toán thống kê

-Định lý :Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc khi đó xác suất của tổng A.B chính bằng PA+PB... Lấy ngẫu nhiên từ lớp học ra 3 sinh viên .Tính xác xuất để a... Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 vi

Phần I : Lý thuyết xác suất

I.Các khái niệm cơ bản về xác suất :

1.Phép thử và biến cố :

a.Phép thử :

-Ngẫu nhiên

-Không ngẫu nhiên

b.Biến cố : kết cục có thể xảy ra khi ta thực hiện phép thử

VD1 :

Gọi Wi là biến cố mặt có i xuất hiện Khi đó :

Wi   Mặt có i chấm xuất hiện   Wi gọi là biến cố sơ cấp

Suy ra A  W4,W5,W6  gọi A là biến cố thường

gọi là biến cố rỗng

4.   Mặt có số chấm  7 xuất hiện   biến cố luôn luôn xảy ra gọi là biến cố chắc chắn    W1,W2…W6  gọi là tập vũ trụ

2.Các phép toán đối với biến cố :

a.Biến cố tổng : Cho 2 biến cố A và B,khi đó tổng A+B cũng là 1 biến cố,biến cố này xảy ra khi A xả ra hoặc B xảy ra

VD2 : Tung 1 con xúc xắc.Gọi A là biến cố mặt có số chấm > 3

xuất hiện và B là biến cố mặt có số lẻ xuất hiện Khi đó :

A  mặt có số chấm  3 xuất hiện  A  W4,W5,W6

B  mặt có số chấm lẻ xuất hiện  B  W1,W3,W5 Suy ra A+B  W1,W3,W4,W5,W6

b.Biến cố tích : Cho 2 biến cố A và B ,tích A.B (AB)  Tích này là

1 biến cố ,xảy ra khi A xảy ra hoặc B xảy ra

VD3 : Có giả thiết như VD1 ở biến cố tổng Khi đó tích A.B

W5

c.Biến cố xung khắc : Cho 2 biến cố A và B Khi đó A và B xung khắc nhau nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không thể xảy

ra và ngược lại (nó không có phần tử chung và đồng nghĩa tích của nó là biến cố rỗng  )

VD4 :

A  mặt có số chấm  3 xuất hiện  A  W4,W5,W6 A1  mặt có số chấm < 3 xuất hiện  A  W1,W2

A2  mặt có số chấm  3 xuất hiện  A  W1,W2,W3

 A và B xung khắc A và B cộng đúng là  tập vũ trụ  B=A đối

Còn gọi là biến cố đối lập với biến cố A

e.Hệ đầy đủ các biến cố :

Cho hệ gồm n biến cố mà ký hiệu : Hi được gọi là hệ đầy đủ n biến cố

Nếu các biến cố Hi và Hj xung khắc với nhau = biến cố rỗng 

Ta có : Hi.Hj = ,i≠j và ∑

i=1

n

Hi 

II.Các định lý về xác suất :

1 Xác suất xuất hiện 1 biến cố :

Khái niệm : xác suất xuất hiện 1 biến cố khi ta thực hiện phép thử nó là 1 con số Con số này đã đặc trưng cho khả năng xuất hiện biến cố đó khi ta thực hiện phép thử

Ký hiệu : P(A) : xác suất biến cố A

Chú ý : 0  P(A)  1 ; P(A) = 0  A = ϕ ; P(A) = 1

 A = 

2 Định nghĩa cố điển về xác suất : P(A) = nA n ; nA : số các kết cục thuận lợi để A xảy ra ; n : tổng số các kết cục đồng khả năng có thể xảy ra khi thực hiện phép thử

3 Các định lý về xác suất :

a.Định lý cộng xác suất :

-Định lý :Nếu A và B là 2 biến cố xung khắc khi đó xác suất của tổng A.B chính bằng P(A)+P(B)

Suy ra P(A+B) = P(A)+P(B)

-Hệ quả :

1 A,B,C xung khắc từng đôi một : P(A+B+C) = P(A)+P(B) +P(C)

2 Xét 2 biến cố đối lập A và ´A :

 A.´A =  và A+´A = 

 P(A+´A)= P(A)+P(´A)

 P()=1  P(A)+P(´A) = 1  P(´A) = 1 – P(A)

b.Định lý nhân xác suất :

-A và B độc lập : Nếu biến cố này xảy ra hay không xảy ra

không làm ảnh hưởng đến xác suất xuất hiện biến cố kia

-Định lý : A và B độc lập thì : P(AB) = P(A).P(B)

-Hệ quả : A,B,C độc lập  P(ABC)= P(A).P(B).P(C)

c.Định lý cộng và nhân xác suất tổng :

