BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP TÍNH/ PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG TRƯỜNG ĐHQG-ĐH BK TP.HCM VỀ CHỦ ĐỀ KINH TẾ VÀ QUẢN LÝ
Mô hình bài toán vận tải
Thiết lập bài toán vận tải
Bài toán vận tải là một dạng đặc biệt của bài toán quy hoạch tuyến tính liên quan đến việc giúp xác định chi phí vận chuyển thấp nhất cho việc vận chuyển một loại hàng hóa nào đó từ các nguồn cung cấp khác nhau đến những nơi tiêu thụ.
Trước tiên, để thiết lập một bài toán vận tải cần thu thập các dữ kiện sau:
- Mỗi nguồn có một nguồn cung cấp đơn vị cố định, trong đó toàn bộ nguồn cung này phải được phân phối đến các điểm đến Các điểm nguồn thường biểu diễn cho các trạm phát hàng, các kho trung tâm, kho trung chuyển hàng, nhà phân phối,
- Tương tự, mỗi điểm đến có một nhu cầu cố định về các đơn vị, trong đó toàn bộ nhu cầu này phải được tiếp nhận từ các nguồn Các điểm đích thường là các trạm thu hàng, các kho trung chuyển hàng đến điểm bán lẻ, các điểm bán lẻ,…
- Chi phí vận chuyển cho một đơn vị hàng hóa từ từng điểm nguồn đến từng điểm đích
Ký hiệu: m: Tổng số điểm nguồn n: Tổng số điểm đích s i : Khả năng cung cấp của điểm nguồn i (i = 1,2,…,m) d j : Nhu cầu của điểm đích j (j = 1,2,…,n) x ij : Lượng hàng chuyên chở từ điểm nguồn i (i =1,2,…,m) đến điểm đích j (j =1,2,…,n) c ij : Chi phí chuyển một đơn vị hàng hóa từ điểm nguồn i (i =1,2, ,m) đến điểm đích j (j =1,2,…,n)
Giả định rằng không có sự chậm trễ trong số lượng được gửi hoặc nhận có nghĩa là cần phải có một cân bằng giữa tổng cung từ tất cả các nguồn và tổng cầu ở tất cả các điểm đến
Một bài toán vận tải sẽ có lời giải khả thi khi và chỉ nếu ∑ 𝑚 𝑖=1 𝑠 𝑖 = ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑑 𝑗
Trường hợp suy biến (Degenerate) của bài toán vận tải
Một bài toán vận tải sẽ suy biến nếu như tổng số các ô có gán giá trị trong bảng vận tải nhỏ hơn (m + n – 1) Có hai trường hợp có thể xảy ra:
TH1: Sự suy biến xảy ra trong lời giải ban đầu Trong trường hợp này, phải gán giá trị 0 vào một ô rỗng nào đó (và xem như đây là ô có gán giá trị) sao cho từ bất kỳ ô rỗng nào, ta cũng xác định được một đường đi kín tương ứng với nó
TH2: Sự suy biến xảy ra sau khi thực hiện một bước lập nào đó Điều này là do khi chọn một ô rỗng để đưa vào tập các ô cơ sở, có ít nhất hai ô có gán dấu trừ trên đường đi ứng với ô rỗng đang xét có cùng giá trị nhỏ nhất (và như vậy các ô này sẽ cùng chuyển thành ô rỗng sau khi thực hiện phép lặp) Trong trường hợp này, phải gán giá trị 0 vào một trong các ô đó sau khi thực hiện phép lặp, thường là chọn ô có chi phí vận chuyển nhỏ nhất.
Bài toán vận tải đa nghiệm
Cũng như bài toán quy hoạch tuyến tính, một bài toán vận tải sẽ có nhiều hơn một nghiệm tối ưu nếu trong bảng vận tải tối ưu sau cùng, có tồn tại ít nhất một chỉ số cải tiến ứng với các ô rỗng bằng 0 Tại ô rỗng có chỉ số cải tiến bằng 0, nếu ta thực hiện điều chỉnh lượng hàng
6 vận tải theo đường đi tương ứng thì một kế hoạch vận tải mới sẽ được thực hiện mà không làm thay đổi tổng chi phí.
