bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng

Kết quả chính của bài báo này là thiết lập được nghiệm chỉnh hóacho bài toán theo dữ liệu quan sát bằng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier.Dưới một số giả định, chúng tôi khảo sát sự tồn

Lý do lựa chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực nghiên cứu rất sôi động của giải tích toán học, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trong nước và quốc tế Sở dĩ điều này là do các phương trình đạo hàm riêng thường mô phỏng được các hiện tượng trong tự nhiên cũng như trong khoa học kỹ thuật như vật lý, sinh học, môi trường, công nghệ, .

Các vấn đề liên quan đến tính chỉnh, tính không chỉnh của phương trình đạo hàm riêng là một hướng nghiên cứu quan trọng có nhiều tiềm năng để phát triển cũng như có nhiều thử thách Các bài toán về phương trình đạo hàm riêng đặt ra có thể được chia thành hai dạng là bài toán thuận và bài toán ngược Các bài toán thuận đã được nghiên cứu từ rất lâu với nhiều kết quả phong phú, trong khi đó các bài toán ngược chỉ mới được quan tâm nghiên cứu nhiều từ thập niên 60–70 của thế kỷ XX với các công trình tiêu biểu của Robert Lattès, Jacques-Louis Lions [1], Ralph Edwin Showalter [2] Hơn nữa, các bài toán ngược hầu hết có tính không chỉnh (theo nghĩa Hadamard).

Sau một thời gian theo học, nghiên cứu dưới sự chỉ dẫn và thảo luận cùng nhóm nghiên cứu của PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn, năm 2018 chúng tôi bắt đầu có được những kết quả mới về bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng. Các bài toán đã tìm hiểu thuộc dạng bài toán ngược và không chỉnh.

Bên cạnh đó, đã có nhiều luận án tiến sĩ về chủ đề bài toán ngược, không chỉnh như luận án tiến sĩ của Nguyễn Huy Tuấn, Bùi Thanh Duy, Lê Minh Triết, Nhờ đó, tôi có thêm động lực và cảm hứng yêu thích chủ đề này.

Với sự định hướng nghiên cứu của Thầy hướng dẫn, sự đam mê tìm hiểu cũng như những kết quả khả quan bước đầu đạt được đã thúc đẩy tôi đi theo hướng nghiên cứu này, và lựa chọn đề tài “Bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng” để làm luận án của mình.

Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là xây dựng nghiệm chỉnh hóa của một số bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng cụ thể, đồng thời đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa đã thiết lập với nghiệm chính xác của bài toán,minh họa một vài kết quả mô phỏng số tương ứng.

Các phương pháp nghiên cứu

Phương pháp tra cứu và kế thừa kết quả:Chúng tôi thu thập, phân tích, xử lý các kết quả đã có về các nghiên cứu liên quan đến đề tài Từ đó chọn lọc các nội dung cũng như các kết quả có giá trị giúp định hướng xây dựng các kết quả nghiên cứu.

Phương pháp phân loại và tổng hợp lý thuyết:Từ các kết quả nghiên cứu trước đó của những công trình liên quan đến đề tài, chúng tôi thực hiện hệ thống hoá lý thuyết và đưa ra các giả thuyết dự đoán về nghiệm cho các bài toán được nghiên cứu trong đề tài Phát triển các phương pháp mới trong việc chỉnh hóa nghiệm.

Ý nghĩa khoa học hoặc thực tiễn của đề tài

Trước hết, việc thực hiện đề tài luận án giúp nâng cao năng lực nghiên cứu,công bố khoa học của người học cũng như nâng cao năng lực hướng dẫn khoa học của giảng viên hướng dẫn Đồng thời các sản phẩm công bố từ đề tài đóng góp vào thành tích công bố và khẳng định uy tín khoa học của cơ sở đào tạo.

Các kết quả công bố của đề tài sẽ tiếp tục được trình bày, thảo luận trong nhóm seminar để các thành viên học hỏi, tiếp cận thêm các công cụ mới Từ đó, kết quả đề tài có thể gợi mở và làm nảy sinh một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu.

Ngoài ra, việc thực hiện đề tài luận án cũng đã đóng góp vào việc triển khai nội hàm gắn kết hoạt động đào tạo với hoạt động nghiên cứu khoa học, hoạt động nghiên cứu khoa học góp phần nâng cao chất lượng đào tạo của Nhà trường.

Trong giải tích toán học thì hướng nghiên cứu về phương trình đạo hàm riêng là một trong những hướng rất sôi động và thu hút được nhiều nhà toán học trong nước và quốc tế quan tâm Lý do chính của việc này là vì các phương trình đạo hàm riêng thường mô phỏng các hiện tượng trong tự nhiên cũng như trong khoa học kỹ thuật - công nghệ như vật lý, sinh học, môi trường, xử lý ảnh,

Có rất nhiều chủ đề khác nhau về phương trình đạo hàm riêng, và trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến các bài toán ngược cho phương trình đạo hàm riêng. Bài toán ngược là các loại bài toán mà khi các dữ kiện của quá trình tự nhiên không đo đạc được trực tiếp mà ta phải xác định chúng từ những dữ kiện đo đạc gián tiếp. Chúng tôi tìm hiểu hai loại bài toán ngược: bài toán ngược thời gian (backward in time problem) và bài toán xác định hàm nguồn (inverse source problem) Bài toán ngược thời gian là bài toán tìm phân bố tại thời điểm ban đầu khi quan sát các dữ liệu tại thời điểm cuối Chẳng hạn như, chúng ta cần khôi phục lại một tấm hình trong quá khứ khi ở thời điểm hiện tại tấm hình này đã bị mờ Từ bài báo [3] ta biết rằng các quá trình khuếch tán thuận rất phù hợp để mô tả làm mịn một tín hiệu hoặc hình ảnh nhất định Quá trình làm mờ này có nghĩa là làm mất đi các tần số hoặc chi tiết cao trong dữ liệu ảnh ban đầu Những ứng dụng chi tiết của quá trình khôi phục ảnh và xử lý mờ có thể được tìm thấy trong công trình [3] Trong các vụ hỏa hoạn, chúng ta không thể nào đo được nhiệt độ tại thời điểm bắt đầu cháy hoặc nhiệt độ trong lúc đang cháy mà ta chỉ xác định được nhiệt độ tại thời điểm sau đó Từ các dữ liệu tại thời điểm sau đó, ta cần phải khôi phục lại dữ liệu tại thời điểm ban đầu. Để tìm hiểu về tính chất nghiệm của bài toán ngược, ta nhắc lại về tính chỉnh và không chỉnh của một phương trình đạo hàm riêng Theo định nghĩa của Hadamard thì một bài toán đạo hàm riêng gọi làchỉnh(well-posed) nếu nó thỏa mãn cả 3 tính chất i) Bài toán có nghiệm; ii) Bài toán có nghiệm duy nhất; iii) Bài toán có nghiệm và nghiệm ổn định theo các dữ liệu đầu vào.

Nếu bài toán không thỏa một trong ba tính chất trên thì bài toán gọi làkhông chỉnh

(ill-posed hay non well-posed).

Nhìn chung, các bài toán thuận thường là chỉnh theo nghĩa Hadamard, trong khi đa số các bài toán ngược thì thường là không chỉnh Tính không chỉnh của các bài toán ngược thường xảy ra khi nghiệm của bài toán không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu cho trước Trong quá trình mô phỏng hay quan sát thực tế, thì dữ liệu thu được từ các quá trình đo đạc luôn có một sai số nhất định Sai số nhỏ của dữ liệu đầu vào sẽ dẫn đến sai lệch rất lớn của dữ liệu đầu ra Do đó, nếu bài toán ngược mà không chỉnh thì việc tính toán số liệu đầu ra có thể mang lại những kết quả không đáng tin cậy Vì thế, ta cần phải có các phương pháp “chỉnh hóa” để giải quyết vấn đề này Theo sự hiểu biết của chúng tôi thì phương pháp Tikhonov là một trong những phương pháp được sử dụng phổ biến nhất cho các bài toán ngược tuyến tính Các phương pháp chỉnh hóa khác cho bài toán tuyến tính không thuần nhất hay bài toán phi tuyến có thể kể ra như phương pháp chặt cụt chuỗi

Fourier, phương pháp tựa giá trị biên, phương pháp tựa đảo, .

Sau đây, chúng ta đưa ra hình ảnh để minh họa tính không chỉnh của bài toán.

Cho toán tửK : X → Y và g ∈ Y Xét bài toán tìm u ∈ X thỏa Ku = g Đối với bài toán này, g ∈ Yđược gọi là dữ liệu đầu vào, và u ∈ X được gọi là nghiệm.

Ta gọig˜ là dữ liệu nhiễu củag Bài toán không chỉnh do vi phạm điều kiện iii), tức là nếu với giả định dữ liệu đầu vào bị nhiễu với ∥g−g˜∥ rất nhỏ, tuy nhiên giữa nghiệmu g với nghiệm có dữ liệu nhiễuu g ˜ khác biệt rất lớn. x

(a) Nghiệm u g của bài toán với dữ liệu đầu vào g x

(b) Nghiệm u g ˜ của bài toán với dữ liệu đầu vào g ˜

Hình 2.1: Hình ảnh minh họa tính không chỉnh của bài toán

Một số phương pháp chỉnh hóa

Phương pháp tựa đảo (Quasi-Reversibility)

Năm 1967, Robert Lattès và Jacques-Louis Lions [1], đưa raphương pháp tựa đảo

(Quasi-Reversibility) để chỉnh hóa bài toán (2.1) Các tác giả đã xấp xỉ Abởi toán tử

A ε = A− ε A 2 , dẫn đến bài toán chỉnh sau

Bậc ổn định của phương pháp này là e c ε

Năm 1974, Ralph Edwin Showalter [2] cũng dùng phương pháp tựa đảo với

A ε = A(I+ ε A) − 1 , ε >0, để đưa ra bài toán xấp xỉ sau

Phương pháp tựa giá trị biên (Quasi Boundary Value)

Năm 1983, Ralph Edwin Showalter [4] đã đưa ra phương pháp chỉnh hóa gọi là phương pháp tựa giá trị biên (Quasi Boundary Value) để chỉnh hóa bài toán thuần nhất Ý tưởng của phương pháp tựa giá trị biên là làm nhiễu giá trị biên thời gian u(T) +εu(0) = g.

Phương pháp này còn được gọi làphương pháp bài toán biên giá trị không địa phương.

Phương pháp này đã được khảo sát kĩ trong bài báo được công bố vào năm 1994 của Gordon Wayne Clark và Seth Fredric Oppenheimer [5].

Mohamed Denche và Khaled Bessila [6] đã đưa ra phương pháp tựa biên kiểu khác Họ đã thay thếu(T)bởi u(T)−εu t (0) = g.

Phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier

Nghiệm của bài toán (2.1) có thể được biểu diễn dạng chuỗi Fourier u(x,t) ∑ ∞ n = 1 e ( T − t ) λ n g n e n (2.4) Ở đây, g n là hệ số Fourier của g trong khai triển Fourier Chúng ta quan sát rằng, thành phần e ( T − t ) λ n tiến ra vô cùng khi n tiến ra vô cùng và 0 < t < T Do đó, để chỉnh hóa bài toán này, chúng ta chỉ xét nghiệm (2.5) với n ≤ M ε , tức là loại bỏ những thông tin về nghiệm ở “tần số cao” Ở đâyM ε thỏa mãn điều kiệnM ε → +∞ khiε → 0 Nhờ vậy, chúng ta đưa ra nghiệm chỉnh hóa có dạng chặt cụt như sau u ε (x,t) M ε n ∑ = 1 e ( T − t ) λ n g n e n (2.5)

Trong [7], Nguyễn Huy Tuấn đã dùngphương pháp chặt cụt chuỗi Fourierđể chỉnh hóa bài toán phi tuyến Phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier cũng được áp dụng thành công cho các bài toán phi tuyến dạng khác, chẳng hạn [8].

Phương pháp chỉnh hóa Tikhonov

Trong tiểu mục này, chúng tôi trình bày sơ lược và khái quát nhất phương pháp Tikhonov Các kết quả thể hiện ở dưới đây, được chúng tôi tham khảo chính trong cuốn sách của Andreas Kirsch [9]. Định lý 2.1.1 ChoX vàY là các không gian Hilbert,K : X → Ylà toán tử tuyến tính bị chặn Choy ∈ Y Khi đó, tồn tại x ∈ X sao cho

∥Kx−y∥ ≤ ∥Kx−y∥,∀x∈ X, (2.6) khi và chỉ khi xthỏa

K ∗ Kx = K ∗ y, (2.7) với K ∗ :Y → X là toán tử liên hợp của K.

