E.4. Bài tập chọn lọc
Bài 1. Cho hai hàm số: y = x và y = 3x
a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đó trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy
b. Đờng thẳng song song với trục Ox, cắt Oy tại điểm có tung độ bằng 6, cắt các đờng thẳng: y = x và y = 3x lần lợt ở A và B. Tìm tọa độ các điểm A và B, tính chu vi, diện tích tam giác OAB
Bài 2: Cho hàm số y = - 2x và 1 2
y= x.
a. Vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy đồ thị của hai hàm số trên;
b. Qua điểm (0; 2) vẽ đờng thẳng song song với trục Ox cắt đờng thẳng 1 2
y= x và y = - 2x lần lợt tại A và B. Chứng minh tam giác AOB là tam giác vuông và tính diện tích của tam giác đó.
Bài 3: Cho hàm số y= x . a. Vẽ đồ thị hàm số;
b. Vẽ đờng thẳng y = 2, cắt đồ thị hàm số y= x ở A và B. Tam giác OAB là tam giác gì? Vì sao? Tính chu vi và diện tích của tam giác đó.
Bài 4: Cho hàm số: y = (m + 4)x – m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với giá trị tìm đợc của m.
c. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 5: Cho hàm số: y = (3m – 2)x – 2m.
a. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2. b. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
c. Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ứng với giá trị của m tìm đợc ở câu a, b. Bài 6: Cho ba đờng thẳng y = -x + 1, y = x + 1 và y = -1.
a. Vẽ ba đờng thẳng đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi giao điểm của đờng thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 là A, giao điểm của đờng thẳng y = -1 với hai đờng thẳng y = -x + 1 và y = x + 1 theo thứ tự là B và C. Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
c. Tam giác ABC là tam giác gì? Tính diện tích tam giác ABC. Bài 7: Cho đờng thẳng (d): ;y = - 2x + 3.
a. Xác định tọa độ giao điểm A và B của đờng thẳng d với hai trục Ox, Oy, tính khoảng cách từ điểm O(0; 0) đến đờng thẳng d.
b. Tính khoảng cách từ điểm C(0; -2) đến đờng thẳng d. Bài 8: Vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a. y= +x 1 b. y= − −x 1 c. 4 x y − − = ≤ ≤ , (x < -1,5) 3x +2, (-1,5 x 1) x + 4, (x >1) d. y= − + −x 1 x 2 Bài 9: Tìm giá trị của k để ba đờng thẳng:
y = 2x + 7 (d1) 1 7
3 3
y= − x+ (d2) y 2x 1
k k
= − − (d3) đồng quy trong mặt phẳng tọa độ.
Bài 10: Cho hai đờng thẳng: y = (m + 1)x – 3 và y = (2m – 1)x + 4. a. Chứng minh rằng khi 1
2
m= − thì hai đờng thẳng đã cho vuông góc với nhau. b. Tìm tất cả các giá trị của m để hai đờng thẳng đã cho vuông góc với nhau. Bài 11: Xác định hàm số y = ax + b trong mỗi trờng hợp sau:
a. Khi a= 3, đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng − 3. b. Khi a = - 5, đồ thị hàm số đi qua điểm A(- 2; 3).
c. Đồ thị hàm số đi qua hai điểm M(1; 3) và N(- 2; 6).
d. Đồ thị hàm số song song với đờng thẳng y= 7x và đi qua điểm (1;7+ 7) . Bài 12: Cho đờng thẳng: y = 4x (d).
a. Viết phơng trình đờng thẳng (d1) song song với đờng thẳng (d) và có tung độ gốc bằng 10.
b. Viết phơng trình đờng thẳng (d2) vuông góc với đờng thẳng (d) và cắt trục Ox tại điểm có hoành độ bằng – 8.
c. Viết phơng trình đờng thẳng (d3) song song với đờng thẳng (d) cắt trục Ox tại A, cắt trục Oy tại B và diện tích tam giác AOB bằng 8.
