bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng tóm tắt

Đưa ra các đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóavà nghiệm chính xác dựa trên giả thiết khác nhau của nghiệm chínhxác.• Bài báo [P2] khảo sát bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với

Trang 1

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

DANH HỨA QUỐC NAM

BÀI TOÁN GIÁ TRỊ CUỐI CHO MỘT SỐPHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG

Ngành: Toán giải tíchMã số ngành: 9460102

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ

TP Hồ Chí Minh – 2024

Trang 2

Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên– Đại học Quốc gia TP HCM

Người hướng dẫn khoa học:

1 HDC: PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn2 HDP:

Phản biện 1: PGS.TS Mai Đức ThànhPhản biện 2: PGS.TS Nguyễn Đình HuyPhản biện 3: PGS.TS Lê Xuân TrườngPhản biện độc lập 1: miễn

Phản biện độc lập 2: miễn

Luận án được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạohọp tại Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, vào hồi 09 giờ 00 ngày 14tháng 01 năm 2024

Có thể tìm hiểu luận án tại thư viện:- Thư viện Khoa học Tổng hợp TP HCM- Thư viện Đại học Quốc gia TP HCM

- Thư viện Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM

Trang 3

Chương 1

MỞ ĐẦU

Luận án hàm chứa một số kết quả mới và được công bố trên các tạp chíkhoa học quốc tế uy tín Kết quả nghiên cứu trong luận án này được tổng hợp

từ các bài báo [P1, P2, P3, P4] đã được công bố trên các tạp chí: Advances in

Difference Equations (Tên mới từ năm 2022: Advances in Continuous andDiscrete Models) (ISI-Q2), Discrete and Continuous Dynamical Systems - Se-ries S (ISI-Q2), Applicable Analysis (ISI-Q2), và Mathematical Methods in theApplied Sciences (ISI-Q1) Cụ thể như sau

• Bài báo [P1] chúng tôi khảo sát bài toán giá trị cuối cho hệ phương trình

parabolic có chứa số hạng Kirchhoff Bài toán này là không chỉnh theonghĩa Hadamard Nghiệm chỉnh hóa được thiết lập dựa trên việc chặtcụt chuỗi Fourier Kết quả chính của bài báo là chứng minh tính khôngchỉnh của bài toán Đưa ra các đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóavà nghiệm chính xác dựa trên giả thiết khác nhau của nghiệm chínhxác.

• Bài báo [P2] khảo sát bài toán Cauchy cho phương trình elliptic với cả

hai hàm nguồn tuyến tính và phi tuyến Bài toán này là không chỉnhtheo nghĩa Hadamard Kết quả chính của bài báo này là thiết lập đượcnghiệm chỉnh hóa cho bài toán theo dữ liệu quan sát bằng phươngpháp chặt cụt chuỗi Fourier Dưới một số giả định, chúng tôi khảo sátsự tồn tại và đánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnhhóa.

Trang 4

• Bài báo [P3] khảo sát bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình

bi-parabolic Bài toán này là không chỉnh theo nghĩa Hadamard Kếtquả chính của bài báo này là thiết lập được nghiệm chỉnh hóa bằngphương pháp Tikhonov Dưới một số giả định, chúng tôi đánh giá saisố giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa, đồng thời minh họamột ví dụ số cho kết quả lý thuyết đã đạt được.

• Bài báo [P4] khảo sát bài toán ngược thời gian cho phương trình sóng

dầm mạnh với dữ liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc Bài toán này làkhông chỉnh theo nghĩa Hadamard Kết quả chính của bài báo là thiếtlập được nghiệm chỉnh hóa bằng phương pháp chặt cụt và ước lượngphi tham số Dưới một số giả định, chúng tôi khảo sát sự tồn tại vàđánh giá sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa, đồng thờiminh họa một ví dụ số cho kết quả lý thuyết đã đạt được.

Một phần các kết quả nêu trên đã được báo cáo tại các hội nghị/ seminarkhoa học sau đây

• Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ IX, tổ chức tại Trường Đại họcThông tin Liên lạc, Thành phố Nha Trang, vào ngày 14-18/8/2018.• Hội nghị khoa học lần thứ XII Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại

học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh, vào ngày 18-19/12/2020.• Hội nghị Toán học Miền Trung - Tây Nguyên lần thứ IV, tổ chức tại

Trường Đại học Sư phạm - Đại học Huế, vào ngày 25-27/8/2022.• Seminar Nghiên cứu sinh Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Tin học, Trường

Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Thành phố Hồ Chí Minh,vào ngày 08/9/2023.

