PTB2 DẠNG 7 GIÁ TRỊ TUYỆT đối

CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG PHẦN BÀI TỐN VỀ ĐIỀU KIỆN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I KIẾN THỨC CƠ BẢN CHUNG + A ≥0 + A =A⇔A≥0 + A = A2 + A B = A.B với A A = −A ⇔ A ≤ A = A2 với A A = B ⇔ A = ±B  x1x <  x < ⇒  x1 < x  x > +  x1x >  x1 < ⇒   x1 + x <  x < II CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỀU KIỆN CĨ TÍNH CHẤT ĐỐI XỨNG Phương pháp giải Bước Tính ∆, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm theo u cầu tốn Bước Viết hệ thức nghiệm phương trình Bước Vận dụng tính chất A = A2 , giải điều kiện tìm giá trị tham số Bước Đối chiếu điều kiện tham số, kết luận Ví dụ Ví dụ Cho phương trình x − 2mx − = , với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x thoả mãn x1 + x = Lời giải Xét phương trình x − 2mx − = 2 Ta có ∆′ = (− m) − 1.(−3) = m + > với m ( Hoặc a = > 0, c = - 3< 0)  phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x với m  x1 + x = 2m  x x = −3 Theo hệ thức Vi - et ta có:  Ta có : x1 + x = ⇔ x12 + x 22 + x1 x = 36 ⇔ (x12 + x 22 + 2x1x ) − 2x1x + x1 x = 36 ⇔ (x1 + x ) − 2x1x + x1x = 36 DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Suy : 4m − ( −3 ) + −3 = 36 ⇔ m = ⇔ m = ± GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Vậy m = ± giá trị cần tìm 2 Ví dụ Cho phương trình x − 4mx + 4m − m + = , với m tham số x -x =2 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho Lời giải Ta có ∆’ = m - Phương trình cho có hai nghiệm phân biệt x1 , x ⇔ ∆ > hay m − > ⇔ m > 2 Theo hệ thức Vi-ét, ta có x1 + x = 4m ; x1x = 4m – m + Ta có x1 − x2 = ⇔ (x1 − x2)2 = ⇔ (x1 + x2)2 − 4x1x2 = ⇔ (4m) − 4(4m − m + 2) = ⇔ 4m − 12 = ⇔ m = (thỏa mãn m > ) Vậy m = giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – = (1) , với m tham số a) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 , x với m b) Tìm m để x1 − x2 nhận giá trị nhỏ ( x1 , x nghiệm phương trình (1)) Lời giải  19  = m + ÷ + 2 ∆ ' = [ −(m + 1) ] − 1.(m − 4) = m + 2m + − m + = m + m +  2 Ta có: 2 1  19 19   ∆' = m + ÷ + ≥ >0 m + ÷ ≥ 2 4     Vì với m Nên với m Phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x với m Theo hệ thức Vi – ét ta có: Ta có: x1 − x = x1 + x = − ( x1 − x ) = b c = 2(m + 1) = 2m + x1.x = = m − a a , ( x1 + x ) − 4x1x = (2m + 2) − 4(m − 4) = 4m + 8m + − 4m + 16 = 4m + 4m + 20 = (2m + 1) + 19 Vì (2m + 1) ≥ với m Nên Dấu “ = “ xảy Vậy x1 − x (2m + 1) + 19 ≥ 19 với m (2m + 1) = ⇔ 2m + = ⇔ m = − đạt giá trị nhỏ DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 19 m=− 2 PHONE 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Sai lầm: Học sinh lập luận Suy x1 − x x1 − x ≥ GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG với m đạt giá trị nhỏ Khi x1 = x Điều khơng xảy phương trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x với m Ví dụ Cho phương trình: x - 2(m - 2)x - = , với m tham số x − x2 ≤ Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x thỏa mãn Lời giải Ta có: a.c = 1.(−1) = −1 < với m Nên phương trình có nghiệm phân biệt với m Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x = − b c = 2(m − 2) = 2m − x1.x = = −1 a a , Theo ta có: x1 − x ≤ ⇔ x1 − x ≤ 20 ⇔ ( x1 + x ) − 4x1x ≤ 20 ⇔ (2m − 4) − 4.(−1) ≤ 20 ⇔ (2m − 4) ≤ 24 ⇔ −2 ≤ 2m − ≤ ⇔ 2− ≤ m ≤ 2+ Vậy ⇔ − ≤ m ≤ + giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x − mx − m − = (1) , với m tham số Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x thỏa mãn x1 + x = Lời giải 2 Ta có ∆ = (− m) − 4.1.(−m − 2) = m + 4m + = (m + 2) + 2 Vì (m + 2) ≥ với m Nên ∆ = (m + 2) + ≥ > với m Phương trình có nghiệm phân biệt với m Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x = − DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM b c = m x1.x = = −m − a a , PHONE 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI x + x = ⇔ ( x1 + x ) = 16 ⇔ x + x + x1x = 16 Ta có ⇔ m − 2(− m − 2) + − m − = 16 ⇔ m + = − m − 2m + 12 2 GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 2 Nếu m + ≥ ⇔ m ≥ −2 Ta có phương trình m + 4m − = (2) Nếu m + < ⇔ m < −2 Ta có phương trình m − 16 = (3) Giá trị m cần tìm nghiệm phương trình (2) (3) Bài tập vận dụng Bài Cho phương trình x + mx − = , với m tham số a) Giải phương trình m = x + x2 = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x thỏa mãn Bài Cho phương trình x − mx − m − = , với m tham số a) Tìm m để phương trình nhận x = 2021 + 2023 nghiệm x −x =2 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x thỏa mãn Bài Cho phương trình x − 2(m − 1)x + m − = , với m tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu x −x =4 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x thỏa mãn 2 Bài Cho phương trình x − 2x − m + = , với m tham số a) Giải phương trình m = x − x2 = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x thỏa mãn Bài Cho phương trình x − mx − = , với m tham số a) Tìm m để phương trình nhận x = −1 Tìm nghiệm cịn lại phương trình x − x2 = Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x thỏa mãn Bài Cho phương trình x − 2(m − 1)x + 2m − = , với m tham số a) Giải phương trình m = −3 x1 − x = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x thỏa mãn Bài Cho phương trình x − (m + 3)x − m − = , với m tham số a) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt âm x − x = x1 + x b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x thỏa mãn DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài Cho phương trình GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG 2x − (m + 3)x + m = (1) , với m tham số a) Giải phương trình m = - b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x thỏa mãn x1 − x đạt GTNN Bài Cho phương trình x + mx + m – = , với m tham số a) Tìm m để phương trình nhận x = −2 nghiệm x + x2 = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 ; x thỏa mãn Bài 10 Cho phương trình 2x − (m + 3)x + m = , với m tham số a) Giải phương trình m = x − x đạt b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1; x thỏa mãn GTNN 2 Bài 11 Cho phương trình x + 2mx + m − m − = , với m tham số a) Giải phương trình với m = x − x2 = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x thỏa mãn Bài 12 Cho phương trình x − (2m + 5)x − 2m − = , với m tham số a) Giải phương trình m = x + x2 = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x thỏa mãn: Bài 13 Cho phương trình x2 - 2mx - = x + x = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x thoả mãn Bài 14 Cho phương trình: x2 – 5x + m = , với m tham số a) Giải phương trình m = x −x =3 b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x thỏa mãn: Bài 15 Cho phương trình: x2 – (2m + 3)x – 2m – = (1) , với m tham số a) Giải phương trình m = x - x2 = b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1; x cho Bài 16 Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + m – = (1) , với m tham số a) Giải phương trình (1) với m = - b) Chứng minh phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1 ; x với m c) Tìm m để x1 − x2 nhận giá trị nhỏ ( x1 ; x hai nghiệm phương trình (1)) 2 Bài 17 Cho phương trình x − mx − m − = , với m tham số DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG a) Giải phương trình m = x − x2 b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 , x cho đạt giá trị nhỏ Bài 18 Cho phương trình 2x − (m + 3)x + m = (1) , với m tham số a) Giải phương trình m = - x − x đạt GTNN b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x thỏa mãn Bài 19 Cho phương trình: x2 – (2m + 5)x + 2m + = Tìm m để phương trình có nghiệm dương phân biệt x1, x2 cho biểu thức P= x1 − x2 đạt giá trị nhỏ m – 1) x – ( m + 1) x + m = ( Bài 20 Cho phương trình: với m tham số x − x ≥ Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x cho DẠNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỀU KIỆN CĨ TÍNH CHẤT x1 < x VÀ a.c < Phương pháp giải Bước Tính tích a.c Bước Lập luận a.c < Nên phương trình ln có nghiệm phân biệt với m x = − x1 , x = x Bước Viết hệ thức Vi – ét Chứng minh x1x < Khi Bước Giải điều kiện tìm giá trị tham số Bước Đối chiếu điều kiện tham số, kết luận Ví dụ Ví dụ Cho phương trình 2x − 2mx − = , với m tham số x − x1 = 2021 Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < x thỏa mãn Lời giải Phương trình cho có hệ số a = 2, b = −2m, c = −1 Ta có a.c = 2.(−1) = −2 < với m Suy phương cho có hai nghiệm phân biệt với m Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x = − b c = m, x1x = = − a a x1 x = − < Vì Nên x1 x trái dấu x < 0, x > ⇒ x1 = − x1 , x = x Mà x1 < x Suy x − x1 = 2021 ⇔ x − ( − x1 ) = 2021 ⇔ x1 + x = 2021 ⇔ m = 2021 Khi Vậy m = 2021 giá trị cần tìm DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Ví dụ Cho phương trình x − (m + 2)x − = (1) , với m tham số Lời giải Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 < x thỏa mãn x1 = x + Phương trình cho có hệ số a = 1, b = −(m + 2), c = −1 Ta có a.c = 1.(−1) = −1 < với m Suy phương cho có hai nghiệm phân biệt với m Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x = − b c = m + 2, x1x = = −1 a a Vì x1x = −1 < Nên x1 x trái dấu x < 0, x > ⇒ x1 = − x1 Mà x1 < x Suy x = x + ⇔ − x1 = x + ⇔ x1 + x = −1 ⇔ m + = −1 ⇔ m = −3 Khi Vậy m = −3 giá trị cần tìm 2 Ví dụ Cho phương trình: x − 2(2 − m)x − m − = , với m tham số x − x = x1x Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < x thỏa mãn Lời giải Phương trình cho có hệ số a = 1, b = −2(2 − m) = 2m − 4, c = −m − 2 Ta có a.c = 1.( −m − 1) = −m − 2 Vì −m ≤ với m Nên −m − ≤ −1 < với m ⇒ a.c < với m Phương cho có hai nghiệm phân biệt với m Theo hệ thức Vi – ét ta có: x1 + x = − b c = − 2m, x1x = = −m − a a Vì x1x = − m − < với m Nên x1 x trái dấu x < 0, x > ⇒ x1 = − x1 , x = x Mà x1 < x Suy Khi x1 − x = x1x ⇔ − x1 − x = x1x ⇔ x1 + x + x1x = ⇔ − 2m − m − = ⇔ m + 2m − = (2) Phương trình (2) có: a + b + c = + − = Suy Phương trình (2) có nghiệm m1 = 1, m = −3 Vậy m = 1, m = −3 giá trị cần tìm DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG x – ( m + 1) x – m − = m Ví dụ Cho phương trình ( tham số) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm với giá trị m Hãy xác định m để phương trình x − x x + ) = 2021 + x có hai nghiệm x1; x với x1 < x thỏa mãn ( 2 Lời giải Vì a.c = – m − < với m Nên phương trình cho ln có nghiệm phân biệt với m Vì x1 ; x nghiệm phương trình Theo định lý Vi-ét ta có x1 + x = 2(m + 1); x1.x = −m − c ⇒ x1 = − x1; x = x Mà x1 < x nên Khi x1 − ( x1x + ) = 2021 + x ⇔ − x1 − ( x1x + ) = 2021 + x ⇔ ( x1 + x ) + x1x = −2023  m = −44 ⇔ 2(m + 1) − m − = −2023 ⇔ ( m − 1) = 2025 ⇔   m = 46 Vậy m = 44; m = −46 giá trị cần tìm Bài tập vận dụng Bài Cho phương trình: x - (2m +1)x - = , với m tham số a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt x1 , x với m b) Tìm giá trị m cho x1 - x = với x1 < x Bài Cho phương trình x − 4mx − = (1) , với m tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với giá trị m x + x2 = b) Tìm m để phương trình có nghiệm x1 < x thỏa mãn 2 Bài Cho phương trình x + 2(m − 2)x − m − = (1) , với m tham số a) Giải phương trình (1) với m = x − x2 +1 = b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 < x thỏa mãn 2 Bài Cho phương trình x + (m − 1)x − m − = , với m tham số x1 − x = Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 < x thỏa mãn 2 Bài Cho phương trình x + 2(m − 2)x − m − = (1) , với m tham số a) Giải phương trình (1) với m = x − x2 + = b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 < x thỏa mãn DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM PHONE 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Bài Cho phương trình x − mx − m + m − = , với m tham số a) Chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt với giá trị m 2 x − x2 = b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 < x thỏa mãn Bài Cho phương trình x − 3x + 2m − = , với m tham số a) Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt x = x2 b) Giả sử x1 < x nghiệm trái dấu phương trình Tìm m cho Bài Cho phương trình x − (2m + 1)x − = , m tham số 1) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt với m x1 = − x 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 < x thoả mãn 2 Bài x + (2m − 3)x − m − = , với m tham số 1) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 − x = 11 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 > x thoả mãn 2 Bài 10 Cho phương trình x − 3x − m − = , với m tham số 1) Giải phương trình với m = −1 x1 + x = −9 2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 > x thoả mãn Bài 11 Cho phương trình x + (1 − 2m)x − = , với m tham số Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x − x1 = −5 DẠNG BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRÌNH NHẨM NGHIỆM ĐƯỢC Phương pháp giải Bước Xác định hệ số a, b, c phương trình Bước Nhẩm nghiệm phương trinh (Áp dụng hệ thức Vi – ét có thể) Bước Xét trường hợp nghiệm phương trình giải điều kiện Bước Đối chiếu điều kiện tham số, kết luận Ví dụ Ví dụ Cho phương trình x + (2 − m)x + m − = , với m tham số a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với m x + x 22 = b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 < x thỏa mãn Lời giải a) Phương trình cho có hệ số: a = 1; b = − m;c = m − a + b + c = 1+ − m + m − = Phương trình có hai nghiệm x = 1, x = m − với m Suy phương trình có nghiệm với m DIỄN ĐÀN GV TỐN THCS VIỆT NAM PHONE 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG Phương trình cho có nghiệm phân biệt ⇔ ≠ m − ⇔ m ≠ b) Theo có: x1 + x 2 = Trường hợp 1: x1 = 1; x = m − Ta có: + ( m − 3) m − =  m = (ko t / m) ⇔ ( m − 3) = ⇔  ⇔ =2  m − = −1  m = (t / m) Trường hợp 2: x = 1; x1 = m − m − =  m = (ko t / m) ⇔ m −3 =1⇔  ⇔ m − +1 =  m − = −1  m = (t / m) Ta có: Vậy m = giá trị cần tìm x − ( m − 3) x − m + = (1) Ví dụ Cho phương trình ẩn x : , với m tham số a) Giải phương trình (1) m = b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x thỏa mãn x1 + x = x − ( m − 3) x − m + = (1) Ta có phương trình: Lời giải  x = −1 ⇔ ⇔ ( x + 1) ( x − 3) = x = a) Khi m = ta có phương trình: x − 2x − = Vậy m = phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = −1; x = b) Xét phương trình: Ta có x − ( m − 3) x − m + = (1) a = 1;b = − ( m − 3) ;c = −m + ⇒ a − b + c = + m − − m + = x = −1, x = m − với m Suy phương trình có hai nghiệm Theo đề có: x1 + x = −1 + m − = ⇔ m = Trường hợp 1: x1 = −1; x = m − ta có: ( ) Trường hợp 2: x1 = m − 2; x = −1 ta có: m − = m = 2 ⇔ ( m − ) + ( −1) = ⇔ ( m − ) = ⇔   m − = −3  m = −1 Vậy m = −1, m = 5, m = giá trị cần tìm Ví dụ Cho phương trình x − ( m + 1) x + m + 2m = , với m tham số x = x2 Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x (với x1 < x ) thỏa mãn: Lời giải Phương trình (1) có hệ số: a = 1, b = −2(m + 1), c = m + 2m DIỄN ĐÀN GV TOÁN THCS VIỆT NAM 10 PHONE 0983.265.289 CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI GIÁO VIÊN CÙ MINH QUẢNG ∆ ' = −  ( m + 1)  − ( m + 2m ) = m + 2m + − m − 2m = > 2 2 với m Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x với m , x = m +1+1 = m + Ta có: x = m + − = m Vì m < m + x1 < x nên: x1 = m, x = m + x1 ; x thỏa mãn: x1 = x ⇒ m = m +  m = −3 ( thỏ a mã n điề u kiệ n x1