BÀI TOÁN VẬN TẢI
Lý thuyết
Giả sử có m điểm cung cấp hàng và n điểm tiêu thụ hàng Khả năng cung cấp tối đa của điểm cung cấp thứ cấp i (i=1, 2, , m) là si Nhu cầu tối thiểu của điểm tiêu thụ thứ j (j=1, 2, , n) là dj Giả sử rằng khả năng vận chuyển trên mọi tuyến đường nối liền các điểm cung cấp và điểm tiêu thụ là vô hạn và chi phí vận chuyển một đơn vị sản phẩm từ điểm cung cấp i đến điểm tiêu thụ j là cij Xác định kế hoạch vận chuyển hàng hóa sao cho chi phí vận chuyển là thấp nhất
Gọi xij (i=1, 2, , m; j=1, 2, , n) là lượng hàng vận chuyển từ điểm cung cấp i đến điểm tiêu thụ j Bài toán tối ưu được thiết lập như sau:
Hàm mục tiêu: Minimize chi phí Z 1 1 m n ij ij i j c x
+Lượng hàng vận chuyển từ một điểm cung cấp không thể vượt quá khả năng tối đa của nó:
+Lượng hàng vận chuyển đến một điểm tiêu thụ phải thỏa mãn nhu cầu tại điểm tiêu thụ đó:
+Ràng buộc về vùng giá trị của biến:
Bài toán trên có (m+n) ràng buộc chính, (m×n) biến quyết định và có thể biểu diễn tóm tắt như sau:
Xij ≥0 i=1, 2, ,m; j=1, 2, ,m Lưu ý: Điều kiện bài toán vận tải chỉ có vùng nghiệm khả dĩ khi tổng lượng cung cấp không nhỏ hơn tổng lượng cung yêu cầu:
1.1.2 Giải bài toán vận tải bằng phương pháp chi phí bé nhất
-Ô ứng với chi phí vận chuyển đơn vị nhỏ nhất trong bảng vận tải sẽ được ưu tiên đáp ứng tối đa
-Loại bỏ điểm nguồn đã hết khả năng hoặc điểm đích đã được cung cấp đủ cùng các ô liên quan và xác định lại ô có chi phí nhỏ nhất
-Thực hiện lặp lại hai bước trên cho đến khi toàn bộ nhu cầu đã được thỏa mãn
1.1.3 Tìm nghiệm tối ưu của bài toán vận tải
Bước 1: Tính toán chỉ số cải tiến Iij cho tất cả các ô rỗng (i,j) trong bảng vận tải Chỉ số này được tính như sau:
+Ứng với mỗi ô rống (i,j) nào đó, vẽ một đường đi kín nối ô này với các ô có gán giá trị trong bảng vận tải bằng các đoạn nằm ngang hoặc thẳng đứng
+Gán dấu cho các đỉnh của đường đi vẽ trong phần trên sao cho 2 đỉnh thuộc cùng một đoạn có dấu khác nhau, bắt đầu bằng dấu cộng cho ô rỗng nhận xét
+ Tính toán chỉ số cải tiến Iij cho ô đang xét Chỉ số này bằng tổng đại số chi phí vận chuyển của các ô liên quan đến đường đi tương ứng với dấu là dấu được gán trong b
Bước 2: Nếu chỉ sô Iij của mỗi ô rỗng đều có giá trị không âm, lời giải trên là tối ưu
Nếu tồn tại một số giá trị Iij âm, chọn ra ô có Iij nhỏ nhất và điều chỉnh lượng hàng vận chuyển trên các ô liên quan như sau:
+Xác định giá trị nhỏ nhất 𝑥 𝑖𝑗 𝑚𝑖𝑛 trong các ô được gán dấu trừ
+Lượng hàng vận chuyển trên các ô được gán dấu trừ sẽ trừ đi một lượng 𝑥 𝑖𝑗 𝑚𝑖𝑛 +Lượng hàng vận chuyển trên các ô được gán dấu cộng sẽ được cộng thêm một lượng 𝑥 𝑖𝑗 𝑚𝑖𝑛
Bước 3: Xác định lại bảng vận tải và quay trở lại bước 1.
Ứng dụng
Bài 3 trang 454, Chapter 10, Sách Quantitative Methods for Business, 12th ed
Công ty Cơ sở Hạ tầng Tri-County, Inc., cung cấp khí đốt tự nhiên cho khách hàng trong khu vực ba quận Công ty mua khí đốt tự nhiên từ hai công ty: Southern Gas và Northwest Gas Dự báo nhu cầu cho mùa đông sắp tới như sau: Quận Hamilton 400 đơn vị;
Quận Butler 200 đơn vị; và Quận Clermont 300 đơn vị; Hợp đồng cung cấp theo như sau:
Southern Gas cung cấp 500 đơn vị, và Northwest Gas, 400 đơn vị Chi phí phân phối cho các
4 quận thay đổi tùy theo vị trí của các nhà cung cấp Chi phí phân phối trên mỗi đơn vị (tính bằng nghìn đô la) như sau:
Từ/Đến Hamilton Butler Clermont
Northwest Gas 12 15 18 a Hãy phát triển một biểu đồ mạng lưới đại diện cho bài toán này b Phát triển một mô hình quy hoạch tuyến tính có thể được sử dụng để xác định kế hoạch nhằm giảm thiểu tổng chi phí phân phối c Mô tả kế hoạch phân phối và tính toán tổng chi phí phân phối d Sự tăng trưởng dân số và công nghiệp gần đây ở Quận Butler có khả năng tăng thêm nhu cầu lên đến 100 đơn vị Nhà cung cấp nào mà Công ty Tri-County nên ký hợp đồng để cung cấp thêm khả năng phân phối này?
1.2.2 Xây dựng mô hình và giải bài toán bằng phương pháp truyền thống
*Mô hình hóa bài toán i = 1, 2 với 1 = Southern Gas, 2 = Northwest Gas j = 1, 2, 3 với 1 = Hamilton, 2 = Butler, 3 = Clermont xij: Lượng hàng chuyên chở từ điểm nguồn i đến điểm đích j Hàm mục tiêu:
Giải bằng phương pháp chi phí bé nhất ta được lời giải ban đầu
Trước tiên ô (1,1) được xét do ô có chi phí thấp nhất, giá trị phân phối được gán cho ô này với bằng với nhu cầu của Hamilon là 400 Sau khi gán giá trị cho ô (1,1), khu vực Hamilton không còn nhu cầu nên ô (2,1) sẽ không được xem xét tiếp
6 Ô có chi phí thấp nhất kế tiếp là ô (1,3) và (2,2): giá trị cung cấp tối đa được gán cho
2 ô này là 100 và 200 nên ô (2,2) được ưu tiên gán giá trị 200 trước Sau khi gán, khu vực Butler đã được cung cấp đủ nhu cầu nên ô (1,2) sẽ bị loại bỏ trong bước tiếp theo
Trong 2 ô còn lại là (1,3) và (2,3), các giá trị của lượng hàng duy nhất có thể gán được là 100 và 200
Sau khi ta được bảng lời giải ban đầu, ta tiếp tục thực hiện bước cải thiện nghiệm ban đầu cho đến khi đạt được điều kiện tối ưu
Xét ô (1,2): đường đi ứng với ô (1,2) được trình bày như trong hình vẽ ở bảng :
Chỉ số cải tiến ứng với ô (1,2) là : I12 = +20 – 15 +18 -15 = 8 => Thỏa điều kiện tối ưu
Xét ô (2,1): đường đi ứng với ô (2,1) được trình bày như trong hình vẽ ở bảng :
7 I21 = +12 -10 +15 -18 = -1 => Chưa thỏa điều kiện tối ưu
Như vậy ô (2,1) là ô rỗng duy nhất mà tại đó điều kiện tối ưu bị vi phạm Việc cải tiến nghiệm được thực hiện như sau:
Ta có : 𝑥 21 𝑚𝑖𝑛 = 𝑚𝑖𝑛(400,200) = 200 Do vậy, các giá trị gán mới tại các ô là:
𝑥 21 = 0 + 200 = 200 Bảng vận tải sau điều chỉnh có dạng sau :
Kiểm tra chỉ số cải tiến tại ô (1,2) ta được 𝐼 12 = 7 => Thỏa điều kiện tối ưu
8 Tương tự tại ô (2,3) ta được 𝐼 23 = 1=> thỏa điều kiện tối ưu
Như vậy kết quả này là kết quả cuối cùng của bài toán
Số lượng Chi phí Southern Gas – Hamilto 200 2000 Southern Gas – Clermon 300 4500 Northwest Gas – Hamilto 200 2400 Northwest Gas – Butle 200 3000
Câu d) Để giải quyết bài toán này, ta tăng nhu cầu ở khu vực Butler thêm 100 và tăng nguồn cung của cả 2 nhà cung cấp Southern Gas và Northwest Gas thêm 100
Khi đó ta có bảng sau:
9 Giải tương tự câu c, ta có kết quả:
Số lượng Chi phí Southern Gas – Hamilto 300 3000 Southern Gas – Clermon 300 4500 Northwest Gas – Hamilto 100 1200 Northwest Gas – Butle 300 4500
1.2.3 Dùng phần mềm để giải toán
Dựa vào mô hình được xây dựng ở câu b, ta điền các thông tin của bài toán vào phần mềm Excel như sau:
10 Bước 1: Nhập dữ liệu bài toán
- Chi phí phân phối được điền vào các ô B4:D5
- Tổng cung ban đầu ở các ô E4:E5 và nhu cầu từng khu vực ở các ô B6:D8
Bước 2: Thiết lập mô hình và nhập vào phần mềm:
- Các biến quyết định có giá trị ban đầu là 0 ở các ô B10:D11 - Hàm mục tiêu: công thức =SUMPRODUCT(B4:D5,B10:D11) ở ô B17 để tính chi phí của giải pháp
- Các ràng buộc: Tổng lượng cung thực tế ở ô E10:E11 Tổng lượng cầu ở các ô B12:D12 o Với ô E10 = SUM(B10:D10) (Copy vào E11) o Với ô B12 = SUM(B10:B11) (Copy vào C12 và D12)
11 Bước 3: Dùng Solver để tìm kết quả tối ưu:
- By Changing Variable Cells: B10:D11 - Subject to the Constraints: o E10:E11