Một số trường hợp đặc biệt
Trong một số trường hợp, mục tiêu của bài toán cực tải là cực đại lợi nhuận Trong những trường hợp như vậy, việc chuyển từ bài toán Max về bài toán Min có thể được áp dụng Các giá trị lợi nhuận vận chuyển đơn vị sẽ được biểu diễn bằng những giá trị âm trên bảng vận tải ở dạng chi phí và các phương pháp giải được thực hiện theo trình tự như đã trình bày trong các phần trên Tuy nhiên cần lưu ý rằng việc cộng thêm bất kỳ một hằng số nào vào toàn bộ các “chi phí” vận chuyển đơn vị trong bảng vận tải sẽ không làm thay đổi nghiệm tối ưu của bài toán Vì vậy để tránh nhầm lẫn trong khi tính toán, người ta thường cộng thêm một số dương vào các “chi phí” âm trong trường hợp này để chuyển bài toán về dạng sao cho tất cả các chi phí vận tải đơn vị trong bảng đều không âm
Dạng bảng vận tải thiết lập cho trường hợp lợi nhuận cũng có thể được sử dụng trực tiếp
Tuy nhiên cần phải có những chỉnh sửa nhất định về nguyên tắc thực hiện trong khi xác định lời giải band dầu (theo phương pháp chi phí bé nhất và phương pháp xấp xỉ Vogel) cũng như trong quá trình cải tiến lời giải b Bài toán vận tải với ràng buộc về đường đi
Trong thực tế ta có thể gặp phải trường hợp vận chuyển giữa một cặp điểm nguồn – điểm đích nào đó là không thể (đường bị cấm, đường không tồn tại, đường không an toàn,…) Để giải quyết cho những trường hợp như vậy, chi phí vận chuyển đơn vị giữa các cặp điểm nguồn – điểm đích đó sẽ được gán cho một giá trị dương cực cao (trường hợp lợi nhuận: giá trị âm cực thấp) và tiến hành giải như không có tồn tại những ràng buộc về đường đi Với cách thức thực hiện như vậy, trong bảng vận tải tối ưu sau cùng, ô tương ứng với cặp điểm nguồn – đích không khả dĩ sẽ không được gán giá trị (tức là có giá trị bằng 0)
Phương án vận chuyển của bài toán vận tải (Quy hoạch tuyến tính)
Giả sử có m kho hàng A1,…,Am cùng chứa một loại hàng hóa, kho Ai chứa ai tấn hàng
Cần vận chuyển số hàng trên đến n cửa hàng B1,…,Bn, của hàng Bi cần số hàng bi
Cước phí vận chuyển một tấn hàng từ kho Ai đến cửa hàng Bj là cij Hãy lập phương án vận chuyển sao cho tổng chi phí vận chuyển là nhỏ nhất
Các kho hàng được gọi là các điểm phát, các cửa hàng được gọi là các điểm thu
Ví dụ: Có 3 điểm phát và 4 điểm thu, số hàng ở các điểm phát, nhu cầu ở các điểm thu, cước phí vận chuyển cho trong bảng sau:
Bảng trên đây được gọi là bảng vận tải
Mỗi phương án vận chuyển là một ma trận X = [𝑥 𝑖𝑗 ] , trong đó xij là số hàng hóa chuyển từ Ai đến Bj (xij ≥ 0)
Chi phí vận chuyển của phương án X là: G (X) = ∑ 𝑚 𝑖=1 ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑐 𝑖𝑗 𝑥 𝑖𝑗
Dạng bảng của bài toán vận tải
Bài toán vận tải có thể giải bằng tay thông qua bảng vận tải Mỗi ô của bảng vận tải tương tự như biến ở bài toán tối ưu để chi phí cho việc di chuyển từ nhà cung cấp đến đích
Khả năng của nhà cung cấp và yêu cầu từ đích sẽ được ghi ở cột bên phải và hàng cuối của bảng vận tải
: : : : : ai ci1 xi1 ci2 xi2
: : : : : am cml xml cm2 xm2
Một tập hợp các ô thỏa mãn tính chất:
- Hai ô liên tiếp cùng nằm trên cùng 1 hàng hay 1 cột
- Ba ô liên tiếp không cùng nằm trên cùng 1 hàng hay 1 cột được gọi là một dây chuyền
Một dây chuyền khép kín được gọi là một chu trình Định nghĩa 2:
Những ô có xij > 0 được gọi là ô chọn, những ô còn lại được gọi là ô loại Định nghĩa 3:
Một phương án mà các ô chọn không tạo thành chu trình được gọi là phương án cơ bản
Một phương án cơ bản đủ (m + n – 1) ô chọn được gọi là phương án cơ bản không suy biến.
