Chuyen de 1 ung dung day ti so bang nhau

CHUYÊN DỀ GIẢI BÀI TẬP BẰNG SỬ DỤNG TÍNH CHẤT DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU Dạng Tìm giá trị biến tỉ lệ thức * Tính chất dãy tỉ số nhau: - Tính chất: Ta ln có - Tính chất mở rộng: (Giả thiết tỉ số có nghĩa) Ví dụ 1: Tìm x, y biết Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Do ; Vậy: ; Ví dụ 2: Tìm x, y biết Phân tích đề bài: Ta phải viết tỉ lệ thức dạng dãy tỉ số Giải: Từ: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Vậy: Ví dụ 3: Tìm x, y, z biết ; Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Vậy: ; ; Nhận xét: Ơ ví dụ ví dụ ta áp dụng tính chất dãy tỉ số Trong thực tế nhiều tập phải qua trình biến đổi đưa dạng để áp dụng tính chất dãy tỉ số Sau số dạng cách biến đổi Ví dụ 4: Tìm x, y, z biết Phân tích đề bài: Để áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số cho hệ số x, y, z tử dãy tỉ số hệ số x, y, z đẳng thức, cách áp dụng tính chất phân số Cụ thể nhân tử mẫu tỉ số với nhân tử mẫu tỉ số với áp dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x, y z Giải: Ta có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Vậy: ; ; Ví dụ 5: Tìm x, y, z biết Phân tích đề bài: Cách làm giống ví dụ Giải: Ta có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Vậy: ; ; Nhận xét: Ở ta cịn dùng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 6: Tìm x, y biết Phân tích đề bài: Ta viết đẳng thức dạng dãy tỉ số sau vận dụng cách làm ví Giải: Từ: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Vậy: ; Ví dụ 7: Tìm x, y, z biết Phân tích đề bài: Ta đưa dãy đẳng thức số bằng Cách làm chia tích cho 12 [ vì: Giải: dạng dãy tỉ số cho hệ số x, y, z dãy tỉ ] sau làm ví dụ Từ: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Vậy: Ví dụ 8: Tìm x, y biết ; ; Phân tích đề bài: Để áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số làm xuất tích x.y cách lập luận để chứng tỏ nhân hai vế hai tỉ số với x Thay vào tính Giải: Vì Nhân hai vế với x ta được: Nếu Nếu Vậy: ; ; Nhận xét: Ở ta cịn dùng phương pháp đặt ẩn phụ Ví dụ 9: Tìm x, y, z biết ; Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số mẫu sau làm giống ví dụ Giải: ; dãy ba tỉ số cách biến đổi y hai dãy tỉ số Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: ; Vậy: ; ; ; Ví dụ 10: Tìm x, y, z biết Phân tích đề bài: Để áp dụng tính chất dãy tỉ số nhau, ta phải biến đổi dãy tỉ số làm xuất cách bình phương tỉ số sau làm giống ví dụ Giải: Từ: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Từ x, y, z dấu Vậy: Hoặc Ví dụ 11: Tìm x, y, z biết ; (1) Phân tích đề bài: Đưa hai dãy tỉ số số để xuất Giải: ; dãy ba tỉ số giống ví dụ lập phương tỉ sau áp dụng tính chất dãy tỉ số để tìm x, y, z Ta có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Vậy: Ví dụ 12: Cho ; và ; Tính: b, c Phân tích đề bài: Vì ta áp dụng tính chất dãy tỉ số để tìm giá trị dãy tỉ số từ tìm giá trị a, b, c Giải: Vì Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Mà Vậy: Ví dụ 13: Cho ba tỉ số Tính giá trị tỉ số Phân tích đề bài: Vì nên