Chuyên đề - TỨ GIÁC NỘI TIẾP
LƯU Ý: Đây là 1 nội dung tuy giống sách cũ nhưng có một số điểm hơi khác, đó là
Bạn chỉ được phép sử dụng góc nội tiếp
KHÔNG sử dụng góc tạo bởi tiếp tuyến & dây cung và góc có đỉnh bên trong, bên ngoài đường tròn
I) CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP:
– Tứ giác ABCD nội tiếp thì A1D ( cùng chắn cung 1
BC) và ngược lại:
Tứ giác ABCD có A1D thì tứ giác ABCD nội tiếp.1
– Tứ giác ABCD nội tiếp O
đường kính AC thì B Dˆ ˆ 90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) và ngược lại:
Tứ giác ABCD có B Dˆ ˆ 90 0 thì tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính AC.
B
Trang 2– Tứ giác ABCD nội tiếp thì tổng hai góc A Cˆ ˆ 180 0 và ngược lại:Tứ giác ABCD có tổn hai góc bằng 180 thì tứ giác ABCD nội tiếp.0
II, BÀI TẬP VẬN DỤNG.
Bài 1: Cho nửa đường tròn O
đường kính AB Lấy điểm C thuộc nửa đường tròn Chứng minh AC CB
Bài 2: Cho nửa O đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD) AD cắt BC
tại H, AC cắt BD tại E Chứng minh EH AB.
Bài 3: Cho ABC nội tiếp đường tròn O
O
Trang 3c, Đường thẳng đi qua K và song song với BC cắt đường thẳng BD tại E Chứng minh rằng khi I thay đổi trên đoạn thẳng OC I C,
thì điểm E luôn thuộc một đường tròn cố định.
Bài 4: Cho đường tròn O đường kính AB Dây CD vuông góc với AB tại H M là một điểm trên đoạn
thẳng CD Tia AM cắt O tại N.
a, Chứng minh tứ giác MNBH nội tiếp.b, Chứng minh MC MD MA MN c, Chứng minh AM AN. AC 2
A
Trang 4Bài 5: Cho ABC vuông tại A, Đường cao AH, vẽ đường tròn A AH; Từ đỉnh B kẻ tiếp tuyến BI với A
cắt đường thẳng AC tại D ( I là tiếp điểm, I và H không trùng nhau).a, Chứng minh AHBI là tứ giác nội tiếp.
b, Cho AB4cm AC, 3cm Tính AI.
c, Gọi HK là đường kính của A
Chứng minh rằng: BC BI DK
Bài 6: Cho ABC nhọn nội tiếp O R;
Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC nội tiếp.
b, Chứng minh BD BC BH BE
c, Kẻ AD cắt cung BC tại M Chứng minh BMH cân.
A
Trang 5Bài 7: Cho nửa O đường kính AB Gọi C, D thuộc nửa đường tròn ( C thuộc cung AD) AD cắt BC
tại H, AC cắt BD tại E
a, Chứng minh CHDE nội tiếp và EH AB.b, Chứng minh DAB DEH
c, Vẽ tiếp tuyến với O
tại D cắt EH tại I Chứng minh I là trung điểm của EH.
Bài 8: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O
có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H.a, Chứng minh bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn.
b, Chứng minh DE OA.
c, Cho M, N lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng BC, AH Cho K, L lần lượt là giao điểm của hai đường thẳng OM và CE, MN và BD Chứng minh KL // AC.
OA
Trang 6Bài 9: Cho đường tròn O R; dây BC cố định Điểm A di động trên cung lớn BC sao cho AB AC và
ABC nhọn Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H Gọi K là giao điểm của EF với BC.
a, Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp.b, Chứng minh KB KC KE KF c, Gọi M là giao điểm của AK với O
, M khác A Chứng minh MH AK.
