Bài tập luyện thi olympic toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII dành cho HS lớp 10 chuyên toán

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán BÀI TẬP LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN HỌC TOÀN MIỀN NAM LẦN THỨ XVIII Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ P

Trang 1

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán

BÀI TẬP LUYỆN THI OLYMPIC TOÁN HỌC TOÀN MIỀN NAM LẦN THỨ XVIII

Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

( VĂN PHÚ QUỐC- GV TRƯỜNG ĐH QUẢNG NAM)

3

20132013

2 3 4 1

Trang 2

HPT đã cho tương đương với:

2

1 3

2 4 1

2os42os4

Trừ vế theo vế của phương trình thứ ba cho phương trình thứ nhất ta được:

Trang 3

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Chứng minh rằng trong 2013 số đó có hai số a b sao cho: , 1

2012 2013

Trang 4

HD: Giả sử: x x1, 2, ,x2012 là một nghiệm của HPT trên

Đặt: M Max x x 1, 2, ,x2012 ; mMin x x 1, 2, ,x2012

Suy ra: M m0

2012 2013

Trang 5

20122012

2222

2 2

1212

12

Trang 6

12 Cho số nguyên n 3 Giải hệ phương trình:

Trang 7

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái của (*) thì ta được VT * 25

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abcd  e x1

Vậy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho

04

Trang 8

2

a a ab

5 12 052

a a a b

1

21

3

12

22

2

1

t t

y y

t

t t

Trang 9

Trang 10

xy xy

+ Nếu x y thì phương trình thứ hai của hệ có vế trái dương, vế phải âm Điều này vô lý

+ Nếu x y thì phương trình thứ hai của hệ có vế trái âm, vế phải dương Điều này vô lý

Trang 11

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán + Nếu x y thì phương trình thứ hai của hệ thỏa mãn Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

181

x y

118

x y

Trang 12

2

63

Trang 13

( thỏa điều kiện)

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:

28 Giải BPT: 5 3  2 3 2 2 

x x x x   x x  x ; x   HD:

Trang 14

Tương tự cho trường hợp y  hoặc 0 z 0

+ TH2: Chia cả hai vế của các PT trong hệ cho x y z  ta được: 2 2 2 0

2

2 2

Trang 15

30 Giải HPT:

2 2 2

222

2

212121

x y

y z x z

PT thứ ba có nghiệm y z26z00z6 (2)

Từ (1), (2) và kết hợp với z 3 ta suy ra: z 0 hoặc z 3

Đáp số: Có 2 nghiệm: 1;0; 0 , 2; 3;3   

Trang 16

3

y x

Trang 17

Trang 18

Từ x1 f x 1 x2 f x 2 suy ra: g x 1 g x 2  x và 1 x đối xứng qua 2 x  1 tức là: x1   1 m

Dấu "=" xảy ra khi x2011,y2012

37 Tìm m để bất phương trình sau vô nghiệm:

Trang 19

x

x x

1 0

11

Trang 20

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Khi đó: 2010x x2 1 2010x x2 1 2012x x2 ( do 1 x 1)

Trang 21

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Đặt xcos ; y cos ,  , 0;

là nghiệm duy nhất của hệ

43 Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Trang 22

Giả sử x y0; 0 là một nghiệm của hệ phương trình đã cho Khi đó y x0; 0  , x0;y0  , y0;x0

cũng là các nghiệm của hệ Vì vậy điều kiện cần để hệ có đúng hai nghiệm là: x0 0 , x0  y0

Thay nghiệm này vào hệ phương trình trên ta được x   và 0 1 m 0

Ngược lại với m 0, ta được hệ phương trình:  8

8 8

2562

Trang 23

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 4x 4 24 x 3

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x 3

Ta có: g x x13 f x  Cả hai dấu “=” xảy ra khi x 3

Vậy f x    g x   xảy ra khi x 3

+ Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiakovsky hai lần ( có kết hợp với (1) ), ta đuợc :

Trang 24

+ Từ (1) và (2) ta được hệ đã cho tương đương với: 2 2

11

21

+ Nếu x 2018 thì thấy thỏa mãn PT (*)

Vậy x 2018 là nghiệm của phương trình đã cho

51 Cho a b c   , , , a 0 sao cho a và 4a3b2c cùng dấu Chứng minh rằng phương trình: 2

Trang 25

Từ PT thứ nhất suy ra: x y z, , cùng dấu

Nếu x y z, ,  là nghiệm của hệ thì  x; y;z cũng là nghiệm của hệ

Giả sử x y z  Đặt , , 0 tan , tan , tan

x y z ; A B C, , 0;

Từ PT thứ hai ta có: AB C   A, ,B C là ba góc của một tam giác

Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC

PT thứ nhất tương đương với: sin sin sin

Trang 26

uv

uv b uv

Trang 27

HD:

Cộng vế theo vế của ba PT ta được: x23y23z23 0

Nếu x 2 thì từ PT thứ nhất của hệ suy ra 3  

y  x x    yVới y 2 kết hợp với PT thứ hai ta suy ra z 2

Do đó: x23y23z230

Nếu x 2 thì từ PT thứ ba ta suy ra:   3

6z z2 x  8 00z2 Dễ dàng suy ra 0 y 2

Do đó: x23y23z230

Rõ ràng x yz là nghiệm của HPT đã cho 2

58 Cho a 1 Giải HPT sau:

13

Trang 28

60 Giải HPT:  

2 2 2

z z y z

x x z x

Trang 29

HD:

Điều kiện: 0x y z, ,  1

Giả sử: x Maxx y z, ,  x

z x

+ Nếu xy thì z xyyzzxxyz0 HPT vô nghiệm

+ Nếu x z y thì ta sẽ chứng minh      2 3

9

P xy yz zx x y z  Thật vậy!

Tương tự cho các trường hợp yMaxx y z, ,  ; zMaxx y z, , 

63 Tìm tất cả các bộ ba x y z; ;  nguyên dương sao cho

20122012

m n ; m n ;  1Suy ra: xnymynzm 2012

Trang 30

Bài tập luyện thi Olympic Toán học toàn miền Nam lần thứ XVIII - Dành cho HS lớp 10 chuyên Toán HPT thành:

Cộng vế theo vế của ba PT trong hệ ta được: a3 14b2116b392

Nhân vế theo vế của ba PT trong hệ ta được: 3    

Ta thấy x y hoặc y z hoặc x  không là nghiệm của hệ đã cho z

Nhân PT thứ nhất, thứ hai, thứ ba của HPT đã cho lần lượt với xy ; yz ; x ta thu được: z

z  vào PT này và biến đổi ta thu được y 2x; z 3x

66 Tìm bộ ba số thực x y z; ;  phân biệt thỏa mãn:

Trang 31

Trang 32

000

Làm tương tự như trên, cuối cùng ta thu được: x1x2  x100  0

Trang 33

x x  y Nhưng y y là các số nguyên dương và là số chẵn nên 1; 5 y 1 2 ; y 5 2 suy ra: x1x3499 ;

Đối với n lẻ ta có: x1x2  x n   Thử lại thấy đúng 1

Đối với n chẵn, tương tự như trên ta được: x1 x3  x n1 ; x2 x4  x n

Từ PT đầu tiên ta có: 2

1

x x

Định dạng
Số trang	33
Dung lượng	603,7 KB