toán 9 mới tứ giác nội tiếp

Chuyên đề - TỨ GIÁC NỘI TIẾPLƯU Ý: Đây là 1 nội dung tuy giống sách cũ nhưng có một số điểm hơi khác, đó là Bạn chỉ được phép sử dụng góc nội tiếp KHÔNG sử dụng góc tạo bởi tiếp tuyến &

Chuyên đề - TỨ GIÁC NỘI TIẾP

LƯU Ý: Đây là 1 nội dung tuy giống sách cũ nhưng có một số điểm hơi khác, đó là

Bạn chỉ được phép sử dụng góc nội tiếp

KHÔNG sử dụng góc tạo bởi tiếp tuyến & dây cung và góc có đỉnh bên trong, bên ngoài đường tròn

I) CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP:

– Tứ giác ABCD nội tiếp thì A1D ( cùng chắn cung 1 

BC) và ngược lại:

Tứ giác ABCD có A1D thì tứ giác ABCD nội tiếp.1

– Tứ giác ABCD nội tiếp  O

đường kính AC thì B Dˆ ˆ 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và ngược lại:

Tứ giác ABCD có B Dˆ ˆ 90 0 thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC.

1 1

D

C

BA

O

B

– Tứ giác ABCD nội tiếp thì tổng hai góc A Cˆ ˆ 180 0 và ngược lại:

Tứ giác ABCD có tổn hai góc bằng 180 thì tứ giác ABCD nội tiếp.0

II, BÀI TẬP VẬN DỤNG.

Bài 1: Cho nửa đường tròn  O

đường kính AB Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn

Chứng minh AC CB 

Bài 2: Cho nửa  O đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD) AD cắt BC

tại H, AC cắt BD tại E Chứng minh EH AB

Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn  O

O

c, Đường thẳng đi qua K và song song với BC cắt đường thẳng BD tại E Chứng minh rằng khi I thay đổi trên đoạn thẳng OC I C,  

thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định

Bài 4: Cho đường tròn  O đường kính AB Dây CD vuông góc với AB tại H M là một điểm trên đoạn

A

Bài 5: Cho ABC vuông tại A, Đường cao AH, vẽ đường tròn A AH;  Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với

 A

cắt đường thẳng AC tại D ( I là tiếp điểm, I và H không trùng nhau)

a, Chứng minh AHBI là tứ giác nội tiếp

b, Cho AB4cm AC, 3cm Tính AI.

c, Gọi HK là đường kính của  A

Chứng minh rằng: BC BI DK  

Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp O R; 

Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H

a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp

b, Chứng minh BD BC BH BE 

c, Kẻ AD cắt cung BC tại M Chứng minh BMH cân

KD

D

O

C B

A

Bài 7: Cho nửa  O đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD) AD cắt BC

tại H, AC cắt BD tại E

a, Chứng minh CHDE nội tiếp và EH AB

b, Chứng minh DAB DEH 

c, Vẽ tiếp tuyến với  O

tại D cắt EH tại I Chứng minh I là trung điểm của EH

Bài 8: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn  O

có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H

a, Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn

b, Chứng minh DE OA.

c, Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BC, AH Cho K, L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD Chứng minh KL // AC

I E

H

D C

Bài 9: Cho đường tròn O R;  dây BC cố định Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho AB AC và

ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi K là giao điểm của EF với BC.

a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp

b, Chứng minh KB KC KE KF 

c, Gọi M là giao điểm của AK với  O

, M khác A Chứng minh MH AK

Bài 10: Cho  O đường kính AB2R, điểm C thuộc đường tròn đó ( C khác A, B) Lấy điểm D thuộc

dây BC ( D khác B và C) Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, Tia AC cắt BE tại F

a, Chứng minh FCDE nội tiếp

E

OA

IF

ED

C

B

Bài 11: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB2R C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn sao

cho C khác A và AC CB Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho  COD900 Gọi E là giao điểm của

AD và BC, F là giao điểm của AC và BD

a, Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh FC FA FD FB 

c, Gọi I là trung điểm của EF Chứng minh IC là tiếp tuyến của  O

Bài 12: Cho ABC nhọn có AB AC  Vẽ đường tròn  O đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC

lần lượt tại F và E Gọi H là giao điểm của BE và CF, AH cắt BC tại D Gọi I là trung điểm của AH

a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I và ADBC

b, Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp và 5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc 1 đường tròn

c, Cho biết BC 6cm A, ˆ600, Tính OI

IF

E

DC

B

I

D H

E F

C B

A

Bài 13: Cho nửa đường tròn  O , đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho

cung AB AC , AC cắt BD tại E Kẻ  EF AD tại F

a, Chứng minh ABEF nội tiếp

b, Chứng minh DE DB DF DA 

c, Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp FBC

d, Gọi I là giao điểm của BD với CF Chứng minh BI2 BF BC IF IC .  .

