1. Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp 9 Thầy Hồng Trí Quang 1 Luyện đề là giai đoạn quan trọng nhất trong quá trình ôn thi. Nó giúp bạn có bức tranh hoàn chỉnh về những kiến thức của kì thi, giúp bạn có tư duy tổng hợp, rèn luyện cách trình bày bài, tâm lí làm bài Tài liệu gồm 03 đề thi trích trong tuyển tập 101 đề thi Học sinh giỏi, thi chuyên toán 9 03 đề thi này ở mức Lever 2 (thi học sinh giỏi), Lever 3 (thi vào các trường chuyên top đầu) Cấu trúc đề thi theo chương trình thi chuyên, để làm tốt 03 đề thi này các bạn gần như phải sử dụng toàn bộ phương pháp giải toán chuyên, khi thi thật điểm số các bạn sẽ rất cao. Khóa học online luyện thi học sinh giỏi – thi chuyên toán Thầy Hồng Trí Quang ĐỀ SỐ 39 Bài 1. Cho a, b, c là các số dương và thỏa mãn đẳng thức cba 111 . Chứng minh rằng: 3 b ca a bc c ab Bài 2. Tìm các số tự nhiên x, y biết rằng . Bài 3. Giải phương trình 34 3 2 3 4 1 1x x x (1) Bài 4. Giải hệ phương trình: 9612 43 233 22 xyxx xyx Bài 5. Cho x, y, z là các số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện 2 3 5x y z và 2 6 3 8xy yz xz . Chứng minh rằng 7 1 3 x ; Bài 6. Cho tam giác ABC . Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB lần lượt tại D, E, F. Đường thẳng ID cắt EF tại K, đường thẳng qua K và song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự tại M và N. 1 Chứng minh rằng tứ giác IFMK, IMAN nội tiếp 2. Gọi J là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng ba điểm A, K, J thẳng hàng. 3 Gọi r là bán kính đường tròn (I), cho
Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Thầy Hồng Trí Quang Luyện đề giai đoạn quan trọng q trình ơn thi Nó giúp bạn có tranh hồn chỉnh kiến thức kì thi, giúp bạn có tư tổng hợp, rèn luyện cách trình bày bài, tâm lí làm Tài liệu gồm 03 đề thi trích tuyển tập 101 đề thi Học sinh giỏi, thi chun tốn 03 đề thi mức Lever (thi học sinh giỏi), Lever (thi vào trường chun top đầu) Cấu trúc đề thi theo chương trình thi chun, để làm tốt 03 đề thi bạn gần phải sử dụng tồn phương pháp giải tốn chun, thi thật điểm số bạn cao Khóa học online luyện thi học sinh giỏi – thi chun tốn Thầy Hồng Trí Quang ĐỀ SỐ 39 a + b = c Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn đẳng thức Chứng minh rằng: ab bc ca − − =3 c a b Bài Tìm số tự nhiên x, y biết 3x − x3 = − (2 x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) − y = 11879 (1+ x ) Bài Giải phương trình Bài Giải hệ phương trình: (1) x + y + = x x + 12 x + y = x + x + y + 3z = Bài Cho x, y, z số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện 1≤ x ≤ xy + yz + xz = Chứng minh ; Bài Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng ID cắt EF K, đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M N 1/ Chứng minh tứ giác IFMK, IMAN nội tiếp Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Thầy Hồng Trí Quang Gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng 3/ Gọi r bán kính đường tròn (I), cho Tính Bài Giả sử phương trình x + ax + b = SIEAF SIMN ≥ theo r chứng minh: SIEAF có hai nghiệm lớn Chứng minh a − a − 2b b ≥ b − a +1 1+ b Bài Trên bảng có số Thực việc ghi số theo quy tắc sau: Nếu bảng có hai a, b số phép ghi thêm số c = a + b + ab Hỏi