ptb2 dạng 10 giá trị tuyệt đối

Trang 1

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI BIỂU THỨC CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP

DẠNG 10.1 BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỀU KIỆN CÓ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG1 Phương pháp giải

Bước 1. Tính , tìm điều kiện để phương trình có nghiệm theo yêu cầu của bài toán

Bước 2. Viết các hệ thức về 2 nghiệm của phương trình

Bước 3. Vận dụng tính chất

A A , giải điều kiện tìm giá trị của tham số

Bước 4. Đối chiếu điều kiện của tham số, kết luận

2 Ví dụ.

Ví dụ 1 Cho phương trình x2 2mx 3 0 , với m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thoả mãn x1  x2 6.

Ta có : x1  x2  6 x12x222 x x1 2 36  (x12x222x x1 2) 2 x x1 22 x x1 2 36

 (x1x2)2 2x x1 22 x x1 2 36

Trang 2

Vậy m  6 là giá trị cần tìm.

Trang 3

Ví dụ 2 Cho phương trình x2 4mx4m2 m  , với 2 0 m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x sao cho 1, 2 x1 x2  2

Lời giải

Ta có '  m 2

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 ∆ > 0 hay m 2 0  m2

Theo hệ thức Vi-ét, ta cóx1x2 4m; x x = 1, 2 4m2 m 2 Ta có x1 x2  2 (x1 x2)2  4 (x1x2)2 4x x1 2 4

 (4 )m 2 4(4m2 m2) 4  4m 12 0  m (thỏa mãn 3 m  )2Vậy m 3 là giá trị cần tìm.

Ví dụ 3 Cho phương trình: x2 2m1 x m – 4 0 1   , với m là tham số

a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x với mọi 1, 2 m.

b) Tìm m để x1 x2 nhận giá trị nhỏ nhất ( x x là 2 nghiệm của phương trình (1)) 1, 2

Dấu “ = “ xảy ra khi

m 

Sai lầm: Học sinh lập luận x1 x2  với mọi 0 m

Trang 4

Suy ra x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 0 Khi đó x1 Điều này không xảy ra vì x2

phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x x với mọi 1, 2 m

Ví dụ 4 Cho phương trình x2 2(m 2)x 1 0 , với m là tham số

Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn x1 x2 2 5

Lời giảiTa có: a c  . 1.( 1)  với mọi 1 0 m

Nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

 2 6 2 m 4 2 6  2 6m 2 6

Vậy  2 6m 2 6là giá trị cần tìm

Ví dụ 5 Cho phương trình x2 mx m  2 0 (1) , với m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1  x2 4

Lời giải

Ta có   ( m)2 4.1.(m 2)m24m 8 (m2)24

Vì (m 2)2  với mọi 0 m Nên  (m2)2   với mọi 4 4 0 m

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Trang 5

Nếu m  2 0 m Ta có phương trình 2 m2 4m 8 0 (2)Nếu m  2 0 m  Ta có phương trình 2 m 2 16 0 (3)Giá trị của m cần tìm là nghiệm của phương trình (2) và (3)

Trang 6

3 Bài tập vận dụng

Bài tập 1. Cho phương trình x2mx 3 0 , với m là tham số

a) Giải phương trình khi m 2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x1  x2 4

Bài tập 2. Cho phương trình x2 mx m  5 0 , với m là tham số

a) Tìm m để phương trình nhận x  là nghiệm2

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1  x2 4

Bài tập 3 Cho phương trình x2 (2m5)x 2m 6 0 , với m là tham số

a) Giải phương trình khi m  1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1; 2 x1  x2  7

Bài tập 4 Cho phương trình x2  2mx 3 0.  với m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thoả mãn x1  x2 6.