Bài 14: Trên đường tròn tâm O đường kính AB2R lấy điểm M sao cho AM R và N là một điểm bất kì trên cung nhỏ BM ( N khác M và B) Gọi I là giao điểm của AN và BM, H là hình chiếu của I trênAB

a, Chứng minh tứ giác IHBN là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh HI là tia phân giác của góc MHN

c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp MHN luôn đi qua 2 điểm cố định.

d, Xác định vị trí của điểm N để chu vi tứ giác AMNB lớn nhất

I F

E

C B

O

Bài 15: Cho đường tròn  O có dây cung CD cố định Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ CD Đường

kính MN của đường tròn  O

cắt dây CD tại I Lấy điểm E bất kỳ trên cung lớn CD ( E khác C, D, N)

ME cắt CD tại K Các đường thẳng NE và CD cắt nhau tại P

a, Chứng minh tứ giác IKEN nội tiếp

b, Chứng minh EI MN NK ME

c, NK cắt MP tại Q Chứng minh IK là phân giác EIQ

d, Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H Chứng minh khi E di độngtrên cung lớn CD ( E khác C, D, N) Thì H luôn chạy trên một đường cố định

Bài 16: Cho nửa  O

đường kính AB Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn với M A B và C là ,

điểm chính giữa cung AM Gọi D là giao điểm của AC và BM, H là giao điểm của AM và BC

a, Chứng minh CHMD nội tiếp

b, Chứng minh DA DC DB DM 

c, Gọi Q là giao điểm của HD và AB Chứng minh khi M di chuyển trên nửa đường tròn thì

đường tròn ngoại tiếp CMQ luôn đi qua một điểm cố định.

Q

E

IN

M

O

DC

Q H

Bài 17: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O R;  Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.

a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC là các tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh BD BC BH BE 

c, Kẻ AD cắt cung BC tại M Chứng minh BMH cân

Bài 18: Trên nửa đường tròn, đường kính AB, Lấy hai điểm I và Q sao cho I thuộc cung AQ Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ, H là giao điểm hai dây AQ và BI

a, Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp

b, Chứng minh CI AI HI BI

c, Biết AB2.R Tính giá trị biểu thức M AI AC BQ BC theo R. 

H F

E

D O A

H

C

QI

BO

A

Bài 19: Cho nửa đường tròn  O đường kính BC và điểm A trên nửa đường tròn với AB AC  Gọi D

là một điểm nằm giữa O và B, Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB ở E, cắt đường thẳng

AC ở F

a, Chứng minh ACDE, ADBF là các tứ giác nội tiếp

b, Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt EF ở M Chứng minh MA ME

c, Chứng minh AO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp AEF

d, DF cắt nửa đường tròn  O

tại điểm P Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp AEP Chứng minh C, I, P thẳng hàng

Bài 20: Cho đường tròn O R; 

và dây cung BC cố định A là điểm di động trên cung BC sao cho

ABC là tam giác nhọn Hai đường phân giác trong của góc A Bˆ ˆ, cắt nhau tại I và thứ tự cắt đường tròntại D và E Đường thẳng DE cắt BC, AC tại M, N

a, Chứng minh tứ giác AENI nội tiếp Hãy chỉ ra một tứ giác nội tiếp tương tự

b, Chứng minh tứ giác CMIN là hình thoi

c, Chứng minh BDI cân Tìm vị trí của A để AI có độ dài lớn nhất

P M F

D

E

I

C B

A

Bài 21: Cho ABC có AB AC nội tiếp đường tròn   O đường kính BC Điểm D thuộc bán kính OC Đường thẳng vuông góc với OC tại D cắt AC và AB lần lượt tại E và F.

a, Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp

Bài 22: Cho đường tròn  O và dây AB không đi qua tâm Dây PQ của  O vuông góc với AB tại H

HA HB  Gọi M là hình chiếu vuông góc của Q trên PB QM cắt AB tại K.

a, Chứng minh BHQM nội tiếp và BQ HM 

b, Chứng minh QAK cân.

c, Tia MH cắt AP tại N, Từ N kẻ đường thẳng song song với AK, đường thẳng đó cắt QB tại I Chứng minh ba điểm P, I, K thẳng hàng

MF

KM

Q

P

H

BA

O

Bài 23: Cho đường tròn  O đường kính AB2R, C là trung điểm của OA, Vẽ dây MN AO tại C

K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN

a, Chứng minh BCHK nội tiếp

MN AB tại H Gọi MQ là đường cao MAN

a, Chứng minh A, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn

b, Chứng minh NQ NA NH NM .  .

c, Chứng minh MN là phân giác của BMQ

d, Hạ MPBN , Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ AN MP BN có GTLN. 

