sgk12 ctst chương 1 ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

bằng 0 hoặc không tồn tại.Bước 3: Sắp xếp các điểm x x1; ; ;2  xn theo thứ tự tăng dần, xét dấu f x  và lậpbảng biến thiên.Buớc 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến c

Trang 1

Chương 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐng 1 NG D NG Đ O HÀM Đ KH O SÁT HÀM SỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐẢO SÁT HÀM SỐỐBài 1 – TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên K.

Nếu f x  với mọi x thuộc 0 K thì hàm số yf x  đồng biến trên K.Nếu f x  với mọi x thuộc 0 K thì hàm số yf x  nghịch biến trên K.

Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K, ta hiểu xét tínhđơn điệu của hàm số đó trên tập xác định của nó.

bằng 0 hoặc không tồn tại.

Bước 3: Sắp xếp các điểm x x1; ; ;2  xn theo thứ tự tăng dần, xét dấu f x 

và lậpbảng biến thiên.

Buớc 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Chú ý:

GIẢI HOẠT ĐỘNG SGK

Hoạt động khởi động trang 6 Toán 12 Tập 1: Trong 8 phút đầu kể từ khixuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được

trong hình bên Trong các khoảng thời gian nào thì khinh khí cầu tăng dần độcao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?

Trang 2

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Trong khoảng thời gian từ 0 – 3 giây và 6 – 8 giây thì khinh khí cầu tăng dần độcao.

Trong khoảng thời gian từ 3 – 6 giây thì khinh khí cầu giảm dần độ cao.

Tại thời điểm 3 phút sau khi xuất phát khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ tăngdần sang giảm dần nên độ cao của nó đang đạt cực đại.

Tại thời điểm 6 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từgiảm dần sang tăng dần nên độ cao của nó là một điểm cực tiểu.

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số yf x  có đồ thị cho ở Hình 2.

Lời giải

Hàm số đồng biến trên các khoảng 2;1 và 5;8, nghịch biến trên khoảng 1;5.

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 3.

Trang 3

Lời giải

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-3; -2) và 1;0

Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số y f x  x2

a) Từ đồ thị của hàm số yf x  (Hình 4), hãy chỉ ra cáckhoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho.b) Tính đạo hàm f x  và xét dấu f x .

c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến,nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x).

Lời giải

a) Hàm số đồng biến trên khoảng 0;

Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0

b) f x  x2 ' 2xTa có:

Trang 4

 

f x  0 2x 0 x0

 

f x  0 2x 0 x0c) Nhận xét:

với mọi x1;.Vậy g x  nghịch biến trên khoảng 1;.

Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

g xxx

 

c) h x  x3

Lời giải

a) Xét hàm số f x x33x2.Tập xác định: D R.

Ta có f x  3x26 ;x f x  0 x hoặc 0 x  2Bảng biến thiên.

Vậy hàm số f x  x33x2 đồng biến trên khoảng 0;2, nghịch biến trên các

khoảng ;0 và 2;.

g xxx

 .Tập xác định: D R ‚  0 .

Trang 5

 

đồng biến trên các khoảng ; 1  và 1;, nghịch biếntrên các khoảng 1;0 và 0;1

.c) Xét hàm số h x   x3

Tập xác định: D R.

Ta có h x 3 ;x h x2   0 x0.

Vậy hàm so h x  x3 đồng biến trên R.Bảng biến thiên.

Thực hành 2 trang 9 Toán 12 Tập 1: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:a) f x x3 6x29x; b)  

g xx

.

Trang 6

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 3;, nghịch biến trên khoảng

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 và 0;.

Thực hành 3 trang 9 Toán 12 Tập 1: Chứng minh rằng hàm số f(x) = 3x – sinx đồng biến trên ℝ.

Lời giải

Tập xác định: D = ℝ.Ta có f'(x) = 3 – cosx.

Vì −1 ≤ cosx ≤ 1 nên −1 ≤ −cosx ≤ 1.Do đó 2 ≤ 3 −cosx ≤ 4 hay 2 ≤ f'(x) ≤ 4.

Hay f'(x) luôn dương Do đó hàm số f(x) = 3x – sinx đồng biến trên ℝ.

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Hãy trả lời câu hỏi trong Khởi động (trang 6 ) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số h t  6t3 81t2324t với 0 t 8

Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu

vào thời điểm t phút được cho bởi công thức h t  6t3 81t2324t Đồ thị của hàm số h t 

được biểu diễn trong hình bên Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?

Trang 7

th t

Độ cao của khinh khí cầu giảm dần từ 405m xuống 324m trong thời gian từ 3 phút đến 6 phút

Trang 8

Nếu tồn tại một khoảng a b;  chứa điểm x và 0 a b;  D sao cho f x   f x 0 vớimọi xa b; ‚  x0 , thì x được gọi là một điểm cục tiểu, 0 f x 0 được gọi là giá trịcục tiểu của hàm số yf x , kí hiệu y CT

Quan sát đồ thị của hàm số yf x x3 3x2 trong Hình 5 1

a) Tìm khoảng a;b chứa điểm x 0 mà trên đó f x f 0  với mọi x  0

b) Tìm khoảng ( a ; b) chứa điểm x 2 mà trên đó f x f 2  với mọi x  2

c) Tồn tại hay không khoảng (a; b) chứa điểm x 1 mà trên đó f x  f 1  với mọi1

x  hoặc f x f 1  với mọi x  ?1

Trang 9

Lời giải

a) Trên khoảng 1;2 ,f x   f 0  với mọi x 0b) Trên khoảng 0;3 ,f x   f 2  với mọi x 2

c) Không tồn tại khoảng (a; b) chứa điểm x 1 mà trên đó f x  f 1  với mọi x  1

hoặc f x f 1  với mọi x 1

Ví dụ 4: Tìm cực trị của hàm số yf x  có đồ thị được cho ở Hình 7.

Lời giải

Hàm số yf x  có:1

x  là điểm cực đại vì f x  f  1

với mọi x0;2‚  1 ,yCD f  1 5;6

x  là điểm cực đại vì f x  f  6

với mọi x5;7‚  6 ,yCD f  6 6;4

x  là điểm cực tiểu vì f x  f  4

với mọi x3;5‚  4 ,yCT f  4 1.

Tìm các điểm cực trị của hàm số y f x   có đồ thị cho ở Hình 8

Lời giải

Hàm số y f x   có:

x 5 là điểm cực đại vì f x f 5  với mọi x3;7‚  5 ,ycd f  5 5x 3 là điểm cực tiểu vì f x  f 3  với mọi x1;5‚  3 ,yct f  3 2x 7 là điểm cực tiểu vì f x  f 7  với mọi x5;9‚  7 ,yct f  7 1

Ví dụ 5: Tìm cực trị của hàm số f x  2x3 9x2 24x 1

Trang 10

Lời giải

Tập xác định: D R.Ta có f x  6x218x 24

f x   x.Bảng biến thiên:

Lời giải

Tập xác định: D R ‚  1

Trang 11

 22

Bảng biến thiên:

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x3,yct f 3 , đạt cực đại tại 5 x1,ycd f  1 3

Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số

Trang 12

Vậy trên đoạn [0; 2000]:

Tọa độ đỉnh cực tiểu của dãy núi là (450; 460,3125)Tọa độ đỉnh cực đại của dãy núi là (1800; 1392,27)

III GIẢI BÀI TẬP SGK

Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11.

Lời giải

Trang 13

a) Tập xác định: D = R.

Ta có y12x26x 36; y  0 12x26x 36 0   x2 hoặc 32

x 

.Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2  và 3

x 

và

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Trang 14

Hàm số đạt cực đại tại x3,ycd f 3 82, đạt cực tiểu tại x2,yct f  2 43b)

2 8 102

Tập xác định: D R ‚  2

Ta có:

 2

RR

Trang 15

2 4

y   xBảng biến thiên:

 nghịch biến trên R ‚  3

Câu 5: Kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam trong các năm từ 2010 đến 2017 có thể được tính xấp xỉ bằng công thức f x 0,01x3 0,04x20, 25x0, 44 (tỉ USD) với x là số năm tính từ 2010 đến 2017(0 x 7 ).

Ta có: yf x 0 x R nên yf x  luôn đồng biến  x 0;7

Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ 2010 đến 2017.

Trang 16

Câu 6: Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số x t   t3 6t29t với t  Khi đó 0 x t  là

vận tốc của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu v t  ; v t 

Trang 17

  0

f x  trên các khoảng 1;2 và 4;5 nên f x 

đồng biến trên các khoảng 1;2 và

4;5 

f x  trên các khoảng 0 2; 1  và 2;4 nên f x 

nghịch biến trên các khoảng 2; 1  và

 

Vậy f x  đạt cực tiểu tại x  và 1 x  do 4 f x  đổi dấu từ âm sang dương khi đi qua x  và 1 x  , đạt cực đại tại x 4 2 do f x 

đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 2

Bài 2 – GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

I ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số yf x  xác định trên tập hợp D.

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số yf x  trên D nếu f x M với

mọi x thuộc D và tồn tại x thuộc 0 D sao cho f x 0 M Kí hiệu M maxDf x .

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x  trên D nếu f x  với mọimx thuộc D và tồn tại x thuộc 0 D sao cho f x 0  Kí hiệu mmminDf x .

Chú ý: Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cáchsử dụng đạo hàm và bảng biến thiên.

GIẢI HOẠT ĐỘNG CỦA SGK

Hoạt động khởi động trang 14 Toán 12 Tập 1: Sự phân hủy của rác thải hữucơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hòa tan trong nước Nồng độ oxygen

Trang 18

(mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t ≥ 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vàohồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)

  5 152

tyy t

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là t = 0 và thấp nhất t = 13

Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.

Trang 19

a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?1) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 28 C

2) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 40 C

3) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 34 C

Lời giải

a) Khẳng định đúng là iii) vì nhìn hình ta thấy điểm cao nhất của đồ thị là 34 C

b) Thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày 34 C 

là lúc 16 giờc) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 20 C

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:a) yf x 2x trên đoạn 3 3;1 ; b) y g x   1 x2

Trang 20

b) Xét hàm số g x  1 x2

Tập xác định: D   1;1.

Ta có 0g x  với mọi 1 x   1;1 Mặt khác g 0  và 1 g 1  0Do đó min1;1g x 0

và max1;1g x  1.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số f x x3 6x29x trên 1nửa khoảng 1;.

Lời giải

Ta có: f x 3x212x9;

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng 1; :

Từ bảng biến thiên, ta thấy min1; f x  f 117

và hàm số không có giá trị lớn nhất trên 1;.

a) f x 2x3 9x2 12x trên đoạn [0;3]1 b) g x  x 1x

 

c) h x  x 2 x2

Trang 21

Từ bảng biến thiên, ta thấy min0;3 f x f  0 1

và max0;3 f x f  3 10

b) Xét g x  x 1x

 

 

1 lo i

xg x

Trang 22

Từ bảng biến thiên, ta thấy minDf x f  1  và 1 maxDf x  f  1 1

Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14).

Trang 23

 

y t

 

  và max0;y t  y 0 5

Vậy vào các thời điểm t 0 thì nồng độ oxygen trong nước cao nhất và 1t

giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất

Trang 24

II TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐỌAN

① Tìm các điểm x x1; ; ;2  xn thuộc khoảng a b;  mà tại đó f x  bằng 0 hoặc khôngtồn tại.

GIẢI HOẠT ĐỘNG CỦA SGK

Lời giải

Trang 25

Ví dụ 4: Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm

với 5 x 10 và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình 4 b

Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

Thể tích chiếc hộp là: V x  x30 2 x 80 2 x 2400x 220x24x3 với 5 x 10.

Ta có: V x 12x2 440x2400;

  0 20 ho c 30 (lo i vì không thu c 5;10 ;



Trang 26

V x 

khi 20

x 

Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì 20

x 

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số g x  x 42x

 

Lời giải

Xét g x  x 42x

Trang 27

Đặt một cạnh góc vuông là x x ( 0) thì cạnh còn lại là 5 x 2

Diện tích tam giác vuông là: f x  x 5 x2

Tập xác định: D0; 5

 

xf x

 

III GIẢI BÀI TẬP SGK

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5

Trang 28

 trên đoạn 3;7

Trang 29

 trên đoạn [3;7]

Từ bảng biến thiên, ta thấy max3;7yy 3 7

và min3;7yy 7 3

12

Trang 30

Câu 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:a) y x 3 3x 4 trên nửa khoảng [-3;2)

Trang 31

Từ bảng biến thiên, ta thấy min3;2yy3 22

 trên khoảng 1;

Tập xác định: D  1;‚  1

Câu 4: Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa sổ có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Trang 33

Từ bảng biến thiên, ta thấy maxDyy 0  và 2 minDy y  1 y 1 1

Câu 6: Khối lượng q kg

p  q

. Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo côngthức Rpq.

Trang 34

Từ bảng biến thiên, ta thấy maxDy y 7,5 112,5

Câu 7: Hộp sữa 1l được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh cmx. Tìm x để

Trang 35

Từ bảng biến thiên, ta thấy minDy y  1 6

Vậy x 1 cm thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng 6 cm2

Bài 3 – ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

limx a f x ,limx a f x ,limx a f x , limx a f x 

Chú ý:

Trang 36

Đồ thị hàm số 2 1

hiện trong Hình 3a.

Đồ thị hàm số

mm m v

, trong đó mo là khối

càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt thay đối như thế nào? Điều này

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta có:

Trang 37

Khi hạt di chuyến với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt tiến gần tới vô cùng.

tốc độ di chuyến của nó tiến gân tốc độ ánh sáng.

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau:

II ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG

của đồ thị hàm số yf x  nếu limx  f x  hoặc m limx f x   m

Chú ý: Đồ thị của hàm số

x  của nó được thể hiện trong Hình 6.

Trang 38

GIẢI HOẠT ĐỘNG SGK

Hoạt động khám phá 2 trang 21 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số

có đồ thị như Hình 4.

Nhận xét MN tiến dần về 0 khi khi x  hoặc x 

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

xy

Trang 39

Thực hành 2 trang 21 Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàmsố sau:

xyf x

Vậy 14

Vậy y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

III ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN

của đồ thị hàm số yf x  nếu limx  f x   ax b  0

hoặc

  

limx  f x  ax b  0.

Chú ý: Đồ thị hàm số  

32

Trang 40

Chú ý: Đồ thị hàm số

2 3 12



Trang 41

Nhận xét MN tiến dần về 0 khi khi x  hoặc x .

Ví dụ 3: Chứng minh rằng đường thẳng y x  2 là một tiệm cận xiên của đồ thị

f xx

  

Ví dụ 4: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số  

2 3 12

Trang 42

Ví dụ 5: Trong Hình 11, đường viền bóng của đèn ngủ lên tường là đồ thị của hàm số

Lời giải

Trang 43

Do đó y2x13 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Thực hành 4 trang 24 Toán 12 Tập 1: Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phấm thì chi phí trung bình (tính bằng nghì đồng) cho

50x 2000

C x

Tìm các đường tiệm cậncủa đồ thị hàm số y C x  .

D    R ‚

x 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Trang 44

D    R ‚

y 

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

c) Tập xác định:

D    R ‚

y 

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 2: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:а)

2 2



Trang 45

12

Trang 46

Có lim  2 lim 2 1  2 lim 1 0

Vậy y x 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Bài 3: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 4: Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian t cho bởi công thức   2155

ty t

 , với y được tính theo mg / I và t được tính theo giờ, t 0 Tim các đường tiệm cận

thời gian t trở nên rất lớn.

Lời giải

1515