Nhận xét:Xét bài toán: Tìm x ∈ Xsao cho

• Nếu (2.8) không có nghiệmx ∈ Xthì việc tìmmin x ∈ X ∥Kx−y∥chưa chắc tồn tại. Định nghĩa 2.1.1 x = argmin∥Kx−y∥nếux ∈ Xthỏa

Như vậy,x = argmin∥Kx−y∥khi và chỉ khi xthỏaK ∗ Kx = K ∗ y.

Xét bài toán: Tìm x α = argmin x ∈ X J α (x), với

J α (x) = ∥Kx−y∥+ α ∥x∥,α > 0. Định lý 2.1.2 ChoK : X →Y tuyến tính, liên tục, compact Khi đó, với mọiα >0, hàm

J α luôn có cực tiểux α ∈ X với x α thỏa αx α +K ∗ Kx α = K ∗ y.

Ta nói x α lànghiệm chỉnh hóa Tikhonov.

Các bước để chỉnh hóa bài toán ngược

Để chỉnh hóa bài toán ngược, chúng ta cần thực hiện các bước sau

• Xây dựng và thiết lập nghiệm chỉnh hóa cho bài toán ngược và chứng minh đây là bài toán chỉnh.

• Đánh giá tốc độ hội tụ và sai số giữa nghiệm chỉnh hóa với nghiệm chính xác.

Ứng dụng của bài toán ngược thời gian và vấn đề chỉnh hóa trong xử lý ảnh

Bài toán ngược thời gian trong xử lý ảnh là một hướng nghiên cứu mới mẻ và thú vị, có nhiều ứng dụng thực tế và tiềm năng Bài toán này đặt ra câu hỏi: liệu có thể khôi phục lại trạng thái trước đó của một đối tượng dựa trên những thông tin hiện tại trong ảnh hay không? Ví dụ, có thể xác định được nguyên nhân gây ra vết nứt trên bức tường, hay quay ngược lại quá trình phân hủy của một quả táo, hay tái hiện lại hình ảnh ban đầu của một bức tranh bị hư hại.

Gần đây, việc ứng dụng các mô hình toán học để giải quyết các vấn đề thực tiễn này đang thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu Một trong những mô hình đó là bài toán đặt ra trong xử lý ảnh Đầu tiên, để hiểu thế nào là một bài toán không chỉnh, chúng ta nhớ lại khái niệm bài toán chỉnh, được đưa ra bởi nhà toán học tên là Jacques Salomon Hadamard (một nhà toán học nổi tiếng người Pháp sống từ năm 1865 đến 1963 và có những đóng góp đáng kể cho nhiều lĩnh vực toán học khác nhau, như phương trình đạo hàm riêng, lý thuyết số, hình học vi phân và giải tích phức) Ông đã nêu câu hỏi về những vấn đề chưa được đặt ra trong cuốn sách [10] của mình Theo định nghĩa của bài toán không chỉnh được nhà toán học Hadamard đưa ra, đó là những bài toán không thỏa mãn các điều kiện của bài toán chỉnh, cụ thể là: Tính tồn tại, tính duy nhất và tính ổn định của nghiệm Những vấn đề này phát sinh khi dữ liệu đầu vào không đủ hoặc bị nhiễu, dẫn đến nhiều sai số ở nghiệm đầu ra Hầu hết các bài toán ngược thời gian đều là bài toán không chỉnh, phổ biến trong nhiều ứng dụng như chụp ảnh y tế, thiên văn học, chụp ảnh địa chấn, kiểm tra không phá hủy và xử lý tín hiệu [11, 12] Các vấn đề đặt ra trong thị giác máy tính và hình ảnh được mô tả bằng phương trình tuyến tính, được nhấn mạnh trong các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật ứng dụng khác nhau như vật lý plasma, vật lý hạt nhân, địa vật lý và vật lý phóng xạ [13]. Để giải quyết bài toán này, các nhà nghiên cứu đã đề xuất nhiều phương pháp khác nhau, sử dụng các kỹ thuật xử lý ảnh cơ bản như lọc, biến đổi, phân đoạn, nhận dạng, cũng như các kỹ thuật tiên tiến hơn như học sâu, học tăng cường, trí tuệ nhân tạo.

Chỉnh hóa bài toán không chỉnh là một trong những kỹ thuật được sử dụng để giải quyết các vấn đề đặt ra trong xử lý ảnh Nó liên quan đến việc thêm các yếu tố ràng buộc để đưa bài toán về bài toán chỉnh theo nghĩa Hadamard Việc chỉnh hóa này có thể có được bằng cách thêm một số số hạng đặc biệt tùy vào phương pháp được sử dụng, điều này giúp kiểm soát tính ổn định của nghiệm bài toán.

Một số ví dụ về kỹ thuật để chỉnh hóa trong mô hình xử lý ảnh được sử dụng như sau

• Tăng cường dữ liệu, tạo ra hình ảnh mới từ những hình ảnh hiện có bằng cách áp dụng các phép biến đổi như xoay, chia tỷ lệ, cắt xén, đối lập, Điều này làm tăng tính đa dạng và kích thước của dữ liệu huấn luyện và giúp mô hình tìm hiểu các tính năng mạnh mẽ hơn [14].

• Khử nhiễu toàn bộ các yếu tố gây nhiễu, giúp giảm thiểu một hàm bao gồm phần tử độ chính xác của dữ liệu và phần tử biến thể tổng thể Độ chính xác của dữ liệu đo lường phù hợp với hình ảnh bị khử nhiễu, trong khi thuật ngữ biến thể tổng thể đo mức độ mượt mà hoặc không đổi từng phần của hình ảnh bị khử nhiễu Kỹ thuật này bảo tồn các cạnh và loại bỏ nhiễu trong ảnh [15].

• Chỉnh hóa Tikhonov (đã nêu ở mục 2.1.4), đây là một phương pháp thông dụng dùng để giải các bài toán đặt ra trong xử lý ảnh Các vấn đề đặt ra là những vấn đề không có giải pháp duy nhất hoặc giải pháp khó xử lý với những thay đổi nhỏ trong dữ liệu đầu vào Chỉnh hóa Tikhonov là một kỹ thuật xét hàm mục tiêu để kiểm soát ảnh hưởng của nhiễu lên nghiệm [16]. Để hiểu rõ hơn về tính ứng dụng trong khôi phục ảnh, ta xét một ví dụ cụ thể về việc khôi phục lại ảnh bị nhiễu bằng mô hình nhiễu Gaussian và phương pháp được sử dụng là biến đổi Fourier rời rạc (discrete Fourier transform - DFT) như sau.

- Ví dụ đầu tiên chúng tôi sử dụng dữ liệu đầu vào là hình ảnh logo của Trường Đại học Thủ Dầu Một (nguồn ảnh: https://tdmu.edu.vn) trong Hình 2.2 (a), kết quả khôi phục lại ảnh được thể hiện trong Hình 2.3.

- Ví dụ thứ hai chúng tôi sử dụng dữ liệu đầu vào là hình ảnh logo của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG HCM (nguồn ảnh: https://www.hcmus.edu. vn) trong Hình 2.2 (b), kết quả khôi phục lại ảnh được thể hiện trong Hình 2.4. Để chuyển đổi những hình ảnh này thành dữ liệu được đọc trong phần mềmPython, chúng tôi chia nó thành kích thước 400x256 pixel cho mỗi hình ảnh.

(a) Logo Trường Đại học Thủ Dầu Một

(b) Logo Trường Đại học Khoa học Tự nhiên

Hình 2.2: Dữ liệu gốc của ảnh logo Trường Đại học Thủ Dầu Một và Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - ĐHQG HCM

Tình hình nghiên cứu

Bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình parabolic có chứa số hạng Kirchhoff

Một trong những lý do mà chúng tôi quan tâm đến phương trình, hệ phương trình parabolic có chứa số hạng Kirchhoff chính là vì ứng dụng của nó trong vật lý. Bài toán dạng Kirchhoff được giới thiệu đầu tiên vào năm 1883 bởi Gustav Kirch- hoff [17] Kirchhoff giới thiệu mô hình bằng phương trình đạo hàm riêng γu tt − p 0 β + E 2L

0 u 2 x u xx =0, t > 0, x ∈ (0,L); ở đây γ,p 0 ,β,E và L là các hằng số dương Thật ra, phương trình này được mở rộng từ phương trình sóng d’Alembert đề xuất năm 1747, kết quả công bố năm 1749,

∆u = f(x,u), x ∈ Ω u(x,t) = 0, x ∈ ∂Ω, trong đóΩ là miền bị chặn, tham khảo [18, 19].

Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu bài toán này đã được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm [20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27] Bài toán này có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khoa học [28, 29, 30], chẳng hạn như bài toán động học quần thể, lý thuyết trường, hiện tượng chuyển pha, vật liệu phân tầng, sóng nước, Đã có nhiều công trình liên quan đến bài toán phi địa phương kiểu Kirch- hoff, xem [31, 32, 33, 34, 35].

Bài toán giá trị cuối cho phương trình elliptic trong không

Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic là bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard và đã thu hút rất nhiều nhà toán học quan tâm với hàng trăm công trình, sử dụng nhiều phương pháp khác nhau.

Chúng tôi sẽ mô tả một số phương pháp chỉnh hoá cho phương trình elliptic đã được sử dụng Trong [8], các tác giả nghiên cứu phương trình Helmholtz trên miền không bị chặn R 2 bằng phương pháp chặt cụt Hongwu Zhang và Xiaoju Zhang [36] nghiên cứu phương trình elliptic nửa tuyến tính bằng phương pháp chỉnh hóa Lavrentiev tổng quát Các tác giả trong [37] áp dụng một phương pháp chỉnh hoá Tikhonov tổng quát để xấp xỉ bài toán Cauchy của một phương trình elliptic nửa tuyến tính Dưới giả thiết về ràng buộc trước của nghiệm cần tìm, các tác giả đã ước lượng được sai số hội tụ theo H ¨older cho phương pháp này.

Kết quả phi tuyến của bài toán này được nghiên cứu như sau

• Nguyễn Huy Tuấn và các cộng sự trong bài báo [38] đã chỉnh hóa bài toánCauchy phi tuyến Họ đã thu được sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác khi nghiệm chính xác thuộc không gian Gevrey.

• Nguyễn Huy Tuấn và các cộng sự trong bài báo [39] đã dùng phương pháp phương trình tích phân để chỉnh hóa bài toán Cauchy phi tuyến trong không gian Hilbert Ở đây, ưu điểm của bài báo này là điều kiện của nghiệm không cần thuộc không gian dạng Gevrey.

• Hongwu Zhang và Renhu Wang trong bài báo [40] đã dùng phương pháp điều chỉnh Tikhonov để chỉnh hóa bài toán Cauchy phi tuyến.

• Kết quả về hệ phương trình elliptic thì rất hạn chế Một trong những công trình đầu tiên về hệ elliptic chính là khảo sát bài toán Cauchy cho hệ elliptic sine- Gordon, xuất phát từ bài báo của Võ Anh Khoa và các cộng sự [41] Phương pháp chỉnh hóa trong bài báo này là chỉnh hóa nhân tổng quát (general kernel- based regularization).

• Trong công trình khác của Nguyễn Hữu Cần và các cộng sự [42], các tác giả đã đưa ra các phương pháp chỉnh hóa mới để khảo sát hệ phương trình elliptic trong không gian Hilbert với các loại hàm nguồn khác nhau.

• Các kết quả về bài toán Cauchy cho phương trình elliptic và hệ elliptic chỉ khảo sát khi mà sai số quan sát trong không gianL 2 Tuy nhiên, chúng tôi chưa thấy bất kỳ tài liệu nào khảo sát bài toán elliptic với sai số trong không gian L p với p ̸=2 Đây là vấn đề còn tồn đọng Do đó, trong luận án này, chúng tôi sẽ xem xét và nghiên cứu phương trình mà các dữ liệu đầu vào bị nhiễu trong không gian L p ,p̸=2.

Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình bi-parabolic 15

Phương trình bi-parabolic có các ứng dụng trong lý thuyết truyền nhiệt Phương trình parabolic cổ điển không thể mô tả chính xác quá trình dẫn nhiệt [43, 44], nên rất nhiều mô hình đã được đề xuất để mô tả quá trình này Trong số các mô hình được đề xuất này thì mô hình bi-parabolic trong [45] đã mô tả một cách đầy đủ hơn về mặt toán học cho quá trình dẫn nhiệt Chúng tôi cũng giới thiệu đến người đọc một vài công trình có liên quan [46, 47].

Bài toán ngược thời gian cho phương trình bi-parabolic được cho như sau Giả sửΩlà một miền bị chặn trongR N (N ≥ 1)với biên đủ trơn∂Ω Xét bài toán u tt (x,t) +2∆u t (x,t) +∆ 2 u(x,t) = F(x,t,u), (x,t) ∈ Ω×(0,T), (2.9) thỏa các điều kiện biên Dirichlet u| ∂Ω =∆u| ∂Ω =0, x ∈ Ω, (2.10) với điều kiện cuối u(x,T) = f(x), u t (x,T) = 0,x ∈ Ω (2.11) Trong đó, Flà hàm nguồn phi tuyến.

Trong bài báo [48], Nguyễn Huy Tuấn và các cộng sự đã chỉnh hóa bài toán(2.21)-(2.23) bằng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier Trong [49], nhóm tác giả

Nguyễn Đức Phương, Nguyễn Hoàng Lực và Lê Đình Long đã xét bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình bi-parabolic Trong [50], Nguyễn Huy Tuấn đã nghiên cứu bài toán xác định hàm nguồn với dữ liệu quan sát trong L p với p ̸= 2.

Trong luận án này, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp Tikhonov để khảo sát bài toán xác định hàm nguồn.

Bài toán giá trị cuối cho phương trình sóng dầm mạnh với dữ liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc

nhiễu ngẫu nhiên rời rạc

Chúng tôi quan tâm đến bài toán ngược thời gian cho phương trình sóng dầm mạnh sau đây

Trong đó,Ω là miền bị chặn với biên đủ trơn;(g,h)là các dữ liệu đầu vào tại thời điểm cuối; các hệ số a,blà các hằng số thực.

Một trong những ứng dụng của phương trình sóng dầm là mô hình hóa sự truyền tín hiệu điện dọc theo đường dây truyền tải có điện trở và điện dung Đây được gọi là phương trình điện báo, và nó là một loại phương trình sóng tắt dần mạnh bao gồm số hạng tắt dần và số hạng tắt dần đàn hồi nhớt [51].

Một ứng dụng khác của phương trình sóng dầm là mô tả dao động của chùm tia có kết cấu tắt dần Đây được gọi là phương trình Chen-Russell, và nó là một loại phương trình sóng tắt dần mạnh bao gồm thành phần tắt dần và thành phần khối lượng [52]. Ứng dụng thứ ba của phương trình sóng dầm là tính gần đúng nghiệm của phương trình sóng tắt dần mạnh với hệ vi phân ma trận cấp thấp Đây được gọi là phương trình bậc thấp, và nó là một loại phương trình sóng tắt dần mạnh bao gồm số hạng tắt dần và số hạng ma trận bậc thấp [53].

Ngoài ra còn một số ứng dụng đã được nghiên cứu khác như

- Phương pháp biến phân đối với các phương trình sóng dầm: Hướng nghiên cứu này nói về phương pháp không gian Hilbert cho phép chứng minh tính đúng đắn về mặt phân tích của một lớp phương trình sóng suy giảm mạnh tuyến tính Công cụ kỹ thuật chính là sự nhiễu loạn.

- Lực hút lùi cho phương trình sóng suy biến tới hạn với sự tắt dần phụ thuộc vào thời gian: Hướng nghiên cứu này nói về phân tích hành vi động học trong thời gian dài bằng việc giải phương trình sóng suy biến với số hạng tắt dần phụ thuộc thời gian Dưới một số hạn chế về số hạng phi tuyến và số hạng tắt dần, ta sẽ chứng minh nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục và rút ra sự tồn tại của một nhân hút lùi cho quá trình liên quan đến bài toán hyperbol suy biến.

- Các định luật bảo toàn cho phương trình sóng dầm: Hướng nghiên cứu này nói về các định luật bảo toàn cho phương trình sóng tắt dần mạnh Chứng tỏ rằng phương trình này thừa nhận vô số định luật bảo toàn, những định luật này thu được bằng cách áp dụng định lý Noether cho các đối xứng biến phân của một Lagrange liên quan.

Sau đây chúng tôi liệt kê một vài công trình liên quan đến bài toán (2.12).

• Nếub = 0và a > 0thì bài toán (2.12) đã được nghiên cứu trong bài báo [54]. Các tác giả đã sử dụng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để chỉnh hóa và đưa ra sai số.

• Trong công trình khác của Nguyễn Huy Tuấn, Võ Văn Âu và Nguyễn Hữu Cần [55], các tác giả đã dùng phương pháp chỉnh hóa “phương trình tích phân” để chỉnh hóa bài toán sóng dầm khi hàm nguồn Lipschitz toàn cục và địa phương.

• Các kết quả về bài toán ngược cho phương trình sóng dầm với dữ liệu bị nhiễu ngẫu nhiên còn rất hạn chế Đây chính là động lực cho chúng tôi nghiên cứu mô hình ngẫu nhiên của bài toán ngược cho phương trình sóng dầm.

Nội dung nghiên cứu của luận án

Từ những định hướng nghiên cứu như trên, trong luận án này chúng tôi tập trung nghiên cứu các bài toán sau.

Chỉnh hóa nghiệm bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình parabolic có chứa số hạng Kirchhoff.

ChoΩ là miền bị chặn, với biên đủ trơn trong không gian R N (N ≥ 1) Xét hệ phương trình parabolic sau

(2.13) với những điều kiện dữ liệu đầu vào ở thời điểm cuối u(x,T) = f(x), v(x,T) = g(x), x∈ Ω (2.14)

Chúng ta có các nhận xét như sau

• Điểm thuận lợi khi khảo sát mô hình Kirchhoff là do số hạng ∥∇u∥ L 2 ( Ω ) chỉ chứa biến thời giant và không chứax, nên chúng ta có thể biểu diễn nghiệm dạng tường minh, theo chuỗi Fourier.

• Số hạng ∥∇u∥ L 2 ( Ω ) khiến cho bài toán có nhiều thành phần phi tuyến hơn so với số hạng L(t) Cụ thể hơn, nghiệm của bài toán trên sẽ chứa số hạng expR T t ∥∇u(ã,s)∥ L 2 ( Ω )ds

Vì thế dung lượng tính toán sẽ cồng kềnh và phức tạp hơn so với một số công trình như của Lê Minh Triết và các cộng sự [56].

Một số bình luận cho mô hình Kirchhoff

Chúng ta thử áp dụng phương pháp chỉnh hóa tựa giá trị biên cho bài toán phương trình Kirchhoff trong [31] với hàm nguồn F = 0 Bài toán chỉnh hóa lúc này có dạng như sau

Bằng tính toán sơ bộ, chúng tôi thu được u ε (x,t) ∑ ∞ j = 1 exp λ j R T t L ∥∇u ε (ã,s)∥ L 2 ( Ω ) ds ε+exp λ j R T

Nếu chúng tôi chỉnh hóa theo phương pháp tựa đảo như trong bài báo của Nguyễn Huy Tuấn và các cộng sự [57] thì sẽ nhận được bài toán sau

Bằng tính toán sơ bộ, chúng tôi thu được u ε (x,t) ∑ ∞ j = 1 exp

Bằng cách quan sát hai công thức (2.16) và (2.18), chúng tôi thấy có sự phức tạp của các thành phần phi tuyến Thành phần tử và mẫu trong hai công thức đã nêu đều có chứa u, khiến cho việc chứng minh sự tồn tại nghiệm tương đối cồng kềnh.

Do đó, chúng tôi có xu hướng chọn phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để chỉnh hóa bài toán (2.13)-(2.14) Nếu có dự định nghiên cứu về các phương pháp chỉnh hóa khác, chúng tôi sẽ sử dụng phương pháp tựa đảo như bài toán (2.17).

Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho phương trình elliptic trong không gian L p ,p̸=2.

Trong bài toán này, chúng tôi tập trung vào việc nghiên cứu phương trình elliptic trên miền hình chữ nhật như sau

(2.19) với điều kiện giá trị cuối được cho bởi u(x,y,M) = f(x,y), u z (x,y,M) = 0,(x,y)∈ (0, π ) 2 (2.20)

Trong đó, ta ký hiệu (0, π ) 2 = (0, π )×(0, π )và ∆ở phương trình đầu tiên của hệ (2.19) được cho bởi

Bài toán (2.19) có nhiều ứng dụng trong thực tế Nếu hàm nguồn ở vế phải của (2.19) có dạng tuyến tính, tức là G x,y,z,u(x,y,z) ≡ G(x,y,z) thì phương trình (2.19) được gọi là phương trình Poisson Phương trình Poisson xuất hiện trong nhiều lĩnh vực kỹ thuật như kiểm tra không phá hủy, phát hiện ăn mòn, chụp cắt lớp, hoặc trong địa vật lý [58, 59, 60, 61] Nếu G(u) ≡ sinu thì (2.19) được gọi là phương trình elip sine-Gordon, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực của vật lý toán học bao gồm lý thuyết hiệu ứng Josephson, siêu dẫn và sóng spin trong từ trường [41, 62] Nếu G(u) ≡ −k 2 u, thì (2.19) được gọi là phương trình Helmholtz, có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau của vật lý, như quang học, âm học, điện tích tĩnh, xem thêm tại [8, 63].

Theo kết quả tìm kiếm của chúng tôi, có rất ít kết quả liên quan đến bài toán chỉnh hoá trong trường hợp L p Hơn nữa, chưa có kết quả nào để nghiên cứu bài toán Cauchy cho bài toán elliptic với dữ liệu nhiễu trong L p Trong luận án này, chúng tôi quan tâm đến bài toán chỉnh hoá cho phương trình elliptic khi dữ liệu quan sát được thuộc không gian L p với p̸=2. Để tiện theo dõi, chúng tôi mô tả các kết quả chính như sau

• Kết quả đầu tiên liên quan đến mô hình (2.19)-(2.20) với hàm nguồnG là một hàm tuyến tính Với các giả thiết phù hợp của nghiệm chính xác, chúng tôi thu được đánh giá sai số trong không gian L p cho nghiệm chỉnh hoá và nghiệm chính xác.

• Kết quả thứ hai liên quan đến việc chỉnh hóa nghiệm của Bài toán (2.19)-(2.20) cho trường hợp phi tuyến.

• Một điểm thuận lợi của mục này là chúng tôi học được về phương pháp chặt cụt về phương trình elliptic từ các bài báo trước đó như [64] Để đánh giá sai số trong L p , chúng ta không thể sử dụng kỹ thuật một cách trực tiếp Ý tưởng thú vị của chúng tôi là sử dụng phép nhúng giữa L p và các không gian Hilbert Những kỹ thuật này được tham khảo ý tưởng trong bài báo của Nguyễn Huy Tuấn trong tài liệu [50], Nguyễn Huy Tuấn và Tomás Caraballo [65], Trần Thanh Bình và các đồng nghiệp [66].

• Theo tài liệu [50], Nguyễn Huy Tuấn đã nghiên cứu bài toán giá trị cuối cho phương trình bi-parabolic với hàm nguồn tuyến tính và phi tuyến Trong [66],các tác giả chỉnh hoá phương trình tiến hóa cấp phân số trong cả hai trường hợp: trường hợp tuyến tính và phi tuyến Một trong những kết quả chính của bài báo [65] là nghiên cứu về phương pháp chỉnh hóa trong không gianL p cho bài toán giá trị cuối của phương trình giả parabolic phi tuyến Trong những mô hình này, dữ liệu đầu vào bị nhiễu trong L p Nhờ các bài báo đã nêu này, chúng tôi học những kỹ thuật để giải quyết bài toán elliptic.

Chỉnh hóa nghiệm bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình bi- parabolic.