khơng thể áp dụng tính chất dãy tỉ số với ba tỉ số Ta áp dụng tính chất dãy tỉ số với hai tỉ số Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: và: Vậy tỉ số cho có giá trị -1 Ví dụ 14: Tìm x biết Phân tích đề bài: Ta nhận thấy tử số tỉ số thứ ba tổng hai tử số hai tỉ số đầu đó, áp dung tính chất dãy tỉ số hai tỉ số đầu để tìm x Giải: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Từ BÀI TẬP ÁP DỤNG: Bài 1: Tìm x, y biết a) b) c) d) e) f) g) h) Bài 2: Tìm x, y, z biết a) b) c) và và và d) e) ; f) g) h) Bài 3: Tìm x, y, z biết a) ; b) c) Bài 4: Tìm x biết Bài 5: Tìm số biết Dạng Chia tỉ lệ 1) x, y, z tỉ lệ thuận với a, b, c 2) x, y, z tỉ lệ nghịch với a, b, c ( Hay ) ( Hay ) Ví dụ 1: Chu vi hình chữ nhật 28 dm Tính độ dài cạnh, biết chúng tỉ lệ với 3; Phân tích đề bài: Trong hình chữ nhật có hai kích thước chiều dài chiều rộng (cịn gọi hai cạnh hình chữ nhật) chiều rộng ngắn chiều dài Hai cạnh chúng tỉ lệ với 3; cạnh ngắn tỉ lệ với cạnh dài tỉ lệ với Nếu gọi hai cạnh hình chữ nhật a b Vì hai cạnh hình chữ nhật ti lệ với nên ta có: Chu vi hình chữ nhật nên ta có: Như ta đưa tốn dạng áp dụng tính chất dãy tỉ số Giải: Gọi hai cạnh hình chữ nhật a b Theo ta có: Từ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: ; Vậy độ dài hai cạnh hình chữ nhật 6cm 8cm Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có số đo góc Phân tích đề bài: Ở cho góc Vậy ta lấy ln tỉ lệ với 1; 2; tính số đo góc tam giác ABC tỉ lệ với 1; 2; số đo ba góc cần tìm Vì số đo góc tỉ lệ với 1; 2; nên ta có: Áp dụng định lí tổng ba góc tam ta có: Giải: Gọi ba góc góc ngồi tam giác ABC là: Theo ta có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: ; ; Vậy số đo ba góc tam giác ABC là: Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có góc A, B, C tỉ lệ với 7: 5: Các góc ngồi tương ứng tỉ lệ với số Phân tích đề bài: Nếu gọi ba góc tam giác ABC là: Vì ba góc tỉ lệ với 7: 5: nên ta có Tổng ba góc tam giác nên ta có: Từ ta tìm số đo góc tam giác, Mà tổng góc ngồi góc đỉnh tam giác bù Giải: Gọi ba góc góc ngồi tam giác ABC là: Theo ta có: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: Vậy góc ngồi tương ứng tỉ lệ với: Ví dụ 4: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng 10000 đồng, trị giá loại tiền Hỏi loại có tờ Phân tích đề bài: Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng 10000 đồng a, b, c Vì giá trị loại tiền nên ta có: Có 16 tờ giấy bạc loại nên: Giải: Gọi số tờ tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng 10000 đồng a, b, c Theo ta có: Từ: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: ; Vậy số tiền loại 2000 đồng, 5000 đồng, 10000 đồng 10 tờ, tờ tờ Ví dụ 5: Ba đội cơng nhân I, II, III phải vận chuyển tổng cộng 1530 kg hàng từ kho theo thứ tự đến ba địa điểm cách kho 1500m, 2000m, 3000m Hãy phân chia số hàng cho đội cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển Phân tích đề bài: Vì phân chia số hàng cho đội cho khối lượng hàng tỉ lệ nghịch với khoảng cách cần chuyển nên ta có: Tổng số hàng cần chuyển đến ba kho 1530 