Dạng cân bằng (cân bằng thu phát)
Bước 1: Kiểm tra cân bằng thu phát Bước 2: Đưa bài toán về cân bằng thu phát Bước 3: Tìm phương án xuất phát
Bước 4: Kiểm tra Phương án suy biến Bước 5: Đưa về phương án không suy biến Bước 6: Tính các thế vị ui, vj, ∆, kết luận
Bước 1: Kiểm tra điều kiện cân bằng thu phát
• Nếu bài toán chưa cân bằng thu phát chuyển sang bước 2
• Nếu bài toán đã cân bằng thu phát chuyển sang bước 3
Bước 2: Đưa bài toán về cân bằng thu phát
Tổng thu > tổng phát thì thêm trạm phát giả với lượng hàng bằng tổng thu – tổng phát Tổng thu < tổng phát thì thêm trạm phát giả với lượng hàng bằng tổng phát– tổng thu
(Cước phí của các ô giả đều bằng 0 Khi tìm phương án xuất phát thì ưu tiên chọn hàng vào các ô thật trước)
Bước 3: Tìm phương án xuất phát
Nguyên tắc phân phối tối đa (phân phối vào mỗi ô vận tải lượng hàng tối đa mà ô đó có thể nhận).
Một số phương pháp tìm phương án xuất phát:
- Phương pháp góc Tây Bắc - Phương pháp cước phí bé nhất - Phương pháp Vogel
Bước 4: Kiểm tra Phương án suy biến Ô chọn xij > 0 Ô loại (các ô bị xóa) xij = 0
- Phương án không suy biến là phương án có số ô chọn đúng bằng số trạm phát + số trạm thu -1
- Phương án suy biến là phương án có số ô chọn < số trạm phát + số trạm thu -1
Bước 5: Đưa phương án suy biến về không suy biến
Bổ sung thêm các ô loại thành các ô chọn giả để được phương án không suy biến Các ô chọn giả phải thỏa mãn điều kiện là không tạo thành vòng với các ô chọn đã có.
Bước 6: Tính các thế vị ui , vj , ∆, kết luận
Chọn một ui = 0 hoặc vj = 0 (tương ứng với hàng hoặc cột nào mà có nhiều ô chọn nhất).
Các ui và vj còn lại phải thỏa mãn: cij + ui + vj = 0
11 Với mọi (i,j) là các ô chọn (chỉ tính tại các ô chọn)
Ví dụ: tính thế vị ui, vj
50 -6 v j 0 1 0 -2 Chọn v 3 = 0 … với mọi (i,j) là các ô chọn : cij + ui + vj = 0 Cách tính ∆ij tại các ô loại : ∆ij = cij + ui + vj Nếu ∆ij ≥ 0 với mọi (i,j) thì kết luận bài toán có phương án tối ưu Dừng lại trả lời phương án ở bảng vận tải là PATU, tính fmin Nếu ∆ij < 0 thì bài toán chưa có phương án tối ưu, kẻ bảng vận tải mới, tính lại các thế vị ui, vj, ∆ và kết luận. Ví dụ: Tính các ∆ij với mọi (i,j) là các ô loại ∆ij = cij + ui + vj Thu Phát 40 30 80 50 ui
Vì bài toán chưa có PATU nên ta lập bảng mới (Chuyển bài toán không cân bằng về dạng cân bằng)
Cách lập bảng mới như sau:
- Tìm một ô (r,s) là ô có ∆ij < 0 và nhỏ nhất - Tìm một vòng xuất phát từ ô (r,s)
- Đánh dấu cộng (+) vào ô (r,s) và dấu trừ (-) vào ô kế tiếp cho đến hết vòng - Tìm q = ∆{ x ij } với x ij thuộc các ô đánh dấu trừ (-)
- Kẻ bảng vận tải tiếp theo:
• Ô chọn nào là ô có dấu cộng (+) thì giá trị x ij tại đó cộng thêm q
• Ô chọn nào là ô có dấu trừ (-) thì giá trị x ij tại đó trừ đi q
• Ô chọn nào không có cả 2 dấu thì giữ nguyên x ij
Tìm vòng là lập bảng mới:
- Tìm ô (r,s): ∆ij bài toán đạt nghiệm tối ưu
CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH ĐỂ GIẢI BÀI TẬP
Giải bài tập 8.1 – 3 (trang 393), chương 8: The transportation and assignment problems, Ebook: Introduction to operation research
Đề bài
Tập đoàn Versatech đã quyết định sản xuất ba sản phẩm mới các sản phẩm Năm nhà máy chi nhánh hiện đã dư thừa công suất sản phẩm Các chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm thứ 1 sẽ là $31, $29, $32, $28 và $29 tương ứng ở nhà máy 1, 2, 3, 4 và 5 Đơn vị chi phí sản xuất của sản phẩm thứ 2 sẽ là $45, $41, $46, $42 và $43 tương ứng ở các nhà máy 1, 2, 3, 4 và 5
Chi phí sản xuất đơn vị sản phẩm thứ 3 sẽ là $38, $35 và $40 nhà máy 1, 2 và 3 tương ứng, trong khi nhà máy 4 và 5 không có khả năng sản xuất sản phẩm này Dự báo doanh số chỉ ra lần lượt là 600, 1.000 và 800 đơn vị sản phẩm 1, 2 và 3, nên được sản xuất mỗi ngày Các nhà máy 1, 2, 3, 4 và 5 có khả năng sản xuất lần lượt 400, 600, 400, 600 và 1.000 đơn vị mỗi ngày, bất kể sản phẩm hoặc tổ hợp sản phẩm liên quan Giả sử rằng bất kỳ nhà máy nào có năng lực và công suất để sản xuất chúng có thể sản xuất bất kỳ sự kết hợp nào của các sản phẩm trong bất kỳ số lượng Ban quản lý mong muốn biết cách phân bổ sản phẩm mới cho nhà máy để giảm thiểu tổng chi phí sản xuất
(a) Hãy hình thành bài toán này như một bài toán vận chuyển bằng cách xây dựng bảng tham số thích hợp
(b) Tìm được lời giải tối ưu.