1.1Lý do chọn đề tài

Phương trình đạo hàm riêng là một trong những lĩnh vực nghiên cứu rấtsôi động của giải tích toán học, thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toánhọc trong nước và quốc tế Các phương trình đạo hàm riêng có thể mô phỏngđược các hiện tượng trong tự nhiên cũng như trong khoa học kỹ thuật nhưvật lý, sinh học, môi trường, công nghệ .

Các bài toán về phương trình đạo hàm riêng đặt ra có thể được chia thànhhai dạng là bài toán thuận và bài toán ngược Các bài toán thuận đã đượcnghiên cứu từ rất lâu với nhiều kết quả phong phú, trong khi đó các bài toán

Trang 5

ngược chỉ mới được quan tâm nghiên cứu nhiều từ thập niên 60–70 của thếkỷ XX Các vấn đề liên quan đến tính chỉnh, tính không chỉnh của phươngtrình đạo hàm riêng là một trong những hướng nghiên cứu quan trọng, cónhiều tiềm năng và thử thách Hơn nữa, các bài toán ngược hầu hết có tínhkhông chỉnh (theo nghĩa Hadamard).

Sau một thời gian theo học, nghiên cứu dưới sự chỉ dẫn và thảo luận cùngnhóm nghiên cứu của PGS.TS Nguyễn Huy Tuấn, năm 2018 chúng tôi bắtđầu đạt được một số kết quả mới về bài toán giá trị cuối cho một số phươngtrình đạo hàm riêng Các bài toán đã tìm hiểu thuộc dạng bài toán ngược vàkhông chỉnh Với sự định hướng nghiên cứu của Thầy hướng dẫn, sự đammê tìm hiểu cũng như những kết quả khả quan bước đầu đạt được đã thúc

đẩy nghiên cứu sinh đi theo hướng nghiên cứu này, và lựa chọn đề tài “Bài

toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng” để làm luận án củamình.

1.2Mục tiêu nghiên cứu của luận án

Mục tiêu nghiên cứu của luận án là xây dựng nghiệm chỉnh hóa của mộtsố bài toán giá trị cuối cho một số phương trình đạo hàm riêng cụ thể, đồngthời đánh giá sai số giữa nghiệm chỉnh hóa đã thiết lập với nghiệm chính xáccủa bài toán, minh họa một vài kết quả mô phỏng số tương ứng.

1.3Đối tượng nghiên cứu

Luận án xem xét các bài toán sau

• Bài toán ngược thời gian cho hệ phương trình parabolic có chứa số hạngKirchhoff.

• Bài toán giá trị cuối cho phương trình elliptic trong không gian Lp.• Bài toán xác định hàm nguồn cho phương trình bi-parabolic.

• Bài toán giá trị cuối cho phương trình sóng dầm mạnh với dữ liệu bịnhiễu ngẫu nhiên rời rạc.

Phạm vi nghiên cứu của đề tài thuộc lĩnh vực phương trình vi phân đạohàm riêng, tập trung chính vào chỉnh hóa nghiệm cho các phương trình đạo

Trang 6

hàm riêng, cụ thể là nghiên cứu hai mô hình chính: bài toán ngược thời gianvà bài toán xác định hàm nguồn.

1.5Ý nghĩa khoa học, thực tiễn của đề tài

Trước hết, việc thực hiện đề tài luận án giúp nâng cao năng lực nghiêncứu, công bố khoa học của người học cũng như nâng cao năng lực hướngdẫn khoa học của giảng viên hướng dẫn Đồng thời các sản phẩm công bố từđề tài đóng góp vào thành tích công bố và khẳng định uy tín khoa học củacơ sở đào tạo.

Các kết quả công bố của đề tài sẽ tiếp tục được trình bày, thảo luận trongnhóm seminar để các thành viên học hỏi, tiếp cận thêm các công cụ mới Từđó, kết quả đề tài có thể gợi mở và làm nảy sinh một số vấn đề cần tiếp tụcnghiên cứu.

Ngoài ra, việc thực hiện đề tài luận án cũng đã đóng góp vào việc triểnkhai nội hàm gắn kết hoạt động đào tạo với hoạt động nghiên cứu khoa học,hoạt động nghiên cứu khoa học góp phần nâng cao chất lượng đào tạo củaNhà trường.

Trang 7

Chương 2

TỔNG QUAN

Trong chương này, chúng tôi trình bày tình hình nghiên cứu trong vàngoài nước về các bài toán được tìm hiểu trong luận án; giới thiệu một sốphương pháp chỉnh hóa, ứng dụng của bài toán ngược thời gian và vấn đềchỉnh hóa trong xử lý ảnh; và nội dung nghiên cứu của luận án.

