SKKN Một số dạng bài tập tích phân liên quan đến hàm ẩn 1 MỤC LỤC I MỞ ĐẦU 2 1 Lý do chọn đề tài 2 2 Mục đích nghiên cứu 2 3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu 3 4 Nhiệm vụ nghiên cứu 3 5 Các phương pháp n[.]
MỤC LỤC I MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Các phương pháp nghiên cứu II NỘI DUNG: Cơ sở lý luận 1.1 Nguyên hàm 1.2 Tích phân 2.Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Giải pháp giải vấn đề Dạng 1: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức 𝑓'(𝑥) = ℎ(𝑥) 𝑓𝑛(𝑥) , 𝑛 ∈ 𝑁∗ Dạng 2: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức 𝑓𝑛(𝑥).𝑓'(𝑥) = ℎ(𝑥) Dạng 3: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức dạng U(x).f’(x) + U’(x).f(x) = h(x) Dạng 4: tích phân liên quan đến biểu thức có dạng f’(x) + p(x).f(x)= h(x) Một số dạng khác Bài tập vận dụng Kết thực 4.1 Kết vận dụng thân 4.2 Triển khai trước tổ môn III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Kiến nghị 2 3 3 3 5 11 15 17 18 18 19 19 19 20 SangKienKinhNghiem.net I.MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Mỗi nội dung chương trình tốn phổ thơng có vai trị quan trọng việc hình thành phát triển tư học sinh Trong trình giảng dạy, giáo viên phải đặt đích giúp học sinh nắm kiến thức bản, hình thành phương pháp, kỹ năng, kỹ xảo, từ tạo thái độ động học tập đắn Thực tế dạy học cho thấy cịn có nhiều vấn đề cần phải giải ,học sinh chưa hình thành kỹ năng, kỹ xảo q trình giải tốn đặc biệt từ năm học 2016-2017, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thơng Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ơn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn địi hỏi số kĩ mà thi tự luận chưa khai thác Chẳng hạn, trước thi tự luận dạy phần tích phân giáo viên tập trung hướng dẫn cách học sinh vận dụng phương pháp tính tích phân để tính tích phân Ví dụ, tính tích phân sau: a ∫1𝑥.ln (𝑥 + 1)𝑑𝑥 b ∫0𝑥.𝑒𝑥𝑑𝑥 c.∫03 3𝑥 ‒ 1𝑑𝑥 Khi thi tự luận gặp toán học sinh phải trình bày bước để dẫn đến kết Nhưng thay đổi hình thức thi trắc nghiệm, với toán kiểu học sinh cần sử dụng máy tính cầm tay hồn tồn chọn đáp án mà khơng cần phải biết cách tìm tích phân Đó lý quan trọng mà người đề thi phải thay đổi hình thức đề để hạn chế tối đa việc sử dụng máy tính vào việc giải tốn Việc sử dụng máy tính cầm tay hỗ trợ phần thơi, quan trọng e phải nắm chất tốn làm Vì hệ thống tập tích phân liên quan đến hàm ẩn gần lạ giáo viên học sinh Bằng kinh nghiệm giảng dạy lớp dạy bồi dưỡng tơi rút cho số dạng tập tích phân liên quan đến hàm ẩn Đó lý tơi đưa đề tài " 2.Mục đích nghiên cứu: SangKienKinhNghiem.net Thơng qua đề tài giúp cho người đọc, đặc biệt học sinh nhận thấy có số tốn tích phân khơng thể dùng máy tính để chọn đáp án Từ giúp em biết cách nhận biết giải số tập tích phân liên quan đến hàm ẩn cách nhanh chóng hiệu cao kì thi đặc biệt kì thi THPTQG năm sau Đối tượng, phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu đề tài tập