Btl_Ppđl_Nhóm 17.Pdf

CƠ SỞ LÝ THUYẾT

Giới thiệu về bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán qui hoạch tuyến tính là bài toán nhằm cực tiểu hóa hoặc cực đại hóa một hàm mục tiêu tuyến tính với một tập hữu hạn các ràng buộc tuyến tính giúp tìm ra phương án tối ưu (hoặc kế hoạch tối ưu) từ vô số các phương án quyết định Phương án tối ưu là phương án thỏa mãn được các mục tiêu đề ra của một hãng, phụ thuộc vào các hạn chế và các ràng buộc

Bài toán quy hoạch tuyến tính đề cập đến vấn đề phân bổ nguồn lực khan hiếm giữa các hoạt động cạnh tranh trong một phương thức tối ưu Quyết định tối ưu mang lại hiệu quả cao nhất, lợi nhuận lớn nhất hoặc chi phí thấp nhất

Bài toán quy hoạch tuyến tính bao gồm những thành phần cơ bản sau:

Hàm mục tiêu: Đây là hàm toán học của các biến quyết định và có thể đạt cực trị

Thông thường, trong kinh tế hàm mục tiêu thể hiện cực đại về kết quả và cực tiểu về chi phí

Các ràng buộc: Là những phương trình hay bất phương trình tuyến tính thể hiện sự kết hợp các biến quyết định Trong kinh tế, các ràng buộc thể hiện sự hạn chế về nguồn lực

Các ràng buộc về dấu của các biến quyết định: Các biến quyết định của những bài toán trong kinh tế thường không âm Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, các biến có thể nhận giá trị âm

Xác định x1, x2,… xn sao cho:

Cực đại (hay Cực tiểu) hàm mục tiêu Z

Z= z(x1, x2,…xn) Đồng thời thỏa mãn các ràng buộc Rj

Rj= rj(x1, x2,…xn) Trong đó, z và rj là biểu thức tuyến tính đối với x1, x2,…xn

Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính

Với một bài toán có n biến và m điều kiện ràng buộc, dạng tổng quát của bài toán như sau:

Hàm mục tiêu: 𝑓(𝑥) = ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑐 𝑗 𝑥 𝑗 → 𝑀𝑖𝑛(𝑀𝑎𝑥)Hàm ràng buộc: ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑐 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 ≤ 𝑏 𝑖 với i = 1, m Hoặc ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑐 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 ≥ 𝑏 𝑖 với i = 1, m Hoặc ∑ 𝑛 𝑗=1 𝑐 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 = 𝑏 𝑖 với i = 1, m Ràng buộc dấu 𝑥 𝑗 ≥ 0, hoặc 𝑥 𝑗 ≤ 0

Bài toán đối ngẫu

3.1 Đối ngẫu của bài toán Max Bài toán gốc: z = c T x → max với ràng buộc: A T x = b; x≥0

Bài toán đối ngẫu: z’ = b T y → min với ràng buộc : A T y ≥ c; y tùy ý Hai bài toán QHTT được gọi là cặp bài toán đối ngẫu Một ràng buộc và điều kiện về biến trên cùng một dòng gọi là cặp ràng buộc đối ngẫu

Trong bài toán đối ngẫu, hệ số của ràng buộc thứ i của bài toán gốc trở thành hệ số của biến yi trong bài toán đối ngẫu Và ngược lại, hệ số của xj trong bài toán gốc chính là hệ số của dòng j trong bài toán đối ngẫu

3.2 Đối ngẫu của bài toán Min

* Các nguyên tắc hình thành Bài toán đối ngẫu

- Hàm mục tiêu của P là f(x) → min thì hàm mục tiêu của D là g(y) → max và ngược lại;

- Các ràng buộc ở bài toán D đều là bất đẳng thức (≤) nếu f(x) → min hoặc(≥) nếu f(x) → max;

- Số biến của bài toán này là số ràng buộc của bài toán kia và ngược lại;

- Các hệ số cj và các số hạng tự do ở hai bài toán đối ngược lại nhau;

- Ma trận hệ số các ràng buộc ở hai bài toán là chuyển vị của nhau Hàng i của ma trận A = (aij)mn xác định ràng buộc thứ i của bài toán gốc 𝛴 𝑖=1 𝑚 𝑎 𝑖 𝑗 𝑥 𝑗 = 𝑏 𝑖 còn cột j trong ma trận A xác định ràng buộc thứ j của bài toán đối ngẫu 𝛴 𝑖=1 𝑚 𝑎 𝑖𝑗 𝑦 𝑗 ≤ (≥)𝑐 𝑗

CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG

Ứng dụng tiếp thị

Câu lạc bộ cờ bạc Win Big khuyến khích những người nghiện cờ bạc từ thành phố Midwestern đến sòng bạc ở Bahamas Câu lạc bộ đã chi tới 8.000 USD mỗi tuần cho các chương trình quảng cáo tại địa phương Số tiền này sẽ được phân bổ cho bốn phương án quảng cáo như sau: chương trình truyền hình, quảng cáo trên báo chí và hai loại của quảng cáo trên đài phát thanh Mục tiêu của Win Big là tiếp cận lượng khán giả có tiềm năng cao nhất có thể thông qua các phương tiện truyền thông kể trên Bảng sau đây cho thấy số lượng người chơi cờ bạc tiềm năng đạt được bằng cách sử dụng quảng cáo trên mỗi phương tiện trong số bốn phương tiện truyền thông, chi phí cho mỗi phương án quảng cáo và số lượng quảng cáo tối đa có thể được mua mỗi tuần