Bài 13: Cho hàm số: y = 2x + 2 (d1) 1 2 2
y= − x− (d2).
a. Vẽ đồ thị của hai hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) với trục Oy là A, giao điểm của đờng thẳng (d2) với trục Ox là B, còn giao điểm của đờng thẳng (d1) và (d2) là C. Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A, B, C.
c. Tính diện tích tam giác ABC.
Bài 14: Cho các hàm số sau: y = - x – 5 (d1) ; 1 4
y= x (d2) ; y = 4x (d3) a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) với đờng thẳng (d2) và (d3) lần lợt là A và B. Tìm tọa độ các điểm A, B.
c. Tam giác AOB là tam giác gì? Vì sao? d. Tính diện tích tam giác AOB.
Bài 15: Cho hai đờng thẳng: y = x + 3 (d1) và y = 3x + 7 (d2).
a. Vẽ đồ thị của các hàm số đã cho trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.
b. Gọi giao điểm của đờng thẳng (d1) và (d2) với trục Oy lần lợt là A và B. Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.
c. Gọi J là giao điểm của hai đờng thẳng (d1) và (d2). Chứng minh tam giác OIJ là tam giác vuông. Tính diện tích của tam giác đó.
Bài 16: Cho hai đờng thẳng: y = (k – 3)x – 3k + 3 (d1) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d2). Tìm các giá trị của k để:
a. (d1) và (d2) cắt nhau.
b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung. c. (d1) và (d2) song song với nhau.
d. (d1) và (d2) vuông góc với nhau. e. (d1) và (d2) trùng nhau.
a. Đi qua điểm A(1; - 3) và B(- 2; 3).
b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1− 3, cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 3+ 3.
c. Cắt đờng thẳng 3y – x – 4 = 0.
d. Song song với đờng thẳng 2x + 5y = - 1. e. Trùng với đờng thẳng y – 3x – 7 = 0. Bài 18: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm (0; 1 )
4F F a và đờng thẳng (d): 1 4 y a = − (a ≠ 0). Gọi M(x; y) là một điểm thuộc mặt phẳng, H là hình chiếu của điểm M trên đờng thẳng (d).
a. Tính MF2 và MH2 theo x, y là tọa độ của điểm M.
b. Biết MF = MH, hãy tìm một hệ thức liên hệ giữa x và y. Bài 19: Cho hàm số: y = (m2 – 6m + 12)x2.
a. Chứng tỏ rằng hàm số nghịch biến trong khoảng (-2005; 0), đồng biến trong khoảng (0; 2005).
b. Khi m = 2, hãy tìm x để y = 8; y = 2 và y = - 2.
c. Khi m = 5, hãy tìm giá trị của y, biết x= +1 2, x = 1- 2 và 1 2
1 2
x= +
− .Bài 20: Cho hàm số: y = - (k2 – 2k + 3)x2. Bài 20: Cho hàm số: y = - (k2 – 2k + 3)x2.
a. Chứng tỏ rằng hàm số đồng biến trong khoảng (0; +∞), hàm số nghịch biến trong khoảng (-∞; 0).
b. Khi k = 1, tính giá trị của y, biết x= −2 3, x= +2 3 và 2 3
2 3
x= −
+ .c. Tìm các giá trị của k khi x = 2, y = 10. c. Tìm các giá trị của k khi x = 2, y = 10.
Bài 21: Cho hàm số: y = (2m + 1)x2.
a. Tìm m, biết rằng đồ thị hàm số cắt đờng thẳng y = 4x – 2 tại điểm A có hoành độ 1. b. Với giá trị tìm đợc của m hãy vẽ đồ thị hàm số y = (2m + 1)x2 và đồ thị y = 4x – 2
trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
c. Bằng đồ thị, hãy xác định tọa độ giao điểm thứ hai của hai đồ thị vẽ trong ý b.
Bài 22. Cho hàm số y = ax2 + bx + c (a ≠0). Tìm các giá trị của a, b, c biết đồ thị của hàm số thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a. Hàm số nhận giá trị – 1 khi x = 0, x = 1 và nhận giá trị bằng 1 khi x = -1
b. Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 1/2 và 1
c. Đồ thị hàm số đi qua các điểm A(-1, 0), B(1, 3) và C(3, 2).