Với A và B bất kỳ, ta có :

 P(A.B) = P(A).P(B A) = P(B).P(A B)

 P¿) = P(AB´ ) ; P(´A ´B) = P(A+B´ ) = 1-P(A+B)

Phần II : THỐNG KÊ

I,Tổng thể và mẫu nghiên cứu :

1.Tổng thể :

-là tất cả đối tượng có chung đặc điểm và đặc tính gọi là tổng thể

-số lượng các phần tử trong tổng thể gọi N là hữu hạn vô hạn

*Các đặc trưng của tổng thể

-Trung bình của tổng thể ký hiệu là : M

- Phương sai của tổng thể ký hiệu 2

- Độ lệch chuẩn của tổng thể ký hiệu σ

- Tỷ lệ hay là xác suất tổng thể : P

2.Mẫu :

- Khái niệm : Một mẫu cỡ n gồm N biến ngẫu nhiên độc lập nằm trong tổng thể nghiên cứu và có cùng quy luật phân phối xác suất và tổng thể nghiên cứu

-Biểu diễn mẫu bảng phân tần số

- Giả sử cỡ n nhân các giá trị : x1,x2, xk với các tần số tương ứng : n1,n2,…nk

- Bảng phân phối tần số :

Tần số tương

Chú ý : x1 < x2 < … xk ; ∑

i=1

k

¿= n 3.Các đặc trưng của mẫu :

a.Trung bình mẫu :

´

x= 1n ∑

i=1

k

xi ∋¿ ¿

b Trung bìnhbình phương độ lệch:

-Ký hiệu : MS

MS = 1n ∑

i=1

k

(xi−´x )2 ni = 1n ∑

i=1

k

xi2∋− ¿ ( ´x)2

c Phương sai mẫu :

Ký hiệu : S2

2

S = n−11 ∑

i=1

k

(xi−´x )2.ni = n

n−1 MS

d.Độ lệch chuẩn : S=√S2

II.Ước lượng giá trị tham số

Ước lượng khoảng :

Khoảng   được gọi là khoảng ước lượng cho 1 tham số () 1; 2

nào đấy Với độ tin cậy 1 – α nếu xác suất P(1 2) =1 – α

PHẦN III.BÀI TẬP :

Bài 1 :

Có 3 sinh viên cùng nhau tham dự 1 kỳ thi :

Gọi A là biến cố sinh viên thứ 1 đỗ

Gọi B là biến cố sinh viên thứ 2 đỗ

Gọi C là biến cố sinh viên thứ 3 đỗ

Hãy biểu diễn các biến cố sau theo A,B,C

a.Chỉ có sinh viên thứ 1 đỗ

b.Chỉ đúng 1 sinh viên đỗ

c.Có đúng 2 sinh viên đỗ

d.Cả 3 sinh viên đều đỗ

e.Có ít nhất 1 sinh viên đỗ

Lời giải

a A’ = A.´B.C´

b B’ = A.´B.C´ + ´A.B.C´ + ´A.´B.C

c C’ = A.B.C´ + ´A B C + A.´B C

d D=ABC

e E = B’+C’+D’ = A.´B.C´ + ´A B ´C + ´A.´B.C+ A.B.C´ + ´A B C+ A.´B C

+ABC

Bài 2 : Một người bắn 3 phát đạn vào bia,gọi A1 là biến cố viên

thứ 1 trúng,A2 là biến cố viên thứ 2 trượt,A3 là biến cố viên thứ

3 trượt.hãy biểu diễn các biến cố theo A1,A2,A3 ?

a.Có đúng 1 viên trúng

b.Có đúng 2 viên trúng

c.Có đúng 3 viên trúng

d.Có ít nhất 1 viên trúng

Lời giải a.A = A1.A2.A3 + A 1 ´´ A 2 A 3+ ´ A 1.A2.A 3´

b.B = A1.A 2 ´ A3 + A1.A 2 ´ A 3 + A 1 ´´ A 2.A 3´

c.C = A1.A 2´ A 3´

d.D= A+B+C = A1.A2.A3 + A 1 ´´ A 2 A 3+ ´ A 1.A2.A 3´ + A1.A 2 ´ A3 + A1.A 2 ´ A 3 + A 1 ´´ A 2.A 3´ + A1.A 2´ A 3´

VD 5 : Tung 1 con xúc sắc Gọi A  mặt có số chấm  3 xuất

hiện.Tính P(A)

