các dạng bài tập tích phân toán 12 ctst

Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo TÍNH TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ DẠNG 1 TÍNH TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM SƠ CẤP PHẦN I.. Tích phân - Bài tập theo

Trang 1

Đại số 12 - Chương 4 – Nguyên hàm Tích phân - Bài tập theo chương trình mới 2025 Chân Trời Sáng Tạo

BÀI 2 TÍCH PHÂN

1 Khái niệm tích phân

a Diện tích hình thang cong

Nếu hàm số f x liên tục và không âm trên đoạn ( ) [ ]a b thì diện tích ; S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y f x= ( ), trục hoành và hai đường thẳng x a x b= , = được tính bởi:

( ) ( )

S F b F a= −trong đó F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên đoạn ( ) [ ]a b ;

b Khái niệm tích phân

Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; Nếu F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn

[ ]a b thì hiệu số ; F b F a( )− ( )được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f x( ), kí hiệu b ( )

• Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào f và các cận a b, mà không phụ thuộc vào

biến x hay t, nghĩa là b ( ) b ( )

f x dx= f t dt

Trang 2

• Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số f x liên tục và không âm trên đoạn ( ) [ ]a b thì ; b ( )

Trang 3

TÍNH TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ

DẠNG 1 TÍNH TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM SƠ CẤP

Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

0dx C=

∫

C x

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

C x

∫cos sin

C x

C x dx

Trang 4

Câu 1 Tính tích phân

2 0

x x

Trang 5

d

b b

a b a

a

f x x

Trang 6

của hàm số f x( ) trên đoạn [ ]a b;

D Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm f x'( ) và f x'( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; thì

( ) ( ) b '( )

a

f b − f a =∫ f x dx

Câu 20 Cho hàm f x là hàm liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b với ; a b< và F x là một nguyên hàm của ( )

hàm f x trên ( ) [ ]a b Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? ;

Trang 7

PHẦN III Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án

Câu 22 Với ,a b là các tham số thực Tính tích phân ( 2 )

Trang 8

Câu 31 Tính 2

3 2 6

1sin

2

x x

Trang 9

Tính tích phân: b ( )

a

I =∫ f x dx?

Phương pháp

Bước 1 Xét dấu f x( ) trên đoạn [ ]a b;

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu trên đoạn [ ]a b; để khử f x Sau đó sử dụng các phương pháp tính tích ( )

Trang 10

Trang 11

Trang 12

BÀI 2 TÍCH PHÂN

1 Khái niệm tích phân

a Diện tích hình thang cong

Nếu hàm số f x liên tục và không âm trên đoạn ( ) [ ]a b thì diện tích ; S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y f x= ( ), trục hoành và hai đường thẳng x a x b= , = được tính bởi:

( ) ( )

S F b F a= −trong đó F x là một nguyên hàm của ( ) f x trên đoạn ( ) [ ]a b ;

b Khái niệm tích phân

Cho hàm số f x( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; Nếu F x( ) là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên đoạn

[ ]a b thì hiệu số ; F b F a( )− ( )được gọi là tích phân từ a đến b của hàm số f x( ), kí hiệu b ( )

• Tích phân của hàm số f từ a đến b chỉ phụ thuộc vào f và các cận a b, mà không phụ thuộc vào

biến x hay t, nghĩa là b ( ) b ( )

f x dx= f t dt

Trang 13

• Ý nghĩa hình học của tích phân

Nếu hàm số f x liên tục và không âm trên đoạn ( ) [ ]a b thì ; b ( )

Trang 14

TÍNH TÍCH PHÂN CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ

DẠNG 1 TÍNH TÍCH PHÂN SỬ DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM SƠ CẤP

Nguyên hàm của một hàm số sơ cấp

Nguyên hàm của hàm số lũy thừa

0dx C=

∫

C x

Nguyên hàm của hàm số lượng giác

C x

∫cos sin

C x

C x dx

Trang 15

Câu 1 Tính tích phân

2 0

I = ∫ x + dx

A I =5 B I =6 C I = 2 D I = 4

Lời giải Chọn B

0 0

∫ với a b c, , ∈,c<9 Tính tổng S a b c= + +

Lời giải Chọn A

Trang 16

Lời giải Chọn C

x x

2 21

Trang 17

4 4

1

∫ (a b c ∈ Khi đó giá trị của , , ) P a= +2b+3c là

Lời giải Chọn B

2 3 3

Trang 18

Trang 19

d

b b

a b a

a

f x x

Trang 20

của hàm số f x( ) trên đoạn [ ]a b;

D Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm f x'( ) và f x'( ) liên tục trên đoạn [ ]a b; thì

Câu 20 Cho hàm f x là hàm liên tục trên đoạn ( ) [ ]a b với ; a b< và F x là một nguyên hàm của ( )

hàm f x trên [ ]( ) a b Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? ;

Câu 21 Các mệnh đề sau đây đúng hay sai

Trang 21

PHẦN III Câu trắc nghiệm trả lời ngắn Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ trả lời đáp án

Câu 22 Với ,a b là các tham số thực Tính tích phân ( 2 )

Trang 22

Câu 30 Tính 3 2

2 6

Trang 23

Trả lời: ………

Lời giải Đáp án:

Câu 31 Tính 2

3 2 6

1sin

a

a b b

2024 1x x

Trang 24

2

x x

Câu 37 Tính 2 3 1

2 1

DẠNG 2 TÍCH PHÂN HÀM TRỊ TUYỆT ĐỐI

Trang 25

Tính tích phân: b ( )

a

I =∫ f x dx?

Phương pháp

Bước 1 Xét dấu f x( ) trên đoạn [ ]a b;

Bước 2 Dựa vào bảng xét dấu trên đoạn [ ]a b; để khử f x Sau đó sử dụng các phương pháp tính tích ( )

I =∫ x− dx

A I = −2 B I =4 C I =2 D I =0

Lời giải Chọn C

02

Trang 26

Trang 27

Trang 28

Trang 29

A m∈( )4;6 B m∈( )2;4 C m∈( )3;5 D m∈( )1;3

Lời giải Chọn D

Trang 30

Câu 51 Tính tích phân 3 2

31

Trang 31

Lời giải Đáp án:

Trang 32

CHỦ ĐỀ 2 TÍCH PHÂN CÓ ĐIỀU KIỆN

Trang 33

Câu 9 Cho hàm số ( )f x Biết (0) 4 f = và ( ) 2cos2 3,

2

x

f x′ = + ∀ ∈  , khi đó x 4

0( )

3( )

3

14

Trang 34

Câu 15 Cho hàm số ( ) 2 khi 2

3h

Trang 35

Câu 22 Có hai giá trị của số thực a là a , 1 a (2 0 a a< < ) thỏa mãn 1 2 ( )

Trang 36

CHỦ ĐỀ 2 TÍCH PHÂN CÓ ĐIỀU KIỆN

1 1

−

∫

Trang 37

Câu 4 Biết F x ( ) = x2 là một nguyên hàm của hàm số f x trên  Giá trị của ( ) 3[ ]

Trang 38

Lời giải Chọn A

Trang 39

3( )

3

14

2 2

Trang 40

Trang 41

Trang 42

23

I =∫ f t dt+ ∫ f t dt

Trả lời: ………

Lời giải Đáp án: I =84

Trang 43

m n

a b c

Trang 44

Câu 22 Có hai giá trị của số thực a là a , 1 a (2 0 a a< < ) thỏa mãn 1 2 ( )

0 0

Vậy có 3 giá trị nguyên của mthỏa mãn yêu cầu

Câu 25 Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của a để ∫0a(2x−3 d) x≤4?

Trang 45

Trả lời: ………

Lời giải Đáp án: có 4 giá trị của a với : a ∈{1;2;3;4}

Vậy có 4 giá trị của a thỏa đề bài

Câu 26 Có bao nhiêu số thực b thuộc khoảng (π π;3 ) sao cho b4cos 2xdx 1

Trang 46

CHỦ ĐỀ 3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN BIẾN ĐỔI CƠ BẢN

Trang 47

I =∫ f x x

4

I = D I =13

Trang 48

Câu 20 Cho hàm số f x liên tục trên ( )  và 4 ( )

b b

a b a

Trang 49

Trang 50

I =∫ f x g x dx+

Trả lời: ………

Câu 33 Cho 3

0( ) x 4

f x d =

0)

Trang 51

Trang 52

CHỦ ĐỀ 3 TÍCH PHÂN HÀM ẨN BIẾN ĐỔI CƠ BẢN

f x g x−

Trang 53

Trang 54

Trang 55

Trang 56

Theo tính chất của tích phân, ta có: 3 ( ) 4 ( ) 4 ( )

f x dx= f x dx+ f x dx+ f x dx

Trang 57

PHẦN II Câu trắc nghiệm đúng sai Trong mỗi ý A), B), C), D) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai

Câu 23 Cho hai hàm f , g liên tục trên K và a , b là các số bất kỳ thuộc K Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?

b b

a b a

Trang 58

Trang 59

Trang 60

Trang 61

f x

1( )

f x

0( )

f x

∫ dx 1

0( )

Trang 62

200

⇔∫ f x x= −x 2 ( )

0

10 8 2d

I =∫ f x g x dx+

Trả lời: ………

Lời giải Đáp án: I =5

Trang 63

Trang 64

Trang 65

Trang 66

CHỦ ĐỀ 4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN BIẾN ĐỔI PHỨC TẠP

Cần nhớ các công thức đạo hàm của hàm hợp

n n

Trang 67

1( )

n n

Trang 68

Câu 1 Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên ( )  thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 2

2

1( )

Trang 69

Câu 8 Cho hàm số f x( ) thỏa mãn ( ) 2 ( ) ( )

Trang 70

Trang 71

Trang 72

MỘT SỐ DẠNG KHÁC

Trang 73

Câu 18 Cho hàm số y f x= ( ) có đạo hàm trên  thỏa mãn ( ) ( )

Trang 74

Câu 24 Cho hàm số y f x= ( )xác định và có đạo hàm f x′( ) liên tục trên [1;3]; f x( )≠ ∀ ∈0, x [ ]1;3 ;

Trang 75

CHỦ ĐỀ 4 TÍCH PHÂN HÀM ẨN BIẾN ĐỔI PHỨC TẠP

Cần nhớ các công thức đạo hàm của hàm hợp

n n

Trang 76

1( )

n n

Trang 77

Câu 1 Cho hàm số f x nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên ( )  thỏa mãn ( ) ( ) ( ) 2

Trang 78

2

1( )

Tiêu đề	Tính tích phân của một số hàm số
Trường học	Chân Trời Sáng Tạo
Chuyên ngành	Đại số
Thể loại	Bài tập
Năm xuất bản	2025

Định dạng
Số trang	120
Dung lượng	1,77 MB