chương 1b phương trình bậc nhất

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẦNA/ CHUẨN KIẾN THỨC1/ Phương trình một ẩn Phương trình ẩn x có dạng Ax =Bx 1, trong đó Ax , Bx là các biểu thức của cùng biến x.Ví dụ 1.. 3x−1+5=2 x là phươn

TUYỂN TẬP

Chuyên đề 1b PHƯƠNG TRÌNH

BẬC NHẤT

Người tổng hợp, sưu tầm : Thầy giáo Hồ Khắc VũZalo-hotline : 03.4348.1625-03.5352.6757

CHƯƠNG II- PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT PHẦN 1 - PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT

BÀI 1 - MỞ ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẦN

A/ CHUẨN KIẾN THỨC1/ Phương trình một ẩn

 Phương trình ẩn x có dạng A(x )=B(x )(1), trong đó A(x ), B(x ) là các biểu thức của cùng biến x.

Ví dụ 1 3(x−1)+5=2 x là phương trình ẩn xt +5 t=2t  là phương trình ẩn  t

 Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó

 Tập hợp các nghiệm của phương trình được gọi là tập nghiệm của phương trình đó, ký hiệu là S.

Ví dụ 2 Phương trình x=2 có tập nghiệm S={2 }

Phương trình x2=−3 có tập nghiệm S=∅

Phương trình x2

+1=1+x2 có tập nghiệm S=R

3/ Phương trình tương đương

 Hai phương trình tương đương là hai phương trình có cùng tập nghiệm. Dùng kí hiệu " ⇔ " để chỉ hai phương trình tương đương

5/ Hai quy tắc biến đổi phương trình

 Quy tắc chuyển vế: Trong một phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó.

 Quy tắc nhận một số: Trong một phương trình ta có thể nhân (hoặc chia) hai vế với cùng một số khác 0.

6/ Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Dùng quy tắc chuyển vế hay quy tắc nhân với một số.Tổng quát phương trình ax +b=0(a ≠0) được giải như sau:

ax +b=0(a ≠0)⇔ ax=−b ⇔ x=−ba

Vậy: S={−ba }

Nhận xét: Phương trình ax +b=0(a ≠0) luôn có một nghiệm duy nhất x=−ba

Vậy: S={−ba }

Bài 1 Giải các phương trình sau

Thay nghiệm x=xo vào (1) ta đuợc phuong trình ẩn m=¿m=¿

Bài 2 Tìm m sao cho phương trìnha) 2 x−3 m=x+9 nhận x=−5 là nghiệmĐS: m=−14

b) 4 x+ m2

=22 nhận x=5 là nghiệmĐS: m=±√2

Bài 1 Tìm giá trị k sao cho phương trình có nghiệm x0 được chỉ ra:a) 2 x+k=x−1 ; x0=−2

b) (2 x+1)(9 x +2 k )−5(x +2)=40 ; x0=2

c) 2(2 x+1)+18=3(x +2)(2 x +k );x0=1

d) 5(k +3 x)(x +1)−4 (1+2 x )=80 ; x0=2

DANG 3 : Chứng minh hai phương trình tương đương.

Để chứng minh hai phuơng trình tuơng đuơng, ta có thể sủ dụng một trong các cách sau: Chứng minh hai phuơng trình có cùng tập nghiệm.

 Sủ dụng các phép biến đổi tuơng đuơng để biến đổi phuơng trình này thành phuơng trình kia.

 Hai qui tắc biến đổi phrơng trình:

 Qui tắc chuyển vế: Trong một phwơng trình, ta có thể chuyển một hạng tủ tù̀ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tủ đó.

 Qui tắc nhân: Trong một phuơng trình, ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0.

Bài 3 Chứng minh hai phương trình sau là tương đương

x0 là nghiệm của phuơng trình A(x )=B(x )⇔ A(x0)=B(x0)

x0 không là nghiệm của phương trình A(x )=B(x )⇔ A(x0)≠ B(x0)

Bài 2 Xét xem x0 có là nghiệm của phương trình hay không?a) 3(2−x)+1=4−2 x ; x0=−2

b) 5 x−2=3 x +1 ;x0=32

DẠNG 5: Số nghiệm của một phương trình.

Nếu phuơng trình sau biến đổi tuơng đuơng: Có dạng 0⋅ x=0=¿P T có vô số nghiệm.

 Có dạng ¿ hoặ ¿f (x)∨¿k <0=¿PT vô nghiệm. Có dạng ¿ Phuơng trình [ f ( x)=√k

f (x )=−√k=¿ Nghiệm của phuơng trình.

 Có dạng ¿f (x)∨¿k >0=¿ Phưong trình [f (x )=−kf ( x)=k => Nghiệm của phuơng trình. Có dạng a⋅ x=b (a ≠ 0)=¿ Phuơng trình có nghiệm duy nhất x=b

 Nếu a=0 và b ≠ 0 thì pt vô nghiệm.

 Nếu a ≠ 0=¿ Phuơng trình có nghiệm duy nhất x=ba

Bài 1: Tìm m để phương trình sau: (m−1)x =m2−1

a) vô nghiệmb) Vô số nghiệm.c) có nghiệm duy nhất.

Bài 1: Tìm m để phuơng trình sau: 2(x−1)−mx=3

2/ Cách thu gọn phương trình về dạng ax=b

 Quy đồng mẫu thức hai vế (nếu có dạng phân thức Nhân hai vế cho mẫu thức để khử mẫu thức

 Chuyển hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia Thu gọn và giải pt.

B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP VẬN DỤNG.

DANG 1: Phương trình chứa dấu ngoặc, tổng của các hạng tử có chứa biến bậc nhất.

Thực hiện bỏ dấu ngoặc.

Thưc hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế đưa phuơng trình về dạng ax=c.Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) 4 x−10=0

b) 7−3 x=9−x

 Thục hiện nhân các đa thức, khai triển hằng đẳng thức.

 Thưc hiện phép tính ở hai vế và chuyển vế sao cho triệt tiêu được các biên lũy thù̀a bậc 2 trở lên.

 Đua phuơng trình về dang ax=c rồi tìm x

Bài 2 Giải các phương trình sau:a) (3 x−1)(x+3)=(2−x)(5−3 x )

Bài 4 Giải các phương trình sau:

d) vô nghiệm

e) vô nghiệm f) vô nghiệm

Bài 6 Giải các phương trình sau:

ĐS:a) x=8

b) x=−9

c) x=123

64

Bài 8 Giải các phương trình sau: (Biến đổi đặc biệt)

b) x=−60

c) x=−2005

d) x=2000

e) x=1999.

DẠNG 4: Một số bài toán liên quan.

Bài 9: Cho phương trình (ẩn x ): 4 x2−25+k2+4 kx=0

a) Giải phương trình với k =0

b) Giải phương trình với k =−3

c) Tìm các giá trị của k để phương trình nhận x=−2 làm nghiệm.Bài 10: Cho phương trình (ẩn x ): x3

b) Với giá trị a vừa tìm được, tìm các nghiệm còn lại của phương trình.

ĐÁP ÁN BÀI 9, 10, 11Bài 9

5)0425 0

)341216 04,1)24.4 25809,1

Bài 10.

321)7)7744 0

 

Bài 11

)287 ( 2) 3204;35

  

 Để đưa phương trình về phương trình tích:

 Chuyển hết các hạng tử sang một vế để phương trình có dạng f (x)=0

 Bằng các phương pháp phân tích đa thức f (x) thành nhân tử ta có phương trình tích.

