skkn một số giải pháp giúp học sinh giỏi toán 7 giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Chính vì vậy, để khắc phục những khó khăn cho học sinh khi gặp và giải toán dạng này tôi đã suy nghĩ, tìm tòi và áp dụng vào trong giảng dạy thấy có hiệu quả cao, nên tôi mạnh dạn viết s

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn sáng kiến

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, môn Toán có vai trò, vị trí

và ý nghĩa quan trọng Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh hình thành những tri thức và kỹ năng toán học cần thiết, môn toán còn góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa cũng như rèn luyện tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo Từ đó góp phần giúp học sinh phát triển nhân cách, hoàn thiện bản thân Chính vì thế môn toán

là môn học được các nhà trường chú trọng, được phụ huynh học sinh quan tâm đầu tư Tuy nhiên muốn học sinh giỏi toán thì cả giáo viên và bản thân học sinh cần phải có phương pháp dạy và học phù hợp

Với mục tiêu đào tạo thế hệ trẻ thành những con người phát triển toàn diện cả phẩm chất và năng lực thì công tác bồi dưỡng học sinh giỏi luôn được chú trọng và đầu tư nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồi dưỡng nhân tài, có tác dụng thiết thực và mạnh mẽ nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của đội ngũ các thầy cô giáo, nâng cao chất lượng giáo dục góp phần khẳng định thương hiệu của nhà trường, của giáo dục các cấp, tạo ra khí thế hăng say vươn lên trong học tập trong học sinh

Trong những năm gần đây, bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối luôn xuất hiện trong các đề thi HSG môn Toán 7 Tuy nhiên, trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7, tôi nhận thấy học sinh còn rất nhiều vướng mắc khi giải các bài toán này Lí do là các em vận dụng tính chất, định nghĩa giá trị tuyệt đối chưa chắc, các em chưa phân biệt được các dạng toán và áp dụng tương tự vào bài toán khác, việc trình bày lời giải bài toán đối với các em chưa chặt chẽ, thiếu logic, thiếu trường hợp xảy ra Chính vì vậy, để khắc phục những khó khăn cho học sinh khi gặp và giải toán dạng này tôi đã suy nghĩ, tìm tòi và áp dụng vào trong giảng dạy thấy có hiệu quả cao, nên tôi mạnh dạn viết sáng

kiến kinh nghiệm “Một số giải pháp giúp học sinh giỏi Toán 7 giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối” với mục đích giúp cho học sinh giải tốt các

bài toán dạng này

1.2 Điểm mới đề tài

Trong sáng kiến này tôi đã đưa ra các dạng bài toán trong một chuyên đề nhằm phát triển tư duy cho học sinh, các giải pháp và những hoạt động cụ thể trong quá trình hướng dẫn học sinh khá giỏi giải bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

Qua việc áp dụng sáng kiến này giúp cho học sinh xác định đúng các dạng toán, nắm chắc các phương pháp giải và lựa chọn phương pháp giải tối ưu nhất

2 PHẦN NỘI DUNG

1 Thực trạng vấn đề bồi dưỡng học sinh giỏi khi giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối lớp 7.

Thời lượng và kiến thức về giá trị tuyệt đối đưa vào chương trình lớp 7 tương đối ít, phương pháp giải còn hạn chế Giáo viên khi dạy về vấn đề này thường chỉ chữa các bài tập chứ ít chú ý đến việc khai thác, phân tích, đưa ra phương pháp cho từng dạng toán cơ bản

Hệ thống bài tập trong đề thi học sinh giỏi khá đa dạng và phong phú, có trong nhiều tài liệu khác nhau, nếu không có phương pháp giải thích hợp, dễ hiểu thì dễ gây cho học sinh tâm lý “sợ toán” chán nản, khó tiếp thu và từ đó chỉ chú ý vào thủ thuật giải mà quên đi luyện phương thức tư duy, gây không ít khó khăn cho giáo viên

Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc để làm mất đi tính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân

Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phương pháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiến thức nên hiệu quả học tập chưa cao

Khi giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh thường tìm điều kiện không chính xác Khi tìm được giá trị của x thì quên đối chiếu điều kiện hoặc kết hợp các điều kiện không đúng

Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: “Một số giải pháp giúp học sinh giỏi Toán 7 giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối”, đầu năm học

2022-2023 tôi đã tiến hành khảo sát đội tuyển học sinh giỏi tại trường tôi công tác sau hai buổi dạy chuyên đề này, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phút với nội dung như sau:

