hh9 c4 b11 ti so luong giac cua goc nhon

Trang 1

HH9 C4 B1: Tỉ số lượng giỏc của gúc nhọnA Kiến thức cần nhớ

1 Khỏi niệm tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn

Cho gúc nhọn  Xột ABC vuụng tại A cú gúc nhọn B bằng  Ta cú:+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh huyền gọi là sin của  , kiế hiệu sin+ Tỉ số giữa cạnh kề và cạnh huyền gọi là cụsin của , kớ hiệu là cos+ Tỉ số giữa cạnh đối và cạnh kề của gúc  gọi là tang của  , kiế hiệu

cạnh huyền

;

cạnh kềcos =

cạnh huyền

; α

cạnh đốitan =

cạnh kề ; α

cạnh kềcot =

cạnh đối

+

+ sin , cos , tan , cot    gọi là cỏc tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn 

* sin, cụsin của gúc nhọn luụn dương và bộ hơn 1 vỡ trong tam giỏc vuụng, cạnh huyền dài nhấtTa cú bảng cỏc giỏ trị lượng giỏc đặc biệt:

*) Chỳ ý: Cỏch tớnh chớnh xỏc cạnh đối và cạnh kề của gúc cần viết tỉ số lượng giỏcChẳng hạn:

Viết tỉ số lượng giỏc của gúc nhọn trong tam

giỏc ABC vuụng tại A.

Xột ABC vuụng tại A, cú:

cosC AC

tanC AB

cotC AC

A

Trang 2

Tài liệu dạy thêm toán 9 sách mới. 0989707036

2 Tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

* Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng côsin góc kia, tang góc này bằng côtang góc kia.* Cho  và  là hai góc phụ nhau, khi đó:

sin cos, sin cos, tan cot , cot tan

3 Sử dụng máy tính cầm tay tính tỉ số lượng giác của góc nhọn.

* Để tìm góc  khi biết cot, ta có thể tìm góc 90   vì tan 90    cot rồi suy ra .

Lưu ý:

1cot 35 23

tan 35 23

2

Trang 3

Làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba ta được sin 40 54' 0,655  ; cos 52 15' 0,612  ;tan 69 36 ' 2,689 ; cot 25 18' 2,116 

c) sin 81 27 0,99, cos81 27 0,15, tan 81 27 6, 65 và cot 81 27 0,15.

Bài 4: Sử dụng máy tính cầm tay, tìm góc nhọn  trong mỗi trường hợp sau đây

3

Trang 4

4 

Lời giải

a) Ta có: cos =0, 6 Từ đo tìm được  53 8 

b) Ta có:

4 

Bài 6: Dùng MTCT Tìm số đo của góc nhọn x (làm tròn đến phút), biết rằng:a) sinx0, 2368 b) cosx0, 6224

Trang 5

Dạng 2: Tính tỉ số lượng giác của góc nhọn trong một tam giác vuôngI Cách giải:

- Xác định cạnh đối, cạnh kề, cạnh huyền

- Tính đoạn thẳng chưa biết (nhờ định lí Pitago hoặc hệ thức về cạnh, đường cao trong tam giácvuông)

Xác định cạnh đối, kề, huyền Viết tỉ số lượng giác Tính đoạn thẳng chưa biết.

*) Lưu ý: Nếu đề bài yêu cầu tính tỉ số lượng giác của hai góc nhọn trong cùng một tam giácvuông thi sử dụng tính chất tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau.

II Bài toán

Bài 1: Cho hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm O.

Hình thoi ABCD có hai đường chéo cắt nhau tại O nên ACBD tại O

a) Tam giác OAB vuông tại O nên

Tam giác OBC vuông tại O nên

b) Tam giác OCD vuông tại O nên 

Tam giác OAD vuông tại O nên 

A

Trang 6

Bài 2: Tính các tỉ số lượng giác của góc , trong tam giác ABC ở hình vẽ bên.

