Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 A Căn thức biến đổi thức A.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học - Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a - Số gọi bậc hai số học cđa x - Mét c¸ch tỉng qu¸t: x a x a b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b không âm ta có: a b a b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A2 A a Căn thøc bËc hai - Víi A lµ mét biĨu thøc đại số , người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu A xác ®Þnh (hay cã nghÜa) A A2 A b Hằng đẳng thức - Với A ta cã - Nh vËy: + A2 A A2 A nÕu A + A2 A A < A.1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phương a Định lí: + Với A vµ B ta cã: A.B A B + Đặc biệt với A ta cã ( A ) A2 A b Quy tắc khai phương tích: Muốn khai phương tích thừa số không âm, ta khai phương thừa số nhân kết với c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số không âm, ta nhân số dấu với khai phương kết A.1.4 Liên hệ phép chia phép khai phương A A B B b Quy tắc khai phương thương: Muốn khai phương thương a/b, a không âm b dương ta khai phương hai số a b lấy kết thø nhÊt chÝ cho kÕt qu¶ thø hai c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dương ta cã thÓ chia sè a cho sè b råi khai phương kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đưa thừa số dấu a Định lí: Với A vµ B > ta cã: - Víi hai biĨu thøc A, B mµ B 0, ta cã + NÕu A vµ B + Nếu A < B b Đưa thừa số vào dấu A2 B A B , tøc lµ A2 B A B A2 B A B + Nếu A B A B A2 B + NÕu A < vµ B th× A B A2 B c Khử mẫu biểu thức lấy ThuVienDeThi.com - Với biểu thức A, B mà A.B vµ B 0, ta cã A B AB B d Trục thức mẫu - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta cã A A B B B - Víi c¸c biĨu thøc A, B, C mµ A vµ A B , ta cã C C ( A B) A B2 AB - Víi biểu thức A, B, C mà A 0, B vµ A B , ta cã C ( A B) C A B A B A.1.6 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a sè x cho x3 = a - Víi mäi a th× ( a )3 a a b TÝnh chÊt - Víi a < b th× a b - Víi mäi a, b th× ab a b Với a b - a 3a b 3b A.2 KiÕn thøc bæ xung A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n ( n N ) cđa sè a lµ mét số mà lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1) Mọi số có bậc lẻ Căn bậc lẻ số dương số dương Căn bậc lẻ số âm số âm Căn bậc lẻ số số c Căn bậc chẵn (n = 2k ) Số âm bậc chẵn Căn bậc chẵn số số Số dương có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu 2k a 2k a d Các phép biến đổi thức k A xác định với A 2k A xác định với A k 1 2k A2 k A víi A k 1 2k A.B k 1 A.2 k 1 B víi A, B A.B k A k B víi A, B mµ A.B k 1 2k A2 k 1 A víi A A2 k 1.B A.2 k 1 B víi A, B A2 k B A k B víi A, B mµ B ThuVienDeThi.com k 1 2k A B A B m n k 1 k 1 2k A 2k B A víi A, B mµ B B víi A, B mµ B 0, A.B A mn A víi A, mµ A m n A A víi A, mµ A A.2.2 BÊt đẳng thức bất phương trình Bất đẳng thức Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: f1(x), f2(x), ,fn(x) biểu thức f1 ( x) f ( x) f n ( x) f1 ( x) f ( x) f n ( x) m n Đẳng thức xảy fi ( x) i 1, n cïng dÊu Bất đẳng thức Côsi: a1, a2, , an