Bài giải
Vì Tổng cung ( ∑ 𝑚 𝑖=1 𝑠 𝑖 ) > Tổng cầu ( ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑑 𝑗 )
➔ Tạo điểm đích giả với nhu cầu bằng: 𝑑 𝑛+1 = ∑ 𝑚 𝑖=1 𝑠 𝑖 − ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑑 𝑗
➔ Gán chi phí vận chuyển đơn vị từ mọi điểm nguồn đến điểm đích giả bằng 0 Tương đương 𝑐 𝑖,𝑛+1 = 0; ∀ 𝑖 = 1,2, … , 𝑚
23 Tìm được lời giải tối ưu:
Sử dụng phương pháp xấp xỉ Vogel:
25 Vì nhà máy 4,5 không có khả năng sản xuất sản phẩm 3 nên 800 được phân bổ cho nhà máy 1, 2 sao cho chi phí sản xuất đơn vị là nhỏ nhất
Giải bài toán bằng phần mềm Excel
Hàm mục tiêu Tổng chi phí sử dùm hàm SUMPRODUCT(CHI PHÍ, SỐ LƯỢNG SẢN PHẨM) để tính toán
Microsoft Excel 16.0 Answer Report Worksheet: [Book1.xlsx]Sheet3 Report Created: 4/19/2024 2:38:33 PM Result: Solver found a solution All Constraints and optimality conditions are satisfied
Engine: Simplex LP Solution Time: 0.157 Seconds
Max Time Unlimited, Iterations Unlimited, Precision 0.000001, Use Automatic Scaling Max Subproblems Unlimited, Max Integer Sols Unlimited, Integer Tolerance 1%, Assume NonNegative
$I$22 Nhu cầu Tổng chi phí 88400 88400
Original Value Final Value Integer
$B$14 Nhà máy 1 Sản phẩm 1 0 0 Contin
$C$14 Nhà máy 1 Sản phẩm 2 0 0 Contin
$D$14 Nhà máy 1 Sản phẩm 3 200 200 Contin
$E$14 Nhà máy 1 Sản phẩm 4 200 200 Contin
$B$15 Nhà máy 2 Sản phẩm 1 0 0 Contin
$C$15 Nhà máy 2 Sản phẩm 2 0 0 Contin
$D$15 Nhà máy 2 Sản phẩm 3 600 600 Contin
$E$15 Nhà máy 2 Sản phẩm 4 0 0 Contin
$B$16 Nhà máy 3 Sản phẩm 1 0 0 Contin
$C$16 Nhà máy 3 Sản phẩm 2 0 0 Contin
$D$16 Nhà máy 3 Sản phẩm 3 0 0 Contin
$E$16 Nhà máy 3 Sản phẩm 4 400 400 Contin
$B$17 Nhà máy 4 Sản phẩm 1 600 600 Contin
$C$17 Nhà máy 4 Sản phẩm 2 0 0 Contin
$D$17 Nhà máy 4 Sản phẩm 3 0 0 Contin
$E$17 Nhà máy 4 Sản phẩm 4 0 0 Contin
$B$18 Nhà máy 5 Sản phẩm 1 0 0 Contin
$C$18 Nhà máy 5 Sản phẩm 2 1000 1000 Contin
$D$18 Nhà máy 5 Sản phẩm 3 0 0 Contin
$E$18 Nhà máy 5 Sản phẩm 4 0 0 Contin
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$B$20 Tổng cầu Sản phẩm 1 600 $B$20=$B$22 Binding 0
$C$20 Tổng cầu Sản phẩm 2 1000 $C$20=$C$22 Binding 0 $D$20 Tổng cầu Sản phẩm 3 800 $D$20=$D$22 Binding 0 $E$20 Tổng cầu Sản phẩm 4 600 $E$20=$E$22 Binding 0 $G$14 Nhà máy 1 Tổng cung 400 $G$14=$I$14 Binding 0 $G$15 Nhà máy 2 Tổng cung 600 $G$15=$I$15 Binding 0 $G$16 Nhà máy 3 Tổng cung 400 $G$16=$I$16 Binding 0
28 $G$17 Nhà máy 4 Tổng cung 600 $G$17=$I$17 Binding 0 $G$18 Nhà máy 5 Tổng cung 1000 $G$18=$I$18 Binding 0
$D$17 Nhà máy 4 Sản phẩm 3 0 $D$17=0 Binding 0
$D$18 Nhà máy 5 Sản phẩm 3 0 $D$18=0 Binding 0
Microsoft Excel 16.0 Sensitivity Report Worksheet: [Book1.xlsx]Sheet3
Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H Side Increase Decrease
$I$22 Nhu cầu Tổng chi phí 88400
Variable Lower Objective Upper Objective Cell Name Value Limit Result Limit Result
$D$14 Nhà máy 1 Sản phẩm 3 200 200 88400 200 88400 $E$14 Nhà máy 1 Sản phẩm 4 200 200 88400 200 88400
$E$16 Nhà máy 3 Sản phẩm 4 400 400 88400 400 88400 $B$17 Nhà máy 4 Sản phẩm 1 600 600 88400 600 88400
Phân tích rủi ro
Final Reduced Objective Allowable Allowable Upper Lower Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease Limit Limit
Final Value: cho ta biết nghiệm tối ưu của bài toán Ở đây để đạt được mục tiêu tổng chi phí sản xuất ít sản phẩm nhất mỗi tháng, nhà máy 1 cần sản xuất 200 sản phẩm tới sản phẩm 3, 200 sản phẩm tới sản phẩm 4; nhà máy 2 cần sản xuất 600 sản phẩm tới sản phẩm 3; nhà máy 3 cần sản xuất 400 sản phẩm tới sản phẩm 4; nhà máy 4 cần sản xuất 600 sản phẩm tới sản phẩm 1; nhà máy 5 cần sản xuất 1000 sản phẩm tới sản phẩm 2
Chi phí vận chuyển tối ưu = 200*38 + 200*0 + 600*35 + 400*0 + 600*28 + 1000*43 = 88400
Giá trị Reduce Cost: chi phí giảm 1 sản phẩm biểu thị số tiền mà lợi nhuận sẽ giảm nếu chúng ta đưa đơn vị sản phẩm 3 vào giải pháp Về bản chất, sản phẩm 3 không thu hút đủ lợi nhuận để đảm bảo đưa nó vào danh mục sản phẩm Để bao gồm sản phẩm 3 (hoặc làm cho sản phẩm 3 tích cực) đóng góp lợi nhuận của nó cần phải cải thiện ít nhất là 36 Nhưng với
31 giá trị hiện tại là 0, việc tạo ra sản phẩm 3 dương trong giải pháp tối ưu sẽ mang lại mức giảm 36 cho lợi nhuận trên mỗi đơn vị
Giá trị Allowable Increase và Allowable Decrease trong bảng cho biết phạm vi mà trong đó các hệ số của hàm mục tiêu (ẩn cơ bản trong hàm mục tiêu hay Objective Coefficient) có thể thay đổi mà không làm thay đổi phương án tối ưu
Ví dụ: Phương án nhà máy 1 sản xuất đến sản phẩm 3 có mức tăng cho phép (Allowable
Increase) là 1 thì giới hạn trên (Upper Limit) là 38+1 = 39, mức giảm cho phép (Allowable Decrease) là 1 thì giới hạn dưới (Lower Limit) là 38-1 = 37
Vậy khi hệ số mục tiêu của phương án nhà máy 1 sản xuất đến sản phẩm 3 thay đổi trong khoảng từ 37 đến 39 thì phương án tối ưu vẫn giữ nguyên
+ sản phẩm 1 giới hạn tăng trưởng là 31+(1E+30), giới hạn giảm là 30 và tiết kiệm được 1 chi phí trên 1 đơn vị sản phẩm
+ sản phẩm 2 giới hạn tăng trưởng là 45+(1E+30), giới hạn giảm là 44 và tiết kiệm được 1 chi phí trên 1 đơn vị sản phẩm
+ sản phẩm 3 giới hạn tăng trưởng là 39, giới hạn giảm là 37 và không tiết kiệm được chi phí trên 1 đơn vị sản phẩm
+ sản phẩm 4 giới hạn tăng trưởng là 1, giới hạn giảm là -2 và không tiết kiệm được chi phí trên 1 đơn vị sản phẩm
Final Shadow Constraint Allowable Allowable
Cell Name Value Price R.H Side Increase Decrease
Từ bảng trên, ta có nhận xét như sau:
- Nếu tăng tổng cầu sản phẩm 3 thì giá trị sản phẩm sẽ thay đổi hoặc giảm xuống còn 400 (giảm 200) thì giá trị SP1 vẫn có ý nghĩa
- Nếu giữ nguyên nhà máy 3 tổng cung ở mức 400 hoặc giảm xuống còn 1E+30 thì giá trị SP2 vẫn có ý nghĩa
Giá trị Shadow Price (giá mờ): đề cập đến mức độ thay đổi của giá trị hàm mục tiêu tối ưu trên mỗi đơn vị tăng RHS của một ràng buộc
Ví dụ: Nếu tăng số lượng sản phẩm 3 sẵn có, số lượng sản phẩm bên phải lên tối đa là 0, chúng ta sẽ nhận được 38 sản phẩm cho tổng cầu Nếu giảm số lượng sản phẩm 3 tối đa là 38 sản phẩm cho tổng cầu thì giá mờ hoạt động, có thể xác định cho mỗi sản phẩm bị mất cho đến 200 sản phẩm
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$B$20 Tổng cầu Sản phẩm 1 600 $B$20=$B$22 Binding 0 $C$20 Tổng cầu Sản phẩm 2 1000 $C$20=$C$22 Binding 0 $D$20 Tổng cầu Sản phẩm 3 800 $D$20=$D$22 Binding 0 $E$20 Tổng cầu Sản phẩm 4 600 $E$20=$E$22 Binding 0 $G$14 Nhà máy 1 Tổng cung 400 $G$14=$I$14 Binding 0 $G$15 Nhà máy 2 Tổng cung 600 $G$15=$I$15 Binding 0 $G$16 Nhà máy 3 Tổng cung 400 $G$16=$I$16 Binding 0 $G$17 Nhà máy 4 Tổng cung 600 $G$17=$I$17 Binding 0 $G$18 Nhà máy 5 Tổng cung 1000 $G$18=$I$18 Binding 0
$D$17 Nhà máy 4 Sản phẩm 3 0 $D$17=0 Binding 0
$D$18 Nhà máy 5 Sản phẩm 3 0 $D$18=0 Binding 0
Giá trị Slack và Surplus ta dựa vào Final Values và RHS Ví dụ:
$E$20 Tổng cầu Sản phẩm 4 600 600 Ở ví dụ này tất cả các hạn chế (Constraints) đều có Final Value = RHS nghĩa là Slack
= 0 Nên tất cả các hạn chế (Constraints) của ví dụ này đều là ràng buộc trói buộc (Blinding Constraint)
Giải bài tập 8.2 – 9 (trang 396), chương 8: The transportation and assignment problems, Ebook: Introduction to operation research
Đề bài
Tập đoàn Cost-Less cung cấp cho bốn điểm bán lẻ của mình từ bốn nhà máy của chính công ty Chi phí vận chuyển cho mỗi lô hàng từ mỗi nhà máy đến từng cửa hàng bán lẻ được trình bày dưới đây
Các nhà máy 1, 2, 3 và 4 thực hiện 10, 20, 20 và 10 chuyến hàng tương ứng mỗi tháng
Các cửa hàng bán lẻ cần nhận lần lượt 20, 10, 10 và 20 lô hàng mỗi tháng
Giám đốc phân phối, Randy Smith, muốn xác định kế hoạch tốt nhất về số lượng lô hàng cần gửi từ mỗi nhà máy đến cửa hàng bán lẻ tương ứng mỗi tháng Mục tiêu của Randy là giảm thiểu tổng chi phí vận chuyển
(a) Hãy hình thành bài toán này như một bài toán vận chuyển bằng cách xây dựng bảng tham số thích hợp
(b) Sử dụng phương pháp góc Tây Bắc để xây dựng nghiệm BF ban đầu
(c) Bắt đầu với lời giải cơ bản ban đầu ở phần (b), kết hợp với áp dụng phương pháp vận chuyển đơn giản để thu được lời giải tối ưu.