4tan =

3 BC 

+ Xét ABC vuông tại B (hình b), ta có:1

17BC 

1tan =

4 BC 

+ Xét ABC vuông tại B (hình c), ta có:5

3BC 

6

Trang 7

5tan =

2 BC 

+ Xét ABC vuông tại B (hình d), ta có:6

2BC 

6tan =

10 BC 

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB3cm, AC4cm Hãy tính các tỉ số lượng giácsin , cos, tan với  B

Lời giải

Xét ABC vuông tại A, B 

Theo định lí pythagore, ta có: BC2 AC2AB2 4232 25 nên BC5cm.Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, ta có:

5AC 

4tan =

3 AC 

Bài 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, có AB5cm, AC12cm Hãy tính các tỉ số lượng giáccủa góc B

Lời giải

Xét ABC vuông tại A

Theo định lí pythagore, ta có: BC2 AC2 AB2 12252 169 nên BC13cm.Theo định nghĩa của tỉ số lượng giác sin, côsin, tang, ta có:

13AC 

12tan =

5 AC 

Bài 6: Tính tỉ số lượng giác của góc B trong hình vẽ bên.

7

Trang 8

Lời giải

Ta có: BC2 AC2AB2 12252 169 nên BC 13cm.Do đó:

13AC 

12tan =

5 AC 

Bài 7: Cho tam giác MNP vuông tại M , MN 3cm, MP4cm Tính các tỉ số lượng giác củagóc

5MN 

3tan =

4 MN 

Bài 8: ABC vuông tại A có BC2AB Tính các tỉ số lượng giác của góc C

Lời giải

Ta đặt AB m thì BC2m, suy ra AC2 BC2 AB2 4m2 m2 3m2

Suy ra AC m 3Ta có:

8

Trang 9

Bài 9: ABC cân tại A, có BC6, đường cao AH 4 Tính các tỉ số lượng giác của góc B

Lời giải

Ta có: BH 6 : 2 3 ; AB 4232 5Do đó:

5AH  

3AH 

Bài 10: Tính tan C trong hình vẽ bên.

 OH  ; OM  1 2

Do đó

2OH 

Mặt khác

3cos sin

Trang 10

Bài 12: Tam giác ABC vuông tại A, AB1,5, BC3,5 Tính tỉ số lượng giác của góc C rồisuy ra các tỉ số lượng giác của góc B

Bài 14: Tia nắng chiếu qua điểm B của tòa nhà tạo với mặt đất một góc x và tạo với cạnh AB

của tòa nhà một góc y (hình vẽ) Cho biết cosx0,78 và cotx1, 25 Tính sin y và tan y(kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải

Do góc x và góc y là hai góc phụ nhau nên sinycosx0,78Và tanycotx1, 25

10

Trang 11

Bài 15: Hình bên mô tả một chiếc thang có chiều dài AB4m được đặt dựa vào tường, khoảngcách từ chân thang đến chân tường là BH 1,5m Tính góc tạo bởi cạnh AB và phầntường nằm ngang trên mặt đất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị)

Lời giải

Ta có, góc tạo bởi cạnh AB và phương năm ngang trên mặt đất là ABH

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có

BH  

Vậy ABH 68.

Bài 16: Treo quả cầu kim loại nhỏ vào giá thí nghiệm bằng sợi dây mảnh nhẹ không dãn Khi quảcầu đứng yên tại vị trí cân bằng, dẫy treo có phương thẳng đứng Kéo quả cầu khỏi vị trícân bằng một đoạn nhỏ rồi buông ra thì quả cầu sẽ chueyenr động qua lại quanh vị trí cânbằng Khi kéo quả cầu khỏi vị trí cân bằng, giả sử tâm A của quả cầu cách B mộtkhoảng AB60cm và cách vị trí cân bằng một khoảng AH 20cm Tính số đo góc tạo bởi sợi dây BA và vị trí cân bằng (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Lời giải

Xét ABH vuông tại H, ta có

20 1sin

60 3 AH  

Do đó   19

Vậy góc tạo bởi sợi dây BA và vị trí cân bằng có số đo khoảng 19.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ DẠNG TOÁN 2

Bài 1: Cho tam giác ABC vuông tại C có BC1, 2cm AC; 0,9cm Tính các tỉ số lượng giác củagóc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc A

C

Trang 12

 SinA CosA tanA cotA

Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB1, 6cm AC; 1, 2cm Tính các tỉ số lượng giác củagóc B, từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C.