trung vận dụng lý thuyết nguyên hàm tích phân SGK Giải tích 12 để giải số dạng tập tích phân có liên quan đến hàm ẩn Nhiệm vụ nghiên cứu: Đưa sở lí luận cần thiết, sở phân dạng tập tích phân liên quan đến hàm ẩn Giúp học sinh nhận dạng giải toán cách hiệu 5.Các phương pháp nghiên cứu: Phương pháp nghiên cứu chủ yếu nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm vào dạng tập xếp phân chia cách hợp lý II NỘI DUNG : Cơ sở lý luận: 1.1 Nguyên hàm: 1.Định nghĩa: +) F(x) nguyên hàm hàm số y = f(x) K F’(x) = f(x), ∀𝑥 ∈ 𝐾 +) Nếu F(x) nguyên hàm hàm số y = f(x) K F(x) + C (C số bất kì) họ tất nguyên hàm f(x) K kí hiệu: ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥) + 𝐶 Tính chất: +) ∫𝑓'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑓(𝑥) + 𝐶 +) ∫𝑘.𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 , ∀𝑘 ≠ +) ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑔(𝑥)𝑑𝑥 +) hàm số liên tục K có nguyên hàm K SangKienKinhNghiem.net Nguyên hàm số hàm số thường gặp: 𝑎𝑥 𝑎 𝑑𝑥 = +𝐶 𝑙𝑛𝑎 ∫ ∫𝑑𝑥 = 𝑥 + 𝐶 ∫ ∫𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥 = 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 𝐶 ∫𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥 =‒ 𝑐𝑜𝑠𝑥 + 𝐶 0.𝑑𝑥 = 𝐶 ∫ 𝑥 𝑥 ∝+ + 𝐶 ( ∝≠‒ 1) 𝑥 𝑑𝑥 = ∝+ 1 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑥| + 𝐶 𝑥 ∝ ∫ ∫𝑒 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑥 ∫𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 = 𝑡𝑎𝑛𝑥 + 𝐶 ∫𝑠𝑖𝑛 𝑥𝑑𝑥 =‒ 𝑐𝑜𝑡𝑥 + 𝐶 +𝐶 Các phương pháp tìm nguyên hàm: a Phương pháp đổi biến số: ∫𝑓(𝑢(𝑥)).𝑢 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑢(𝑥)) + 𝐶 ' b Phương pháp nguyên hàm phần: ∫𝑢(𝑥).𝑣 (𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥).𝑣(𝑥) ‒ ∫𝑣(𝑥).𝑢 (𝑥)𝑑𝑥 ' Hay ' ∫𝑢.𝑑𝑣 = 𝑢𝑣 ‒ ∫𝑣𝑑𝑢 1.2 Tích phân: Định nghĩa: 𝑏 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑥)| 𝑎 𝑏 𝑎 = 𝐹(𝑎) ‒ 𝐹(𝑏) ( Trong F(x) nguyên hàm f(x) [a;b]) Tính chất: 𝑏 𝑎 +) ∫𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =‒ ∫𝑏𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑏 +) ∫𝑎𝑘𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑘∫𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ( k số) SangKienKinhNghiem.net 𝑏 𝑏 𝑏 +) ∫𝑎[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫𝑎𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 𝑐 𝑏 +) ∫𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = ∫𝑎𝑓(𝑥)𝑑𝑥 + ∫𝑐 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏 +) ∫𝑎𝑓2(𝑥)𝑑𝑥 = => 𝑓(𝑥) = Các phương pháp tính tích phân: a Phương pháp đổi biến số: ∫ 𝑏 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝛽 𝑓(𝜑(𝑡)).𝜑'(𝑡)𝑑𝑡 ∝ b Phương pháp tính tích phân phần: ∫ Hay 𝑏 𝑎 𝑢(𝑥).𝑣'(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑢(𝑥).𝑣(𝑥)|𝑎𝑏 ‒ 𝑏 ∫ 𝑣(𝑥).𝑢 (𝑥)𝑑𝑥 ' 𝑎 ∫𝑏𝑢.𝑑𝑣 = 𝑢.𝑣|𝑎𝑏 ‒ ∫𝑏𝑣.