Lời giải Phép thử : tung 1 con xúc xắc …

Ta có :  = W1,W2,…W6  n = 6

A  mặt có số chấm  3 xuất hiện = W4,W5,W6  nA= 3

Khi đó : P(A) = 36 = 12 = 0,5 = 50%

Vậy xác suất để mặt có số chấm lớn hơn 3 xuất hiện là 50%

Bài 3 : Một lớp học có 25 sinh viên trong đó có 15 nam và 10

nữ Lấy ngẫu nhiên từ lớp học ra 3 sinh viên Tính xác xuất để

a Có đúng 1 sinh viên nữ

b Có đúng 2 sinh viên nữ

c Có cả 3 sinh viên nữ

d Có ít nhất 1 sinh viên nữ

Lời giải Phép thử : lấy ngẫu nhiên 3 sinh viên từ lớp học có 25 sinh viên suy ra n = c253 = 3! 22!25 = 23.24 25

3 !22 ! =2300

a. A = Có đúng 1 sinh viên nữ

 nA = c101 c152 = 1050

Suy ra P(A) = nA n = 10502300 = 2146

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiễn từ lớp học ra 3 sinh viên có đúng 1 sinh viên nữ là 2146

b. B = Có đúng 2 sinh viên nữ

 nB = c102 c151 = 675

Suy ra P(B) = nB n = 2300675 = 2792

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiễn từ lớp học ra 3 sinh viên có đúng 2 sinh viên nữ là 2792

c. C = Có cả 3 sinh viên nữ

 nC = c103 .c150 = 120

Suy ra P(C) = nC n = 2300120 = 1156

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiễn từ lớp học ra 3 sinh viên thì

cả 3 sinh viên đều là nữ là 1156

d. D = Có ít nhất 1 sinh viên nữ

 D´ = Biến cố không có sinh viên nữ

 nD´ = c100 c153 =455

Suy ra P(D´) = n ´D n = 2300455 = 46091

Mà P(D) + P(D´) = 1

 P(D) = 1 - P(D´) = 1- 46091 = 369460

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiễn từ lớp học ra 3 sinh viên thì có

ít nhất 1 sinh viên nữ là 1156

Bài 4 : 1 hộp có 30 viên bi trong đó có 15 bi đỏ , 8 bi xanh và 7

bi vàng Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 3 viên bi Tính xác suất để :

a Có đúng 1 bi xanh

b Có đúng 2 bi xanh

c Mỗi viên 1 màu

d Có ít nhất 1 bi xanh

Lời giải Phép thử : lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp có 30 viên bi ,suy ra n = c303 = 4060

a. A = Có đúng 1 bi xanh

 nA = c81.c222 = 1848

Suy ra P(A) = nA n =18484060 = 14566

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiễn 3 viên bi từ hộp 30 viên bi có đúng 1 bi xanh là 14566

b. B = Có đúng 2 bi xanh

 nB = c82.c221 = 616

Suy ra P(B) = nB n =4060616 = 14522

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiễn 3 viên bi từ hộp 30 viên bi có đúng 2 bi xanh là 14522

c. C = Mỗi viên 1 màu

 nC = c81.c151 c71= 840

Suy ra P(C) = nC n =4060840 = 296

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiễn 3 viên bi từ hộp 30 viên bi có mỗi viên 1 màu là 296

d D = Có ít nhất 1 viên xanh

 D´ = Không có viên bi xanh

Ta có : nD´ = c80.c223 = 1540

Suy ra P(D´) = n ´D

n = 15404060 = 1129

Mà P(D) + P(D´) = 1

 P(D) = 1 - P(D´ ) = 1- 1129 = 1829

Vậy xác suất để lấy ngẫu nhiễn 3 viên bi từ hộp 30 viên bi có ít nhất 1 viên xanh là 1829

Bài 5 : cho 2 biến cố A và B

Biết : P(A)=0.7 ; P(B)=0.8 ; P(AB)=0.6 Tính P(A+B) ; P¿) ; P(´A.´B)

Lời giải P(A+B) = P(A) + P(B) – P(AB) = 0.7 + 0.8 – 0.6 = 0.9

P¿) = P(AB´ ) = 1- P(AB) = 1-0.6 = 0.4

P(´A ´B) = P(A+B´ ) = 1-P(A+B) = 1-0.9 = 0.1

Bài 6 : Cho 2 biến cố A và B : P(A) = 0.65 ; P(B) = 0.45 ; P(A+B)

= 0.9

Tính P(A.B) ; P¿) ; P(´A.´B)

