(SKKN HAY NHẤT) một số DẠNG bài tập TÍCH PHÂN THƯỜNG gặp ở lớp 12

BM02-LLKHSKKN SƠ LƢỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN: Họ tên: NGUYỄN THỊ THANH Ngày tháng năm sinh: 20 - 04 - 1987 Nam, nữ: NỮ Địa chỉ: Tổ 1, khu 3, TT Gia Ray, huyện Xuân Lộc, tỉnh Đồng Nai Điện thoại: 0906992829 Fax: - E-mail: Chức vụ: Giáo viên Nhiệm vụ giao: giảng dạy mơn Tốn lớp 12C5, 11B9 11B10 Đơn vị cơng tác : Trường THPT Xn Hưng II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO: - Học vị (hoặc trình độ chun mơn, nghiệp vụ) cao nhất: Đại học - Năm nhận bằng: 2010 - Chuyên ngành đào tạo : Toán học III KINH NGHIỆM KHOA HỌC: Lĩnh vực chun mơn có kinh nghiệm: Giảng dạy Tốn Số năm có kinh nghiệm: 06 năm Các sáng kiến kinh nghiệm có năm gần đây: Các dạng tập viết phương trình đường thẳng; dạng tập liên quan đến khảo sát hàm số LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tên sáng kiến kinh nghiệm: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN THƢỜNG GẶP Ở LỚP 12 I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: - Trong năm học vừa qua phân công giảng dạy lớp 12 Đa số học sinh cịn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng toán để học sinh nắm tốt Trong chương trình tốn THPT, cụ thể phân mơn giải tích 12 học sinh tiếp cận với vấn đề tích phân Tuy nhiên, chương trình SGK giải tích 12 hành trình bày chương III, phần tập đưa sau học hạn chế Mặt khác số tiết phân phối chương trình cho phần q nên q trình giảng dạy giáo viên chưa thể đưa nhiều tập cho nhiều dạng để hình thành kĩ giải cho học sinh Trong đó, thực tế tốn tích phân phong phú đa dạng đặc biệt đề thi Đại học – Cao đẳng – THCN, em gặp lớp tốn tích phân mà có số em biết phương pháp giải trình bày cịn lúng túng chưa gọn gàng, sáng sủa Vì tơi tổng hợp số dạng tập để giúp em học sinh lớp 12 tự học để nâng cao kiến thức, tự ôn tập để giải tốt đề thi Đại học – Cao đẳng –THCN II THỰC TRẠNG TRƢỚC KHI THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI: Thuận lợi: Học sinh truyền thụ kiến thức tích phân Được hỗ trợ giáo viên tổ Khó khăn: Học sinh chưa có thói quen tìm tịi phương pháp giải gặp toán tổng quát Cần nhiều thời gian để tạo thói quen học tập cho học sinh Số liệu thống kê: Đang áp dụng để giảng dạy cho học sinh 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com III NỘI DUNG ĐỀ TÀI: Cơ sở lí luận: - Nhiệm vụ trung tâm trường THPT hoạt động dạy thầy hoạt động học trò, xuất phát từ mục tiêu đào tạo “Nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài” Giúp học sinh củng cố kiến thức phổ thơng đặc biệt mơn Tốn cần thiết thiếu đời sống người Mơn Tốn mơn học tự nhiên quan trọng khó với kiến thức rộng, đa phần em ngại học môn - Muốn học tốt mơn Tốn em phải nắm vững tri thức khoa học mơn Tốn cách có hệ thống, biết vận dụng lý thuyết linh hoạt vào dạng tập Điều thể việc học đơi với hành, địi hỏi học sinh