Các thỏa thuận hợp đồng của Win Big yêu cầu ít nhất năm quảng cáo trên đài phát thanh mỗi tuần Để đảm bảo một chiến dịch quảng cáo đạt được phạm vi rộng rãi, ban quản lý cũng nhấn mạnh rằng không quá 1.800 USD được chi cho quảng cáo trên đài phát thanh mỗi tuần

Mô hình hóa bài toán

Gọi X1, X2, X3, X4 lần lượt là số lượng khán giả tiềm năng có thể tiếp cận của các phương án quảng cáo qua truyền hình, quảng cáo qua báo chí, quảng cáo qua radio trong 30 giây và quảng cáo qua radio trong 1 phút

Hàm mục tiêu (tối đa hóa số lượng người khán giả tiềm năng có thể tiếp cận:

X1 ≤ 12 (số lượng tối đa quảng cáo trên truyền hình mỗi tuần)

8 X2 ≤ 5 (số lượng tối đa quảng cáo trên báo chí mỗi tuần) X3 ≤ 25 (số lượng tối đa quảng cáo trên đài phát thanh trong 30 giây mỗi tuần) X3 ≤ 20 (số lượng tối đa quảng cáo trên đài phát thanh trong 1 phút mỗi tuần) 800X1 + 925X2 + 290X3 + 380X4 ≤ 8,000 (kinh phí quảng cáo mỗi tuần) X3 + X4 ≥ 5 (ít nhất 5 quảng cáo trên đài phát thanh mỗi tuần)

290X3 + 380X4 ≤ 1,800 (không quá 1,800 USD được chi cho quảng cáo trên đài phát thanh mỗi tuần)

X1, X2, X3, X4 ≥ 0 Giải pháp cho vấn đề trên có thể được giải quyết bằng cách sử dụng tính năng Solver của Excel Chúng ta cần cung cấp dữ liệu đầu vào cho hộp thoại Solver Parameter, công thức phải được viết trong ô cho giá trị hàm mục tiêu và các ô mà công thức này sẽ được sao chép

Sau khi được giải thì cho ra kết quả như sau X1 = 1,97 quảng cáo trên truyền hình mỗi tuần X2 = 5 quảng cáo trên báo chí mỗi tuần

X1 = 6,2 quảng cáo trên đài phát thanh trong 30 giây mỗi tuần X1 = 0 quảng cáo trên đài phát thanh trong 1 phút mỗi tuần Để có thể tối đa hóa số lượng khán giả tiềm năng có thể tiếp cận lên F(x) = 67,200 khán giả

Ứng dụng sản xuất

Fifth Avenue Industries, một nhà sản xuất thời trang nam nổi tiếng trên toàn quốc, sản xuất bốn loại cà vạt Một loại là cà vạt toàn bộ bằng lụa, một loại là cà vạt toàn bộ bằng polyester, một loại là hỗn hợp giữa polyester và cotton, và một loại là hỗn hợp giữa lụa và cotton Bảng dưới đây minh họa chi phí và khả năng sẵn có (mỗi kỳ lập kế hoạch sản xuất hàng tháng) của ba vật liệu được sử dụng trong quá trình sản xuất:

X1 = số lượng cà vạt toàn lụa được sản xuất mỗi tháng X2 = số lượng cà vạt toàn polyester

X3 = số lượng cà vạt hỗn hợp 1: poly-cotton X4 = số lượng cà vạt hỗn hợp 2: lụa-cotton

Tính lợi nhuận đơn vị

Lợi nhuận đơn vị X1: 19,24 - (0,125.100%.24) = 16,24 Lợi nhuận đơn vị X2: 8,7 - (0,08.100%.6) = 8,22 Lợi nhuận đơn vị X3: 9,52 - (0,1.50%.6 + 0,1.50%.9) = 8,77 Lợi nhuận đơn vị X4: 10,64 - (0,11.60%.24 + 0,11.40%.9) = 8,66

10 0.125𝑋 1 + 0.066𝑋 4 ≤ 1,200 (vải lụa/ m) 0.08𝑋 2 + 0.05𝑋 3 ≤ 3,000 (vải polyester/ m) 0.05𝑋 3 + 0.044𝑋 4 ≤ 1,600 (vải cotton/ m) 5000 ≤ 𝑋 1 ≤ 7000 (số lượng cà vạt toàn bộ lụa nằm trong khoảng) 10,000 ≤ 𝑋 2 ≤ 14,000 (số lượng cà vạt toàn bộ polyester nằm trong khoảng) 13,000 ≤ 𝑋 3 ≤ 16,000 (số lượng cà vạt hỗn hợp 1: poly-cotto nằm trong khoảng) 5,000 ≤ 𝑋 4 ≤ 8,500 (số lượng cà vạt hỗn hợp 2: tơ-cotton nằm trong khoảng) 𝑋 1 , 𝑋 2 , 𝑋 3 , 𝑋 4 ≥ 0

Sử dụng các lệnh chương trình Solver để tìm kết quả Bước 1: Nhập hàm lợi nhuận ở ô G4 = SUMPRODUCT ($C$3:$F$3;C4:F4)

Bước 2: Nhập các dự liệu đầu vào chương trình Solver

Set Objective: G4 By Changing cells: C4: F4 To: Max

Bước 3: Chọn Solve sẽ hiện thị ra bảng Solve Result như bên dưới:

Bước 4: Chọn OK để nhận kết quả như hình

Sử dụng Excel Solver, giải pháp được phần mềm tạo ra là sản xuất 5.112 cà vạt toàn lụa mỗi tháng; 14.000 cà vạt polyester; 16.000 cà vạt hỗn hợp 1: poly-cotton; và 8.500 cà vạt hỗn hợp 2: tơ-cotton Điều này tạo ra lợi nhuận $ 412.028 cho mỗi kỳ sản xuất

Ứng dụng lập kế hoạch nhân viên

Ngân hàng Thương mại và Công nghiệp Hồng Kông là một ngân hàng bận rộn, yêu cầu từ 10 đến 18 giao dịch viên, tùy thuộc vào thời gian trong ngày Thời gian ăn trưa từ trưa đến 2 giờ chiều thường nặng nhất Bảng dưới đây cho biết số lượng công nhân cần thiết vào các giờ khác nhau khi ngân hàng mở cửa

Ngân hàng hiện có 12 nhân viên giao dịch làm việc toàn thời gian, nhưng nhiều người trong danh sách nhân viên bán thời gian của ngân hàng Một nhân viên bán thời gian phải làm việc đúng bốn giờ mỗi ngày nhưng có thể bắt đầu bất cứ lúc nào trong khoảng thời gian từ 9 giờ sáng và 1 giờ chiều Những người làm việc bán thời gian là nguồn lao động khá rẻ vì họ không được hưởng trợ cấp hưu trí hoặc ăn trưa Mặt khác, những người làm việc toàn thời gian làm việc từ 9 giờ sáng đến 5 giờ chiều nhưng được phép có 1 giờ để ăn trưa (Một nửa số người làm việc toàn thời gian ăn lúc 11 giờ sáng, nửa còn lại vào buổi trưa.) Do đó, những người làm việc toàn thời gian cung cấp 35 giờ lao động hiệu quả mỗi tuần

Theo chính sách của công ty, ngân hàng giới hạn số giờ làm việc bán thời gian ở mức tối đa 50% tổng số yêu cầu trong ngày Những người làm việc bán thời gian kiếm được trung bình 8 đô la mỗi giờ (hoặc 32 đô la mỗi ngày) và những người làm việc toàn thời gian kiếm được trung bình 100 đô la mỗi ngày tiền lương và phúc lợi Ngân hàng muốn thiết lập một lịch trình để giảm thiểu tổng chi phí nhân sự Nó sẽ sa thải một hoặc nhiều giao dịch viên toàn thời gian nếu việc làm đó mang lại lợi nhuận

Khi xây dựng chương trình này như một chương trình tuyến tính, mục tiêu là giảm thiểu chi phí Có một ràng buộc cho mỗi giờ trong ngày, nói rằng số người làm việc tại ngân hàng trong giờ đó ít nhất phải bằng con số tối thiểu được trình bày trong Bảng 8.4, do đó có

14 tám ràng buộc trong số này Một ràng buộc khác sẽ giới hạn tổng số người làm việc toàn thời gian không quá 12 Ràng buộc cuối cùng sẽ quy định rằng số giờ bán thời gian không được vượt quá 50% tổng số giờ

Ngân hàng phải quyết định sử dụng bao nhiêu giao dịch viên toàn thời gian, do đó sẽ có một biến số quyết định cho việc đó Tương tự, ngân hàng phải quyết định sử dụng nhân viên bán thời gian, nhưng điều này phức tạp hơn vì nhân viên bán thời gian có thể bắt đầu vào các thời điểm khác nhau trong ngày trong khi tất cả nhân viên toàn thời gian đều bắt đầu vào đầu ngày Như vậy, phải có một biến chỉ số lượng người làm việc bán thời gian bắt đầu vào mỗi giờ trong ngày từ 9 giờ sáng cho đến 1 giờ chiều Bất kỳ công nhân nào bắt đầu lúc 1 giờ chiều sẽ làm việc cho đến khi đóng cửa nên không cần phải cân nhắc việc tuyển nhân viên bán thời gian bắt đầu làm việc sau đó

F = Nhân viên giao dịch toàn thời gian P1 = Nhân viên bán thời gian bắt đầu lúc 9 A.M (nghỉ trưa lúc 1 P.M) P2 = Nhân viên bán thời gian bắt đầu lúc 10 A.M (nghỉ trưa lúc 2 P.M) P3 = Nhân viên bán thời gian bắt đầu lúc 11 A.M (nghỉ trưa lúc 3 P.M) P4 = Nhân viên bán thời gian bắt đầu lúc 12 giờ trưa (nghỉ trưa lúc 4 P.M) P5 = Nhân viên bán thời gian bắt đầu lúc 1 P.M (nghỉ trưa lúc 5 P.M)

15 F ≤ 12 (vì chỉ có 12 nhiên viên full-time có sẵn) Vì số lượng nhân viên bán thời gian không quá 50% tông thời gian yêu cầu mỗi ngày

Sử dụng các lệnh chương trình Solver để tìm kết quả Bước 1: Nhập hàm tổng chi phí ở ô H5 = SUMPRODUCT($B$4:$G$4,B5:G5)

Set Objective: H5 By Changing cells: B4: G4 To: Min

Solving Method: Simplex LP Chọn: Make Variables Non-Negative

Kế hoạch tối ưu thay thế mà Ngân hàng Hồng Kông có thể tuân theo dựa trên kế quả tính toán: Đầu tiên là chỉ tuyển 10 nhân viên làm việc toàn thời gian và bắt đầu tuyển 7 nhân viên bán thời gian vào lúc 10 giờ sáng 2 người bán thời gian lúc 11 giờ sáng và 5 người bán thời gian vào buổi trưa Không có người bán thời gian nào bắt đầu lúc 9 giờ sáng hoặc 1 giờ chiều Giải pháp thứ hai cũng sử dụng 10 nhân viên giao dịch toàn thời gian, nhưng bắt đầu có 6 nhân viên bán thời gian vào lúc 9 giờ sáng 1 người bán thời gian lúc 10 giờ sáng 2 người bán thời gian lúc 11 giờ sáng và 5 giờ trưa và 0 người bán thời gian lúc 1 giờ chiều

Chi phí của một trong hai chính sách này là 1.448 USD mỗi ngày

Ứng dụng tài chính

International City Trust (ICT) đầu tư vào tín dụng thương mại ngắn hạn, trái phiếu doanh nghiệp, cổ phiếu vàng và các khoản vay xây dựng Để khuyến khích danh mục đầu tư đa dạng, ban giám đốc đã đặt ra các giới hạn về số tiền có thể cam kết cho bất kỳ loại hình đầu tư nào ICT có sẵn 5 triệu USD để đầu tư ngay lập tức và mong muốn thực hiện hai việc:

(1) tối đa hóa lợi tức đầu tư được thực hiện trong sáu tháng tới và (2) đáp ứng các yêu cầu đa dạng hóa do ban giám đốc đặt ra Ngoài ra, hội đồng quản trị quy định rằng ít nhất 55% số vốn đầu tư phải là vàng dự trữ và cho vay xây dựng, và không ít hơn 15% được đầu tư vào tín dụng thương mại

Khi xây dựng chương trình này như một chương trình tuyến tính, mục tiêu là tối đa hóa lợi nhuận Có bốn ràng buộc riêng biệt giới hạn số tiền tối đa trong mỗi lựa chọn đầu tư ở mức tối đa được đưa ra trong bảng Một ràng buộc quy định rằng tổng số tiền dự trữ vàng và các khoản vay xây dựng phải ít nhất là 55% tổng số tiền đầu tư và một ràng buộc quy định rằng tổng số tiền trong tín dụng thương mại phải ít nhất là 15% tổng số tiền đầu tư Ràng buộc cuối cùng quy định tổng số tiền đầu tư không được vượt quá 5 triệu USD (có thể ít hơn)

Gọi X1 , X2, X3, X4 là số tiền đầu tư lần lượt trong tín dụng thương mại ngắn hạn, trái phiếu doanh nghiệp, cổ phiếu vàng và các khoản vay xây dựng

Nhập dữ liệu, sử dụng các lệnh chương trình Solver để tìm kết quả Bước 1: Nhập hàm tổng tiền lãi ở ô G5 = SUMPRODUCT($C$4:$F$4,C5:F5)

Set Objective: G5 By Changing cells: C4:F4 To: Max

ICT tối đa hóa tiền lãi kiếm được bằng cách thực hiện khoản đầu tư sau:

X1 = $750.000 X2 = $950.000 X3= $1.500.000 X4= $1.800.000 Tổng tiền lãi kiếm được là $712.000

Ứng dụng trộn nguyên liệu

Xuất phát từ vấn đề dinh dưỡng cho bệnh nhân, ứng dụng trộn nguyên liệu là bài toán giúp cho các bệnh viện có thể xác định khẩu phần ăn( hay gọi là chế độ ăn uống) tốt nhất, đầy đủ chất dinh dưỡng cần thiết và đạt được hiệu quả nhất về mặt kinh tế ( tối ưu chi phí)

Trong lĩnh vực nông nghiệp, vấn đề pha trộn và dinh dưỡng của thức ăn sẽ liên quan đến việc chỉ định về định mức nguyên liệu thức ăn sẽ thõa mãn các yêu cầu về dưỡng chất nêu ra với mức chi phí tối thiểu Một trung tâm dinh dưỡng tên Whole Food đã sử dụng 3 loại ngũ cốc để pha trộn và bán theo đơn vị pound Chi phí cho từng loại ngũ cốc và các chỉ số về protein, riboflavin, photpho, magie trên 1 đơn vị pound sẽ được nghiên cứu, thống kê và trình bày phục vụ cho việc tính toán Các thông số được trình bày như sau:

Bài toán được Whole Food giải quyết dựa trên những yêu cầu thõa mãn về dinh dưỡng ghi trên bao bì và các con số khảo sát về định lượng vitamin và khoáng chất khiến nghị cho một cơ thể người lớn trung bình Whole Food xác định rằng mỗi khẩu phần ngũ cốc 0.125 pound nên chứa 3 đơn vị protein, 2 đơn vị riboflavin, 1 đơn vị phosphorus, và 0.425 đơn vị magnesium Mô hình hoá bài toàn gồm các ràng buộc cho protein, riboflavin, phosphorus và magnesium với quy định rằng số đơn vị phải ít nhất bằng số lượng tối thiểu được chỉ định Với chỉ định lượng, mỗi phần ngũ cốc là khẩu phần 0.125 pound nên ràng buộc cuối sẽ nói rằng tổng lượng ngủ cốc sử dụng sẽ 0.125 pound

Gọi XA pound ngũ cốc A trong một khẩu phần ngũ cốc

XB pound ngũ cốc B trong một khẩu phần ngũ cốc XC pound ngũ cốc C trong một khẩu phần ngũ cốc Tối thiểu chi phí, hàm mục tiêu Z = 0.33𝑋 𝐴 + 0.47𝑋 𝐵 + 0.38𝑋 𝐶

Nhập các dữ liệu đầu vào và tham số bộ giải:

Set Objective: E6 By Changing cells: B5:D5 To: Min

Make Variables Non-Negative Dùng chương trình Solver trong Excel 2010 ta có thể giải quyết bài toán này, bằng cách đưa vào hàm mục tiêu (tối ưu chi phí) và các ràng buộc ta có được sau khi mô hình hóa bài toán bên ngoài, kết quả sẽ đưa ra được phương pháp giải quyết cho vấn đề pha trộn này Đối với

24 mỗi khẩu phần ngũ cốc 0.125 pound ta sẽ bao gồm bao gồm 0.025 pound ngũ cốc loại A, 0.050 pound ngũ cốc B và 0.050 pound loại C.

Ứng dụng giao thông vận tải

chọn hai vị trí này là vì ở đây có chi phí lao động thấp) Ba kho hàng hành chính của công ty thì đặt tại các khu vực gần thị trường tiêu thụ lớn là New York, Chicago, Los Angeles, nhu cầu tiêu thụ ở các kho cho năm tới lần lược là 10.000, 8.000 và 15.000 chiếc xe đạp

Khả năng sản xuất tại nhà máy là có hạn, với nhà máy tại New Orleans có thể sản xuất 20.000 chiếc xe đạp và Omaha là 15.000 chiếc, chi phí vận chuyển cho một chiếc xe đạp là như sau:

Và để xây dựng, phát triển một lịch trình vận chuyển tối ưu hóa chi phí vận chuyển cho hàng năm Ở đây ta có thể xây dựng mô hình hóa toán học với hàm mục tiêu là hàm min tối thiểu chi phí Các ràng buộc gồm hai ràng buộc cung cấp từ hai nhà máy, nhà máy New Orleans không quá 20.000 và Omaha không quá 15.000 có thể vận chuyển đi và ba ràng buộc yêu cầu, tổng số lượng vận chuyển đến New York phải bằng 10.000, Chicago phải bằng 8.000 và Los Angeles bằng 15.000

Hàm mục tiêu: Z = 2𝑋 11 + 3𝑋 12 + 5𝑋 13 + 3𝑋 21 + 1𝑋 22 + 4𝑋 23 Ràng buộc:

𝑋 11 + 𝑋 12 = 10.000 (Yêu cầu New York) 𝑋 12 + 𝑋 22 = 8.000 (Yêu cầu Chicago) 𝑋 13 + 𝑋 23 = 15.000 (Yêu cầu Los Angeles ) 𝑋 11 + 𝑋 12 + 𝑋 13 ≤ 20.000 (Cung New Orleans) 𝑋 21 + 𝑋 22 + 𝑋 23 ≤ 15.000 (Cung Omaha) Tất cả các giá trị ≥ 0

Dùng chương trình Solver trong Excel 2010 ta có thể giải quyết bài toán này, bằng cách đưa vào hàm mục tiêu ( tối ưu chi phí) và các ràng buộc về yêu cầu và khả năng cung cấp ta có được sau khi mô hình hóa bài toán bên ngoài

26 Nhập các dự liệu đầu vào và tham số bộ giải:

Set Objective: H6 By Changing cells: B5:G5 To: Min

Kết quả cho ra rằng để tối ưu chi phí vận chuyển, ta vận chuyển từ nhà máy New Orleans đến New York 10.000 chiếc xe đạp, từ New Orleans đến Los Angeles 8.000 chiếc, từ Omaha đến Chicago 8.000 chiêc và từ Omaha đến Los Angeles 7.000 chiếc Tổng chi phí cho phương pháp vận chuyển này là $96.000

GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐÃ CHỌN

Nhà hàng Y S Chang mở cửa 24 giờ mỗi ngày Nhân viên phục vụ bắt đầu ca làm việc của mình vào các mốc thời điểm: 3 giờ sáng, 7 giờ sáng, 11 giờ sáng, 3 giờ chiều, 7 giờ tối hoặc 11 giờ tối và mỗi ca làm việc kéo dài 8 tiếng Bảng dưới đây cho thấy số lượng nhân viên phục vụ tối thiểu cần có trong sáu khoảng thời gian được chia ra (tương ứng với thời gian bắt đầu từng ca làm)

Nhà hàng Y.S.Chang đang cần xác định số lượng nhân viên phục vụ bắt đầu vào mỗi ca để giảm thiểu tổng số nhân viên cần thiết cho một ngày hoạt động

Bài giải Mô hình hóa bài toán

Gọi X1, X2, X3, X4, X5, X6 lần lượt là số lượng nhân viên phục vụ bắt đầu ca làm việc tương ứng với 6 khoảng thời gian được chia ra trong bảng trên

Nhập dữ liệu, sử dụng các lệnh chương trình Solver để tìm kết quả Tổng quan các bảng của bài toán bao gồm