Lời giải P(A.B) = P(A) + P(B) – P(A+B) = 0.65 + 0.45 – 0.9 = 0.2

P¿) = P(AB´ ) = 1- P(AB) = 1-0.2 = 0.8

P(´A ´B) = P(A+B´ ) = 1-P(A+B) = 1-0.9 = 0.1

Bài 7 : Một xưởng sản xuất có 3 máy cùng hoạt động độc lập

Biết rằng xác suất hỏng của máy lần lượt là 0,03 ; 0,02 ; 0,05 Tính xác suất để khi hoạt động :

a Xưởng có đúng 1 máy bị hỏng

b Xưởng có đúng 2 máy bị hỏng

c Xưởng có đúng cả 3 máy bị hỏng

d Xưởng có đúng ít nhất 1 máy bị hỏng

Lời giải Gọi A1 là biến cố máy 1 bị hỏng

Gọi A2 là biến cố máy 2 bị hỏng

Gọi A3 là biến có máy 3 bị hỏng

Theo đề bài :

P(A1) = 0,03  P(´A 1) = 1-P(A1) = 0,97

P(A2) = 0,02  P(A 2´ ¿ = 1-P(A2) = 0,98

P(A3) = 0,05  P(´A 3) = 1-P(A3) = 0,95

A1 , A2 , A3 hoạt động độc lập

 A = A1.A 2´ A 3´ + A 1´ A2.A 3´ + A 1´ A 2´ A3

P(A) = P(A1.A 2´ A 3´ + A 1´ A2.A 3´ + A 1´ A 2´ A3)

= P(A1).P(A 2´ ¿.P(A 3´ ¿ + P(A 1´ ¿.P(A2).P(A 3´ ¿ + P(A 1´ ¿.P(

´

A 2¿.P(A3)

= 0,03.0,98.0.95 + 0,97.0,02.0,95 + 0,97.0,98.0,05

= 0,09389

Vậy xác suất xưởng có đúng 1 máy bị hỏng là 0,09389

b. B = Xưởng có đúng 2 máy bị hỏng

 B = A1.A 2 ´ A 3 +A 1 ´ A 2.A3 + A 1´ A2.A 3

P(B)= P(A1.A 2 ´ A 3 +A 1 ´ A 2.A3 + A 1´ A2.A 3)

= P(A1).P(A 2¿ P(A 3)´ +P(A 1¿ P( ´ A 2).P(A3) + P(A 1´ ¿

.P(A2).P(A 3¿

= 0,03.0,02.0,95 + 0,03.0,98.0,05 + 0,97.0,02.0,05

= 0,00301

Vậy xác suất xưởng có đúng 2 máy bị hỏng là 0,00301

c. C = Xưởng có cả 3 máy bị hỏng

 C = A1.A2.A3

P(C) = P(A1.A2.A3) = P(A1).P(A2).P(A3)

= 0,03 0,02 0,05 = 0,00003

Vậy xác suất xưởng có cả 3 máy bị hỏng là 0,00003

d. D = Xưởng có ít nhất 1 máy bị hỏng

D´ = Xưởng không có máy nào bị hỏng

 D´= A 1´ A 2´ A 3´

P(D´) = P(A 1´ A 2´ A 3´ ) = P(A 1´ ¿.P( ´ A 2).P(A 3)´

= 0,97 0,98 0,95 = 0,90307

Mà P(D) = 1- P(D´) = 1- 0,90307 = 0,09693

Vậy xác suất xưởng có ít nhất 1 máy bị hỏng là 0,09693

Bài 8a : Điều tra điểm thi xác suất thống kê của 1 nhóm 20

sinh viên Người ta thu được bảng số liệu sau :

Hãy lập bảng phân phối tần số cho số liệu trên ?

Lời giải Bảng phân phối của tần số của điểm trên đề bài là :

Tần

Bài 8b : Hãy tính các đặc trưng của mẫu trên :

Lời giải Lập bảng dọc :

ta có n = 20 ; xi.ni = 103

suy ra : ´x= 1n ∑

i=1

k

xi ∋¿ ¿ = 10320 = 5,15 Vậy trung bình mẫu bằng 5,15

ta có n=20 ; xi2.∋¿ = 617 ;( ´x)2 = (5,15 ¿ ¿2

MS = 1n ∑

i=1

k

xi2∋− ¿ ( ´x)2 = 61720 - (5,15) 2 = 4,3275

Vậy trung bình bình phương độ lệch bằng 4,3275

 Phương sai mẫu :

