sgk12 ctst chương 1 ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

bằng 0 hoặc không tồn tại.Bước 3: Sắp xếp các điểm x x1; ; ;2  xn theo thứ tự tăng dần, xét dấu f x  và lậpbảng biến thiên.Buớc 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến c

Ch ương 1 ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ng 1 NG D NG Đ O HÀM Đ KH O SÁT HÀM S ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ ẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT HÀM SỐ Ể KHẢO SÁT HÀM SỐ ẢO SÁT HÀM SỐ Ố Bài 1 – TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Cho hàm số yf x  có đạo hàm trên K

Nếu f x  với mọi x thuộc 0 K thì hàm số yf x  đồng biến trên K

Nếu f x  với mọi x thuộc 0 K thì hàm số yf x  nghịch biến trên K

Chú ý: Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà chưa cho khoảng K, ta hiểu xét tínhđơn điệu của hàm số đó trên tập xác định của nó

bằng 0 hoặc không tồn tại

Bước 3: Sắp xếp các điểm x x1; ; ;2  x n theo thứ tự tăng dần, xét dấu f x 

và lậpbảng biến thiên

Buớc 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Chú ý:

GIẢI HOẠT ĐỘNG SGK

Hoạt động khởi động trang 6 Toán 12 Tập 1: Trong 8 phút đầu kể từ khixuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu vào thời điểm t phút được

trong hình bên Trong các khoảng thời gian nào thì khinh khí cầu tăng dần độcao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta thấy:

Trong khoảng thời gian từ 0 – 3 giây và 6 – 8 giây thì khinh khí cầu tăng dần độcao

Trong khoảng thời gian từ 3 – 6 giây thì khinh khí cầu giảm dần độ cao

Tại thời điểm 3 phút sau khi xuất phát khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từ tăngdần sang giảm dần nên độ cao của nó đang đạt cực đại

Tại thời điểm 6 phút sau khi xuất phát, khinh khí cầu đang ở điểm chuyển từgiảm dần sang tăng dần nên độ cao của nó là một điểm cực tiểu

Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số yf x  có đồ thị cho ở Hình 2

Lời giải

Hàm số đồng biến trên các khoảng 2;1 và 5;8, nghịch biến trên khoảng 1;5.

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số y = f(x) có đồ thị cho ở Hình 3

Lời giải

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-3; -2) và 1;0

Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 7 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Cho hàm số y f x  x2

a) Từ đồ thị của hàm số yf x  (Hình 4), hãy chỉ ra các

khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số đã cho

b) Tính đạo hàm f x  và xét dấu f x 

c) Từ đó, nhận xét về mối liên hệ giữa các khoảng đồng biến,

nghịch biến của hàm số với dấu của f '(x)

Lời giải

a) Hàm số đồng biến trên khoảng 0;

Hàm số nghịch biến trên khoảng ;0

b) f x  x2 ' 2x

Ta có:

Ví dụ 3: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

Tập xác định: D R.

Ta có h x 3 ;x h x2   0 x0

.Vậy hàm so h x  x3 đồng biến trên R

Vậy hàm số đồng biến trên các khoảng ;1 và 3;, nghịch biến trên khoảng

Vậy hàm số nghịch biến trên các khoảng ;0 và 0;

Thực hành 3 trang 9 Toán 12 Tập 1: Chứng minh rằng hàm số f(x) = 3x – sinx đồng biến trên ℝ

Hay f'(x) luôn dương Do đó hàm số f(x) = 3x – sinx đồng biến trên ℝ

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 9 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Hãy trả lời câu hỏi trong Khởi động (trang 6 ) bằng cách xét dấu đạo hàm của hàm số h t  6t3 81t2324t với 0 t 8

Trong 8 phút đầu kể từ khi xuất phát, độ cao h (tính bằng mét) của khinh khí cầu

vào thời điểm t phút được cho bởi công thức h t  6t3 81t2324t Đồ thị của hàm

số h t 

được biểu diễn trong hình bên Trong các khoảng thời gian nào khinh khí cầu tăng dần độ cao, giảm dần độ cao? Độ cao của khinh khí cầu vào các thời điểm 3 phút và 6 phút sau khi xuất phát có gì đặc biệt?