𝑑𝑢 𝑎 𝑎 2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm: Phần kiến thức tích phân nội dung thiếu cấu trúc đề thi THPTQG Năm học 2016-2017 năm thay đổi hình thức thi trắc nghiệm, nhiều tốn tích phân học sinh dùng máy tính để chọn được đáp án mà không cần biết cách giải Nắm khe hở từ năm 2017-2018 người đề thay đổi cách thức toán hạn chế việc sử dung máy tính chọn đáp án Vì đề sau xuất số tập tích phân liên quan đến hàm ẩn,đây dạng tập lạ em nên em thấy bở ngỡ khó khăn Chính đề tài đưa nhằm giúp cho học sinh dễ dàng tiếp cận giải cách hiệu dạng tập 3.Giải pháp để giải vấn đề: Dạng 1: Bài tốn tích phân liên quan đến biểu thức 𝑓'(𝑥) = ℎ(𝑥) 𝑓𝑛(𝑥), 𝑛 ∈ 𝑁∗ Phương pháp: Nếu n = 1: Ta có 𝑓'(𝑥) 𝑓'(𝑥) = ℎ(𝑥).𝑓(𝑥)↔ 𝑓(𝑥) = ℎ(𝑥 )→ln (𝑓(𝑥)) = ∫ℎ(𝑥).𝑑𝑥 SangKienKinhNghiem.net ' 𝑓'(𝑥) 𝑛 Nếu n > 1: Ta có : 𝑓 (𝑥) = ℎ(𝑥).𝑓 (𝑥)↔ 𝑛 𝑓 (𝑥) = ℎ(𝑥)→ (1 ‒ 𝑛).𝑓𝑛 ‒ 1(𝑥) = ∫ℎ(𝑥).𝑑𝑥 Ví dụ 1: Cho hàm số f(x) xác định liên tục R, thỏa mãn điều kiện: 𝑓(𝑥) > 0,∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑓'(𝑥) =‒ 𝑒𝑥.𝑓2(𝑥),∀𝑥 ∈ 𝑅 𝑣à 𝑓(0) = 2 A B ‒ Tính f(ln2) C.3 D.3 Giải: Từ 𝑓'(𝑥) =‒ 𝑒𝑥.𝑓2(𝑥)↔ ‒ 𝑓'(𝑥) 𝑓 (𝑥) = 𝑒𝑥→𝑓(𝑥) = ∫𝑒𝑥.𝑑𝑥 = 𝑒𝑥 + 𝐶 Tại x = ta có: 𝑓(0) = 𝑒0 + 𝐶→𝐶 = 1 Tại x = ln2: 𝑓(𝑙𝑛2) = 𝑒𝑙𝑛2 + 1→𝑓(𝑙𝑛2) = Vậy ta chọn đáp án D Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) có đồ thị hàm số (C),xác định liên tục R, thỏa mãn: 𝑓 (𝑥) > 0,∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑓'(𝑥) = (𝑥.𝑓(𝑥))2,∀𝑥 ∈ 𝑅 𝑣à 𝑓(0) = Viết phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = đồ thị hàm số (C) A y = 6x+ 30 B y = -6x + 30 C y = 36x - 30 D y = -36x + 42 Giải: 𝑓'(𝑥) = (𝑥.𝑓(𝑥))2↔ ‒ Tại x = 0: 𝑓(0) 𝑓'(𝑥) 𝑓 (𝑥) = 𝐶→𝐶 = 1 =‒ 𝑥2→𝑓(𝑥) = ∫ ‒ 𝑥2.𝑑𝑥 =‒ 3𝑥3 + 𝐶 1 → 𝑓(𝑥) =‒ 𝑥3 + 2→𝑓(𝑥) = ‒ 𝑥3 +2 Tại x = 1: f(1) = f’(1) = 36 Phương trình tiếp tuyến điểm có hồnh độ x = là: y = 36x - 30 Vậy chọn đáp án: C Ví dụ 3: Cho hàm số f(x) có đạo hàm liên tục (0; + ∞), thỏa mãn: SangKienKinhNghiem.net 𝑓'(𝑥) + (2𝑥 + 4).𝑓2(𝑥) = 0,𝑓(𝑥) > 0,∀𝑥 ∈ 𝑅 𝑣à 𝑓(2) = 15 Tính f(1) + f(2) + f(3) A.15 11 B.15 11 C.30 D 30 Giải: 𝑓'(𝑥) + (2𝑥 + 4).𝑓2(𝑥) = 0↔ ‒ 𝑓'(𝑥) 𝑓 (𝑥) = 2𝑥 + 4→𝑓(𝑥) = ∫(2𝑥 + 4).𝑑𝑥 = 𝑥2 + 4𝑥 + 𝐶 Tại x = 2: 𝑓(2) = 12 + 𝐶→𝐶 = 1 Tại x = 1: 𝑓(1) = 8→𝑓(1) = 1 Tại x = 3: 𝑓(3) = 24→𝑓(3) = 24 1 Suy : 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(3) = + 15 + 24 = 30 Vậy ta chọn đáp án: D Ví dụ 4: Cho hàm số f(x) xác định có đạo hàm R, thỏa mãn: 𝑓(𝑥) ≠ 0,∀𝑥 ∈ 𝑅, 𝑓'(𝑥) = (2𝑥 + 3).𝑓2(𝑥) 𝑣à 𝑓(0) = ‒ 𝑎 𝑎 Tổng: 𝑓(1) + 𝑓(2) + 𝑓(2018) = 𝑏, 𝑎 ∈ 𝑍,𝑏 ∈ 𝑁 ∗ 𝑣à 𝑏 phân số tối giản Mệnh đề sau đúng: 𝑎 𝑎 A 𝑏 C a + b = 1010 D b - a = 3029 Giải 𝑓'(𝑥) = (2𝑥 + 3).𝑓 (𝑥)↔ ‒ 𝑓'(𝑥) 𝑓2(𝑥) =‒ (2𝑥 + 3)→ =‒ 𝑓(𝑥) Tại x = 0: 𝑓(0) = 𝐶→𝐶 =‒ SangKienKinhNghiem.net ∫(2 1 Tại x = 1: 𝑓(1) =‒ 6→𝑓(1) =‒ =‒ ( Tại x = 2:𝑓(2) =‒ 12→𝑓(2) =‒ 12 =‒ 1 ‒3 ( Tại x = 3: 𝑓(3) =‒ 20→𝑓(3) =‒ 20 =‒ ( ) ‒4 ) ‒5 ) 1 Tại x = 2018: 𝑓(2018) =‒ 4078380→𝑓(2018) =‒ 4078380 =‒ 𝑓(1) + 𝑓(2) + … + 𝑓(2018) =‒ ( ( 2019 ‒ 2020 ) 1 1009 ‒ =‒ 2020 2020 ) Suy ra: b - a = 3029 Vậy chọn đáp án : D Ví dụ 5: Cho hàm số f(x) liên tục nhận giá trị dương (0; + ∞), thỏa mãn: 𝑓(𝑥) = 𝑓'(𝑥) 3𝑥 + 1, ∀𝑥 > 𝑣à 𝑓(1) = Mệnh đề sau đúng: A 4