Giả sử Ω là một miền bị chặn trong R N (N ≥ 1) với biên đủ trơn ∂Ω Trong mục này, luận án xem xét một bài toán hàm nguồn ngược trong việc xác định hàm nguồn f cho phương trình bi-parabolic sau đây u tt (x,t) +2∆u t (x,t) +∆ 2 u(x,t) = ψ(t)f(x), (x,t)∈ Ω×(0,T), (2.21) thỏa các điều kiện biên Dirichlet u| ∂Ω =∆u| ∂Ω =0, x ∈ Ω, (2.22) với điều kiện ban đầu u(x, 0) = u t (x, 0) = 0,x∈ Ω (2.23)

Ta thêm điều kiện cuối (như là thông tin để bài toán có nghiệm) như sau u(x, T) = h(x), x ∈ Ω (2.24)

Mục tiêu chính của bài toán ở đây là khôi phục hàm nguồn f từ dữ liệu đã cho hvà ψ Trong đó,hmô tả dữ liệu tại thời điểm cuốiT vàψmô tả mô hình tiến hóa theo thời giant Trên thực tế, dữ liệu chính xác(ψ,h)bị nhiễu bởi dữ liệu đo được ( ψ ε ,h ε )với sai số ε >0thỏa ψ ε − ψ

L 2 ( Ω ) ≤ ε, (2.25) trong đó ∥ ψ ∥ L ∞ ( 0,T ) = sup 0 ≤ t ≤ T | ψ (t)|, với ψ ∈ L ∞ (0,T) Yêu cầu ở đây là tìm ra một phương pháp chỉnh hóa, nghĩa là thiết lập các nghiệm xấp xỉ f ϵ của f sao cho f ϵ ổn định trong một chuẩn phù hợp nào đó, tức làlim ϵ → 0 ∥f ϵ − f∥ = 0.

Ta áp dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải bài toán ngược xác định hàm nguồn đối với phương trình bi-parabolic Đây là phương pháp rất hữu dụng cho nhiều dạng bài toán ngược Trong công trình [67], Nguyễn Huy Tuấn và các cộng sự đã sử dụng phương pháp Tikhonov để chính quy hóa bài toán ngược cho phương trình khuếch tán cấp phân số theo thời gian không thuần nhất Yang và các cộng sự [68] đã sử dụng phương pháp Tikhonov cải tiến để giải bài toán ngược cho phương trình khuếch tán cấp phân số theo thời gian Wei và các cộng sự [69] đã áp dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải bài toán ngược cho phương trình khuếch tán cấp phân số theo thời gian với hàm nguồn không thuần nhất Xiong và

Fu [70] đã sử dụng phương pháp chỉnh hóa Tikhonov để giải bài toán Cauchy của phương trình Helmholtz Chúng tôi cũng giới thiệu đến người đọc một số công trình có liên quan khác [71, 72, 73].

Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho phương trình sóng dầm mạnh với dữ liệu đầu vào được quan sát và bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc.

Xét bài toán ngược thời gian cho phương trình sóng dầm sau đây

Cơ sở lý thuyết

Bài toán không chỉnh theo nghĩa Hadamard

Trong luận án này, khái niệm bài toán không chỉnh sẽ được hiểu theo nghĩa Hadamard được định nghĩa như sau Định nghĩa 3.1.1 ChoX,Ylà hai không gian định chuẩn,K : X −→ Ylà ánh xạ (tuyến tính hoặc phi tuyến).

Xét bài toán tìmu ∈ X, sao cho

Bài toán gọi là chỉnh(theo Hadamard) nếu thỏa ba tính chất sau a) Tính tồn tại (existence): Với mọig ∈ Y, tồn tạiu ∈ X sao choKu= g. b) Tính duy nhất (uniqueness): Với mọi g ∈ Y, tồn tại duy nhất một u ∈ X sao cho

Ku= g. c) Tính ổn định (stability): Nghiệm u phụ thuộc liên tục vào g; nghĩa là, với mọi dãy (u n ) ∈ X thỏa lim n → ∞ Ku n = Kuthì lim n → ∞ u n = u.

Ngược lại, bài toán vi phạm một trong ba tính chất trên thì gọi làkhông chỉnh.

Sự không chỉnh ở định nghĩa trên sẽ được sử dụng ở các chương sau Trong đó sự không chỉnh được chỉ ra vì nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu Cụ thể, ta choX,Ylà các không gian Banach Cho toán tửK : X → Yvàg ∈ Y Xét bài toán tìm u ∈ X thỏa Ku = g Đối với bài toán này, g ∈ Y được gọi là dữ liệu đầu vào, vàu ∈ Xđược gọi là nghiệm Giả sử dữ liệu đầu vào bị nhiễu g ϵ , ta tìm được nghiệmu ϵ nếu

∥u−u ϵ ∥ X ̸→0 khi ϵ → 0, ta nói nghiệm không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu.

Một số không gian hàm

ChoΩ ⊂ R N (N ≥1)là miền bị chặn với biên đủ trơn. Định nghĩa 3.1.2 Không gianL 2 (Ω)là không gian Lebesgue các hàm đo được f : Ω →

Ω f 2 (x)dx < ∞, ký hiệu tớch trong ⟨ã,ã⟩và chuẩn của L 2 (Ω) nghĩa là ∥f∥ 2 L 2 ( Ω ) =R

Cho X là không gian Banach, T là số thực dương, ta có các định nghĩa không gian sau. Định nghĩa 3.1.3 Không gian L p (0,T;X)

Cho X là khụng gian Banach với chuẩn∥ ã ∥ Khụng gian L p (0,T;X)gồm tất cả cỏc hàm đo được u: [0,T] → X với chuẩn u

Không gian C m [0,T];X là không gian gồm tất cả các hàm liên tục f : [0,T] → X có đạo hàm đến cấp m, tức là f ′ , f ′′ , ,f ( m ) : [0,T] → Xlà các hàm liên tục.

Khi đó,C m [0,T];X là không gian Banach với chuẩn sau f

Không gian C [0,T];X bao gồm tất cả các hàm liên tục f : [0,T]→ Xvới f

• VớiX,Y là không gian Banach Khi đóX × Y cũng là không gian Banach với chuẩn

∥(w 1 , w 2 )∥ X ×Y = ∥w 1 ∥ X +∥w 2 ∥ Y , với mọi(w 1 ,w 2 ) ∈ X × Y. Định lý 3.1.1 ([78]) Luôn tồn tại cơ sở trực chuẩn{ φ p } ∞ p = 1 φ p ∈ H 0 1 (Ω)∩C ∞ (Ω) của L 2 (Ω)và dãy số thực

Ta gọi φ p(x)là vector riêng của−∆ (điều kiện biên Dirichlet) ứng với trị riêngλ p

Nhận xét 3.1.1 Cho miền Ω = (0,π), có

) là một hệ cơ sở trực chuẩn của L 2 (Ω) Toán tử−∆ có vector riêngφ p(x)ứng với trị riêng λ p = p 2 Định nghĩa 3.1.5 Gọi A là toán tử elliptic đều, đối xứng tương ứng với dãy phổ{λ p } và dãy vector riêng φ p Với0≤ s< ∞ , ta định nghĩa không gian

) , là không gian Hilbert tương ứng với chuẩn

Không gian này có tính chất đơn điệu giảm theo nghĩa H s ′ (Ω) ,→ H s (Ω), với s ′ ≥ s≥ 0 Cụ thể hơn, ta đưa ra bổ đề sau đây.

Bổ đề 3.1.1 Nếu0 ≤s ≤s ′ , thì ta có phép nhúng

Bổ đề 3.1.2 ([65])ChoΩlà một miền bị chặn trong R N với mọi N ≥1, ta có

(3.1) Định nghĩa 3.1.6 ([65, 79]) Gọi A là toán tử elliptic đều, đối xứng tương ứng với dãy phổ{ λ p }và dãy vector riêng φ p Cho trướcσ,ν> 0, lớp hàm Gevrey được định nghĩa

, là không gian Hilbert tương ứng với chuẩn

∥f∥ 2 G σ,ν ∑ ∞ p = 1 e σλ p λ ν p ⟨f,φ p ⟩ 2 Định nghĩa 3.1.7 (Khụng gian Bochner, [80]) Cho khụng gian xỏc suất (Ω ˜ ,F,à) và không gian Banach B Với p≥ 2, ta ký hiệu không gian Bochner

Một số định lý phụ trợ

Định lý 3.1.2 (Nguyên lý ánh xạ co) Cho không gian metric đầy đủ (X,d) Nếu T :

X → Xlà ánh xạ co, thì T có duy nhất điểm bất độngz ∈ X, nghĩa là Tz = z. Định lý 3.1.3 (Bất đẳng thức Gr ¨onwall) Cho C là hằng số,u và wlà các hàm số thực xác định trên[a,b],w(t)≥ 0với mọi t ∈ [a,b] Giả sử trên đoạn[a,b]nếu ta có u(t) ≤C+

Cách tiếp cận vấn đề nghiên cứu

Trên cơ sở lý thuyết, lý luận đã biết và các phương pháp nghiên cứu đã nêu trên, luận án tiếp cận việc nghiên cứu cho từng vấn đề như sau

Vấn đề thứ nhất:Xây dựng và thiết lập nghiệm của bài toán ngược và chứng minh đây là bài toán không chỉnh Trong một số trường hợp thuận lợi, chúng tôi thiết lập nghiệm nhẹ bài toán giá trị cuối đang xét bằng cách sử dụng khai triển chuỗi Fourier để tìm dạng nghiệm tích phân cho bài toán Dùng định lý điểm bất động Banach để chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm.

Vấn đề thứ hai:Thiết lập nghiệm chỉnh hóa Bằng phương pháp chặt cụt, chúng tôi thiết lập nghiệm chỉnh hóa cho bài toán giá trị cuối và chứng minh sự tồn tại của nghiệm chỉnh hóa Sau đó, chúng tôi đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa và nghiệm chính xác dựa vào các tính trơn khác nhau của nghiệm chính xác.

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU VÀ

Chương này trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu của luận án Cấu trúc của chương được chia làm bốn mục Kết quả nghiên cứu ở các mục lần lượt được tổng hợp từ các bài báo [P1], [P2], [P3], [P4] Nội dung cụ thể như sau

• Mục 4.1 trình bày nội dung về chỉnh hóa nghiệm bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình parabolic có chứa số hạng Kirchhoff Nội dung của mục này được tham khảo chính từ bài báo [P1].

• Mục 4.2 trình bày nội dung về chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho phương trình elliptic trong không gian L p Nội dung của mục này được tham khảo chính từ bài báo [P2].

• Mục 4.3 trình bày nội dung về chỉnh hóa nghiệm bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình bi-parabolic Nội dung của mục này được tham khảo chính từ bài báo [P3].

• Mục 4.4 trình bày nội dung về chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho phương trình sóng dầm mạnh với dữ liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc Nội dung của mục này được tham khảo chính từ bài báo [P4].