số không âm, a1 a2 an n a1.a2 an n Đẳng thøc x¶y a1 = a2 = … = an Bất đẳng thức Bunhiacôpski: (a1, a2, , an ) vµ (b1, b2, …, bn ) lµ hai bé sè bất kì, (a1b1 a2b2 anbn ) (a12 a22 an2 )(b12 b22 bn2 ) a a a Đẳng thức xảy n (quy íc bi == th× = 0) b1 b2 bn Bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối f ( x) ( 0) f ( x) f ( x) ( 0) f ( x) hc f ( x) A.2.3 DÊu cđa nhÞ thøc bËc nhÊt dấu tam thức bậc hai a Cho nhị thøc f(x) = ax + b (a 0) Khi ®ã ta cã x - -b/a f(x) = ax + b Tr¸i dÊu víi a b Cho tam thøc f(x) = ax2 + bx + c (a 0) Khi ®ã ta cã NÕu x - -b/2a f(x) = ax2 + bx + c Cïng dÊu víi a NÕu x - x1 f(x) Cïng dÊu a Tr¸i dÊu a + Cïng dÊu víi a + Cïng dÊu víi a x2 A.2.4 BiÕn ®ỉi tam thøc bËc hai Cho tam thøc bËc hai f(x) = ax2 + bx + c (a 0) Khi ®ã ta cã b f ( x) ax bx c a ( x ) víi b 4ac 2a 4a b NÕu a > th× f ( x) nªn f ( x) x x R 4a 4a 2a b NÕu a < f ( x) nên max f ( x) x xR 4a 4a 2a k * Chó ý Nếu A (k số dương) ®ã ta cã A' Amin A’max ThuVienDeThi.com + Cïng dÊu a Amax A’min A.3 VÝ dơ minh häa A.4 Bµi tËp chän läc x 3 x 2 Bµi Cho biÓu thøc: P x x x x x x 1 a Rút gọn P b Tính giá trị P với x 2 2x x 1 2x x x x Bµi Cho biĨu thøc P : x x 1 x x 1 x a Rót gän P b Tính giá trị P với x c Tính giá trị lớn cđa a ®Ĩ P > a x x 3 2( x 3) ( x 3) Bµi Cho biÓu thøc P x 2 x 3 x 1 3 x a Rót gän P b TÝnh giá trị P với x 11 c Tìm giá trị nhỏ P x x 3 x 2 x 2 Bµi Cho biĨu thøc : M 1 : x x x x x a Rót gän M b Tìm x để M > c Tìm giá trị củ m để có giá trị x tháa m·n: M ( x 1) m( x 1) Bµi 5: Cho biĨu thøc: A x x2 x x x2 x x x2 x x x2 x a Tìm điều kiện cđa x ®Ĩ A cã nghÜa b Rót gän A c Tìm x để A x x x x x Bµi 6: Cho A x 2 x x a Rút gọn A b Tìm x để A > -6 x 10 x Bµi 7: Cho B : x x 2 x 2 x4 2 x a Rót gọn B b Tìm x để B > 2 Bµi 8: Cho C = x 1 x x 1 x x 1 a Rót gän C b Chøng minh r»ng C < Bµi 9: Cho biÓu thøc: A x x 12 x a Rót gän A b Tìm x để A = -15 Bài 10: Cho biÓu thøc: A x x x a Rót gän råi tìm giá trị A a = -5 b T×m x A = 15 ThuVienDeThi.com Bµi 11: Cho biĨu thøc: M 1 x : 1 1 x x2 a Rút gọn M b Tìm giá trị M x c Tìm giá trị x để M M Bài 12: Cho biÓu thøc: A x x 12 x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị x để A = Bài 13: Rút gọn biÓu thøc: A x x x tìm giá trị x ®Ó A = 3/2 x 9 x x 1 x 5 x 6 x 3 x a Rót gän råi t×m giá trị x để Q < b Tìm giá trị nguyên x để Q có giá trị nguyên Bài 14: Cho biểu thức: Q Bài 15: Cho biÓu thøc: P 3x x x 1 x 2 x x 2 x 1 x a Rót gän P b Tìm giá trị nguyên x để P có giá trị nguyên x2 x Bài 16: Cho biểu thức : A=( + + ): x x 1 x x 1 1 x x 1 Rút gọn A Chứng minh A với x Với giá trị x A có giá trị lớn Tìm GTNN ? Bµi 17 Cho biĨu thøc x x 3x x P 1 , víi x vµ x : x x x x a Rót gọn P b Tìm giá trị x để P < -1/3 c Tìm x để P đạt giá trị nhỏ Bài 18 Cho biểu thức 1 1 x3 y x x y y víi x > 0, y > : A y x y x y x3 y xy x a Rót gän A b Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị Bài 19 Cho biểu thức A x x x a Rót gän biĨu thøc A b Víi gi¸ trị x A = -3 Bài 20: Cho biÓu thøc: A x x x x a Tìm điều kiện x để A có nghĩa b Tính giá trị A x ThuVienDeThi.com