 SinC  CosC  tanC  cotC

Bài 3: Cho tam giác ABC có AB a 5,BC a 3, AC a2a) Chứng minh tam giác ABC vuông

b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A

-

Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB5cm,

Tính độ dài các đoạn thẳng AC và

a) Chứng minh tam giác ABC vuông

b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B, từ đó suy ra các tỉ số lượng giác của góc A

A

Trang 13

Áp dụng tỉ số cotB trong tam giác vuông ABC và định lý pytago ta tính được

Bài 6: Cho tam giác ABC đều, cạnh a, đường cao AH Tính tỉ số lượng giác của các góc ABH ,

HAB (không dùng tỉ số lượng giác của các góc đặc biệt)

Lời giải

Vì tam giác ABC đều (giả thiết) nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến

Suy ra H là trung điểm của BC suy ra

Trang 14

2 

Trong tam giác vuông AHB có ABH , HAB là hai góc phụ nhau nên:

Trang 15

x 24 x18 024

x hoặc x18

Nếu x24 thì AC24cm suy ra AB42 24 18  cm (thỏa mãn AB AC )Nếu x18 thì AC18cm suy ra AB42 18 24  cm (không thỏa mãn AB AC )Như vậy tam giác ABC vuông tại A và có AB18cm, AC24cm, BC 30cmHơn nữa B và C là hai góc phụ nhau.

Bài 8: Cho tam giác ABC có AB 5cm, AC3cm, B 2C 90 Tính sin C

   

   

K C

Mà A1A2 (hai góc đối đỉnh) nên K A1

 ABK cân tại B (theo dấu hiệu nhận biết)

Kẻ BM AK thì BM cũng là đường trung tuyến của ABKSuy ra M là trung điểm của AK

x1 2  x5 0

152 

1

Trang 16

Tài liệu dạy thêm toán 9 sách mới. 0989707036Trong tam giác BKC có

5KB 

BC, suy ra AB BC sinC a sin 30

16

Trang 17

Lại có

1sin 30

2 

nên 2

aAB

Trang 18

A

Trang 19

b Phân giác trong của góc B cắt AC tại I Tính AI

c Vẽ AH vuông góc với BI tại H Tính AH

Lời giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có:

5610 2

Hãy tínhđộ dài các cạnh: HB HC AB AC, , ,

CB

Trang 20

b) Tam giác ABC vuông ở A nên: B C  900  C 900 B 400

CD là tia phân giác của C, ta có:   0 0

b) Chú ý: Hai đường phân giá của hai góc kề bù vuông góc với nhau

c) Ta có: BM là phân giác của góc B Từ đó tính được số đo các góc của tam giác MAB

*) Chú ý: Tam giác MAB và ABC đều là các tam giác nửa đều, từ đó tính được tỉ số đồngdạng là 0,5.

Bài 11: Cho tam giác ABC vuông tại A AB AC  , C   450, đường trung tuyến AM , đườngcao AH, MA MB MC a   Chứng minh rằng:

a) sin2 2sin cos. b) 1cos2 2cos2c) 1 cos2 2sin2

A

Trang 21

a) Ta có: 

A

Trang 22

Dạng 4: Dựng góc nhọn  biết một tỉ số lượng giác của góc đó bằng

I Phương pháp giải:

Dựng một tam giác vuông có cạnh là m và n (m và n tương ứng là cạnh góc vuông và cạnhhuyền nếu tỉ số lượng giác đã co là sin hoặc cos; m và n là hai cạnh góc vuông nếu tỉ số lượnggiác đã cho là tan hoặc cot) rồi vận dụng định nghĩa để nhận ra góc .

II Bài toán

Bài 1: Dựng góc , biết sin 0, 25

Lời giải

Ta có:

10, 25

+ Dựng góc vuông xOy+ Trên cạnh Ox đặt OA1

+ Dựng đường tròn A; 4 căt cạnh Oy tại B

Khi đó ABO (vì

4 OA

+ Dựng góc vuông xOy+ Trên cạnh Oy đặt OB3

+ Dựng đường tròn B;4 cắt cạnh Ox tại A

22

Trang 23

4 OB 

+ Dựng góc vuông xOy+ Trên cạnh Ox đặt OA3+ Trên cạnh Oy đặt OB2

2 OA

Bài 4: Dựng góc , biết cot =2

Lời giải

+ Dựng góc vuông xOy+ Trên cạnh Ox đặt OA1+ Trên cạnh Oy đặt OB2

Khi đó ABO (vì cot  2

OBOA ).