Chỉnh hóa nghiệm bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình

Tính tồn tại và duy nhất của nghiệm bài toán

Đầu tiên ta xác định công thức nghiệm nhẹ cho bài toán (4.1)-(4.2) Nhân cả hai vế của phương trình (4.1)-(4.2) vớie n và lấy tích phân từng phần, ta có

(4.5) Đẳng thức này ngay lập tức cho ta nhận được

Dễ dàng thấy rằng hệ (4.6) cho phép ta có được các đẳng thức sau đây u n (t) = exp

Do dữ liệu tại thời điểm cuối (4.2), ta có u n (T) = Df,e n E

. Bằng những tính toán đơn giản, các hệ số Fourier của uvà vđược cho bởi u n (t) = exp λ n

Từ đó, ta nhận được u(x,t) ∑ ∞ n = 1 exp λ n

L ∥∇u(ã,s)∥ L 2 ( Ω ),∥∇v(ã,s)∥ L 2 ( Ω ) ds g,e n e n (x). (4.11) Định lý 4.1.1 Cho dữ liệu Cauchy đầu cuối(f,g)∈ L 2 (Ω)×L 2 (Ω)sao cho

= B g , (4.12) với hai hằng sốB f ,B g > 0 Khi đó, bài toán(4.1)tồn tại duy nhất nghiệm nhẹ thuộc không gian

Trước khi chứng minh Định lý này, ta nêu ra bổ đề sau

Bổ đề 4.1.1 Nếuu 1 ,u 2 ,v 1 ,v 2 thuộc không gian H 1 (Ω)thì ta có

Chứng minh Để chứng minh về sự tồn tại của nghiệm nhẹ, ta định nghĩa toán tử

Q(u,v)(t) = Q 1 (u,v)(t),Q 2 (u,v)(t) và chứng minh rằng Q có điểm bất động trong không gian

L ∞ 0,T;H 1 (Ω) 2 Ở đây hai toán tử Q 1 và Q 2 được định nghĩa như sau

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng, nếu (u 1 ,v 1 ) ∈ L ∞ 0, T; H 1 (Ω) 2 và (u 2 ,v 2 )∈ L ∞ 0,T;H 1 (Ω) 2 thì

Vớim = 1, sử dụng bất đẳng thức(c+d) 2 ≤2c 2 +2d 2 , ta nhận được

H 1 ( Ω ) (4.16) Áp dụng Bổ đề (4.1.1) và bất đẳng thức |e r −e q | ≤ |r−q|max(e r ,e q ) với bất kì r,q ∈ R, ta có

H 1 ( Ω )ds, (4.17) trong đó bất đẳng thức ∥∇ ψ ∥ L 2 ( Ω ) ≤ C∥ ψ ∥ H 1 ( Ω ) đã được sử dụng để thu được đánh giá ở trên Bằng cách chứng minh tương tự, ta cũng có được

H 1 ( Ω )ds (4.18) Kết hợp (4.16), (4.17) và (4.18), ta suy ra

Giả sử rằng (4.15) đúng với bất kỳm = p Ta sẽ chứng minh (4.15) đúng với bất kỳm = p+1 Thật vậy, ta có

Từ hai quan sát ở trên, ta thấy rằng

Sử dụng giả thiết quy nạp trên (4.15), từ (4.20) dẫn đến

Vì thế, ta kết luận rằng (4.15) đúng với mọi số nguyên dươngm Từ đó, ta nhận được

2C(B f +B g )K 2 l m m! → 0, m → ∞, do đó, tồn tại một hằng số dươngm 0 sao cho số hạng

1 Sử dụng định lý điểm bất động Banach, ta kết luận Q m 0 có một điểm bất động (u ∗ ,v ∗ ) trong không gian

L ∞ 0,T;H 1 (Ω) 2 Ta cũng dễ thấy rằng (u ∗ ,v ∗ ) là một nghiệm của phương trình Q(u,v) = (u,v).

Tính không chỉnh của bài toán

Định lý 4.1.2 Bài toán(4.1)là không chỉnh theo nghĩa Hadamard.

Chứng minh Chúng tôi trình bày một ví dụ để thấy rằng nghiệm của bài toán (4.1) thì không ổn định theo dữ liệu đầu vào Ta lấy dữ liệu Cauchy đầu vào (f m , g m ), trong đó f m (x) = g m (x) = e m (x) λ m , với mlà số tự nhiên,m ≥ 1 Dễ dàng, ta kiểm tra được

Với dữ liệu Cauchy đầu cuối (f m ,g m ) như trên, bằng cách sử dụng Định lý (4.1.1), Bài toán (4.1) có nghiệm nhẹ(u m ,v m ) ∈ L ∞ 0,T;H 1 (Ω) 2 , với

DoL, với bất kỳ0≤ t ≤ T, ta suy ra

Lập luận tương tự, ta cũng thu được

Từ hai kết quả trên dẫn đến

Lấym → +∞, ta được mlim→+ ∞∥(f m ,g m )∥ L 2 ( Ω )× L 2 ( Ω ) = lim m →+ ∞

Do đó, bài toán (4.1) là không chỉnh theo nghĩa của Hadamard.

Nhận xét 4.1.1 Chúng ta có thể mở rộng mô hình bài toán nêu trên bằng cách thay thế đạo hàm cổ điển bằng đạo hàm cấp không nguyên, xem trong các tài liệu tham khảo

Phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier và ước lượng sai số

Ta định nghĩa nghiệm chỉnh hóa bằng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier như sau

∥f δ − f∥ L 2 ( Ω )+∥g δ −g∥ L 2 ( Ω ) ≤ δ, (4.28) với δ >0;N := N( δ )là tham số chỉnh hóa thỏa mãn lim δ → 0N( δ ) = +∞. Định lý 4.1.3 Giả sử rằng(f,g) ∈ L 2 (Ω)×L 2 (Ω)sao cho

∑ ∞ n = 1 g,e n 2 λ 3 n + γ e 2 M 1 Tλ n ≤ E, với E >0 và γ > 0 Ta chọn N := N( δ ) sao cho lim δ → 0N( δ ) = +∞, lim δ → 0 δ 2 λ N ( δ ) e 2T M 1 λ N ( δ ) = 0.

Khi đó, ta có ước lượng như sau

Nhận xét 4.1.2 Hiển nhiên rằng λ N ∼ N 2 d Do đó, ta có thể chọn số tự nhiên N sao cho

H 1 ( Ω ) có bậc hội tụ logarit max ln

Chứng minh Để chứng minh sự tồn tại của nghiệm nhẹ, ta định nghĩa toán tử

R m δ (u,v)(t) = R 1,δ (u,v)(t),R 2,δ (u,v)(t) và chứng minh R m δ có điểm bất động trong không gian

L ∞ 0,T;H 1 (Ω) 2 Ở đây hai toán tửR 1,δ và R 2,δ được định nghĩa như sau

Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng, nếu (u 1 ,v 1 ) ∈ L ∞ 0,T;H 1 (Ω) 2 và (u 2 ,v 2 )∈ L ∞ 0,T;H 1 (Ω) 2 thì

Vớim = 1, sử dụng bất đẳng thức(c+d) 2 ≤2c 2 +2d 2 , ta được

H 1 ( Ω ) (4.33) Áp dụng Bổ đề 4.1.1 và bất đẳng thức |e r −e q | ≤ |r−q|max(e r ,e q ) với bất kì r,q ∈ R, ta có

Từ đó ta thu được

Lưu ý là trong dòng cuối cùng của bất đẳng thức trên, ta có sử dụng bất đẳng thức

∥∇ ψ ∥ L 2 ( Ω ) ≤ C∥ ψ ∥ H 1 ( Ω ) để đạt được kết quả đánh giá trên.

Bằng cách lập luận tương tự, ta cũng thu được

H 1 ( Ω )ds. (4.36) Kết hợp (4.33), (4.35), (4.36), ta thấy rằng

∥f δ ∥ 2 L 2 ( Ω ) +∥g δ ∥ 2 L 2 ( Ω ) Điều này dẫn đến (4.32) đúng với m =1.

Giả sử rằng (4.32) đúng vớim = j Ta sẽ kiểm tra (4.32) cũng đúng vớim = j+1.

Thật vậy, bằng cách lập luận tương tự như trên, ta cũng có các kết quả sau

Từ hai đánh giá ở trên, ta thấy rằng

Sử dụng giả thiết quy nạp của (4.32), từ (4.38) dẫn đến

Do đó, ta suy ra (4.32) đúng với mọi số nguyên dươngm Do vậy, ta kết luận (4.32) đúng với mọi m ∈ N.

2D(δ, f,g) j + 1 =0, nên tồn tại một hằng số dương j 0 sao cho

Sử dụng định lý điểm bất động Banach (xem trong [88, 89, 90]), ta kết luận rằng

R δ j 0 có một điểm cố định(u + ,v + )trong không gian

L ∞ 0,T;H 1 (Ω) 2 Dễ dàng thấy rằng(u + ,v + )là nghiệm của phương trình phi tuyến

(4.40) Bằng những tính toán đơn giản, ta nhận được u N,δ (x,t)−u(x,t)

Trước tiên, ta sẽ đánh giá số hạng đầu tiên trong đẳng thức trên Sử dụng đẳng thức Parseval vàL(z 1 ,z 2 ) ≤ M 1 , ∀(z 1 ,z 2 )∈ R 2 , đại lượng Error 1 bị chặn bởi

Kế tiếp, ta tiếp tục đánh giá đại lượng Error 2 Thật vậy, sử dụng đẳng thức Parseval và bất đẳng thức |e c −e d | ≤ |c−d|max(e c ,e d ), ta được

2 λ − 1 γ E, (4.43) ở đây ta lưu ý ba bất đẳng thức sau

Sử dụng Bổ đề (4.1.1), ta được

∥∇u N,δ (ã, s)− ∇u(ã, s)∥ L 2 ( Ω )+∥∇v N,δ (ã, s)− ∇v(ã, s)∥ L 2 ( Ω ) ds,(4.47) và từ bất đẳng thức(c+d) 2 ≤2c 2 +2d 2 , c,d≥ 0, dẫn đến

Kết hợp (4.43) và (4.48), ta được

2# (4.49) Đại lượng Error 3 bị chặn bởi

Kết hợp (4.42), (4.49) và (4.50), ta có

Bằng cách chứng minh tương tự, ta cũng suy ra được

Từ các đánh giá trên và∥∇ ψ ∥ L 2 ( Ω ) ≤C∥ ψ ∥ H 1 ( Ω ), ta được

(4.53) Áp dụng bất đẳng thức Gr ¨onwall, ta suy ra

Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho phương trình elliptic

Định nghĩa không gian Hilbert scale trong miền Ω = ( 0, π ) × ( 0, π )

Dựa vào Định nghĩa (3.1.5), ta nhắc lại định nghĩa về không gian Hilbert scale trong miềnΩ = (0,π)×(0,π)như sau Định nghĩa 4.2.1 (Không gian Hilbert scale) Cho miền Ω = (0,π)×(0,π) Định nghĩa không gian Hilbert scale được cho như sau

) , với mọis≥ 0 Ta có H s (Ω)là một không gian Hilbert với chuẩn được định nghĩa như sau

Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính

Giả sử Bài toán (4.55) có một nghiệmu Khi đó, ta có dạng nghiệm nhẹ được cho bởi u(x, y, z)

Tương tự trình bày ở Mục 4.1, nghiệm được cho ở (4.57) là không ổn định do cosh√ n 2 +m 2 (M−z) , sinh

√ n 2 + m 2 không bị chặn khin,m → ∞, dẫn đến bài toán là không chỉnh theo nghĩa Hadamard Để giải quyết vấn đề này, sử dụng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier, ta được công thức nghiệm chỉnh hóa như sau

(4.58) Ở đây, B δ được gọi là tham số chỉnh hóa, được định nghĩa sau Nó cũng thỏa mãn tính chất lim δ → 0 B δ = +∞. Định lý 4.2.1 Cho dữ liệu Cauchy f, f δ ∈ L p (Ω)vàG,G δ ∈ L ∞ 0,M;L p (Ω) với mọi

Ta chọn B δ sao cho lim δ → 0B δ = +∞, lim δ → 0 δ

Giả sử rằngu ∈ L ∞ 0,M;H k + β (Ω) , với0< k< 1 2 ,β >0 Khi đó, ta có

Nhận xét 4.2.1 Chọn B δ thỏa mãn

Từ công thức(4.61), ta được đánh giá sai số

L 2 − 4 4k ( Ω ) theo bậc như sau max δ 1 + M ( à − 1 ) log

Chứng minh Đặt hàm số

Tiếp theo, ta thực hiện hai bước phụ như sau

Bước 1a.Đánh giá số hạngD 1

Ta đỏnh giỏ số hạng đầu tiờnD 1 (ã,ã,z) Thật vậy, sử dụng đẳng thức Parseval, ta có

Dựa vào lý thuyết phép nhúng Sobolev, L p (Ω) ,→ H p − 2 2p (Ω), ta được f − f δ

Kết hợp (4.67) và (4.68), ta đánh giá được chặn trên của số hạng D 1 như sau

Bước 1b.Đánh giá số hạngD 2

Tiếp tục xột đến số hạng thứ haiD 2 (ã,ã,z) Sử dụng đẳng thức Parseval, ta cú

Từ điều kiện√ n 2 +m 2 ≤ B δ và0≤ z≤ r, ta được sinh√ n 2 +m 2 (r−z)

Kết hợp đánh giá ở trên với bất đẳng thức H ¨older, ta có

(4.71) Mặt khác, ta có đánh giá sau

L ∞ 0,M;H p − 2 2p ( Ω )(M−z) (4.72) Áp dụng phép nhúng L p (Ω) ,→ H p − 2 2p (Ω), ta được đánh giá sau

(4.73) Kết hợp (4.71) và (4.73), ta được đánh giá của D 2 như sau

≤ 2MC (p) δ |B δ | 2k + 2 p − 1 e MB δ , (4.74) trong đó ta có sử dụng

Bước 2.Đánh giá thành phần

Sử dụng đẳng thức Parseval, ta được

Kết hợp các đánh giá có được ở trên, ta được

L ∞ 0,M;H k + β ( Ω ), (4.79) với mọi0≤ z≤ M Từ (4.75) và (4.79), ta có

Sử dụng Bổ đề 3.1.2, ta được

Từ đó ta có được điều cần chứng minh.