cách ghi số 2001 11111 hay khơng? ĐỀ SỐ 49 Bài Với a, b, c số thực đơi phân biệt, chứng minh 3+ ( 2a + b)( 2b + c) (2b + c)( 2c + a ) (2c + a )( 2a + b) ( 2a + b) 2b + c 2c + a + + = + + (a − b)(b − c) (b − c)(c − a ) (c − a )( a − b) a −b b−c c−a p ( x ) = x 2016 + a2015 x 2015 + + a1 x + a0 Bài Cho đa thức với hệ số số ngun Biết phương trình p(x) = có nghiệm số ngun khác Chứng minh p ( x ) = −1 phương trình khơng có nghiệm ngun + x − = x + 2x − x x x Bài Giải phương trình Bài Giải hệ phương trình 2 x + x = y + 2 y + y = x + Bài Hãy xác định số k > bé cho ab bc ca + + ≤ k (a + b + c ) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b với a; b; c > Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Thầy Hồng Trí Quang Bài Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O) Ax tia nằm tia AB tia AC Ax cắt BC X cắt đường tròn (O) điểm thứ hai la Y 1) Chứng minh AX.AY = a2 2) Chứng minh XA XB XC = YA YB.YC 3) Tìm vị trí Ax để XA.YB.YC đạt giá trị lớn ( x; y; z ) Bài Tìm tất ba ngun dương thỏa mãn hệ phương trình: x = 2( y + z ) 2 x = y + z + 31( y + z ) P1 Bài Trong trò chơi có đấu thủ tham gia, ban đầu hai đấu thủ P2 sân, P3 ; P4 ; P5 ; P6 ; P7 ; P8 đấu thủ xếp hàng chờ đợi Sau chơi trận người thua phải xếp vào cuối hàng chờ đợi; người thắng cộng điểm tiếp tục lại sân (thi đấu) Lúc người đứng đầu hàng bước vào thi đấu trận Trò chơi tiếp tục chừng có người ghi điểm Vào lúc (tức lúc dừng trò chơi), ta nhận thấy tổng số điểm mà đấu thủ ghi 37 điểm Hãy xác định xem người thắng chứng minh cho câu trả lời bạn./ ĐỀ SỐ 59 Bài Cho số dương a, b, c thỏa mãn: b ≠ c, a + b ≠ c a + b = ( a + b − c )2 a + ( a − c )2 a− c = b + ( b − c) b− c Chứng minh đẳng thức: Bài Tìm a cho phương trình x2 − a2 x + a + = có nghiệm ngun x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + Bài Chứng minh phương trình =0 vơ nghiệm Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Bài Cho x, y số thỏa mãn điều kiện: Thầy Hồng Trí Quang 2 x + y − x + = 2 x y + y − x = A = x1000 y1001 + x 700 y Tính giá trị biểu thức: Bài Với a, b, c số thực dương thoả mãn đẳng thức ab + bc + ca = abc Tìm giá trị M= nhỏ biểu thức a b2 c2 + b3 c a x − y + z = 16 Bài Tìm nghiệm ngun dương phương trình y < x < 10 (với ) Bài Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD O Gọi H1, H2 trực tâm tam giác OAB, OCD G1, G2 trọng tâm tam giác OAD, OBC Gọi S diện tích tứ giác H1G1H2G2 a) Gọi M, N trung điểm AD BC Chứng minh G1G2 // MN H1 H ⊥ MN b) Chứng minh ( 3G1G2 + H1 H ) S≤ c) Chứng minh rằng: 24 Dấu đẳng thức xảy nào? Bài Hãy xác định tất cặp số ngun dương (h, s) có tính chất sau: Nếu kẻ h đường thẳng nằm ngang s đường thẳng khác thỏa mãn tính chất i) ii) iii) Khơng có đường nằm ngang Khơng có đường chúng song song Khơng có đường (h + s) đường thẳng đồng quy, số miền tạo thành (h + s) đường thẳng 1992 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 39 a Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn đẳng thức rằng: + b = c Chứng minh Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Thầy Hồng Trí Quang ab bc ca − − =3 c a b Từ giả thiết ta có a+ b ab = ⇒ c= c ab a+ b a + b + ab ab bc ca b − − = ab − ÷ ÷ a c a b ab Do a + b + ab = c ab ab a − a+ b b = a + b + ab a a +b b a + b + ab a − ab + b − = − ab ab ab ab a + b = a + b + ab − a + ab − b ab = =3 ab ab Vậy ( ab a+ b ) ab bc ca − − =3 c a b Bài Tìm số tự nhiên x, y biết (2 x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) − y = 11879 Lời giải Đặt A = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) x x x x x Ta thấy , + 1, + 2, + 3, + năm số tự nhiên liên tiếp nên có số chia x hết cho 5, mà khơng chia het cho Vậy A chia hết cho y Nếu y ≥ từ A − = 11879 có vế trái chia hết cho vế phải khơng chia hết cho 5, ( 2x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) = 11880 = 9.10.11.12 mâu thuẫn y = , ta có x x Từ suy + = nên = , x = Các số tự nhiên x = 3, y = thỏa mãn đề 3x − x3 = − (1+ x ) Bài Giải phương trình (1) Lời giải: Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp ( (1) ⇔ x − x = − + x Cách 1: ⇔ x (3x − x) = 2 ) ( 2+ x + + x2 ( − x2 + x2 + + x2 Thầy Hồng Trí Quang ) ) + + x2 + x2 + + x2 ⇔ x 3x − x + + + x2 ÷= ÷ Nhận thấy 3x − x + + x + 1+ x + + x2 2 ( =3 x− + ) + x2 − + 5x2 + ÷ 3 6(1 + + x ) >0 Với x (1) ⇔ x = ⇔ x = Do Vậy phương trình (1) có nghiệm x=0 Cách 2: Áp dụng BĐT Cauchy cho số khơng âm,ta có 2 2 2 1 + x ÷+ + x ÷+ ≥ 3 + x ÷ ⇔ ( 1+ x ) ≥ 1+ x (2) x4 + x4 + x2 + Áp dụng BĐT Cauchy cho bốn số khơng âm có 3x + Suy x ≥ x3 (3) Cơng theo vế (2) (3), biến đổi 3x − x3 ≥ − (1+ x ) (4) x ≥ 4 x12 ≥ x Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Đẳng thức (4) xảy Bài Giải hệ phương trình: Thầy Hồng Trí Quang x=0 x + y + = x x + 12 x + y = x + 2 (1) x + y + = x 3 x + 12 x + y = x +9 (2) = 12 x − x − y Từ phương trình (1) ta suy ra: vào phương trình (2) thu gọn ta được: x + y = x3 + y = 3( x − y ) ⇔ ( x + y )( x − xy + y − 3x + y ) = ⇔ 2 x − xy + y − 3x + y = x + y = ⇔ y = − x ⇒ y = x2 * Nếu vào phương trình (1) ta x + = x ⇔ 2( x − 1) + = phương trình vơ nghiệm x − xy + y − 3x + y = * Nếu , trừ vế theo vế phương với phương trình (1) ta được: x = − xy − x + y − = −4 x ⇔ xy − x − y + = ⇔ ( x − 3)( y − 1) = ⇔ y =1 + Nếu x=3 y2 = ⇒ y = thay vào phương trình (1) có: , cặp ( x; y ) = ( 3; 0) thoả mãn phương trình (2) y =1 + Nếu thay vào phương trình (1)có: mãn phương trình (2) Vậy nghiệm hệ cho ( x; y ) = ( 3; 0) , ( 2; 1) ( x − 2) =0⇒ x=2 , cặp ( x; y ) = ( 2; 1) thoả Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Thầy Hồng Trí Quang x + y + 3z = Bài Cho x, y, z số thực khác 0, thỏa mãn điều kiện 1≤ x ≤ xy + yz + 3xz = Chứng minh ; Lời giải Đặt t = y , s = 3z Từ giả thiết có x + t + s = xt + ts + sx = (1) ≤ x, t , s ≤ Khi điều cần chứng minh tương đương với 2 2 Từ BĐT quen thuộc 2ts ≤ t + s , suy 4ts ≤ (t + s ) = (5 − x) (5 − x ) = xt + ts + sx = x(t + s ) + ts ≤ x (5 − x ) + Bởi 4.8 ≤ x(5 − x) + (5 − x) ⇔ x − 10 x + ≤ ⇔ ( x − 1)( x − 7) ≤ Từ ⇔1≤ x ≤ Khẳng định tốn chứng minh Bài Cho tam giác ABC Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB D, E, F Đường thẳng ID cắt EF K, đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M N 1/ Chứng minh tứ giác IFMK, IMAN nội tiếp Gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng 3/ Gọi r bán kính đường tròn (I), cho Tính SIEAF Bài giải SIMN ≥ theo r chứng minh: SIEAF Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Ta