Bài giải
a) Bài toán QHTT được thiết lập:
CTây Bắc = 500*10 + 200*10 + 900*10 + 200*10 + 100*10 + 200*10 = $21.000 c) Áp dụng phương pháp xấp xỉ Vogel:
Giải bài toán bằng phần mềm excel
Hàm mục tiêu Tổng chi phí sử dùm hàm SUMPRODUCT(CHI PHÍ, SỐ LƯỢNG SẢN PHẨM) để tính toán
Microsoft Excel 16.0 Answer Report Worksheet: [8.2-9.xlsx]Sheet1
Report Created: 4/19/2024 3:34:40 PM Result: Solver found a solution All Constraints and optimality conditions are satisfied
Engine: Simplex LP Solution Time: 0.172 Seconds
Max Time Unlimited, Iterations Unlimited, Precision 0.000001, Use Automatic Scaling Max Subproblems Unlimited, Max Integer Sols Unlimited, Integer Tolerance 1%,
Cell Name Original Value Final Value
Cell Name Original Value Final Value Integer
$B$10 Nhà máy 1 Cửa hàng 1 0 0 Contin
$C$10 Nhà máy 1 Của hàng 2 0 0 Contin
$D$10 Nhà máy 1 Cửa hàng 3 0 0 Contin
$E$10 Nhà máy 1 Cửa hàng 4 10 10 Contin
$B$11 Nhà máy 2 Cửa hàng 1 10 10 Contin
$C$11 Nhà máy 2 Của hàng 2 0 0 Contin
$D$11 Nhà máy 2 Cửa hàng 3 10 10 Contin
$E$11 Nhà máy 2 Cửa hàng 4 0 0 Contin
$B$12 Nhà máy 3 Cửa hàng 1 10 10 Contin
$C$12 Nhà máy 3 Của hàng 2 0 0 Contin
$D$12 Nhà máy 3 Cửa hàng 3 0 0 Contin
$E$12 Nhà máy 3 Cửa hàng 4 10 10 Contin
$B$13 Nhà máy 4 Cửa hàng 1 0 0 Contin
$C$13 Nhà máy 4 Của hàng 2 10 10 Contin
$D$13 Nhà máy 4 Cửa hàng 3 0 0 Contin
$E$13 Nhà máy 4 Cửa hàng 4 0 0 Contin
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$B$15 Tổng cầu Cửa hàng 1 20 $B$15=$B$17 Binding 0
$C$15 Tổng cầu Của hàng 2 10 $C$15=$C$17 Binding 0 $D$15 Tổng cầu Cửa hàng 3 10 $D$15=$D$17 Binding 0 $E$15 Tổng cầu Cửa hàng 4 20 $E$15=$E$17 Binding 0 $G$10 Nhà máy 1 Tổng cung 10 $G$10=$I$10 Binding 0 $G$11 Nhà máy 2 Tổng cung 20 $G$11=$I$11 Binding 0 $G$12 Nhà máy 3 Tổng cung 20 $G$12=$I$12 Binding 0 $G$13 Nhà máy 4 Tổng cung 10 $G$13=$I$13 Binding 0
Microsoft Excel 16.0 Sensitivity Report Worksheet: [8.2-9.xlsx]Sheet1
Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
Final Shadow Constraint Allowable Allowable Cell Name Value Price R.H Side Increase Decrease
Microsoft Excel 16.0 Limits Report Worksheet: [8.2-9.xlsx]Sheet1 Report Created: 4/19/2024 3:34:54 PM
$B$10 Nhà máy 1 Cửa hàng 1 0 0 $C$10 Nhà máy 1 Của hàng 2 0 0 $D$10 Nhà máy 1 Cửa hàng 3 0 0 $E$10 Nhà máy 1 Cửa hàng 4 10 10 $B$11 Nhà máy 2 Cửa hàng 1 10 10 $C$11 Nhà máy 2 Của hàng 2 0 0 $D$11 Nhà máy 2 Cửa hàng 3 10 10 $E$11 Nhà máy 2 Cửa hàng 4 0 0 $B$12 Nhà máy 3 Cửa hàng 1 10 10 $C$12 Nhà máy 3 Của hàng 2 0 0 $D$12 Nhà máy 3 Cửa hàng 3 0 0 $E$12 Nhà máy 3 Cửa hàng 4 10 10 $B$13 Nhà máy 4 Cửa hàng 1 0 0 $C$13 Nhà máy 4 Của hàng 2 10 10 $D$13 Nhà máy 4 Cửa hàng 3 0 0 $E$13 Nhà máy 4 Cửa hàng 4 0 0
Phân tích rủi ro
Final Reduced Objective Allowable Allowable Cell Name Value Cost Coefficient Increase Decrease