Kết quả chỉnh hóa bài toán phi tuyến

Trong nội dung phần này, chúng tôi quan tâm nghiên cứu bài toán phi tuyến có dạng như sau

(4.81) với điều kiện giá trị cuối (4.56) Ta ký hiệuΩ = (0,π) 2 , ta đặt

0 f(x,y) ψ nm (x,y)dxdy ψ nm(x,y). (4.83) Nghiệm nhẹ của bài toán (4.81) với điều kiện (4.56) được cho bởi u(z) = B (M−z)f +

Z M z H (r−z)G u(r) dr (4.84) Giả sử rằng f δ là dữ liệu bị nhiễu của f thỏa mãn f δ − f

Khi đó, nghiệm chặt cụt được cho bởi

Z M z H R δ (r−z)G U δ (r) dr (4.86) Trong đó, hai toán tửB R δ vàH R δ được định nghĩa bởi

Bổ đề 4.2.1 Giả sửb ′ ≥b, khi đó

Chứng minh Áp dụng đẳng thức Parseval, ta được

(4.91) Ở đây, hệ số Fourier của hàm f được cho bởi f nm Z π

Hiển nhiên, ta thấy rằng cosh 2 p n 2 +m 2 z ≤e 2

Khi đó, nếu √ n 2 +m 2 ≤ R δ thì cosh 2 p n 2 +m 2 z

H b ( Ω ), (4.94) điều này dẫn đến (4.89) Bằng cách làm tương tự, ta có đánh giá của (4.90).

Tiếp theo, ta trình bày một số kết quả tương ứng với sự khác nhau trong giả thiết về hàm nguồn G. Định lý 4.2.2 Giả sử f δ ∈ L p (Ω)với mọi1< p 0 Khi đó, bài toán (4.86) có nghiệm nhẹ duy nhấtU δ ∈ L ∞ β 0,M;L 2 − 4 4s (Ω) Hơn nữa, ta còn có đánh giá như sau

Trong đó, C 1 (s,p)là hằng số chỉ phụ thuộc vàos,p.

Chứng minh Trên không gian L ∞ β 0,M;L 2 − 4 4s (Ω) , ta đưa ra chuẩn tương ứng sau w

Ta định nghĩa ánh xạ T : L ∞ β 0,M;L 2 − 4 4s (Ω) → L ∞ β 0,M;L 2 − 4 4s (Ω) như sau

Lấyv = 0và giả thiếtG(0) = 0, ta được T v(z) = B R δ (M−z)f δ Bằng cách sử dụng Bổ đề 3.1.2, và phép nhúng Sobolev H s (Ω) ,→ L 2 − 4 4s (Ω), 0 ≤ s ≤ 1 2 ,ta thu được

Từ đánh giá (4.89) được cho ở Bổ đề 4.2.1, vớib ′ = s≥ 0vàb = 2 p 4 − p 4 2K g e MR δ (R δ ) 2s C 2 (s) Từ các đánh giá trên, ta thấy rằng T là ánh xạ co trên không gian L ∞ β 0,M;L 2 − 4 4s (Ω) Áp dụng định lý điểm bất động Banach, T có điểm bất độngU δ ∈ L ∞ β 0,M;L 2 − 4 4s (Ω) Khi đó,U δ là nghiệm nhẹ duy nhất của phương trình tích phân phi tuyến (4.86) Thật vậy,

T (v =0) = B R δ (M−z)f δ vàU δ = T U δ , sử dụng đánh giá (4.107), ta có đánh giá sau

Kết hợp (4.101) và đánh giá ở trên, ta được

Do đó, ta có điều cần chứng minh. Định lý 4.2.3 Giả sử f δ ∈ L p (Ω) thỏa mãn(4.85)với mọi1< p 0 Vớislà số thỏa mãn0 0 Khi đó ta có sai số

Chứng minh Chứng minh được tìm thấy ở [91].

Bổ đề 4.3.3 Giả sử rằng tồn tại hai hằng số dương ψ 0 ,ψ 0 sao cho ψ 0 ≤ ψ(t) ≤ ψ 0

Chứng minh Ta có ψ(t) ≤ ψ ε (t) + ψ(t)− ψ ε (t) ≤ ψ ε (t) + sup t ∈[ 0,T ] ψ ε (t)− ψ (t)

Kết hợp (4.181) và (4.182), ta được (4.179).

Bổ đề 4.3.4 Choψ 0 vàψ 0 được xác định như trong Bổ đề 4.3.3 Khi đó Ξ( λ j ,ψ)Ξ( λ j ,ψ ε ) ≤ ψ 0 L ψ 0 ,ψ 0

Chứng minh Áp dụng Bổ đề 4.3.3 và Bổ đề 4.3.2, ta có Ξ( λ j ,ψ)Ξ( λ j ,ψ ε ) ≤ ψ 0 L ψ 0 ,ψ 0

Điều kiện ổn định của hàm nguồn f

Hàm nguồn f(x) có dạng (4.173) được xem là nghiệm chính xác của bài toán (2.21)-(2.24) Nghiệm này là không chỉnh theo nghĩa Hadamard Thật vậy, ta lấy bh k := λ − k 1/2 ϕ k , giả sửh = 0 Từ (4.173), hàm nguồn tương ứng vớih là f = 0 Sai số trong chuẩn L 2 (Ω)giữa hai dữ liệu đầu vào ở thời điểm cuối là bh k −h

L 2 ( Ω ) = λ − k 1/2 (4.186) Hàm nguồn tương ứng vớibh k là bf k (x) ∑ ∞ j = 1 bh k (x),ϕ j (x) ϕ j (x)

Khi đó, ước lượng sai số giữa f và bf k là bf k − f

Từ (4.188), ta có ước lượng

0 e λ k ( s − T ) (T−s)ds =ψ 0 I 1 (4.189) Tiếp theo, áp dụng bất đẳng thức (1−e − x ) ≤ x,∀x >0, ta được

Kết hợp (4.188), (4.191) và chok → +∞, ta thấy k →+lim ∞ bf k − f

Do đó, bài toán là không chỉnh theo nghĩa Hadamard trong chuẩn L 2 (Ω).

Tiếp theo, ta tìm điều kiện ổn định của hàm nguồn f. Định lý 4.3.1 Nếu f

Chứng minh Từ (4.173) và bất đẳng thức H ¨older, ta có f

Sử dụng Bổ đề (4.3.2), ta thu được

Kết hợp (4.193) và (4.195), ta được f

Chỉnh hóa nghiệm bài toán xác định hàm nguồn bằng phương pháp Tikhonov

Ta xét toán tử tuyến tínhR : L 2 (Ω) → L 2 (Ω)như sau

Dễ dàng thấy Rlà toán tử tuyến tính tự liên hợp Tiếp theo ta sẽ chứng minhR là toán tử compact Xét các toán tử hữu hạn chiều R m như sau

Từ (4.197) và (4.198), ta thấy rằng

L 2 ( Ω ) → 0theo nghĩa của chuẩn toán tử trong L L 2 (Ω);L 2 (Ω) , khim → ∞ Và như vậy, ta có thể kết luận Rlà một toán tử compact Giá trị kỳ dị là ξ j Z T

Bài toán xác định f ở trên có thể được viết dưới dạng phương trình toán tử

(Rf)(x) = h(x). Áp dụng phương pháp Tikhonov, ta xét nghiệm chỉnh hóa f α là nghiệm làm cho phiếm hàm sau đạt cực tiểu trong L 2 (Ω)

Hàm f α thỏa mãn đẳng thức sau

R ∗ Rf α (x) + α f α (x) = R ∗ h(x) (4.202) Dựa vào tính chất về giá trị kỳ dị của toán tử compactRnhư trong [9], ta thu được f α (x) ∑ ∞ j = 1

Với dữ liệu quan sát (ψ ε ,h ε ), ta xét nghiệm chỉnh hóa như sau f ε,α (x) ∑ ∞ j = 1

2h ε,j ϕ j (x) (4.204) Ở đây,h ε,j là hệ số Fourier của hàm h ε Để gọn, ta ký hiệu Ξ( λ j ,ψ) Z T

Từ (4.205), (4.203) và (4.204), ta thu được f α (x) ∑ ∞ j = 1 α+ Ξ( λ j ,ψ)

Tiếp theo, chúng tôi đưa ra sai số giữa nghiệm chỉnh hóa Tikhonov và nghiệm chính xác (hàm nguồn f), tức là ta cần đánh giá chặn trên của f − f ε,α

L 2 ( Ω ). Định lý 4.3.2 Giả sử(ψ,h)bị nhiễu bởi(ψ ε ,h ε )thỏa(4.168) Ta cũng giả thiết rằng hàm nguồn f thỏa f

Chứng minh Sử dụng bất đẳng thức tam giác, ta thu được f − f ε,α

Trước tiên, ta đánh giá N 1 Thật vậy, sử dụng đẳng thức Parseval, ta được

Từ (4.214) và dùng Bổ đề 4.3.4, ta thu được

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và đẳng thức Parseval, ta đánh giáN 2 như sau

2αã (4.216) Kết hợp (4.215) và (4.216), ta thu được f α − f ε,α

Sau đây, chúng ta đánh giá thành phần f − f α

L 2 ( Ω ) Thật vậy, sử dụng đẳng thức Parseval, và (4.173), (4.206), ta được f − f α

Ta cần đánh giá thành phần Θ( λ j ) Thật vậy, ta có Θ( λ j )≤ α

Trường hợp 1 : κ >1 Ta thấy rằngλ 2 n − 2κ ≤ λ 2 1 − 2κ và sử dụng (4.218), ta được f − f α

Trường hợp 2 : 0 < κ ≤ 1 Chọn κ sao cho κ ∈ (0, 1) Ta viết lại N thành N Z 1 ∪ Z 2 , trong đó

Do đó, từ (4.218), ta thu được f − f α

• Nếuκ >1, thì kết hợp (4.210), (4.217) và (4.220), ta thu được f − f ε,α

• Nếu0 < κ ≤1, thì kết hợp các đánh giá (4.210), (4.217), (4.223), ta thu được f − f ε,α

Do đó, ta có thể kết luận rằng a) Nếuκ >1, thì ta có f − f ε,α

Ta đã chứng minh xong Định lý 4.3.2.

Ví dụ số minh họa

Trong mục này, chúng tôi trình bày một ví dụ số để minh họa cho các kết quả lý thuyết đã đạt được Cụ thể, chúng tôi nhắc lại bài toán xác định hàm nguồn f(x) thỏa mãn phương trình sau u tt (x,t) +2∆u t (x,t) +∆ 2 u(x,t) = ψ(t)f(x), (x,t)∈ [0,π]×(0, 1) (4.228) Trong đó:

• MiềnΩ một chiều được chọn là[0,π]và giá trịT = 1.

• Nghiệmuthỏa mãn điều kiện biên Dirichlet thuần nhất: u(0,t) = u( π,t) = 0,với mọit ∈ (0, 1).

• Hệ giá trị riêngλ j và vectơ riêngϕ j (x)lần lượt được cho bởi

• Nghiệmuthỏa mãn các điều kiện giá trị ban đầu và giá trị cuối như sau u(x, 0) = 0, x ∈ (0,π), u(x, 1) = h(x), x∈ (0,π) (4.229)

Trong ví dụ này, chúng tôi xét bài toán (4.228)-(4.229) có nghiệm u(x,t) và hàm nguồn f(x)với h(x) ∑ 3 j = 1 sin(jx), ψ (t) ∑ 3 j = 1

Trước khi đưa ra các kết quả chính, chúng tôi giới thiệu một số công cụ xấp xỉ số được sử dụng để hỗ trợ cho việc tính toán số trong ví dụ này.

