DÃY SỐ
Giới thiệu
Một hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương N * được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số).
Người ta thường viết dãy số dưới dạng khai triển: u 1, u 2, u 3, , u n , , trong đó u n = u(n) hoặc viết tắt là (u n ), và gọi u 1 là số hạng đầu, u n là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.
Ví dụ 1: a Dãy các số tự nhiên lẻ 1, 3, 5, 7, có số hạng đầu u 1 = 1, số hạng tổng quát u n
= 2n – 1. b Dãy các số chính phương 1, 4, 9, 16, có số hạng đầu u 1 = 1, số hạng tổng quát u n = n 2
Một hàm số u xác định trên tập M = {1, 2, 3, , m} với m N * được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là u 1, u 2, u 3, , u m , trong đó u 1 là số hạng đầu, u m là số hạng cuối.
Ví dụ 2: a -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 là dãy số hữu hạn có u 1 = -5, u 7 = 13. b ,, , , là dãy số hữu hạn có u 1 = , u 5 =
Các định nghĩa cơ bản
Giá trị nhỏ nhất của tập hợp cận trên của tập hợp A được gọi là cận trên đúng của
A và kí hiệu là supA, (supremum của A).
Giá trị lớn nhất của tập các cận dưới của tập hợp A được gọi là cận dưới đúng của
A và kí hiệu là infA, (infimum của A).
Tập khác rỗng và bị chặn trên có cận trên đúng.
Tập khác rỗng và bị chặn dưới có cận dưới đúng.
Số a được gọi là giới hạn của dãy số (u n ), nếu
Nếu giới hạn của dãy là hữu hạn, thì dãy được gọi là dãy hội tụ.
Ngược lại, dãy được gọi là phân kì.
Ví dụ: Dùng định nghĩa chứng tỏ rằng
Số a không là giới hạn của dãy số (u n ), nếu
Số a không là giới hạn của dãy số (u n ), nếu tồn tại số dương để với mọi số tự nhiên n tìm được số sao cho
1.2.2 Các tiêu chuẩn hội tụ
Ta nói dãy (u n ) bị chặn trên, nếu
Ta nói dãy (u n ) bị chặn dưới, nếu
Một dãy vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới gọi là dãy bị chặn.
Ta nói dãy (un) là dãy tăng, nếu
Ta nói dãy (un) là dãy giảm, nếu
Một dãy tăng hay giảm được gọi chung là dãy đơn điệu.
Ví dụ: Mô tả số e.
Sử dụng nhị thức Newton:
Vậy dãy bị chặn (và tăng), nên dãy hội tụ.
Giới hạn của dãy này được kí hiệu là e, và người ta chứng minh được e là số vô tỷ,
Cho ba dãy số (u n ), (v n ), (w n ) sao cho và (v n ), (w n ) cùng hội tụ đến a, khi đó
Cho Vì (u n ), (v n ) hội tụ đến a nên Đặt = Max{} Khi đó , ta có:
Ví dụ: Tìm giới hạn của dãy số (u n ) với:
Với mỗi số nguyên k mà , ta có
Dãy Cauchy hay dãy cơ bản là một dãy trong một không gian mêtric (hoặc không gian định chuẩn) X sao cho với mọi tồn tại để với mọi thì
Tiêu chuẩn Cauchy cho dãy:
Giả sử dãy (xn) thuộc một không gian Banach Khi đó ta có:
Dãy (x n ) hội tụ khi và chỉ khi (x n ) là dãy Cauchy, với mọi ɛ (epsilon) dương, bé tùy ý cho trước, luôn tồn tại số tự nhiên N sao cho với mọi m,n lớn hơn N ta có |x n - x m | < ɛ
Mọi dãy cơ bản là bị chặn.
Nếu dãy cơ bản U n có một dãy con hội tụ tới giới hạn b thì dãy U n cũng hội tụ tới b. Định lý:
Dãy số thực {U n } hội tụ trong R khi và chỉ khi nó là dãy cơ bản.
GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN
Giới thiệu
Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích Có thể nói: Không có giới hạn thì không có Giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến giới hạn.
Chương này giới thiệu khái niệm giới hạn của hàm số, nêu một số định lí, quy tắc tìm giới hạn và tính liên tục của hàm số.
Giới hạn của hàm số
Cho hàm số f(x) xác định trong một miền D chứa điểm x 0 (có thể không xác định tại x 0) Ta nói hàm số f có giới hạn L khi x dần tới x 0 và kí hiệu nếu
Trong định nghĩa không đòi hỏi là f(x) phải xác định tại x 0.
Các định nghĩa tương tự
2.2.2 Định lý khi và chỉ khi ứng với mọi dãy , ta có
Thường dùng định lý này chứng tỏ hàm không có giới hạn.
Nếu tìm được hai dãy mà hội tụ về hai số khác nhau thì hàm không có giới hạn.
Hàm f có giới hạn trái (phải) là L khi x dần về bên trái (phải) x 0, kí hiệu Định lý:
2.2.4 Tính chất của giới hạn hàm số
Giới hạn của hàm số tại một điểm, nếu có là duy nhất.
(5) Nếu và khác các dạng thì
Tính chất 3: Tiêu chuẩn kẹp
2.2.5 Các phương pháp tính giới hạn
2.2.5.1 Giới hạn dạng xác định
Nếu hàm f(x) xác định và sơ cấp trên một lân cận nào đó của điểm x0 thì:
2.2.5.2 Giới hạn dạng vô định
Nếu có dạng hoặc đồng thời tồn tại khi đó
Ví dụ 1: (Dạng ) Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có:
Ví dụ 2: (Dạng ) Áp dụng quy tắc L’Hospital ta có:
Vô cùng bé, Vô cùng lớn
Cho hàm số f(x), khi đó
f(x) gọi là một vô cùng bé (VCB) khi nếu
f(x) gọi là một vô cùng lớn (VCL) khi nếu
Nếu f(x) là một VCB khi x dần tới x 0 thì nghịch đảo của nó là một VCL khi x dần tới x 0 và ngược lại.
Ví dụ: a là một VCB khi b là một VCL khi
2.3.2 Mối liên hệ giữa VCB – VCL
Ta nói f(x) và g(x) là hai VCB (VCL) tương đương khi nếu , kí hiệu f(x) ~ g(x),
Ta nói f(x) là VCB cấp cao hơn VCB g(x) khi , kí hiệu f(x) = O(g(x)),
Ta nói f(x) là VCL cấp cao hơn VCL g(x) khi , nếu
2.3.3 Tính chất của VCB – VCL
(1) Cho các VCB (VCL) khi
Giả sử và Khi đó:
(2) Giả sử f(x) là VCB cấp cao hơn VCB g(x) khi
(3) Giả sử f(x) là VCL cấp cao hơn VCL g(x) khi
Ví dụ 1: Tìm giới hạn:
Ví dụ 2: Tìm giới hạn:
Hàm số liên tục
2.4.1 Hàm số sơ cấp cơ bản
Hàm lũy thừa có tập xác định và tập giá trị thuộc vào số mũ.
Ví dụ: a có TXĐ D = R b có TXĐ D = R\{0}
Ví dụ: a có TXĐ D = R và TGT (0;+) b có TXĐ D = R và TGT (0;+)
2.4.1.6 Hàm số lượng giác ngược
Là hàm số được cho chỉ bằng một biểu thức giải tích, và được xây dựng từ các hàm số sơ cấp cơ bản và các hằng số bằng một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân, chia) và phép lấy hàm hợp.
Hàm đa thức là hàm sơ cấp.
Hàm là hàm sơ cấp.
Các hàm số sơ cấp đều là những hàm số có đồ thị liên tục trên miền xác định.
Hàm số f(x) liên tục tại điểm x 0
Nếu hàm không liên tục tại x 0, ta nói hàm f gián đoạn tại x 0 và x 0 gọi là điểm gián đoạn của f.
Hàm số f(x) gọi là liên tục trên (a;b) nếu nó liên tục tại (a;b).
Hàm số f(x) gọi là liên tục trên [a;b] nếu nó liên tục trên [a;b] đồng thời liên tục phải tại a, liên tục trái tại b Tức là: và Định lý:
(1) Mọi hàm số sơ cấp đều liên tục trên miền xác định của nó.
(2) Nếu f và g liên tục tại thì các hàm , và
(với cũng liên tục tại
(3) Nếu hàm u = u(x) liên tục tại và hàm f(u) liên tục tại s = u() thì hàm hợp f 0 u(x) = f(u(x)) cũng liên tục tại
Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x = 1
Ta thấy: liên tục tại x = 1.
ĐẠO HÀM, VI PHÂN
Giới thiệu
Đạo hàm là một khái niệm quan trọng của Giải tích, nó là một công cụ sắc bén để nghiên cứu các tính chất của hàm số và giúp hoàn thiện việc vẽ đồ thị hàm số.
Chương cung cấp đầy đủ hệ thống về đạo hàm cấp một từ các bài toán đưa đến sự xuất hiện khái niệm đạo hàm, định nghĩa, quy tắc tính và các công thức đạo hàm cơ bản và quan trọng nhất Đạo hàm cấp cao giúp cho việc hiểu bản chất và cách tính toán một khái niệm quan trọng của Vật lí là gia tốc.
Đạo hàm
có đạo hàm trên nếu nó có đạo hàm tại mọi
Đạo hàm trái của tại điểm :
Đạo hàm trái của tại điểm :
có đạo hàm trên nếu nó có đạo hàm trên , có đạo hàm phải tại và có đạo hàm trái tại
có đạo hàm tại khi và chỉ khi có đạo hàm trái, có đạo hàm phải tại và
Nếu có đạo hàm tại thì liên tục tại
Nếu hàm số liên tục tại thì chưa chắc có đạo hàm tại điểm
Ví dụ: Tính đạo hàm cua hàm tại điểm
Vậy đạo hàm của tại là:
Cho u = u(x), v = v(x) là các hàm số và k là hằng số Ta có:
(5) Xét hàm hợp Khi đó
(6) Giả sử và là hai hàm ngược của nhau Khi đó:
Ví dụ: Tính đạo hàm của:
3.2.4.1 Định nghĩa Đạo hàm cấp n của hàm số là:
Quy ước về kí hiệu:
3.2.4.2 Công thức tính đạo hàm cấp n của một số hàm đơn giản (1)
Cho U = U(x), V = V(x) là các hàm số và là hằng số Khi đó (1)
Ví dụ: Tính Biết Áp dụng các công thức:
(2) Công thức Leibnitz dùng để tính đạo hàm một tích
Ví dụ: Tính biết Áp dụng quy tắc Leibnitz, ta có:
Vi phân
3.3.1 Định nghĩa hàm khả vi
Hàm gọi là khả vi tại điểm nếu:
(1) Trong đó, A là chỉ phụ thuộc vào và là vô cùng bé cấp cao hơn khi
Hàm khả vi tại có đạo hàm tại (và )
Ví dụ: Xét tính khả vi của hàm số: có đạo hàm
Vậy hàm khả vi tại mọi
Nếu hàm khả vi tại thì biểu thức được gọi là vi phân của hàm tại , kí hiệu là Như vậy:
Ví dụ: Tính vi phân của hàm số:
Ví dụ: Tính vi phân cấp một, cấp hai của hàm số:
Công thức Taylor
Nếu hàm liên tục trên , khả vi đến cấp trong thì với mọi , , tồn tại số c nằm giữa và sao cho Đặt: gọi là phần dư Lagrange Ta viết gọn như sau:
(1) Công thức trên gọi là Khai triển Taylor của hàm f(x) đến cấp n trong lân cận của điểm x 0 cho trước.
(2) Từ phần dư Lagrange của công thức Taylor
Khi x dần tới x 0 thì R n (x) là một VCB bậc cao hơn xn nên có thể dùng kí hiệu
VCB để viết lại phần dư như sau và ta gọi đó là phần dư Peano:
3.4.2 Hệ quả (Công thức Maclaurin)
Khi x 0 = 0, công thức Taylor trở thành công thức sau gọi là Khai triển Maclaurin:
Phần dư Lagrange: (với c nằm giữa 0 và x).
Khi x dần ddeend 0 thì viết được ở dạng phần dư Peano:
Ví dụ 1: Khai triển Maclaurin hàm đến cấp n với phần dư Lagrange Áp dụng công thức Maclaurin với phần dư Lagrange:
Thế vào công thức ta được:
(với c là một số nằm giữa x 0 = 0 và x).
Ví dụ 2: Khai triển Maclaurin hàm đến cấp với phần dư Peano Áp dụng công thức Maclaurin với phần dư Peano:
Thế vào công thức ta được:
Ví dụ 3: Viết khai triển Maclaurin của hàm đến số hạng cấp 3
TÍCH PHÂN
Giới thiệu
Trong chương này, chúng ta sẽ làm quen với khái niệm nguyên hàm và tích phân.Đây là hai khái niệm cơ bản, rất quan trọng của Giải tích, có liên hệ mật thiết với khái niệm đạo hàm Đây là phép toán ngược của phép tính đạo hàm (vi phân) của hàm số
Phép tính tích phân cho chúng ta một phương pháp tổng quát để tính diện tích của những hình phẳng và thể tích của những vật thể có hình dạng phức tạp Phép tính tích phân được xem là một trong những thành tựu quan trọng nhất của toán học.
Tích phân bất định
Hàm số F(x) là nguyên hàm của f(x) trên (a, b) nếu đạo hàm F'(x) bằng f(x) với mọi x trong (a, b) Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) trên (a, b) có dạng tổng quát F(x) + C và được gọi là tích phân bất định của f(x).
4.2.2 Các tính chất của tích phân bất định
Hai tính chất cuối cùng là tính chất tuyến tính của tích phân bất định, ta có thể viết chung
Trong đó là các hằng số không đồng thời bằng 0.
4.2.3 Các công thức tích phân đơn giản
4.2.4 Các phương pháp tính tích phân bất định
4.2.4.1 Phương pháp khai triển Để tính một tích phân bất kì, ta cần sử dụng các phương pháp thích hợp để đưa về các tích phân đã có trong bảng các công thức tích phân đơn giản ở trên Một phương pháp đơn giản là phương pháp khai triển Phương pháp này dựa trên tính chất tuyến tính của tích phân bất định:
Ta tiến hành tách tích phân thành tổng (hiệu) các tích phân của các hàm đơn giản đã biết nguyên hàm Khi đó ta có thể đưa các hằng số ra ngoài dấu tích phân.
Ví dụ: Tính tích phân
4.2.4.2 Phương pháp biến đổi biểu thức vi phân
Nhận xét: Nếu thì , trong đó là một hàm số khả vi liên tục Ta có thể kiểm tra lại bằng cách đạo hàm hai vế theo Sử dụng tính chất này, ta biến đổi biểu thức dưới dấu tích phân về dạng
Trong đó là một hàm số mà ta dễ dàng tìm được nguyên hàm F(x) Khi đó tích phân cần tính trở thành
Trong trường hợp đơn giản thì , do đó nếu ta suy ra:
Xét tích phân , trong đó là một hàm số liên tục Để tính tích phân này, ta tìm cách chuyển sang tính tích phân khác của một hàm số khác bằng một phép đổi biến , sao cho biểu thức dưới dấu tích phân đối với biến t có thể tìm được nguyên hàm một cách đơn giản hơn.
(1) Phép biến đổi thứ nhất: Đặt , trong đó là một hàm số đơn điệu, và có đạo hàm liên tục Khi đó ta có:
Giả sử hàm số có nguyên hàm là hàm , và là hàm số ngược của hàm số , ta có:
(2) Phép biến đổi thứ hai: Đặt , trong đó là một hàm số có đạo hàm liên tục, và ta viết được hàm Khi đó ta có:
Giả sử hàm số có nguyên hàm là hàm số , ta có:
Lưu ý khi tính tích phân bất định bằng phương pháp đổi biến số: Sau khi tìm được nguyên hàm theo biến số mới, cần đổi lại thành hàm số của biến số cũ để hoàn thành phép tính.
Ví dụ: Tính tích phân Đặt Ta có: Đổi lại biến x, ta được:
4.2.4.4 Phương pháp tích phân từng phần
Giả sử u = u(x) và v = v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục Theo quy tắc lấy vi phân
Xét tích phân Ta cần biểu diễn và áp dụng công thức tích phân từng phần với các hàm số Ta thường sử dụng phương pháp này khi biểu thức dưới dấu tích phân chứa một trong các hàm số sau đây: , hàm số lượng giác, hàm số lượng giác ngược Cụ thể:
Trong các tích phân , n nguyên dương, ta thường chọn u = x n
Trong các tích phân và n nguyên dương, ta thường chọn
Trong tích phân , n nguyên dương, ta thường chọn hoặc
Ví dụ: Tính tích phân Đặt Đặt Áp dụng công thức ta có:
4.2.5 Tích phân hàm phân thức hữu tỷ
Một hàm phân thức hữu tỷ là một hàm số có dạng f(x) = P(x)/Q(x) , trong đó
P(x), Q(x) là các đa thức của x Một phân thức hữu tỷ có bậc của đa thức ở tử số nhỏ hơn bậc của đa thức ở mẫu số là một phân thức hữu tỷ thực sự.
Bằng phép chia đa thức, chia P(x) cho Q(x) ta luôn đưa được một hàm phân thức hữu tỷ về dạng trong đó H(x) là đa thức thương, r(x) là phần dư trong phép chia Khi đó là một phân thức hữu tỷ thực sự Nguyên hàm của đa thức được tìm bởi công thức tích phân cơ bản Ta sẽ xét việc tìm nguyên hàm của phân thức hữu tỷ còn lại trong hai trường hợp đặc biệt: mẫu số của phân thức là đa thức bậc nhất hoặc đa thức bậc hai. Trong những trường hợp mẫu số phức tạp hơn, chúng ta sử dụng phương pháp hệ số bất định để đưa về hai trường hợp trên.
4.2.5.2 Phương pháp hệ số bất định
Giả sử chúng ta muốn phân tích một phân thức hữu tỷ thực sự P(x)/Q(x) thành tổng (hiệu) của các phân thức hữu tỷ thực sự có mẫu số là đa thức bậc nhất hoặc bậc hai Trước hết ta phân tích đa thức ở mẫu số Q(x) thành tích của các đa thức bậc nhất hoặc bậc hai vô nghiệm trong đó là các hằng số, là các số nguyên,
Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện đơn thức , a là số nguyên dương thì trong phân tích của phân thức P(x) / Q(x) xuất hiện các hạng tử dạng , trong đó là hằng số và
Nếu trong phân tích của Q(x) xuất hiện biểu thức (1 - bx)^m, b là số nguyên dương thì trong phân tích của phân thức P(x) / Q(x) xuất hiện các hạng tử dạng A / (1 - bx)^n, trong đó A là các hằng số và n là số nguyên dương.
Sau khi viết được phân tích của P(x) / Q(x) , ta tìm các hằng số bằng cách quy đồng mẫu số ở hai vế, rồi đồng nhất hệ số của x n , n ∈ R ở hai vế Như vậy việc dùng phương pháp hệ số bất định dẫn chúng ta tới việc tính bốn loại tích phân hữu tỷ cơ bản sau: trong đó
Tích phân thứ hai có thể tính theo phương pháp tích phân từng phần.
Ví dụ: Tính tích phân bất định
Quy đồng mẫu số ở hai vế Đồng nhất hệ số của x 2 , x và hệ số tự do, ta được
4.2.6 Tích phân hàm lượng giác
Xét tích phân , trong đó hàm dưới dấu tích phân là một biểu thức hữu tỷ đối với
Ta có thể sử dụng phép đổi biến tổng quát , khi đó tích phân đang xét được đưa về tích phân của hàm số của biến t.
4.2.6.2 Tích phân dạng , trong đó m, n là các số nguyên
Nếu m là số nguyên dương lẻ, ta đặt
Nếu n là số nguyên dương lẻ, ta đặt
Nếu m, n là các số nguyên dương chẵn, ta sử dụng công thức hạ bậc: rồi đưa về tích phân dạng
4.2.6.3 Tích phân có dạng đặc biệt
Ví dụ: Tính tích phân Đặt , ta có:
4.2.7 Tích phân các biểu thức vô tỷ
Xét tích phân có dạng , trong đó R(u, v) là các hàm số hữu tỷ.
Đặt đối với tích phân
Đặt hoặc đối với tích phân
Đặt hoặc đối với tích phân
Nói chung việc tính tích phân của các biểu thức vô tỷ thông thường được đưa về việc tính bốn loại tích phân cơ bản sau:
Ví dụ: Tính tích phân Đặt , ta có
Tích phân xác định
4.3.1 Định nghĩa tích phân xác định
Giả sử hàm số f(x) xác định và bị chặn trên [a, b] Chia [a, b] thành n khoảng nhỏ [x i , x i+1] bởi phân hoạch a = x 0 < x 1 < < x n = b Trong mỗi đoạn [x i , x i+1] ta chọn điểm ξ i ∈ [x i , x i+1] và thành lập biểu thức
Biểu thức tổng tích phân Sn biểu diễn một tổng hữu hạn các giá trị hàm số tại những điểm phân chia của đoạn [a, b] Gdy tồn tại giới hạn hữu hạn của Sn khi số phân chia tiến đến vô cùng, thì giới hạn này được gọi là tích phân xác định của hàm số f(x) trên đoạn [a, b], ký hiệu là ∫[a, b] f(x) dx.
Trong định nghĩa trên ta đã xét hàm số f(x) trong khoảng đóng [a, b] tức là đã giả thiết a < b Bây giờ nếu b < a ta định nghĩa và khi a = b ta định nghĩa
4.3.2 Các tiểu chuẩn khả tích
(1) Điều kiện cần và đủ để hàm số bị chặn f(x) khả tích trên [a, b] là , trong đó:
(2) Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b].
(3) Nếu f(x) bị chặn trên [a, b] và có một số điểm gián đoạn trên [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b].
(4) Nếu f(x) bị chặn và đơn điệu trên [a, b] thì f(x) khả tích trên [a, b].
4.3.3 Các tính chất của tích phân xác định
Trong các phần tiếp theo sau đây, nếu không có chú thích gì thì khi viết ta hiểu là f(x) được giả thiết là khả tích trên [a, b].
Tính chất 2: Cho 3 khoảng đóng [a, b], [a, c], [b, c], nếu f(x) khả tích trên khoảng có độ dài lớn nhất thì cũng khả tích trên 2 đoạn còn lại, và
Tính chất 3: Giả thiết a < b Khi đó:
(2) Nếu thì (3) Nếu khả tích trên thì khả tích trên và:
Tính chất 4: Định lý trung bình thứ nhất
Giả sử f(x) khả tớch trờn [a, b] và , khi đú tồn tại à sao cho: Đặc biệt, nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì tồn tại sao cho:
Tính chất 5: Định lý trung bình thứ hai
Khi đó Đặc biệt nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì tồn tại sao cho:
4.3.4 Tích phân với cận trên thay đổi (hàm tích phân)
Giả sử f(x) là một hàm khả tích trên [a, b], khi đó với mỗi x ∈ [a, b] thì f cũng khả tích trên [a, x] Ta xác định hàm số
(1) Nếu f(t) khả tích trên [a, b] thì F(x) liên tục trên [a, b].
(2) Nếu f liên tục tại x 0 ∈ [a, b] thì F(x) có đạo hàm tại x 0 và F’(x 0) = f(x 0).4
Nếu f(x) liên tục trong khoảng đóng [a, b] và F(x) là một nguyên hàm của f(x) thì
4.3.5 Các phương pháp tính tích phân xác định
4.3.5.1 Sử dụng công thức tích phân từng phần
Giả sử u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm liên tục trong [a, b] Khi đó:
4.3.5.2 Sử dụng các phép đổi biến số
Xét với f(x) liên tục trong [a, b].
Thực hiện phép đổi biến thoả mãn 3 điều kiện sau:
(1) có đạo hàm liên tục trong [a, b].
(3) Khi t biến thiên trong [α, β] từ α đến β thì biến thiên liên tục từ a đến b. Khi đó ta có công thức:
Giả sử tích phân cần tính có dạng Trong đó biến thiên đơn điệu ngặt và có đạo hàm liên tục trên [a, b] Khi đó:
Ví dụ: Tính tích phân
Tích phân suy rộng
Khi định nghĩa tích phân xác định, chúng ta đã xét các hàm số xác định trên một đoạn hữu hạn [a, b] và bị chặn trên đoạn đó Trong phần này chúng ta sẽ mở rộng khái niệm tích phân, từ đó đưa vào khái niệm tích phân suy rộng với cận vô hạn và tích phân của hàm số không bị chặn.
4.4.1 Tích phân suy rộng với cận vô hạn
Giả sử f(x) là hàm số xác định trên khoảng [a,+∞)] và khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, A] ,(a ≤ A< +∞). Định nghĩa: Giới hạn của tích phân khi A → +∞ được gọi là tích phân suy rộng của hàm số f(x) trên khoảng [a,+∞) và ký hiệu như sau
Nếu giới hạn này tồn tại hữu hạn ta nói tích phân suy rộng hội tụ Ngược lại, nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng ta nói tích phân đó phân kỳ
Tương tự ta định nghĩa tích phân của một hàm số f(x) trên các khoảng (−∞, a] và
(−∞, +∞) bởi các công thức sau
Ta có thể viết khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ
Tích phân suy rộng là khái niệm mở rộng tích phân xác định khi cận tích phân tiến dần đến vô cùng Ta có thể sử dụng công thức Leibniz để tính tích phân và sau đó cho cận tiến đến vô cùng để tìm giá trị của tích phân suy rộng.
Kí hiệu thì có thể viết
Ví dụ: Tính tích phân
4.4.2 Tích phân suy rộng của hàm số không bị chặn
Giả sử hàm số f(x) xác định trên [a, b) và khả tích trên mọi đoạn [a, t] (t < b), ta gọi điểm b là điểm bất thường của hàm Khi đó, tích phân suy rộng của hàm f(x) trên khoảng [a, b) được định nghĩa là giới hạn của tích phân khi b tiến tới b.
Nếu giới hạn ở vế phải tồn tại, ta nói tích phân suy rộng hội tụ Ngược lại nếu không tồn tại giới hạn này hoặc giới hạn bằng vô cùng, ta nói tích phân phân kỳ.
Tương tự ta định nghĩa tích phân suy rộng của hàm số f(x) không bị chặn trên khoảng (a, b] và (a, b) lần lượt nhận x = a và x = b làm điểm bất thường. Đối với tích phân có hai điểm bất thường x = a, x = b, ta có thể viết khi hai trong ba tích phân nói trên hội tụ.
4.4.3 Tích phân suy rộng hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ
Nếu hội tụ thì hội tụ.
Nếu (có điểm bất thường là a hoặc b) hội tụ thì cũng hội tụ.
Nếu hội tụ thì ta nói hội tụ tuyệt đối, còn nếu hội tụ nhưng phân kì thì ta nói bán hội tụ.
Nếu (có điểm bất thường là a hoặc b) hội tụ thì ta nói hội tụ tuyệt đối, còn nếu hội tụ nhưng phân kì thì ta nói bán hội tụ.
4.4.4 Các tiêu chuẩn hội tụ
(1) Cho hai hàm số f(x) và g(x) khả tích trên mọi khoảng hữu hạn [a, A](a ≤ A) và
Nếu hội tụ thì hội tụ.
Nếu phân kỳ thì phân kỳ.
(2) Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số khả tích trên mọi đoạn hữu hạn [a, A](a ≤ A) và Khi đó các tích phân và hoặc cùng hội tụ, hoặc cùng phân kỳ.
Hệ quả: Cho f và g là hai hàm số dương khả tích trên [a, +∞) Khi đó
(1) Nếu và nếu hội tụ thì hội tụ.
(2) Nếu và nếu phân kì thì phân kì.
(1) Cho hai hàm số f(x) và g(x) khả tích trên (a, b] và có cùng điểm bất thường là x = a sao cho
Nếu hội tụ thì hội tụ.
Nếu phân kỳ thì phân kỳ.
(2) Giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số dương khả tích trên (a, b] và có cùng điểm bất thường x = a Nếu tồn tại giới hạn
Khi đó các tích phân và hoặc cùng hội tụ, hoặc cùng phân kỳ.
Hệ quả: Cho f và g là hai hàm số dương khả tích trên (a, b] và có cùng điểm bất thường x = a Khi đó
(1) Nếu và nếu hội tụ thì hội tụ.
(2) Nếu và nếu phân kì thì phân kì.
Khi xét đến tính chất hội tụ hay phân kì của một tích phân suy rộng, nói chung chúng ta chỉ "quan tâm" tới dáng điệu của hàm số tại các điểm bất thường.
Khi sử dụng tiêu chuẩn so sánh chúng ta thường hay so sánh các tích phân suy rộng đã cho với hai loại tích phân suy rộng sau:
Ví dụ:Xét sự hội tụ và tính tích phân
Xét tích phân I 1 có điểm bất thường là x = 0 Khi x → 0, Mặt khác tích phân hội tụ nên I 1 hội tụ.
Xét tích phân I 2 có điểm bất thường là x = 1 Khi x → 1, Mặt khác tích phân hội tụ nên I 2 hội tụ.
Trong trường hợp tổng quát, muốn tính ta thực hiện phép đổi biến sẽ chuyển I về tích phân xác định
CHUỖI LŨY THỪA
Định nghĩa
Chuỗi lũy thừa là chuỗi hàm có dạng
Lưu ý: Nếu chuỗi luỹ thừa có dạng , thì bằng cách đặt ta đưa chuỗi đó về dạng (1).
Vì vậy, ta quy ước nghiên cứu chuỗi lũy thừa có dạng (1).
Ví dụ: trong đó trong đó
Xét sự hội tụ
Bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
Số được gọi là bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa nếu chuỗi hội tụ (tuyệt đối) với mọi , và phân kỳ với mọi
Lưu ý: Nếu , thì chỉ hội tụ tại
Giả sử (hoặc Khi đó bán kính hội tụ được tính bằng công thức:
Nếu , thì chuỗi hội tụ tuyệt đối khi , phân kỳ khi Do đó bán kính hội tụ
Nếu thì , ta có , do đó bán kính hội tụ
Nếu thì ta có , suy ra chuỗi hội tụ tuyệt đối , do đó bán kính hội tụ Đối với trường hợp ta cũng có chứng minh tương tự.
Bài toán tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa
Bước 1: Tìm bán kính hội tụ r của chuỗi luỹ thừa bằng công thức (*).
Bước 2: Xét tại 2 điểm mút x = r, x = -r.
Bước 3: Kết luận miền hội tụ.
Lưu ý: Nếu chuỗi lũy thừa có dạng thì bằng cách đặt ta đưa về dạng trước khi áp dụng công thức (*).
Ví dụ: Tìm miền hội tụ của chuỗi lũy thừa Áp dụng công thức (*) ở trên, ta có:
Xét tại , ta có phân kỳ (chuỗi điều hòa).
Tại hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz
Do đó miền hội tụ của chuỗi là
Vậy miền hội tụ của chuỗi là
Tính chất cơ bản của chuỗi lũy thừa
Giả sử chuỗi luỹ thừa có khoảng hội tụ (-r,r).
Chuỗi luỹ thừa hội tụ đều trên mọi đoạn
Lấy , sao cho Khi đó vì nên chuỗi số hội tụ Mặt khác ta lại có
Dó đó chuỗi hội tụ đều trên
Có thể lấy tích phân từng số hạng của chuỗi trên
Tổng của chuỗi luỹ thừa là 1 hàm liên tục trong khoảng
Có thể lấy đạo hàm từng số hạng của chuỗi.