Btl_Ppđl_Nhóm 28.Pdf

Giới thiệu khái niệm và tầm quan trọng của quy hoạch tuyến tính QHTT Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tỉnh là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu vấn đ

1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

🙞···☼···🙜

BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN

<PHƯƠNG PHÁP ĐỊNH LƯỢNG>

ĐỀ TÀI: Quy hoạch tuyến tính & Phân tích độ nhạy

Giảng viên hướng dẫn: Võ Thị Ngọc Trân

Sinh viên thực

hiện

thành

Nhóm lớp

Nguyễn Thị

Phương Ngân

Nguyễn Lê Ngọc

Danh

Trần Nguyễn

Thiên Tú

2

Thành Phố Hồ Chí Minh, tháng 4, năm 2024

3

MỤC LỤC

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT 4

1 Giới thiệu khái niệm và tầm quan trọng của quy hoạch tuyến tính (QHTT) 4

1.1 Bài toán vốn đầu tư 4

1.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất 6

1.3 Bài toán vận tải 7

2 Quy hoạch tuyến tính tổng quát và chính tắc 8

2.1 Quy hoạch tuyến tính tổng quát 8

2.2 Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc 10

II Giải bài toán số 7 chương 8 sách Quantitative Methods for Business, 12th ed 11

1.Mô hình hoá bài toán 12

2 Thiết kế bài toán theo quy hoạch tuyến tính 12

3 Sử dụng phần mềm và phân tích độ nhạy của bài toán và trả lời các câu hỏi sau 13

III Tài liệu tham khảo 18

4

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Giới thiệu khái niệm và tầm quan trọng của quy hoạch tuyến tính (QHTT)

Có thể tạm định nghĩa quy hoạch tuyến tỉnh là lĩnh vực toán học nghiên cứu các bài toán tối ưu mà hàm mục tiêu (vấn đề được quan tâm) và các ràng buộc (điều kiện của bài toán) đều là hàm và các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính Đây chỉ là một định nghĩa mơ hồ, bài toán quy hoạch tuyến tỉnh sẽ được xác định rõ ràng hơn thông qua các ví dụ

Các bước nghiên cứu và ứng dụng một bài toán quy hoạch tuyến tỉnh điển hình

là như sau:

a- Xác định vấn đề cần giải quyết, thu thập dữ liệu

b- Lập mô hình toán học

c- Xây dựng các thuật toán để giải bài toán đã mô hình hoa bằng ngôn ngữ thuận lợi cho việc lập trình cho máy tính

d- Tính toán thử và điều chỉnh mô hình nếu cần

e- Áp dụng giải các bài toán thực tế

1.1 Bài toán vốn đầu tư

Người ta cần có một lượng (tối thiểu) chất dinh dưỡng i = 1,2,…, m do các thức

ăn j = 1,2,…,n cung cấp Giả sử:

aij là số lượng chất dinh dưỡng loại i có trong 1 đơn vị thức ăn loại

(i = 1, 2, ,m) và (j = 1,2, , n)

bi là nhu cầu tối thiểu về loại dinh dưỡng i

cj là giá mua một đơn vị thức ăn loại j

5

Vấn đề đặt ra là phải mua các loại thức ăn như thế nào để tổng chi phí bỏ ra ít nhất mà vẫn đáp ứng được yêu cầu về dinh dưỡng Vẫn để được giải quyết theo mô hình sau đây:

Gọi xj ≥ 0 (j = 1,2,…n) là số lượng thức ăn j cần mua Tổng chi phí cho việc mua thức ăn là:

vì chi phí bỏ ra để mua thức ăn phải là thấp nhất nên yêu cầu cần được thỏa mãn là :

lượng dinh dưỡng i thu được từ thức ăn 1 là : ai1x1 (i=1→m)

lượng dinh dưỡng i thu được từ thức ăn 2 là : ai2x2

lượng dinh dưỡng i thu được từ thức ăn n là : ainxn

Vậy lượng dinh dưỡng thứ i thu được từ các loại thức ăn là : ai1x1+ai2x2+ +ainxn (i=1→m)

vì lượng dinh dưỡng thứ i thu được phải thỏa yêu cầu bi về dinh dưỡng loại đó nên ta có ràng buộc sau: ai1x1+ai2x2+ +ainxn ≥ bi (i=1→m)

khi đó theo yêu cầu của bài toán ta có mô hình toán sau đây:

6

1.2 Bài toán lập kế hoạch sản xuất

Từ m loại nguyên liệu hiện có người ta muốn sản xuất n loại sản phẩm, giả sử: aij là lượng nguyên liệu loại i dùng để sản xuất 1 sản phẩm loại j

(i = 1,2, ,m) và (j = 1,2, , n)

bi là số lượng nguyờn liệu loại i hiện có

cj là lợi nhuận thu được từ việc bán một đơn vị sản phẩm loại j

Vấn đề đặt ra là phải sản xuất mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu sao cho tổng lợi nhuận thu được từ việc bán các sản phẩm lớn nhất trong điều kiện nguyên liệu hiện

có

Gọi xj ≥ 0 là số lượng sản phẩm thứ j sẽ sản xuất (j=1,2, ,n)

Tổng lợi nhuận thu được từ việc bán các sản phẩm là :

vì yêu cầu lợi nhuận thu được cao nhất nên ta cần có:

lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ 1 là ai1x1

lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ 2 là ai2x2

7

lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất sản phẩm thứ n là ainxn

Vậy lượng nguyên liệu thứ i dùng để sản xuất là các sản phẩm là

ai1x1 + ai2x2 + + ainxn

Vì lượng nguyên liệu thứ i=1→m dùng để sản xuất các loại sản phẩm không thể vượt quá lượng được cung cấp là bi nên:

ai1x1 + ai2x2 + + ainxn ≤ bi (i=1,2, ,m) Vậy theo yêu cầu của bài toán ta có mô hình sau đây:

1.3 Bài toán vận tải

Người ta cần vận chuyển hàng hoá từ m kho đến n cửa hàng bán lẻ lượng hàng hoá

ở kho i là si (i=1,2, ,m) và nhu cầu hàng hóa của cửa hàng j là dj (j=1,2, ,n) Cước vận chuyển một đơn vị hàng hoá từ kho i đến của hàng j là cij ≥ 0 đồng

Giả sử rằng tổng hàng hoá cũ ở các kho và tổng nhu cầu hàng hoá ở các cửa hàng là bằng nhau, tức là:

Bài toán đặt ra là lập kế hoạch vận chuyển để tiền cước là nhỏ nhất, với điều kiện là mỗi cửa hàng đều nhận đủ hàng và mỗi kho đều trao hết hàng

8

Gọi xij ≥ 0 là lượng hàng hoá phải vận chuyển từ kho i đến cửa hàng j Cước vận chuyển chuyển hàng hoá i đến tất cả các kho j là :

Cước vận chuyển chuyển tất cả hàng hoá đến tất cả các kho sẽ là:

Vậy theo yêu cầu của bài toán ta có mô hình sau đây:

2 Quy hoạch tuyến tính tổng quát và chính tắc

2.1 Quy hoạch tuyến tính tổng quát

Tổng quát những bài toán quy hoạch tuyến tính cụ thể trên, một bài toán quy hoạch tuyến tính là một mô hình toán tìm cực tiểu (min) hoặc cực đại (max) của hàm mục tiêu tuyến tính với các ràng buộc là bất đẳng thức và đẳng thức tuyến tính Dạng tổng quát của một bài toán quy hoạch tuyến tính là:

9

Trong đó:

(I) Hàm mục tiêu: Là một tổ hợp tuyến tính của các biến số, biểu thị một đại lượng nào đó mà ta cần phải quan tâm của bài toán

(II) Các ràng buộc của bài toán: Là các phương trình hoặc bất phương trình tuyến tính n biến số, sinh ra từ điều kiện của bài toán

(III) Các các hạn chế về dấu của các biến số

Người ta cũng thường trình bày bài toán quy hoạch tuyến tính dưới dạng ma trận như sau:

Gọi ai (i=1→m) là dòng thứ i của ma trận A, ta có:

10

Người ta gọi :

A là ma trận hệ số các ràng buộc

c là vectơ chi phí (cT là chuyển vị của c)

b là vectơ giới hạn các ràng buộc

2.2 Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc

Bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong

đó các ràng buộc chỉ có dấu = và các biến số đều không âm

Người ta có thể biến đổi bài toán quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát thành bài toán quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc nhờ các quy tắc sau đây:

11

- Nếu gặp ràng buộc i có dạng ≤ thì người ta cộng thêm vào vế trái của ràng buộc một biến phụ xn+i ≥ 0 để được dấu =

- Nếu gặp ràng buộc i có dạng ≥ thì người ta trừ vào vế trái của ràng buộc một biến phụ xn+i ≥ 0 để được dấu =

Các biến phụ chỉ là những đại lượng giúp ta biến các ràng buộc dạng bất đẳng thức thành đẳng thức, nó phải không ảnh hưởng gì đến hàm mục tiêu nên không xuất hiện trong hàm mục tiêu

- Nếu biến xj ≤ 0 thì ta đặt xj = -x’j với x’j ≥ 0 rồi thay vào bài toán

- Nếu biến xj là tuỳ ý thì ta đặt

xj = x’j – x”j với x’j , x”j đều ≥ 0 rồi thay vào bài toán

- Trong trường hợp trong số các ràng buộc có dòng mà vế phải của dòng đó là giá trị âm thì đổi dấu cả hai vế để được vế phải là một giá trị không âm

Dựa vào các phép biến đổi trên mà người ta có thể nói rằng bài toán quy hoạch tuyến tính chính tắc là bài toán quy hoạch tuyến tính mà trong đó các ràng buộc chỉ

có dấu = , vế phải và các biến số đều không âm

II Giải bài toán số 7 chương 8 sách Quantitative Methods for Business, 12th ed

Investment Advisors, Inc., là một công ty môi giới quản lý danh mục đầu tư chứng khoán cho một số khách hàng Một danh mục đầu tư cụ thể bao gồm cổ phiếu của Dầu mỏ Hoa Kỳ và cổ phiếu của Thép Huber Lợi nhuận hàng năm của cổ phiếu của Dầu mỏ Hoa Kỳ là 3 USD/cổ phiếu và lợi nhuận hàng năm của Huber Steel is Huber Steel là 5 USD một cổ phiếu cổ phiếu Dầu mỏ Hoa kỳ được bán với giá 25 USD một cổ phiếu và Huber Steel được bán với giá $50 một cổ phiếu Danh mục đầu tư có 80.000 USD để đầu tư Chỉ số rủi ro danh mục đầu tư (0,50 trên mỗi cổ phiếu của US Oil và 0,25 trên mỗi cổ phiếu của Huber Steel) có tối đa là 700 Ngoài

ra, danh mục đầu tư được giới hạn tối đa 1000 cổ phiếu của US Oil

12

Gọi x,y lần lượt là số cổ phiếu của công ty dầu mỏ của Hoa kỳ và Huber Steel Điều kiện: x, y ≤ 0 Khi đó,

1.Mô hình hoá bài toán

Tối đa lợi nhuận có thể thu về hàng năm trên 2 cổ phiếu là: f(x)= 3x+5y

Nguồn vốn tối đa có thể sử dụng: 25x+50y ≤ 80000

Tối đa chi phí rủi ro trên 2 cổ phiếu: 0.5x+0.25y ≤ 700

Tối đa cổ phiếu có thể có được cho cổ phiếu của dầu mỏ Hoa Kỳ: x≤1000

Mô hình hoá lại bài toán

1 f(x)= 3x+5y→ Tối đa

2 25x+50y ≤ 8000

3 0.5x+0.25y ≤ 700

4 x≤1000

5 x, y ≤ 0

2 Thiết kế bài toán theo quy hoạch tuyến tính

Đối với phương trình(2) 25x+ 50y≤ 80000

Giả sử: 25x+50y=8000→ Có hai tập nghiệm (0, 160), (320, 0)

Đối với phương trình(3) 0.5x+0.25y ≤ 700

Giả sử 0.5x+0.25y = 700→ Có hai tập nghiệm(0, 2800), (0,1400)

Đối với phương trình(4) x≤1000

Giả sử x= 1000→ có nghiệm x= 1000

Đối với phương trình(1) 3x+5y

Giả sử 3x+5y= 0 → có nghiệm(0, 0), (5,-3)

Từ những tập nghiệm mới được nên trên ta có thể vẽ trên đồ thị hàm số

13

Từ đồ thị trên có thể thấy vùng nghiệm khả thi có 4 đỉnh lần lượt là (0, 1600), (800, 1200) và (1000, 800) cuối cùng là (1000, 0)

Từ đó tịnh tuyến phương trình đường thẳng (1) 3x+5y vào vùng nghiệm khả thi

để tìm nghiệm có thể tối đa lợi nhuận từ hai cổ phiếu → nghiệm tối ưu là x=800 và y= 1200

Từ nghiệm tối ưu có thể tìm được tối đa lợi nhuận có thể thu về hàng năm trên

2 cổ phiếu là: 3*800+1200*5= 8400 USD hàng năm

3 Sử dụng phần mềm và phân tích độ nhạy của bài toán và trả lời các

câu hỏi sau

a Giải pháp tối ưu là gì và giá trị của tổng lợi nhuận hàng năm là bao nhiêu?

b Những ràng buộc nào là ràng buộc? Bạn giải thích thế nào về những hạn chế này trong điều kiện của vấn đề?

c Giá bóng cho các ràng buộc là gì? Giải thích từng cái

d Liệu việc tăng số tiền đầu tư tối đa vào Dầu mỏ Hoa Kỳ có mang lại lợi ích không? Tại sao hay tại sao không?

14

Sử dụng công cụ solver trong phần mềm excel để giải bài toán

Theo dữ liệu về bài toán ở trên ta có thể thanh công cụ để giải bài toán như sau:

15

a Giải pháp tối ưu là gì và giá trị của tổng lợi nhuận hàng năm là bao nhiêu?

16

Từ hai bảng thống kê ở trên khi sử dụng phần mềm solver để giải có thể thấy

số cổ phiếu lớn nhất cho cổ phiếu hoa kỳ là 800 USD và số phiếu lớn nhất cho công

ty Huber Steel là 1200 USD Từ đó, có thể nhận ra rằng giá trị lợi nhuận lớn nhất

mà cổ phiếu Hoa Kỳ mang lại hàng năm là 2400 USD trong khi lợi nhuận lớn nhất

17

hàng năm của công ty Huber Steel là 6000 USD, và tông hai cổ phiếu mang lại cho nhà đầu tư là 8400 USD

b Những ràng buộc nào là ràng buộc? Bạn giải thích thế nào về những hạn chế này trong điều kiện của vấn đề?

Từ biểu đồ trên có thể thấy phường trình Nguồn vốn tối đa có thể sử dụng: 25x+50y ≤ 80000 và phương trình Tối đa chi phí rủi ro trên 2 cổ phiếu: 0.5x+0.25y

≤ 700 là ràng buộc Điều đó có nghĩa là công ty đã sử dụng hết tối đa công suất về nguồn vốn tối đa cũng như chi phí rủi ro Vì vậy nếu nhà đầu tư cho hai cổ phiếu này mà muốn tăng lợi nhuận hàng năm thì họ nên tăng công suất cho hai phương trình ràng buộc trên

c Giá bóng cho các ràng buộc là gì? Giải thích từng cái.

Ý nghĩa của giá bóng hay còn được gọi là giá mờ là nếu công suất của các điều kiện ràng buộc được tăng lên 1 thì nó sẽ tăng thêm lợi nhuận phụ thuộc vào từng giá

mờ của các ràng buộc Điều đó có nghĩa là nếu tổng nguồn vốn được tăng lên 1 sẽ

có giá trị là 80001 thì lợi nhuận hàng năm cho hai cổ phiếu sẽ tăng 0.093 USD và cũng như tăng tối đa chi phí rủi ro cho hai cổ phiếu lên 1 sẽ có giá trị 701 thù lợi nhuận hàng năm sẽ đạt được 1,33 USD và tổng khi tăng giá bóng là 1,423 USD

18

d Liệu việc tăng số tiền đầu tư tối đa vào Dầu mỏ Hoa Kỳ có mang lại lợi ích không? Tại sao hay tại sao không?

Sử dụng bảng thống kê ở trên có thể thấy Tối đa cổ phiếu có thể có được cho

cổ phiếu của dầu mỏ Hoa Kỳ là nhỏ hơn 1000 và đây không phải là điều kiện ràng buộc và bị dư thừa 200 Vì vậy nếu nhà đầu tư muốn tăng giá trị số cổ phiếu lớn hơn

1000 thì sẽ không thể mang lại lợi lợi ích lợi nhuận hàng năm cho nhà đầu tư điều này cũng được giải thích ở bảng trên khi giá bóng có giá trị là 0 Nếu nhà đầu tư muốn mang lợi lợi ích thì họ nên đầu tư về tổng nguồn vốn cũng như tăng chi phí rủi ro

III Tài liệu tham khảo

https://eco.nahrainuniv.edu.iq/wp-

content/uploads/2020/12/David_R._Anderson_Dennis_J._Sweeney_Thomas_A._Wb-ok.cc.pdf?fbclid=IwZXh0bgNhZW0CMTAAAR0XSyhGdAc1WSsVhmD4cIHyZKkCnq0VTrl9 TAQ0YIaiS1cLsgfqqcjqKTg_aem_AemNATNXqgh312Gnkqa8V2dwmL8MkMwwfGFDt0C16 6lNI8Nhbg1GgdX0RPeGfgGlmebNMpH1ZcyhLRzRPw4I-gFa

http://dulieu.tailieuhoctap.vn/books/giao-duc-dai-cuong/kinh-te-hoc/file_goc_782746.pdf