TRÌNH BÀY PHƯƠNG TRÌNH LOTKA - VOLTERRA (MÔ HÌNH KẺ SĂN MỒI VÀ CON MỒI) SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP EULER ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Hai nhà khoa học này đã đề xuất mô hình này để mô tả và dự đoán động lực học số lượng cá thể giữa các loài săn mồi và kẻ săn trong một hệ thống sinh học.. Ông tập trung vào mối quan hệ g

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA -֍ -

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN PHƯƠNG PHÁP TÍNH

ĐỀ TÀI 05

TRÌNH BÀY PHƯƠNG TRÌNH LOTKA - VOLTERRA

(MÔ HÌNH KẺ SĂN MỒI VÀ CON MỒI)

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP EULER ĐỂ GIẢI HỆ

PHƯƠNG TRÌNH

GVHD: LÊ THỊ YẾN NHI

BÁO CÁO PHÂN CÔNG NHIỆM VỤ VÀ KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI CỦA TỪNG THÀNH VIÊN

LỜI MỞ ĐẦU

Phương pháp tính là bộ môn toán học có nhiệm vụ giải đến kết quả bằng số cho các bài toán Môn học này là cầu nối giữa toán học lý thuyết và các ứng dụng của nó trong thực tế, là một học rất quan trọng của chương trình đào tạo kỹ thuật cũng như một người kĩ sư Đến với bài của nhóm sẽ có 3 vấn đề cần được giải quyết:

Vấn đề 1: Phương trình Lotka – Volterra ( Mô hình kẻ săn mồi và con mồi ).

Trong quá trình làm bài không tránh khỏi lỗi và sai sót Hy vọng sẽ nhận được góp ý và đánh giá của thầy và các bạn.

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 5

1.Phương trình Lotka – Volterra ( Mô hình kẻ săn và con mồi) 5

1.1 Nguồn gốc 5

1.2 Nội dung 5

1.3 Ý nghĩa 10

1.4 Tác động của con người tới hệ sinh thái thông qua mô hình Lotka – Volterra 11

2 Phương pháp Euler và Euler cải tiến 12

CHƯƠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOTKA-VOLTERRA 14

2.1 Giải PT LOTKA-VOLTERRA bằng phương pháp Euler 14

2.1.1 Đặt vấn đề 14

2.1.2 Sử dụng công thức Euler 14

2.1.3 Sử dụng công thức Euler cải tiến 15

2.2 Ví dụ và giải bằng Matlab 15

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.Phương trình Lotka – Volterra ( Mô

hình kẻ săn và con mồi)

1.1 Nguồn gốc

Mô hình Lotka-Volterra, còn được gọi là Mô hình kẻ săn mồi và con mồi, được đề xuất bởi hai nhà toán học là Alfred J Lotka và một nhà toán học,sinh học người Ý là Vito Volterravào những năm 1920 Hai nhà khoa học này đã đề xuất mô hình này để mô tả và dự đoán động lực học số lượng cá thể giữa các loài săn mồi và kẻ săn trong một hệ thống sinh học

Alfred J Lotka, một nhà toán học người Mỹ, đầu tiên đề xuất mô hìnhvào năm 1925 trong cuốn sách của mình "Elements of Physical

Biology" Ông tập trung vào mối quan hệ giữa số lượng cá thể con mồi và kẻ săn, sử dụng các phương trình vi phân để mô tả sự biến đổi theo thời gian của các dân số này

Sau đó, Vito Volterra, một nhà toán học và nhà sinh học người Ý, cũng đề xuất một mô hình tương tự trong cùng một thời kỳ, cụ thể là vào năm 1926 Ông cũng tập trung vào mối quan hệ giữa các dân số con mồi và kẻ săn trong một hệ thống sinh học, và ông sử dụng các phương trình giống như Lotka để mô tả sự biến đổi của các dân số nàytheo thời gian

1.2 Nội dung

Mô hình Lotka-Volterra đã trở thành một công cụ quan trọng trong nghiên cứu sinh học toán học, giúp giải thích và dự đoán sự biến đổi của các dân số trong các hệ thống sinh học, đặc biệt là giữa các loài săn mồi và kẻ săn