23

Trang 24

Dạng 5: Tính giá trị của biểu thức lượng giác với các góc đặc biệtI Phương pháp giải

+ Sử dụng bảng giá trị các tỉ số lượng giác của các góc 30; 45; 60+ Sử dụng tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau

II Bài toán

Bài 1: Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) sin 452  cos245 b) tan 30 cot 30  

c)

sin 30 cos 60tan 45

3 13

c) Ta có:

sin 30 cos 60tan 45

1 1

12 2

24

Trang 25

b) Ta có:

2sin 60

cot 453

2 1 1 1 03

b) Ta có: 2

2sin 30 sin 60cos 30 cos60

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức

a) Psin 302   sin 402   sin 502  sin 602 b) cos 252   cos 352  cos 452   cos 552  cos 652 

Lời giải

25

Trang 26

Tài liệu dạy thêm toán 9 sách mới. 0989707036a) Ta có: Psin 302   sin 402   sin 502  sin 602 

sin 302 sin 602  sin 402 sin 502 

sin 302 cos 302  sin 402 cos 402 

1 1 0  

b) Ta có: cos 252   cos 352  cos 452   cos 552  cos 652 

cos 252 cos 652  cos 352 cos 55 +cos 452  2

2 2   

Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau

a A 4 sin24502cos2600 3cot3450 b tan cot

b B tan45 0cos30 0cot300

c C cos 2150cos2250 cos2750

d D sin 2100sin2200 sin2800

26

Trang 27

Dạng 6: So sánh các tỉ số lượng giác mà không dùng máy tính hoặc bảng sốI Phương pháp giải

Dùng định lí tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau (nếu cần) và căn cứ vào những tính chất sau:+ khi góc nhọn  tăng từ 0 đến 90 thì”

sin tăng và tan tăngcos giảm và cot giảm+ sin <tan ;cos   cot

II Bài toánBài 1: So sánh

a) sin 25 và cos65 b) cos25 và sin 65c) tan 25 và cot 65 d) cot 25 và tan 65

Lời giải

a) sin 25 cos 90   25  cos65b) cos25 sin 90   25  sin 65c) tan 25 cot 90   25  cot 65d) cot 25 tan 90   25  tan 65

Bài 2: So sánh

a) So sánh sin 72 và cos18 ; sin18 và cos72; tan 72 và cot18

b) Cho biết sin18 0,31; tan18 0,32 Tính cos72 và cot 72

Trang 28

;

cot 70tan35

1tan35 tan35 tan35

Bài 4: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dầna) sin70 ,cos30 ,cos40 ,sin51   

b) cos34 ,sin57 , cot 32  

Lời giải

a) Ta có: cos30 sin60 ; cos40 sin50

Vì sin50 sin51 sin60 sin70 nên cos40 sin51 cos30 sin 70b) Ta có: cos34 sin56; cot 32 tan 58

Vì sin56 sin57 sin58 tan 58 nên cos34 sin57 cot 32

Bài 5: Sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự tăng dầna) cot40 ,sin40 , cot43 , tan 42   

b) tan 52 ,cot 63 , tan 72 ,cot 31 ,sin27 ,    

Lời giải

a) Ta có: cot40 tan 50; cot43 tan 47

Vì cot40 tan 40 tan 42 tan 47 nên sin40 tan 42 cot 43 cot 40b) Ta có: cot 63 tan 72; cot 31 tan 59

Vì sin 27 tan 27 tan 52 tan 72 nên sin 27 cot 27 tan 52 cot 31 tan 72.

Bài 6: Cho 25  50 , hãy sắp xếp các tỉ số lượng giác sau theo thứ tự giảm dần:

Trang 29

Mặt khác góc 50  phụ với góc  40

Ta có tan 10  sin 10  sin sin 50  Do đó tan10  sin cos40.

