Btl_Ppđl_Nhóm 24.Pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA

KHOA QUẢN LÝ CÔNG NGHIỆP

Nguyễn Ngọc Tú 2213850

LỜI NÓI ĐẦU

Trong môi trường kinh doanh cạnh tranh ngày nay, việc ra quyết định quản lý hiệu quả đóng vai trò then chốt cho sự thành công của doanh nghiệp Một trong những yếu tố quan trọng nhất ảnh hưởng đến hiệu quả hoạt động là cách thức doanh nghiệp sử dụng các nguồn lực hạn chế của mình Nguồn lực này bao gồm máy móc, nhân công, vốn, thời gian, kho bãi và nguyên vật liệu Việc sử dụng hiệu quả các nguồn lực này sẽ giúp doanh nghiệp giảm chi phí, tăng năng suất và lợi nhuận, đồng thời nâng cao khả năng cạnh tranh trên thị trường Lập trình tuyến tính (Linear Programming) cung cấp một phương pháp khoa học để xác định cách thức phân bổ nguồn lực một cách hiệu quả nhất nhằm đạt được mục tiêu cụ thể của doanh nghiệp Mục tiêu này có thể là tối đa hóa lợi nhuận, tối thiểu hóa chi phí, hoặc đạt được sản lượng cao nhất với nguồn lực hạn chế LP hoạt động bằng cách mô hình hóa các mối quan hệ toán học giữa các biến quyết định (cách thức phân bổ nguồn lực) và các ràng buộc (hạn chế về nguồn lực và các yêu cầu khác) Sau đó, sử dụng các kỹ thuật toán học để tìm ra giải pháp tối ưu cho mô hình, tức là cách thức phân bổ nguồn lực thỏa mãn tất cả các ràng buộc và đạt được mục tiêu đề ra một cách hiệu quả nhất.

Bài tập lớn về “Bài toán mô hình lập trình tuyến tính trong phân bổ nguồn lực” đã giúp cho chúng tôi được tiếp cận thêm về các công thức để có thể giải quyết được

bài toán tuyến tính bằng tay và trên máy tính Bài báo cáo này sẽ tập trung vào việc trình bày vai trò của lập trình tuyến tính trong việc hỗ trợ ra quyết định tối ưu trong quản trị Chúng ta sẽ thảo luận về các khái niệm cơ bản của LP, quy trình giải quyết bài toán LP, và các bài toán ứng dụng của LP trong thực tế.

Trong đó, z và rj là biểu thức tuyến tính đối với x1, x2, …, xn

+ Một số bài toán điển hình:

Một nhà máy sản xuất 2 loại lều: thường và chuyên dụng mỗi tuần với số liệu sau:

Thường Chuyên dụng

Mỗi tuần nhà phân phối không thể bán hơn 12 lều loại chuyên dụng Số lượng lều mỗi loại cần sản xuất mỗi tuần là bao nhiêu?

Giá bán hay Lợi nhuận/ đơn vị c1 cj cn

Gọi xj là lượng sản phẩm j cần sản xuất, aij là lượng nguyên liệu i cần để sản xuất 1 đơn vị sản phẩm j λ

Max Z =

𝑗=1 𝑛

∑ 𝑐

𝑗

Ràng buộc:

, , n

𝑗=1 𝑛

𝑖𝑗𝑥𝑗≤ 𝑏

𝑖 ∀𝑖 = 1, 2, , 𝑚 ; 𝑥

𝑗≥ 0 ∀𝑗 = 1, 2, ,

Một người làm vườn muốn tạo một hỗn hợp phân bón từ 2 loại sản phẩm Giá mua đơn vị, lượng dưỡng chất trong mỗi đơn vị cho như sau:

Sản phẩm 1 Sản phẩm 2

Số đơn vị sp 1 và sp 2 cần mua là bao nhiêu?

Chi phí mua/ đơn vị c1 cj cn

Gọi xj là lượng sản phẩm j cần dùng, aij là lượng dưỡng chất i có trong 1 đơn vị sản phẩm j.