Hồ sơ biến động số lượng (Hình 1) của công ty Vịnh Hudson từ hơn một thế kỷ cho thấy dao động gần như định kỳ về số lượng thỏ tuyết

và linh miêu bị bắt Với giả định hợp lý rằng số lượng động vật bị bắt

được ghi nhận tỷ lệ thuận với quần thể động vật, những hồ sơ này cho thấy quần thể động vật ăn thịt-con mồi - điển hình là thỏ rừng và linh miêu - có thể dao động theo thời gian Lotka và Volterra độc lập đề xuất vào những năm 1920 một mô hình toán học cho động lực dân số của động vật ăn thịt và con mồi, và các phương trình săn mồi-con mồi Lotka-Volterra này đã trở thành một mô hình mang tính biểu tượng của sinh học toán học

Để phát triển các phương trình này, giả sử rằng một quần thể động vật

ăn thịt ăn quần thể con mồi Ta giả định rằng số lượng con mồi tăng theo cấp số nhân khi không có động vật ăn thịt (có thức ăn không giới hạn cho con mồi) và số lượng động vật ăn thịt phân rã theo cấp số nhân khi không có con mồi (động vật ăn thịt phải ăn con mồi hoặc chết đói) Tiếp xúc giữa động vật ăn thịt và con mồi làm tăng số lượngđộng vật ăn thịt và giảm số lượng con mồi Coi U(t) và V(t) là số lượng con mồi và động vật ăn thịt tại thời điểm t Để phát triển một

mô hình phương trình vi phân kết hợp, chúng tôi xem xét quy mô số lượng cá thể tại thời điểm t + Δt t

Hình 1 Hồ sơ biến động số lượng cá thể của Công ty Vịnh Hudson cho thỏ tuyết

và động vật ăn thịt của nó là linh miêu [Từ E.P Odum, Fundamentals of

Ecology, 1953.]

Sự tăng trưởng theo cấp số nhân của con mồi trong trường hợp không

có động vật ăn thịt và sự phân rã theo cấp số nhân của động vật ăn thịttrong trường hợp không có con mồi có thể được mô hình hóa bằng cácthuật ngữ tuyến tính thông thường Sự kết hợp giữa con mồi và động vật ăn thịt phải được mô hình hóa với hai tham số bổ sung

Ta viết kích thước dân số tại thời điểm t + Δt t như

U(t+Δt t)=U(t)+αΔt tU(t)−γΔtU(t)V(t)γΔt tU(t)V(t)V(t+Δt t)=V(t)+eγΔt tU(t)V(t)−γΔtU(t)V(t)βΔt tV(t)Các thông số α và β là tỷ lệ sinh bình quân đầu người của con mồi và

tỷ lệ tử vong của động vật ăn thịt, trong trường hợp không có các loài khác Các thuật ngữ ghép nối mô hình tiếp xúc giữa động vật ăn thịt

và con mồi Tham số γ là tỷ lệ con mồi bị bắt trên mỗi động vật ăn thịttrên một đơn vị thời gian; tổng số con mồi bị bắt bởi những kẻ săn mồitrong thời gian Δt t là γΔt tUV Con mồi ăn sau đó được chuyển đổi thành động vật ăn thịt sơ sinh (xem đây là sự chuyển đổi sinh khối), với hệ số chuyển đổi e , sao cho số lượng động vật ăn thịt trong thời gian Δt t tăng bởi e\γ ΔtUV Chuyển đổi các phương trình này thành γ Δt tUV Chuyển đổi các phương trình này thành phương trình vi phân bằng cách cho Δt t→0 , chúng ta có được các phương trình săn mồi-con mồi Lotka-Volterra

dU/dt=αU−γΔtU(t)V(t)γUV,dV/dt=eγUV−γΔtU(t)V(t)βVTrước khi phân tích các phương trình Lotka-Volterra, trước tiên chúng

ta xem xét phân tích độ ổn định điểm cố định và tuyến tính được áp dụng cho cái được gọi là hệ phương trình vi phân tự trị Để đơn giản, chúng ta xem xét một hệ thống chỉ có hai phương trình vi phân có dạng