x 1 : x x x x x x a Tìm điều kiƯn cđa x ®Ĩ A cã nghÜa b Rót gän A Bµi 21: Cho A Bµi 22: Cho B x x 1 x x a Tìm điều kiện x ®Ó B cã nghÜa b TÜm x ®Ó B > x3 x 1 x 2x 1 x 2x x x x x x x Bµi 23: Cho biÓu thøc: E 1 x x x 1 1 x a Tìm điều kiện để E có nghĩa b Rót gän E a b3 a 2 b 2 Bµi 24: Cho A ab : 1 1 a b a b a Tìm điều kiện cđa a, b ®Ĩ A cã nghÜa b Rót gän A Bµi 25: Cho biĨu thøc: A x x x x a Rót gän A b T×m giá trị x để A = Bài 26: Cho biÓu thøc: A x x2 x x x2 x x x2 x x x2 x a Tìm điều kiện xác định A b Rút gọn A c Tìm x để A < Bµi 27 XÐt biĨu thøc a a B (1 ):( ) a 1 a 1 a a a a 1 a Rót gọn B b Tìm giá trị a cho B > c Tính giá trị B nÕu a Bµi 28 XÐt biÓu thøc a 3 b ab A ab a b ab a b a Rút gọn A b 10 b Cho giá trị cđa biĨu thøc A sau ®· rót gän b»ng (b 10) Chøng minh r»ng b 10 a/b = 9/10 Bµi 29 XÐt biĨu thøc 2 x 2 x 4x x 3 P : 2 x 2 x x4 x x a Rót gän P b T×m giá trị x để P > 0, P < c Tìm giá trị x để |P| = Bµi 30 Cho biĨu thøc A x x 12 x a Rút gọn A b Tính giá trị A x = 2/7 Bµi 31 Cho biĨu thøc A x x x ThuVienDeThi.com a Rót gän B b TÝnh giá trị x để B = -9 x 2 Bµi 32: Cho biĨu thøc: P x x x 6 3 x a Rút gọn P b Tìm giá trị lớn nhÊt cña P x y x y x y xy Bµi 33: Cho P : 1 xy xy xy a Rót gän P b Tính giá trị P với x c Tìm giá trị lớn P Bài 34: Cho biểu thức: A 1 a a) Rút gọn A b) Tìm a để A 1 a 1 x 2 x x 1 Bµi 35: Cho biểu thức: A x x x x a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyen x cho A có giá trị nguyên a a 1 a a 1 a : Bµi 36: Cho biểu thức A a a a a a a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nguyên a để biểu thức A nhận giá trị nguyên x Bµi 37: Cho biểu thức: A với x 0; x x x x 1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên a 2 a 3 a a 6 2 a Rót gän P Tìm giá trị a để P 0, y < 2 x 3my mx y b Hệ phương trình: có nghiệm thoả mÃn ®iỊu kiƯn x > 1, y > 4 x my Bài 10 Cho hệ phương trình mx y 2m x my m Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm x, y số nguyên Bài 11 Cho hệ phương trình (m 1) x my 2m mx y m Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mÃn điều kiện xy đạt giá trị lớn Bài 12 HÃy tìm giá trị m n cho ®a thøc P(x) = mx3 + (m + 1)x2 - (4n + 3)x + 5n ®ång thêi chia hÕt cho (x - 1) vµ (x + 2) Bµi 13 Cho hệ phương trình (m 1) x y m x (m 1) y Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mÃn điều kiện: S = x + y đạt giá trị lớn nhÊt Cã nghiƯm tháa m·n ®iỊu kiƯn x y Bài 14 Cho hệ phương trình mx my m m, n tham số mx y 2m a Giải biện luận hệ phương trình 12 ThuVienDeThi.com Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 b trường hợp hệ có nghiệm hÃy tìm giá trị m để nghiệm phương trình thỏa mÃn điều kiện x > 0, y < Bài 15 Tìm a b để hệ phương trình sau có nghiệmcó nghiệm với giá trÞ cđa tham sè m (m 3) x y 5a 3b m x my am 2b 3m y x3 x a.x Bài 16 Tìm tham số a để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: x y y ay x y m Bài 17 Biết cặp số (x, y) nghiệm hệ phương trình: 2 y x m HÃy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = xy + 2(x + y) x y 2a Bài 18 Giả sử (x, y) nghiệm