Trang 8

Chương 3

PHƯƠNG PHÁP NGHIÊNCỨU

Trong chương này, chúng tôi trình bày cơ sở lý thuyết, cách tiếp cận cácvấn đề nghiên cứu cho các bài toán được trình bày trong luận án.

Trang 9

Chương 4

KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU

Chương này trình bày chi tiết các kết quả nghiên cứu của luận án Cấutrúc của chương được chia làm bốn mục Kết quả nghiên cứu ở các mục lần

lượt được tổng hợp từ các bài báo [P1], [P2], [P3], [P4] Nội dung cụ thể như

• Mục 4.1 trình bày nội dung về chỉnh hóa nghiệm bài toán ngược thờigian cho hệ phương trình parabolic có chứa số hạng Kirchhoff Nội

dung của mục này được tham khảo chính từ bài báo [P1].

• Mục 4.2 trình bày nội dung về chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuốicho phương trình elliptic trong không gian Lp Nội dung của mục này

được tham khảo chính từ bài báo [P2].

• Mục 4.3 trình bày nội dung về chỉnh hóa nghiệm bài toán xác địnhhàm nguồn cho phương trình bi-parabolic Nội dung của mục này được

tham khảo chính từ bài báo [P3].

• Mục 4.4 trình bày nội dung về chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuốicho phương trình sóng dầm mạnh với dữ liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời

rạc Nội dung của mục này được tham khảo chính từ bài báo [P4].

Trang 10

4.1Chỉnh hóa nghiệm bài toán ngược thời gian cho hệ phươngtrình parabolic có chứa số hạng Kirchhoff

Cho Ω là miền bị chặn, biên đủ trơn trong không gian RN (N ≥ 1).Trong phần này, chúng tôi xem xét bài toán giá trị biên cho hệ phương trìnhparabolic có chứa hệ số loại Kirchhoff như sau

∂t = L∥∇u L2(Ω),∥∇v∥L2(Ω) ∆u, (x, t) ∈Ω× (0, T),

∂t = L∥∇u L2(Ω),∥∇v∥L2(Ω) ∆v, (x, t) ∈Ω× (0, T),u(x, t) =v(x, t) =0, x∈∂Ω, t∈ (0, T),

với các điều kiện đầu cuối

u(x, T) = f(x), v(x, T) =g(x), x∈Ω, (4.2)trong đó(f , g) ∈L2(Ω) ×L2(Ω)là dữ liệu Cauchy đầu cuối vàLthỏa mãn

• Tồn tại hai hằng số dươngM0,M1sao cho

M0≤ L(z1, z2) ≤ M1, (z1, z2) ∈R2 (4.3)• Tồn tại hằng số Kl >0 sao cho

Định nghĩa 4.1.1 u(x, t), v(x, t) được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán (4.1) nếu

nó thỏa mãn hệ phương trình sau

u(x, t) =

tL∥∇u(·, s)∥L2(Ω),∥∇v(·, s)∥L2(Ω)

v(x, t) =

L∥∇u(·, s)∥L2(Ω),∥∇v(·, s)∥L2(Ω)

ds

Trang 11

với hai hằng số Bf, Bg > 0 Khi đó, bài toán (4.1) tồn tại duy nhất nghiệm nhẹ

u(x, t), v(x, t) thuộc không gian

L∞(0, T; H1(Ω))2.Do tính không bị chặn của

Z T

t L∥∇u(., s)∥L2(Ω),∥∇v(., s)∥L2(Ω)

khi n → ∞, dẫn đến nghiệm của bài toán (4.1) là không ổn định, hay bàitoán đang xét là không chỉnh theo nghĩa Hadamard Do đó, việc xây dựngnghiệm chỉnh hóa cho bài toán là cần thiết Ta định nghĩa nghiệm chỉnh hóabằng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier như sau

uN,δ(x, t) =

tL∥∇uN,δ(·, s)∥L2(Ω),∥∇vN,δ(·, s)∥L2(Ω)

δ, enen(x),vN,δ(x, t) =

tL∥∇uN,δ(·, s)∥L2(Ω),∥∇vN,δ(·, s)∥L2(Ω)

δ, enen(x),(4.7)

λN(δ)e2TM1λ (δ) =0.

