Btl_Ppđl_Nhóm 26.Pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM KHOA QUẢN LÝ CÔNG NGHIỆP BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG HỌC KỲ: HK232 ĐỀ TÀI QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Giáo Viên

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP.HCM KHOA QUẢN LÝ CÔNG NGHIỆP

BÀI TẬP LỚN MÔN PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG

HỌC KỲ: HK232

ĐỀ TÀI

QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Giáo Viên Hướng Dẫn: Ths VÕ THỊ NGỌC TRÂN

SINH VIÊN THỰC HIỆN

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 26 tháng 04 năm 2024

MỤC LỤC

Trang

1.3 Mô tả Bài toán Quy hoạch Tuyến tính và Thuật toán Đồ thị 3 1.3.1 Biểu diễn hình học quy hoạch tuyến tính hai biến 3

2.1 Bài 36, Chương 7, trang 289 – 290, Quantive Methods for Bussiness 7

2.2 Bài 39, Chương 7, trang 290 – 291, Quantive Methods for Bussiness 11

LỜI NÓI ĐẦU

Trong học kỳ 232 này, chúng em nhóm học phương pháp định lượng rất may mắn khi được sự hướng dẫn nhiệt tình và đồng hành của cô Chúng em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến cô vì những điều tốt đẹp mà cô đã dành cho chúng em cô đã luôn cố gắng truyền đạt kiến thức một cách có hệ thống và dễ hiểu nhất cho chúng em Việc cô luôn sẵn sàng giải đáp mọi thắc mắc của chúng

em một cách chi tiết và rõ ràng cũng đã giúp chúng em hiểu rõ hơn về nội dung môn học

Dưới đây là bản báo cáo bài tập nhóm mà chúng em đã cố gắng hoàn thành tốt nhất Chúng em rất mong nhận được sự chỉnh sửa và góp ý từ phía cô, không chỉ về nội dung mà còn về hình thức báo cáo, để chúng em có thể hoàn thiện hơn trong các hoạt động học tập và nghiên cứu sau này

Chúng em xin một lần nữa gửi lời cảm ơn sâu sắc đến cô vì tất cả những điều tốt đẹp mà cô đã dành cho chúng em Chúng em hân hoan kỳ vọng được tiếp tục nhận được sự hỗ trợ và đồng hành từ cô trong tương lai

PHẦN 1 LÝ THUYẾT VỀ QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Mở đầu

Khái niệm về Toán kinh tế

- Toán kinh tế hay còn gọi là Kinh tế toán học là một phân ngành của Kinh tế

học nghiên cứu việc áp dụng toán học và phát triển các kỹ thuật toán học để giải quyết các vấn đề Kinh tế học.

- Quy hoạch tuyến tính ( linear programming _ LP) là bài toán tối ưu hoá, trong

đó hàm mục tiêu (objective function) và các ràng buộc đều là hàm tuyến tính.

1.1.2 Bài toán Quy hoạch Tổng quát

Xác định x1, x2, …, xn sao cho:

- Cực đại (hay Cực tiểu) hàm mục tiêu Z: Z = z(x1, x2, …, xn)

- Đồng thời thỏa mãn các ràng buộc Rj : Rj = rj (x1, x2, …, xn)

- Trong đó, z và rj là biểu thức tuyến tính đối với x1, x2, …, xn

- Hàm ( f X ) gọi là hàm mục tiêu, có chứa các điều kiện ràng buộc của bài

toán

- Mỗi véctơ X =(xj) ∈ Rn thỏa mãn hệ điều kiện buộc gọi là một phương án Ta

kí hiệu tập phương án là M.

- Một phương án làm cực tiểu(hoặc cực đại) hàm mục tiêu gọi là phương án tối

ưu (hoặc gọi là nghiệm) của bài toán.

- Khi ( f X ) và gi(X)(i=1, ,n) là các hàm tuyến tính, M ⊂ Rn thì bài toán đã cho được gọi là Bài toán quy hoạch tuyến tính (btqhtt).

Bài toán Quy hoạch Tuyến tính

Bài toán Lập Kế hoạch Sản xuất

Một cơ sở có thể sản xuất hai loại sản phẩm A và B, từ các nguyên liệu I, II, III Chi phí từng loại nguyên liệu và tiền lãi của một đơn vị sản phẩm, cũng như dự trữ nguyên liệu cho trong bảng sau đây:

Nguyên liệu

Lãi

Hãy lập bài toán thể hiện kế hoạch sản xuất sao cho có tổng số lãi lớn nhất, trên

cơ sở dự trữ nguyên liệu đã có

- Lập bài toán:

Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm A và B được sản xuất ( x, y ≥ 0 , đơn vị sản phẩm) Khi đó ta cần tìm x, y ≥ 0 sao cho đạt lãi lớn nhất.