hệ phương trình: Xác định giá trị tham số a để hệ 2 y x a 2a tháa m·n tÝch xy nhá nhÊt xy a Bài 19 Cho hệ phương trình: 1 x y b Giải biện luận hệ phương trình biết x, y độ dài cạnh hình chữ x my Bài 20 Cho hệ phương trình: mx y a Giải biện luận theo tham số m b Tìm số nguyên m hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên x my Bài 21 Cho hệ phương trình: (m lµ tham sè) mx 4 y 10 m a Giải biện luận theo m b Với giá trị số nguyên m, hệ có nghiệm (x; y) với x, y số nguyên d¬ng (m 1) x my 3m Bài 22 Cho hệ phương trình: x y m Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiƯm nhÊt (x; y) mµ S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ (m 1) x my 2m Bµi 23 Cho hƯ phương trình: mx y m Xác định tất giá trị tham số m để hệ có nghiệm (x; y) mà tích P = xy đạt giá trị lớn mx y 2m Bài 24 Cho hệ phương trình: x my m a Gi¶i hệ m = -1 b Tìm m để hệ có vô số nghiệm, có nghiệm: x = 1, y = mx y m Bài 25 Giải biện luận hệ phương trình sau theo tham số m: x my x my Bài 26 Cho hệ phương trình: mx y a Gi¶i hƯ m = b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm nhÊt (x; y) mµ x > vµ y < c Tìm số nguyên n để có nghiệm (x; y) mà x, y số nguyên 13 ThuVienDeThi.com Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 x my Bµi 27 Cho hƯ phương trình: mx 3my 2m a Gi¶i hƯ m = - b Gi¶i biện luận hệ đà cho theo m x y m Bài 28 Cho hệ phương trình: (m tham số nguyên) x y Xác định m để hệ có nghiệm nhÊt (x; y) mµ x > 0, y < mx y Bµi 29 Cho hƯ phương trình: x my a Giải biện luận hệ đà cho b Tìm điều kiƯn cđa m ®Ĩ hƯ cã nghiƯm nhÊt (x; y) tháa m·n hÖ thøc: x y m2 m2 mx 2my m Bài 30 Cho hệ phương trình: x (m 1) y a Chøng minh r»ng nÕu hÖ cã nghiÖm nhÊt (x; y) điểm M(x; y) luôn thuộc đường thẳng cố định m thay đổi b Xác định m để M thuộc góc vuông phần tư thứ c Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm gốc tọa độ bán kính mx y m Bµi 31 Với giá trị số nguyên m, hệ phương trình: có nghiệm (x; y) với x; y x my m số nguyên x my Bài 32 Cho hệ phương trình: mx y a Giải biện luận theo m b Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm (x; y) với x; y số nguyên c Chứng minh r»ng hÖ cã nghiÖm nhÊt (x; y), điểm M(x; y) luôn chạy đường thẳng cố định d Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm gốc tọa độ bán kính Bài 33 Giải biện hệ phương trình: 2m x 3(m 1) y x y m 1 x my a b c x y m x y m m( x y ) y 2mx y Bài 34 Cho hệ phương trình: mx y a Giải hệ phương trình lúc m = b Giải biện luận hệ phương trình theo tham số mx y Bài 35 Cho hệ phương trình (m tham số ): x y m a Chøng tỏ lúc m = 1, hệ phương trình có vô số nghiệm b Giải hệ lúc m khác Bài 36 Với giá trị x, y, z; ta có đẳng thức sau: 4x2 + 9y2 + 16z2 - 4x - 6y - 8z +3 = x y 25 Bài 37 Với giá trị m, hệ phương trình: có nghiệm? mx y 3m 14 ThuVienDeThi.com C¸c dạng toán luyện thi vào lớp 10 x y 2a Bài 38 Cho hệ phương trình: Xác định a để hệ có hai nghiệm phân biệt Tìm nghiệm xy 2a x y m Bµi 39 Cho hệ phương trình: y x Xác định m để hệ phương trình có nghiệm kép x y x y m Bµi 40 Cho hệ phương trình: Xác định m để hệ có nghiệm Tìm nghiệm y x 1 xy x y 71 Bµi 41 Cho x, y lµ hai số nguyên dương cho: Tìm giá trÞ cđa biĨu thøc: M = x2 +y2 x y xy 880 x my m Bài 42 Cho hệ phương trình: mx y 3m a Gi¶i biện luận hệ phương trình b Không giải hệ phương trình, cho biết với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhất? (a 1) x y a Bµi 43 Cho hệ phương trình: (a tham số) x (a 1) y a Giải hệ phương trình với a = b Giải biện luận hệ phương trình c Tìm giá trị nguyên a để hệ phương trình có nghiệm nguyên d Tìm giá trị a để nghiệm hệ thỏa mÃn điều kiện x + y nhỏ Bài 44 Lập phương trình đường thẳng qua gốc O vµ song song víi AB biÕt: A(-1; 1), B(-1; 3) A(1; 2), B(3; 2) A(1; 5), B(4; 3) Bµi 45 Cho ba điểm A(-1; 6), B(-4; 4), C(1; 1) Tìm tọa độ đỉnh D hình bình hành ABCD Bài 46 Cho ®iĨm: A(0; -5), B(1; -2), C(2; 1), D(2,5; 2,5) Chøng minh r»ng ®iĨm A, B, C, D thẳng hàng Bài 47 Cho bốn điểm A(1; 4), B(3; 5), C(6; 4), D(2; 2) HÃy xác định tứ giác ABCD hình gì? 2(m 1) x (m 2) y m Bµi 48 Tìm giá trị m để hệ phương trình sau v« nghiƯm, v« sè nghiƯm: (m 1) x my 3m (m 1) x 2my Bµi 49 Cho hƯ phương trình: (m tham số) 2mx (m 1) y (m 1) a Giải hệ phương trình b Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa m·n x < 0, y < (m 1) x y 3m Bµi 50 Cho hệ phương trình: (m tham số) x (m 1) y m a Gi¶i hƯ phương trình b Tìm giá trị nguyên m để hệ có nghiệm nguyên c Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm dương x my m Bµi 51 Cho hệ phương trình: (m tham số) mx y 3m a Giải hệ phương trình b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nhÊt tháa m·n ®iỊu kiƯn xy nhá nhÊt x y 2a Bµi 52 Tìm giá trị a để hệ sau có nghiệm nhÊt: x y 4a 15 ThuVienDeThi.com Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 Bài 53 a Tìm giá trị nguyên tham số a m để hệ phương trình có nghiệm số dương, số âm ax y 3 x y m ; x ay 2 x y 2 x y m b T×m giá trị nguyên m để hệ phương trình sau: cã nghiƯm x > vµ y < 3 x y mx y m2 c Với giá trị khác m hệ phương trình: có nghiệm tháa m·n x y m 3 3 x my Bµi 54 a.x y Cho hệ phương trình: x y a Gi¶i hệ phương trình với a = b Tìm giá trị a để hệ có nghiệm Tìm giá trị a để hệ phương trình sau vô nghiệm C Phương trình C.1 Kiến thức C.1.1 Phương trình bậc ẩn a Định nghĩa - Phương trình có dạng ax + b = Trong a, b R a b Cách giải biện luận - Nếu a = Khi đó: + b = phương tr×nh cã VSN + b th× phong tr×nh VN - Nếu a Khi phương trình cã nghiƯm nhÊt x = - b/a C.1.2 Ph¬ng trình bậc hai ẩn a Định nghĩa - Phương trình có dạng: ax2 + bx + c = Trong a, b, c R a b Cách giải biện luận - Nếu a = Phương tình có dạng bx + c = 0: Phương trình bậc - Nếu a Khi b 4ac (hoặc ' b '2 ac ) + (hoặc ' ): Pt vô nghiệm b b' + (hc ' ): Pt cã nghiÖm kÐp x1 x2 (hc x1 x2 ) 2a a + (hc ' ): Pt cã hai nghiÖm phËn biÖt b b' ' (hc x1,2 ) x1,2 2a a Chú ý: Nếu phương trình ax2 + bx + c = cã hai nghiƯm x1, x2 th× ta cã thÓ viÕt ax2 + bx + c = a(x - x1)(x -x2) Định lí Viet a Định lí thuận - Nếu phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm x1, x2 tổng tích hai nghiệm S