nên ta có: Giải: Gọi số lượng hàng chuyển tới ba kho a, b, c Theo ta có: Từ: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: ; ; Vậy số hàng cần chuyển tới ba kho A, B, C là: 680 tạ, 510 tạ, 340 tạ Ví dụ 5: Độ dài ba cạnh tam giác tỉ lệ với 2: 3: Hỏi ba chiều cao tương ứng ba cạnh tỉ lệ với số Phân tích đề bài: Nếu gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh là: Vì cạnh chiều cao tương ứng tam giác hai đại lượng tỉ lệ nghịch nên ta có Giải: Gọi ba chiều cao tương ứng với ba cạnh là: Theo ta có: Vậy ba chiều cao tương ứng với ba cạnh tam giác tỉ lệ với Ví dụ 6: Một lớp học có 35 em, sau khảo sát chất lượng số học sinh xếp thành ba loại: Giỏi, trung bình Số học sinh giỏi tỉ lệ với 3, số học sinh trung bình tỉ lệ với Tính số học sinh loại Phân tích đề bài: Nếu gọi số học sinh giỏi, khá, trung bình lớp là: a, b, c Vì số học sinh giỏi tỉ lệ với nên ta có: Số học sinh trung bình tỉ lệ với nên ta có: Lớp học có 35 em nên ta có: Giải: Gọi số học sinh giỏi, Khá trung bình lớp là: a, b, c Theo ta có: ; Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: ; ; Vậy số học sinh giỏi, khá, trung bình lớp là: em, 12 em, 15 em Ví dụ 7: Độ dài cạnh góc vng tam giac vuông tỉ lệ với 8: 15, cạnh huyền dài 51cm Tính độ dài hai cạnh góc vng Phân tích đề bài: Gọi độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng là: a, b Vì hai cạnh tỉ lệ với 8: 15 nên ta có: Áp dụng định lí Pi – Ta – Go vào tam giác vng ta được: Giải: Gọi độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng là: a, b Theo ta có: (Định lí Pi – Ta – Go) Từ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: ; Vậy độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng là: 24cm, 45cm Ví dụ 8: Hai xe ô tô khởi hành từ hai địa điểm A B Xe thứ quãng đường AB hết 15 phút Xe thứ hai quãng đường BA hết 45 phút Đến chỗ gặp nhau, xe thứ hai quãng đường dài quãng đường xe thứ 20 km Tính quãng đường AB Phân tích đề bài: Gọi vận tốc, thời gian, quãng đường xe từ A đến B ; Thì vận tốc, thời gian quãng đường xe từ B A Ta có 15 phút ; và 45 phút Trên quãng đường vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch Từ tỉ số thời gian ta tìm tỉ số vận tôc hai xe là: Với thời gian (Từ lúc xuất phát đến chỗ gặp nhau) vận tốc quãng đường hai đại lượng tỉ lệ thuận nên ta có: Và Giải: 15 phút ; 45 phút Gọi vận tốc, thời gian quãng đường xe từ A đến B Thì vận tốc, thời gian quãng đường xe từ B A ; ; Trên quãng đường vận tốc thời gian hai đại lượng tỉ lệ nghịch Ta có: Với thời gian (Từ lúc xuất phát đến chỗ gặp nhau) vận tốc quãng đường hai đại lượng tỉ lệ thuận Ta có: ; Quãng đường AB là: (km) Đ/S: Ví dụ 9: Ba kho A, B, C chứa số gạo Người ta nhập vào kho A thêm gạo kho đó, xuất kho C số gạo kho đó, xuất kho B số gạo kho Khi số gạo ba kho Tính số gạo kho lúc đầu, biết kho B chứa nhiều kho A 20 tạ gạo Phân tích đề bài: Gọi số gạo ba kho lúc đầu a, b, c Số gạo kho A sau thêm số gạo kho A là: Số gạo kho B sau xuất số gạo kho B là: Số gạo kho C sau xuất số gạo kho C là: Vì sau thêm vào kho A xuất kho B kho C số