x ˙=f(x,y),y˙=g(x,y),Mặc dù kết quả này có thể được khái quát hóa cho các hệ thống lớn hơn Hệ thống được đưa ra ở trên được cho là tự trị kể từ f và g Khôngphụ thuộc rõ ràng vào biến độc lập t Các điểm cố định của hệ thống này được xác định bằng cách đặt x ˙= y˙= 0 và giải tìm x và y Giả sử rằng một điểm cố định là (x*,y*) Để xác định độ ổn định tuyến tính của nó, chúng tôi xem xét các điều kiện ban đầu cho (x, y) gần điểm

cố định với các nhiễu loạn độc lập nhỏ theo cả hai hướng, tức là

x(0)=x*+ε(0),y(0)= y*+δ(0) Nếu nhiễu loạn ban đầu phát triển theo thời gian, chúng ta nói rằng điểm cố định không ổn định; Nếu nó phân

rã, chúng ta nói rằng điểm cố định là ổn định Theo đó, chúng ta có

x(t)=x*+ε(t),y(t)= y*+δ(t)

và thay thế với phương trình vi phân tự trị để xác định sự phụ thuộc thời gian của ε và δ Kể từ x* và y* là hằng số, chúng ta có

ε˙=f(x*+ε,y*+δ),δ˙=g(x*+ε,y*+δ)Phân tích ổn định tuyến tính tiến hành bằng cách giả định rằng các nhiễu loạn ban đầu ε(0) và δ(0) đủ nhỏ để cắt ngắn sự mở rộng hai chiều của dòng Taylor của f và g khoảng ε=δ=0 đến thứ tự đầu tiên trong ε và δ Lưu ý rằng nói chung, chuỗi Taylor hai chiều của một hàm F(x,y) về nguồn gốc được đưa ra bởi

F(x,y)=F(0,0)+xFx(0,0)+yFy(0,0)+1/2[x2Fxx(0,0)+2xyFxy(0,0)+y2F

yy(0,0)]+…

trong đó các số hạng trong bản mở rộng có thể được ghi nhớ bằng cách yêu cầu tất cả các đạo hàm từng phần của chuỗi đồng ý với đạo hàm của F (x, y) tại nguồn gốc Bây giờ chúng tôi Taylor- loạt mở rộng f (x*+ ε, y*+ δ) và g(x*+ε, y*+δ) khoảng (ε,δ)=(0,0) Các số hạng không đổi biến mất kể từ (x* ,y*) là một điểm cố định và chúng tôi bỏ qua tất cả các điều khoản có đơn đặt hàng cao hơn ε và δ Do đó

ε̇=fx(x*, y*)+δfy(x*, y*), δ˙=εgx(x*, y*)+δgy(x*,y*)

có thể được viết dưới dạng ma trận như

J*v = λtvv, với J* =

,trong đó λtv là giá trị riêng, v là vecto riêng tương ứng, và J* ma trận Jacobi được đánh giá tại điểm cố định Giá trị riêng được xác định từ phương trình đặc trưng

det(J* −γΔtU(t)V(t) λtvI)=0,trong đó đối với ma trận Jacobi bậc hai dẫn đến phương trình bậc hai cho λtv Từ phương trình hệ quả, điểm cố định ổn định nếu với tất cả các giá trị riêng λtv, Re{λ}<0, và không ổn định nếu có ít nhất một λ, λtv}<0, và không ổn định nếu có ít nhất một λtv, Re{λ}<0, và không ổn định nếu có ít nhất một λ, λtv}>0 Ở đây Re{λ}<0, và không ổn định nếu có ít nhất một λ, λtv} có nghĩa là phần thực của giá trị riêng phức (có thể λtv Bây giờ chúng ta xem xét lại các phương trình Lotka-

Volterra Các giải pháp điểm cố định được tìm thấy bằng cách giải U˙

FU=α−γΔtU(t)V(t)γV,GU=eγV,FV=−γΔtU(t)V(t)γU,Gv=eγU−γΔtU(t)V(t)β

Jacobi tại điểm cố định (U*,V*)=(β/eγ,α/γ) là

Và

có nghiệm λtv±=±i√αβ, hoàn toàn là số ảo Khi các giá trị riêng của

Jacobi bậc hai là số ảo thuần túy, điểm cố định được gọi là trung tâm

và nhiễu loạn không phát triển cũng không phân rã, mà dao động Ở đây, tần số góc của dao động là ω=√αβ, và chu kỳ dao động là 2π/ω Chúng tôi vẽ U và V so với t (thay đổi theo thời gian) và V so với U (về mặt pha) để xem các giải pháp hoạt động như thế nào Đối với một