Bước 1: Nhập hàm tổng tổng số nhân viên ở ô I3 =SUMPRODUCT(C3:H3)

Bước 2: Nhập hàm tổng số nhân viên trong từng giai đoạn theo hàm ràng buộc biến từ I12 tới I17

Bước 3: Nhập các dữ liệu đầu vào vào chương trình Solver

Set Objective: I3 By Changing cells: C3:H3 To: Min

Bước 4: Chọn Solve để hiển thị Solve Result

Bước 5: Chọn OK để hiển thị kết quả cuối cùng

X1 = 3 nhân viên phục vụ vào ca vào đầu giai đoạn 1 X2 = 9 nhân viên phục vụ vào ca vào đầu giai đoạn 2 X3 = 7 nhân viên phục vụ vào ca vào đầu giai đoạn 3 X4 = 2 nhân viên phục vụ vào ca vào đầu giai đoạn 4 X5 = 9 nhân viên phục vụ vào ca vào đầu giai đoạn 5 X6 = 0 nhân viên phục vụ vào ca vào đầu giai đoạn 6 Để tổng số nhân viên phục vụ làm việc tại nhà hàng Y.S.Chang là tối thiểu

Công ty Kleenglass sản xuất một loại máy rửa bát có khả năng làm sạch tuyệt vời

Máy rửa bát này sử dụng ít nước hơn hầu hết các đối thủ cạnh tranh và hoạt động cực kỳ yên tĩnh Công ty đã nhận được đơn đặt hàng từ một số cửa hàng bán lẻ để giao hàng vào cuối mỗi tháng trong 3 tháng tới, như được hiển thị bên dưới:

Do năng lực sản xuất hạn chế, chỉ có thể sản xuất được 200 máy mỗi tháng trong giờ hành chính, với chi phí là 300 USD mỗi máy Tuy nhiên, có thể sản xuất thêm 15 máy mỗi tháng nếu sử dụng làm thêm giờ, nhưng chi phí sẽ tăng lên 325 USD mỗi máy Ngoài ra, nếu có bất kỳ máy rửa bát nào được sản xuất trong một tháng mà không được bán trong tháng đó, sẽ có chi phí 20 USD để lưu trữ sản phẩm đó sang tháng tiếp theo

Bài giải Mô hình hóa bài toán

X1 là số lượng máy rửa chén sản xuất vào tháng 6 và thời gian định kỳ X2 là số lượng máy rửa chén sản xuất vào tháng 7 và thời gian định kỳ X3 là số lượng máy rửa chén sản xuất vào tháng 8 và thời gian định kỳ X4 là số lượng máy rửa chén sản xuất vào tháng 6 và thời gian làm thêm X5 là số lượng máy rửa chén sản xuất vào tháng 7 và thời gian làm thêm X6 là số lượng máy rửa chén sản xuất vào tháng 8 và thời gian làm thêm

Thiết lập hàm mục tiêu

Hàm chi phí bao gồm chi phí sản xuất và chi phí tồn kho

Kết hợp hai biểu thức ta được hàm chi phí( cộng chi phí sản xuất và chi phí tồn kho) Hàm mục tiêu:

Xác định các ràng buộc

X1 ≤ 200 ( sản lượng tháng 6, RT) X2 ≤ 200 ( sản lượng tháng 7, RT) X3 ≤ 200 ( sản lượng tháng 8, RT) X4 ≤ 15 ( sản lượng tháng 6, OT) X5 ≤ 15 ( sản lượng tháng 7, OT) X6 ≤ 15 ( sản lượng tháng 8, OT) X1 + X4 ≥ 195 ( Nhu cầu tháng 6) X2 + X5 + ( X1 + X4 -195) = 215 ( Nhu cầu tháng 7)

Sử dụng các lệnh chương trình Solver tìm phương pháp:

*Nhập dữ liệu mô hình bài toán lên máy Bước 1: Gán các biến giá trị X1,X2,X3,X4,X5,X6 bằng 0 Bước 2: Đặt hàm mục tiêu đã thiết lập

MinZ = 360X1 + 340X2 + 320X3 + 385X4 + 365X5 + 345X6 -24400 vào ô D6 hoặc dùng lệnh =SUMPRODUCT(D3:I3*D4:I4)

Bước 3: Nhập các ràng buộc đã mô hình hóa ở trên

Nhập các dự liệu đầu vào và tham số bộ giải:

Set Objective: C6 By Changing cells: D3:I3 To: Min

34 Chọn Keep Slover Solution và nhấn OK sẽ hiện thị ra bảng kết quả bên dưới:

Theo kết quả từ bảng ta xác định:

Số lượng máy sản xuất trong thời gian định kì:

Tháng 6: 200 máy Tháng 7: 200 máy Tháng 8: 200 máy Số lượng máy sản xuất trong thời gian làm thêm là Tháng 6: 0 máy

Tổng chi phí tối ưu nhất là: $184.975

(Vấn đề phối trộn vật liệu) Amalgamated Products vừa nhận được hợp đồng thi công khung thân xe bằng thép cho ô tô dự kiến sản xuất tại nhà máy mới của Nhật Bản ở Tennessee Nhà sản xuất ô tô Nhật Bản có tiêu chuẩn kiểm soát chất lượng nghiêm ngặt đối với tất cả các nhà thầu phụ linh kiện và đã thông báo cho Amalgamated rằng mỗi khung phải có hàm lượng thép sau:

Hợp nhất trộn tám loại vật liệu sẵn có khác nhau để tạo ra một tấn thép dùng làm khung thân xe Bảng dưới đây trình bày chi tiết các nguyên liệu cần trộn

Xây dựng và giải mô hình LP để chỉ ra lượng mỗi vật liệu trong số tám vật liệu nên được trộn vào tải trọng 1 tấn thép để Amalgamated đáp ứng các yêu cầu của nó trong khi giảm thiểu chi phí

Gọi Xj là lượng sản phẩm cần dùng để trộn nguyên liệu, aij là % nguyên liệu có trong 1 đơn vị sản phẩm j

Hợp kim 2 X2 ≥ 300 Carbide 1 X6 ≥ 50 Carbide 2 X7 ≥ 200 Carbide 3 X8 ≥100 Tổng trọng lượng 1 tấn

Nhập dữ liệu, sử dụng các lệnh chương trình Solver để tìm kết quả Bước 1: Nhập hàm tổng chi phí tối ưu K7 = SUMPRODUCT($C$6:$J$6,C7:J7)

Set Objective: K7 By Changing cells: C6:J6 To: Min

Lượng mỗi vật liệu trong số tám vật liệu nên được trộn vào tải trọng 1 tấn thép để Amalgamated đáp ứng các yêu cầu của nó trong khi giảm thiểu chi phí bao gồm:

+ Alloy 2 = 300 pounds + Iron 2 = 1254 pounds + Carbide 1 = 50 pounds + Carbide 2 = 200 pounds + Carbide 3 = 196 pounds Chi phí tối thiểu = $173.42

PHÂN TÍCH ĐỘ NHẠY

Việc đầu tư vào các lĩnh vực kinh tế - xã hội để thu được lợi ích với các hình thức khác nhau: là các tài sản vật chất dưới dạng công trình, là hoạt động có tính chất lâu dài, các kết quả và hiệu quả của nó phụ thuộc vào rất nhiều yếu tố đã được dự báo trong quá trình lập, phân tích dự án Mỗi yếu tố đó ở một mức độ khác nhau đều có mức không chắc chắn nhất định, khiến những gì xảy ra trên thực tế có thể có sự sai lệch so với dự kiến, mà sự sai lệch này vượt qua mức chấp nhận được Để đánh giá độ an toàn của các chỉ tiêu hiệu quả tính toán trước sự biến đổi của các yếu tố khách quan có thể xảy ra trong quá trình thực hiện dự án, thường dùng phương pháp phân tích độ nhạy Độ nhạy của dự án là mức độ biến đổi của các chỉ tiêu hiệu quả như lợi nhuận, hiện giá của hiệu số thu chi (NPW) hay suất thu lợi nội tại (IRR) khi thay đổi các chỉ tiêu tính toán so với tình trạng bình thường ban đầu Khi biến đổi các chỉ tiêu về phía xấu đi thì độ nhạy càng bé, càng an toàn

* Ưu điểm: Giúp nhà đầu tư đo lường mức độ biến động của yếu tố đầu vào tới hiệu quả, từ đó biết được dự án nhạy cảm với yếu tố nào để có biện pháp quản lý chúng trong quá trình thực hiện

Phân tích độ nhạy được thực hiện theo các tình huống sau:

- Phân tích ảnh hưởng của từng yếu tố liên quan đến chỉ tiêu hiệu quả tài chính nhằm tìm ra yếu tố gây nên sự nhạy cảm lớn của chỉ tiêu hiệu quả xem xét

- Phân tích ảnh hưởng đồng thời của nhiều yếu tố đến chỉ tiêu hiệu quả tài chính xem xét, để đánh giá độ an toàn của dự án

Trong phân tích dự án, có thể xảy ra trường hợp:

- Khi tính cho trường hợp tốt nhất, phương án đáng giá, nhưng khi tính toán cho trường hợp xấu nhất phương án lại không đáng giá Lúc này, cần biết thêm xác suất xảy ra các trạng thái thị trường Như vậy, phương pháp này mới cho biết yếu tố nào ảnh hưởng nhiều đến chỉ tiêu hiệu quả, nhưng không trả lời được câu hỏi: Khi yếu tố đấy thay đổi bất lợi cho dự án thì mức độ ảnh hưởng đấy đã đủ để quyết định có nên đầu tư hay không đầu tư

40 - Khi các chỉ tiêu thay đổi về phía xấu đi thì độ nhạy càng bé càng an toàn, nhưng bé bao nhiêu là tốt, là an toàn, không có ngưỡng chung để kết luận

Ví dụ về bài toán phân tích độ nhạy

Công ty Đồ gỗ Winkler sản xuất hai loại tủ bát đĩa khác nhau: kiểu Pháp cổ điển và kiểu Đan Mạch hiện đại Mỗi tủ được sản xuất phải trải qua ba khâu: mộc, sơn và hoàn thiện Bảng dưới đây chứa tất cả thông tin liên quan đến thời gian sản xuất trên mỗi tủ được sản xuất và năng lực sản xuất cho mỗi hoạt động trong một ngày, cùng với lợi nhuận ròng trên một đơn vị sản xuất Công ty có hợp đồng với một nhà phân phối ở Indiana để sản xuất tối thiểu 300 tủ mỗi loại mỗi tuần (hoặc 60 tủ mỗi ngày) Chủ sở hữu Bob Winkler muốn xác định sự kết hợp sản phẩm để tối đa hóa lợi nhuận hàng ngày của mình

Và để xây dựng một lịch trình phân phối tối đa hóa lợi nhuận hàng ngày Ở đây ta có thể xây dựng mô hình hóa toán học với hàm mục tiêu là hàm max tối đa lợi nhuận Các ràng buộc gồm ba ràng buộc yêu cầu cả hai loại tủ đều phải trải qua ba công đoạn mộc, sơn và hoàn thiện với thời gian tối đa từng công đoạn lần lượt là 360 giờ, 200 giờ và 125 giờ và ràng buộc cung cấp tối thiểu 300 tủ mỗi loại mỗi tuần (hoặc 60 tủ mỗi loại mỗi ngày)

Gọi 𝑋 1 là số lượng tủ bát dĩa kiểu Pháp cổ điển, 𝑋 2 là số lượng tủ bát dĩa kiểu Đan Mạch hiện đại

• 𝑋 1 , 𝑋 2 ≥ 0 Dùng chương trình Solver trong Excel 2010 ta có thể giải quyết bài toán này, bằng cách đưa vào hàm mục tiêu (tối đa lợi nhuận) và các ràng buộc về yêu cầu và khả năng cung cấp ta có được sau khi mô hình hóa bài toán bên ngoài

Nhập các dữ liệu đầu vào và tham số bộ giải:

Set Objective: D3 By Changing cells: B2:C2 To: Max

42 Kết quả cho ra rằng để tối đa hóa lợi nhuận của công ty Đồ gỗ Winkler, ta phải sản xuất 27 tủ bát dĩa kiểu Pháp cổ điển và 140 tủ bát dĩa kiểu Đan Mạch hiện đại

Thời gian mỗi công đoạn để sản xuất rong 3 công đoạn (mộc, sơ, hoàn thiện) đáp ứng yêu cầu của công ty trong việc tối đa hóa lợi nhuận gồm:

Thời gian mộc = 360 giờ Thời gian sơn = 180 giờ Thời gian hoàn thiện = 125 giờ Sản lượng tối thiểu mỗi ngày = 166,67 tủ

Sử dụng lệnh chương trình Solver tìm phương pháp:

*Nhập dữ liệu mô hình bài toán lên máy Bước 1: Nhập hàm tổng lợi nhuận tối đa ở ô D4 = SUMPRODUCT($B$3:$C$3,B4:C4)

Set Objective: D3 By Changing cells: B2:C2 To: Max

Bước 4: Chọn lần lượt các dạng báo cáo ở cột Reports để cho ra báo cáo tương ứng

Quy hoạch tuyến tính như một công cụ đắc lực hỗ trợ con người giải quyết các bài toán phức tạp, tối ưu hóa hiệu quả trong nhiều lĩnh vực Nổi bật bởi tính ứng dụng rộng rãi và khả năng mang lại kết quả chính xác, quy hoạch tuyến tính dần trở thành chìa khóa cho những giải pháp tối ưu trong thực tế Điểm mạnh cốt lõi của QP nằm ở khả năng mô hình hóa các bài toán khác nhau vào thực tế một cách hiệu quả như ứng dụng tiếp thị, sản xuất, giao thông vận tải, thành hệ phương trình tuyến tính để nâng cao hiệu quả giải quyết vấn đề, từ đó áp dụng các thuật toán tiên tiến để tìm ra phương án giải tối ưu Sự linh hoạt của QP cũng là một ưu điểm đáng chú ý, mô hình có thể dễ dàng điều chỉnh để phù hợp với điều kiện thực tế, thích ứng với những thay đổi của môi trường và nhu cầu của con người

Tuy nhiên, để ứng dụng hiệu quả, đòi hỏi nhóm cần có kiến thức toán học nhất định và kỹ năng sử dụng thành thạo các phần mềm Solver và Excel QM

Bài báo cáo này đã trình bày chi tiết về việc áp dụng quy hoạch tuyến tính để giải quyết bài toán Thông qua việc sử dụng phần mềm Solver và Excel QM, nhóm đã xây dựng mô hình toán học và giải quyết bài toán một cách hiệu quả và tối ưu hóa phức tạp

Nhìn chung, quy hoạch tuyến tính là một công cụ mạnh mẽ và hữu ích, mang lại nhiều lợi ích cho con người trong việc giải quyết các bài toán phức tạp và tối ưu hóa hiệu quả trong nhiều lĩnh vực Việc ứng dụng QP ngày càng phổ biến, góp phần nâng cao năng suất lao động, tiết kiệm chi phí và thúc đẩy sự phát triển kinh tế - xã hội.

Tiêu đề	Ứng dụng Quy hoạch Tuyến Tính
Tác giả	Hoàng Vũ Phương Anh, Nguyễn Mạnh Hưng, Nguyễn Đặng Khánh Linh, Nguyễn Trần Trúc Mai, Bùi Thị Hà Phương, Trần Vũ Khánh Tâm, Nguyễn Đàm Như Thơ
Người hướng dẫn	GVC. ThS. Võ Thị Ngọc Trân
Trường học	Đại học Quốc gia TP. HCM, Trường Đại học Bách khoa
Chuyên ngành	Phương pháp định lượng
Thể loại	Bài tập lớn
Năm xuất bản	2024
Thành phố	Thành phố Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	47
Dung lượng	2,16 MB