Ta có : n = 20 và MS = 4,3275

2

S = n

n−1 MS = 20

19 4,3275 = 4,5553

Vậy phương sai mẫu bằng 4,5553

 Độ lệch chuẩn S=√S2 = √4,5553 = 2,1343

Vậy độ lệch chuẩn bằng 2,1343

Bài 8c : Tìm khoảng ước lượng cho tham số M với độ tin cậy 1 –

α cho trước

Lời giải Công thức : Khoảng ước lượng đối xứng

(´x - √S n t α

2 (n-1) ; ´x +√S n t α

2 (n-1) ).Trong đó t α

2 (n-1) là giá trị giới hạn

Student mức α2 bậc (n-1) tra trong bảng phụ lục giá trị giới hạn student

Bài 8d : Hãy ước lượng điểm xác suất thống kê trung bình

trong kỳ thi trên với độ tin cậy 95%.Biết rằng :

t0,05 (19) = 1.729 ;t0,05 (20) = 1.725 ; t0,025(19) = 2.093 ;t0,025 (20) = 2.086

Lời giải Theo đề bài : 1 – α = 95%  α = 0,05  α2 = 0,025

Vậy khoảng ước lượng cho M hay điểm xác suất thống kê trung bình Với độ tin cậy 95% là : (´x - √S n t α

2 (n-1) ; ´x +√S n t α

2 (n-1)

)

= (5,15 - 2,1343

√20 t0,025(19) ; 5,15 + 2,1343

√20 t0,025(19) )

= ( 4,1511 ; 6,1489 )

Kết luận : Với độ tin cậy 95% thì điểm xác suất thống kê trung bình khoảng (4,1511 ; 6,1489 )

THÊM :

Bảng phụ lục giá trị giới hạn student : cách tra nhìn dọc và ngang cho điểm giao nhau là kết quả của α

và n

Ví dụ : α=0.025 và n = 19 cho giá trị 2.093 Vậy t0,025(19) = 2.093

BẢNG GIÁ TRỊ TỚI HẠN PHÂN PHỐI STUDENT

α

1 1.376 1.963 3.078 6.314 12.71 31.82 63.66 127.3 318.3

2 1.061 1.386 1.886 2.920 4.303 6.965 9.925 14.09 22.33

3 0.978 1.250 1.638 2.353 3.182 4.541 5.841 7.453 10.22

4 0.941 1.190 1.533 2.132 2.776 3.747 4.604 5.598 7.173

5 0.920 1.156 1.476 2.015 2.571 3.365 4.032 4.773 5.893

6 0.906 1.134 1.440 1.943 2.447 3.143 3.707 4.317 5.208

7 0.896 1.119 1.415 1.895 2.365 2.998 3.499 4.029 4.785

8 0.889 1.108 1.397 1.860 2.306 2.896 3.355 3.833 4.501

9 0.883 1.100 1.383 1.833 2.262 2.821 3.250 3.690 4.297

10 0.879 1.093 1.372 1.812 2.228 2.764 3.169 3.581 4.144

11 0.876 1.088 1.363 1.796 2.201 2.718 3.106 3.497 4.025

12 0.873 1.083 1.356 1.782 2.179 2.681 3.055 3.428 3.930

13 0.870 1.079 1.350 1.771 2.160 2.650 3.012 3.372 3.852

14 0.868 1.076 1.345 1.761 2.145 2.624 2.977 3.326 3.787

15 0.866 1.074 1.341 1.753 2.131 2.602 2.947 3.286 3.733

16 0.865 1.071 1.337 1.746 2.120 2.583 2.921 3.252 3.686

17 0.863 1.069 1.333 1.740 2.110 2.567 2.898 3.222 3.646

18 0.862 1.067 1.330 1.734 2.101 2.552 2.878 3.197 3.610

19 0.861 1.066 1.328 1.729 2.093 2.539 2.861 3.174 3.579

20 0.860 1.064 1.325 1.725 2.086 2.528 2.845 3.153 3.552

21 0.859 1.063 1.323 1.721 2.080 2.518 2.831 3.135 3.527

22 0.858 1.061 1.321 1.717 2.074 2.508 2.819 3.119 3.505

23 0.858 1.060 1.319 1.714 2.069 2.500 2.807 3.104 3.485

24 0.857 1.059 1.318 1.711 2.064 2.492 2.797 3.091 3.467

25 0.856 1.058 1.316 1.708 2.060 2.485 2.787 3.078 3.450

26 0.856 1.058 1.315 1.706 2.056 2.479 2.779 3.067 3.435

27 0.855 1.057 1.314 1.703 2.052 2.473 2.771 3.057 3.421

28 0.855 1.056 1.313 1.701 2.048 2.467 2.763 3.047 3.408

29 0.854 1.055 1.311 1.699 2.045 2.462 2.756 3.038 3.396

30 0.854 1.055 1.310 1.697 2.042 2.457 2.750 3.030 3.385