ độ B C Tính diện tích tam giác ABC y= iu Bài 78: Cho (P) -2 x đường thẳng (d) qua hai điểm A B (P) có hoành độ lầm lượt a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (P) hàm số b) Viết phương trình đường thẳng (d) c) Tìm điểm M cung AB (P) tương ứng hoành độ tích lớn iv (Gợi ý: cung AB (P) tương ứng hoành độ y A; ; y B tính ) y=− x ∈ [ − 2;4] x ∈ [ − 2;4] cho tam giác MAB có diện có nghĩa A(-2; yA ) B(4; yB )⇒ x2 iw Bài 79: Cho (P) điểm M (1;-2) a) Viết phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc m b) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B m thay đổi c) Gọi x A ; xB hoành độ A B Xác định m để x A2 xB + x A xB2 đạt giá trị nhỏ tính giá trị d) Gọi A' B' hình chiếu A B trục hoành S diện tích tứ giác AA'B'B ix *Tính S theo m iy *Xác định m để S= 4(8 + m m + m + ) y = x2 iz Bài 80: Cho hàm số (P) a) Vẽ (P) b) Gọi A,B hai điểm thuộc (P) có hoành độ -1 Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) ja jb Bài 81: Trong hệ toạ độ xoy cho Parabol (P) jc đường thẳng (d) y = − x2 y = mx − 2m − a) Vẽ (P) b) Tìm m cho (P) (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm c) Chứng tỏ (d) qua điểm cố định jd Bài 82: Cho (P) y = − x2 điểm I(0;-2) Gọi (d) đường thẳng qua I có hệ số góc m a) Vẽ (P) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B b) Tìm giá trị m để đoạn AB ngắn y=− x2 je Bài 83: Cho (P) đường thẳng (d) qua điểm I( a) Vẽ (P) viết phương trình (d) b) Tìm m cho (d) tiếp xúc (P) c) Tìm m cho (d) (P) có hai điểm chung phân biệt jf y= jg Bài 84: Cho (P) a) Vẽ (P) (d) x2 đường thẳng (d) x y =− +2 ;1 ∀m ∈ R ) có hệ số góc m b) Tìm toạ độ giao điểm (P) (d) c) Tìm toạ độ điểm thuộc (P) cho đường tiếp tuyến (P) song song với (d) y = x2 jh Bài 85: Cho (P) a) Vẽ (P) b) Gọi A B hai điểm thuộc (P) có hoành độ -1 Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P) y = 2x ji Bài 86: Cho (P) a) Vẽ (P) b) Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x=1 điểm B có hoành độ x=2 Xác định giá trị m n để đường thẳng (d) y=mx+n tiếp xúc với (P) song song với AB jj Bài 87: Xác định giá trị m để hai đường thẳng có phương trình điểm (P) y = −2x (d1 ) x + y = m (d )mx + y = cắt jk Phần 5: Giải toỏn cỏch lập phương trỡnh jl Chuyển động jm Bài 88: Hai tỉnh A B cách 180 km Cùng lúc , ôtô từ A đến B xe máy từ B A Hai xe gặp thị trấn C Từ C đến B ôtô hết , từ C A xe máy hết 30 phút Tính vận tốc xe biết đường AB hai xe chạy với vận tốc không đổi jn Bài 89: Một ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B lại ngược dòng từ bến B bến A tất Tính vận tốc ca nô nước yên lặng ,biết quãng sông AB dài 30 km vận tốc dòng nước km/h jo Bài 90: Một ca nô xuôi từ bến A đến bến B với vận tốc 30 km/h , sau lại ngựơc từ B trở A Thời gian xuôi thời gian ngược 20 phút Tính khoảng cách hai bến A B biết vận tốc dòng nước km/h jp Bài 91: Một người chuyển động quãng đường gồm đoạn đường đoạn đường dốc Vận tốc đoạn đường đoạn đường dốc tương ứng 40 km/h 20 km/h Biết đoạn đường dốc ngắn đoạn đường 110km thời gian để người quãng đường 30 phút Tính chiều dài quãng đường người jq Bài 100: Hai ca nô khởi hành lúc chạy từ bến A đến bến B Ca nô I chạy với vận tốc 20 Km/h , ca nô II chạy với vận tốc 24 Km/h Trên đường ca nô II dừng lại 40 phút , sau tiếp tục chạy Tính chiều dài quãng đường sông AB biết hai ca nô đến B lúc jr Bài 101: Một người xe đạp từ A đến B cách 50 Km Sau 30 phút , người xe máy từ A đến B sớm Tính vận tốc xe , biết vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe đạp js Bài 102: Một ca nô chạy sông , xuôi dòng 108 Km ngược dòng 63 Km Một lần khác , ca nô chạy giờ, xuôi dòng 81 Km ngược dòng 84 Km Tính vận tốc dòng nước chảy vận tốc riêng ( thực ) ca nô jt Bài103: Một tầu thuỷ chạy khúc sông dài 80 Km , 20 phút Tính vận tốc tầu nước yên lặng , biết vận tốc dòng nước Km/h ju Bài 104: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau 20 phút ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20 Km Hỏi vận tốc thuyền , biết ca nô chạy nhanh thuyền 12 Km/h jv Bài 105: Một ôtô chuyển động với vận tốc định để hết quãng đường dài 120 Km thời gian định Đi nửa quãng đường xe nghỉ phút nên để đến nơi , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h nửa quãng đường lại Tính thời gian xe lăn bánh đường jw Bài 106: Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 Km thời gian quy định Sau ôtô bị chắn đường xe hoả 10 phút Do , để đến B hạn , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h Tính vận tốc lúc đầu ôtô jx Bài107: Một người xe đạp từ A đến B thời gian định Khi cách B 30 Km , người nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc , tăng vận tốc thêm Km/h tới đích sớm nửa Tính vận tốc xe đạp tren quãng đường lúc đầu jy Năng suất jz Bài 108: Hai đội công nhân làm công việc làm xong Nếu đội làm để làm xong công việc , đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong công việc bao lâu? ka kb Bài 109: Một xí nghiệp đóng giầy dự định hoàn thành kế hoạch 26 ngày Nhưng cải tiến kỹ thuật nên ngày vượt mức 6000 đôi giầy hoàn thành kế hoạch định 24 ngày mà vượt mức 104 000 đôi giầy Tính số đôi giầy phải làm theo kế hoạch kc kd Bài 110: Một sở đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt 20 cá , vượt mức tuần nên hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà vượt mức kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch định ke Bài 111: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trứoc làm việc đội xe bổ xung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe ? Biết số hàng chở tất xe có khối lượng kf Bài 112: Hai tổ sản xuất nhận chung mức khoán Nếu làm chung hoàn thành mức khoán Nếu để tổ làm riêng tổ làm xong mức khoán tổ phải làm ? kg Bài 113: Hai tổ công nhân làm chung 12 hoàn thành xong công việc định Họ làm chung với tổ thứ điều làm việc khác , tổ thứ hai làm nốt công việc lại 10 Hỏi tổ thứ hai làm sau hoàn thành công việc kh ki Bài 114: Hai người thợ làm công việc 16 xong Nếu người thứ làm người thứ hai làm họ làm 25% côngviệc Hỏi người làm công việc xong kj Thể Tớch kk Bài 115: Hai vòi nước chảy vào bể không chứa nước làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? kl km Bài 116: Hai vòi nước chảy vào bể nước chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng , vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai 30 phút Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? kn Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào bể chứa thời gian quy định phải bơm 10 m Sau bơm thể tích bể chứa , máy bơm hoạt động với công suất lớn , bơm 15 m Do so với quy định , bể chứa bơm đầy trước 48 phút Tính thể tích bể chứa ko Bài 118: Nếu hai vòi nước chảy vào bể chứa nước sau 30 phút đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút khoá lại mở vòi thứ hai chảy tiếp 20 phút bể Hỏi vòi chảy riêng sau đầy bể ? Bài 119: Hai vòi nước chảy vào bể chứa nước sau 55 phút đầy bể Nếu chảy riêng vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? kq kr Phần 6: Hỡnh học ks Bài120: Cho hai đường tròn tâm O O ’ có R > R’ tiếp xúc C Kẻ đường kính COA CO’B Qua trung điểm M AB , dựng DE ⊥ AB a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ? b) Nối D với C cắt đường tròn tâm O’ F CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng c) Nối D với B cắt đường tròn tâm O’ G CMR EC qua G d) *Xét vị trí MF đường tròn tâm O’ , vị trí AE với đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE kt Bài 121: Cho nửa đường tròn đường kính COD = 2R Dựng Cx , Dy vuông góc với CD Từ điểm E nửa đường tròn , dựng tiếp tuyến với đường tròn , cắt Cx P , cắt Dy Q a) Chứng minh ∆ POQ vuông ; ∆ POQ đồng dạng với ∆ CED b) Tính tích CP.DQ theo R kp ∆POQ 25 = ∆CED 16 R c) Khi PC= CMR