phải có tư logic Giáo viên cần định hướng cho học sinh học nghiên cứu nơm Tốn cách có hệ thống chương trình phổ thơng, vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Trong SGK giải tích 12 nêu số tập tích phân đơn giản chưa tạo hứng thú, tìm tịi sáng tạo học sinh Vì gặp tốn phức tạo em lúng túng việc tìm lời giải - Do vậy, tơi mạnh dạn đưa sáng kiến kinh nghiệm ( SKKN ) với mục đích giúp cho học sinh THPT vận dụng tìm phương pháp giải gặp tốn tích phân - Trong giới hạn SKKN tơi hướng dẫn học sinh giải số dạng tốn tích phân thường gặp Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: Đưa số tốn tích phân đề phương pháp giải A LÝ THUYẾT Định nghĩa: Cho hàm số f(x) liên tục [a; b] F(x) nguyên hàm b f(x) [a; b] Tích phân từ a đến b f(x) kí hiệu:  f ( x)dx xác định a b công thức:  f ( x)dx  F ( x) b a  F (b)  F (a) a LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Chú ý: a  f ( x)dx  + + b a a b  f ( x)dx   f ( x)dx a Tính chất: b b  kf ( x)dx  k  f ( x)dx + a a b c  + a b b a a a b f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx a b  [f ( x)  g ( x)]dx   f ( x)dx   g ( x)dx + (a  c  b) c Bảng nguyên hàm: Hàm sơ cấp  dx  x  c   x dx   kdx  kx  c x 1 c  1  x dx  ln x  c x dx    c x  e dx  e x x Hàm thƣờng gặp c  du  u  c   (ax  b) dx  1 (ax  b) 1 c a  1  ax  b dx  a ln ax  b  c  (ax  b) dx   ax b  e dx1  1 c a ax  b ax b e c a a x   dx  c  ln a ax  a dx  ln a  c a  sin xdx   cos x  c  sin(ax  b)dx   a cos(ax  b)  c  cos xdx  sin x  c  cos(ax  b)dx  a sin(ax  b)  c x  cos x dx  tan x  c  x 1 1  cos (ax  b) dx  a tan(ax  b)  c Hàm hợp   u du  u 1 c  1  u du  ln u  c u du    c u  e du  e u u c au  a du  ln a  c u  sin udu   cos u  c  cos udu  sin u  c  cos u du  tan u  c LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  sin x dx   cot x  c  sin 1 dx   cot(ax  b)  c (ax  b) a  sin u du   cot u  c Bảng đạo hàm Hàm sơ cấp Hàm hợp u = u(x) (c)  (kx)  k (ku)  ku ( x n )  nx n1 (u n )  nu n1.u 1 ( )   x x u ( )   u u ( x )  x ( u )  u u (a x )  a x ln a (au )  au ln a.u (e x )  e x (eu )  eu u (ln x)  x (log a x)  (ln u )  x ln a u u (log a u )  u u ln a (sin x)  cos x (sin u)  u cos u (cos x)   sin x (cos u)  u sin u (tan x)    tan x cos x (cot x)    (1  cot x) sin x (tan u )  u  u(1  tan u ) cos u (cot x)   u  u(1  cot u ) sin u LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phƣơng pháp tích phân: a Phƣơng pháp đổi biến: Định lí 1: Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [a; b] Giả sử hàm số x   (t ) có đạo hàm liên tục đoạn [ ;  ] cho  ( )  a,  ( )  b a   (t )  b với t [ ;  ] Khi đó:  b  f ( x)dx   f ( (t )). (t )dt a Định lí 2: Cho hàm số f ( x) liên tục đoạn [a; b] Nếu hàm số u  u( x) có đạo hàm liên tục [a; b]   u( x)   , x [a; b] cho f ( x)  g (u( x)).u( x) g (u ) liên tục đoạn [ ;  ] u (b ) b  f ( x)dx   a g (u )du u (a) b Phƣơng pháp tích phân phần: Nếu