BÀI TẬP VẬN DỤNGA BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Cho ABC vuông tại A, AB6cm B, . Biết

512 

Độ dài cạnh AC BC, lần lượtlà?

a) 52 và

2 b) 52 và

c) 13

2 và 5

2 d) 15

2 và 32Chọn đáp án A

Giải thích: Ta có:

a) Trong ABC có

512  ACtan

 BC cm BC

Câu 2: Cho OPQ có OQ9,6cm PQ, 12cm Số đo các góc của OPQ lần lượt là? (làm trònkết quả đến độ)

a) P 37 ;0 Q 35 ;0 O 370 b) P 53 ;0 Q 37 ;0 O 900

Trang 30

Tài liệu dạy thêm toán 9 sách mới. 0989707036d) P 53 ;0 Q 90 ;0 O 370

Chọn đáp án BGiải thích: Ta có:

Ta có: BC BH HC   5 5 3 13,65 cmÁp dụng định lý Pytago vào tam giác vuông

cos b)

45°60°

Trang 31

Chọn đáp án CGiải thích:

Ta có:

cos và

5AB 

3AC 

4AB 

b) Áp dụng định lí Pythagore ta được: AB 132122 5cm.Tỉ số lượng giác của B là:

13AC 

13AB 

5AC 

12AB 

45°60°

Trang 32

Tài liệu dạy thêm toán 9 sách mới. 0989707036d) Ta có:

3cot AB a  3

ACa nên B 30 Do đó: 1

sin sin 302

;

3cos cos 30

3AB 

Trang 33

5MP 

8AC 

15AB 

Trang 34

2  2 2 1, 220,92 2, 25

1, 2 4AC  

 1, 2 4tan

Bài 6: Hình bên mô tả tia nắng mặt trời dọc theo AB tạo với phương nằm ngang trên mặt đất mộtgóc  ABH Sử dụng máy tính cầm tay, tính số đo góc  (làm tròn kết quả đến hàngđơn vị của độ), biết AH 2m, BH 5m.

Lời giải

Xét tam giác ABH , ta có:

5 AH 

15 

, sử dụng máy tính ta tính được  54 28 Vậy  54 28 .

34

Trang 35

Bài 8: Một cái thang dài 12m được đặt vào một bức tường sao cho chân thang cách tường 7m.Tính góc  tạo bởi thang và tường.

Lời giải

Ta có:

12 

, sử dụng máy tính ta tính được  35 41 Vậy góc tạo bởi thang và tường gần bằng 35 41

Bài 9: Hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng lần lượt là 3 và 3 TÍnh góc giữa đường chéovà cạnh ngắn hơn của hình chữ nhật (sử dụng bảng giá trị lượng giác).

Lời giải

Hình chữ nhật ABCD có AB3, AD 3Xét tam giác ABD vuông tại A, ta có:

3AB  

Khi đó ADB60

Vậy góc giữa đường chéo và cạnh ngắn hơn bằng 60.

Bài 10: Cho tam giác vuông có một góc nhọn 60 và cạnh kề với góc 60 bằng 3cm Hãy tínhcạnh đối của góc này.

Lời giải

Xét ABC vuông tại A, ta có B60, AB3cm.

35

Trang 36

Tài liệu dạy thêm toán 9 sách mới. 0989707036Khi đó

tan BACAB

tan 3tan 60 3 3

Vậy cạnh đối của góc 60 bằng 3 3cm.

Bài 11: Cho tam giác vuông có một góc nhọn 30 và cạnh đối với góc này bằng 5cm Tính độdài cạnh của tam giác.

Lời giải

Xét ABC vuông tại A, ta có C 60 , AB5cm.

Khi đó 

sin CABBC

Trang 37

Bài 13: Hãy viết các tỉ số lượng giác sau thành tỉ số lượng giác của các góc nhỏ hơn 45

c) tan 80

Lời giải

a) sin 60 cos30b) cos 75 sin15c) tan 80 cot10

Bài 14: Mỗi tỉ số lượng giác sau đây bằng tỉ số lượng giác nào của góc 63? Vì sao?

Bài 16: Tính giá trị của các biểu thức sau

a)

sin 30 cos 30cos 45

  

b)

tan 30cos 45 cos 60

3  

37