Bài 1 (2,0 điểm): Tính giá trị biểu thức 3x 2  2x 1  với x 1

2



Bài 2 (4,5 điểm): Tìm x, biết:

a) 2x 3   5 b) 2x 1   2x 3 c) 2x 3 3  

Bài 3 (3,5điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của A 5 1 4x 1   

Qua bài làm tôi thấy học sinh còn rất lúng túng về phương pháp giải, chưa nắm vững phương pháp giải đối với từng dạng bài, quá trình giải chưa chặt chẽ,

chưa kết hợp được kết quả tìm được với điều kiện xảy ra, chưa lựa chọn được phương pháp giải nhanh gọn, chưa tư duy được nên kết quả chưa cao

Kết quả đạt được như sau:

Số

lượng Điểm dưới 5 Điểm 5 – 6,4 Điểm 6,5 – 7,9 Điểm 8 – 10

Nguyên nhân của thực tế trên:

Đây là dạng toán mới và khó đối với các em học sinh lớp 7, học sinh chưa được trang bị phương pháp giải do vậy các em dễ nhầm lẫn trong quá trình làm bài dẫn đến kết quả thấp Mặt khác trong chương trình sách giáo khoa rất ít bài tập để vận dụng giải các dạng toán về giá trị tuyệt đối

Học sinh chưa vận dụng được lí thuyết vào làm bài tập nên một số học sinh giải sai, đối với những em giải được thì còn yếu trong lập luận cũng như cách trình bày do vậy các em dễ nhầm lẫn trong quá trình làm bài dẫn đến kết quả thấp

Khả năng hiểu và phân tích các dạng toán để làm bài tập của học sinh chưa tốt, các em chưa phát huy hết năng lực của mình

2 Các giải pháp giúp học sinh giỏi Toán 7 giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối.

2.1 Giải pháp 1: Hệ thống lại những kiến thức cơ bản:

a) Khái niệm giá trị tuyệt đối: Với số thực a tuỳ ý, ta có: Khoảng cách từ

điểm a trên trục số đến gốc 0 là giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu a







 





a nÕu a 0

a a nÕu a < 0

0 nÕu a = 0

b) Với mọi a,b  Rta có:

a  0 Dấu “=” xảy ra  a = 0

a  a Dấu “=” xảy ra  a  0

a  - a Dấu “=” xảy ra a  0

a + b  a +b Dấu “=” xảy ra  ab  0

a b a  b Dấu “=” xảy ra  a b 0  hoặc a b 0 

c) Với m > 0 thì:

a < m  m a m



    



a m

a m

a m

2.2 Giải pháp 2: Phân chia các dạng toán:

Khi hướng dẫn học sinh giải bài, tôi đưa ra hệ thống câu hỏi giúp học sinh nhận diện đề và nắm được phương pháp làm bài Trong đề tài này tôi đưa ra một

số dạng cơ bản sau:

2.2.1 Các bài toán về tính giá trị của một biểu thức.

Giáo viên cần phải cho học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa bài toán tính giá trị một biểu thức đơn thuần với bài toán tính giá trị một biểu thức

có chứa dấu giá trị tuyệt đối để cho học sinh hình thành được phương pháp giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối Sau đó sử dụng định nghĩa về giá trị tuyệt đối để giải

Bài tập 1: Tìm giá trị của các biểu thức A = 6x3 3x2 2 x 4 với 2

x

3





Khi giải bài toán này học sinh phải biết thay x 2

3



 vào biểu thức A sau

đó sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ giá trị tuyệt đối rồi tính giá trị của biểu thức A

Hướng dẫn: Với x 2

3



 ta có:

20

A

9





Bài tập 2: Tính giá trị biểu thức

2

B

3x 1



 với x 1

2

 Phương pháp: Mở dấu giá trj tuyệt đối để đưa ra 2 trường hợp:

Hướng dẫn: Vì x = 1

2 

1 x 2



Với x 1

2

 ta có:

2 2

B

1

2

 

 

Với x 1

2

 ta có:

2 2

B

1

2

2.2.2 Các bài toán về rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Đối với dạng toán này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh kiến thức về giá trị tuyệt đối của một biểu thức chứa biến











A(x) nÕu A(x) 0 A(x)

A(x) nÕu A(x) < 0

Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó (nếu biểu thức không âm) hoặc bằng một biểu thức đối của nó (nếu biểu thức âm) Vì thế khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối của một biểu thức cần xét giá trị của biến làm cho biểu thức dương hay âm Dấu của các biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu và giáo viên phải hướng dẫn kĩ cho học sinh cách lập bảng xét dấu

* Cách lập bảng xét dấu:

Bước 1: Xác định các nghiệm của nhị thức và sắp xếp các nghiệm từ nhỏ

đến lớn trong bảng xét dấu

Bước 2: Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá

trị của biến

Bài tập 1: Rút gọn biểu thức A = 3(2x - 1) - x - 5

Đối với bài tập này thì giáo viên hướng dẫn cho học sinh sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối của một biểu thức chứa biến để giải

Ta có



 



x 5 nÕu x 5

x 5

x 5 nÕu x 5 Với x  5 thì A = 3(2x - 1) - (x - 5)

A = 6x - 3 - x + 5

A = 5x +2

Với x < 5 thì A = 3(2x - 1) - (-x + 5) = 6x - 3 + x - 5 = 7x - 8

Vậy A = 5x +2 nếu x  5 , A= 7x – 8 nếu x < 5

Bài tập 2: Rút gọn biểu thức B =2 x - 3 - 4x - 1

Biểu thức B có hai biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối do đó để đơn giản trong trình bày, giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh lập bảng xét dấu

Trước hết, xác định được các nghiệm của nhị thức và sắp xếp các nghiệm

từ nhỏ đến lớn trong bảng xét dấu

Ta có 4x 1 0 4x 1 x 1

4

      vàx 3 0   x 3 , ta có bảng xét dấu sau:

x 1/4 3

4x-1 - 0 + + + x-3 - - - 0 +





 



1 4x 1 nÕu x

4 4x 1

1 4x 1 nÕu x

4



 



x 3 nÕu x 3

x 3

x 3 nÕu x 3 Xét 3 trường hợp tương ứng với 3 khoảng giá trị của biến x

Nếu x 1

4

 thì B = 2(3-x) - (1 - 4x) = 6 -2x - 1+4x = 5+2x.

Nếu 1

4  x < 3 thì B = 2(3-x) - (4x - 1) = 6 – 2x – 4x + 1 = 7-6x.

Nếu x  3 thì B = 2(x-3) - (4x - 1) = 2x – 6 - 4x + 1 = -2x - 5.















1 2x 5 nÕu x

4 1

B 7 6x nÕu x 3

4 2x 5 nÕu x 3

Hoặc giáo viên có thể cho học sinh lập bảng biến đổi sau:

x 1/4 3

3



2.2.3 Các bài toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức có chứa một dấu giá trị tuyệt đối.

Dạng 1: A(x) m (trong đó A(x) là biểu thức chứa x, m là một số cho trước)

Cách giải:

- Nếu m < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức (vì giá trị của vế trái không âm, giá trị của vế phải âm)

- Nếu m = 0 thì ta có A(x)  0  A(x)  0

- Nếu m > 0 thì ta có: A(x) m A(x) m







Bài tập 1: Tìm x biết: 3x - 5 = 4.

Hướng dẫn: Ta có 3x - 5 = 4

3 3x 5 4 3x 9

1 3x 5 4 3x 1

3

x x









Vậy x 3 hoặc x 1

3



Bài tập 2: Tìm x biết: 39  2x -17 =16

Đối với bài toán này giáo viên hướng dẫn cho học sinh nên đưa về dạng

cơ bản A(x) m, rồi giải như bài tập 1

Hướng dẫn: 2 3x   1 1 5

2 3x 1 4

3x 1 2

Sau đó giải như bài toán 1

Dạng 2: A(x) B(x)(trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x) Cách giải:

Cách 1: Với điều kiện B(x) 0 ta có: A(x) B(x) A(x) B(x)

A(x) B(x)







Cách 2: Mở dấu giá trị tuyệt đối A(x) theo 2 trường hợp rồi giải

Bài tập 1: Tìm x ,biết: 8  2x = x - 2

Hướng dẫn:

Cách 1: Với x - 20  x2 ta có

  



   



8 2x x 2

8 2x (x 2)

Sau đó giải

Cách 2: 8  2x =8 2x 8 2x 8 2x 0 x 4

2x 8 8 2x 0 x 4



       

 Chia ra 2 trường hợp để giải

Bài tập 2: Tìm x biết rằng

a) =2x b) x 1  3x 2 c) 5x x 12 d) 7  x  5x 1

2.2.4 Các bài toán tìm giá trị của biến trong đẳng thức có chứa nhiều hơn một dấu giá trị tuyệt đối.

Dạng 1: A(x)  B(x) (trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x)

Cách giải:

Vận dụng tính chất: 















b a

b a b

















) ( )

(

) ( ) ( )

( )

(

x B x

A

x B x A x

B x

A

Bài tập 1: Tìm x biết: 3x +1 = 2x-5

Hướng dẫn: Ta có

6

5

x x









Vậy x 6 hoặc x 4

5



Dạng 2: A  B 0

Với dạng toán này giáo viên nên hướng dẫn học sinh vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối, giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0

* Cách giải: A B  0

0 0















B A B

A

B 0









Bài tập 1: Tìm x, y thoả mãn 2x 2   y 5   0

Hướng dẫn: Ta có: 2x 2 0, x 2x 2 y 5 0, x,y

y 5 0, y

  



     



  

Do đó 2x 2   y 5   0 khi 2x 2   0 và y 5   0

Với 2x 2   0 khi 2x-2 = 0 suy ra x = 1

Với y 5   0 khi y+5 = 0 suy ra y=-5

Vậy x = 1 và y=-5 là giá trị cần tìm

Dạng 3: A B  0

Cách giải:

0 0

0















B A B

A

(2) Theo bài ra A  B  0  A B  0 A 0 A 0

B 0









Bài tập 2: Tìm x, y thoả mãn: 5x 1  6y 8  0

Hướng dẫn:

Vì 5x 1 0 5x 1 6 8 0



  



Mà theo bài ra 5x 1  6y 8  0(2)

Từ (1) và(2) suy ra 5x  1 6y 8  0 (3)

Giải như dạng 2

Dạng 4 : ( )A x  B x( ) b

Cách giải:

Bước 1: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối (trên bảng xét dấu

xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn)

Bước 2: Căn cứ bảng ta xét từng khoảng giải bài toán (đối chiếu điều kiện

tương ứng)

Bài tập 1 : Tìm x biết x+1 +  x-1  = 10

Bước 1: Lập bảng mở dấu giá trị tuyệt đối: Trước hết cần xác định

nghiệm của nhị thức: x+1 = 0  x= -1 và x- 1 = 0  x = 1

Trên bảng xét dấu xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn

Ta có bảng sau:

x -1 1

x+1 - 0 + +

x -1 - - 0 +

Bước 2 : Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá

trị của biến Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau:

Nếu x < -1 ta có x 1 (x 1) và x 1  x 1 

Đẳng thức trở thành -x-1-x + 1 =10

 -2x = 10

 x= - 5 (TMĐK)

Nếu - 1  x  1 ta có x 1 1 x   và x 1 x 1  

Đẳng thức trở thành x + 1 +1 – x = 10

 2 = 10 (vô lý)

Nếu x > 1 ta có x 1 x 1   và x 1 x 1  

Đẳng thức trở thành x + 1 + x - 1 = 10

2x = 10

x = 5 (TMĐK)

Vậy x = - 5 và x = 5 là giá trị cần tìm

Dạng 5: A x( )  B x( ) C x( ) Đối với dạng toán này chúng ta thực hiện tương tự như dạng toán trên đó là lập bảng xét dấu biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối thành biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối

Bài tập 1: Tìm x biết rằng x  1 x 32x  1 (1)

Hướng dẫn: Ta có x – 1 = 0  x 1 và x 3 0   x 3

Ta có bảng xét dấu các đa thức x - 1 và x - 3 dưới đây:

Xét khoảng x < 1 ta có: (1)  (1 – x) + (3 – x) = 2x – 1

 -2x + 4 = 2x – 1  x = 5

4 (KTMĐK) Xét khoảng 1  x < 3 ta có: (1)  (x – 1) + (3 – x) = 2x – 1

 2 = 2x – 1

 x = 3

2 (TMĐK) Xét khoảng x  3 ta có: (1)  (x – 1) + (x – 3 ) = 2x – 1

 - 4 = -1 (Vô lí)

Kết luận: Vậy x = 3

2

Bài tập 2: Tìm x, biết: x 2  x 3   x 5  4x (1)

Dạng này cũng nên vận dụng tính chất f(x)  0 (nhiều HS sẽ thường quên và vận dụng cách lập bảng xét dấu hoặc bỏ dấu giá trị tuyệt đối và chia ra

ba trường hợp để giải sẽ mất nhiều thời gian và dễ dẫn tới sai sót trong quá trình giải)

Hướng dẫn: Vì x+3  0 , x+3  0 và x+5  0 với x  R nên

x    x 

Do đó 4 x   0 x  0

Với x  0 (1)  x       2 x 3 x 5 4x  3x 4x   10  x  10

Ta thấy giá trị x =10 thỏa mãn điều kiện x  0 Vậy x = 10

2.2.5 Các bài toán tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức có chứa giá trị tuyệt đối.

Cách 1: Dùng định nghĩa  



A nÕu A 0 A

A nÕu A 0 để bỏ dấu GTTĐ, rồi chia ra hai trường hợp để giải, sau đó đối chiếu điều kiện để trả lời

Cách 2: Xét f(x) < m thì - m < f(x) < m; (f(x) nằm trong khoảng)

Xét f(x)  > m thì f(x) > m hoặc f(x) < - m (f(x) nằm ngoài khoảng)

x 1 3

x – 1 - 0 + +

x – 3 - - 0 +