 Để giải phương trình tích, ta áp dụng công thức:

b) x=2 ; x=3

c) x=5

2; x=−5

3} b) S={12;−23;=5}

c) S={12;3 ;−7}

d) S={32;−23;

e) S={−1;−3 ;−5; 6}

f) S={−12 ;23;

Bài 4 Giải các phương trình sau:a) (x−2)(3 x+ 5)=(2 x−4)(x+1)

5

a) x=−2

3 ; x=−1 ; x=12

BÀI 4: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MÃU

Các bước giải phrơng trình chứa ẩn ở mẫu:

Buớc 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Buớc 2: Qui đồng mã̃u hai vế của phuơng trình, rồi khử mẫu.Bước 3: Giải phurơng trình vừa nhận đuợc.

Bước 4: (Kết luận) Trong các giá trị của ẩn tìm đuợc ở bước 3, các giá trị thoả mãn điều kiện xác định chính là các nghiệm của phrơng trình đã cho.

Bài 1 Giải các phương trình sau:

a) 4 x−3x−5 =293

c) 12

1−9 x2=1−3 x1+3 x−

1+3 x1−3 x

f) (1−x−1

x +1)(x+2)=x +1x−1+

x−1x +1

ĐS:a) x=44

b) x=5

c) x=−1

d) vô nghiệme) x=4

f) x=3

Bài 3 Giải các phương trình sau:

a) 6 x +1

x2−7 x +10+5

x−4x (x+ 2)=0

c) 3−x1 −1

x+1=xx−3−¿ ¿

xx −4−

c) 4

x2−3 x +2−3

xx −4−

c) 4

x2−3 x +2−3

c) x=0 ; x=3

d) x=6

5; x=12

a(3 a+1)a2−x2

a) Giải phương trình với a=−3.b) Giải phương trình với a=1.c) Giải phương trình với a=0.

d) Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x=1

2 làm nghiệm.Bài 8: Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2

7 a+ 26 a+ 18

d) 2 a−92 a−5+ 3 a3 a−2

Bài 9: Cho 2 biểu thức: A= 5

Hai biểu thức 6 x−13 x+2 và 6 x−13 x+2 bằng nhau.

Bài 10: Tìm y sao cho giá trị của hai biểu thức y−1y +5− y +1

y−3 và −8

(y −1)( y −3) bằng nhau.Bài 11: Cho phương trình (ẩn x¿: x +a

a(3 a+1)a2−x2

a) Giải phương trình với a=−3.b) Giải phương trình với a=1.c) Giải phương trình với a=0.

d) Tìm các giá trị của a sao cho phương trình nhận x=1

2 làm nghiệm.Bài 12: Tìm các giá trị của a sao cho mỗi biểu thức sau có giá trị bằng 2

7 a+ 26 a+ 18

d) 2 a−92 a−5+ 3 a3 a−2

Bài 13: Cho 2 biểu thức: A= 5

 Gọi hai số nguyên liên tiếp lần lượt là x và x +1 ( x∈ Z¿

 Dựa vào mối liên hệ: Tổng (hiệu), ti số, phép chia có du, liên quan đến hai số để lạp phıơng trinh.

Bài 1 Tìm hai số nguyên liên tiếp, biết rằng 2 lần số nhỏ cộng 3 lần số lớn bằng - 58

Bài 3 Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số là 8 Nếu thêm 2 đơn vị vào tử số và bớt

mẫu số đi 3 đơn vị thì ta được phân số bằng 34 Tìm phân số đã cho.

 ĐS:  715

Bài 4 Một phân số có tử số nhỏ hơn mẫu số là 11 Nếu tãng tử số lên 3 đơn vị và giảm

mẫu số đi 4 đơn vị thì ta được phân số mới bằng 34 Tìm phân số ban đầu.

 ĐS:  920

Bài 5: Mẫu số của một phân số lớn hơn tử số của nó là 5 Nếu tăng cả tử mà mẫu của nó

thêm 5 đơn vị thì được phân số mới bằng phân số 23 Tìm phân số ban đầu

 Dựa vào dữ kiện còn lại của bài để lập phương trình.

Bài 6: Thương của hai số là 3 Nếu tăng số bị chia lên 10 và giảm số chia đi một nửa thì hiệu của hai số mới là 30 Tìm hai số đó.

