Chuyên đề quan hệ vuông góc

Chứng minh đường thẳng a nằm trong  và vuông góc với giao tuyến b của hai mặt phẳng 6.. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD.. Chứn

BÀI 1: VECTO TRONG KHƠNG GIAN

a và b cùng phương a k R b ka

+ Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k  1), O tuỳ ý Ta cĩ:

 Ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

 Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ   

3 Tích vơ hướng của hai vectơ

 Gĩc giữa hai vectơ trong khơng gian:

u v

A

(PA PG) ( PB PG)(PC PG) ( PD PG)0

Do đó: PA   PBPCPD4PG

DẠNG 2 chứng minh 3 vecto đồng phẳng và phân tích một vecto theo 3 vecto ko đồng phẳng

Pp:

 Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách:

+ Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng

+ Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng:

Bài 1: Cho hình tứ diện ABCD Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và CD Trên các cạnh

AC và BD ta lần lượt lấy các điểm M,N sao cho AM BN k k( 0)

1 Cho tam giác ABC Lấy điểm S nằm ngồi mặt phẳng (ABC) Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho

2. Cho hình hộp ABCD.EFGH Gọi M, N, I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các cạnh AE, CG, AD,

DH, GH, FG; P và Q lần lượt là trung điểm của NG và JH

a) Chứng minh ba vectơ   

, ,

MN FH PQ đồng phẳng

Q P

IL JK AH cĩ giá cùng song song với (BDG)

3 Cho hình lăng trụ ABC.DEF Gọi G, H, I, J, K lần lượt là trung điểm của AE, EC, CD, BC, BE

d ma nb với m và n  0 Chứng minh các bộ ba vectơ sau khơng đồng phẳng:

i)   , ,

9 Cho hình hộp OABC.DEFG Gọi I là tâm của hình hộp

a) Phân tích hai vectơ  

OI và AG theo ba vectơ   

, ,

OA OC OD b) Phân tích vectơ 

DẠNG 3 Hai đường thẳng vuông góc

PP:

Chứng minh góc giữa hai đường thẳng đó bằng 900

Chứng minh 2 vectơ chỉ phương của 2 đường thẳng đó vuông góc với nhau

Sử dụng các tính chất của hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …)

2. Cho tứ diện đều ABCD, cạnh bằng a Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp BCD

a) Chứng minh AO vuông góc với CD

b) Gọi M là trung điểm của CD Tính góc giữa AC và BM

cos( , )

6

AC BM

3. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c

a) CMR đoạn nối trung điểm các cặp cạnh đối diện thì vuông góc với 2 cạnh đó

b) Tính góc hợp bởi các cạnh đối của tứ diện

4. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, SAB là tam giác vuông cân tại

A, M là điểm trên cạnh AD (M  A và D) Mặt phẳng (P) qua M song song với mp(SAB) cắt BC, SC,

SD lần lượt tại N, P, Q

a) Chứng minh MNPQ là hình thang vuông

b) Đặt AM = x Tính diện tích của MNPQ theo a và x

5 Cho hình hộp ABCD.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng nhau Chứng minh rằng AC  BD, AB CD, AD  CB

BÀI 2: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG

DẠNG 1: Chứng minh đường thẳng vuông góc với mp Hai đường thẳng vuộng góc

Pp: chứng minh đường thẳng vuông góc với mp

1 Chứng minh đường thẳng a vuông góc với 2

đường thẳng b và c cắt nhau nằm trong mặt

phẳng ()

( ), ( ), c

( ),

5 Chứng minh đường thẳng a nằm trong () và

vuông góc với giao tuyến b của hai mặt phẳng

6 Chứng minh đường thẳng a là giao tuyến của

hai mặt phẳng () và() cùng vuông góc với mặt

là vectơ chỉ phương của a và b thì a  b 

u v 

= 0

3 Chứng minh đường thẳng a vuông góc đường

thẳng c song song với b

6 Chứng minh a nằm trong mp () và a vuông góc

với hình chiếu b’ của b trên mặt phẳng () (định lí 3

( )'

7 Chứng minh đường thẳng a vuông góc với một

Bài 1 Cho tứ diện S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và có ABC là tam giác vuông tại B

a Chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) và BC SB

b Gọi AH là đường cao của tam giác SAB Chứng minh AH SC

Bài 2 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy

(ABCD) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên SB và SD

a Chứng minh BC (SAB), CD (SAD), BD (SAC)

b Chứng minh SC (AHK) và HK (SAC)