Final Value: Cho ta biết nghiệm tối ưu của bài toán Ở đây để đạt được mục tiêu tổng chi phí vận chuyển nhỏ nhất mỗi tháng, nhà máy 1 cần vận chuyển 10 lô hàng tới cửa hàng 4; nhà máy 2 cần vận chuyển 10 lô hàng tới cửa hàng 1, 10 lô hàng tới cửa hàng 3; nhà máy 3 cần vận chuyển 10 lô hàng tới cửa hàng 1, 10 lô hàng tới cửa hàng 4; nhà máy 4 cần vận chuyển 10 lô hàng tới cửa hàng 2
Chi phí vận chuyển tối ưu = 10*200 + 10*200 + 10*100 + 10*300 + 10*100 + 10*100 10000
Giá trị Allowable Increase và Allowable Decrease trong bảng cho biết phạm vi mà trong đó các hệ số của hàm mục tiêu (ẩn cơ bản trong hàm mục tiêu hay Objective Coefficient) có thể thay đổi mà không làm thay đổi phương án tối ưu
Ví dụ: Phương án nhà máy 1 vận chuyển đến cửa hàng 4 có mức tăng cho phép (Allowable Increase) là 100 thì giới hạn trên (Upper Limit) sẽ là 200+100 00, mức giảm
44 cho phép (Allowabke Decrease) là 1E+30 thì giới hạn dưới (Lower Limit) là 200-(1E+30) −∞ Vậy khi hệ số mục tiêu của phương án nhà máy 1 vận chuyển đến cửa hàng 4 thay đổi trong khoảng −∞ từ đến 300 thì phương án tối ưu vẫn giữ nguyên
Reduced Cost: biểu thị số tiền mà lợi nhuận sẽ giảm nếu chúng ta đưa phương án đó vào giải pháp
Ví dụ: Hiện nay phương án nhà máy 1 vận chuyển đến cửa hàng 1 đang không thu hút đủ lợi nhuận để đưa vào phương án tối ưu Để làm cho phương án này trở nên tích cực hay đóng góp lợi nhuận của nó thì cần cải thiện ít nhất là 100 Với giá trị hiện tại là 500, việc tạo ra phương án này dương trong giải pháp tối ưu sẽ mang lại mức giảm 100 trên mỗi đơn vị sản phẩm
Bảng ràng buộc (Constraints): đề cập đến phạm vi khả năng hay phạm vi của phía bên phải của một ràng buộc mà giá bóng (Shadow Price) không thay đổi
Giá mờ (Shadow Price): đề cập đến mức độ thay đổi của giá trị hàm mục tiêu tối ưu trên mỗi đơn vị tăng RHS của một ràng buộc
Ví dụ: RHS của ràng buộc tổng cầu cửa hàng 1 nằm trong khoảng từ 10 đến 20 Nếu RHS thay đổi (tăng hoặc giảm) nằm trong phạm vi này thì giá mờ 300 sẽ được áp dụng Khi đó lợi nhuận tối ưu sẽ thay đổi = Mức tăng (giảm) x Giá mờ
Trường hợp RHS thay đổi vượt ra ngoài phạm vi thì giá mờ không còn hiệu lực và chúng ta cần giải quyết lại mô hình bài toán
Cell Name Cell Value Formula Status Slack
$B$15 Tổng cầu Cửa hàng 1 20 $B$15=$B$17 Binding 0
$C$15 Tổng cầu Của hàng 2 10 $C$15=$C$17 Binding 0 $D$15 Tổng cầu Cửa hàng 3 10 $D$15=$D$17 Binding 0 $E$15 Tổng cầu Cửa hàng 4 20 $E$15=$E$17 Binding 0 $G$10 Nhà máy 1 Tổng cung 10 $G$10=$I$10 Binding 0 $G$11 Nhà máy 2 Tổng cung 20 $G$11=$I$11 Binding 0 $G$12 Nhà máy 3 Tổng cung 20 $G$12=$I$12 Binding 0 $G$13 Nhà máy 4 Tổng cung 10 $G$13=$I$13 Binding 0 Đối với Slack và Surplus, chúng ta chỉ cần lấy chênh lệch giữa Final Value và R.H.Side Ở bài toán này, tất cả các hạn chế (Constraints) đều có Final Value = R.H.Side nghĩa là
Slack = 0 hoặc Surplus = 0 Do đó tất cả các hạn chế (Constraints) của bài toán đều là Binding Constraints.