Bài 10: Cho O đường kính AB2R, điểm C thuộc đường tròn đó ( C khác A, B) Lấy điểm D thuộc
dây BC ( D khác B và C) Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, Tia AC cắt BE tại F.a, Chứng minh FCDE nội tiếp.
b, Chứng minh DA DE DB DC c, Chứng minh CFD OCB
d, Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE Chứng minh IC là tiếp tuyến của O
B
Trang 7Bài 11: Cho nửa đường tròn O đường kính AB2R C là một điểm bất kì trên nửa đường tròn sao
cho C khác A và AC CB Điểm D thuộc cung nhỏ BC sao cho COD900 Gọi E là giao điểm của
AD và BC, F là giao điểm của AC và BD.a, Chứng minh CEDF là tứ giác nội tiếp.b, Chứng minh FC FA FD FB
c, Gọi I là trung điểm của EF Chứng minh IC là tiếp tuyến của O
Bài 12: Cho ABC nhọn có AB AC Vẽ đường tròn O đường kính BC cắt hai cạnh AB và AC
lần lượt tại F và E Gọi H là giao điểm của BE và CF, AH cắt BC tại D Gọi I là trung điểm của AH.a, Chứng minh tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn tâm I và ADBC
b, Chứng minh tứ giác OEIF nội tiếp và 5 điểm O, D, F, I, E cùng thuộc 1 đường tròn.c, Cho biết BC 6cm A, ˆ600, Tính OI.
A
Trang 8Bài 13: Cho nửa đường tròn O , đường kính AD Trên nửa đường tròn lấy hai điểm B và C sao cho
cung AB AC , AC cắt BD tại E Kẻ EF AD tại F.a, Chứng minh ABEF nội tiếp.
b, Chứng minh DE DB DF DA
c, Chứng minh E là tâm đường tròn nội tiếp FBC
d, Gọi I là giao điểm của BD với CF Chứng minh BI2 BF BC IF IC . .
Bài 14: Trên đường tròn tâm O đường kính AB2R lấy điểm M sao cho AM R và N là một điểm bất kì trên cung nhỏ BM ( N khác M và B) Gọi I là giao điểm của AN và BM, H là hình chiếu của I trênAB.
a, Chứng minh tứ giác IHBN là tứ giác nội tiếp.b, Chứng minh HI là tia phân giác của góc MHN
c, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp MHN luôn đi qua 2 điểm cố định.
d, Xác định vị trí của điểm N để chu vi tứ giác AMNB lớn nhất.
O
Trang 9Bài 15: Cho đường tròn O có dây cung CD cố định Gọi M là điểm chính giữa cung nhỏ CD Đường
c, NK cắt MP tại Q Chứng minh IK là phân giác EIQ
d, Từ C vẽ đường thẳng vuông góc với EN cắt đường thẳng DE tại H Chứng minh khi E di độngtrên cung lớn CD ( E khác C, D, N) Thì H luôn chạy trên một đường cố định.
Bài 16: Cho nửa O
đường kính AB Lấy điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn với M A B và C là ,
điểm chính giữa cung AM Gọi D là giao điểm của AC và BM, H là giao điểm của AM và BC.a, Chứng minh CHMD nội tiếp.
b, Chứng minh DA DC DB DM
c, Gọi Q là giao điểm của HD và AB Chứng minh khi M di chuyển trên nửa đường tròn thì
đường tròn ngoại tiếp CMQ luôn đi qua một điểm cố định.
B
Trang 10Bài 17: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O R; Các đường cao AD, BE và CF cắt nhau tại H.
a, Chứng minh các tứ giác BFHD, BFEC là các tứ giác nội tiếp.b, Chứng minh BD BC BH BE
c, Kẻ AD cắt cung BC tại M Chứng minh BMH cân.
Bài 18: Trên nửa đường tròn, đường kính AB, Lấy hai điểm I và Q sao cho I thuộc cung AQ Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ, H là giao điểm hai dây AQ và BI.
a, Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp.b, Chứng minh CI AI HI BI .
c, Biết AB2.R Tính giá trị biểu thức M AI AC BQ BC theo R.