Bài 3 Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm O và có SA = SC, SB = SD

a Chứng minh đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SD Chứng minh MN (SAC)

Bài 4: (ĐH Khối B năm 2002)

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BB’, CD, A’D’ Chứng minh: MPC N'

Bài 5: (ĐH Khối A năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên

SAD là tam giác đều và ở trong mặt phẳng vuông góc với đáy Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của SB,

BC, CD Chứng minh AM  BP

Giải :

Gọi H là trung điểm AD, do tam giác SAD đều nên SH  AD

Vì (SAD)  (ABCD), suy ra SH  (ABCD) suy ra SH  BP (1)

Dễ thấy hai tam giác vuông BPC và CHD bằng nhau, nên ta có

Từ (3) và (4) suy ra: BPMANAM BP (đpcm)

Bài 6: (ĐH khối B năm 2007)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a Gọi E là điểm đối xứng của điểm D qua trung điểm của SA Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AE, BC Chứng minh

MNBD

Giải

Ta có SEAD là hình bình hành SE/ /DA và SE = DA

 SEBC cũng là hình bình hành SC/ /EB

Gọi P là trung điểm của AB Khi đó trong các tam giác EAB và

ABC ta có MP // EB, PN // AC

A

C

B

D S

N

P N M E

H

D

C B

A S

b) CMR: AH, AK cùng vuông góc với SC Từ đó suy ra 3 đường thẳng AH, AI, AK cùng nằm trong một mặt phẳng

c) CMR: HK  (SAC) Từ đó suy ra HK  AI

2. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B; SA  (ABC)

a) Chứng minh: BC  (SAB)

b) Gọi AH là đường cao của SAB Chứng minh: AH  SC

3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD

a) Chứng minh: SO  (ABCD)

b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BA, BC CMR: IJ  (SBD)

4. Cho tứ diện ABCD có ABC và DBC là 2 tam giác đều Gọi I là trung điểm của BC

a) Chứng minh: BC  (AID)

b) Vẽ đường cao AH của AID Chứng minh: AH  (BCD)

5. Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mp(ABC) Chứng minh rằng:

a) BC  (OAH)

b) H là trực tâm của tam giác ABC

c) 12  12 12 12

OH OA OB OC

d) Các góc của tam giác ABC đều nhọn

6. Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a Mặt bên SAB là tam giác đều; SAD là tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính các cạnh của SIJ và chứng minh rằng SI  (SCD), SJ  (SAB)

b) Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên IJ CMR: SH  AC

c) Gọi M là một điểm thuộc đường thẳng CD sao cho: BM  SA Tính AM theo a

7 Cho hình chóp SABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a 2 Gọi

H và K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD

a) CMR: SH  (ABCD)

b) Chứng minh: AC  SK và CK  SD

8 Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = a 3, mặt bên SBC vuông tại B, mặt bên SCD vuông tại D có SD = a 5

a) Chứng minh: SA  (ABCD) và tính SA

b) Đường thẳng qua A và vuông góc với AC, cắt các đường thẳng CB, CD lần lượt tại I, J Gọi H là hình chiếu của A trên SC Hãy xác định các giao điểm K, L của SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK (SBC), AL  (SCD)

c) Tính diện tích tứ giác AKHL

2815

a

9. Gọi I là 1 điểm bất kì ở trong đường tròn (O;R) CD là dây cung của (O) qua I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) tại I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E là điểm đối tâm của D trên đường tròn (O) Chứng minh rằng:

a) Tam giác SDE vuông tại S

b) SD  CE

c) Tam giác SCD vuông

10. Cho MAB vuông tại M ở trong mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) tại A ta lấy 2 điểm C, D ở hai bên điểm A Gọi C là hình chiếu của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC a) Chứng minh: CC  (MBD)

b) Gọi K là hình chiếu của H trên AB CMR: K là trực tâm của BCD

11. Cho hình tứ diện ABCD

a) Chứng minh rằng: AB  CD  AC2 – AD2 = BC2 – BD2

b) Từ đó suy ra nếu một tứ diện có 2 cặp cạnh đối vuông góc với nhau thì cặp cạnh đối còn lại cũng vuông góc với nhau