d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đường tròn tâm O hình thang vuông CPQD chúng quay theo chiều trọn vòng quanh CD ku Bài 122: Cho đường tròn tâm O bán kính R có hai đường kính AOB , COD vuông góc với Lấy điểm E OA , nối CE cắt đường tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đường tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey a) Chứng minh I,F,E,O nằm đường tròn b) Tứ giác CEIO hình ? c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đường ? kv kw Bài 123: Cho đường tròn tâm O điểm A đường tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q , dựng tiếp tuyến QB a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp b) Gọi E trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax c) Hạ BK ⊥ Ax , BK cắt QO H CMR tứ giác OBHA hình thoi suy quỹ tích điểm H kx Bài 124: Cho ∆ ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn tâm O Các đường cao AD , BK cắt H , BK kéo dài cắt đường F Vẽ đường kính BOE a) Tứ giác AFEC hình ? Tại ? b) Gọi I trung điểm AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng BH c) CMR OI = H ; F đối xứng qua AC ky Bài 125: Cho (O,R) (O ’,R’ ) (với R>R’ ) tiếp xúc A Đường nối tâm cắt đường tròn O’ đường tròn O B C Qua trung điểm P BC dựng dây MN vuông góc với BC Nối A với M cắt đường tròn O’ E kz a) So sánh ∠ AMO với ∠ NMC (∠ - đọc góc) la b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng O’P = R ; OP = R’ lb c) Xét vị trí PE với đường tròn tâm O’ lc Bài 126: Cho đường tròn tâm O đường kính AB Lấy B làm tâm vẽ đường tròn bán kính OB Đường tròn cắt đường tròn O C D a) Tứ giác ODBC hình ? Tại ? b) CMR OC ⊥ AD ; OD ⊥ AC c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm đường tròn tâm B ld Bài 127: Cho đường tròn tâm O đường thẳng d cắt đường tròn hai điểm cố định A B Từ điểm M đường thẳng d nằm đoạn AB người ta kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn MP MQ ( P, Q tiếp điểm ) ∆MPQ a) Tính góc biết góc hai tiếp tuyến MP MQ 45 b) Gọi I trung điểm AB CMR điểm M , P , Q , O , I nằm đường tròn c) Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ MPQ M chạy d le Bài 128: Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn tâm O , tia phân giác góc A cắt cạnh BC E cắt đường tròn M a) CMR OM ⊥ BC b) Dựng tia phân giác Ax góc A CMR Ax qua điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F CMR FB EC = FC EB lf ( Hướng dẫn : áp dụng tính chất đường phân giác tam giác ) lg Bài 129: Cho ∆ ABC ( AB = AC , góc A < 90 ), cung tròn BC nằm ∆ ABC tiếp xúc với AB , AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đường vuông góc MI , MH , MK xuống cạnh tương ứng BC , CA , AB Gọi P giao điểm MB , IK Q giao điểm MC , IH a) CMR tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp b) CMR tia đối tia MI phân giác ∠ HMK c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp Suy PQ // BC lh a) b) c) d) li BAˆ C Bài 130: Cho ∆ ABC ( AC > AB ; > 900 ) I , K theo thứ tự trung điểm AB , AC Các đường tròn đường kính AB , AC cắt điểm thứ hai D ; tia BA cắt đường tròn (K) điểm thứ hai E ; tia CA cắt đường tròn (I) điểm thứ hai F CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng CMR tứ giác BFEC nội tiếp Chứng minh ba đường thẳng AD , BF , CE đồng quy Gọi H giao điểm thứ hai tia DF với đường tròn ngoại tiếp ∆ AEF Hãy so sánh độ dài đoạn thẳng DH , DE R Bài 131: Cho đường tròn (O;R) điểm A với OA = , đường thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M , N ; gọi I trung điểm đoạn MN a) CMR OI ⊥ MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB , AC Suy A , O , B , C bốn đỉnh hình vuông c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB , AC cung nhỏ BC (O) lj Bài132: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R , C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF a) ∆ AFC ∆ BEC có quan hệ với ? Tại ? b) CMR ∆ FEC vuông cân c) Gọi D giao điểm đường thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đường tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp lk Bài133: Cho đường tròn (O;R) hai đường kính AB , CD vuông góc với E điểm E ≠ B; E ≠ D cung nhỏ BD ( ) EC cắt AB M , EA cắt CD N a) CMR ∆ AMC đồng dạng ∆ ANC b) CMR : AM.CN = 2R2 CN ND c) Giả sử AM=3MB Tính tỉ số ll Bài 134: Một điểm M nằm đường tròn tâm (O) đường kính AB Gọi H , I hai điểm cungAM , MB ; gọi Q trung điểm dây MB , K giao điểm AM , HI a) Tính độ lớn góc HKM b) Vẽ IP ⊥ AM P , CMR IP tiếp xúc với đường tròn (O) c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp điểm R M di động nửa đường tròn (O) đường kính AB lm Bài 135: Gọi O trung điểm cạnh BC ∆ ABC Vẽ góc xOy =600 cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC M, N ln a) CMR ∆ OBM đồng dạng ∆ NCO , từ suy BC2 = BM.CN lo b) CMR : MO, NO theo thứ tự tia phân giác góc BMN, MNC lp c) CMR đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn cố định , góc xOy quay xung quanh O cho tia Ox,Oy cắt cạnh AB, AC tam giác ABC M ≠ A, B lq Bài136: Cho M điểm nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB=2R ( ) Vẽ tiếp tuyến Ax , By , Mz nửa đường tròn Đường Mz cắt Ax , By N P Đường thẳng AM cắt By C đường thẳng BM cắt Ax D Chứng minh : lr a) Tứ giác AOMN nội tiếp đường tròn NP = AN + BP ls b) N P trung điểm đoạn thẳng AD BC lt c) AD.BC = 4R2 lu d) Xác định vị trí M để tư giác ABCD có diện tích nhỏ lv Bài 137: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tâm (O) I điểm cung AB (cung AB không chứa C D ) Dây ID , IC cắt AB M N a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đường tròn b) IC AD cắt E ; ID BC cắt F CMR EF // AB lw B≠C Bài 138: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B ( ) vẽ ’ đường tròn tâm (O ) đường kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đường tròn (O’) I a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ? b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng c) CMR: MI tiếp tuyến đường tròn (O’) MI2 = MB.MC lx (Lớp10- đề toán) ly Bài 139: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R điểm M di động nửa đường tròn Người ta vẽ đường tròn tâm (E) tiếp xúc với đường tròn (O) M tiếp xúc với đường kính AB N Đường tròn cắt MA , MB điểm thứ hai C , D a) Chứng minh : CD // AB b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đường thẳng MN qua điểm K cố định c) CMR : KM.KN không đổi lz Bài 140: Cho đường tròn đường kính AB , điểm C , D đường tròn cho C , D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC , AD M , N ; giao điểm MN với AC , AD H , I ; giao điểm MD với CN K ∆NKD; ∆MAK a) CMR: cân b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK ma Bài 141: Cho ba điểm A , B , C đường thẳng theo thứ tự đường thẳng (d) vuông góc với AC A Vẽ đường tròn đường kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đường thẳng d D ; tia AM cắt đường tròn điểm thứ hai N ; tia DB cắt đường tròn điểm thứ hai P a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí M c) Tứ giác APND hình ? Tại ? d) Chứng minh trọng tâm G tam giác MAC chạy đường tròn cố định M di động mb Bài 142: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Một điểm M nằm cung AB ; gọi H điểm cung AM Tia BH cắt AM điểm I cắt tiếp tuyến A đường tròn (O) điểm K Các tia AH ; BM cắt S a) Tam giác BAS tam giác ? Tại ? Suy điểm S nằm đường tròn cố định b) Xác định vị trí tưong đối đường thẳng KS với đường tròn (B;BA) c) Đường tròn qua B , I , S cắt đường tròn (B;BA) điểm N CMR đường thẳng MN qua điểm cố định M di động cung AB MKˆ A = 900 d) Xác định vị trí M cho mc Bài 143: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I ; dây BC PD kéo dài cắt K CMR: a) Góc CID góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp c) IK // AB d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA A md Bài 144: Cho hai đường tròn (O 