Bài toán 4: Tìm số tuổi.

Chú ý các mốc thời gian: cách đây (truớc đây) y năm, hiện nay và sau y nămTuổi cách đây (truớc đây) y năm = Tuổi hiện nay -y

Tuổi sau y năm = Tuổi hiện nay +y

Bài 11: Năm nay , tuổi bố gấp 4 lần tuổi Hoàng.Nếu 5 năm nữa thì tuổi bố gấp 3 lần tuổiHoàng ,Hòi năm nay Hoàng bao nhiêu tuổi ?

Nãm nay 5 nãm sauTuổi Hoàng x x+5

Tuổi Bố 4x 4x+5

Phương trình :4x+5=3(x+5)

Bài 12: Tính tuổi của hai người, biết rằng cách đây 10 năm tuổi người thứ nhất gấp 3 lầntuổi của người thứ hai và sau đây hai năm, tuổi người thứ hai sẽ bằng một nửa tuổi của người thứ nhất.

ĐS: người 1 là 46 tuổi ; người 2 là 12 tuổi.

Bài 13: Trước đây 5 năm, tuổi Dung bằng nửa tuổi của Dung sau 4 năm nữa Tính tuổi của Dung hiện nay.

b của dại lượng x là a xb

a % cuia dại luợng x là a x100

Nếu bài cho hai đối tượng 1 và 2 tỉ lệ với a và b mà đã đã gọi đối tuợng 1 là x thì đối

tượng 2 là bax

Bài 15: Một đội công nhân sửa một đoạn đường trong 3 ngày Ngày thứ nhất đội sửa

được 13 đoạn đường, ngày thứ hai đội sửa được một đoạn đường bằng 43 đoạn được làm được trong ngày thứ nhất, ngày thứ ba đội sửa80 m còn lại Tính chiều dài đoạn đường mà đội phải sửa.

DS: 360 m.

Bài 16: Hai phân xưởng có tổng cộng 220 công nhân Sau khi chuyển 10 công nhân ở

phân xưởng 1 sang phân xưởng 2 thì 23 số công nhân phân xưởng 1 bằng 45 số cồng nhân

phân xưởng 2 Tính số công nhân của mỗi phân xưởng lúc đầu.ĐS: Phân xưởng 1 có 120 công nhân, phân xưởng 2 có 90 công nhân.

Bài 17: Hai bể nước chứa 800 lít nước và 1300 lít nước Người ta tháo ra cùng một lúc ởbể thứ nhất 15 lit/phút, bể thứ hai 25 lit/phút Hỏi sau bao lâu số nước ở bể thứ nhất

bằng 23 số nước ở bể thứ hai?DS: 40 phút.

Bài 17: Ba lớp A , B , C góp sách tặng các bạn học sinh vùng khó khăn, tất cả được 358

cuốn Ti số số cuốn sách của lớp A so với lớp B là 116 Ti số số cuốn sách của lớp A so với lớp C là 107 Hỏi mỗi lớp góp được bao nhiêu cuốn sách?

ĐS: Lớp A: 84 cuốn; lớp B: 154 cuốn; lớp C: 120 cuốn.

Bài 18: Dân số tỉnh A hiện nay là 612060 người Hàng năm dân số tỉnh này tăng 1 % Hỏi hai năm trước đây dân số của tỉnh A là bao nhiêu?

DS: 600000 người

Bài 19: Trong một trường học, vào đầu năm học số học sinh nam và nữ bằng nhau Nhưng trong học kì I, trường nhận thêm 15 học sinh nữ và 5 học sinh nam nên số học sinh nữ chiếm 51 % số học sinh của trường Hỏi cuối học kì 1 , trường có bao nhiêu học sinh nam, học sinh nữ?

ĐS: 245 nam, 255 nũ

Bài 20: Số công nhân của hai xí nghiệp trước kia tỉ lệ với 3 và 4 Nay xí nghiệp 1 thềm 40 công nhân, xí nghiệp 2 thêm 80 công nhân Do đó số cồng nhân hiện nay của hai xí nghiệp tỉ lệ với 8 và 11 Tính số cồng nhân của mỗi xí nghiệp hiện nay.

Bài toán 6: Thêm bớt phần tử.

"Phần tủ thêm bớt" có thể là số ghế trong phòng, số xe chở hàng, số chữ trong trang sách,

Nếu bớt đi dùng phép toán trù̀, Nếu thêm vào dùng phép toán cộngNếu có "gấp bao nhiêu lần." thì dùng toán nhân.

Số ghế trong phòng = (số dãy) x (Số ghế của một dãy)

Số chữ trong một trang = (số dòng) x (Số chữ trong môt dòng)Tổng Số tấn hàng chở = (Số xe) x (tấn hàng của một xe chớ)

Bài 21: Hai thư viện có cả thảy 15000 cuốn sách Nếu chuyển tù̀ thư viện thứ nhất sang thứ viện thứ hai 3000 cuốn, thì số sách của hai thư viện bầng nhau Tính số sách lúc đầu ở mỗi thư viện.

ĐS: phòng họp lúc đầu có 10 dãy ghế.

Số dãy ghế Số ghế của mỗi dãy

DạNG 2: TOÁN TÌM SỐ GỒM HAI, BA CHỮA SỐKiến thức về cấu tạo số:

Số có hai chũ số có dạng: ab=10 a+b´ Điều kiện: a , b∈ N , 0<a ≤9,0 ≤ b ≤ 9.

Số có ba chũ số có dạng: abc=100 a+10 b+c´ Điều kiện: a , b , c∈ N , 0<a ≤ 9,0 ≤b , c≤ 9.

Gọi ẩn x có thể là chữ số hàng đon vị (hàng chục, ) rồi dùng mối liên hệ giữa các chũ số để viết chũ̃ số hàng còn lại.

Bài 1: Một số tự nhiền có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16 , nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị Tìm số đã cho

Hướng dẫn

Nếu gọi chữ số hàng chục là x

Điều kiện của x ? (x∈ N , 0<x<10).Chữ số hàng đơn vị là : 16−x

Số đã cho được viết 10 x+16−x=9 x +16

Đổi vị trí hai chữ số cho nhau thì số mới được viết : 10(16−x)+ x=160−9 x

Số mới lớn hơn số đã cho là 18 nên ta có phương trình : (160−9 x)−(9 x+16)=18

Giải phương trình ta được x=7 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy chữ số hàng chục là 7 ; Chữ số hàng đơn vị là 16−7=9.Số cần tìm là 79.

Một số tự nhiên có hai chữ số, tổng các chữ số của nó là 16 , nếu đổi chỗ hai chữ số cho nhau được một số lớn hơn số đã cho là 18 đơn vị Tìm số đã cho.

Bài 2: Tìm một số tự nhiền có hai chữ số, biết rằng tổng hai chữ số là 12 và nếu đổi chỗ hai chữ số thì được một số mới lớn hơn số đó là 36.

ĐS: 42857

Bài 5: Một số có hai chữ số, trong đó chữ số hàng chục gấp 3 lần chữ số hàng đơn vị Nếu đổi chỗ hai

chữ số ta được một số có hai chữ số nhỏ hơn số ban đầu 18 đơn vị Tìm số đó.ĐS: 31.

Bài 6: Một số tự nhiên có hai chữ số có tổng các chữ số bằng 7 Nếu thêm chữ số 0 vào giữa hai chữ số ta được một số có 3 chữ số lớn hơn số đã cho là 180 Tìm số đó.

ĐS: 25.

DẠNG 3: TOÁN CHUYÊN ĐỘNG CỦA 1 VẬT

Có 3 đại lượng tham gia vào Chuyển Động đó là: Quãng đường (S); Vận Tốc (v) đi trên quãng đường S; Thời gian (t) đi hết quãng đường S

Liên hệ: S=¿ v.t

A/ PHƯƠNG PHÁP.

VẬT đi từ A và đến B sớm (muộn hoặc đúng) dư định:

Viết biểu thức thời gian dự định đi từ A đến B và thời gian thực tế đi từ A đến B.Chú ý: thòi gian đi íng với tìng đoạn đuròng

Nếu có nghi trên đurờng đi thì thời gian thục tế đi tù A đến B gồm cả thời gian nghi.+Thời gian xe lăn bánh trên đường thì không tính thời gian nghi.

Lập phương trình:

Phương Tiện đến sớm so với dự định một khoảng thời gian Δt, ta có phương trình:Phương Tiện đến muộn so với dự định một khoảng thời gian Δt, ta có phương trình:Phương Tiện đến B đúng thời gian dự định, ta có phương trình:

tdự đinh =tthựe té 

Phương tiện đi từ A dến B, rồi từ B về A.

Viết biểu thức thời gian đi từ A đến B, thời gian đi từ B về Atdi=SAB  lúc đi : V lúc đi 

=SAB lúc về : V lúc về 

Lập phương trình:

Tổng thời gian cả đi lẫn về là t giờ, ta có phương trình: tdi+tvx=t

Thời gian đi ít hơn thời gian về một khoảng Δt, ta có phương trình: tvè - tđii ¿Δt

Chú ý: Nếu là chuyển động của thuyền (ca nô) có cả vận tốc dòng nước thì:

Vthuyền  xuôi dông =Vriêng̨ của thuyền +Vnược Vthuyền nğợe dòng =Vriêng của thuyền −Vnước 

Bài 3: Một ô tô đi từ A đến B mất 2 giờ 30 phút Nếu nó đi với vận tốc nhỏ hơn

10( km/h) thì nó sẽ mất nhiều thời gian hơn là 50 phút Tìm độ dài quãng đường AB ?Đi được một khoảng thời gian (đoạn đường) rồi dừng (nghỉ) và tăng (giảm) vận tốc trên đoạn đường còn lại.

LÂP BẢNG:

Quãng đường

(km) Vận tốc (km/h) Thời gian (h)Dự định

Thực tế

Thực tế 1Dừng (nghỉ)Thực tế 2Lập phương trình

Bài 4: Một người dự định đi xe máy trên một quãng đường dài 120km trong 2 giờ 30 phút Đi được 1 giờ với vận tốc dự định người ấy nghỉ 15 phút Để đến đích đúng dự định người ấy phải tăng vận tốc gấp 1,2 lần vận tốc lúc đầu Tính vận tốc lúc đầu của người ây?

Thực tế 2 120− x1,2 x120−x1,2 x

Lập phương trình tthực tó =td  ự định 

Bài 5: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc 50( km/h) Sau khi đi được 24 phút nó giảm bớtvận tốc đi 10 (km/h) Vì vậy ô tô đến B muộn hơn dự định 18 phút Tìm độ dài quãng đường AB ?

Bài 6: Một người lái ô tô dự định đi từ A đến B với vận tốc 48 km/h Nhưng sau khi đi

được 1 giờ với vận tốc ấy, ô tô bị tàu hỏa chắn đường trong 10 phút Do đó, để kịp đến B

đúng thời gian đã định, người đó phải tăng vận tốc thêm 6 km/h Tính quãng đường AB ?Bài 7: Một người dự định đi xe đạp từ nhà ra tỉnh với vận tốc trung bình 12 km/h Sau khi đi được 1/3 quãng đường với vận tốc đó vì xe hỏng nên người đó chờ ô tô mất 20 phút và đi ô tô với vận tốc 36 km/h do vậy người đó đến sớm hơn dự định 1 h 40 ' Tính quãng đường từ nhà ra tỉnh?

Chuyển động có đi, có về:LẬP BẢNG:

Quãng đường (km) Vận tốc (km/h) Thời gian (h)