DẠNG 2: góc giữa đường và mặt

Pp:

Xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)

 Tìm giao điểm O của a với (P)

 Chon điểm A  a và dựng AH  (P) Khi đó AOH( ,( ))a P

BÀI TẬP

1 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tâm O; SO  (ABCD) Gọi M, N lần lượt

là trung điểm của các cạnh SA và BC Biết (MN ABCD ,( )) 600

3. Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình chữ nhật; SA  (ABCD) Cạnh SC = a hợp với đáy góc

 và hợp với mặt bên SAB góc 

a

5. Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy là tam giác đều cạnh a, AA  (ABC) Đường chéo BC của mặt bên BCCB hợp với (ABBA) góc 300

a) Tính AA

b) Tính khoảng cách từ trung điểm M của AC đến (BAC)

c) Gọi N là trung điểm của cạnh BB Tính góc giữa MN và (BAC)

11

a c) arcsin 54

55

6. Cho lăng trụ ABC.ABC, có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A; AA  (ABC) Đoạn nối trung điểm M của AB và trung điểm N của BC có độ dài bằng a, MN hợp với đáy góc  và mặt bên BCCBgóc 

a) Tính các cạnh đáy và cạnh bên của lăng trụ theo a và 

b) Chứng minh rằng: cos = 2sin

HD: a) AB = AC = 2a.cos  ; BC = 2a 2cos  ; AA  = a.sin 

DẠNG 3: Xác định thiết diện đi qua 1 điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước

a) Tìm thiết diện của hình chóp với (P) Thiết diện là hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện theo a và x

HD: a) Hình thang vuông b) S = 2a(a – x)

2. Cho tứ diện SABC, có đáy là tam giác đều cạnh a; SA  (ABC) và SA = 2a Mặt phẳng (P) qua B và vuông góc với SC Tìm thiết diện của tứ diện với (P) và tính diện tích của thiết diện này

HD: S =

21520

a

3 Cho tứ diện SABC với ABC là tam giác vuông cân đỉnh B, AB = a SA  (ABC) và SA = a 3 M là 1 điểm tuỳ ý trên cạnh AB, đặt AM = x (0 < x < a) Gọi (P) là mặt phẳng qua M và vuông góc với AB a) Tìm thiết diện của tứ diện với (P)

b) Tính diện tích của thiết diện đó theo a và x Tìm x để diện tích thiết diện có giá trị lớn nhất

HD: b) S = 3x(a – x); S lớn nhất khi x =

2

a

4. Cho hình tứ diện SABC với ABC là tam giác đều cạnh a, SA  (ABC) và SA = a Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng (P) và tính diện tích thiết diện trong các trường hợp sau:

a) (P) qua S và vuông góc với BC

b) (P) qua A và vuông góc với trung tuyến SI của tam giác SBC

c) (P) qua trung điểm M của SC và vuông góc với AB

HD: a)

234

a

2

2 2149

a

2

5 332

a

5 Cho hình chóp SABCD, có đáy là hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) và SA = a 2 Vẽ đường cao AH của tam giác SAB

Góc giữa 2 mặt phẳng là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mặt phẳng đó

* Nhận xét: Nếu 2 mặt phẳng song song hoặc trùng nhauthì ta nói rằng góc giữa 2 mặt phẳng đó bằng 0o

b)Cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng cắt nhau:

Cho (P)  (Q) = c, lấy I bất kì thuộc c

Trong (P) qua I kẻ a  c.Trong (Q) qua I kẻ b  c

Khi đó góc (P), (Q) = góc (a, b)

c)Diện tích hình chiếu của đa giác: S’ = S cos

Với S là diện tích đa giác nằm trong (P), S’ là diện tích hình chiếu vuông góc của đa giác đó trên (Q),

 = góc ((P), (Q))

2.Hai mặt phẳng vuông góc:

a) Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc của chúng bằng 90o

+ Hai mặt phẳng (P), (Q) vuông góc với nhau, kí hiệu : (P)  (Q) hay (Q)  (P)

* Nếu 2 mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là điểm nằm trong (P) thì đường thẳng a đi qua điểm

A và vuông góc với (Q) sẽ nằm trong (P)

* Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy

* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật và vuông góc với mặt đáy

b)Hình lăng trụ đều:

* Định nghĩa: Hình lăng tru đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

