Btl_Ppđl_Nhóm 17.Pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

BÀI TẬP LỚN MÔN HỌC PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG

ĐỀ TÀI

ỨNG DỤNG QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH

Chương 8 – Sách Quantitative Analysis for Management LỚP: L02 - HK232

GVHD: GVC.ThS Võ Thị Ngọc Trân SINH VIÊN THỰC HIỆN

BÁO CÁO KẾT QUẢ LÀM VIỆC NHÓM

Ứng dụng Lập kế hoạch nhân viên Ứng dụng Tài chính

Bài 8.16 trang 336

Ứng dụng Sản xuất 3 2211855 Nguyễn Đặng Khánh Linh Tổng hợp Word – Excel

Bài 8.1 trang 331 (hỗ trợ)

Ứng dụng Trộn nguyên liệu Ứng dụng Giao thông vận tải Bài 8.5 trang 332

5 2212672 Bùi Thị Hà Phương Cơ sở lý thuyết – Bài toán Đối ngẫu Bài 8.3 trang 332

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1 Giới thiệu về bài toán quy hoạch tuyến tính 4

2 Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính 5

3 Bài toán đối ngẫu 5

3.1 Đối ngẫu của bài toán Max 5

3.2 Đối ngẫu của bài toán Min 6

Chương 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 7

6 Ứng dụng giao thông vận tải 24

Chương 3: GIẢI CÁC BÀI TOÁN ĐÃ CHỌN 27

LỜI NÓI ĐẦU

Trong học kỳ 232 vừa qua, nhóm chúng em rất may mắn khi được đồng hành cùng Cô trong môn học Phương pháp định lượng Cô đã rất chu đáo truyền tải kiến thức đến tụi em một cách có hệ thống và dễ dàng hiểu nhất Hơn nữa tụi em còn được Cô giải đáp một cách chi tiết nhất những lúc gặp những vấn đề chúng em chưa hiểu rõ

Sau đây là bản báo cáo bài tập nhóm mà tụi em đã cố gắng hoàn thành tốt nhất Để có được một bản báo cáo hoàn chỉnh như thế này, là kết quả của sự nỗ lực và cố gắng hết mình của tất cả các thành viên trong nhóm Chúng em rất mong Cô sẽ chỉnh sửa và góp ý thêm cho tụi em không chỉ về nội dung mà cả hình thức, để báo cáo môn học sau nhóm em sẽ rút ra những kinh nghiệm bổ ích và thực hiện tốt hơn nữa

Chúng em xin chân thành cảm ơn Cô!

Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Giới thiệu về bài toán quy hoạch tuyến tính

Bài toán qui hoạch tuyến tính là bài toán nhằm cực tiểu hóa hoặc cực đại hóa một hàm mục tiêu tuyến tính với một tập hữu hạn các ràng buộc tuyến tính giúp tìm ra phương án tối ưu (hoặc kế hoạch tối ưu) từ vô số các phương án quyết định Phương án tối ưu là phương án thỏa mãn được các mục tiêu đề ra của một hãng, phụ thuộc vào các hạn chế và các ràng buộc

Bài toán quy hoạch tuyến tính đề cập đến vấn đề phân bổ nguồn lực khan hiếm giữa các hoạt động cạnh tranh trong một phương thức tối ưu Quyết định tối ưu mang lại hiệu quả cao nhất, lợi nhuận lớn nhất hoặc chi phí thấp nhất

Bài toán quy hoạch tuyến tính bao gồm những thành phần cơ bản sau:

Hàm mục tiêu: Đây là hàm toán học của các biến quyết định và có thể đạt cực trị

Thông thường, trong kinh tế hàm mục tiêu thể hiện cực đại về kết quả và cực tiểu về chi phí

Các ràng buộc: Là những phương trình hay bất phương trình tuyến tính thể hiện

sự kết hợp các biến quyết định Trong kinh tế, các ràng buộc thể hiện sự hạn chế về nguồn lực

Các ràng buộc về dấu của các biến quyết định: Các biến quyết định của những bài

toán trong kinh tế thường không âm Tuy nhiên, trong trường hợp tổng quát, các biến có thể nhận giá trị âm

Xác định x1, x2,… xn sao cho: Cực đại (hay Cực tiểu) hàm mục tiêu Z

2 Dạng tổng quát của bài toán quy hoạch tuyến tính

Với một bài toán có n biến và m điều kiện ràng buộc, dạng tổng quát của bài toán như sau: Hàm mục tiêu: 𝑓(𝑥) = ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑗𝑥𝑗 → 𝑀𝑖𝑛(𝑀𝑎𝑥)

Hàm ràng buộc: ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑖𝑗𝑥𝑗 ≤ 𝑏𝑖 với i = 1, m Hoặc ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑖𝑗𝑥𝑗 ≥ 𝑏𝑖 với i = 1, m Hoặc ∑𝑛𝑗=1𝑐𝑖𝑗𝑥𝑗 = 𝑏𝑖 với i = 1, m Ràng buộc dấu 𝑥𝑗 ≥ 0, hoặc 𝑥𝑗 ≤ 0

3 Bài toán đối ngẫu

3.1 Đối ngẫu của bài toán Max

Bài toán gốc: z = cTx → max với ràng buộc: ATx = b; x≥0

Bài toán đối ngẫu: z’ = bTy → min với ràng buộc : ATy ≥ c; y tùy ý

Hai bài toán QHTT được gọi là cặp bài toán đối ngẫu Một ràng buộc và điều kiện về biến trên cùng một dòng gọi là cặp ràng buộc đối ngẫu

Trong bài toán đối ngẫu, hệ số của ràng buộc thứ i của bài toán gốc trở thành hệ số của biến yi trong bài toán đối ngẫu Và ngược lại, hệ số của xj trong bài toán gốc chính là hệ số của dòng j trong bài toán đối ngẫu

3.2 Đối ngẫu của bài toán Min

* Các nguyên tắc hình thành Bài toán đối ngẫu

- Hàm mục tiêu của P là f(x) → min thì hàm mục tiêu của D là g(y) → max và ngược

Chương 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG 1 Ứng dụng tiếp thị

Câu lạc bộ cờ bạc Win Big khuyến khích những người nghiện cờ bạc từ thành phố Midwestern đến sòng bạc ở Bahamas Câu lạc bộ đã chi tới 8.000 USD mỗi tuần cho các chương trình quảng cáo tại địa phương Số tiền này sẽ được phân bổ cho bốn phương án quảng cáo như sau: chương trình truyền hình, quảng cáo trên báo chí và hai loại của quảng cáo trên đài phát thanh Mục tiêu của Win Big là tiếp cận lượng khán giả có tiềm năng cao nhất có thể thông qua các phương tiện truyền thông kể trên Bảng sau đây cho thấy số lượng người chơi cờ bạc tiềm năng đạt được bằng cách sử dụng quảng cáo trên mỗi phương tiện trong số bốn phương tiện truyền thông, chi phí cho mỗi phương án quảng cáo và số lượng

quảng cáo tối đa có thể được mua mỗi tuần

Các thỏa thuận hợp đồng của Win Big yêu cầu ít nhất năm quảng cáo trên đài phát thanh mỗi tuần Để đảm bảo một chiến dịch quảng cáo đạt được phạm vi rộng rãi, ban quản lý cũng nhấn mạnh rằng không quá 1.800 USD được chi cho quảng cáo trên đài phát thanh mỗi tuần

Mô hình hóa bài toán

Gọi X1, X2, X3, X4 lần lượt là số lượng khán giả tiềm năng có thể tiếp cận của các phương án quảng cáo qua truyền hình, quảng cáo qua báo chí, quảng cáo qua radio trong 30 giây và quảng cáo qua radio trong 1 phút

Hàm mục tiêu (tối đa hóa số lượng người khán giả tiềm năng có thể tiếp cận: Max F(x) = 5,000X1 + 8,500X2 + 2,400X3 + 2,800X4

Hàm ràng buộc biến:

X1 ≤ 12 (số lượng tối đa quảng cáo trên truyền hình mỗi tuần)

X2 ≤ 5 (số lượng tối đa quảng cáo trên báo chí mỗi tuần)

X3 ≤ 25 (số lượng tối đa quảng cáo trên đài phát thanh trong 30 giây mỗi tuần) X3 ≤ 20 (số lượng tối đa quảng cáo trên đài phát thanh trong 1 phút mỗi tuần) 800X1 + 925X2 + 290X3 + 380X4 ≤ 8,000 (kinh phí quảng cáo mỗi tuần) X3 + X4 ≥ 5 (ít nhất 5 quảng cáo trên đài phát thanh mỗi tuần)

290X3 + 380X4 ≤ 1,800 (không quá 1,800 USD được chi cho quảng cáo trên đài phát thanh mỗi tuần)

X1, X2, X3, X4 ≥ 0

Giải pháp cho vấn đề trên có thể được giải quyết bằng cách sử dụng tính năng Solver của Excel Chúng ta cần cung cấp dữ liệu đầu vào cho hộp thoại Solver Parameter, công thức phải được viết trong ô cho giá trị hàm mục tiêu và các ô mà công thức này sẽ được sao chép Sau khi được giải thì cho ra kết quả như sau

X1 = 1,97 quảng cáo trên truyền hình mỗi tuần X2 = 5 quảng cáo trên báo chí mỗi tuần

X1 = 6,2 quảng cáo trên đài phát thanh trong 30 giây mỗi tuần X1 = 0 quảng cáo trên đài phát thanh trong 1 phút mỗi tuần

Để có thể tối đa hóa số lượng khán giả tiềm năng có thể tiếp cận lên F(x) = 67,200 khán giả

2 Ứng dụng sản xuất

Fifth Avenue Industries, một nhà sản xuất thời trang nam nổi tiếng trên toàn quốc, sản xuất bốn loại cà vạt Một loại là cà vạt toàn bộ bằng lụa, một loại là cà vạt toàn bộ bằng polyester, một loại là hỗn hợp giữa polyester và cotton, và một loại là hỗn hợp giữa lụa và cotton Bảng dưới đây minh họa chi phí và khả năng sẵn có (mỗi kỳ lập kế hoạch sản xuất hàng tháng) của ba vật liệu được sử dụng trong quá trình sản xuất:

Mô hình hóa bài toán

X1 = số lượng cà vạt toàn lụa được sản xuất mỗi tháng X2 = số lượng cà vạt toàn polyester

X3 = số lượng cà vạt hỗn hợp 1: poly-cotton X4 = số lượng cà vạt hỗn hợp 2: lụa-cotton

Tính lợi nhuận đơn vị

Lợi nhuận đơn vị X1: 19,24 - (0,125.100%.24) = 16,24 Lợi nhuận đơn vị X2: 8,7 - (0,08.100%.6) = 8,22

Lợi nhuận đơn vị X3: 9,52 - (0,1.50%.6 + 0,1.50%.9) = 8,77 Lợi nhuận đơn vị X4: 10,64 - (0,11.60%.24 + 0,11.40%.9) = 8,66

Hàm mục tiêu

Max Z = $16.24 X1 + $8.22 X2 + $8.77 X3 + $8.66 X4

Ràng buộc

0.125𝑋1 + 0.066𝑋4 ≤ 1,200 (vải lụa/ m) 0.08𝑋2 + 0.05𝑋3 ≤ 3,000 (vải polyester/ m) 0.05𝑋3 + 0.044𝑋4 ≤ 1,600 (vải cotton/ m)

5000 ≤ 𝑋1 ≤ 7000 (số lượng cà vạt toàn bộ lụa nằm trong khoảng)

10,000 ≤ 𝑋2 ≤ 14,000 (số lượng cà vạt toàn bộ polyester nằm trong khoảng) 13,000 ≤ 𝑋3 ≤ 16,000 (số lượng cà vạt hỗn hợp 1: poly-cotto nằm trong khoảng) 5,000 ≤ 𝑋4 ≤ 8,500 (số lượng cà vạt hỗn hợp 2: tơ-cotton nằm trong khoảng) 𝑋1, 𝑋2, 𝑋3, 𝑋4 ≥ 0

Sử dụng các lệnh chương trình Solver để tìm kết quả

Bước 1: Nhập hàm lợi nhuận ở ô G4 = SUMPRODUCT ($C$3:$F$3;C4:F4)

Bước 2: Nhập các dự liệu đầu vào chương trình Solver

Set Objective: G4

By Changing cells: C4: F4 To: Max

Subject to the Constraints:

G16:G19 ≥ I16:I19 G11:G14 ≤ I11:I14

Solving Method: Simplex LP

Make Variables Non-Negative

Bước 3: Chọn Solve sẽ hiện thị ra bảng Solve Result như bên dưới:

Bước 4: Chọn OK để nhận kết quả như hình

Kết luận:

Sử dụng Excel Solver, giải pháp được phần mềm tạo ra là sản xuất 5.112 cà vạt toàn lụa mỗi tháng; 14.000 cà vạt polyester; 16.000 cà vạt hỗn hợp 1: poly-cotton; và 8.500 cà vạt hỗn hợp 2: tơ-cotton Điều này tạo ra lợi nhuận $ 412.028 cho mỗi kỳ sản xuất

3 Ứng dụng lập kế hoạch nhân viên

Ngân hàng Thương mại và Công nghiệp Hồng Kông là một ngân hàng bận rộn, yêu cầu từ 10 đến 18 giao dịch viên, tùy thuộc vào thời gian trong ngày Thời gian ăn trưa từ trưa đến 2 giờ chiều thường nặng nhất Bảng dưới đây cho biết số lượng công nhân cần thiết vào các giờ khác nhau khi ngân hàng mở cửa

Ngân hàng hiện có 12 nhân viên giao dịch làm việc toàn thời gian, nhưng nhiều người trong danh sách nhân viên bán thời gian của ngân hàng Một nhân viên bán thời gian phải làm việc đúng bốn giờ mỗi ngày nhưng có thể bắt đầu bất cứ lúc nào trong khoảng thời gian từ 9 giờ sáng và 1 giờ chiều Những người làm việc bán thời gian là nguồn lao động khá rẻ vì họ không được hưởng trợ cấp hưu trí hoặc ăn trưa Mặt khác, những người làm việc toàn thời gian làm việc từ 9 giờ sáng đến 5 giờ chiều nhưng được phép có 1 giờ để ăn trưa (Một nửa số người làm việc toàn thời gian ăn lúc 11 giờ sáng, nửa còn lại vào buổi trưa.) Do đó, những người làm việc toàn thời gian cung cấp 35 giờ lao động hiệu quả mỗi tuần

Theo chính sách của công ty, ngân hàng giới hạn số giờ làm việc bán thời gian ở mức tối đa 50% tổng số yêu cầu trong ngày Những người làm việc bán thời gian kiếm được trung bình 8 đô la mỗi giờ (hoặc 32 đô la mỗi ngày) và những người làm việc toàn thời gian kiếm được trung bình 100 đô la mỗi ngày tiền lương và phúc lợi Ngân hàng muốn thiết lập một lịch trình để giảm thiểu tổng chi phí nhân sự Nó sẽ sa thải một hoặc nhiều giao dịch viên toàn thời gian nếu việc làm đó mang lại lợi nhuận

Khi xây dựng chương trình này như một chương trình tuyến tính, mục tiêu là giảm thiểu chi phí Có một ràng buộc cho mỗi giờ trong ngày, nói rằng số người làm việc tại ngân hàng trong giờ đó ít nhất phải bằng con số tối thiểu được trình bày trong Bảng 8.4, do đó có

tám ràng buộc trong số này Một ràng buộc khác sẽ giới hạn tổng số người làm việc toàn thời gian không quá 12 Ràng buộc cuối cùng sẽ quy định rằng số giờ bán thời gian không được vượt quá 50% tổng số giờ

Ngân hàng phải quyết định sử dụng bao nhiêu giao dịch viên toàn thời gian, do đó sẽ có một biến số quyết định cho việc đó Tương tự, ngân hàng phải quyết định sử dụng nhân viên bán thời gian, nhưng điều này phức tạp hơn vì nhân viên bán thời gian có thể bắt đầu vào các thời điểm khác nhau trong ngày trong khi tất cả nhân viên toàn thời gian đều bắt đầu vào đầu ngày Như vậy, phải có một biến chỉ số lượng người làm việc bán thời gian bắt đầu vào mỗi giờ trong ngày từ 9 giờ sáng cho đến 1 giờ chiều Bất kỳ công nhân nào bắt đầu lúc 1 giờ chiều sẽ làm việc cho đến khi đóng cửa nên không cần phải cân nhắc việc tuyển nhân viên bán thời gian bắt đầu làm việc sau đó

Mô hình hóa bài toán

F = Nhân viên giao dịch toàn thời gian

P1 = Nhân viên bán thời gian bắt đầu lúc 9 A.M (nghỉ trưa lúc 1 P.M) P2 = Nhân viên bán thời gian bắt đầu lúc 10 A.M (nghỉ trưa lúc 2 P.M) P3 = Nhân viên bán thời gian bắt đầu lúc 11 A.M (nghỉ trưa lúc 3 P.M) P4 = Nhân viên bán thời gian bắt đầu lúc 12 giờ trưa (nghỉ trưa lúc 4 P.M) P5 = Nhân viên bán thời gian bắt đầu lúc 1 P.M (nghỉ trưa lúc 5 P.M)

Hàm mục tiêu

Min Z = 100F + 32 (P1 + P2 +P3 + P4 + P5 ) Ràng buộc

F + P1 ≥ 10 F + P1 + P2 ≥ 12

0.5F + P1 + P2 + +P3 ≥ 14 0.5F + P1 + P2 +P3 + P4 ≥ 16 F + P2 +P3 + P4 + P5 ≥ 18 F +P3 + P4 + P5 ≥ 17 F + P4 + P5 ≥ 15 F + P5 ≥ 10

F ≤ 12 (vì chỉ có 12 nhiên viên full-time có sẵn)

Vì số lượng nhân viên bán thời gian không quá 50% tông thời gian yêu cầu mỗi ngày  4 (P1 + P2 +P3 + P4 + P5 ) ≤ 0.5* (10 +12+14 +16 +18 +17 +15 +10)

 4 (P1 + P2 +P3 + P4 + P5 ) ≤ 56 F , P1 , P2 , P3 , P4 , P5 ≥ 0

Sử dụng các lệnh chương trình Solver để tìm kết quả

Bước 1: Nhập hàm tổng chi phí ở ô H5 = SUMPRODUCT($B$4:$G$4,B5:G5)

Bước 2: Copy H5 to H8:H17

Bước 3: Nhập các dự liệu đầu vào chương trình Solver

Set Objective: H5

By Changing cells: B4: G4 To: Min

Subject to the Constraints:

H8: H15 ≥ J8:J15 H16:H17 ≤ J16:J17

Solving Method: Simplex LP

Chọn: Make Variables Non-Negative

Bước 4: Chọn Solve sẽ hiện thị ra bảng Solve Result như bên dưới:

Bước 5: Chọn OK để nhận kết quả như hình

Kết luận:

Kế hoạch tối ưu thay thế mà Ngân hàng Hồng Kông có thể tuân theo dựa trên kế quả tính toán: Đầu tiên là chỉ tuyển 10 nhân viên làm việc toàn thời gian và bắt đầu tuyển 7 nhân viên bán thời gian vào lúc 10 giờ sáng 2 người bán thời gian lúc 11 giờ sáng và 5 người bán thời gian vào buổi trưa Không có người bán thời gian nào bắt đầu lúc 9 giờ sáng hoặc 1 giờ chiều Giải pháp thứ hai cũng sử dụng 10 nhân viên giao dịch toàn thời gian, nhưng bắt đầu có 6 nhân viên bán thời gian vào lúc 9 giờ sáng 1 người bán thời gian lúc 10 giờ sáng 2 người bán thời gian lúc 11 giờ sáng và 5 giờ trưa và 0 người bán thời gian lúc 1 giờ chiều

Chi phí của một trong hai chính sách này là 1.448 USD mỗi ngày

4 Ứng dụng tài chính

International City Trust (ICT) đầu tư vào tín dụng thương mại ngắn hạn, trái phiếu doanh nghiệp, cổ phiếu vàng và các khoản vay xây dựng Để khuyến khích danh mục đầu tư đa dạng, ban giám đốc đã đặt ra các giới hạn về số tiền có thể cam kết cho bất kỳ loại hình đầu tư nào ICT có sẵn 5 triệu USD để đầu tư ngay lập tức và mong muốn thực hiện hai việc: (1) tối đa hóa lợi tức đầu tư được thực hiện trong sáu tháng tới và (2) đáp ứng các yêu cầu đa dạng hóa do ban giám đốc đặt ra Ngoài ra, hội đồng quản trị quy định rằng ít nhất 55% số vốn đầu tư phải là vàng dự trữ và cho vay xây dựng, và không ít hơn 15% được đầu tư vào tín dụng thương mại

Khi xây dựng chương trình này như một chương trình tuyến tính, mục tiêu là tối đa hóa lợi nhuận Có bốn ràng buộc riêng biệt giới hạn số tiền tối đa trong mỗi lựa chọn đầu tư ở mức tối đa được đưa ra trong bảng Một ràng buộc quy định rằng tổng số tiền dự trữ vàng và các khoản vay xây dựng phải ít nhất là 55% tổng số tiền đầu tư và một ràng buộc quy định rằng tổng số tiền trong tín dụng thương mại phải ít nhất là 15% tổng số tiền đầu tư Ràng buộc cuối cùng quy định tổng số tiền đầu tư không được vượt quá 5 triệu USD (có thể ít hơn)

Mô hình hóa bài toán

Gọi X1 , X2, X3, X4 là số tiền đầu tư lần lượt trong tín dụng thương mại ngắn hạn, trái phiếu doanh nghiệp, cổ phiếu vàng và các khoản vay xây dựng

Hàm mục tiêu:

Max Z = 0.07X1 + 0.11X2 + 0.19X3 + 0.15X4 Ràng buộc

X1 ≤ 1.000.000

X2 ≤ 2.500.000 X3 ≤ 1.500.000 X4 ≤ 1.800.000

X3 + X4 ≥ 0.55* (X1 +X2 +X3 + X4 ) X1 ≥ 0.15* (X1 +X2 +X3 + X4) X1 +X2 +X3 + X4 ≤ 5.000.000 X1, X2, X3, X4 ≥ 0

Nhập dữ liệu, sử dụng các lệnh chương trình Solver để tìm kết quả

Bước 1: Nhập hàm tổng tiền lãi ở ô G5 = SUMPRODUCT($C$4:$F$4,C5:F5)

Bước 2: Copy G5 to G8:G14

Bước 3: Nhập các dự liệu đầu vào chương trình Solver

Set Objective: G5

By Changing cells: C4:F4 To: Max

Subject to the Constraints:

G12:G13 ≥ I12:I13 G14 ≤ I14

G8:G11 ≤ I8:I11

Solving Method: Simplex LP

Chọn: Make Variables Non-Negative

Bước 4: Chọn Solve sẽ hiện thị ra bảng Solve Result như bên dưới:

Bước 5: Chọn OK để nhận kết quả như hình

Kết luận:

ICT tối đa hóa tiền lãi kiếm được bằng cách thực hiện khoản đầu tư sau: X1 = $750.000

X2 = $950.000 X3= $1.500.000 X4= $1.800.000

Tổng tiền lãi kiếm được là $712.000

5 Ứng dụng trộn nguyên liệu

Xuất phát từ vấn đề dinh dưỡng cho bệnh nhân, ứng dụng trộn nguyên liệu là bài toán giúp cho các bệnh viện có thể xác định khẩu phần ăn( hay gọi là chế độ ăn uống) tốt nhất, đầy đủ chất dinh dưỡng cần thiết và đạt được hiệu quả nhất về mặt kinh tế ( tối ưu chi phí) Trong lĩnh vực nông nghiệp, vấn đề pha trộn và dinh dưỡng của thức ăn sẽ liên quan đến việc chỉ định về định mức nguyên liệu thức ăn sẽ thõa mãn các yêu cầu về dưỡng chất nêu ra với mức chi phí tối thiểu Một trung tâm dinh dưỡng tên Whole Food đã sử dụng 3 loại ngũ cốc để pha trộn và bán theo đơn vị pound Chi phí cho từng loại ngũ cốc và các chỉ số về protein, riboflavin, photpho, magie trên 1 đơn vị pound sẽ được nghiên cứu, thống kê và trình bày phục vụ cho việc tính toán Các thông số được trình bày như sau:

Bài toán được Whole Food giải quyết dựa trên những yêu cầu thõa mãn về dinh dưỡng ghi trên bao bì và các con số khảo sát về định lượng vitamin và khoáng chất khiến nghị cho một cơ thể người lớn trung bình Whole Food xác định rằng mỗi khẩu phần ngũ cốc 0.125 pound nên chứa 3 đơn vị protein, 2 đơn vị riboflavin, 1 đơn vị phosphorus, và 0.425 đơn vị magnesium Mô hình hoá bài toàn gồm các ràng buộc cho protein, riboflavin, phosphorus và magnesium với quy định rằng số đơn vị phải ít nhất bằng số lượng tối thiểu được chỉ định Với chỉ định lượng, mỗi phần ngũ cốc là khẩu phần 0.125 pound nên ràng buộc cuối sẽ nói rằng tổng lượng ngủ cốc sử dụng sẽ 0.125 pound

Mô hình hóa bài toán

Gọi XA pound ngũ cốc A trong một khẩu phần ngũ cốc XB pound ngũ cốc B trong một khẩu phần ngũ cốc XC pound ngũ cốc C trong một khẩu phần ngũ cốc

Tối thiểu chi phí, hàm mục tiêu Z = 0.33𝑋𝐴 + 0.47𝑋𝐵 + 0.38𝑋𝐶

Ràng buộc