A
Trang 11Bài 19: Cho nửa đường tròn O đường kính BC và điểm A trên nửa đường tròn với AB AC Gọi D
là một điểm nằm giữa O và B, Qua D kẻ đường thẳng vuông góc với BC cắt AB ở E, cắt đường thẳng AC ở F.
a, Chứng minh ACDE, ADBF là các tứ giác nội tiếp.
b, Tiếp tuyến của nửa đường tròn tại A cắt EF ở M Chứng minh MA ME c, Chứng minh AO là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp AEF.
d, DF cắt nửa đường tròn O
tại điểm P Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp AEP Chứng minh C, I, P thẳng hàng.
Bài 20: Cho đường tròn O R;
và dây cung BC cố định A là điểm di động trên cung BC sao cho
ABC là tam giác nhọn Hai đường phân giác trong của góc A Bˆ ˆ, cắt nhau tại I và thứ tự cắt đường tròntại D và E Đường thẳng DE cắt BC, AC tại M, N.
a, Chứng minh tứ giác AENI nội tiếp Hãy chỉ ra một tứ giác nội tiếp tương tự.b, Chứng minh tứ giác CMIN là hình thoi.
c, Chứng minh BDI cân Tìm vị trí của A để AI có độ dài lớn nhất.
A
Trang 12Bài 21: Cho ABC có AB AC nội tiếp đường tròn O đường kính BC Điểm D thuộc bán kính OC Đường thẳng vuông góc với OC tại D cắt AC và AB lần lượt tại E và F.
a, Chứng minh ABDE là tứ giác nội tiếp.b, Chứng minh CAD CFD
c, Gọi M là trung điểm của EF Chứng minh AM là tiếp tuyến của O
d, Cho AB6cm ACB, 300 Tính diện tích hình giới hạn bởi dây AB và cung nhỏ
Bài 22: Cho đường tròn O và dây AB không đi qua tâm Dây PQ của O vuông góc với AB tại H
HA HB Gọi M là hình chiếu vuông góc của Q trên PB QM cắt AB tại K.
a, Chứng minh BHQM nội tiếp và BQ HM b, Chứng minh QAK cân.
c, Tia MH cắt AP tại N, Từ N kẻ đường thẳng song song với AK, đường thẳng đó cắt QB tại I Chứng minh ba điểm P, I, K thẳng hàng.
O
Trang 13Bài 23: Cho đường tròn O đường kính AB2R, C là trung điểm của OA, Vẽ dây MN AO tại C
K là điểm di động trên cung nhỏ MB và H là giao của AK và MN.a, Chứng minh BCHK nội tiếp.
MNAB tại H Gọi MQ là đường cao MAN
a, Chứng minh A, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn.b, Chứng minh NQ NA NH NM . .
c, Chứng minh MN là phân giác của BMQ
d, Hạ MPBN , Xác định vị trí của M trên cung AB để MQ AN MP BN có GTLN.
O
Trang 14Bài 25: Cho đường tròn O đường kính AB Trên đường thẳng AB lấy điểm C sao cho B nằm giữa A
và C Kẻ tiếp tuyến CK với đường tròn O
với K là tiếp điểm Tiếp tuyến tại A của đường tròn O
cắtCK tại H Gọi I là giao điểm của OH và AK J là giao điểm của BH và O
( J không trùng với B).a, Chứng minh AJ HB AH AB
b, Chứng minh 4 điểm B, O, I, J cùng nằm trên 1 đường tròn.c, Đường thẳng vuông góc với AB tại O cắt CH tại P Tính
AHHPHPCP
Bài 26: Cho nửa đường tròn O
đường kính BC A là một điểm bất kì trên nửa đường tròn BA kéo dàicắt tiếp tuyến Cy ở F Gọi D là điểm chính giữa cung AC DB kéo dài cắt tiếp tuyến Cy tại E.
a, Chứng minh BD là phân giác ABC và OD // AB.
b, Chứng minh ADEF nội tiếp.
c, Gọi I là giao điểm của BD và AC Chứng minh CI CE và IA IC ID IB d, Chứng minh AFD AED
C
Trang 15Bài 27: Cho ABC cân tại A, I là tâm đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp góc A, O là
trung điểm của IK.
a, Chứng minh 4 điểm B, I, C, K cùng thuộc một đường tròn tâm O.b, Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường tròn O .
c, Chứng minh B, I, E thẳng hàng và MI MD.d, Chứng minh MC DB MI DC
e, Chứng minh MI là tiếp tuyến O .
M O B O' CA
Trang 16Bài 29: Cho ABC vuông tại A Trên AC lấy điểm M sao cho AM MC Dựng đường tròn O
đường kính MC, đường tròn này cắt BC tại E đường thẳng BM cắt O
tại D và AD cắt O
tại S.a, Chứng minh ADCB nội tiếp.
b, Chứng minh ME là tia phân giác AED
c, Chứng minh ASM ACD
d, Chứng minh BA, EM, CD đồng quy.
Bài 30: Cho ABC vuông tại A có AB4cm AC, 3cm Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho
AD DB
Đường tròn O
đường kính BD cắt CB tại E, Kéo dài CD cắt O
tại F.a, Chứng minh rằng ACED là tứ giác nội tiếp.
b, Biết BF 3cm Tính BC và diện tích BFC
c, Kéo dài AF cắt đường tròn O
tài điểm G Chứng minh rằng BA là tia phân giác của CBG
A
Trang 17Bài 31: Cho O đường kính AB và dây CDAB tại F Trên cung BC lấy điểm M Nối A với M cắt
CD tại E.
a, Chứng minh AM là tia phân giác CMD
b, Chứng minh EFBM nội tiếp.c, Chứng minh AC2 AE AM .
d, Gọi giao điểm của CB với AM là N, MD với AB là I Chứng minh NI // CD.
e, Chứng minh N là tâm đường tròn nội tiếp CIM
Bài 32: Cho ABC nhọn và AB AC nội tiếp đường tròn O Các đường cao AF và CE của ABC
cắt nhau tại H.
a, Chứng minh tứ giác AEFC nội tiếp.
b, Kẻ đường kính AK của đường tròn O Chứng minh ABK AFC
c, Kẻ FM // BK MAK
Chứng minh CM AK
A
Trang 18Bài 33: Cho đường tròn O R; đường kính AB Kẻ tiếp tuyến Ax với đường tròn Trên Ax lấy điểm K
sao cho AK R Qua K kẻ tiếp tuyến KM tới đường tròn O
Đường thẳng d vuông góc với AB tại O,d cắt MB tại E.
a, Chứng minh KAOM là tứ giác nội tiếp.b, OK cắt AM tại I Chứng minh OI OK OA . 2
c, Gọi H là trực tâm KMA Tìm quỹ tích điểm H khi K di động trên tia Ax.
Bài 34: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp O , đường cao AH D là điểm nằm giữ hai điểm A và H Đường tròn đường kính AD cắt AB và AC lần lượt tại M và N khác A.
a, Chứng minh MN AD và tứ giác BHDM nội tiếp.
b, Chứng minh AMN ACB
A
Trang 19Bài 35: Cho đường thẳng d và đường tròn O R; không có điểm chung Kẻ OH d tại H Lấy điểm M
bất kì thuộc d Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn O
Nối AB cắt OH, OM lần lượt ở Kvà I.
a, Chứng minh 5 điểm M, H, A, O, B cùng thuộc 1 đường tròn.b, Chứng minh OK OH OI OM
c, Chứng minh khi M di chuyển trên d thì đường thẳng AB đi qua một điểm cố định.d, Chứng minh
OH , Từ đó suy ra điểm K cố định.
e, Tìm vị trí của M để diện tích O đạt giá trị lớn nhất.
Bài 36: Cho ABC nhọn nội tiếp đường tròn O R;
với cạnh AB cố định khác đường kính Các đường
cao AE, BF của ABC cắt nhau tại H và cắt đường tròn lần lượt tại I và K CH cắt AB tại D.
a, Chứng minh tứ giác CEHF nội tiếp được trong 1 đường tròn.b, Chứng minh CDF CBF
c, Chứng minh EF // IK.
d, Chứng minh rằng khi C chuyển động trên cung lớn AB thì đường tròn ngoại tiếp DEF luôn đi qua một điểm cố định.