* Nhận xét: Các mặt bên của hình lăng trụ đều là những hình chữ nhật bằng nhau và vuông góc với mặt đáy

c)Hình hộp đứng:

* Định nghĩa: Hình hộp đứng là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành

* Nhận xét: Trong hình hộp đứng 4 mặt bên đều là hình chữ nhật

+ Đường vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh gọi là đường cao của hình chóp

+ Một hình chóp là hình chóp đều  đáy của nó là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm của đáy

+ Một hình chóp là hình chóp đều  đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên tạo voéi mặt đáy các góc bằng nhau

b)Hình chóp cụt:

* Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi 1 mặt phẳng song song với đáy để được 1 hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều

* Nhận xét:

+ Hai đáy của hình chóp cụt đều là 2 đa giác đều đồng dạng với nhau

+ Đoạn nối tâm 2 đáy được gọi là đường cao của hình chóp cụt đều

+ Trong hình chóp cụt đều các mặt bên là những hình thang cân bằng nhau

P

Q

p q

b) Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) vuông góc

c) Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)

HD: c) 60 0

6 Cho hình chóp SABCD có SA  (ABCD) và SA = a 2, đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với

+) Chứng minh mặt phẳng này chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia

+) Dựa vào cách xác định góc giữa 2 mặt phẳng

BÀI TẬP

Bài 1: Cho hình chóp S ABC có SA  (ABC) Trong tam giác ABC vẽ các đường cao AE và CF cắt nhau

tại O Gọi H là trực tâm của tam giác SBC

(Theo định lí 3 đường vuông góc)

Mà H là trực tâm của tam giác SBC nên

Mà BC và SB cắt nhau tại B trong mặt phẳng (SBC)  OH  (SBC)

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và có các cạnh bên SA = SB = SC = a

Chứng minh:

a Mặt phẳng (SBD) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

b Tam giác SBD vuông tại S

Giải

a ABCD là hình thoi nên có AC  BD tại O Mặt khác SA = SC nên có AC  SO

Vậy AC  (SBD) Mặt phẳng (ABCD) chứa AC  (SBD) nên (ABCD)  (SBD)

b Ta có: SAC = BAC (c – c – c) mà OA = OC nên SO = BO Mặt khác BO =

DO nên SO=OB=OD Ta suy ra tam giác SBD vuông tại S

Bài 3 Hình chóp S.ABC có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi H và K

lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC

S

Hìn h 6 1 0

b Tính diện tích tam giác ABC biết rằng tam giác SBC có SB = 15cm, SC = 14cm, BC = 13cm và có góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng 300

Bài 4: Cho hình vuông ABCD Gọi S là điểm trong không gian sao cho SAB là tam giác đều và mặt phẳng

(SAB) vuông góc với mặt phẳng (ABCD)

a)CMR: (SAB)  (SAD), (SAB)  (SBC)

b)Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC)

c)Gọi H và I lần lượt lần lượt là trung điểm của AB và BC Chứng minh rằng (SHC)  (SDI) Gài

a)* Gọi H là trung điểm của AB

- Vì SAB là tam giác đều  SH  AB

Mà AD  (SAD) Vậy (SAD)  (SAB)

* Lập luận tương tự ta có (SBC)  (SAB)

b)* Xác định góc giữa 2 mặt phẳng (SAD)

và (SBC):

- Ta có AD  (SAD), BC  (SBC), AD // BC (SAD)(SBC) = St // AD

- Vì (SAD)  (SAB), (SBC)  (SAB)  St  (SAB)  St  SA, St  SB

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) là góc ASB

* Tính góc ASB:

Vì tam giác SAB đều nên góc ÁB = 60o

Vậy góc giữa 2 mặt phẳng (SAD) và (SBC) bằng 60o

c)Vì ABCD là hình vuông, H, I lần lượt là trung điểm của AB và BC nên HC  DI

Mặt khác do SH  (ABCD)  SH  DI

Vậy DI  (sHC), mà DI (SDI)(SDI)(SHC)

Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O, AB = a, BC = 2a và SO  (ABCD), Đặt SO

= h Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD

a) Tính góc giữa mặt phẳng (SMN) với các mặt phẳng (SAB) và (SCD)

Tìm hệ thức liên hệ giữa h và a để (SMN)  (SAB), (SMN)  SCD)

A