• Trước tiên là phương pháp xấp xỉ tích phân theo Simpson luật 1/3: Trên đoạn cho trước [a,b] được chia làm n (n chẵn) đoạn con Khi đó, xấp xỉ tích phân theo luật Simpson 1/3 được cho bởi

Trong đó, ζ j = a+jh, với j = 0, 1, ,n−1,n và h = b − n a Dễ thấy rằng, ζ 0 = avàζ n =b.

• Tiếp theo, chúng tôi phân hoạch miền không gian và thời gian(x,t) ∈ [0,π]× [0, 1]như sau x j = j∆x, 0≤ j ≤ M, ∆x = π

Trong ví dụ này, chúng tôi chọnM = N = 40và các sai số lần lượt làε − 1 , ε − 2 vàε − 3

• Hơn nữa, khi đo đạc, thay vì chúng ta nhận được dữ liệu chính xác(h,ψ)thì chúng ta chỉ nhận được dữ liệu xấp xỉ của chúng (nguyên nhân có thể là do nhiễu từ dụng cụ đo không chính xác hoặc các yếu tố tác động từ môi trường bên ngoài), đó là(h ε ,ψ ε )thỏa mãn h ε = h+ ε randn(ã) , ψ ε = ψ + ε 2rand(ã)−1 ã

Trong đú,randn(ã) là mụ hỡnh nhiễu một cỏch ngẫu nhiờn nhận giỏ trị trong khoảng(0, 1), được hỗ trợ sẵn trong thư viện của phần mềm Matlab Khi đó, (h,ψ)bị nhiễu bởi(h ε ,ψ ε )với bậc ε >0.

• Và các ước lượng sai số tuyệt đối được cho bởi

, và sai số tương đối được cho bởi

(a) Hàm nguồn f và các hàm chỉnh hóa x

E rr o rs b et w ee n ex a ct so lu ti o n a n d A p ri o ri

Hình 4.1: Nghiệm chính xác và chỉnh hóa tính tại các giá trị rời rạc trên đoạn[0, π ] với ε − 1 Ở các Hình 4.1, 4.2 và 4.3 hiển thị một cách trực quan về sự so sánh giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa cho các phương pháp lựa chọn tham số chỉnh hóa. Hơn nữa, chúng tôi còn khảo sát dáng điệu của nghiệm khi chưa sử dụng phương pháp chỉnh hóa và sau khi chỉnh hóa, cụ thể ở Hình 4.4.

Trong các tính toán, chúng tôi thấy rằng f

2 3 cho lựa chọn tham số trước Khi đó, ta có bảng đánh giá sai số được cho ởBảng 4.1 Từ các kết quả ở bảng này cho thấy các đánh giá sai số tuyệt đối và sai số tương đối giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa trong các trường hợp nhiễu khác nhau. x

Hình 4.2: Nghiệm chính xác và chỉnh hóa tính tại các giá trị rời rạc trên đoạn[0,π] với ε − 2 x

Hình 4.3: Nghiệm chính xác và chỉnh hóa tính tại các giá trị rời rạc trên đoạn[0,π] với ε − 3 x

(a) Hàm nguồn f với dữ liệu nhiễu x

(b) Hàm nguồn f đã chỉnh hóa

Hình 4.4: So sánh các hàm nguồn trước và sau khi sử dụng phương pháp chỉnh hóa

Bảng 4.1: Sai số tương đối và sai số tuyệt đối giữa f và f ε,α tại M = 40, T = 1 và τ =1.3. ε Error rel Error abs

Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho phương trình sóng dầm mạnh với dữ liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc

Nghiệm nhẹ của bài toán

Trong mục này, ta sẽ xây dựng công thức nghiệm nhẹ (mild solution) của bài toán (4.232) Trước khi thực hiện việc này, ta có một vài chú ý được nhắc lại Ta xét tích vô hướng và chuẩn trong L 2 (Ω)như sau

, với mọi f,g ∈ L 2 (Ω) Các trị riêng của toán tử −∆ là λ p,q = p 2 +q 2 , p,q ∈ Z +

2/πsin(px) và ϕ q (y) √2/πsin(qy) Ta cũng có các đẳng thức sau

Với mọi số nguyên k,l thỏa 1 ≤ k ≤ n, 1 ≤ l ≤ m, ta ký hiệu không gian con (k×l)-chiều của L 2 (Ω)như sau

, và toán tử chiếu từ L 2 (Ω)vàoW k,l như sau

Với mọiα,β,E >0, ta định nghĩa một không gian con khác củaL 2 (Ω)như sau

Tiếp theo, để thiết lập công thức nghiệm nhẹ của bài toán (4.232), ta thực hiện như sau đây Từ( ϕ p,q )là hệ trực chuẩn củaL 2 (Ω), ta có khai triển nghiệm như sau u(x,y,t) ∑ ∞ p = 1

Để gọn, ta có thể kí hiệu

Từ phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai của (4.232), ta có

6, ta có δ p,q > 0, với mọi p,q ∈ Z + Chúng ta cũng kí hiệu κ 1 = κ 1,p,q := 1

Nhân 2 vế của phương trình thứ nhất trong (4.237) với exp κ 1 (s−t) −exp κ 2 (s−t) κ 1 − κ 2 và lấy tích phân từtđến T, ta có ngay u p,q (t) = κ 1 exp κ 2 (T−t) − κ 2 exp κ 1 (T−t) κ 1 − κ 2 G p,q

Z T t exp κ 1 (s−t) −exp κ 2 (s−t) κ 1 − κ 2 F p,q (s)ds (4.239) Chúng ta định nghĩa

Khi đó, ta có thể viết (4.239) như sau u p,q (t) = A p,q (T−t)G p,q − B p,q (T−t)H p,q +

Từ (4.236) và (4.242), ta thu được u(x,y,t)

Tiếp theo chúng ta xác định xấp xỉ cho các hệ số Fourier.

Xấp xỉ cho hệ số Fourier

Hệ số Fourier của hàmGcho bởi

Ta có sự xấp xỉ theo kiểu tích phân Riemann như sau

G(X i ,Y j ) ϕ p,q (X i ,Y j ) =: G n,m,p,q (4.244) Tương tự, ta cũng có được

Ta có các bổ đề sau

2/πsin(px) Chúng ta hãy kí hiệu τ p,r = 1 n

0, các trường hợp còn lại.

Nếur =1,n−1thì ta được τ p,r (1 π , nếu p= r,

Bổ đề 4.4.2 Cho X i = π 2i 2n − 1 ,i = 1,nvàY j = π 2j 2m − 1 ,j = 1,m Cho p = 1,n−1, q 1,m−1, ta kí hiệu

0, các trường hợp còn lại.

Nếur =1,n−1 và s= 1,m−1, ta nhận được

Bổ đề 4.4.3 Giả thiết rằngG ∈ C 1 (Ω) Khi đó, với p =1,n−1vàq =1,m−1, ta có ξ n,m,p,q G = P n,p,q G +Q G m,p,q +R G n,m,p,q , (4.251) với

(−1) k + l G 2kn + p,2lm + q −G 2kn + p,2lm − q +G 2kn − p,2lm − q −G 2kn − p,2lm + q

Chứng minh Với p= 1,n−1, q = 1,m−1, và dùng (4.244), ta có

=:π 2 (S 1 +S 2 +S 3 +S 4 ) (4.252) Áp dụng Bổ đề 4.4.2, ta được

(−1) k + l G 2kn + p,2lm + q −G 2kn + p,2lm − q −G 2kn − p,2lm + q +G 2kn − p,2lm − q

Thay thế (4.253) - (4.255) vào (4.252), ta thu được

Như đã nêu trong Bổ đề 4.4.3, bằng kỹ thuật tương tự, ta có công thức tường minh của ξ n,m,p,q F (t)như sau.

Bổ đề 4.4.4 Giả sử rằngF ∈ C[0, T], C 1 Ω Khi đó, với p= 1, n−1, ta có ξ F n,m,p,q (t) = P n,p,q F (t) +Q F m,p,q (t) +R F n,m,p,q (t), (4.256) với

Tiếp theo, ta có bổ đề sau.

Bổ đề 4.4.5 Cho M,N ∈ Z + sao cho 1 ≤ N < n, 1 ≤ M < m Giả thiết rằngF, G, H thỏa Bổ đề 4.4.3 và Bổ đề 4.4.4 Giả sửuthỏa(4.243)thì ta có u(x,y,t)

(x, y, t), (4.257) trong đóG n,m,p,q ,H n,m,p,q ,F n,m,p,q (t)được định nghĩa như trong(4.244),(4.245),(4.246) vàξ n,m,p,q G ,ξ n,m,p,q H ,ξ F n,m,p,q (t)được định nghĩa trong Bổ đề 4.4.3, Bổ đề 4.4.4.

Chứng minh Từ (4.247) và (4.248), ta có ngay

F p,q (t) = F n,m,p,q (t)− ξ F n,mp,q (t) (4.259) Mặt khác, ta cũng có u(x,y,t) = P W N,M u(x,y,t) + u− P W N,M u

Từ (4.242) và (4.258)-(4.260), chúng ta hoàn tất chứng minh Bổ đề 4.4.5.

Tính không chỉnh của bài toán

Trong phần này, chúng tôi thiết lập một ví dụ để minh họa tính không chỉnh của bài toán (4.232) với các hàm giá trị cuối bị nhiễu ngẫu nhiên.

Xét bài toán tất định với giá trị đầu vào F(x,y,t) = G(x,y) = H(x,y) = 0 Ta nhận thấy bài toán có nghiệm u = 0 Giả sử các giá trị quan sát củaF,G,H tuân theo mô hình ngẫu nhiên như sau

G(X i ,Y j ) ≈ Gˆ ij = 1 exp(aλ n − 1,m − 1 T) ε ij , H(X i ,Y j ) ≈ Hˆ ij = √1 nmχ ij , với i = 1,n,j =1,m Chúng ta xét các hàm sau

Bước 1 Sự thay đổi nhỏ của dữ liệu đầu vào.Ta cần đánh giáE

2 Áp dụng đẳng thức Parseval, ta được

Từ χ ij i.i.d ∼ N(0, 1), ta được E ( χ ij χ lk ) = 0, vớii ̸= l hoặc j ̸=k Điều này dẫn đến

Thêm nữa, từ tính chấtE( χ 2 ij ) = 1, ta thu được

Một cách tương tự, ta cũng thu được n,mlim→ ∞ E

Bước 2 Sai số lớn của nghiệm Áp dụng Bổ đề (4.4.5), vớiN =n−1,M = m−1, ta thu được u nm (x,y,t) n − 1 p ∑ = 1 m − 1 q ∑ = 1

=: (J 1 +J 2 + J 3 ) 2 Áp dụng bất đẳng thức2(a+b+c) 2 ≥ a 2 −4b 2 −4c 2 , với a,b,c ∈ R, ta có ngay

Chúng ta cần đánh giá EJ 1 2 ,EJ 2 2 vàEJ 3 2 Thật vậy, ta có

Từ χ ij i.i.d ∼ N(0, 1), ta thu được E χ ij χ lk

= 0, với i ̸= l hoặc j ̸= k Thêm nữa, ta cóE( χ 2 ij ) = 1, với mọii,j Điều này dẫn đến

2 nmexp(2aλ n − 1,m − 1 T)A 2 n − 1,m − 1 (T−t) (4.266) Tiếp theo, chúng ta có đẳng thức sau

. Áp dụng bất đẳng thức H ¨older, ta có ngay

#2 ds. Mặt khác,B 2 n − 1,m − 1 (s−t)là hàm tăng theo biếns Do đó, ta có

Vì ω ij (t)là chuyển động Brown, ta có E ω ij (t)ω lk (t) = 0, vớii ̸= l hoặc j ̸= kvà

E ω ij 2 (t) =t, với mọii,j Do đó, ta được

Từ (4.265), (4.266) và (4.267) thay vào (4.264), ta được

Bây giờ, chúng ta xétA,B Với p,q ∈ Z + , từ (4.241), ta có

#2 ã Áp dụng các bất đẳng thức (a+b) 2 ≤ 2(a 2 +b 2 ) và |e − a −e − b | ≤ |a−b|, với a,b >0, ta được

Từ các kết quả (4.268)-(4.270), ta nhận được

Bằng cách lấy giới hạnn,m → ∞, ta thu được n,mlim→ ∞ E u n,m (ã,ã,t)−u(ã,ã,t)

2 =∞, t ∈ [0,T] (4.271) Điều này nói lên bài toán (4.232) không chỉnh.

Nhận xét 4.4.1 Các đánh giá E ã

L 2 ( Ω ) như trên thực chất chính là các đánh giá chuẩn trên không gian Bochner L 2 S,L 2 (Ω) , với S là không gian xác suất, Ω là miền không gian.

Chỉnh hóa và đánh giá sai số

Choi =1,n,j =1,m, ta xét mô hình sau hˆ ij = h(X i ,Y j ) + ζ ij , trong đó, h : Ω → R là hàm cho trước (chưa biết),hˆ ij là dữ liệu quan sát của htại những điểm rời rạc (X i ,Y j ) và ζ ij i.i.d ∼ N(0, 1) Dựa vào các điểm rời rạc hˆ ij , ta có thể xây dựng hàm xấp xỉ cho hnhư sau hˆ n,m N,M =arg min θ ∈W N,M

Bổ đề sau cho ta thông tin củahˆ n,m N,M

Bổ đề 4.4.6 Bài toán(4.272)có nghiệm duy nhất hˆ N,M n,m ∑ N p = 1

Chứng minh Với θ ∈ W N,M , ta có θ(x, y) ∑ N p = 1

Ta kí hiệu η := ( η p,q ) ∈ R N × M Khi đó hˆ n,m N,M =arg min η ∈ R N × M

Chúng ta sẽ tìm η = ( η pq )sao cho Λ( η )đạt giá trị nhỏ nhất Thật vậy, ta có

! ϕ r,s (X i ,Y j ) = 0, với mọir =1,N,s=1,M Dựa theo (4.250), ta được η rs = π

Khi đó, nghiệm của (4.272) là h N,M n,m ∑ N p = 1

Nhận xét 4.4.2 Áp dụng Bổ đề 4.4.6, ta có

ChọnN,M ∈ Z + sao cho1≤ N < n,1≤ M 1 và p = 1,n−1,q = 1,m−1 Khi đó, tồn tại hằng số C 0 độc lập vớin,m,p,qthỏa mãn ξ n,m,p,q G

Chứng minh Từ (4.251), ta có ξ G n,m,p,q

Từ giả thiết G(ã,ã) ∈ V α,β,E , ta cú ngay

1 (2k−1) α ã Tương tự, ta cũng nhận được

Từ các đánh giá trên, ta có bất đẳng thức sau ξ G n,m,p,q

Bổ đề 4.4.8 Giả thiết rằng F(ã,ã,t) ∈ V α,β,E , với mọi t ∈ [0,T], α,β > 1 và p 1,n−1,q =1,m−1 Vớiξ n,m,p,q F (t)xác định bởi(4.256), ta có ξ F n,m,p,n (t) ≤ C 0

, (4.280) với hằng sốC 0 độc lập vớin,m,p,q. Định lý 4.4.1 Cho E > 0, α, β > 1, 1 ≤ N < n, 1 ≤ M < m và G,H ∈ C 1 (Ω)∩

V α,β,E (Ω), F ∈ C [0,T];C 1 (Ω)∩ V α,β,E (Ω) Giả thiết rằng (4.232) có nghiệm duy nhấtu ∈ C [0,T];V α,β,E (Ω) Với n,mđủ lớn,(n − α +m − β ) 2 ≤ n − 1 m − 1 , tồn tại hằng số Csao cho

Nhận xét 4.4.3 Chúng ta cần phải chọn N(n,m), M(n,m) sao cho vế phải (4.281)tiến về 0 khi n,m → ∞ Ta chọn N(n,m)và M(n,m)sao cho bất đẳng thức sau exp(2aλ N,M T)≤ n à m ν , với0< à,ν< 1.

Ta chọn tham số chỉnh hóa

, với⌊x⌋là phần nguyên củax Ta có thể thấy rằng E uˆ N ( n,m ) ,M ( n,m ) −u

2 cú bậcn à − 1 m ν − 1 Chứng minh Định lý 4.4.1 Từ (4.257) và (4.278), ta được ˆ u N,M −u ∑ N p = 1

2, ta thu được các chặn trên cho bảy thành phần ở vế phải như trên.

Bước 1 Chặn trên củaE∥Θ 1 ∥ 2 Ta có Θ1 ∑ N p = 1

Sử dụng đẳng thức Parseval, ta được

Từ ε ij i.i.d ∼ N(0, 1), ta thu được E ε ij ε lk

= 0, với i ̸= l hoặc j ̸= k Điều này dẫn đến

Từ (4.250),0< σ ij ≤ V max vàE( ε 2 ij ) = 1, với mọi i,j, ta có ngay

Mặt khác, từ (4.270) dẫn đến

2+ 4T a 2 exp 2aλ N,M (T−t) (4.283) Kết hợp (4.282) và (4.283), ta được

Bước 2 Chặn trên choE∥Θ 2 ∥ 2 : Thực hiện tương tự như Bước 1, ta có ngay

Mặt khác, sử dụng bất đẳng thức|e − a −e − b | ≤ |a−b|, với a,b >0, ta có

B 2 p,q (t) ≤ T 2 exp(2aλ N ,M t) (4.286) Kết hợp (4.285) và (4.286), ta có

Bước 3 Chặn trên choE∥Θ 3 ∥ 2 : Trước tiên, ta có Θ3 ∑ N p = 1

Sử dụng đẳng thức Parseval, ta có

(4.288) Áp dụng bất đẳng thức H ¨older, ta thu được

Vì ω ij (t)là chuyển động Brown, ta cóE ω ij (t) ω lk (t) =0, với i ̸= l hoặc j ̸= kvà

E ω ij 2 (t) =t, với mọii,j Do đó, ta được

Bước 4 Chặn trên cho∥Θ 4 ∥ 2 : Áp dụng đẳng thức Parseval và 4.4.7, ta được

Bước 5 Chặn trên cho ∥Θ 5 ∥ 2 : Bằng cách tương tự như bước 4, ta thu được

Bước 6 Chặn trên cho ∥Θ 6 ∥ 2 Bằng cách sử dụng đẳng thức Parseval và bất đẳng thức H ¨older, ta có

Bước 7 Chặn trên cho ∥Θ 7 ∥ 2 : Công thức của∥Θ 7 ∥ 2 được cho như sau

Từ u(ã,ã, t) ∈ V α,β,E , với α, β > 1 và E > 0, ta thu được chặn trờn của ∥Θ 7 ∥ 2 như sau

(N+1) − 2α + (M+1) − 2β i (4.294) ĐặtC :=C 1 +C 2 +C 3 +C 4 +C 5 +C 6 , ta có chặn trên củaE uˆ N,M −u

Do đó, Định lý 4.4.1 đã được chứng minh.

Ví dụ số minh họa

Trong mục này, để minh họa cho các kết quả lý thuyết đã đạt được, chúng tôi trình bày một ví dụ số dựa trên bài toán xác định hàmu: [0, 1]→ L 2 (Ω)thỏa mãn các điều kiện sau

Trong ví dụ này, chúng tôi chọn các hàm đầu vào thỏa mãn các điều kiện sau

• MiềnΩ hai chiều được chọn là[0,π]×[0,π]và giá trị thời điểm cuốiT = 1.

• Nghiệmuthỏa mãn các điều kiện biên thuần nhất: u(0,y,t) = u(π,y,t) = 0, với mọi(y,t) ∈ [0,π]×[0, 1];

• Hệ giá trị riêngλ p,q và vectơ riêngϕ p,q (x,y)của toán tử−∆lần lượt được cho bởi λ p,q = p 2 +q 2 , p,q ∈ Z + và ϕ p,q (x,y) = ϕ p (x) ϕ q (y) trong đó ϕ p (x) √2/πsin(px)và ϕ q (y) = √

Trong ví dụ này, chúng tôi xét bài toán (4.296) có nghiệm uvới các dữ liệu đầu vào

F,G,H được nhiễu bởi Fˆ ij (t), ˆG ij , ˆH ij là các giá trị xấp xỉ củaF,G,H tại các điểm (X i ,Y j ) = π 2i 2n − 1 ,π 2j 2m − 1 trongΩ, vớii = 1,n, j =1,m Mối quan hệ giữa dữ liệu được quan sát và dữ liệu chính xácF,G,H được mô tả bởi ba mô hình sau

Hˆ ij = H(X i ,Y j ) +ϑ ij χ ij , (4.299) trong đóω ij (t)là chuyển động Brown;ε ij ,χ ij i.i.d ∼ N(0, 1); γ là một hằng số riêng;σ ij vàϑ ij bị chặn bởi các hằng sốV max vàW max , tức là0 < σ ij ≤V max và0< ϑ ij ≤W max với mọii,j Các biến ngẫu nhiênω ij (t),ε ij ,χ ij là độc lập lẫn nhau Từ những dữ kiện quan sát rời rạc Fˆ ij (t), ˆG ij , ˆH ij , chúng tôi sẽ áp dụng phương pháp bình phương nhỏ nhất lượng giác được liên kết với phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier để xấp xỉ các hàmF,G,H và sau đó xây dựng công cụ xấp xỉ nghiệmu(x,y,t) Chúng tôi chọn các dữ liệu chính xác như sau

Nghiệm chính xác của bài toán (4.296) được cho bởiu(x,y,t) = exp(2t)sin(2x)sin(y). Đặt Fˆ ij (t), ˆG ij , ˆH ij là bộ dữ liệu quan sát được từ dữ liệu chính xác F,G,H tại các điểm(X i ,Y j ) = π 2i 2n − 1 ,π 2j 2m − 1 trên miềnΩ, vớii =1,n,j = 1,mthỏa mãn các điều kiện sau γ =1, ω ij (t) i.i.d ∼ N(0, 1), σ ij =0.1, ε ij i.i.d ∼ N(0, 1), ϑ ij =0.1, χ ij i.i.d ∼ N(0, 1). Bằng cách cố định biếnt, nghiệm chỉnh hóa được cho bởi công thức sau ˆ u N,M (X i ,Y j ,t) ∑ N p = 1

# ϕ p,q(X i ,Y j ), (4.300) trong đó Gˆ n,m,p,q N,M , ˆH n,m,p,q N,M , ˆF n,m,p,q N,M thỏa mãn (4.274), (4.275) và (4.276).

Trước khi đưa ra các kết quả chính, chúng tôi giới thiệu một số công cụ xấp xỉ số được sử dụng để hỗ trợ cho việc tính toán số trong ví dụ này.

Quy tắc xấp xỉ tích phân theo Simpson

! Công thức sai số được cho bởi

Trong ví dụ số này, ta chọnN = M =5và các tính toán số cho trường hợp này với các điểm quan sát n ∈ {50, 100, 150} và n = m Chúng ta lấy dữ liệu quan sát tại ba thời điểmt ∈ {0.2, 0.4, 0.8}tương ứng.

Trong các hình dưới đây, hình biểu diễn đồ thị 3D của nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa trong Hình 4.5 cho trường hợp t = 0.8 và các ước lượng sai số của tốc độ hội tụ trong Bảng 4.2 Từ Hình 4.5 và Bảng 4.2, chúng ta thấy rằng kết quả sai số là trong phạm vi chấp nhận được Hơn nữa, khi kích thước mẫu quan sát càng lớn củan thì xấp xỉ tính toán càng tốt Điều này cho thấy các nghiệm xấp xỉ hội tụ về nghiệm chính xác khi số lượng các quan sát rời rạc tăng lên.

Value of the exact solution

Value of the regularized solution

(b) Nghiệm chỉnh hóa u reg với n = 50

(c) Nghiệm chỉnh hóa u reg với n = 100

(d) Nghiệm chỉnh hóa u reg với n = 150

Hình 4.5: Đồ thị nghiệm chính xác u ex và các nghiệm chỉnh hóa u reg cho trường hợpt = 0.8, n ∈ {50, 100, 150}

Bảng 4.2: Sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa cho trường hợp t ∈ {0.2, 0.4, 0.8}và n∈ {50, 100, 150}

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

Kiến nghị

Trong tương lai, chúng tôi dự kiến mở rộng nghiên cứu theo các hướng sau

• Bài toán ngược cho mô hình Kirchhoff với hàm nguồn phi tuyến.

• Bài toán ngược cho một số phương trình sóng dầm trong không gian L p

• Một số bài toán ngược có liên quan đến quá trình Wiener hay chuyển độngBrown .

Định dạng
Số trang	119
Dung lượng	3,16 MB