có : MN // BC (gt), a) ID ⊥ BC Thầy Hồng Trí Quang ((I) tiếp xúc với BC D) · · ⇒ ID ⊥ MN ⇒ IK ⊥ MN ⇒ IKM = IKN = 90 · · IFM + IKM = 90 + 90 = 180 ⇒ Tứ giác IFMK nội tiếp Mặt khác : Ta có : · · IKN = IEN = 90 ⇒ · · IMF = IKF · · ⇒ IMF = ANI ⇒ b) Tứ giác IKEN nội tiếp (Tứ giác IFMK nội tiếp) ; Tứ giác IMAN nội tiếp Ta có : · · IMK = IFK ( Tứ giác IFMK nội tiếp ) · · IN K = IEK ( Tứ giác IKEN nội tiếp ) Mặt khác : IE = IF (= r) ∆IMN ⇒ ∆IEF cân I cân I có IK đường cao · · IKF = ANI (Tứ giác IKEN nội tiếp) Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp ⇒ ⇒ IK đường trung tuyến ∆IMN K trung điểm MN ⇒ MN = 2.MK Mà BC = 2.BJ (J trung điểm BC) Do đó: MN 2.MK MK = = BC 2.BJ BJ Mặt khác: ⇒ ∆ABC AM MN = AB BC Ta có: Xét có MN // BC (Hệ định lý Thales) AM MK MN = = ÷ AB BJ BC ∆AMK ∆ABJ , ta có: · · AMK = ABJ ( hai góc đồng vò MN // BC ) AM MK = BJ AB · · ⇒ ∆AMK : ∆ABJ ( c − g − c ) ⇒ MAK = BAJ ⇒ Hai tia AK, AJ trùng Vậy ba điểm A, K, J thẳng hàng AE, AF tiếp tuyến đường tròn (I) c) ⇒ AE = AF, AI tia phân giác ∆AEF · EAF · EAF = 60 (gt) cân A có 10 Thầy Hồng Trí Quang Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp S IM ⇒ IMN = ÷ SIEF IF Mà IF ⊥ FM ⇒ IM ≥ IF ⇒ Thầy Hồng Trí Quang IM ≥1 IF SIMN ≥ ⇒ SIMN ≥ SIEF SIEF Do đó: S = 3.r ;SIEF = Ta có: SIMN ≥ Vậy 3.r ;SIMN ≥ SIEF S Bài Giả sử phương trình x + ax + b = có hai nghiệm lớn Chứng minh a − a − 2b b ≥ b − a +1 1+ b x1 + x = − a, x1 x2 = b ⇒ Ta có bất đẳng thức tuơng đương x1 x 2 x1 x x1 x x x + ≥ ⇔ (1 + ) + (1 + ) ≥ +2 + x + x1 + x1 x + x1 + x1 + x1 x Với ⇔ (1 + x1 + x )( Với x1 , x > Từ (1), (2) ⇒ 1 + ) ≥ (1 + x1 x ) + x1 + x + x1 x 1 + ≥ (1), + x1 + x + x1 x + x1 + x ≥ + x1 x (2) ta có (đpcm) Bài Trên bảng có số Thực việc ghi số theo quy tắc sau: Nếu bảng có hai a, b số phép ghi thêm số c = a + b + ab 11111 hay khơng? Lời giải Bài tốn sử dụng tính bất biến 12 Hỏi cách ghi số 2001 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Thầy Hồng Trí Quang Dãy số viết 1, 2, 5, 11, 17, … Dế dàng chứng minh số viết thêm bảng chia cho dư Bất biến cho phép ta loại trừ số 2001 dãy số viết bảng Tuy nhiên, bất biến khơng cho phép ta loại trừ số 11111 Ta tìm bất biến khác Quan sát số viết quy tắc viết thêm số, ta có c=a+b+ab ⇒ c +1 = ( a + 1)(b + 1) cộng thêm vào số thuộc dãy ta có dãy 2, 3, 6, 12, 18, … Như vậy, cộng thêm vào số viết thêm số có dạng 2n.3m m, n ∈ ¥ với Do 11111 + = 11112 = 3.8.463 nên khơng thuộc dãy số viết Do khơng thể viết số 2001 11111 ĐỀ SỐ 49 Bài Với a, b, c số thực đơi phân biệt, chứng minh 3+ ( 2a + b)( 2b + c) (2b + c)( 2c + a ) (2c + a )( 2a + b) (2a + b) 2b + c 2c + a + + = + + (a − b)(b − c ) (b − c)(c − a ) (c − a )( a − b) a−b b−c c−a Bài giải x= Đặt 2a + b 2b + c 2c + a ,y = ,z = a −b b −c c −a Khi đó: ⇔ + 3( xy + yz + zx) = x + y + z Đpcm x +1 = 3a 3b 3b 3c 3c 3a ,x−2= , y +1 = ,y−2= ; z +1 = ,z−2= a −b a −b b−c b −c a −b a −b ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = ( x − 2)( y − 2)(z − 2) Suy ra: ⇔ + 3( xy + yz + zx ) = x + y + z 13 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Thầy Hồng Trí Quang p ( x ) = x 2016 + a2015 x 2015 + + a1 x + a0 Bài Cho đa thức với hệ số số ngun Biết phương trình p(x) = có nghiệm số