Độ cao của khinh khí cầu tăng dần từ 0m lên 405m trong thời gian từ lúc xuất

phát đến thời điểm 3 phút, từ 324m lên 480m trong thời gian từ 6 phút đến 8

Nếu tồn tại một khoảng a b;  chứa điểm x và 0 a b; D sao cho f x  f x 0 với

mọi xa b; ‚  x0 thì x được gọi là một điểm cục đại, 0 f x 0 được gọi là giá trị

cục đại của hàm số yf x , kí hiệu y CD

Nếu tồn tại một khoảng a b;  chứa điểm x và 0 a b;  D sao cho f x   f x 0 vớimọi xa b; ‚  x0 , thì x được gọi là một điểm cục tiểu, 0 f x 0 được gọi là giá trịcục tiểu của hàm số yf x , kí hiệu y CT

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 10 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Quan sát đồ thị của hàm số yf x x3 3x2 trong Hình 5 1

a) Tìm khoảng a;b chứa điểm x 0 mà trên đó f x f 0  với mọi x  0

b) Tìm khoảng ( a ; b) chứa điểm x 2 mà trên đó f x f 2  với mọi x  2

c) Tồn tại hay không khoảng (a; b) chứa điểm x 1 mà trên đó f x  f 1  với mọi1

x  hoặc f x f 1  với mọi x  ?1

Lời giải

a) Trên khoảng 1;2 ,f x   f 0  với mọi x 0

b) Trên khoảng 0;3 ,f x   f 2  với mọi x 2

c) Không tồn tại khoảng (a; b) chứa điểm x 1 mà trên đó f x  f 1  với mọi x  1

hoặc f x f 1  với mọi x 1

Ví dụ 4: Tìm cực trị của hàm số yf x  có đồ thị được cho ở Hình 7

Trả lời câu hỏi Thực hành 4 trang 11 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Tìm các điểm cực trị của hàm số y f x   có đồ thị cho ở Hình 8

Lời giải

Hàm số y f x   có:

x 5 là điểm cực đại vì f x f 5  với mọi x3;7‚  5 ,y cd f  5 5

x 3 là điểm cực tiểu vì f x  f 3  với mọi x1;5‚  3 ,y ct f  3 2

x 7 là điểm cực tiểu vì f x  f 7  với mọi x5;9‚  7 ,y ct f  7 1

Ví dụ 5: Tìm cực trị của hàm số f x  2x3 9x2 24x 1

 

2 2

Vậy hàm số đạt cực tiểu tại x3,y ct f 3 , đạt cực đại tại 5 x1,y cd f  1 3

Trả lời câu hỏi Vận dụng 2 trang 12 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Một phần lát cắt của dãy núi có độ cao tính bằng mét được mô tả bởi hàm số

Vậy trên đoạn [0; 2000]:

Tọa độ đỉnh cực tiểu của dãy núi là (450; 460,3125)

Tọa độ đỉnh cực đại của dãy núi là (1800; 1392,27)

III GIẢI BÀI TẬP SGK

Câu 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số có đồ thị cho ở Hình 11

y x



Lời giải

a) Tập xác định: D = R.

Ta có y12x26x 36; y  0 12x26x 36 0   x2 hoặc

32

x 

.Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

Hàm số đồng biến trên các khoảng ; 2  và

x 

và

1114

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

x y

2 4

x y

Ta có: yf x 0 x R nên yf x  luôn đồng biến  x 0;7

Vậy kim ngạch xuất khẩu rau quả của Việt Nam tăng liên tục trong các năm từ

2010 đến 2017

Câu 6: Xét một chất điểm chuyển động dọc theo trục Ox Toạ độ của chất điểm tại thời điểm t được xác định bởi hàm số x t   t3 6t29t với t  Khi đó 0 x t  là

vận tốc của chất điểm tại thời điểm t , kí hiệu v t  ; v t 

  0 2

Bảng biến thiên:

Vậy trong khoảng từ t = 0 đến t = 2 thì vận tốc của chất điểm giảm,

từ t = 2 trở đi thì vận tốc của chất điểm tăng

Câu 7: Đạo hàm f x 

của hàm số y f x   có đồ thị như Hình 12 Xét tính đơn điệu và tìm điểm cực trị của hàm số y f x  

Lời giải

  0

f x  trên các khoảng 1;2 và 4;5 nên f x 

đồng biến trên các khoảng 1;2 và

4;5

 

f x  trên các khoảng 0 2; 1  và 2;4 nên f x 

nghịch biến trên các khoảng 2; 1  và

Vậy f x  đạt cực tiểu tại x  và 1 x  do 4 f x  đổi dấu từ âm sang dương khi đi

qua x  và 1 x  , đạt cực đại tại x 4 2 do f x 

đổi dấu từ dương sang âm khi đi qua x 2

Bài 2 – GTLN VÀ GTNN CỦA HÀM SỐ

I ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số yf x  xác định trên tập hợp D

Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số yf x  trên D nếu f x M với

mọi x thuộc D và tồn tại x thuộc 0 D sao cho f x 0 M Kí hiệu M maxD f x 

Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số yf x  trên D nếu f x  với mọim

x thuộc D và tồn tại x thuộc 0 D sao cho f x 0  Kí hiệu m mminD f x 

Chú ý: Ta quy ước khi chỉ nói giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của hàm số

 

Chú ý: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số thường được tìm bằng cách

sử dụng đạo hàm và bảng biến thiên

GIẢI HOẠT ĐỘNG CỦA SGK

Hoạt động khởi động trang 14 Toán 12 Tập 1: Sự phân hủy của rác thải hữu

cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hòa tan trong nước Nồng độ oxygen

(mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t ≥ 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào

hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên)

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là t = 0 và thấp nhất t =

13

Trả lời câu hỏi Khám phá 1 trang 14 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

Bảng biến thiên của hàm số trên nửa khoảng 1; :

Từ bảng biến thiên, ta thấy min1; f x  f 117

và hàm số không có giá trị lớn nhất trên 1;

Trả lời câu hỏi Thực hành 1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

11

Từ bảng biến thiên, ta thấy minD f x f  1   và 1 maxD f x  f  1 1

Trả lời câu hỏi Vận dụng 1 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong Hoạt động khởi động (trang 14)

 giờ thì nồng độ oxygen trong nước thấp nhất

II TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ TRÊN MỘT ĐỌAN

① Tìm các điểm x x1; ; ;2  x n thuộc khoảng a b;  mà tại đó f x  bằng 0 hoặc khôngtồn tại

GIẢI HOẠT ĐỘNG CỦA SGK

Trả lời câu hỏi Khám phá 2 trang 16 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Lời giải

Ví dụ 4: Từ một tấm bìa hình chữ nhật có chiều rộng 30 cm và chiều dài 80 cm

với 5 x 10 và gấp lại để tạo thành chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không nắp như Hình 4 b

Tìm x để thể tích chiếc hộp là lớn nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

V x 

khi

203

x 

Vậy để thể tích chiếc hộp là lớn nhất thì

20 cm3

III GIẢI BÀI TẬP SGK

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5

Từ bảng biến thiên, ta thấy max3;7yy 3 7

 và min3;7yy 7 3

d) Xét ysin2x trên đoạn 

70;

Từ bảng biến thiên, ta thấy min3;2 yy3 22

b) Xét 

2 2

01

Từ bảng biến thiên, ta thấy maxD yy 0   và 2 minD y y  1 y 1 1

Câu 6: Khối lượng q kg

 của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán p 

(nghìn đồng/kg) theo công thức 

1152

p  q

. Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo côngthức Rpq

Từ bảng biến thiên, ta thấy maxD y y 7,5 112,5

Vậy nếu giá bán mỗi kilôgam sản phấm là 7,5 nghìn đồng/kg thì sê đạt được doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng

Câu 7: Hộp sữa 1l  được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh   cm x . Tìm  x  để 

Từ bảng biến thiên, ta thấy minD y y  1 6

Vậy x 1 cm thì diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất và bằng 6 cm2

Bài 3 – ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

I ĐƯỜNG TIỆM CẬN ĐỨNG

limx a f x ,limx a f x ,limx a f x , limx a f x 

Chú ý:

Đồ thị hàm số 2 1

x y x



hiện trong Hình 3a

Đồ thị hàm số

21

y x

1

m

m m v

v c

, trong đó mo là khối

càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt thay đối như thế nào? Điều này

Lời giải

Dựa vào đồ thị ta có:

Khi hạt di chuyến với tốc độ càng gần tốc độ ánh sáng thì khối lượng của hạt tiến gần tới vô cùng.

tốc độ di chuyến của nó tiến gân tốc độ ánh sáng

Ví dụ 1. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị các hàm số sau:

y x

II ĐƯỜNG TIỆM CẬN NGANG

của đồ thị hàm số yf x  nếu limx  f x  hoặc m limx f x   m

Chú ý: Đồ thị của hàm số

1

x y x

GIẢI HOẠT ĐỘNG SGK

Hoạt động khám phá 2 trang 21 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số

1

x y x





có đồ thị như Hình 4

Nhận xét MN tiến dần về 0 khi khi x  hoặc x 

Ví dụ 2: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

1

x y x

Thực hành 2 trang 21 Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị các hàm

Vậy y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

III ĐƯỜNG TIỆM CẬN XIÊN

của đồ thị hàm số yf x  nếu limx  f x   ax b  0

Chú ý: Đồ thị hàm số

2 3 12

y x

Nhận xét MN tiến dần về 0 khi khi x  hoặc x .