Cần giải bài toán: f (X) = 3x + 5y → max

với điều kiện nguyên liệu:

2x + y ≤ 8

Y ≤ 4

X ≤ 3

Mô tả Bài toán Quy hoạch Tuyến tính và Thuật toán Đồ thị

Biểu diễn hình học quy hoạch tuyến tính hai biến

Xét bài toán QHTT chuẩn tắc 2 biến

f (X) = c1x1 + c2x2 → min

với điều kiện:

Ai1x1 + ai2x2 ≤ bi

Xj ≥ 0

Ta thấy rằng:

H = {x = (x1,x2): a1x1 + a2x2 = b} chia R2 thành 2 nửa mặt phẳng:

D+ = {x = (x1,x2): a1x1 + a2x2 ≥ b}

D- = {x = (x1,x2): a1x1 + a2x2 ≤ b}

Thì mỗi bất phương trình tuyến tính trong hệ ràng buộc A i1 x 1 + a i2 x 2 ≤ b i sẽ xác

định một nửa mặt phẳng

Vậy miền ràng buộc D, xác định bởi hệ ràng buộc là giao của m nửa mặt phẳng,

sẽ là đa giác lồi hay khúc lồi(D ≠ ∅ ) hoặc không tồn tại (D = ∅ )

Thuật toán Đồ thị

Thuật toán

Bước 1: Biểu diễn các điều kiện buộc của bài toán lên mặt phẳng toạ độ vuông

góc x 1 Ox 2 Xác định miền ràng buộc D

Bước 2: Vẽ đồ thị đường mức (*) c1x1 + c2x2 = α

Bước 3: Xác định véc tơ pháp tuyến n ={c1,c2} và dịch chuyển song song các

đường mức hướng của véc tơ n cho tới vị trí tới hạn (vị trí tới hạn là vị trí mà

đường mức vẫn còn cắt miền D, nhưng nếu tiếp tục dịch chuyển sẽ không cắt miền D nữa)

Bước 4: Điểm (hoặc nhiều điểm) của D nằm trên giao điểm của đường mức ở vị

trí tới hạn với miền D, là lời giải của bài toán

Chú ý:

Với bài toán QHTT bất kỳ ta cũng có thể giải được bằng phương pháp hình học

Có thể xảy ra các trường hợp:

Miền D = ∅, tức là các nửa mặt phẳng xác định bởi hệ ràng buộc a1x1 +

a2x2 ≥ b (hoặc ngược lại) không có điểm chung và do đó bài toán vô

nghiệm

Miền D là đa giác lồi, thì có duy nhất một điểm cực biên là phương án tối ưu; hoặc có vô số phương án tối ưu, khi đó hai điểm cực biên là phương

án tối ưu

Nếu D là khúc lồi (đa giác lồi không giới nội), thì bài toán có một

phương án cực biên tối ưu, nếu D nằm về một phía đường mức cắt đường mức tại một điểm, hoặc bài toán có phương án tối ưu, nếu có 2 điểm cực biên là các phương án tối ưu, hoặc bài toán không có lời giải (f(x) không

bị chặn)

1.3.3 Giải bài toán QHTT bằng máy tính 

- Phương pháp đơn hình:

• Khoa học toán

• Hiểu rõ bản chất cách giải

• Khó thực hiện

• Càng khó khi bài toán có từ 5 đến hàng trăm biến 

- Phần mềm máy tính:

• Dựa vào thuật toán

• Khả năng tính nhanh (hàng triệu phép thử/giây)

• ABQM, QSB, LINDO, EXCEL… 

PHẦN 2 CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 2.1 Bài 36, Chương 7, trang 289 – 290, Quantive Methods for Bussiness.

Đề bài: Là một phần của sáng kiến cải tiến chất lượng, các nhân viên của Consolidated Electronics sẽ hoàn thành chương trình đào tạo ba ngày về làm việc nhóm và chương trình đào tạo hai ngày về giải quyết vấn đề Người quản lý cải tiến chất lượng đã yêu cầu tổ chức ít nhất 8 chương trình đào tạo về làm việc nhóm và ít nhất 10 chương trình đào tạo về giải quyết vấn đề trong 6 tháng tới Ngoài ra, ban quản lý cấp cao đã chỉ định rằng phải cung cấp ít nhất 25 chương trình đào tạo trong giai đoạn này Điện tử Hợp nhất sử dụng chuyên gia tư vấn

để giảng dạy các chương trình đào tạo Trong quý tiếp theo, chuyên gia tư vấn

có 84 ngày đào tạo Mỗi chương trình đào tạo về làm việc nhóm có chi phí là 10.000 USD và mỗi chương trình đào tạo về giải quyết vấn đề có chi phí là

8000 USD

a Xây dựng mô hình lập trình tuyến tính có thể được sử dụng để xác định số lượng chương trình đào tạo về làm việc nhóm và số lượng chương trình đào tạo về giải quyết vấn đề cần được cung cấp nhằm giảm thiểu tổng chi phí

b Vẽ đồ thị vùng khả thi

c Xác định tọa độ mỗi điểm cực trị

d Giải quyết giải pháp chi phí tối thiểu

Bài giải

a.

Bước 1: Hiểu đầy đủ vấn đề quản lý hoặc tối ưu hóa đang phải đối mặt

Số chương trình đào tạo đang được cung cấp

Lập nhóm Giải quyết vấn đề

Chi phí cho mỗi

chương trình

Bước 2: Xác định các biến quyết định

x1 = số lượng chương trình đào tạo về làm việc nhóm sẽ được cung cấp

x2 = Số lượng chương trình đào tạo về giải quyết vấn đề được cung cấp

Bước 3: Xác định hàm mục tiêu

Giảm thiểu tổng chi phí hoặc z = 10000 x1 + 8000 x2

Bước 4: Xác định các hạn chế

3x1 + 2x2 ≤ 84 (Hạn chế về tính sẵn sàng của nhà tư vấn)

x1 ≥ 8 (Yêu cầu của người quản lý 1 ràng buộc)

x2 ≥ 10 (Yêu cầu của người quản lý 2 ràng buộc)

x1 + x2 ≥ 25 (Ràng buộc yêu cầu quản lý cấp cao)

x1 và x2 ≥ 0 (Không tiêu cực)

Lập trình tuyến tính – Công thức

Giảm thiểu tổng chi phí hoặc z = 10000 x1 + 8000 x2

3x1 + 2x2 ≤ 84

x1 ≥ 8

x2 ≥ 10

x1 + x2 ≥ 25

x1 và x2 ≥ 0

b.

Dưới các điều kiện sau:

x≥8

x+y≥25

3x+2y≤84

Ta có biểu đồ

c.

Giá trị của hàm mục tiêu tại mỗi điểm cực trị này như sau:

Điểm cao nhất

tọa độ (x,y)

Đường đi qua điểm cực trị

Giá trị hàm mục tiêu

z=10000x+8000y

(8,30) 3x+2y≤84

x≥8

10000(8)+8000(30)=320000

(8,17) x≥8

x+y≥25

10000(8)+8000(17)=216000

(15,10) y≥10

x+y≥25

10000(15)+8000(10)=230000

(64/3,10) 3x+2y≤84

y≥10

10000(21.33)+8000(10)=293333.33

Tọa độ của mỗi điểm cực trị trong vùng khả thi là các điểm nơi các đường giao nhau => Để tìm giao điểm của các đường vd: x=8 và 3x+2y=84, thay x vào

3x+2y=84 ta có y=30 => giao điểm của hai đường này là A(8 , 30), áp dụng

phương pháp tương tự ta tìm được các điểm cực hạn là của vùng là:

A(8,30)

B(8,17)

C(15,10)

D(64/3,10)

d.

Dựa vào bảng giá trị từ câu c, ta thấy giá trị của hàm mục tiêu z=216.000 xảy ra tại điểm cực trị (8,17) Do đó, nghiệm tối ưu cho bài toán đã cho là: x=8, y=17

và min z=216.000

2.2 Bài 39, Chương 7, trang 290 – 291, Quantive Methods for Bussiness.

Đề bài: Innis Investments quản lý quỹ cho một số công ty và khách hàng giàu có Chiến lược đầu tư được điều chỉnh phù hợp với nhu cầu của từng khách hàng Đối với một khách hàng mới, Innis đã được ủy quyền đầu tư tới 1,2 triệu USD vào hai quỹ đầu tư: quỹ chứng khoán và quỹ thị trường tiền tệ Mỗi đơn vị quỹ cổ phiếu có giá 50 USD và mang lại tỷ suất lợi nhuận hàng năm là 10%; mỗi đơn vị quỹ thị trường tiền tệ có giá 100 USD và mang lại tỷ suất lợi nhuận hàng năm là 4% Khách hàng muốn giảm thiểu rủi ro với yêu cầu thu nhập hàng