hệ phương trình phi tuyến như phương trình đầu tiên, cần có một

nghiệm số

Phương trình Lotka-Volterra có bốn tham số tự do α.β.γ và e Các đơn vị liên quan ở đây là thời gian, số lượng con mồi và số lượng động vật ăn thịt The Buckingham Pi-Định lý dự đoán rằng việc khôngchiều hóa các phương trình có thể làm giảm số lượng tham số tự do xuống ba đến một nhóm tham số không thứ nguyên đơn có thể quản lýđược Ta chọn không chiều hóa thời gian bằng cách sử dụng tần số dao động góc và số lượng con mồi và động vật ăn thịt bằng cách sử dụng các giá trị điểm cố định của chúng Với dấu mũ biểu thị các biến không thứ nguyên, ta có

Việc thay thế như vậy vào phương trình Lotka-Volterra dẫn đến các phương trình không thứ nguyên

với nhóm không thứ nguyên r =√αβ Đặc điểm kỹ thuật của r cùng với điều kiện ban đầu quyết định hoàn toàn giải pháp Cần lưu ý ở đây rằng giải pháp lâu dài của phương trình Lotka-Volterra phụ thuộc vào các điều kiện ban đầu Sự phụ thuộc này vào các điều kiện ban đầu thường được coi là một lỗ hổng của mô hình

1.3 Ý nghĩa

Mô hình Lotka-Volterra là một công cụ quan trọng trong nghiêncứu động lực học dân số, đặc biệt là trong việc hiểu quan hệ giữa cácdân số săn mồi và kẻ săn trong các hệ sinh thái Mô hình này có ýnghĩa quan trọng về mặt lý thuyết và thực tiễn:

Dự đoán và mô tả sự biến động dân số: Mô hình Lotka-Volterra mô

tả cách các dân số của săn mồi và kẻ săn tương tác với nhau qua thờigian Nó giúp dự đoán và mô tả các biến động tự nhiên trong các hệsinh thái, bao gồm cả sự thay đổi trong dân số sau thảm họa tự nhiênhay can thiệp của con người

Giải thích chu kỳ săn mồi và kẻ săn: Mô hình này giải thích được

sự xuất hiện của chu kỳ trong số lượng các loài săn mồi và kẻ săn Khidân số săn mồi tăng lên, dân số kẻ săn cũng tăng theo và ngược lại Sựbiến đổi này tạo ra các chu kỳ tương tác giữa hai loài, điều này phảnánh rất chính xác trong thực tế

Phân tích ổn định và động cơ: Mô hình Lotka-Volterra cho phépphân tích sự ổn định của hệ sinh thái Điều này bao gồm việc xác địnhcác điểm ổn định và không ổn định trong các dân số, cũng như dựđoán cách các hệ thống sẽ phản ứng khi có sự thay đổi trong môitrường hoặc điều kiện nội bộ

Áp dụng trong quản lý và bảo tồn: Mô hình này có thể được ápdụng trong quản lý các nguồn tài nguyên thiên nhiên và trong cácchương trình bảo tồn Hiểu biết về mối quan hệ giữa các dân số sănmồi và kẻ săn có thể giúp quản lý hiệu quả hơn các loài quan trọng vàgiúp duy trì sự cân bằng sinh thái

1.4 Tác động của con người tới hệ sinh thái thông qua mô hình Lotka – Volterra

Phương trình Lotka-Volterra cung cấp cho con người một cách tiếp cận để tác động vào hệ sinh thái và đạt được các mục tiêu cụ thể,

thông qua việc điều chỉnh các tham số của phương trình Một số cách

mà con người có thể tác động vào hệ sinh thái bằng cách thay đổi các tham số của mô hình Lotka-Volterra:

a) Quản lý săn bắn và bảo tồn: Con người có thể điều chỉnh mức độ săn bắn của các loài kẻ săn để kiểm soát dân số của chúng và bảo vệ dân số của các loài săn mồi Bằng cách giảm áp lực săn bắn lên các loài săn mồi, chúng ta có thể giữ cho dân số của chúng ổn định.

