Chuyen de phuong trinh bac nhat mot an DAI SO 8 chuong 3

Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Chun đề: Phương trình bậc nhất- Đại số 8- Chương Kiến thức a) Khái niệm bất phương trình bậc ẩn - Bất phương trình bậc ẩn phương trình có dạng : ax + b > ( ax + b < : ax + b ≥ ; ax + b ≤ ) x ẩn a , b số cho a ≠0 b) Bất phương trình tương đương ĐN : hai bất phương trình gọi tương đương chúng có tập hợp nghiệm Các phép biến đổi tương đương + Định lí : Nếu cộng đa thức ẩn vào hai vế bất phương trình bất phương trình tương đương - Hệ ; Nếu xóa hai hạng tử giống hai vế bất phương trình bất phương trình tương đương - Hệ : Nếu chuyển hạng tử từ vế sang vế đổi dấu bất phương trình tương đương + Định lí : - Nếu nhân hai vế bất phương trình với số dương bất phương trình tuơng đương - Nếu nhân hai vế bất phương trình với số âm đổi chiều bất phương trình bất phương đương 2- Các dạng tập Dạng : Giải bất phương trình bậc ẩn Bài : Giải bất phương trình sau a) x – < - b)x+3>-6 c ) -2x > -3x +d ) -4x -2 > -5x +6 Với tập học sinh giải rễ ràng cách sử dụng phếp biến đổi tương đương Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Giải a ) x – < - ↔ x < -8 + ↔ x < - Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = {x / x < - } b ) x + > - ↔ x > - – ↔ x > -9 Vậy tập nghiệm cuả bất phương trình cho S = {x / x > - } c ) -2x > - 3x + ↔ -2x + 3x > ↔x > Vậy tập nghiệm bất phương trình cho S = {x / x > } d) – 4x – > -5x + ↔ - 4x + 5x > + ↔ x > Vậy bất phương trình cho có nghiệm : S = {x / x > } Bài : Giaỉ bất phương trình sau ; a ) (x + ) < 2x ( x + 2) +4 b ) (x + ) ( x + ) > ( x – ) (x + 8) + 26 Bài tập làm cho học sinh bối rối em thấy lũy thừa x không bậc nên làm giáo viên đưa gợi ý nhỏ cho em : Hãy thực phép tính hai vế thu gọn Giải a) ( x + ) < 2x ( x + 2) + ↔ x2 + 4x + < x2 + 4x + ↔ x2 < x2 ↔ x2 > ↔ x > x < Sau giải đến bất phương trình x2 > có nhiều học sinh biến đổi sau ; x2 > ↔ x > kết luận nghiệm thiếu nghiệm bất phương trình cần nhắc lại cho em lũy thừa chẵn số , biểu thức lớn thay cho việc tìm gía trị x để x2 > ta đưa tìm x để x2 = giá trị lại x làm cho x2 > b ) ( x + 2) ( x + ) > ( x – ) ( x + ) + 26 ↔ x2 + 6x + > x2 + 6x -16 + 26 ↔0 > ( vơ lí ) → Bất phương trình vơ nghiệm Xuctu.com – Chun đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Khi làm xong tập giáo viên cho học sinh rút bước làm : Bước : Thực phép tính hai vế bất phương trình Bước : Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế , hạng tử số sang vế thu gọn bất phương trình Bước : Giải bất phương trình sau thu gọn Bài : Giải bất phương trình sau : − x − x − ≤ x − x + b : − ≥ + a : Giáo viên cho học sinh nhận xét bất phương trình có đặc điểm gợi ý học sinh quy đồng khử mẫu Giải 1− 2x 1− 5x − x − 16 − x −2≤ ⇔ ≤ ⇔ − x − 16 ≤ − x 8 ⇔ − x + x ≤ 14 + ⇔ x ≤ 15 a; Vậy tập nghiệm bất phương trình : S = {x / x ≤ 15} b) x −1 x +1 x − − 12 x + + 96 −1 ≥ +8⇔ ≥ 12 12 ⇔ x − x ≥ 100 + 15 ⇔ − x ≥ 115 ⇔ x ≤ − 115 Vậy tập nghiệm bất phương trình ; S = {x / x ≤ -115} Qua tập giáo viên cho