O

Bài 25: Cho đường tròn  O đường kính AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa A

và C Kẻ tiếp tuyến CK với đường tròn  O

với K là tiếp điểm Tiếp tuyến tại A của đường tròn  O

cắt

CK tại H Gọi I là giao điểm của OH và AK J là giao điểm của BH và  O

( J không trùng với B)

a, Chứng minh AJ HB AH AB 

b, Chứng minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên 1 đường tròn

c, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CH tại P Tính 

AH HP

HP CP

Bài 26: Cho nửa đường tròn  O

đường kính BC A là một điểm bất kì trên nửa đường tròn BA kéo dàicắt tiếp tuyến Cy ở F Gọi D là điểm chính giữa cung AC DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E

a, Chứng minh BD là phân giác ABC và OD // AB.

b, Chứng minh ADEF nội tiếp

c, Gọi I là giao điểm của BD và AC Chứng minh CI CE và  IA IC ID IB 

d, Chứng minh AFD AED 

yF

A

C

Bài 27: Cho ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là

trung điểm của IK

a, Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O

b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn  O .

Bài 29: Cho ABC vuông tại A Trên AC lấy điểm M sao cho AM MC Dựng đường tròn  O

đường kính MC, đường tròn này cắt BC tại E đường thẳng BM cắt  O

tại D và AD cắt  O

tại S

a, Chứng minh ADCB nội tiếp

b, Chứng minh ME là tia phân giác AED

c, Chứng minh ASM ACD

d, Chứng minh BA, EM, CD đồng quy

Bài 30: Cho ABC vuông tại A có AB4cm AC, 3cm Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho

c, Kéo dài AF cắt đường tròn  O

tài điểm G Chứng minh rằng BA là tia phân giác của CBG

M

C B

A

Bài 31: Cho  O đường kính AB và dây CDAB tại F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt

CD tại E

a, Chứng minh AM là tia phân giác CMD

b, Chứng minh EFBM nội tiếp

c, Chứng minh AC2 AE AM .

d, Gọi giao điểm của CB với AM là N, MD với AB là I Chứng minh NI // CD

e, Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp CIM

Bài 32: Cho ABC nhọn và AB AC nội tiếp đường tròn   O Các đường cao AF và CE của ABC

cắt nhau tại H

a, Chứng minh tứ giác AEFC nội tiếp

b, Kẻ đường kính AK của đường tròn  O Chứng minh ABK AFC 

c, Kẻ FM // BK MAK

Chứng minh CM AK

I

N E

K

H E

B

A

Bài 33: Cho đường tròn O R;  đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên Ax lấy điểm K

sao cho AK R Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường tròn  O

Đường thẳng d vuông góc với AB tại O,

d cắt MB tại E

a, Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp

b, OK cắt AM tại I Chứng minh OI OK OA .  2

c, Gọi H là trực tâm KMA Tìm quỹ tích điểm H khi K di động trên tia Ax

Bài 34: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp   O , đường cao AH D là điểm nằm giữ hai điểm A và

H Đường tròn đường kính AD cắt AB và AC lần lượt tại M và N khác A

a, Chứng minh MN AD và tứ giác BHDM nội tiếp.

b, Chứng minh AMN ACB 

D

B

A

Bài 35: Cho đường thẳng d và đường tròn O R;  không có điểm chung Kẻ OH d tại H Lấy điểm M

bất kì thuộc d Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn  O

Nối AB cắt OH, OM lần lượt ở K

e, Tìm vị trí của M để diện tích O  đạt giá trị lớn nhất

Bài 36: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O R; 

với cạnh AB cố định khác đường kính Các đường

cao AE, BF của ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn lần lượt tại I và K CH cắt AB tại D.

a, Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn

b, Chứng minh CDF CBF  

c, Chứng minh EF // IK

d, Chứng minh rằng khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp DEF luôn

đi qua một điểm cố định

IK

A

MH

dO

D

K

HF

E

O

CB

A

Bài 37: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn   O Các đường cao BD và CE cắt nhau tại

H Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC

a, Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp

b, Chứng minh AE AM AD AN

c, Gọi K là giao điểm của ED và MN, F là giao điểm của AO và MN, I là giao điểm của ED và

AH Chứng minh F là trực tâm của KAI

Bài 38: Cho nửa đường tròn O R; 

đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn, Ax và

By nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ AB Tiếp tuyến tại I với nửa đường tròn  O

( I khác A và B) cắt

Ax, By lần lượt tại M và N

a, Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp và AM BN MN  

b, Chứng minh MON 900 và AM BN R 2

c, Gọi H là giao điểm của AN và BM, Tia IH cắt AB tại K Chứng minh H là trung điểm của IK

d, Cho AB5cm , diện tích tứ giác ABNM là 2

20cm Tính diện tích AIB

N M

H E

D

C B

B

Bài 39: Cho nửa đường tròn O R;  đường kính AB Trên nửa đường tròn đó lấy điểm C CA CB  Hạ



CH AB tại H Đường tròn đường kính CH cắt AC và BC lần lượt tại M và N.

a, Chứng minh HMCN là hình chữ nhật

b, Chứng minh CMN CBA và tứ giác AMNB nội tiếp. 

c, Tia MN cắt tia BA tại K Lấy điểm Q đối xứng với H qua K Chứng minh QC là tiếp tuyến của O R; 

d, Tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB trong trường hợp AC R 

N M

H

C

B

Bài 40: Cho nửa đường tròn O R; 

đường kính AB Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường tròn  O

tại C trên cung CB lấy 1 điểm M bất kì Kẻ CH AM tại H Gọi N là giao điểm của

OH và MB

a, Chứng minh tứ giác CHOA nội tiếp

b, Chứng minh CAO ONB  450.

c, OH cắt CB tại điểm I và MI cắt  O

tại điểm thứ hai D, Chứng minh CM // BD

d, Xác định vị trí của M để ba điểm D, H, B thẳng hàng Khi đó tính độ dài cung MB theo R

N

Bài 41: Cho O R;  đường kính AB cố định, Điểm H nằm giữa A và O kẻ dây CDAB tại H Lấy

điểm F thuộc cung nhỏ AC, BF cắt CD tại E, AF cắt tia DC tại I

a, Chứng minh tứ giác AHEF nội tiếp

b, Chứng minh BFH EAB , từ đó suy ra BE BF BH BA 

c, Đường tròn ngoại tiếp IEF cắt AE tại điểm thứ hai M Chứng minh HBE HIA và điểm Mthuộc  O

d, Tìm vị trí của H trên OA để OHD có chu vi lớn nhất.

Bài 42: Cho ABC có AB AC 

nhọn nội tiếp đường tròn  O

Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho D nằm giữa B và E và DAB EAC Các tia AD và AE tương ứng cắt lại đường tròn   O tại I

E F

E D

O

C B

A

Bài 43: Cho ABC nhọn, nội tiếp O R;  và AB AC Đường kính AD cắt BC tại M Gọi E và F lần 

lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB, AC,

a, Chứng minh AEMF nội tiếp

b, Chứng minh AEF ADC và BC // EF.

c, Kẻ AH BC tại H, tia AH cắt  O tại N

1, Chứng minh BN là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ABM

2, Qua B vẽ đường thẳng  d vuông góc với BN, đường thẳng  d cắt AN cắt đường

tròn ngoại tiếp ABM lần lượt tại K và Q Chứng minh AD QB KB BN .  .

Bài 44: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn   O Vẽ đường cao AH Từ H kẻ

,

HM AB HN AC Vẽ đường kính AE của đường tròn  O

cắt MN tại I Tia MN cắt đường tròn

Bài 45: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn  O R; , Đường cao AH Gọi M và N lần lượt

là hình chiếu của điểm H trên cạnh AB và AC

a, Chứng minh rằng tứ giác AMHN là tứ giác nội tiếp

b, Chứng minh rằng AM AB AH Từ đó chứng minh .  2 AM AB AN AC 

c, Hai đường thẳng NM và BC cắt nhau tại Q Chứng minh AMN ACB và QH2 QM QN .

d, Cho BAC600 và R3cm Tính diện tích hình viền giới hạn bởi dây BC và cung nhỏ BC

Bài 46: Cho ABC nhọn nội tiếp trong O R; , đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi M là trung điểm

của BC và AD là đường kính của  O

và điểm B, C cố định, A di động trên cung lớn BC sao cho ABC luôn có 3 góc

nhọn, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp AEF có bán kính không đổi

D M

O H

F

E

C B

A