u  u( x) v  v( x) hai hàm số có đạo hàm liên tục [a; b] thì: b  u( x).v( x)dx  u( x).v( x) b b a a a b Hay   u( x).v( x) dx  udv  uv b b a   vdu a a Công thức lƣợng giác: a) Công thức cộng sin(a  b) = sina.cosb  sinb.cosa cos(a  b) = cosa.cosb  sina.sinb tan(a  b) = tana  tanb tana.tanb LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com b) Công thức nhân sin2a = 2sina.cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a tan2a = 2tana  tan 2a sin3a = 3sina – 4sin3a, cos3a = 4cos3a – 3cosa c) Công thức hạ bậc sin2a =  cos2a  cos2a  cos2a ; cos2a = ; tan2a =  cos2a d) Công thức chia đôi Đặt t  tan a (a  π  k2π ) ta có: 2t 1 t2 sin a  ; cos a  ; 1 t2 1 t2 tan a  2t 1 t2 e) Cơng thức biến đổi tích thành tổng sina.cosb = [sin(a – b) + sin(a + b)] cosa.cosb = [cos(a – b) + cos(a + b)] sina.sinb = [cos(a – b) – cos(a + b)] f) Cơng thức biến đổi tổng thành tích sina + sinb = 2sin ab ab cos 2 cosa + cosb = 2cos ab ab cos 2 sina – sinb = 2cos ab ab sin 2 cosa – cosb = -2sin ab ab sin 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com sin(a  b) tana  tanb = cosa.cosb B BÀI TẬP I MỘT SỐ DẠNG TÍCH PHÂN TÍNH BẰNG PHƢƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN THƢỜNG GẶP: b Đổi biến loại 1:  f ( x)dx a Phương pháp: + Đặt x   (t )  dx   (t )dt + Đổi cận: x  a  t   ; x  b  t    b +  f ( x)dx   f ( (t )). (t )dt a  Dạng 1: 2 n ( a  x ) dx   Phương pháp:    + Đặt : x  a sin t , t    ;   2 Ví dụ: Tính tích phân sau: a) I   dx  x2 b) J    x dx Giải:    a) Đặt x  sin t ( t    ;  )  dx  cos tdt  2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đổi cận: x   t  0; x   I    t  Ta có:    cos tdt     dt  t 06   sin t cos t cos tdt    b) Đặt x  2sin t ( t    ;  )  dx  2cos tdt  2 Đổi cận: x   t  0; x   t     2 J    (2sin t ) 2cos tdt   4sin t 2cos tdt 0   2 0    4sin t cos tdt   2sin 2tdt   cos 2t 02   2 n ( a  x ) dx  Dạng 2:  Phương pháp:   + Đặt: x  a tan t , t  ( ; ) 2 Ví dụ: Tính tính phân sau: dx  x2 a) I   b) I   (9  25 x )dx Giải:   a) Đặt x  tan t , t  ( ; )  dx  (1  tan t )dt 2 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Đổi cận: x   t  0; x   t      (1  tan t )dt    dt  t   tan t 0 I    x  3tan t  x  tan t t  (  ; ) b) Đặt: , 2  dx  (1  tan t )dt   t  ;x  t  Đổi cận: x    27 I   [9  (3 tan t ) ] (1  tan t )dt  (1  tan t)(1  tan t )dt  5   6    27 27 36  10 (1  tan t) d (tan t )  (tan t  tan t )    5 6 b Đổi biến loại 2:  f [ ( x)]. ( x)dx a Phương pháp: + Đặt t   ( x)  dt   ( x) + Đổi cận: x  a  t   (a); x  b  t   (b) b + Khi đó:  a f [ ( x)]. ( x)dx   (b )   (a)  (b ) f (t )dt  F (t )  ( a ) 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Vậy: x2  x  x2 2x J dx  (   )dx 2 2  ( x  2)( x  1) x  x  ( x  1) 1 1 0 x2 2x  dx   dx   dx x  x  ( x  1) 1 1 1 0 x2 2x  dx   dx   dx  J1  J  J x  x  ( x  1) 1 1 1 0 0 J  + Tính 1 x  dx  ln x  1  ln  ln + Tính x2 x x J2   dx   (  )dx   