Bài 23. Cho đờng thẳng (d): y = (k – 2)x + q. Tìm các giá trị của k và q biết rằng đờng thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a. Đi qua điểm A(-1; 2) và B(3; 4)
b. Cắt trục tung tại điểm có tung độ 1− 2 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ 2+ 2 c. Cắt đờng thẳng -2y + x – 3 = 0
d. Song song với đờng thẳng 3x + 2y = 1
Bài 24. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(-2; 2) và đờng thẳng (d): y = -2x – 2. a. Chứng minh A ∈(d)
b. Tìm các giá trị của a để Parabol: y = ax2 đi qua A
c. Tìm đờng thẳng đi qua A và vuông góc với đờng thẳng (d)
d. Gọi A và B là giao điểm của (P) với đờng thẳng tìm đợc trong câu c, và C là giao điểm của đờng thẳng (d) với trục Oy. Tìm tọa độ các điểm B, C và tính diện tích tam giác ABC.
Bài 25. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P): y = x2/4 và đờng thẳng (d): y = mx + n. Tìm các giá trị của m và n biết đờng thẳng (d) thỏa mãn một trong các điều kiện sau:
a. Song song với đờng thẳng y = x và tiếp xúc với (P)
b. Đi qua điểm A(1,5; -1) và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm của (P) và (d) trong mỗi trờng hợp trên.
Bài 26. Cho hàm số: 1 2
2
y= − x .
1. Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lợt có hoành độ là - 2; 1. Viết phong trình đờng thẳng MN.
3. Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D) của nó song song với đờng thẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1 điểm.
Bài 27. Cho hàm số 1 2
2
y= − x .
1. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên.
2. Lập phong trình đờng thẳng (D) qua A(- 2; - 2) và tiếp xúc với (P). Bài 28. Cho hàm số: y= f x( ) 2= − x2−2x+1.
1. Vẽ đồ thị hàm số trên.
2. Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x) ≤ 1. Bài 29. Cho hàm số: y = x2 và y = x + m (m là tham số).
1. Tìm m sao cho đồ thị (P) của hàm số y = x2 và đồ thị (D) của y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B.
2. Tìm phong trình của đờng thẳng (d) vuông góc với (D) và (d) tiếp xúc với (P). 3. a). Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai điểm theo tọa độ của hai điểm ấy.
b). áp dụng: Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A, B (ở câu 1) là 3 3.
Bài 30. Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị hàm số y = ax2 và (D) là đồ thị hàm số y = - x + m.
1. Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a tìm đợc.
2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) (ở câu 1) và tìm tọa độ tiếp điểm.
3. Gọi B là giao điểm của (D) (ở câu 2) với tung độ. C là điểm đối xứng của A qua trục tung. Chứng tỏ rằng C nằm trên (P) và tam giác ABC vuông cân.
Bài 31. Trong cùng mặt phẳng tọa độ cho hai đờng thẳng: (D1): y = x + 1; (D2): x + 2y + 4 = 0
1. Tìm tọa độ giao điểm A của (D1) và (D2) bằng đồ thị và kiểm tra lại bằng phép toán. 2. Tìm a trong hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A. Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm đ-
ợc.
3. Tìm phong trình của đờng thẳng tiếp xúc với (P) tại A.
Bài 32. Cho (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 và điểm A(- 2; -1) trong cùng hệ trục. 1. Tìm a sao cho A thuộc (P). Vẽ (P) với a tìm đợc.
2. Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4. Viết phong trình đờng thẳng AB. 3. Viết phong trình đờng thẳng tiếp xúc với (P) và song song với AB.
Bài 33. Cho parabol (P): 1 2
4
y= x và đờng thẳng (D) qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là
- 2 và 4.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên. 2. Viết phong trình của (D).
3. Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tơng ứng hoành độ) x∈ −[ 2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 34. Trong cùng hệ trục vuông góc, cho parabol (P): 1 2
4
y= − x và đờng thẳng (D): y = mx – 2m – 1.
1. Vẽ (P).
2. Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P).
Bài 35.Trong cùng hệ trục vuông góc có parabol (P): 1 2