ngun khác Chứng minh p ( x ) = −1 phương trình khơng có nghiệm ngun Gọi a, b, c d nghiệm ngun khác phương trình p(x) = p ( x ) −1 = ( x − a ) ( x − b ) ( x − c ) ( x − d ) h ( x ) Ta có h(x) đa thức bậc 2012 với hệ số nguyện p ( x ) = −1 Giả sử pt có nghiệm ngun x=n p ( n ) = −1 , ⇔ p ( n ) = + ( n − a ) ( n − b ) ( n − c ) ( n − d ) h ( n ) = −1 ( n − a ) ( n − b ) ( n − c ) ( n − d ) h ( n ) = −2 n − a, n − b, n − c, n − d Với n ngun số ngun khác nhau: ước phân biệt số ngun tố Vơ lí p (x) −1 ≠ Từ suy -2 ⇒ p ( x) ≠ −1 với x ngun + x − = x + 2x − x x x Bài Giải phương trình x≥ Điều kiện ta được: x− −1 ≤ x ≤ (*) − 2x − = x − x x x Phương trình (1) tương đương: u = x − ; v = 2x − x x Đặt u −v = x− u ≥ 0; v ≥ với Ta được: 14 x (1) Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Lại có: 5 2 v − u = x − ÷− x − ÷ = x − x x x Thầy Hồng Trí Quang (2) v − u = u − v ⇔ ( u − v ) ( u + v + 1) = Từ (1) (2) suy ra: u−v =0 ⇔ x− Nên Vì u + v +1 > x = = ⇔ x2 = ⇔ x x = −2 Thử lại thấy nghiệm x = -2 khơng thỏa mãn điều kiện, nghiệm x = thỏa mãn phương trình Bài Giải hệ phương trình 2 x + x = y + 2 y + y = x + x, y > Từ hệ suy ra: x ≥ y ⇒ x5 + x ≥ y + y ⇒ y + ≥ x + ⇒ y ≥ x Giả sử (Vì x, y > 0) Vậy ta thu phương trình x5 − x + x − = ⇔ x ( x − 1) + ( x − 1) = ⇔ ( x − 1)( x + 2) = ⇔ x = x = y =1 Đáp số Bài Hãy xác định số k > bé cho ab bc ca + + ≤ k (a + b + c) a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b với a; b; c > Bài giải Nhận thấy vai trò a; b; c bình đẳng, cho a = b = c thay vào ta có 15 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp VT = 3a ≤ VP = k 3a ⇔ ≤ k 4 chứng minh k= Ta chứng minh Thầy Hồng Trí Quang giá trị nhỏ cần tìm Tức ab bc ca a+b+c + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b Đến việc chứng minh đơn giản Xem giảng Điểm rơi AM – GM – thầy Hồng Trí Quang phần BĐT phụ 1 + ≥ a b a+b Áp dụng ta có ab 1 ab ab = ab ≤ + ÷ a + b + 2c (a + c) + (b + c) a + c b + c bc bc bc ≤ + ÷ b + c + 2a a + b a + c ac 1 ac ac = ac ≤ + ÷ c + a + 2b (a + b) + (b + c ) a + b b + c Cộng vế với vế rút gọn VP ta có Đpcm Bài Cho tam giác ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O) Ax tia nằm tia AB tia AC Ax cắt BC X cắt đường tròn (O) điểm thứ hai la Y 1) Chứng minh AX.AY = a2 2) Chứng minh XA XB XC = YA YB.YC A M 3) Tìm vị trí Ax để XA.YB.YC đạt giá trị lớn Hình vẽ: a a A' X B C N Y16 x Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp 1) Dễ thấy góc nội tiếp · · BYA = BCA = 60° = ·ABC AX AB = AB AY ∆ABX ~ ∆AYB( g.g ) Vậy tam giác Suy Do AX AY = AB = a 2) Sử dụng kết câu 1( Suy AX AY = AB ∆ABX ~ ∆AYB AX AB BX = = AY AY BY AX BX = AY BY Vậy ) AX CX = AY CY Tương tự Nhân hai tỷ số ta thu AX AY = BX CX BY CY (đpcm) 17 Thầy Hồng Trí Quang Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Thầy Hồng Trí Quang 3) Gọi R bán kính (O) Qua X vẽ đường kính MN (O) Từ góc nội tiếo ∆XBM ~ ∆XNC( g g ) ta suy ⇒ XB XM = ⇒ XB.XC = XM XN = ( R + XO )( R − XO ) = R − XO XN XC Gọi A' trung điểm BC Theo tính chất đường xiên ta có XO ≥ OA ' ⇒ O < R − XO ≤ R − OA2 (1) AY ≤ 2R(2) Mặt khác AY dây cung (O) nên ⇒ XAYB YC = YA XB XC Từ kết câu (3) ⇒ XAYB YC ≤ R ( R − OA2 ) Từ (1),(2),(3) (là số) ⇔ OX ⊥ BC Dấu xảy Do dấu , AY qua O mà OA ⊥ BC ⇔ Ax ≅ AX ⊥ BC Vậy giá trị lớn XA.YB.YC 2R( R − OA2 ) Ax ⊥ BC ( x; y; z ) Bài Tìm tất ba ngun dương thỏa mãn hệ phương trình: x = 2( y + z ) 2 x = y + z + 31( y + z ) Lời giải Ta sử dụng phương pháp thứ tự ẩn (xem giảng Phương trình nghiệm ngun – thầy Hồng Trí Quang) y≥z Giả sử x = y + z + 31( y + z ) > y ⇒ x > y Từ x = 2( y + z ) Từ x ≤ 2.2 y = y suy ra: 18 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp y < x2 ≤ y ⇒ y < x> y Từ suy ra: y, z ∈ Z Và Thầy Hồng Trí Quang z≤ y (a − 1) ⇔ a − 4a − > a − 2a + ⇔ 2a (a − 2) > Thật ∆ ln ∀a ≥ < (a )2 Còn ∆ chuyện q rõ ràng Đánh giá khẳng định ∆ khơng phải số phương Do trường hợp a≥3 , phương trình cho khơng có nghiệm ngun Vậy a=2 giá trị cần tìm thỏa mãn u cầu tốn x6 − x5 + x − x3 + x2 − x + Bài Chứng minh phương trình Hiển nhiên với x ≥1 x≤0 =0 vơ nghiệm vế trái phương trình dương Với 0< x 2 Vậy phương trình vơ nghiệm Bài Cho x, y số thỏa mãn điều kiện: 2 x + y − x + = 2 x y + y − x = A = x1000 y1001 + x 700 y Tính giá trị biểu thức: Giải: 21 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Thầy Hồng Trí Quang x + y − x + = y + + 2( x − 1) = ⇒ y + ≤ ⇒ y ≤ −1 Ta có: y ( x + 1) = x ⇒ y = Mặt khác y = −1 Từ ta có Vậy A=0 x =1 2x ≤ ⇒ −1 ≤ y ≤ x +1 Bài Với a, b, c số thực dương thoả mãn đẳng thức ab + bc + ca = abc Tìm giá trị nhỏ biểu thức ab + bc + ca = abc ⇔ a b2 c2 M= 3+ 3 b c a 1 + + =1 a b c Ta có: a2 1 b2 1 c2 1 + + ≥ , + + ≥ , + + ≥ b3 a a b c b b c a c c a Cộng ba bất đẳng thức ta có: a2 b c 1 + ≥ + + ⇒ Mmin = b3 c a3 a b c a=b=c=3 x − y + z = 16 Bài Tìm nghiệm ngun dương phương trình y < x < 10 (với Lời giải ( x − 4) − z = x − y Phương trình cho tương đương với 0< y< x Vì x ngun dương nên (1) x≥2 ( x; y; z ) = (2;1;1) - Để ý phương trình (1) có nghiệm 22 ) Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp x ∈ { 3; 4;5} - Nếu x2 − y2 > x> y>0 nên Thầy Hồng Trí Quang z>0 nên z ≥1 ( x − 4) − z ≤ Suy Trong trường hợp phương trình cho khơng có nghiệm ngun dương ≤ x∈Z - Bây ta xét x − y ≥ 62 − 52 = 11 y 11 ⇒ ≤ x < 10 ⇒ x ∈ { 8;9} Với x =8 thay vào phương trình (1) ta được: 16 − z = 64 − y ⇔ ( y − z )( y + z ) = 48 (2) y>z>0 Từ (2) suy y < x =8 Kết hợp với + Với Vì x=9 ta đến y + z = y = ⇔ y − z = z = 25 − z = 81 − y thay vào phương trình (1) ta được: 25 − z < 81 − y < ⇒ y > nên y< x=9 Hơn nữa, y =8 Điều dẫn đến (3) y =8 Thay vào (3) ta thu y ≤8 nên z2 = (loại) (2;1;1), (8; 7;1) Tóm lại, phương trình cho có nghiệm Bài Cho tứ giác ABCD có AC cắt BD O Gọi H1, H2 trực tâm tam giác OAB, OCD G1, G2 trọng tâm tam giác OAD, OBC Gọi S diện tích tứ giác H1G1H2G2 a) Gọi M, N trung điểm AD BC Chứng minh G1G2 // MN H1 H ⊥ MN b) Chứng minh 23 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp ( 3G1G2 + H1 H ) S≤ 24 c) Chứng minh rằng: Thầy Hồng Trí Quang Dấu đẳng thức xảy nào? Hướng dẫn giải Trước hết phát biểu khơng chứng minh bổ đề sau: N B BỔ ĐỀ: Cho tam giác ABC, A’B’C’ có C G2 H, H’ trực tâm · · ' A 'C ' BAC =B Khi H1 AH BC = A' H ' B 'C ' TRỞ LẠI BÀI TỐN: O K H2 G1 H1, H2 trực tâm hai tam giác OAB, OCD ·AOB = COD · M A (đối đỉnh) OH1 AB = OH CD Theo bổ đề ta có Gọi M, N, K trung điểm đoạn thẳng AD, BC, BD Vì G1, G2 trọng tâm tam giác OAD,OBC Nên ∆OMN có OG1 OG2 = = OM ON 2 ÷⇒ 3 OH1 ⊥ MK , OH ⊥ NK , MK = Do OG1 OG2 = , = OM ON G1G2 = G1G2 // MN AB CD , NK = 2 OH1 OH · OH = MKN · H , = MK NK ∆H1OH : ∆MKN (c.g c) Nên H1 H ⊥ MN Từ suy MN Mà G1G2 // MN 24 D Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp H1 H ⊥ G1G2 ⇒ S = Nên Thầy Hồng Trí Quang H1 H G1G2 Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si cho hai số dương, ta có: ( 3G1G2 + H1H ) 3G G H H S = H1H G1G2 = 2 ≤ 24 · OH = CD ⇔ ·AOB = COD = 450 ⇔ 3G1G2 = H1 H ⇔ OH1 = AB Dấu “=” xảy Bài Hãy xác định tất cặp số ngun dương (h, s) có tính chất sau: Nếu kẻ h đường thẳng nằm ngang s đường thẳng khác thỏa mãn tính chất iv) v) vi) Khơng có đường nằm ngang Khơng có đường chúng song song Khơng có đường (h + s) đường thẳng đồng quy, số miền tạo thành (h + s) đường thẳng 1992 Bài giải Đầu tiên ta xét s đường thẳng khơng nằm ngang, khơng song song Khi có đường thẳng, ta dược miền Đường thẳng thứ (k + 1) cắt k đường thẳng trước bị chia thành (k + 1) phần Mỗi phần chia miền cũ thành miền, có thêm (k + 1) miền tạo thành + + + + s = + Từ với s đường thẳng số miền tạo thành s ( s + 1) (miền) Tiếp theo, ta thấy h đường thẳng nằm ngang chia s đường thẳng thành (s + 1) phần, tạo thêm (s + 1) miền 1+ Điều kéo theo tổng số miền tạo thành 1+ Theo giả thiết s ( s + 1) + h( s + 1) = 1992 s ( s + 1) + h( s + 1) (2h + s )( s + 1) = 2.1991 = 2.11.181 nên s = s < (2h + s )( s + 1) < 70 Mặt khác nên s + 2; 11 22 Từ đáp số (995; 1), (176; 10), (80; 21) 25 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp *** Chúc em thi tốt *** The pen is mightier than the sword Bulwer Lytton 26 Thầy Hồng Trí Quang [...]... kéo theo tổng số các miền tạo thành là 1+ Theo giả thi t s ( s + 1) + h( s + 1) = 199 2 2 s ( s + 1) + h( s + 1) 2 (2h + s )( s + 1) = 2. 199 1 = 2.11.181 nên s = s 2 < (2h + s )( s + 1) < 70 Mặt khác nên s + 1 có thể bằng 2; 11 hoặc 22 Từ đó đáp số là (99 5; 1), (176; 10), (80; 21) 25 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp 9 *** Chúc các em thi tốt *** The pen is mightier than the sword Bulwer... của mình trở lại thi đấu Ta gọi x là số trận đấu trước khi N vào thi đấu trận đầu tiên, thì mà N thua, ta có r≥0 0≤ x≤6 và gọi r là số trận Để N là người thắng cuộc thì anh ta có tổng số 7 trận thắng Vậy tổng số trận là x + 7r + 7 Vì mỗi trận đi qua là một điểm được ghi, nên 37 điểm tổng cộng cũng có nghĩa là 37 trận đã diễn ra 19 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp 9 Vậy x + 7 r +... x1 x 2 1 + x1 + x 2 ≥ 1 + 2 x1 x 2 (2) ta có (đpcm) Bài 8 Trên bảng có 2 số 1 và 2 Thực hiện việc ghi số theo quy tắc sau: Nếu trên bảng có hai a, b số thì được phép ghi thêm số c = a + b + ab và 11111 hay không? Lời giải Bài toán sử dụng tính bất biến 12 Hỏi bằng cách đó có thể ghi được các số 2001 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp 9 Thầy Hồng Trí Quang Dãy các số được viết là 1, 2,... ,x−2= , y +1 = ,y−2= ; z +1 = ,z−2= a −b a −b b−c b −c a −b a −b ( x + 1)( y + 1)( z + 1) = ( x − 2)( y − 2)(z − 2) Suy ra: ⇔ 9 + 3( xy + yz + zx ) = x + y + z 13 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp 9 Thầy Hồng Trí Quang p ( x ) = x 2016 + a2015 x 2015 + + a1 x + a0 Bài 2 Cho đa thức với các hệ số ai là các số nguyên Biết phương trình p(x) = 1 có 4 nghiệm là các số nguyên khác nhau Chứng... 