Bài tập 5 Cho phương trình: x2 2m3x 2m 4 0 (1) , với m là tham số

a) Giải phương trình khi m  2

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x sao cho 1, 2 x1  x2 5

Bài tập 6. Cho phương trình x2 mx m 1 0 , với m là tham số

a) Tìm m để phương trình nhận x 2021 2023 là nghiệm

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x1 x2  2

Bài tập 7. Cho phương trình x2 2(m 1)x m  3 0 , với m là tham số

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x1 x2 4

Bài tập 8. Cho phương trình x2  2x m   , với 2 0 m là tham số

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x1 x2 2

Bài tập 9 Cho phương trình x2 mx 5 0 , với m là tham số

a) Tìm m để phương trình nhận x  Tìm nghiệm còn lại của phương trình1Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1 x2 6

Bài tập 10 Cho phương trình x2 5x m  , với 0 m là tham số

Trang 7

a) Giải phương trình trên khi m 6

b) Tìm m để phương trình trên có hai nghiệm x x1, 2 thỏa mãn: x1 x2  3

Trang 8

Bài tập 11. Cho phương trình x22mx m 2 m 1 0 , với m là tham số

a) Giải phương trình với m 3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1; 2 thỏa mãn x1 x2  5

Bài tập 12 Cho phương trình: x2 2m3x 2m 4 0 (1) , với m là tham số

a) Giải phương trình khi m 2.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x x1, 2 sao cho x1 x2  5

Bài tập 13. Cho phương trình: m 1x2 2m1x m 0 với m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2

sao cho x1 x2 2.

Bài tập 14 Cho phương trình x2 2(m 1)x2m 5 0 , với m là tham số

a) Giải phương trình khi m 3

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x1  x2 2

Bài tập 15 Cho phương trình x2 (m3)x m  4 0 , với m là tham số

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt âm

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1 x2 2x1x2

Bài tập 16 Cho phương trình 2x2 (m3)x m  (1) , với 0 m là tham số

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệtx x1, 2 thỏa mãn x1 x2 đạt GTNN

Bài tập 17 Cho phương trình 2x2 (m3)x m  , với 0 m là tham số

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x và 1, 2 x1 x2 đạt GTNN

Bài tập 18 Cho phương trình: x2 2m1x m  4 0 (1) , với m là tham số

a) Giải phương trình (1) với m  5

b) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 với mọi m.

c) Tìm m để x1 x2 nhận giá trị nhỏ nhất với x x1, 2 là 2 nghiệm của phương trình

Bài tập 19 Cho phương trình x2 mx m 2 4 0 , với m là tham số

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x sao cho 1, 2 x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất

Bài tập 20 Cho phương trình 2x2 (m3)x m  (1) , với 0 m là tham số

Trang 9

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x thỏa mãn 1, 2 x1 x2 đạt GTNN

Bài tập 21 Cho phương trình: x2– (2m5)x2m  Tìm 1 0 m để phương trình có 2

nghiệm dương phân biệt x x sao cho biểu thức 1, 2 P x1 x2

Bước 2. Lập luận a c  Nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi 0 m

Bước 3. Viết các hệ thức Vi – ét Chứng minh x x  Khi đó 1 2 0 x1 x1, x2 x2

Bước 4. Giải điều kiện tìm giá trị của tham số

2 Ví dụ.

Ví dụ 1 Cho phương trình 2x2 2mx 1 0 , với m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn x2  x1 2021

Lời giải

Phương trình đã cho có các hệ số a2, b2 , m c1Ta có a c  2.( 1)  với mọi m2 0

Suy ra phương đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi m

1,

x x  

Nên x và 1 x trái dấu2

Mà x1x2 Suy ra x10, x2  0 x1  x1, x2 x2

Khi đó x2  x1 2021 x2  x1 2021 x1x2 2021 m2021Vậy m 2021 là giá trị cần tìm

Ví dụ 2 Cho phương trình x2 (m2)x 1 0 (1) , với m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn x1 x21

Lời giải

Phương trình đã cho có các hệ số a1, b(m2), c1Ta có a c  1.( 1)  với mọi 1 0 m

Suy ra phương đã cho có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Trang 11

Ví dụ 3 Cho phương trình: x2 2(2 m x m)  2 1 0 , với m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn x1  x2 x x1 2

Lời giải

Phương trình đã cho có các hệ số a1, b2(2 m) 2 m 4, cm2 1Ta có a c. 1.(m2 1)m2 1

Vì m2  với mọi m Nên 0 m2   với mọi 1 1 0 m

Ví dụ 4 Cho phương trình x2 2m1x m 2 1 0  (m là tham số) Chứng minh rằng

phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Hãy xác định m để phương trình

có hai nghiệm x x với 1, 2 x1x2 thỏa mãn x1  x x1 2 2 2021 x2.

Lời giải

Vì a c. m2 1 0  với mọi m

Nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m

Vì x x là các nghiệm của phương trình Theo định lý Vi-ét ta có1; 212 2( 1);

Trang 12

Vậy m44; m46 là giá trị cần tìm

3 Bài tập vận dụng.

Bài tập 1. Cho phương trình: x2 (2m1)x 3 0 , với m là tham số

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x x với mọi 1, 2 m

b) Tìm các giá trị của m sao cho x1  x2  với 5 x1x2.

Bài tập 2. Cho phương trình x2  4mx 8 0 , với m là tham số

a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1x2 thỏa mãn x1 2 x2 8

Bài tập 3.Cho phương trình x2 2(m 2)x m 2 5 0 (1) , với m là tham số.

a) Giải phương trình (1) với m  0

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn x1  x2 1 5

Bài 4 Cho phương trình x2(m 1)x m 2 2 0 , với m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn 2 x1  x2 4

Bài tập 5.Cho phương trình x2 2(m 2)x m 2 5 0 (1) , với m là tham số.

a) Giải phương trình (1) với m  0

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn x1  x2 1 5

Bài tập 6. Cho phương trình x2  mx m 2m 4 0 , với m là tham số

a) Chứng minh rằng phương trình có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn x1  x2 2

Bài tập 7 Cho phương trình x2  3x2m1 0 , với m là tham số

a) Tìm giá trị của m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

b) Giả sử x1x2 là 2 nghiệm trái dấu của phương trình Tìm m sao cho x1 2 x2

Bài tập 8 Cho phương trình x2 (2m1)x 7 0 , m là tham số

a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2thoả mãn 2 x1  1 x2

Bài tập 9 Cho phương trình x2 (2m 3)x m 2 2 0 , với m là tham số

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Trang 13

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1x2thoả mãn 5x1  3 x2 11

Bài tập 10 Cho phương trình x2 3x m 2 6 0 , với m là tham số

a) Giải phương trình với m 1

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1x2thoả mãn 2 x1 3 x2 9

Bài tập 11 Cho phương trình x2(1 2 ) m x 6 0 , với m là tham số

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x1, 2 thoả mãn x2  x1 5

Trang 14

DẠNG 10.3 PHƯƠNG TRÌNH NHẨM NGHIỆM ĐƯỢC1 Phương pháp giải

Bước 1. Xác định các hệ số , , a b c của phương trình

Bước 2. Nhẩm nghiệm của phương trinh (Áp dụng hệ thức Vi – ét nếu có thể)

Bước 3. Xét 2 trường hợp nghiệm của phương trình giải điều kiện

2 Ví dụ.

Ví dụ 1 Cho phương trình x2(2 m x m)   3 0 , với m là tham số

a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1x2 thỏa mãn x1 x22  2

Lời giải

a) Phương trình đã cho có các hệ số: a1;b 2 m c m;   3

a b c     m m  

Phương trình có hai nghiệm x1, x m  3 với mọi m

Suy ra phương trình có nghiệm với mọi m

Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt   1 m 3 m4b) Theo bài có: x1 x22 2

Ví dụ 2 Cho phương trình x2 m 3 x m   , với 2 0 m là tham số

a) Giải phương trình khi m  5

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 22

Vậy m  thì phương trình có hai nghiệm phân biệt là 5 x11;x2 3

Trang 15

b) Xét phương trình: x2 m 3x m  2 0 (1)

Ta có a1;b m 3 ; cm2 a b c   1 m 3 m 2 0

Trang 16

Suy ra phương trình có hai nghiệm x1, x m  2 với mọi m

Theo đề bài có: x12x2  8

Trường hợp 1: x11;x2  m 2 ta có: 12m 2 8  m9Trường hợp 2: x1 m 2;x2  ta có:1

Ví dụ 3 Cho phương trình x2 2m1x m 22m , với 0 m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x (với 1, 2 x1x2) thỏa mãn: x1 3 x2

m 

là giá trị cần tìm.

Ví dụ 4 Cho phương trình x2 2m 2 x2m 5 0 , với m là tham số

a) Chứng minh rằng phương trình có nghiệm x  với mọi giá trị của 1 m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1  x2 10.

Lời giải

Phương trình đã cho có các hệ số a1, b2(m 2)2m4, c2m 5Ta có a b c   1 2m 4 2m 5 0

Phương trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2m 5 với mọi m

Trường hợp 1: x11, x2 2m 5

Ta có: x1  x2 10 1 (2 m 5) 10  1 2m 5 10 m2Trường hợp 2: x12m 5, x2 1

Trang 17

Vậy m2, m3, m8là giá trị cần tìm

Trang 18

3 Bài tập vận dụng

Bài tập 1 Cho phương trình x2  (m 5)x 3m  , với 6 0 m là tham số

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x12 x2 12

Bài tập 2 Cho phương trình x2 (3m5)x2m210m , với 0 m là tham sốa) Tìm m để phương trình nhận x  là nghiệm2

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1 3x2 6

Bài tập 3 Cho phương trình x2 (3m5)x2m210m , với 0 m là tham số

a) Tìm m để phương trình nhận x  là nghiệm2

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1 3x2 8

Bài tập 4 Cho phương trình x2 2(m 2)x 2m  , với 3 0 m là tham số

a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x thỏa mãn 1; 2 x1  2 x2 3b)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x thỏa mãn 1; 2 x1 3x2 6

Bài tập 5 Cho phương trình: x2 (m1)x m 2m 1 0 , với m là tham số

a) Giải phương trình với m 1

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1  x2 2

Bài tập 6 Cho phương trình: x2(m 2)x m  3 0 , với m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1 2 x2 3

Bài tập 7 Cho phương trình: x2 2mx 2m1 0 , với m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1 4 x2

Bài tập 8 Cho phương trình: x2 2(m 2)x 3 2m , với 0 m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa mãn 3x1 2 x2

Bài tập 9 Cho phương trình: x2 (2m3)x4m  , với 2 0 m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa mãn 3x1x2 1

Bài tập 10 Cho phương trình:x2 (m 2)x 3m 3 0 , với m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa mãn 2 x1 x2  1

Bài tập 11 Cho phương trình:x2 2m 1 x m 2 m , với 0 m là tham số

Trang 19

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x thỏa mãn 1; 2 x1 2x2 x2 1

Bài tập 12 Cho phương trình:x2 1 m x  2m2  2m0 (1), với m là tham số

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x x1; 2 thỏa mãn x1 x2 x12

Trang 20

DẠNG 10.3 BÀI TẬP TỔNG HỢP

Bài tập 1. Cho phương trình x2 (2m1)x3m , với m là tham số.0

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn 1, 2 x1  x2 5

Bài tập 2. Cho phương trình x2  (2m1)x2m  , với m là tham số.2 0

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn 1, 2 x1  2 x2 1

Bài tập 3. Cho phương trình x2 (m3)x4m  , với m là tham số.2 0

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn 1, 2 3x1  x2 3

Bài tập 4. Cho phương trình x2  (m 2)x 3m  , với m là tham số.3 0

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn 1, 2 3x1 2 x2 5

Bài tập 5. Cho phương trình x2 (2m3)x3m 3 0 , với m là tham số.

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn 1, 2 2 x1  x2 8

Bài tập 6. Cho phương trình x2 (2m1)x2m  , với m là tham số.2 0

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn 1, 2 2 x1  x2 7

Bài tập 7. Cho phương trình x2  (3m1)x5m  , với m là tham số.2 0

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn 1, 2 3x1  2 x2 1

Bài tập 8. Cho phương trình x2  2(1 m x)  3m  , với m là tham số.2 0

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn 1, 2 3x1  x2 2

Bài tập 9. Cho phương trình x23(m1)x6m  , với m là tham số.2 0

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn 1, 2 x2 4x1 4

Bài tập 10. Cho phương trình x2 (2m1)x2m  , với m là tham số.6 0

b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x x thoả mãn 1, 2 2 x1  3x2 1