dx   dx x  x  x  x  x  1 1 1 1 0 0 d ( x  1) 1    dx  ln x   dx 1 x2   1 x  x  1 1 0 0 0 1  ln x    dx   ln  J 2 x 1 1 1  Tính J 2  1 x2  dx Đặt x  tan t (   x  Đổi cận: x  1  t   J 2    tan t  dt  tan t   )  dx  (tan t  1)dt ; x 0t 0   dt  t     4 41 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Vậy J   1  ln  J 2   ln  2 + Tính J  2x 1 ( x2  1)2 dx Đặt t  x   dt  xdx Đổi cận: x  1  t  2; x   t  1 dt 1 J3       t t2 2  J  J  J  J  ln  ln  (  ln  ) + Vậy: 2   ln  ln   2 IV TÍCH PHÂN CỦA HÀM SỐ LƢỢNG GIÁC:  Dạng 1:    sin ax.sin bxdx ,  sin ax.cos bxdx ,  cos ax.cos bxdx  Phương pháp giải: Ta dụng công thức biến tích thành tổng [co s( a  b)  cos( a  b)] sin a.cos b  [ sin( a  b)  sin( a  b)] cos a.cos b  [co s( a  b)  cos( a  b)] sin a.sin b  Ví dụ; Tích tích phân sau: 42 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com   2  sin 3x.cos xdx a)  b)  sin x.sin xdx   cos x.cos xdx c) Giải:  a)    sin x.cos xdx  2  [ sin(2 x)  sin x]dx   1  ( cos x  cos x) 0  2    12 b)  sin x.sin xdx   (cos x  cos x) dx 20  1  (sin x  sin 3x)  3   14 c)  cos x.cos xdx   (cos x  cos x) dx 20  1  ( sin 3x  sin x)  21 Dạng 2:  a)  sin  m axdx (n  N , n  1) 43 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp giải; + Nếu m số chẵn : ta dùng công thức hạ bậc sin x   cos x 2 + Nếu m số lẻ: đặt t  cos x , sử dụng công thức sin x  cos x   b)  cos m axdx (n  N , n  1) Phương pháp giải; + Nếu m số chẵn : ta dùng công thức hạ bậc cos x   cos x 2 + Nếu m số lẻ: đặt t  sin x , sử dụng công thức sin x  cos x  Ví dụ: Tính tích phân sau:  a) I    sin xdx c) J   cos  xdx   b) K   sin d) L  xdx  cos xdx 0 Giải:   a)  sin xdx   cos x sin xdx + Đặt t  cos x  dt   sin xdx + Đổi cận: x   t  1; x   t 0 44 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1 t3 2 I   t dt   t dt   30 b) J    2   cos xdx     (cos x)3 dx     cos x ( ) dx 2     (1  3cos x  3cos  x  cos x) dx    2  1dx           cos 2 xdx  2  cos  xdx   cos xdx   x  2 3  sin x   16 16  2  (1  cos x)dx  J    1 5   ( x  sin x)  J1   J1  16 16   + Tính   cos J   xdx    2 x cos xdx   sin  cos   2 x cos xdx   sin  2 xd (cos x)  sin x    0 45 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com + Vậy: J  5 5  J1  16 16   4  sin c) K  xdx    (sin x) dx   cos x ) xdx (  14   (1  cos x  cos 2 x) dx 40  14  cos x   (1  cos x  ) dx 40  14 cos x   (  cos x  ) dx 40 2  1 3  ( x  sin x  sin x)  (  1) 8 d) L    6  cos  xdx   cos x cos xdx   (1  sin x) cos xdx 0 + Đặt t  sin x  dt  cos xdx + Đổi cận: x   t  0; x  2 0  t  L   (1  t ) dt   (1  2t  t ) dt 2 203  (t  t  t )  480  Dạng 3:  sin m ax.cos n bxdx 46 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Phương pháp giải: a) Nếu hai số m, n số lẻ: + Nếu m lẻ đặt t  cos x + Nếu n lẻ đặt t  sin x b) Nếu m n số chẵn: đặt t = tanx c) Nếu m n số chẵn số dương: dùng công thức hạ bậc  cos x  cos x sin x  , cos x  nhân