Khi đó, ta có ước lượng như sau

N,δ(·, t) −u(·, t) 2H1(Ω)+

N,δ(·, t) −v(·, t) 2H1(Ω)≤

Trang 12

Nhận xét 4.1.1 Ta có thể chọn số tự nhiên N sao cho

H1(Ω) có bậc hội tụ

4.2Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho phương trìnhelliptic trong không gian Lp

Với M là hằng số dương cho trước, ta xét phương trình elliptic trong miềnhình chữ nhật như sau

∆u=G x, y, z, u(x, y, z), (x, y) ∈ (0, π)2, 0<z<M,u(x, 0, z) =u(x, π, z) =u(0, y, z) =u(π, y, z) =0, 0<z<M,

(4.10)với điều kiện giá trị cuối được cho bởi

u(x, y, M) = f(x, y), uz(x, y, M) =0,(x, y) ∈ (0, π)2 (4.11)

4.2.1Bài toán Cauchy cho phương trình elliptic tuyến tính

Trong mục này, luận án nghiên cứu bài toán (4.10)-(4.11) ứng với trườnghợp hàm nguồn tuyến tính G=G(x, y, z).

Định nghĩa 4.2.1 u(x, y, z)được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán(4.10)-(4.11) nếu

nó thỏa mãn phương trình sau

u(x, y, z)=

ψnm(x, y)+∞

ψnm(x, y).(4.12)

Nghiệm được cho ở (4.12) là không ổn định do các thành phần sau đây

Trang 13

không bị chặn khi n, m→∞

n2+m2

Điều này dẫn đến bài toán là không chỉnh theo nghĩa Hadamard Để giảiquyết vấn đề này, sử dụng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier, ta thiêt lậpcông thức nghiệm chỉnh hóa như sau

Vδ(x, y, z)=√ ∑

ψnm(x, y)+√ ∑

ψnm(x, y).(4.13)

Trong đó, Bδđược gọi là tham số chỉnh hóa thỏa limδ→0Bδ = +∞.

Định lý 4.2.1(Kết quả hội tụ) Cho dữ liệu Cauchy f , fδ ∈ Lp(Ω)và G, Gδ ∈

L∞ 0, M; Lp(Ω) với mọi 1< p<2 sao cho

M, 0

<µ<1 (4.17)

Từ(4.16), ta đánh giá được sai sốδ(·, , z) −u(·, , z)

L−44k(Ω)theo bậc như sau

max δ1+M(µ−1)

log 1

, 0<k< 12, β>0.

Trang 14

4.2.2Kết quả chỉnh hóa bài toán phi tuyến

Trong mục này, luận án nghiên cứu bài toán (4.10)-(4.11) ứng với trườnghợp hàm nguồn phi tuyến G=G(u) Cụ thể, ta xét bài toán sau

∆u=G(u), (x, y) ∈ (0, π)2, 0<z<M,u(x, 0, z) =u(x, π, z) =u(0, y, z) =u(π, y, z) =0, 0<z<M,

(4.18)với điều kiện giá trị cuối (4.11) Ký hiệuΩ= (0, π)2.

Định nghĩa 4.2.2 u(z)được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán(4.18) với điều kiện(4.11) được cho bởi

0f(x, y)ψnm(x, y)dxdy

ψnm(x, y),(4.20)

BRδ(z)f =√ ∑

0 f(x, y)ψnm(x, y)dxdy

ψnm(x, y),(4.24)

Trang 15

HRδ(z)f =√ ∑

ψnm(x, y).(4.25)Sau đây là một số kết quả tương ứng với sự khác nhau trong giả thiết vềhàm nguồn G.

Định lý 4.2.2 Giả sử fδ ∈ Lp(Ω) với mọi 1 < p < 2, G là hàm thỏa mãn

G(0) =0 và

∥Gv1−Gv2∥L2(Ω) ≤Kg∥v1−v2∥L2(Ω), (4.26)

với Kg>0 Khi đó, bài toán (4.23) có nghiệm nhẹ duy nhất Uδ∈L∞β 0, M; L −44s(Ω).

Hơn nữa, ta còn có đánh giá như sauδ

β 0,M;L−44s(Ω)≤2C1(s, p)eMRδ(Rδ)2s−1+2 fδ Lp(Ω). (4.27)

Trong đó, C1(s, p)là hằng số chỉ phụ thuộc vào s, p.

Định lý 4.2.3 Giả sử fδ∈ Lp(Ω)thỏa mãn(4.22) với mọi 1<p<2 và bài toán(4.10) có nghiệm duy nhất u∈L∞ 0, M; L2(Ω) thỏa mãn

δ, (Rδ)2s−2ε

Trang 16

Nhận xét 4.2.2 Với 0<θ<1, chọn Rδsao cho

Rδ = 1

(1−θ)Mlog 1

Khi đó, sai sốδ(·, , z) −u(·, , z)

L−44s(Ω)có bậc thỏa mãn

log 1

|B(a) −B(b)| ≤KB|a−b| |J(a) −J(b)| ≤KJ|a−b| (4.32)

Giả thiết rằng B :R→R là một hàm bị chặn, G(u) =B(u)J(u) Lấy Rδthỏa điềukiện(4.29) Khi đó, bài toán (4.23) có nghiệm nhẹ duy nhất Uδ ∈L∞ 0, M; L −44s(Ω).