học sinh rút cách giải bất phương trình có chứa mẫu : Bước : Quy đồng khử mẫu Bước : Chuyển hạng tử chứa ẩn sang vế hạng tử số sang vế thu gọn bất phương trình Bước : Giải bất phương trình sau thu gọn Bài : Giải bất phương trình : mx + ≥ m2 + x ( với m tham số ) Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Học sinh biến đổi tương đương bình thường mx + ≥ m2 + x ⇔ mx − x ≥ m − ⇔ ( m − 1) x ≥ ( m − 1)( m + 1) Đến bước có nhiều em vội vàng suy x ≥ ( m + ) bàng cách chia (m1)(m+1) cho (m-1) mà quên điều kiện để phép chia có nghĩa số chia phải khác khơng quy tắc chia hai vế bất phương trình cho số âm phải đổi chiều bất phương trình Vậy giáo viên phải hướng dẫn em phân chia trường hợp m- ( m-1) > ; (m – ) nghiệm bất phương trình x ≥ m + + Nếu x = bất phương trình có dạng 0x ≥ nghiệm với giá trị x Bài : Giải bất phương trình ( với a số ) x +1 + ax a > x+2 − 2x a Đây bất phương trình có chứa mẫu cần phải tìm điều kiện mẫu có nghĩa sau biến đổi rút gọn bất phương trình Giải Bất phương trình có nghĩa a ≠ x +1 + ax a ⇔ > x + + ax a a ⇔ ax + x > x+2 − 2x a > x + − 2x a a − a a ⇔ (a + 2) x > a - Nếu a > - : a ≠ nghiệm bất phương trình : x > - Nếu a < - nghiệm bất phương trình cho : x < - Nếu a = -2 bất phương trình có dạng 0x > - Bài : Giải bất phương trình : a (a + 2) a (a + 2) nghiệm với x Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! x + x + x + x + 11 + > + 89 86 83 80 Với tập phần lớn học sinh vận dụng cách làm cách máy móc quy đồng , rút gọn giải bất phương trình , làm em vất vả có em lại tách thành x x x x 11 + + + > + + + 89 89 86 86 83 83 80 80 Làm phức tạp nên giáo viên cho học sinh nhận xét mối quan hệ tử mẫu phân thức hướng dẫn học sinh tạo phân thức có tử giống cách cộng thêm vào phân thức với ta có : x + x + x + x + 11 + > + 89 86 83 80 x+2   x+5   x+8   x + 11  ⇔ + 1 +  + 1 >  + 1 +  + 1  89   86   83   80  x + 91 x + 91 x + 91 x + 91 ⇔ + > + 89 86 83 80 1   ⇔ ( x + 91 )  + − − >0  89 86 83 80  ⇔ x + 91 < ⇔ x < − 91 Bên cạnh toán với yêu cầu cụ thể giải bất phương trình cịn tốn mà để giải phải đưa tốn giải bất phương trình Bài tốn địi hỏi học sinh phải có tư logic , phân tích chặt chẽ Bài : Tìm giá trị x thỏa mãn hai bất phương trình x − x 3x + + ≥ x − 2x 3x − + ≥ Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Học sinh phải hiểu giá trị cần tìm x nghiệm chung hai bất phương trình để tìm ta phải giải bất phương trình tìm phần chung tập nghiệm chúng 2x − 2x 3x + + ≥ ⇔ 12x + 30 − 20x ≥ 45x + 30 * ⇔ 12x − 20x − 45x ≥ ⇔ −53x ≥ ⇔ x ≤ x − 2x 3x − ≥ * + (1) ⇔ 15 x + 18 − 12 x ≥ 15 x − 30 ⇔ − 12 x ≥ − 48 ( 2) ⇔ x≤4 Từ (1) (2) ta có x ≤ Bài 8: Tìm số nguyên x thỏa mãn hai bất phương trình 2x − − x 3x − x > ≥ + 0, − Giải Xét bất phương trình : 3x − x ≥ + 0,8 ⇔ 6x − ≥ 5x + ⇔ 6x − 5x ≥ + ⇔ x ≥ 12 Xét bất phương trình : (1) 2x − − x > 12 − x + 10 > − x −4 x + x > − 22 − x > −13 x < 13 1− ⇔ ⇔ ⇔ (2) ⇔ Từ (1) (2) ta có 12 ≤ x 10 x − ⇔ − x − 10 x > − − ⇔ − 12 x > − ⇔ x< − 2x 5x − lớn giá trị phân thức x < Vậy giá trị phân thức b) Giá trị