Min Z=

𝑗=1 𝑛

∑ 𝑐

𝑗

Ràng buộc:

Có 2 trạm phân phối chất đốt A và B cung cấp hàng cho 3 đại lý 1, 2 và 3 Tổng cung, tổng cầu và chi phí vận chuyển/mỗi đơn vị chất đốt cho như sau:

Gọi xij là lượng hàng vận chuyển từ i đến j cij là chi phí vận chuyển một đơn vị hàng từ i đến j.

Điểm cung cấp Điểm tiêu thụ Khả năng cung cấp tối đa1 j n

- Phương pháp giải bài toán quan hệ tuyến tính:+ Dạng bài toán:

Ràng buộc:

Trong đó bi ≥ 0

Ràng buộc:

xj ≥ 0, ∀j=1,2, ,n

+ Phương pháp đồ thị (cho bài toán có 2 biến):

● Bước 1: Biểu diễn các ràng buộc trên mặt phẳng tọa độ và xác định vùng khả dĩ λ

● Bước 2: Vẽ 1 đường thẳng có phương trùng với hàm mục tiêu Z Di chuyển tịnh tiến

đường thẳng này sao cho giá trị Z được cải thiện Xác định giao điểm của đường thẳng với biên của vùng khả dĩ, đó là nghiệm tối ưu

▪ Ràng buộc tích cực/trói buộc (Binding constraint) ♣

▪ Ràng buộc không trói buộc ♣

▪ Nghiệm bài toán (nếu có) luôn là một điểm cực biên (đỉnh) của vùng khả dĩ.

● Dựa vào thuật toán

● Khả năng tính nhanh (hàng triệu phép thử/giây)

Phân tích độ nhạy: là phân tích sự thay đổi của nghiệm tối ưu khi một thông tin nào đó

của bài toán quan hệ tuyến tính ban đầu thay đổi.1 Thay đổi thông số của vế phải ràng buộc, bi 2 Thay đổi hệ số trong hàm mục tiêu.

3 Thay đổi hệ số trong ma trận ràng buộc.4 Thêm vào một biến quyết định mới.

5 Thêm vào một ràng buộc mới.

Phân tích độ nhạy có thể thực hiện bằng tay thông qua các biến đổi và phép toán ma trận dựa trên bảng đơn hình cuối cùng của bài toán quan hệ tuyến tính Phân tích độ nhạy có thể thực hiện nhanh hơn bằng các phần mềm hỗ trợ.

PHẦN II CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNGBài 7.14

Công ty Electrocomp sản xuất hai sản phẩm điện: máy điều hòa không khí và quạt lớn Quy trình lắp ráp cho mỗi sản phẩm tương tự nhau trong việc cả hai đều yêu cầu một lượng dây và khoan nhất định Mỗi máy điều hòa cần 3 giờ lắp dây và 2 giờ khoan Mỗi quạt phải trải qua 2 giờ lắp dây và 1 giờ khoan Trong giai đoạn sản xuất tiếp theo, có sẵn 240 giờ để lắp dây và có thể sử dụng tối đa 140 giờ để khoan Mỗi máy điều hòa được bán sẽ mang lại lợi nhuận là $25 Mỗi quạt được lắp ráp có thể được bán với lợi nhuận là $15 Xây dựng và giải quyết vấn đề kết hợp sản xuất LP này để tìm ra sự kết hợp tốt nhất giữa máy điều hòa và quạt mang lại lợi nhuận cao nhất Sử dụng phương pháp đồ thị điểm góc.

BÀI LÀMMô hình hóa bài toán

Gọi x1 là số máy điều hòa không khíGọi x2 là số quạt lớn

Hàm mục lợi nhuận Z= 25*x1 + 15*x2 → maxRàng buộc hàm:

+ Giờ lắp dây: 3*x1 + 2*x2 ≤ 240 (d1)+ Giờ khoan: 2*x2 + x2 ≤ 140 (d2)Ràng buộc biến x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0

Giả sử Z = 0 ta có tọa độ (0;0) (60; -100)Giờ lắp dây có tọa độ (0;120), (80;0)Giờ khoan có tọa độ ( 0; 140), (70;0)

→ Zmax = 25*x1 + 15*x2 = 25*40 + 15*60 = 1900 ($)BÀI LÀM (EXCEL)

Hình 7.14.2

Bài 7.17

Công ty Outdoor Furniture Corporation sản xuất hai sản phẩm là băng ghế và bàn ăn dã ngoại, được sử dụng trong sân vườn và công viên Công ty có hai nguồn lực chính: thợ mộc (lực lượng lao động) và nguồn gỗ tuyết tùng để sử dụng trong sản xuất đồ nội thất Trong chu kỳ sản xuất tiếp theo, có sẵn 1,200 giờ lao động theo hiệp định lao động Công ty cũng có một lượng 3,500 feet gỗ tuyết tùng chất lượng tốt Mỗi băng ghế mà Outdoor Furniture sản xuất đòi hỏi 4 giờ lao động và 10 feet gỗ tuyết tùng; mỗi bàn ăn dã ngoại mất 6 giờ lao động và 35 feet gỗ tuyết tùng Mỗi băng ghế hoàn thành sẽ mang lại lợi nhuận là $9, và mỗi bàn ăn sẽ mang lại lợi nhuận là $20 Outdoor Furniture cần sản xuất bao nhiêu băng ghế và bàn ăn để đạt được lợi nhuận lớn nhất có thể? Sử dụng phương pháp LP đồ thị.

BÀI LÀM

Đặt x = số băng ghế

Đặt y = số bàn ăn dã ngoạiRàng buộc nghiệm : x ≥ 0

y ≥ 0

Mục tiêu là tối đa hóa lợi nhuận bán được Theo đề bài mỗi băng ghế hoàn thành sẽ mang lại lợi nhuận là $9 và mỗi bàn ăn sẽ mang lại lợi nhuận là $20 Vậy hàm mục tiêu là : Max Z = 9x + 20y

Giả sử Z = 0 ta có tọa độ (0;0) và (-20;9) Ràng buộc về lao động:

4x + 6y ≤ 1200

⇔ 4x ≤ 1200 - 6y⇔ x ≤ 300 - 1.5yCho y=0 → x = 300x=0 → y= 200→ (0;200) ; (300;0)Ràng buộc về nguyên liệu35y + 10x ≤ 3500

10x ≤ 3500 - 35yx ≤ 350 - 3.5yCho x=0 → y= 100 y=0 → x=350→ (0;100) ; (350;0)

Đồ thị sẽ trông như thế này

Hình 7.17.1

Khu vực khả dĩ nằm ở hoặc dưới hai đồ thị, tùy thuộc vào đồ thị nào thấp hơn.

Các điểm cực biên bao gồm (300;0 ); (0;0); (0;100) và điểm (25;262) là điểm cắt nhau của 2 đường thẳng 4x+6y = 1200 và 35y + 10x = 3500 ( giải hệ phương trình ) Thay các điểm cực biên vào hàm mục tiêu ta thấy

9x + 20y max nếu y = 262 và x = 25

Vậy nếu sản xuất 25 bàn và 262 ghế sẽ mang lại lợi nhuận cao nhất.

Từ đó giải ra ta được phương án tối ưu là x1 = 40, x2 = 60 hay gọi là điểm C(40;60)

Gọi tiếp c1 = 25, c2 = 15

Nếu c1 hoặc c2 hoặc cả c1 và c2 thay đổi tức hệ số hàm mục tiêu thay đổi thì làm sao để điểm C luôn là phương án tối ưu của bài toán?

Từ đồ thị ở Hình 7.14.1, ta tịnh tiến đường mục tiêu Z lên phía góc trên bên phải

sao cho cắt tại điểm C là điểm có nghiệm tối ưu Vậy, đường mục tiêu Z sẽ được giới hạn giữa hai đường d1 và d2 vì nếu đường Z cắt tại điểm C(40;60) nhưng nằm ngoài vùng giới

hạn thì sẽ xuất hiện điểm có nghiệm tối ưu khác điểm C và điểm C không còn là điểm tiếp xúc cuối cùng.

Vậy để phương án tối ưu không đổi ( luôn tại C ) thì đường mục tiêu Z đạt cực đại, phải đi qua điểm C và được giới hạn bởi 2 đường d1 và d2.

Đường mục tiêu: 𝑐1 * 𝑥1 + 𝑐2 * 𝑥2 = ∝ → 𝑥2 =− 𝑐1𝑐2 * 𝑥1 + 𝑐2∝Đường thẳng d1: 3𝑥1 + 2𝑥2 = 240 → 𝑥2 = − 1, 5𝑥1 + 120Đường thẳng d2: 2𝑥1 + 𝑥2 = 140 → 𝑥2 = − 2𝑥1 + 70Từ nhận xét: − 2 ≤ − 𝑐1𝑐2 ≤ − 1, 5 → 1, 5 ≤ 𝑐1𝑐2 ≤2

Vì c1 không đổi và c2 ∈ [ 252 ; 503 ] thì phương án tối ưu của bài toán sẽ luôn tại C.

Vì c2 không đổi và c1∈ [ 452 ; 30 ] thì phương án tối ưu của bài toán sẽ luôn tại C.

Từ đó giải ra ta được phương án tối ưu là x = 262, y = 25 hay gọi là điểm C(262;25).

Gọi SPi là sự thay đổi hàm mục tiêu khi có sự thay đổi 1 đơn vị tại hệ số bi = b1 SP1

Từ bảng trên, ta có nhận xét như sau:

● Nếu tăng mức lao động (b1) lên 1400 ( tăng 200) hoặc giảm xuống còn 600 (giảm 600) thì giá trị SP1 vẫn có ý nghĩa.

● Nếu giữ nguyên nguyên liệu (b2) ở mức 3500 hoặc giảm xuống còn 3000 (giảm 500) thì giá trị SP2 vẫn có ý nghĩa.

KẾT LUẬN

Qua nghiên cứu về mô hình lập trình tuyến tính, chúng tôi đã khám phá và chứng minh được tầm quan trọng cũng như hiệu quả của việc sử dụng công cụ này trong việc lập kế hoạch, ra quyết định và phân bổ nguồn lực tài nguyên Việc áp dụng LP mang lại nhiều lợi ích cho doanh nghiệp, bao gồm tăng lợi nhuận, giảm chi phí, nâng cao năng suất, giảm thiểu rủi ro và cải thiện khả năng cạnh tranh Tuy nhiên nó cũng có một số hạn chế nhất định Do tính chất phức tạp, việc xây dựng mô hình và giải quyết bài toán LP có thể tốn nhiều thời gian và công sức Ngoài ra, kết quả của LP phụ thuộc vào tính chính xác của dữ liệu đầu vào, do đó, việc thu thập và xử lý dữ liệu một cách chính xác là rất quan trọng.

Mô hình Linear Programming mang lại nhiều ưu điểm trong việc giải quyết các bài toán tối ưu Đầu tiên, nó cung cấp một cách tiếp cận toán học cho các bài toán phức tạp, giúp chúng ta tối ưu hóa các tài nguyên một cách hiệu quả Thứ hai, LP là một công cụ linh hoạt, có thể áp dụng cho nhiều lĩnh vực khác nhau từ quản lý sản xuất đến lập kế hoạch và quản lý tài chính Cuối cùng, việc sử dụng công cụ này giúp chúng ta tiết kiệm thời gian và tài nguyên so với các phương pháp giải quyết bài toán tối ưu truyền thống.

Nhìn chung, LP là một công cụ hữu ích cho các nhà quản lý trong việc ra quyết định sáng suốt và hiệu quả hơn Với sự phát triển của công nghệ và phần mềm có thể giải quyết được các bài toán phức tạp, LP ngày càng được ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực quản trị khác nhau, góp phần nâng cao hiệu quả hoạt động và thành công cho doanh nghiệp.