A
Trang 20Bài 37: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn O Các đường cao BD và CE cắt nhau tại H Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AC.
a, Chứng minh các tứ giác BCDE và AMON nội tiếp.b, Chứng minh AE AM AD AN .
c, Gọi K là giao điểm của ED và MN, F là giao điểm của AO và MN, I là giao điểm của ED và AH Chứng minh F là trực tâm của KAI
Bài 38: Cho nửa đường tròn O R;
đường kính AB, Kẻ tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn, Ax và By nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ AB Tiếp tuyến tại I với nửa đường tròn O
( I khác A và B) cắt Ax, By lần lượt tại M và N.
a, Chứng minh tứ giác AMIO nội tiếp và AM BN MN b, Chứng minh MON 900 và AM BN R 2
c, Gọi H là giao điểm của AN và BM, Tia IH cắt AB tại K Chứng minh H là trung điểm của IK.d, Cho AB5cm , diện tích tứ giác ABNM là 2
20cm Tính diện tích AIB.
B
Trang 21Bài 39: Cho nửa đường tròn O R; đường kính AB Trên nửa đường tròn đó lấy điểm C CA CB Hạ
CHAB tại H Đường tròn đường kính CH cắt AC và BC lần lượt tại M và N.
a, Chứng minh HMCN là hình chữ nhật.
b, Chứng minh CMN CBA và tứ giác AMNB nội tiếp.
c, Tia MN cắt tia BA tại K Lấy điểm Q đối xứng với H qua K Chứng minh QC là tiếp tuyến của O R;
d, Tìm bán kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMNB trong trường hợp AC R
Bài 40: Cho nửa đường tròn O R;
đường kính AB Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với AB và cắt đường tròn O
tại C trên cung CB lấy 1 điểm M bất kì Kẻ CH AM tại H Gọi N là giao điểm của
OH và MB.
a, Chứng minh tứ giác CHOA nội tiếp.b, Chứng minh CAO ONB 450.c, OH cắt CB tại điểm I và MI cắt O
tại điểm thứ hai D, Chứng minh CM // BD.
d, Xác định vị trí của M để ba điểm D, H, B thẳng hàng Khi đó tính độ dài cung MB theo R.
N
Trang 22Bài 41: Cho O R; đường kính AB cố định, Điểm H nằm giữa A và O kẻ dây CDAB tại H Lấy
điểm F thuộc cung nhỏ AC, BF cắt CD tại E, AF cắt tia DC tại I.a, Chứng minh tứ giác AHEF nội tiếp.
b, Chứng minh BFH EAB , từ đó suy ra BE BF BH BA
c, Đường tròn ngoại tiếp IEF cắt AE tại điểm thứ hai M Chứng minh HBE HIA và điểm Mthuộc O
d, Tìm vị trí của H trên OA để OHD có chu vi lớn nhất.Bài 42: Cho ABC có AB AC
nhọn nội tiếp đường tròn O
Trên cạnh BC lấy hai điểm D và E sao cho D nằm giữa B và E và DAB EAC Các tia AD và AE tương ứng cắt lại đường tròn O tại I và J.
a, Chứng minh phân giác góc BAC đi qua điểm chính giữa của cung nhỏ IJ của đường tròn O
.b, Chứng minh tứ giác BCJI là hình thang cân.
A
Trang 23Bài 43: Cho ABC nhọn, nội tiếp O R; và AB AC Đường kính AD cắt BC tại M Gọi E và F lần
lượt là hình chiếu của M trên cạnh AB, AC,a, Chứng minh AEMF nội tiếp.
b, Chứng minh AEF ADC và BC // EF.
c, Kẻ AH BC tại H, tia AH cắt O tại N.
1, Chứng minh BN là tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp ABM
2, Qua B vẽ đường thẳng d vuông góc với BN, đường thẳng d cắt AN cắt đường
tròn ngoại tiếp ABM lần lượt tại K và Q Chứng minh AD QB KB BN . .
Bài 44: Cho ABC nhọn có AB AC nội tiếp đường tròn O Vẽ đường cao AH Từ H kẻ,
HMAB HNAC Vẽ đường kính AE của đường tròn O
cắt MN tại I Tia MN cắt đường tròn
MA