b) Điều chỉnh môi trường sống: Thay đổi môi trường sống của các loài, chẳng hạn như cung cấp thêm nơi ẩn náu cho các loài săn mồi hoặc loài thực vật mà chúng ưa thích, có thể ảnh hưởng đến dân số của chúng và do đó ảnh hưởng đến quan hệ săn mồi và kẻ săn

c) Can thiệp trong cơ cấu dân số: Thực hiện các biện pháp như giảmdân số bằng cách diệt trừ hoặc di dời một số cá thể, hoặc thậm chí thúc đẩy sự tái định cư của các loài, có thể ảnh hưởng đến cả hai dân

số và do đó tác động lên mô hình Lotka-Volterra

d) Kiểm soát các yếu tố bên ngoài: Các yếu tố như biến đổi khí hậu,

sự phát triển kinh tế và thay đổi địa hình có thể ảnh hưởng đến mô hình Lotka-Volterra bằng cách thay đổi các tham số mà không cần sự can thiệp trực tiếp từ con người

Tuy nhiên, việc thay đổi các tham số của mô hình cần phải được thực hiện cẩn thận và được dựa trên hiểu biết sâu sắc về hệ sinh thái

cụ thể, vì các biến đổi không mong muốn có thể dẫn đến hậu quả không mong đợi cho cả hệ sinh thái

2 Phương pháp Euler và Euler cải tiến

Trong toán học và khoa học máy tính, phương pháp Euler là một phương pháp số bậc một để giải các phương trình vi phân thường (ODEs) với giá trị ban đầu cho trước Nó là phương pháp hiện

(explicit) cơ bản nhất cho việc tính tích phân số của các phương trình

vi phân thường và là phương pháp Runge-Kutta đơn giản nhất

Phương pháp Euler được đặt theo tên của Leonhard Euler, người đã đềcập đến phương pháp này trong cuốn sách Institutionum calculi

integralis của ông (xuất bản 1768-1770)

Định nghĩa:

Phương pháp Euler là một phương pháp bậc một, có nghĩa là sai số cục bộ (sai số mỗi bước) tỷ lệ thuận với bình phương của kích thước

bước, và sai số tổng thể (sai số tại một thời điểm nào đó) tỷ lệ thuận với kích thước bước Phương pháp Euler thường phục vụ như là cơ sở

để xây dựng các phương pháp phức tạp hơn, ví dụ như phương pháp

Dự đoán- Hiệu chỉnh

Công thức Euler:

Công thức Euler cải tiến:

Định lý Euler:

Định lý Euler phát biểu rằng nếu n là số nguyên dương bất kỳ và a là

số nguyên tố cùng nhau với n, thì

α φ(n) ≡1(mod n)

trong đó φ(n) là ký hiệu của phi hàm Euler đếm số các số nguyên giữa

1 và n nguyên tố cùng nhau với n Đây là tổng quát hóa của định lý nhỏ Fermat vì nếu n = p là số nguyên tố thì φ(p) = p −γΔtU(t)V(t) 1

Định lý này có thể được sử dụng để dễ dàng giản ước với module n rấtlớn Ví dụ tìm chữ số tận cùng của số 7222 7222 ≡ 74x55 + 2 ≡ (74)55x72 ≡

155x72 ≡ 49 ≡ 9 (mod 10) Vậy 7222 có chữ số tận cùng là 9

CHƯƠNG 2: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Ngoài ra, trong những trường hợp có thể tìm ra nghiệm đúgn của bài toán Cauchy (1) quá phức tạp thì người ra cũng ít dùng

Vì vậy, việc tìm những phương pháp giải gần đúng bài toán

Cauchy có vai trò rất quan trọng trong thực tế

2.1.2 Sử dụng công thức Euler

Để tìm nghiệm gần đúng của bài toán (1) ta chia đoạn [a,b] thành n đoạn nhỏ bằng nhau với h = b−a n khi đó các điểm chia là x0

= a, xk = x0 + k.h, k=0, 1, 2, , n, xn = b Giá trị gần đúng cần tìm của hàm tại điểm xk được kí hiệu là yk và ta có

yk≈ y(xk)

Giả sử y(x) là nghiệm duy nhất của bài toán (1), có đạo hàm đến cấp 2 liên tục trên đoạn [a,b] Với mỗi k = 0, 1, 2, , n-1 theo công thức taylor trên đoạn [xk, xk+1], ta có: