03 đại chương 3 hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn da chinh sua

Trang 1

CHƯƠNG III HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN BÀI 1 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ 1, KHÁI NIỆM

– Là phương pháp dùng quy tắc thế để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

– Dùng quy tắc thế để biến đổi hệ phương trình đã cho để được một hệ phương trình mới trong đó có một phương trình một ẩn

– Giải phương trình một ẩn rồi suy ra nghiệm của hệ Chú ý:

+ Nên sử dụng khi hệ số của một trong hai biến có hệ số là 1

+ Ta có thể thế nguyên của một biểu thức thay vì chỉ thế mỗi biến đơn

( )( )

12

Từ phương trình ( )1 ta có: x=3y+2 thay vào phương trình ( )2 , Khi đó:

 − =

2− =

 + =

x yx y

Bài 3: Giải hệ phương trình sau:

+ =

 − =

x y

6+ =

 − =

x y

5− =

 + =

x yx y

 + =

 − =

 + =

x yx y

− =

 + =x yx y b,

− =

 + =xx yy

Trang 2

− =

 + =

 − =

x yx y

+ =

 − =

x y

2+ =

− + =

x yx y

 + =

 − =

x yx y

− = −

 + =

 − =

x yx y

 − =

xyxy

+ =

 + =

 − = −

 + =

xyxy

− =

 + = −

 + =

x yx y

a,  + =x y− =2 b,  − =3x y+ =3 c,  − = −2x y− =7

Trang 3

− =

 − =

x yxy

 + =

x yxy

xyxy

 + =

 − =

x yxy

− =

 + =

x yxy

 − =

 + =

− + =

xyxy

2+ =

− + =

 − =

xyxy

− =

 + =

x y

xy

a,  − =5x+2y=4 b,  + =x−2y=1 c, − + =2x−3y=1

Trang 4

5− =

 + =

 − = −

 + = −

 − = −

x yxy

Bài 28: Giải hệ phương trình sau: a, 2 5 12

 + =

5− =

 + =

xyxy

+ =

 − =

 + =

 − =

x yxy

− = −

 + =

xyxy

− = −

 + =

xyx y

 − =

 + = −

x yxy

− =

 + =

 − =

xyxy

Trang 5

BÀI 2 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP CỘNG ĐẠI SỐ 1, KHÁI NIỆM

– Là phương pháp dùng quy tắc cộng hoặc trừ theo vế để biến đổi hệ phương trình thành hệ phương trình mới tương đương với phương trình đã cho –

– Các bước biến đổi:

B1: Nhân thêm các hệ số để các hệ số của cùng 1 biến bằng nhau B2: Cộng, Trừ theo vế hai phương trình ta được một phương trình mới B3: Thay phương trình mới bằng 1 phương trình cũ rồi tìm nghiệm

xyxy

a,

22( )

2+ − =

xyxy

 + =

xyxy

 − =

xyxy

+ = −

 − = −

xyxy

 + = −

xyxy

Trang 6

a, 2 3 5

− = −

 + =

 + + =

 + = −

 − =

xyxy

− = −

 + =

xyxy

 − =

xyxy

 + =

+ = −



Trang 7

− =



Trang 8

x yy

 + = −

+ = −

+ = +

Trang 9

 + =

 − =

x yyx

a, 2 3 424 2 + =

 + = −

x yx yxy

a,

73 31

 + =

 − =

 + = −

x yx y



Trang 10

Bài 40: Xác định a,b để đồ thị của hàm số =y ax b , đi qua hai điểm A và B trong mỗi trường hợp sau: +a, A(2 : 2 ,− ) (B −1;3) c, A(− −4; 2 , 2;1) ( )B

a, ( )d1 :5a−2y c= , ( )d2 :x by+ =2 Biết rằng ( )d1 đi qua A(5; 1− ) và ( )d2 đi qua B(−7;3) b, ( )d ax1 : +2y= −3, ( )d2 :3x by− =5 Biết ( )d đi qua 1 M( )3;9 và ( )d đi qua 2 N(−1;2)

Bài 50: Cho hệ phương trình: 1

− =

 − =

x y

xy Xác định a và b sao cho các hệ phương trình sau tương

đương với hệ phương trình đã cho: 3 3

 − =

xy a

xy và 3 2 0= −

 − =

y x bxy

Trang 11

BÀI 3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ 1, QUY TẮC ĐẶT:

– Khi hệ phương trình chứa các biểu thức phức tạp giống nhau ở cả hai phương trình, ta có thể đặt ẩn phụ để hệ phương trình trở nên đơn giản hơn

 − =

a bab

2, BÀI TẬP VẬN DỤNG

a,

1 1 13 4 5 − =

 + =

x yx y

3 1 95 1 7 − =

 + =

x yx y

1 1 3

 + =

 − = −

x yx y

 − =

x yx y

3 1 2

 + =

 + = −

x yx y

108 63 781 84 7

a,

1 1 14 2 1 + =

 − =

x yx y

1 1 451 1 15 + =

 − =

x yx y

15 7 94 9 35

 + =

xyx y

1 1 21 1

 − =

Trang 12

 −

Trang 13

x y x yx y x y

xyx yx yxy

 +

yx y

x y xyx y xy

Trang 14

x yx yx yx y



Trang 15

x yx yx yx y

x y x y

x yx y

Trang 16

 +

 −

12 1

 −

yx y

 −

x y

Trang 17

 +

x y

Trang 18

a,

6 31

Trang 19

a, 2

21 5

 + =

22 3 13

 + − =

a, 2

Trang 20

xy xxy x

 −

xyx y

 − =

 + + =

x yx zxyz

 + + =

xyxzx y z

 − + =

 − = −

x yx yzzy

Bài 57: Giải hệ phương trình sau: a,

4+ + =

 − + =

 + =

x y zx yzx z

 − =

xy zx yzx y

− − = −

 + − =

 − + =

x yzx y zx yz

 + + =

 + − =

x y zxy z

 + + = −

xyzx yzxy z

− + =

 + − = −

 − − =

x y zxyzxyz

 + + = −

xyzx yzxy z

a,

 +

 +

= +

xyx y

yzy z

xzx z

125623 + =

 + =

 + =

x yxyzy z

xyzx z



Trang 21

a,

 +

x yxyy z

yzx z

 +

 +

xyx y

yzy z

zxz x

b,

 + =

 + =

x yzy zxz xy

 + =

 + =

xy yzyz zxzx xy

c,

5117− − =

 − − =

 − − =

xy x yyz y zzx z x

3815+ + =

 + + =

 + + =

xy x yyz y zzx z x

b,

 + + =

 + + =

x xy yy yz zzx z x

c,

 + + =

 + + =

x xy yy yz zz zx x

xxz yz yyxy yz zxxy xz z

HD:

Lấy ( ) ( ) ( )1 + 2 − 3 ta được: () (2 ) (2 )20

Trang 22

Bài 67: Giải hệ phương trình: 2223331

11+ + =

 + + =

 + + =

x y zxyzxyz

2127+ + =

 + + =

 + + =

x y zxyzxyz

Bài 69: Giải hệ phương trình :

4 14 1

Trang 23

Bài 72: Giải và biện luận hệ phương trình:  + =max my m+4y−2m=0

HD:

Từ ( )2 => = −x m my thay vào (1) ()( 2)( 2 2)

m my

Nếu m=2 thì phương trình vô số nghiệm Nếu m= −2 phương trình vô nghiệm Nếu m≠ ±2 hệ có 1 nghiệm duy nhất

Bài 73: Giải và biện luận hệ phương trình: 2 1

− = +

 + = −

x y mx ym

Bài 74: Giải và biện luận hệ phương trình: ( 1) 2 2 6+ = +

Bài 77: Giải và biện luận hệ phương trình: 2

− =

 − = +

mx ymx mym

mx y mx my

Bài 79: Giải và biện luận hệ phương trình: 22+ =

 + =

mx yx ym

Trang 24

Bài 82: Giải và biện luận hệ phương trình: (2 1)3 5 2

mxy mx my

− =

 − = +

mx ymx my m

Bài 86: Giải và biện luận hệ phương trình: 3 11

 + = +

mx ymx my m

Bài 87: Giải và biện luận hệ phương trình: 3 ( 2 )1

− =

a b x a b yaa b x a b ya

Bài 90: Cho hệ phương trình: 2 0

Trang 25

a, Giải khi m= −1

b, Giải và biện luận hệ phương trình

<=>  − + =

aay ay a

Để (I) có nghiệm duy nhất thì (1) phải có nghiệm duy nhất

Hay ( )1 <=>a(1−a y a a) = ( −2), có nghiệm duy nhất khi a(1−a)≠ => ≠0 a 0,a≠1

Bài 93: Cho hệ phương trình:  + =mxx my m+4y m= +2a, Giải hệ phương trình khi m=1 b, Giải và biện luận hệ phương trình

c, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất x,y nguyên

a, Giải hệ phương trình với a=2

b, Tìm tất cả các giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất

Bài 95: Cho hệ phương trình: (2 1) 2 2 2 4

a, Giải hệ phương trình khi m=1

b, Tìm tất cả các giá trị của m để hệ phương trình có vô số nghiệm

Bài 96: Cho hệ phương trình: 2 12− = +

 + =

x y mx my

a, Giải hệ phương trình khi m= 2

b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Trang 26

Bài 97: Cho hệ phương trình 21

 + =

x y mx my

a, Giải hệ phương trình khi m= 2

b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 99: Cho hệ phương trình: 3 2 63

 + = −

ax y Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 1: Cho hệ phương trình: ( 2) 22

+ = +

ax y a Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 2: Cho hệ phương trình:

 − =

 + =

xyx yxy m

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Để hệ có nghiệm duy nhất thì nghiệm ( )x y; cũng là nghiệm của phương trình (3)

xymxyx y

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 4: Cho hệ phương trình: ()

Trang 27

 + =

mx yx my

a, Giải và biện luận hệ phương trình

b, Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn: 1 2 23+ = −

mx y

HD:

a, Đưa hệ phương trình về phương trình: (m2+3)x= +5 2m

Hệ luôn có nghiệm duy nhất: 22 5, 5 2 6

 + =

x myxy

a, Giải hệ phương trình với m=3

b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( )x y thỏa mãn x và y là hai số đối nhau ;

m

b, Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất ( )x y thỏa mãn: >; x y

− + = +

axy ax y a

a, Giải hệ phương trình khi a=2

b, Tìm giá trị của a để hệ có nghiệm duy nhất sao cho x y− =1

Trang 28

Bài 10: ( 2 điểm) Cho hệ phương trình: 2

b, Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thỏa mãn x>0,y<0

− =

 − =

x y ax y

Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( )x y thỏa mãn ; y=2x

Bài 12: Cho hệ phương trình 4 10

 + = +

x mym

Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất ( )x y thỏa mãn ,; x y>0

 + =

x myxy

b, Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( )x y sao cho x và y là hai số đối nhau ;

Bài 14: ( 2 điểm) Cho hệ phương trình: 2

b, Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất thỏa mãn x>0,y<0

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( )x y thỏa mãn =; x y

Tìm số nguyên m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất ( )x y là các số nguyên ;

− =

 + =

mx yx my

Tìm giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất sao cho P=3x y nhận giá trị nguyên −

Trang 29

mxy Chứng minh hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất

( )x y; với mọi tham số m Tìm m để nghiệm ( )x y; thỏa mãn 3x+2 1 0y− ≥

+ =

 − = −

mx yx y

b, Xác định giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và thỏa mãn 2x+3y=12