x1 x2 c a b Định lí đảo P x1.x2 16 ThuVienDeThi.com b a Các dạng toán lun thi vµo líp 10 - NÕu hai sè x vµ y cã tỉng x1 x2 S vµ tÝch x1.x2 P tháa m·n S P hai số x y hai nghiệm phương trình t2 - St + P = Một số dạng dùng Hệ thức Vi-ét Cho phương trình: ax2 + bx + c = ( a # ) đó: x1 + x2 = S ; x1.x2 = P Phương trình có nghiệm đối nhau: ∆>0 ∆>0 P>0 x1.x2 < S=0 x1 + x2 =0 2) phương trình có nghiệm nghịch đảo: ∆>0 ∆>0 P=1 x1.x2 = 3) phương trình có nghiệm dấu: ∆>0 ∆>0 P>0 x1.x2 > 4) phương trình có nghiệm trái dấu: P < x1.x2 5) phương trình có nghiệm dương: ∆>0 ∆>0 P>0 x1.x2 > S>0 x + x2 > 6) phương trình có nghiệm âm: ∆>0 ∆>0 P>0 x1.x2 > S0 ∆>0 P>0 x1.x2 > S0 ∆>0 P>0 x1.x2 > S>0 x + x2 > 9) Phương trình có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối nghiệm dương lớn giá trị tuyệt đối nghiệm âm P0 x1 + x2 > 10) Phương trình có nghiệm trái dấu giá trị tuyệt đối nghiệm dương nhỏ giá trị tuyệt đối nghiệm âm P>0 x1.x2 < S0 x1.x2 < S=0 x1 + x2 = 1) Bµi tËp chän läc Bµi Tìm giá trị m để hai phương tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung x2 + mx + = 0; x2 + x + m = Bài Cho hai phương trình x + p1x + q1 = 0; x2 + q2x + q2 = 17 ThuVienDeThi.com Các dạng toán luyện thi vµo líp 10 Chøng minh r»ng nÕu p1 p2 2(q1 q2 ) th× Ýt nhÊt mét hai phương trình đà cho có nghiệm Bài Với giá trị bào k hai phương trình sau: 2x2 + (3k + 1)x - = 0; 6x2 + (7k - 1)x - 19 = Cã Ýt nhÊt nghiệm chung, tìm nghiệm chung Bài Chứng minh phương trình sau có nghiệm với a, b, c (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x - a) = Bµi Cho a, b, c lµ sè đo độ dài cạnh m ột tam giác Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: a2x2 + (a2 + b2 - c2)x + b = Bµi Cho ba phương trình x2 + 2ax + ac = 0; x2 - 2bx + ab - c = 0; x2 + 2cx + c = Chøng minh r»ng ba phương trình có nghiệm Bài Cho phương trình: ax2 + bx + c = Chứng minh phương trình đà cho có nghiệm hai điều kiện sau thỏa m·n a a(a + 2b + c) < b 5a + 3b + 2c = Bài Tìm giá trị k để phương trình: kx2 - (1 - 2k)x + k - = cã nghiệm số hữu tỉ Bài Cho phương trình: 2x2 - 3x + = Gäi x1, x2 nghiệm phương trình Không giải phương trình hÃy tìm giá trị biểu thức sau: x1 x2 x x 1 a A b B c C x12 x22 d D x1 x2 x2 x1 x1 x2 Bài 10 Cho phương trình: x + (2m - 1)x - m = a Chứng minh phương trình lu«n cã nghiƯm víi mäi m b Gäi x1, x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị m ®Ĩ biĨu thøc A x12 x22 x1 x2 đạt giá trị nhỏ Bài 11 Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: 3x2 + 5x - = Không giải phương trình hÃy lập phương trình bậc hai ẩn y có nghiÖm 1 y1 x1 ; y2 x2 x2 x1 Bài 12 Cho phương trình x x Không giải phương trình hÃy tính giá trị biểu thøc a A x13 x23 x12 x1 x2 x22 b B x13 x2 x1 x23 Bài 13 Cho phương tr×nh (k – 1)x2 – 2kx + k – = Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình trên, hÃy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào k Bài 14 Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trình: a x2 + (m - 2)x + m + = tháa m·n x12 x22 10 b x2 - (m + 3)x + 2(m + 2) = tháa m·n