đôi sin x  2sin x cos x 2 d) Nếu m n số lẻ số dương: dùng công thức sin x  2sin x cos x Đưa dạng 2a Ví dụ: Tính tích phân sau:     a) I  sin x cos xdx 4 c) L  sin x cos xdx 0   5 b) M  sin x cos xdx Giải:     4 a) I  sin x cos xdx  sin x cos x cos xdx    sin x(1  sin x)2 cos xdx + Đặt t  sin x  dt  cos xdx + Đổi cận: x   t  0; x    t 1 47 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  1 t 2t t  )  + I   t (1  t ) dt   (t  2t  t )dt  (  315 0 2 b)    1  cos x L   sin x cos xdx   (sin x cos x) cos xdx   sin 2 x dx 0 4 4  2  14 2   sin xdx   sin x cos xdx 80 80   1  cos x 141   dx   sin xd (cos x) 80 802    1 sin x  ( x  sin x)   (  ) 16 16 16 0   6  c) M   sin x cos xdx   (sin x cos x) dx   ( sin x) dx 5   1  sin x sin xdx  (1  cos 2 x) sin xdx   32 32 + Đặt t  cos 2x  dt  2sin 2xdx + Đổi cận: x   t  1; x   t  1 2 + M  32  (1  t ) (dt )  32  (1  2t  t )dt 1 48 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1 53  (t  t  t )  32 15360  Dạng 4:   f (sin x, cos x) dx , f ( sinx, cosx) hàm hữu tỉ sinx cosx Phương pháp giải: + Đặt t  tan x 2dt  dx  1 t2 2t 1 t2 2t + Khi sinx = ; cosx = ; tanx = 1 t 1 t 1 t2 Đặc biệt: + Nếu f ( sin x,  cos x)  f (sin x, cos x ) ( f hàm chẵn sinx cosx) đặt t = tanx t = cotx + Nếu f ( sin x, cos x)   f (sin x, cos x ) ( f hàm lẻ sinx ) đặt t = cosx + Nếu f (sin x,  cos x)   f (sin x, cos x ) ( f hàm lẻ cosx) đặt t = sinx Ví dụ: Tính tích phân sau:   cos x dx a) I   4sin x   sin x  sin x J  b)  cos x dx 3 dx sin x  2sin x cos x  cos x c) K   d) L  dx   sin x  Giải: 49 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com cos3 x a) Ta có hàm lẻ cosx 4sin x  + Đặt t  sin x  dt  cos xdx + Đổi cận: x   t  0; x     t 1   cos x cos x cos x (1  sin x) cos x dx   dx   dx + I  2 4sin x  4sin x  4sin x  0 2  (1  sin x) cos x 1 t2  dx   dt   (  )dt 4sin x  4t  4 4t  0 1 1 1 1  x   dt     (  )dt 4 (2t  1)(2t  1) 2t  2t  1 1 1    ( ln 2t   ln 2t  1)    ln 2 16 sin x  sin x b) Ta có hàm lẻ sinx cos x + Đặt t  cos x  dt   sin xdx + Đổi cận: x    t  ; x   t 1    sin x  sin x sin x(1  sin x) sin x(2  cos x) J  dx   dx   dx 2 cos x 2cos x  2cos x  0 3  sin x(2  cos x)  t2  dx   dt  (   )dt 2   cos x  t  2 t  1 2 50 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com 1 1 1 1   (  )dt   t   (  )dt 2 2 t  t  t  1 2 1 1   ( ln 2t   ln 2t  1)   4 2 hàm chẵn sinx cosx sin x  2sin x cos x  cos x c) Ta có: 2 + Đặt t  tan x  dt  (1  tan x )dx  dx  + Khi đó: cos x   tan x + Đổi cận: x   t  0; x  +     t2 2 1 t2 1 t2   dt  t  2t  1 2 2 2 (  1 t2  ; sin x  tan x.cos x  t 1 t2 t  dt 1 t2 t K  dt 1 t2  1 t2 1 t dt  (t  1)  ( 2)2    (t   dt t  2t  dt 2)(t   2) 1  )dt t 1 t 1 (ln t    ln t   ) (ln 1 2 1  ln ) 1 2 1 51 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com dx   sin x K d)  + Đặt t  tan x x  dt  (1  tan )dx  dx  dt 2 1 t2 + Khi đó: sin x  + Đổi cận: x   2t 1 t2   t  1; x   t  dt 0 2dt 2dt  t K   1  + t t  t  ( t  1) t  1  1 1 1 1 t2 V TÍCH PHÂN CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYÊT ĐỐI  Tính tích phân:   f ( x) dx Phương pháp: Ta khử dấu giá trị tuyệt đối hàm số dấu tích phân Chú ý:  + Nếu f ( x)  vô nghiệm ( ;  ) thì:    f ( x) dx   f ( x)dx + Nếu f ( x)  có nghiệm c  ( ;  ) thì:    c   c f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x) dx  c   f ( x)dx   f ( x)dx c 52 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Ví dụ: Tính tích phân sau: 2  a) I   cos xdx x b) J   x  dx 4 e c) L  x e  e dx c) L   ln x  dx Giải: 2 2  a) I  2   cos xdx  2sin xdx   sin x dx 0 Ta có: sin x   x   ( x [0;2 ] ) 2  0 I   sin x dx  2(  sin x dx    2(  sin xdx  2  sin x dx) 2   sin xdx)   2 2[ ( cos x)  (cos x)  ]=4 2 b) J  x  x  dx 4  x  1 (4; 2) x  x    Ta có:  x   (4; 2) Khi đó:  J x  x  dx  4   (x 4 x 4 2  x  dx   x  x  dx 2  x  3)dx   ( x  x  3)dx 1 x3 x3 202  (  x  x)  (  x  x)  3 4 53 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com c) L  e x  e dx x Ta có: e  e   x  1 (0;3) Khi đó: 3 L   e  e dx   e  e dx   e x  e dx  (e x  ex)  (e x  ex) x x 0 1  e3  3e  e d) L   ln x  dx Ta có: ln x    x  e  (1; e) Khi e e e e 1 1 L   ln x  dx   (ln x  2)dx  (  ln xdx   2dx) e  (  ln xdx  x )  [L1  2(e  1)] e e  + Tính L1  ln xdx 1  u  ln x du  dx x Đặt dv  dx    v  x e e L1   ln xdx  ( x ln x)   dx  e  x  e e + Vậy L  [L1  2(e  1)]   2(e 1)  2e  54 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com IV KẾT LUẬN Toán học mơn khoa học trừu tượng có q nhiều nội dung Vì muốn học tốt mơn Tốn u cầu khó Qua sáu năm giảng dạy thấy việc tổng hợp kiến thức, phân dạng toán đưa phương pháp giải giúp ích lớn cho học sinh trình học tập Đề tài tơi kiểm nghiệm năm giảng dạy lớp 12, thấy em khơng cịn lung túng gặp tốn tính tích phân, em hứng thú, say mê học tập, em học sinh khá, giỏi tự tìm tịi phương pháp giải gặp tốn Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn ! V TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giải tích lớp 12 nâng cao Đề thi tốt nghiệp, đề thi đại học Xuân Lộc, ngày 20 tháng 05 năm 2016 Người viết Nguyễn Thị Thanh 55 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... nghiệm: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP TÍCH PHÂN THƢỜNG GẶP Ở LỚP 12 I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: - Trong năm học vừa qua phân công giảng dạy lớp 12 Đa số học sinh cịn chậm, giáo viên cần có phương pháp cụ thể cho dạng. .. phương pháp giải gặp tốn tích phân - Trong giới hạn SKKN hướng dẫn học sinh giải số dạng tốn tích phân thường gặp Nội dung, biện pháp thực giải pháp đề tài: Đưa số toán tích phân đề phương pháp... vận dụng lý thuyết vào làm tập, phân dạng tập tổng hợp cách giải - Trong SGK giải tích 12 nêu số tập tích phân đơn giản chưa tạo hứng thú, tìm tịi sáng tạo học sinh Vì gặp tốn phức tạo em lúng