1) (O2) tiếp xúc với A , kẻ tiếp tuyến chung Ax Một đường thẳng d tiếp xúc với (O1) , (O2) điểm B , C cắt Ax điểm M Kẻ đường kính BO1D CO2E a) CMR: M trung điểm BC ∆ b) CMR: O1MO2 vuông c) Chứng minh B , A , E thẳng hàng ; C , A , D thẳng hàng d) Gọi I trung điểm DE CMR đường tròn ngoại tiếp tam giác IO 1O2 tiếp xúc với đường thẳng d me Bài 145: Cho (O;R) có dây AB = R cố định điểm M di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB ; P , Q giao điểm thứ hai đường thẳng AH , BH với đường tròn (O) ; S giao điểm đường thẳng PB , QA a) CMR : PQ đường kính đường tròn (O) b) Tứ giác AMBS hình ? Tại ? c) Chứng minh độ dài SH không đổi d) Gọi I giao điểm đường thẳng SH , PQ Chứng minh I chạy đường tròn cố định mf Bài 146: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm ) a) CMR : BM // OP b) Đườngthẳng vuông gócvới AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP hình ? Tại ? c) Gọi K giao điểm AN với OP ; I giao điểm ON với PM ; J giao điểm PN với OM CMR : K , I , J thẳng hàng d) Xác định vị trí P cho K nằm đường tròn (O) mg Bài 147: Cho đường tròn (O;R) , hai đường kính AB CD vuông góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đường thẳng CM cắt đường tròn (O) điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đường tròn (O) điểm P a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO hình ? Tại ? c) CMR : CM.CN không đổi d) CMR : M di động đoạn AB P chạy mộtđường thẳng cố định mh Bài 148: Cho hai đường tròn (O) , (O’) cắt hai điểm A B Các đường thẳng AO , AO’ cắt đường tròn (O) điểm thứ hai C , D cắt đường tròn (O’) điểm thứ hai E , F a) CMR: B , F , C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp c) Chứng minh A tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đường tròn (O) , (O’) mi Bài 149: Cho nửa đường tròn đường kính AB = 2R điểm M nửa đường tròn ( M khác A B ) Đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt đường trung trực đoạn AB I Đường tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d C D ( D nằm góc BOM ) a) CMR tia OC , OD tia phân giác góc AOM , BOM b) CMR : CA DB vuông góc với AB ∆COD ∆AMB c) CMR : đồng dạng d) CMR : AC.BD = R2 mj Bài 150: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB điểm M đường tròn Gọi điểm cung AM , MB H , I Cãc dây AM HI cắt K a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi ΙΡ ⊥ ΑΜ b) Hạ Chứng minh IP tiếp tuyến (O;R) c) Gọi Q trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đường tròn (O;R) d) CMR kkhi M di động thì đường thẳng HI luôn tiếp xúc với đường tròn cố định mk Bài 151: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB hai điểm C , D thuộc nửa đường COˆ D = 900 tròn cho cung AC < 90 Gọi M điểm nửa đường tròn cho C điểm chính cung AM Các dây AM , BM cắt OC , OD E F a) Tứ giác OEMF hình ? Tại ? b) CMR : D điểm cung MB c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đường tròn M cắt tia OC , OD I , K CMR tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp d) Giả sử tia AM cắt tia BD S Xác định vị trí C D cho điểm M , O , B , K , S thuộc đường tròn ml ∆ABC Bài 152: Cho (AB = AC ) , cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB , AC B , C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đường vuông góc MI , MH , MK xuống cạnh tương ứng BC , CA , AB Gọi giao điểm BM , IK P ; giao điểm CM , IH Q a) CMR tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp b) CMR : MI2 = MH MK ⊥ c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp Suy PQ MI d) CMR KI = KB IH = IC mm [...]... tiếp xúc với AB cắt đường thẳng d tại C và D ( D nằm trong góc BOM ) a) CMR các tia OC , OD là các tia phân giác của các góc AOM , BOM b) CMR : CA và DB vuông góc với AB ∆COD ∆AMB c) CMR : đồng dạng d) CMR : AC.BD = R2 mj Bài 150: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB và một điểm M bất kỳ trên đường tròn Gọi các điểm chính giữa của các cung AM , MB lần lượt là H , I Cãc dây AM và HI cắt nhau tại K a) Chứng... rồi hạ các đường vuông góc MI , MH , MK xuống các cạnh tương ứng BC , CA , AB Gọi P là giao điểm của MB , IK và Q là giao điểm của MC , IH a) CMR các tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp được b) CMR tia đối của tia MI là phân giác ∠ HMK c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp được Suy ra PQ // BC lh a) b) c) d) li BAˆ C Bài 130: Cho ∆ ABC ( AC > AB ; > 900 ) I , K theo thứ tự là các trung điểm của AB , AC Các đường... a) CMR ∆ OBM đồng dạng ∆ NCO , từ đó suy ra BC2 = 4 BM.CN lo b) CMR : MO, NO theo thứ tự là tia phân giác các góc BMN, MNC lp c) CMR đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định , khi góc xOy quay xung quanh O sao cho các tia Ox,Oy vẫn cắt các cạnh AB, AC của tam giác đều ABC M ≠ A, B lq Bài136: Cho M là điểm bất kì trên nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB=2R ( ) Vẽ các tiếp tuyến Ax... Tính thời gian xe lăn bánh trên đường jw Bài 106 : Một ôtô dự định đi từ A đén B cách nhau 120 Km trong một thời gian quy định Sau khi đi được 1 giờ ôtô bị chắn đường bởi xe hoả 10 phút Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6 Km/h Tính vận tốc lúc đầu của ôtô jx Bài107: Một người đi xe đạp từ A đến B trong một thời gian đã định Khi còn cách B 30 Km , người đó nhận thấy rằng sẽ đến... hàng c) CMR: MI là tiếp tuyến của đường tròn (O’) và MI2 = MB.MC lx (Lớp1 0- bộ đề toán) ly Bài 139: Cho đường tròn tâm (O) đường kính AB = 2R và một điểm M di động trên một nửa đường tròn Người ta vẽ một đường tròn tâm (E) tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và tiếp xúc với đường kính AB tại N Đường tròn này cắt MA , MB lần lượt tại các điểm thứ hai C , D a) Chứng minh : CD // AB b) Chứng minh MN là... có ba góc nhọn Gọi H là trực tâm của tam giác MAB ; P , Q lần lượt là các giao điểm thứ hai của các đường thẳng AH , BH với đường tròn (O) ; S là giao điểm của các đường thẳng PB , QA a) CMR : PQ là đường kính của đường tròn (O) b) Tứ giác AMBS là hình gì ? Tại sao ? c) Chứng minh độ dài SH không đổi d) Gọi I là giao điểm của các đường thẳng SH , PQ Chứng minh I chạy trên một đường tròn cố định mf... đường tròn (O) , (O’) cắt nhau tại hai điểm A và B Các đường thẳng AO , AO’ cắt đường tròn (O) lần lượt tại các điểm thứ hai C , D và cắt đường tròn (O’) lần lượt tại các điểm thứ hai E , F a) CMR: B , F , C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp được c) Chứng minh A là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE là tiếp tuyến chung của các đường tròn (O) , (O’) mi Bài 149: Cho nửa đường... phân biệt A và B Tìm toạ độ trung điểm I của đoạn AB theo m Tìm m để (d) cách gốc toạ độ một khoảng Max Tìm điểm cố định mà (d) đi qua khi m thay đổi y = − x2 ib Bài 66: Cho (P) a) Tìm tập hợp các điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai đường thẳng vuông góc với nhau và tiếp xúc với (P) b) Tìm trên (P) các điểm sao cho khoảng cách tới gốc toạ độ bằng y= 3 x−3 4 ic Bài 6: Cho đường thẳng (d) a) Vẽ (d)... kl km Bài 116: Hai vòi nước cùng chảy vào một cái bể không có nước và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút Nếu chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao lâu ? kn Bài 117: Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một bể chứa trong một thời gian quy định thì 1 3 mỗi giờ phải bơm được 10 m 3 Sau khi bơm được thể tích bể... y=x+m (d) a) Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B b) Xác định phương trình đường thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P) c) Thi t lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm bất kì áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng 3 2 d1 it Bài 77: Cho điểm A(-2;2) và đường thẳng ( ) y=-2(x+1) d1 a) Điểm A có thuộc ( ) ? Vì sao ? b) Tìm a để hàm số y = a.x