năm từ khoản đầu tư ít nhất là 60.000 USD Theo hệ thống đo lường rủi ro của Innis, mỗi đơn vị đầu tư vào quỹ chứng khoán có chỉ số rủi ro là 8, và mỗi đơn

vị đầu tư vào quỹ thị trường tiền tệ có chỉ số rủi ro là 3; chỉ số rủi ro cao hơn liên quan đến quỹ chứng khoán chỉ đơn giản cho thấy rằng đó là khoản đầu tư rủi ro hơn Khách hàng của Innis cũng nêu rõ rằng phải đầu tư ít nhất 300.000 USD vào quỹ thị trường tiền tệ Innis cần xác định số lượng đơn vị quỹ sẽ mua cho khách hàng để giảm thiểu tổng chỉ số rủi ro cho danh mục đầu tư

Bài giải

Để giảm thiểu tổng chỉ số rủi ro cho danh mục đầu tư, chúng ta có thể sử dụng công thức sau:

Tổng chỉ số rủi ro = 8x1 + 3x2

Trong đó:

x1 = S: số đơn vị mua vào quỹ chứng khoán

x2 = M: đơn vị mua trong quỹ thị trường tiền tệ

Chúng ta biết rằng mỗi đơn vị quỹ chứng khoán trị giá 50 USD và mang lại tỷ suất lợi nhuận hàng năm là 10%, và mỗi đơn vị quỹ thị trường tiền tệ có giá 100 USD và mang lại tỷ suất lợi nhuận hàng năm là 4%

Tổng số tiền đầu tư là:

50x1 + 100x2 <= 1,200,000

Thu nhập hàng năm từ việc đầu tư là:

0,10x1 + 0,04x2 >= 60.000

Ít nhất 300.000 USD phải được đầu tư vào quỹ thị trường tiền tệ:

x2 >= 3.000

Đơn vị tối thiểu trên thị trường tiền tệ

x1, x2 ≥ 0

Chúng ta có thể giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng quy hoạch tuyến tính Phương án tối ưu là (S, M) = (4.000,10.000), nghĩa là Innis nên mua 4.000 đơn

vị quỹ chứng khoán và 10.000 đơn vị quỹ thị trường tiền tệ để giảm thiểu tổng chỉ số rủi ro cho danh mục

→ Thu nhập hàng năm từ chiến lược đầu tư này là:

0,10 x 4.000 + 0,04 x 10.000 = 400 USD + 400 USD = 800 USD

Vì vậy, chiến lược đầu tư này sẽ tạo ra thu nhập hàng năm là 800 USD

KẾT LUẬN

Bài toán quy hoạch tuyến tính (QHTT) là một trong những bài toán tối ưu hóa quan trọng trong nhiều lĩnh vực QHTT yêu cầu tìm ra giá trị tối ưu của hàm mục tiêu dưới các ràng buộc tuyến tính Điều này giúp đưa ra quyết định tối ưu trong kế hoạch sản xuất, quản lý tài chính, vận tải và nhiều lĩnh vực khác

Các thành phần chính của một bài toán QHTT bao gồm: hàm mục tiêu tuyến tính cần tối ưu hóa, các biến số cần tìm giá trị phù hợp và các ràng buộc tuyến tính Do vậy việc áp dụng các kỹ thuật giải quyết phổ biến như phương pháp đơn hình, phương pháp hai pha sẽ giúp giải quyết bài toán QHTT một cách hiệu quả

Với vai trò quan trọng và ứng dụng rộng rãi, việc hiểu và áp dụng bài toán quy hoạch tuyến tính đóng vai trò then chốt trong việc ra quyết định tối ưu trong các lĩnh vực kinh tế, tài chính, vận tải, sản xuất và nhiều lĩnh vực khác

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Anderson, Sweeney, Williams, Camm, Cochran, Fry, Ohlmann, Quantitative

Methods for Business 12th ed.

[2] Slide bài giảng môn học Phương Pháp Định Lượng, Giảng viên Võ Thị Ngọc

Trân