x1 = 2x2 c x2 - mx + m + = tháa m·n x1x2 + 2(x1 + x2) -19 = Bµi 15 Cho phương trình bậc hai: mx2 - (5m - 2)x + 6m - = a Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm hai số đối b Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm hai số nghịch đảo Bài 16 Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = Tìm giá trị m để hai nghiệm x1, x2 phương trình thỏa mÃn A 10 x1 x2 x12 x22 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị Bài 17 Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: M = |x1x2 - 2x1 - 2x2| Bài 18 Cho phương trình: x2 - mx + m - = a Chøng minh phương trình có nghiệm với m 18 ThuVienDeThi.com Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 b Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biÓu thøc: x1 x2 P x1 x22 2( x1 x2 1) Bµi 19 Cho phương trình: x2 + px + q = Tìm giá trị p q cho hai nghiệm phương trình thỏa mÃn x1 x2 3 x1 x2 35 Bài 20 Cho phương trình bậc hai: x2 - 2x - m2 = cã c¸c nghiƯm x1, x2 Lập phương trình bậc hai có nghiệm y1, y2 cho: a y1 = x1 - 3, y2 = x2 - b y1 = 2x1 - 1, y2 = 2x2 - Bài 21 Lập phương trình bËc hai cã c¸c nghiƯm tháa m·n: x1 x2 3 x1 x2 26 Bài 22 Chứng minh ba phương trình sau có phương trình vô nghiệm x2 + ax + b - = x2 + bx + c - = x2 + cx + a - = Bµi 23 Cho phương trình: x2 + 2x + a = (1) vµ (1 + a)(x2 + 2x + a) - 2(a - 1)(x2 + 1) = (2) Chøng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt phương trình (2) vô nghiệm Bài 24 Cho phương tr×nh: x2 - 2(m + 1)x + m - = a Chứng minh phương trình có hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m b Chøng minh r»ng biÓu thøc: A = x1(1 - x1) + x2(1 - x2) tron x1, x2 hai nghiệm phương trình không phụ thuộc vào m Bài 25 Cho phương trình (m - 1)x2 - 2mx + m + = a Chứng minh phương trình có nghiệm với m b Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm có tích b»ng 5, tõ ®ã h·y tÝnh tỉng hai nghiƯm cđa phương trình c Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m x x d Tìm giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mÃn đẳng thức: x2 x1 Bài 26 Tìm giá trị m n để hai phương trình sau tương đương x2 + (4m + 3n)x - = x2 + (3m + 4n)x + 3n = Bài 27 Cho phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm dương phân biệt x1, x2 a Chứng minh phương trình cx2 + bx + a = cịng cã hai nghiƯm d¬ng ph©n biƯt b Chøng minh r»ng S = x1 + x2 + x3 + x4 Bµi 28 Cho phương trình: x2 - (2m + 1)x + m2 + m = a Biết phương trình có nghiệm x1 = 2,tìm m tìm nghiệm lại b Tìm giá trị m để nghiệm phương trình thỏa mÃn bất đẳng thức -2 < x1 < x2 < Bài 29 Tìm a cho nghiệm phương trình x4 + 2x2 + 2ax + a2 + 2a + = Đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Bài 30 Cho a, b, c ba số dương khác có tổng 12 Chứng minh ba phương trình sau: x2 + ax + b = x2 + bx + c = x2 + cx + a = Có phương trình vô nghiệm, phương trình có nghiệm 19 ThuVienDeThi.com Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 Bài 31 Cho biết phương trình x2 + bx + c = 0, víi b, c lµ số hữu tỉ có nghiệm Tìm cặp số (b, c) Bài 32 Biết số đo độ dài hai cạnh góc vuông tam giác vuông nghiệm phương tr×nh bËc hai: (m - 2)x2 - 2(m - 1)x + m = Tìm m để số đo chiều cao ứng với cạnh huyền Bài 33 Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trình: mx - 2(m - 2)x + (m - 3) = tháa m·n ®iỊu kiƯn: x12 x22 : Bài 34 Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số) Tìm m để phương trình có nghiệm Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn Xác định m để nghiệm x1, x2 phương trình tháa m·n x1 + 4x2 = T×m mét hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m Bài 35 Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 1 x1 x2 Tìm m để phương trình có hai nghiƯm x1, x2 ph©n biƯt tháa m·n x1 x2 -Bài 36 Cho phương trình x2 + 5x - = (1) Không giải phương trình (1), hÃy lập phương trình bậc hai có nghiệm lũy thừa bậc bốn nghiệm phương trình (1) Bài 37 Chứng minh phương trình sau cã nghiƯm víi mäi a vµ b: (a + 1)x2 - 2(a + b)x + (b - 1) = Bài 38 Chứng minh phương trình sau có nghiƯm víi mäi m: x2 - (3m2 - 5m + 1)x - (m2 - 4m + 5) = 4 x y Bài 39 Tìm giá trị m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2 2 x y m Bài 40 Tìm giá trị a để hai phương tr×nh sau cã Ýt nhÊt mét nghiƯm chung: x2 + ax + = (1) vµ x2 + x + a = (2) Bài 41 Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiÖm x ≥ 0: (m + 1)x2 - 2x + (m - 1) = Bài 42 Xác định m để phương trình: (m + 1)x2 - 2(m + 2)x + 2(m + 1) = cã hai nghiÖm cïng âm, dương, trái dấu Bài 43 Tìm giá trị m để phương trình sau có hai nghiƯm ph©n biƯt: x3 - m(x + 1) + = Bài 44 Chứng minh phương trình sau cã nghiƯm víi mäi a, b vµ c: x(x - a) + x(x - b) + (x - a)(x- b) = (x - a)(x - b) + (x - b)(x - c) + (x - c)(x- a) = 2b c Bài 45 Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = (a ≠ 0) cã nghiƯm nÕu 4 a a Bµi 46 Chøng minh hai phương trình sau cã nghiÖm nÕu bm = 2(c + n): x2 + bx + c = vµ x2 + mx + n = Bài 47 Cho phương trình bậc hai: f(x) = ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh r»ng nÕu tån t¹i sè thùc mà af() phương trình có nghiệm Bài 48 Cho biết phương trình ax2 + bx +2 c = vµ ax2 + bx - c = (a ≠ 0) cã nghiƯm VËn dơng bµi 22 để chứng minh phương trình ax2 + bx + c = cã nghiÖm 3 x y Bài 50 Với giá trị a hệ phương trình sau có nghiệm: 2 x y a Bài 51 Tìm giá trị m để hai phương trình sau có nghiÖm chung: x2 + 2x + m = (1) vµ x2 + mx + = (2) Bµi 52 Tìm giá trị m để hai phương trình sau cã Ýt nhÊt mét nghiÖm chung: 20 ThuVienDeThi.com ... xứng loại ThuVienDeThi.com Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 a Định nghĩa: Hệ hai phương trình hai ẩn x y gọi đối xứng loại ta đổi chỗ hai ẩn x y phương trình hệ không đổi b Cách giải Đặt S =... : x 2 x 4 x x2 x a Tìm giá trị x để P xác định ThuVienDeThi.com (x 0;x 1) Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 b Rót gän P c T×m x cho P >1 B Hệ phương trình B.1 Kiến thức b.1.1... trình có nghiệm Bài Với giá trị m hệ phương trình mx y x my 11 ThuVienDeThi.com Các dạng toán luyện thi vào lớp 10 Khi hÃy tìm giá trị x y m Bài Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình