skkn một số giải pháp giúp học sinh giỏi toán 7 giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối

1 PHẦN MỞ ĐẦU1.1 Lý do chọn sáng kiến

Trong chương trình giáo dục phổ thông 2018, môn Toán có vai trò, vị trívà ý nghĩa quan trọng Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh hình thànhnhững tri thức và kỹ năng toán học cần thiết, môn toán còn góp phần phát triểnnăng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hóa cũng nhưrèn luyện tính cẩn thận, chính xác, tính kỉ luật, tính sáng tạo Từ đó góp phầngiúp học sinh phát triển nhân cách, hoàn thiện bản thân Chính vì thế môn toánlà môn học được các nhà trường chú trọng, được phụ huynh học sinh quan tâmđầu tư Tuy nhiên muốn học sinh giỏi toán thì cả giáo viên và bản thân học sinhcần phải có phương pháp dạy và học phù hợp.

Với mục tiêu đào tạo thế hệ trẻ thành những con người phát triển toàndiện cả phẩm chất và năng lực thì công tác bồi dưỡng học sinh giỏi luôn đượcchú trọng và đầu tư nhằm nâng cao chất lượng mũi nhọn, bồi dưỡng nhân tài, cótác dụng thiết thực và mạnh mẽ nâng cao trình độ chuyên môn nghiệp vụ của độingũ các thầy cô giáo, nâng cao chất lượng giáo dục góp phần khẳng định thươnghiệu của nhà trường, của giáo dục các cấp, tạo ra khí thế hăng say vươn lêntrong học tập trong học sinh.

Trong những năm gần đây, bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối luôn xuấthiện trong các đề thi HSG môn Toán 7 Tuy nhiên, trong quá trình bồi dưỡnghọc sinh giỏi Toán 7, tôi nhận thấy học sinh còn rất nhiều vướng mắc khi giảicác bài toán này Lí do là các em vận dụng tính chất, định nghĩa giá trị tuyệt đốichưa chắc, các em chưa phân biệt được các dạng toán và áp dụng tương tự vàobài toán khác, việc trình bày lời giải bài toán đối với các em chưa chặt chẽ,thiếu logic, thiếu trường hợp xảy ra Chính vì vậy, để khắc phục những khókhăn cho học sinh khi gặp và giải toán dạng này tôi đã suy nghĩ, tìm tòi và ápdụng vào trong giảng dạy thấy có hiệu quả cao, nên tôi mạnh dạn viết sáng

kiến kinh nghiệm “Một số giải pháp giúp học sinh giỏi Toán 7 giải các bàitoán chứa dấu giá trị tuyệt đối” với mục đích giúp cho học sinh giải tốt các

bài toán dạng này.

1.2 Điểm mới đề tài

Trong sáng kiến này tôi đã đưa ra các dạng bài toán trong một chuyên đềnhằm phát triển tư duy cho học sinh, các giải pháp và những hoạt động cụ thểtrong quá trình hướng dẫn học sinh khá giỏi giải bài toán chứa dấu giá trị tuyệtđối.

Qua việc áp dụng sáng kiến này giúp cho học sinh xác định đúng các dạngtoán, nắm chắc các phương pháp giải và lựa chọn phương pháp giải tối ưu nhất.

Hệ thống bài tập trong đề thi học sinh giỏi khá đa dạng và phong phú, cótrong nhiều tài liệu khác nhau, nếu không có phương pháp giải thích hợp, dễhiểu thì dễ gây cho học sinh tâm lý “sợ toán” chán nản, khó tiếp thu và từ đó chỉchú ý vào thủ thuật giải mà quên đi luyện phương thức tư duy, gây không ít khókhăn cho giáo viên

Học sinh làm bài tập rập khuôn, máy móc để làm mất đitính tích cực, độc lập, sáng tạo của bản thân.

Không ít học sinh thực sự chăm học nhưng chưa có phươngpháp học tập phù hợp, chưa tích cực chủ động chiếm lĩnh kiếnthức nên hiệu quả học tập chưa cao

Khi giải các bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh thường tìmđiều kiện không chính xác Khi tìm được giá trị của x thì quên đối chiếu điềukiện hoặc kết hợp các điều kiện không đúng

Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm: “Một số giải pháp giúp họcsinh giỏi Toán 7 giải các bài toán chứa dấu giá trị tuyệt đối”, đầu năm học

2022-2023 tôi đã tiến hành khảo sát đội tuyển học sinh giỏi tại trường tôi côngtác sau hai buổi dạy chuyên đề này, tôi cho học sinh làm bài kiểm tra 45 phútvới nội dung như sau:

Bài 1 (2,0 điểm): Tính giá trị biểu thức 3x22x 1 với x 12

Bài 2 (4,5 điểm): Tìm x, biết:

a) 2x 35b) 2x 12x3c) 2x 3 3

Bài 3 (3,5điểm): Tìm giá trị nhỏ nhất của A 5 1 4x 1

Qua bài làm tôi thấy học sinh còn rất lúng túng về phương pháp giải, chưanắm vững phương pháp giải đối với từng dạng bài, quá trình giải chưa chặt chẽ,

chưa kết hợp được kết quả tìm được với điều kiện xảy ra, chưa lựa chọn đượcphương pháp giải nhanh gọn, chưa tư duy được nên kết quả chưa cao.

Kết quả đạt được như sau:Số

lượngĐiểm dưới 5Điểm 5 – 6,4Điểm 6,5 – 7,9Điểm 8 – 10

Nguyên nhân của thực tế trên:

Đây là dạng toán mới và khó đối với các em học sinh lớp 7, học sinh chưađược trang bị phương pháp giải do vậy các em dễ nhầm lẫn trong quá trình làmbài dẫn đến kết quả thấp Mặt khác trong chương trình sách giáo khoa rất ít bàitập để vận dụng giải các dạng toán về giá trị tuyệt đối.

Học sinh chưa vận dụng được lí thuyết vào làm bài tập nên một số học sinhgiải sai, đối với những em giải được thì còn yếu trong lập luận cũng như cáchtrình bày do vậy các em dễ nhầm lẫn trong quá trình làm bài dẫn đến kết quảthấp.

Khả năng hiểu và phân tích các dạng toán để làm bài tập của học sinh chưatốt, các em chưa phát huy hết năng lực của mình

2 Các giải pháp giúp học sinh giỏi Toán 7 giải các bài toán chứa dấugiá trị tuyệt đối.

2.1 Giải pháp 1: Hệ thống lại những kiến thức cơ bản:

a) Khái niệm giá trị tuyệt đối: Với số thực a tuỳ ý, ta có: Khoảng cách từ

điểm a trên trục số đến gốc 0 là giá trị tuyệt đối của số a, kí hiệu a

 

a nÕu a 0a a nÕu a < 0

0 nÕu a = 0

b) Với mọi a,b  Rta có:

a  0 Dấu “=” xảy ra  a = 0.a  a Dấu “=” xảy ra  a  0.a  - a Dấu “=” xảy ra a  0.

a + b  a +b Dấu “=” xảy ra  ab  0.

a b a  b Dấu “=” xảy ra  a b 0  hoặc a b 0  c) Với m > 0 thì:

a < m  m a m

    

a ma m

a m

2.2 Giải pháp 2: Phân chia các dạng toán:

Khi hướng dẫn học sinh giải bài, tôi đưa ra hệ thống câu hỏi giúp học sinhnhận diện đề và nắm được phương pháp làm bài Trong đề tài này tôi đưa ra mộtsố dạng cơ bản sau:

2.2.1 Các bài toán về tính giá trị của một biểu thức.

Giáo viên cần phải cho học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa bàitoán tính giá trị một biểu thức đơn thuần với bài toán tính giá trị một biểu thứccó chứa dấu giá trị tuyệt đối để cho học sinh hình thành được phương pháp giảicác bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối Sau đó sử dụng định nghĩa về giá trịtuyệt đối để giải.

Bài tập 1: Tìm giá trị của các biểu thức A = 6x3 3x2 2 x 4 với2

Khi giải bài toán này học sinh phải biết thay x 23

 vào biểu thức A sauđó sử dụng định nghĩa giá trị tuyệt đối để bỏ giá trị tuyệt đối rồi tính giá trị củabiểu thức A.

Hướng dẫn: Với x 23

Hướng dẫn: Vì x = 1

2 

Với x 12

 ta có:

22

Với x 12

 ta có:

2.2.2 Các bài toán về rút gọn biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Đối với dạng toán này giáo viên cần khắc sâu cho học sinh kiến thức vềgiá trị tuyệt đối của một biểu thức chứa biến.

A(x) nÕu A(x) 0A(x)

A(x) nÕu A(x) < 0

Giá trị tuyệt đối của một biểu thức bằng chính nó (nếu biểu thức khôngâm) hoặc bằng một biểu thức đối của nó (nếu biểu thức âm) Vì thế khi bỏ dấugiá trị tuyệt đối của một biểu thức cần xét giá trị của biến làm cho biểu thứcdương hay âm Dấu của các biểu thức thường được viết trong bảng xét dấu vàgiáo viên phải hướng dẫn kĩ cho học sinh cách lập bảng xét dấu.

x5 nÕu x5x5

x5 nÕu x5Với x  5 thì A = 3(2x - 1) - (x - 5)

A = 6x - 3 - x + 5 A = 5x +2.

Với x < 5 thì A = 3(2x - 1) - (-x + 5) = 6x - 3 + x - 5 = 7x - 8Vậy A = 5x +2 nếu x  5 , A= 7x – 8 nếu x < 5.

Ta có 4x 1 0 4x 1 x 14

      vàx 3 0   x 3 , ta có bảng xétdấu sau:

x 1/4 3

4x-1 - 0 + + +x-3 - - - 0 +

14x 1 nÕu x

44x 1

14x 1 nÕu x

x3 nÕu x3x3

12x5 nÕu x

B76x nÕux34

- Nếu m > 0 thì ta có: A(x) m A(x) m

13x 5 4 3x 1

Sau đó giải như bài toán 1

Dạng 2: A(x) B(x)(trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x)Cách giải:

Cách 1: Với điều kiện B(x) 0 ta có: A(x)B(x) A(x) B(x)A(x)B(x)

   

8 2x x 28 2x (x 2)

Sau đó giải.

Cách 2: 8 2x =8 2x 8 2x 8 2x 0 x 42x 8 8 2x 0x 4

      

Chia ra 2 trường hợp để giải.

Cách giải:

Vận dụng tính chất: 

Bài tập 1: Tìm x biết: 3x +1 = 2x-5Hướng dẫn: Ta có

Dạng 2: A  B 0

Với dạng toán này giáo viên nên hướng dẫn học sinh vận dụng tính chấtkhông âm của giá trị tuyệt đối, giá trị tuyệt đối của một số là một số không âm.Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi và chỉ khicác số hạng của tổng đồng thời bằng 0.

* Cách giải: A B 0

 

 

Do đó 2x 2y 50 khi 2x 20 và y 50 Với 2x 20 khi 2x-2 = 0 suy ra x = 1

Với y 50 khi y+5 = 0 suy ra y=-5Vậy x = 1 và y=-5 là giá trị cần tìm.

Dạng 3: A B 0

Cách giải:

(2)

Theo bài ra A  B 0 A B 0 A 0 A 0B 0

Vì 5x 1 0 5x 1680

  

Mà theo bài ra 5x16y80(2) Từ (1) và(2) suy ra 5x 16y80 (3)Giải như dạng 2.

Dạng 4 : ( )A x  B x( ) b

Cách giải:

Bước 1: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối (trên bảng xét dấu

xếp theo thứ tự giá trị của x phải từ nhỏ đến lớn)

Bước 2: Căn cứ bảng ta xét từng khoảng giải bài toán (đối chiếu điều kiện

Bước 2 : Dựa vào bảng xét dấu các trường hợp xảy ra theo các khoảng giá

trị của biến Cụ thể: Dựa vào bảng xét dấu ta có các trường hợp sau: Nếu x < -1 ta có x 1 (x 1) và x 1  x 1 

Đẳng thức trở thành -x-1-x + 1 =10  -2x = 10

 x= - 5 (TMĐK)

Nếu - 1  x  1 ta có x 1 1 x   và x 1 x 1   Đẳng thức trở thành x + 1 +1 – x = 10

 2 = 10 (vô lý) Nếu x > 1 ta có x 1 x 1   và x 1 x 1  

Đẳng thức trở thành x + 1 + x - 1 = 10 2x = 10

x = 5 (TMĐK) Vậy x = - 5 và x = 5 là giá trị cần tìm.

Dạng 5: A x( ) B x( )C x( ) Đối với dạng toán này chúng ta thực hiệntương tự như dạng toán trên đó là lập bảng xét dấu biến đổi được biểu thức chứadấu giá trị tuyệt đối thành biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối.

Bài tập 1: Tìm x biết rằng x  1 x 32x  1 (1)

Hướng dẫn: Ta có x – 1 = 0  x 1 và x 3 0   x 3 Ta có bảng xét dấu các đa thức x - 1 và x - 3 dưới đây:

Xét khoảng x < 1 ta có: (1)  (1 – x) + (3 – x) = 2x – 1  -2x + 4 = 2x – 1  x = 5

4 (KTMĐK)Xét khoảng 1  x < 3 ta có: (1)  (x – 1) + (3 – x) = 2x – 1  2 = 2x – 1

 x = 3

2 (TMĐK)Xét khoảng x  3 ta có: (1)  (x – 1) + (x – 3 ) = 2x – 1

 - 4 = -1 (Vô lí)Kết luận: Vậy x = 3

2

Bài tập 2: Tìm x, biết: x2x 3 x54x (1)

Dạng này cũng nên vận dụng tính chất f(x)  0 (nhiều HS sẽ thườngquên và vận dụng cách lập bảng xét dấu hoặc bỏ dấu giá trị tuyệt đối và chia raba trường hợp để giải sẽ mất nhiều thời gian và dễ dẫn tới sai sót trong quá trìnhgiải).

Hướng dẫn: Vì x+3  0 , x+3  0 và x+5  0 với x  R nên

x    x 

Do đó 4x 0x0

Với x  0 (1)x     2x3x5 4x3x 4x10x10

Ta thấy giá trị x =10 thỏa mãn điều kiện x 0 Vậy x = 10.

2.2.5 Các bài toán tìm giá trị của biến trong bất đẳng thức có chứagiá trị tuyệt đối.

Cách 1: Dùng định nghĩa  

A nÕu A0A

A nÕu A0 để bỏ dấu GTTĐ, rồi chia rahai trường hợp để giải, sau đó đối chiếu điều kiện để trả lời.

Cách 2: Xét f(x) < m thì - m < f(x) < m; (f(x) nằm trong khoảng)

Xét f(x)  > m thì f(x) > m hoặc f(x) < - m (f(x) nằm ngoài khoảng)x 1 3

x – 1 - 0 + + x – 3 - - 0 +

Bài tập 1: Tìm x biết: 5x - 3 < 2 (1).Cách giải:

35x 3 nÕu x

55x 3

35x 3 nÕu x

5

Nếu x  3

5 (*) thì (1) trở thành 5x - 3 < 2  x < 1 (**)Từ (*) và (**)  3

5  x < 1 (2) Nếu x <3

5 (3) thì (1) trở thành 3 - 5x < 2  x > 15 (4)Từ (3) và (4)  1

5< x < 3

5 (5) Từ (2) và (5) ta suy ra: 1

5 < x < 1.

Nhận xét: Qua hai cách giải trên chúng ta thấy nếu làm cách 1 thì dễ hiểu

hơn, giải ngắn gọn hơn và ít nhầm lẫn

Vậy x 4 hoặc x 1 là giá trị cần tìm.

Giáo viên chốt lại cách giải : Qua 2 ví dụ trên nên vận dụng tính chất: Với a làhằng số dương:

Nếu f(x)  < m thì - m < f(x) < m.

Nếu f(x)  > m thì f(x) > m hoặc f(x) < - m

Hoặc ta có thể bỏ dấu GTTĐ và chia hai trường hợp để giải.

2.2.6 Các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thứccó chứa dấu giá trị tuyệt đối (hay còn gọi là bài toán tìm cực trị)

Đối với các biểu thức chứa một dấu giá trị tuyệt đối giáo viên hướng dẫncho học sinh vận dụng được kiến thức a  0 với a  R để giải, với các biểu thức

chứa hai giá trị tuyệt đối trở lên ngoài việc vận dụng a 0 ta còn áp dụng bài toán phụsau: Chứng minh rằng: a+ba + b

Áp dụng tính chất: a a a,a với mọi a, ta có(1)

 

 

 

aba bbb

 

  

Ngoài ra, áp dụng tính chất a  a

Bài tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biếu thức: A = 23x - 1 - 4

Hướng dẫn: Đưa về bất đẳng thức " " Khi đó dấu “=” xảy ra là GTNN cầntìm.

Ta có 3x - 1  0 với x  R.

 23x - 1  0 với x  R.

 A = 2 3x - 1 - 4  - 4 với x  R.Dấu “=” xảy ra  3x - 1 = 0 hay x = 1

3.Min A = - 4  x = 1

Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B 10 4 x 2

Hướng dẫn: Đưa về bất đẳng thức " " Khi đó dấu “=” xảy ra là GTLN cầntìm.

Với  x, ta có x 2  04 x 20 Do đó 10 4 x 2 10

B=10 khi và chỉ khi x - 2 =0, tức là x = 2.

Vậy GTLN của B bằng 10 khi và chỉ khi x=2

Bài tập 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B = x - 3 + x - 5Hướng dẫn: Áp dụng bài toán phụ và tính chất a   a , ta có:B =  x - 3  +  x - 5  =  x - 3  +  5 - x    x - 3 + 5 - x

Vậy Min C = 4 khi 3 x 4

Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C = x 36

 với x là sốnguyên.

Hướng dẫn: Xét x 3 thì C > 0 Xét x 3 thì do x Z nên x 0;1;2Với x 0  C2

Với x 1  C3Với x  2 C6

Vậy GTNN của C = - 6  x 2

2.2.7 Một số bài toán liên quan đến giá trị tuyệt đối.

Bài tập 1: Với giá trị nào của a và b, ta có đẳng thức a(b 2) a(2 b)?

Hướng dẫn: Đối với bài toán này ta áp dụng A   A vàA A A 0

Ta biến đổi a(b 2) thành a(2 b) để đưa đẳng thức đã cho về dạnga(2 b) a(2 b) (1)

Ta biết rằng A A A 0 , do đó (1) xảy ra khi và chỉ khi a 2 b   0 Do đó có 4 trường hợp xảy ra

a) a = 0, b tùy ý c) b=2, a tùy ýb) a > 0, b < 2 d) a< 0, b>2

Bài tập 2: Tìm các số a và b, sao cho a b a  b (1)

Hướng dẫn: Xét 2 trường hợp:

Trường hợp b > 0 Khi đó (1) trở thành a b a  b Lại xét hai trườnghợp

+ Nếu a 0 thì a +b = a – b tức là b = -b Đẳng thức này không xảy ra vìvế trái dương, vế phải âm.

+ Nếu a < 0 thì a + b = -a -b tức là a = -b.

Trường hợp b 0 Khi đó (1) trở thành a b a  b a a  a 0Kết luận: a 0, b 0  hoặc a < 0, b = -a

Qua các dạng bài toán trên tôi rút ra cho học sinh: Để giải các bài tậpliên quan đến giá trị tuyệt đối thì việc mở dấu giá trị tuyệt đối là “Chìa khoávặn năng” để mở (giải) tất cả các bài tập Tuy nhiên có những bài nếu mở dấugiá trị tuyệt đối thì sẽ rất phức tạp và dễ sai sót Vì vậy tuỳ từng dạng bài đểphân tích lực chọn cách giải phù hợp và đơn giản nhất

2.3 Hiệu quả của sáng kiến:

Sau khi vận dụng đề tài của mình tôi đã khảo sát chất lượng với kết quảđạt được như sau:

3 PHẦN KẾT LUẬN

3.1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi áp dụng đề tài này vào quá trình giảng dạy tôithấy các em đã có sự tiến bộ rõ rệt Khi gặp các bài toán chứadấu giá trị tuyệt đối học sinh không còn lúng túng mà đã biếtđịnh hướng về phương pháp giải, kĩ năng phân tích đối với cácbài toán một cách thành thạo Học sinh có khả năng tự độc lậpsuy nghĩ, vận dụng các kiến thức đã học một cách linh hoạt,sáng tạo, kết hợp một cách nhuần nhuyễn, mềm dẻo kĩ năngphân tích và tổng hợp để tìm ra lời giải một cách nhanh nhất,ngắn gọn nhất Thông qua việc hướng dẫn học sinh tìm tòi, sángtạo các bài toán mới từ những bài toán đã học, đã gặp giúp học