+ =

 + = +

mx y

x my m với m là tham số

a, Giải và biện luận hệ pt

b, Trong TH hệ pt có nghiệm duy nhất Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m c, Tìm m để 4x+3y=7

 + = −

mxy mx mym

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

m x y mm

Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

Bài 23: Cho hệ phương trình: ( 1) 3 1

− = +

+ = +

mx ymx y m

Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ( )x y; thỏa mãn x y+ = −4

Trang 30

a, Giải hệ phương trình với m=2 b, Tìm m để hệ có nghiệm ( )x y dương ;

Bài 26: Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm dương: 2 0

 − =

− =

− =

Bài 28: Cho hệ phương trình: (64 ) 21 3

Tìm tất cả các giá trị của b để hệ phương trình sau vô nghiệm

 − = +

x by

bx byb

Tìm tất cả các giá trị của b để hệ phương trình sau vô nghiệm

Bài 30: Cho hệ phương trình: (2 1) 2 2 2 4

2+ − =

Ta có: ( )2 <=>m(3−m y) = −m m2+ +6

Trang 31

Nếu m=0 => hệ vô nghiệm Nếu m=3 => hệ vô số nghiệm

Nếu m≠0,m≠3 thì hệ có nghiệm duy nhất

 + =

x ayaxy

Tìm tất cả các giá trị của a để các hệ phương trình sau có vô số nghiệm

a, Giải hệ phương trình khi m=3

b, Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có hai nghiệm nguyên

Trang 32

BÀI 4: GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH BÀI TOÁN LÀM CHUNG, LÀM RIÊNG

+ Nếu làm việc xong công việc trong x ngày Thì 1 ngày làm được 1

x công việc

Bài 1: Hai tổ công nhân cùng làm một công việc sau 12 giờ thì xong Họ làm chung trong 4 giờ thì tổ I phải đi làm việc khác Tổ II làm xong công việc còn lại trong 10 giờ Tính thời gian mỗi tổ làm một mình xong công việc đó

Bài 2: Hai công nhân làm chung trong 12 ngày thì xong 1 công việc đã định Họ làm chung với nhau 4 ngày thì người thứ nhất được điều đi làm việc khác, Người thứ hai làm công việc còn lại trong 10 ngày Hỏi người thứ nhất làm một mình thì sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc

Bài 3: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 15 giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ rồi người thứ hai làm tiếp trong 5 giờ thì được 25% công việc Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao lâu để xong công việc

Bài 4: Hai công nhân cùng làm một công việc thì 6 ngày sẽ xong Nhưng nếu người thứ nhất làm 4 ngày rồi nghỉ, người thứ hai làm tiếp 6 ngày thì mới hoàn thành được 4

5 công việc Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì bao lâu xong công việc

Bài 5: Hai người làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong Nếu người thứ nhất làm một mình trong 15 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được 3

4 công việc Tính thời gian mỗi người làm một mình xong công việc

Bài 6: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 4 giờ 30 phút thì xong Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 2 giờ thì họ làm được 50% công việc Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ xong?

Bài 7: Hai người thợ cùng làm một công việc thì sau 2 giờ 40 phút sẽ hoàn thành Nếu người thứ nhất làm một mình và 3 giờ sau người thứ hai cùng vào làm thì mất 40 phút nữa mới hoàn thành Hỏi mỗi người đó làm một mình thì trong bao lâu sẽ xong công việc?

Bài 8: Hai tổ sản xuất cùng nhận chung một đơn hàng Nếu hai tổ cùng làm thì sau 15 ngày sẽ xong Tuy nhiên sau khi cùng làm được 6 ngày thì tổ I có việc bận phải chuyển công việc khác, do đó tổ II làm một mình 24 ngày nữa thì xong Hỏi nếu làm một mình thì mỗi tổ làm xong công việc trên trong bao nhiêu ngày?

Bài 9: Hai người thợ cùng làm chung một công việc trong 6 giờ thì xong Nếu họ làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc nhanh hơn người thứ hai là 5 giờ Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người cần bao nhiêu giờ để xong công việc đó?