Ví dụ 3: Chứng minh rằng đường thẳng y x  2 là một tiệm cận xiên của đồ thị

321

Ví dụ 4: Tìm tiệm cận xiên của đồ thị hàm số  

2 3 12

Ví dụ 5: Trong Hình 11, đường viền bóng của đèn ngủ lên tường là đồ thị của hàm số

Do đó y2x13 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Thực hành 4 trang 24 Toán 12 Tập 1: Nếu trong một ngày, một xưởng sản xuất được x kilôgam sản phấm thì chi phí trung bình (tính bằng nghì đồng) cho

3

2

x 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Bài 2: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

Có lim  2 lim 2 1  2 lim 1 0

Vậy y x 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

Bài 3: Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

Lời giải

a) Dựa vào đồ thị ta có:

x = 1; x = 2 là hai tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

b) Dựa vào đồ thị ta có:

x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

y = x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

c) Dựa vào đồ thị ta có:

y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

Bài 4: Nồng độ oxygen trong hồ theo thời gian t cho bởi công thức   2

155

thời gian t trở nên rất lớn

Lời giải

2

1515

  2

2

1515

là 5mg / l Điều này có thế được hiếu sau một thời gian dài, môi trường trong hồ

sẽ đạt đến một trạng thái ốn định nồng độ oxygen không thay đối nhiều

Bài 5: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số khối lượng hạt

  0

2 2

1

m

m m v

v c

 trong hoạt động khởi động

Bài 4 – KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ CƠ BẢN

I SƠ ĐỒ KHẢO SÁT HÀM SỐ

Chú ý: Đồ thị của hàm số y ax 3bx2cx d a  0 luôn nhận điểm I x y 0; 0 làm

tâm đối xứng, trong đó x là nghiệm của phương trình 0 y 0 và y0 y x 0

GIẢI HOẠT ĐỘNG SGK

Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số y x 3 3x2 2

Trên khoảng 0;2 , y0

nên hàm số nghịch biến trên khoảng đó

là điểm cực đại và điểm 2; 2  là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn trên Hình 1 Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I1;0

Đồ thị của hàm số đi qua gốc toạ độ O0;0 và điểm 1;1

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn trên Hình 2

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại hai điếm 1;0 và

1

;02

Điểm 0;1 là điếm cực đại và điểm 1;0 là điếm cực tiếu của đồ thị hàm số

Đồ thị của hàm số đã cho được biếu diễn như hình dưới đây

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điếm I

Chiều biến thiên:

Đạo hàm y 3x2 6x 3 3(x1)2  với mọi xR ;0

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (– 2; 0).

Đồ thị của hàm số đi qua các điểm (– 2; 0), (– 1; 1) và (0; 2)

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây

Đồ thị của hàm số có tâm đối xứng là điểm I(– 1; 1)

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I  1;2 Các trục đối xứng của đồ thị

32

x 

là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm 2;0, giao với trục Oy tại điểm2

Đồ thị của hàm số được biểu diễn trên Hình 4

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm

x 

và

12



52

x y

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(1; 1) Các trục đối xứng của đồ thị

Sự biến thiên:

Chiều biến thiên:

2y

Đồ thị hàm số đi qua gốc tọa độ O(0; 0) và điểm (1; 1)

Đồ thị của hàm số đã cho được biểu diễn như hình dưới đây

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điếm I

x 

và2

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao với trục Ox tại điểm (- 5; 0), giao với trục Oy tại điểm

50;

2

Đồ thị của hàm số đã cho được biếu diễn như hình dưới đây

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm I(2; – 1) Các trục đối xứng của đồ thị

hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = 2 và

a) Nhận giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm tâm đối xứng;

b) Nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi tiệm cận đứng và tiệm cận xiên làm trục đối xứng

GIẢI HOẠT ĐỘNG SGK

Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số

2 2 21