gạo ba kho nên ta có: Lúc đầu kho B nhiều kho A 20 tạ nên ta có: Giải: Gọi số gạo ba kho lúc đầu a, b, c Số gạo kho A sau thêm là: Số gạo kho B sau xuất là: Số gạo kho C sau xuất là: Theo ta có: số Từ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: ; ; Vậy: số gạo kho lúc đầu 70 kg, 90 kg 112 kg Ví dụ 10: Ba xí nghiệp xây dựng chung cầu hết 38 triệu đồng Xí nghiệp I có 40 xe cách cầu 1,5km, xí nghiệp II có 20 xe cách cầu 3km, xí nghiệp III có 30 xe cách cầu 1km Hỏi xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu tiền, biết số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu Phân tích đề bài: Gọi số tiền phải góp ba xí nghiệp là: a, b, c Vì số tiền phải trả tỉ lệ thuận với số xe tỉ lệ nghịch với khoảng cách từ xí nghiệp đến cầu nên ta có: Tổng số tiền mà ba xí nghiệp cần đóng 38 triệu nên ta có: Giải: Gọi số tiền phải góp ba xí nghiệp là: a, b, c Theo ta có: Từ Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: ; ; Ba xí nghiệp phải trả cho việc xây dựng cầu là: 16 triệu đồng, triệu đồng bà 18 triệu đồng Ví dụ11 : Tổng ba phân số tối giản tử chúng tỉ lệ nghịch với 20: 4: Các mẫu chúng tỉ lệ thuận với 1: : Tìm ba phân số Phân tích đề bài: Gọi ba phân số cần tìm là: a, b, c Vì tử ba phân số tỉ lệ nghịch với 20: 4: mẫu chúng tỉ lệ thuận với 1: : nên ba phân số tỉ lệ với Tổng ba phân số nên ta có: Giải: Gọi ba phân số cần tìm là: a, b, c Theo ta có: Từ: Áp dụng tính chất dãy tỉ số ta có: ; Vậy ba phân số cần tìm là: ; ; ; Bài tập áp dụng: Bài 1: Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 64m Tính độ dài cạnh biết chúng tỉ lệ với Bài 2: Tính chiều dài ba cạnh tam giác có chu vi 30m ba cạnh tỉ lệ với 4: 5: Bài 3: Tìm số có ba chữ số biết số bội 18 chữ số tỉ lệ với 1: 2: Bài 4: Năm lớp 7A, 7B, 7C, 7D, 7E nhận chăm sóc vườn trường có diện tích Lớp 7A nhận 15% diện tích vườn, lớp 7B nhận 7E tỉ lệ với diện tích cịn lại Diện tích cịn lại vườn sau hai lớp nhận đem chia cho ba lớp 7C, 7D, Tính diện tích vườn giao cho lớp Bài 5: Ba công nhân thưởng 100000 đồng, số tiền thưởng phân chia tỉ lệ với mức sản xuất người Biết mức sản xuất người thứ so với mức sản xuất người thứ hai 5: 3, mức sản xuất người thứ ba 25% tổng số mức sản xuất hai người Tính số tiền người thưởng Bài 6: Có ba gói tiền gói thứ gồm tồn tờ 500 đồng, gói thứ hai gồm tồn 2000 đồng, gói thứ ba gồm tồn tờ 5000 đồng Biết tổng số tờ giấy bạc ba gói 540 tờ số tiền gói Bài 7: Cho tam giác ABC có đường cao , , tỉ lệ thuận với 2; 3; Chu vi tam giác ABC 13 Tính độ dài cạnh lớn tam giác ABC Bài 8: Ba tổ công nhân có mức sản xuất tỉ lệ với 5; 4; Tổ I tăng xuất 10%, tổ II tăng xuất 20%, tổ III tăng xuất 10% Do thời gian, tổ I làm nhiều tổ II sản phẩm Tính số sản phẩm tổ làm thời gian Bài 9: Tìm ba số tự nhiên biết BCNN chúng 3150, tỉ số số thứ số thứ hai 5: 9, tỉ số số thứ số thứ ba 10: Bài 10: Số tự nhiên M chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; Tổng bình phương ba phần 9512 Tìm A Bài 11: Số tự nhiên A chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; Biết tổng bình phương