phân thức 1, − x 4x + nhỏ giá trị phân thức nghĩa 1, − x 4x + < ⇔ − x < 20 x + 25 ⇔ 22 x > −22 ⇔ x > −1 1, − x Vậy với x > - Giá trị phân thức nhỏ giá trị phân thức 4x + Dạng tập sau giải học sinh thường hay kết luận nghiệm bất phương trình giáo viên ý học sinh kết luận theo yêu cầu Bài 11: Tìm giá trị m để nghiệm phương trình sau dương m +1 = 1− m x −1 Đây phương trình chứa mẫu cần tìm điều kiện để phương trình có nghĩa : Điều kiện x – ≠ suy x ≠ Là tốn phương trình để trả lời lại phải sử dụng đến bất phương trình Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Giải m+1 =1− m ⇔ (1+ m) = (1− m)x −1+ m x −1 ⇔ (1− m)x =1+ m+1− m ⇔ (1− m)x = - Nếu m = phương trình có dạng 0x = phương trình vơ nghiệm x = - Nếu m ≠ 1− m ≠ ⇒ m ≠ −1 Vì x ≠ nên 1− m Nghiệm phương trình x = với m ≠ +-1 1− m m ≠ + −1 m ≠ + −1 m < ⇒ ⇒ Phương trình có nghiệm dương  1 − m > m < m ≠ −1 5− x 1− 2x   + − : Bài 12: Cho biểu thức A =   − x x + 1 − x   x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > Giải x ≠ 1; x ≠ − 1; x ≠ Điều kiện 2  x +1+ − 2x − + x  1− x A=  − x2   2x −1 a) =− 2x −1 b) A > ⇒ −2 > ⇒ 2x −1 < ⇒ 2x < ⇒ x < x −1 Kết hợp với điều kiện ta x < x ≠ -1 Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Vậy với x < x ≠ -1 A > Giáo viên ý học sinh với biểu thức có liên quan đế giá trị biểu thức phải tìm điều kiện biểu thức có nghĩa : mẫu thức khác ; phân thức chia khác Sau tìm giá trị biến phải so sánh với điều kiện trước kết luận Bài 13 : Tìm số nguyên a b cho a2 - 2ab + b2 - 4a +7 < Giáo viên hướng dẫn , dẫn dắt học sinh biến đổi vế trái bất đẳng thức sau đánh giá để tìm a , b Giải Do a , b nguyên ta cộng vào vế trái bất đẳng thức cho ta a2- 2ab + b2 - 4a +7 < ⇔ a − ab + 2b − a + ≤ ⇔ a − ab + 4b − a + 16 ≤ ⇔( a2 − 4ab + 4b2 ) + ( a2 −8a +16) ≤ ⇔( a − 2b) +( a − 4) ≤ 2 ⇔ a = 4; b =  3x −  =x Bài 14: Tìm x biết     Giáo viên giới thiệu cho học sinh biết khái niệm phần nguyên : Phần nguyên a kí hiệu [a] số ngun lớn khơng vượt a Ví d ụ ; [3,135] = ; [-1,47] = -2 0 ≤ a − b < - Nếu b phần nguyên a ta có  b ∈ Z Từ học sinh dựa vào để giải tốn Giải Theo đề , x số nguyên lớn không vượt qua 10 3x − Do Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa!  3x − − x −3 0≤ Ta lại có x € Z x = -2  34 x + 19  = 2x +  11   Bài 15: Tìm x biết  Ta có 2x +1 số nguyên lớn không vượt 34 x + 19 nên 11  34x +19 − 2x −1 b) │3-2x│ < x + Giải a) │3x - 1│ > (1) * Xét khoảng x < ( 1) có dạng – 3x > ⇔ −3x > − ⇔ −3x > ⇔ x < −4 Nghiệm bất phương trình khoảng x < * Xét khoảng x ≥ −4 (1) có dạng 3x − > ⇔ 3x > + ⇔ 3x > ⇔ x > Nghiệm bất phương trình khoảng x > Kết luận : Nghiệm bất phương trình cho : x > : x < −4 b) │3-2x│ < x + * Xét khoảng x > ,(2) có dạng 2x − < x +1 ⇔ 2x − x < +1 ⇔ x < Vậy bất phương trình có nghiệm khoảng * Xét khoảng x ≤ 3 < x < , ( ) có dạng − 2x < x +1 ⇔−2x − x Vậy bất phương trình có nghiệm khoảng 13 3 (1) (2) Giải a) Lập bảng xét dấu biểu thức x x - x x - + │ + x-4 - │ - + * Xét khoảng x < ; ( 1) có dạng - x – x + ≤ ( – x ) ⇔ 0x = Nghiệm với x thuộc khoảng xét x < * Xét khoảng ≤ x < ,(1) có dạng x – x + ≤ - 2x ⇔ x ≤ Nghiệm bất phương trình xét khoảng ≤ x ≤ * Xét khoảng x ≥ , (1) có dạng x – x + ≤ 2x – ↔ x ≥ thỏa mãn x ≥ Kết luận : Nghiệm bất phương trình cho x ≤ ; x ≥ b) Lập bảng xét dấu biểu thức ( x – ) ; ( x – ) x x-1 - + │ + x-5 - │ - + * Xét khoảng x < , (2) có dạng 1− x + − x > ⇔ −2x > ⇔ x < −1 thỏa mãn x < * Xét khoảng ≤ x < , (2) có dạng x −1 + − x > ⇔ 0x > không xảy với x phương trình vơ nghiệm khoảng xét * Xét khoảng x ≥ , ( 2) có dạng 14 bất Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! x −1+ x −5 > ⇔2x >14 ⇔x > nghiệm với x ≥ Kết luận : Nghiệm bất phương trình cho x < - ; x > Nhận xét : Trong cách cách giải ta khử dấu GTTĐ cách xét khoảng giá trị biến Trong số trường hợp , giải nhanh cách dùng phương pháp chung nói biến đổi tương đương sau : Dạng a) Với a số dương , ta có : │f(x) │ < a ⇔ − a < f ( x ) < a b) │f(x) │ < g (x) ⇔ − g ( x) < f ( x) < g ( x) Dạng : a) Với số a dương ta có : │f(x) │ > a  f ( x) < − a ⇔   f ( x) > a  f ( x) < − g ( x) b) │f(x) │ > g (x) ⇔   f ( x) > g ( x) Dạng : │f(x)│ > │g(x)│ ⇔ [ f ( x)]2 > [ g ( x)]2 Bài : Giải bất phương trình a) 3│2x - 1│ < 2x + (1) b) │5x - 3│ < 3x + ( 2) Giải a) Cách : (Theo phương pháp chung ) * Xét khoảng x < , (1) có dạng 3( – 2x ) Nghiệm bất phương trình khoảng * Xét khoảng x ≥ ,(1) 1 ⇔ ⇔ 6 x − < x + 4 x <  x > ⇔ ⇔ < x x +  x < 8 x < ⇔ ⇔ 2 x > x >  Kết luận : Nghiệm bất phương trình cho x < x > Dạng : Bất phương trình tích , bất phương trình thương Với dạng tập học sinh lập bảng để xét dấu sử dụng phép biến đổi tương đương Khi sử dụng phép biến đổi tương đương cần ý : - Tích (thương ) hai số dấu số dương - Tích ( thương ) hai số trái dấu số âm Bài : Tìm x cho a) (x – ) (x – ) > b) x+2 x−5 Cách : Sử dụng phép biến đổi tương đương 16 Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! (x–2)(x–5)>0  x − >  x >    x − > ⇔  x > ⇔  x >   x − <  x < x <     x − <   x < Kết luận : Nghiệm bất phương trình : x > ; x < c) Lập bảng xét dấu nhị thức x -2 x+2 - + │ + x–5 - │ - + x+2 x−5 + - ║ + Kết luận : Nghiệm bất phương trình x < -2 ; x > Bài : Giải bất phương trình sau a) x2 - 2x + < b) ( x3 -27) ( x3 – ) ( 2x + – x2) ≥ Giải a) Cách : a) x2 - 2x + < ⇔ ( x −1)2 < ⇔ x −1 < ⇔ −3 < x − < ⇔ −2 < x < Cách : Biến đổi bất phương trình dang bất phương trình tích x2 − x + < ⇔ x2 − x − < ⇔ ( x + )( x − ) < Lập bảng xét dấu nhị thức (x + ) , ( x – ) x -2 x+2 - + │ + x–4 - │ - + (x + 2) ( x – ) + - + Nghiệm bất phương trình – < x < b) ( x3 -27) ( x3 – ) ( 2x + – x2) ≥ 17 Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! ⇔ ( x − 3) ( x + 3x + ) ( x + 1) ( x − x + 1) ( − x )( x + 1) ≥ ⇔ ( x − 3)( x + 1) ( − x ) ≥ ⇔ − ( x − 3) ( x + 1) ≥ 2 x = ⇔  x = −1 Vậy nghiệm bất phương trình x = , x = - Bài : Giải bất phương trình sau x3 − 4x2 + 5x − 20 >0 a) x − x −10x − x2 + x + x2 + x + > −1 b) x +1 x+2 Giải x3 − 4x2 + 5x − 20 x2 ( x − 4) + 5( x − 4) >0⇔ >0 a) x − x −10x − ( x + 2)( x +1)( x − 4) (1) ĐK ; x ≠ -1 ; x ≠ -2 ; x ≠ x2 + 5) ( x − ) ( x + 5) ( ⇔ >0⇔ >0 (1) ( x + 1)( x + )( x − ) ( x + 1)( x + ) ⇔ ( x + 1)( x + 2) > x -2 -1 x+2 - + │ + x+1 - │ - + (x + 2) ( x + ) + ║ - ║ + Kết luận : Nghiệm bất phương trình cho : x < -2 ; - < x < ; x > x2 + 2x + x2 + 4x + > −1 (2) b) x +1 x+2 ĐK : x ≠ -1 ; x ≠ -2 x2 + 2x = x2 + 4x + − x − > (2) ⇔ x +1 x+2 18 Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! x2 + 2x + x2 + 3x + ⇔ > x +1 x+2 x2 + 2x + x2 + 3x + ⇔ − >0 x +1 x+2 ( x2 + x + 2)( x + 2) ( x2 + 3x + 3) ⇔ − >0 ( x + 1)( x + 2) ( x + 1)( x + 2) ⇔ > ⇔ ( x +1)( x + 2) > ( x +1)( x + 2) x +1 >  x > −1 ⇔ Vì (x + 2) > ( x + ) nên ta có (x + 1)( x + 2) > ⇔  x + <   x < −2 Kết luận : Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x > -1 , x < - Bài 4: Tìm điều kiện x , y để biểu thức A có giá trị lớn  x x − y   y2  x A= − : + :    y + xy x + xy   x − xy x + y  y  x x− y   y2  x A= − − : : y ( x + y x ( x + y ) x ( x + y )( x − y ) x + y     y ĐK : xy ≠ ; x ≠ y ; x ≠ - y  x − xy + y   y + x − xy  x A= : : xy ( x + y ) x ( x + y )( x − y )     y = x− y y = 1− x x y  xy <  1 x ≠ −y   xy ≠ 0, x ≠ y , x ≠ − y Vậy A nhận giá trị lớn xy < x + y ≠ Qua việc tham khảo số loại sách đồng nghiệp thấy hầu hết loại sách trình bày theo lối : - Đưa nội dung kiến thức - Đưa dạng toán hướng giải dạng toán 19 Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! - Một số ý làm dạng toán - Đưa số toán nâng cao cách giải để học sinh tham khảo Đó tiền đề để bồi dưỡng học sinh giỏi mà lên lớp giáo viên khơng thể bồi dưỡng Vì kiến thức lớp kiến thức học sinh từ yếu , , trung bình học sinh giỏi nắm đuộc can chi thức - Kinh nghiệm đúc rút trình bồi dưỡng học sinh giỏi củng cố lại phần kiến thức mà học sinh học lớp mà củng cố cho học sinh số kĩ , cách giải tốn , cách phân tích tốn để giải số tốn khó quy số dạng mà học sinh có dịp bồi dưỡng , đặc biệt rèn luyện cho em cách tư tốn , từ dễ đến khó , từ đơn giản đến phức tạp , số kĩ xảo để giải tốn có liên quan đến bất phương trình bậc ẩn - Rèn cho em có tinh thần học tập , khả tự học tự đọc tìm lời giải hay , phong phú , tạo hứng thú học tập môn tốn mà nhiều người cho khơ khan TRỌN BỘ SÁCH THAM KHẢO TOÁN MỚI NHẤT-2019 20 Xuctu.com – Chuyên đề | Sách | Tài liệu | Video miễn phí- Và nữa! Bộ phận bán hàng: 0918.972.605 Đặt mua tại: https://xuctu.com/ FB: facebook.com/xuctu.book/ Email: sach.toan.online@gmail.com Đặt online biểu mẫu: https://forms.gle/ypBi385DGRFhgvF89 Đọc trước sách tại: https://xuctu.com/sach-truc-tuyen/ 21 ... 89 86 83 80 x+2   x+5   x +8   x + 11  ⇔ + 1 +  + 1 >  + 1 +  + 1  89   86   83   80  x + 91 x + 91 x + 91 x + 91 ⇔ + > + 89 86 83 80 1   ⇔ ( x + 91 )  + − − >0  89 ... em vất vả có em lại tách thành x x x x 11 + + + > + + + 89 89 86 86 83 83 80 80 Làm phức tạp nên giáo viên cho học sinh nhận xét mối quan hệ tử mẫu phân thức hướng dẫn học sinh tạo phân thức... 2x − 2x 3x + + ≥ ⇔ 12x + 30 − 20x ≥ 45x + 30 * ⇔ 12x − 20x − 45x ≥ ⇔ −53x ≥ ⇔ x ≤ x − 2x 3x − ≥ * + (1) ⇔ 15 x + 18 − 12 x ≥ 15 x − 30 ⇔ − 12 x ≥ − 48 ( 2) ⇔ x≤4 Từ (1) (2) ta có x ≤ Bài 8: Tìm