2b với mọi a; b; c > 0 Bài giải Nhận thấy vai trò a; b; c bình đẳng, cho a = b = c thay vào ta có 15 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp 9 VT = 3a 1 ≤ VP = k 3a ⇔ ≤ k 4 4 chứng minh k= Ta đi chứng minh Thầy Hồng Trí Quang 1 4 là giá trị nhỏ nhất cần tìm Tức là ab bc ca a+b+c + + ≤ a + b + 2c b + c + 2a c + a + 2b 4 Đến đây thì việc chứng minh rất đơn giản Xem bài giảng Điểm rơi AM –... rút gọn VP ta có Đpcm Bài 6 Cho tam giác đều ABC cạnh a nội tiếp đường tròn (O) Ax là tia nằm giữa tia AB và tia AC Ax cắt BC tại X và cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai la Y 1) Chứng minh rằng AX.AY = a2 2) Chứng minh rằng XA XB XC = YA YB.YC A M 3) Tìm vị trí Ax để XA.YB.YC đạt giá trị lớn nhất Hình vẽ: a a A' X B C N Y16 x Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp 9 1) Dễ thấy góc nội... Bài 7 Tìm tất cả các bộ ba nguyên dương thỏa mãn hệ phương trình: 2 x = 2( y + z ) 2 6 2 2 2 x = y + z + 31( y + z ) Lời giải Ta sử dụng phương pháp sắp thứ tự các ẩn (xem bài giảng Phương trình nghiệm nguyên – thầy Hồng Trí Quang) y≥z Giả sử x 6 = y 6 + z 6 + 31( y 2 + z 2 ) > y 6 ⇒ x > y Từ x 2 = 2( y + z ) Từ x 2 ≤ 2.2 y = 4 y suy ra: 18 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp. .. suy ra -2 ⇒ p ( x) ≠ −1 với mọi x nguyên 4 1 5 + x − = x + 2x − x x x Bài 3 Giải phương trình x≥ 5 2 Điều kiện trên ta được: hoặc x− −1 ≤ x ≤ 0 (*) 1 5 4 − 2x − = x − x x x Phương trình (1) tương đương: 1 5 u = x − ; v = 2x − x x Đặt u −v = x− u ≥ 0; v ≥ 0 với Ta được: 14 4 x (1) Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp 9 Lại có: 5 2 4 v 2 − u 2 = 2 x − ÷− x − ÷ = x − x x x... z ) 2 + 2 x ( y − z ) 2( y − z )(x + y − z) y − z Đẳng thức được chứng minh Bài 2 Tìm a sao cho phương trình x2 − a2 x + a + 1 = 0 có nghiệm nguyên Lời giải Ta có ∆ = a 4 − 4a − 4 Phương trình đã cho có nghiệm nguyên ⇔ ∆ là một số chính phương Xét các trường hợp sau: 20 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp 9 = −4 < 0 Thầy Hồng Trí Quang • Nếu a = 0 thì ∆ • Nếu a = 1 thì ∆ • Nếu a =... x1000 y1001 + x 700 y 2 Tính giá trị của biểu thức: Giải: 21 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chuyên toán lớp 9 Thầy Hồng Trí Quang 2 x 2 + y 3 − 4 x + 3 = y 3 + 1 + 2( x − 1) 2 = 0 ⇒ y 3 + 1 ≤ 0 ⇒ y ≤ −1 Ta có: y 2 ( x 2 + 1) = 2 x ⇒ y 2 = Mặt khác y = −1 Từ đó ta có Vậy A=0 và x =1 2x ≤ 1 ⇒ −1 ≤ y ≤ 1 x +1 2 Bài 5 Với a, b, c là các số thực dương thoả mãn đẳng thức ab + bc + ca = abc Tìm ... 199 2 ĐÁP ÁN ĐỀ SỐ 39 a Bài Cho a, b, c số dương thỏa mãn đẳng thức rằng: + b = c Chứng minh Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Thầy Hồng Trí Quang ab bc ca − − =3 c a b Từ giả thi t... 19 Khóa học online Luyện thi hsg – thi chun tốn lớp Vậy x + r + = 37 ⇔ x + r = 30 Thầy Hồng Trí Quang Suy x = r = P4 Vậy trước N thi đấu trận đầu tiên, có trận diễn Vậy người thắng ĐỀ SỐ 59 Bài. .. 1+ Theo giả thi t s ( s + 1) + h( s + 1) = 199 2 s ( s + 1) + h( s + 1) (2h + s )( s + 1) = 2. 199 1 = 2.11.181 nên s = s < (2h + s )( s + 1) < 70 Mặt khác nên s + 2; 11 22 Từ đáp số (99 5; 1), (176;