ba phần 564 Tìm A Bài 12: Chia số A thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; Tổng lập phương ba số 9512 Tìm A Bài 13: Tìm ba phân số, biết tổng chúng , tử chúng tỉ lệ với 3: 4: 5, mẫu chúng tỉ lệ với 5: 1: Một số M chia làm phần cho phần thứ phần thứ hai tỉ lệ thuận với 5; phần thứ hai phần thứ ba tỉ lệ nghịch với Biết phần thứ ba phần thứ hai 10 Tìm số M Bài 14: Ba máy xay, xay 350 thóc Số ngày làm việc ba máy tỉ lệ với 3: 4: 5, số làm việc ba máy tỉ lệ với 6: 7: 8, công xuất máy tỉ lệ nghịch với 5: 4:3 Hỏi máy xay thóc Dạng Dạng chứng minh tỉ lệ thức Có nhiều phương pháp chứng minh tỉ lệ thức Sau số cách chứng minh tỉ lệ thức áp dụng tính chất dãy tỉ số Lưu ý tính chất: Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thức với Và Chứng minh rằng: Phân tích đề bài: Quan sát tỉ lệ thức phải chứng minh, dùng phương pháp phân tích suy luân ngược để tìm hướng chứng minh Khi chứng minh ta chứng minh theo chiều xuôi Khi chứng minh y điều kiện có nghĩa tỉ lệ thức Có: Cần CM: Cần CM: để CM: Giải: Từ hay: (đpcm) Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thức với Và Chứng minh rằng: Phân tích đề bài: Giải: Từ: (đpcm) Ví dụ 3: Cho Chứng minh ( Phân tích đề bài: Giải: Từ: (đpcm) Ví dụ 4: Cho tỉ lệ thức Chứng minh: với ) Phân tích đề bài: Giải: Từ: (1) Mà: (2) Từ (1) (2) Ví dụ 5: Cho tỉ lệ thức (đpcm) với Chứng minh: Phân tích đề bài: Giải: Từ: Hay Ví dụ 6: Cho tỉ lệ thức (đpcm) với Chứng minh: Phân tích đề bài: Giải: Từ: (1) Mà: (2) Từ (1) (2) Ví dụ 7: Cho (đpcm) với Chứng minh rằng: Phân tích đề bài: Giải: Từ: (1) Mà: (2) Từ (1) (2) Ví dụ 8: Cho (đpcm) với Chứng minh rằng: Phân tích đề bài: Giải: Áp dụng kết phần a ta có: (đpcm) Ví dụ 9: Cho tỉ lệ thức với Chứng minh tỉ lệ thức sau: Phân tích đề bài: Giải: Từ: (1) Mà: (2) Từ (1) (2) (đpcm) Ví dụ 10: Cho tỉ lệ thức với Chứng minh: Phân tích đề bài: Giải: Từ: (1) Ta có: (2) Từ (1) (2) (đpcm) Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tỉ lệ thức với a, b, c, d a) Chứng minh rằng: b) c) Bài 2: Cho tỉ lệ thức: với Chứng minh Bài 3: Cho Chứng minh bốn số a, b, c, d lập thành tỉ lệ thức Bài 4: Cho tỉ lệ thức Chứng minh tỉ lệ thức sau (với giả thiết tỉ số có nghĩa) a) b) c) d) Bài 5: Cho ; với ; ; Chứng minh rằng: Bài 6: Cho Chứng minh rằng: Bài 7: Cho dãy tỉ số Chứng minh rằng: Bài 8: Chứng minh , a, b, c khác khác Thì: Bài 9: Cho CMR Bài 10: Cho với ; Chứng minh giá trị P không phụ thuộc vào x  ... 4: Có 16 tờ giấy bạc loại 2000 đồng, 5000 đồng 10 000 đồng, trị giá loại ti? ??n Hỏi loại có tờ Phân tích đề bài: Gọi số tờ ti? ??n loại 2000 đồng, 5000 đồng 10 000 đồng a, b, c Vì giá trị loại ti? ??n nên... kg, 90 kg 11 2 kg Ví dụ 10 : Ba xí nghiệp xây dựng chung cầu hết 38 triệu đồng Xí nghiệp I có 40 xe cách cầu 1, 5km, xí nghiệp II có 20 xe cách cầu 3km, xí nghiệp III có 30 xe cách cầu 1km Hỏi xí... BCNN chúng 315 0, tỉ số số thứ số thứ hai 5: 9, tỉ số số thứ số thứ ba 10 : Bài 10 : Số tự nhiên M chia thành ba phần tỉ lệ nghịch với 5; 2; Tổng bình phương ba phần 9 512 Tìm A Bài 11 : Số tự nhiên