Hơn nữa, sai sốδ(·, , z) −u(·, , z)

L−44s(Ω)được cho theo bậc

δ, (Rδ)2s−2ε, δ(Rδ)2s−1eMRδ

(4.36)

Trang 17

Trong đó, hàm Uδlà nghiệm của bài toán(4.23) được cho như sau

Giả sửΩ là một miền bị chặn trong RN(N≥1)với biên đủ trơn ∂Ω Ta

xét bài toán tìm hàm nguồn f thỏa phương trình bi-parabolic

utt(x, t) +2∆ut(x, t) +∆2u(x, t) =ψ(t)f(x), (x, t) ∈Ω× (0, T), (4.38)và thỏa các điều kiện sau

u|∂Ω =∆u|∂Ω =0, x∈Ω,u(x, 0) =ut(x, 0) =0, x∈Ω,u(x, T) =h(x), x∈Ω.

Mục tiêu chính của bài toán ở đây là khôi phục hàm nguồn f từ dữ liệu

đã cho h và ψ Trong đó, h mô tả dữ liệu tại thời điểm cuối T và ψ mô tả mô

hình tiến hóa theo thời gian t Trên thực tế, dữ liệu chính xác(ψ, h)bị nhiễubởi dữ liệu đo được(ψε, hε)với sai số ε>0 thỏa

ψε−ψ L∞(0,T)≤ε, hε−h L2(Ω) ≤ε. (4.40)

Định nghĩa 4.3.1 Hàm nguồn f(x)được gọi là nghiệm nhẹ của bài toán(4.39) nếu nó thỏa mãn phương trình sau

(4.38)-f(x) =∞

hjϕj(x) (4.41)

Trong đó, hj= (x), ϕj(x) và ϕj(x)là hệ trực chuẩn trong L2(Ω).

Nghiệm f(x)có dạng (4.41) là không chỉnh theo nghĩa Hadamard Dođó, việc đề xuất nghiệm chỉnh hóa là rất cần thiết.

Giả sử rằng tồn tại hai hằng số dương ψ0, ψ0sao cho

≤ψ0, ∀t∈ [0, T].

Trang 18

Định lý 4.3.1(Điều kiện ổn định của hàm nguồn f ) Nếu f H2τ(Ω) ≤ M,

vớiM >0 thì

∥f∥L2(Ω) ≤C(τ,M)

2hε,jϕj(x), (4.42)

với hε,jlà hệ số Fourier của hε.

Định lý 4.3.2 Giả sử(ψ, h)bị nhiễu bởi(ψε, hε) thỏa(4.40) Ta cũng giả thiết

rằng hàm nguồn f thỏa f H2κ(Ω) ≤ M, với κ>0 Khi đó

• Nếu 0<κ≤1, và chọn α= εM

κ+2M +κ2 1

ψ01− (1+Tλ1)e−λ1T+1!

• Nếu κ>1, và nếu chọn α= εM

, ta có sai số

− fε,α

1− (1+Tλ1)e−λ1T!

· (4.44)

Trang 19

4.4Chỉnh hóa nghiệm bài toán giá trị cuối cho phương trìnhsóng dầm mạnh với dữ liệu bị nhiễu ngẫu nhiên rời rạc

Giả sửΩ = (0, π) × (0, π)và T >0 là một số thực Ta cần tìm một hàmu(·, , t) : [0, T] → L2(Ω) thỏa mãn bài toán giá trị cuối cho một lớp cácphương trình sóng dầm mạnh bậc 4 sau đây

utt−∆u+∆2u−a∆ut = F (x, y, t), (x, y, t) ∈Ω× [0, T],u(x, y, T) =G(x, y), ut(x, y, T) =H(x, y), (x, y) ∈Ω,

u=∆u=0, (x, y, t) ∈∂Ω× [0, T],(4.45)với ∆u = uxx+uyy, ∆ut = utxx+utyy, ∆2u = uxxxx+2uxxyy+uyyyy, vàa>√

6 là một hằng số dương.

Trong thực tế, ta thường không cóF, G, H mà chỉ có các giá trị đo củachúng Việc đo đạc luôn có sai số do dụng cụ đo hoặc do nguồn đo Do đó,chúng tôi giả sử rằng các hàmF, G, H được đo tại các điểm rời rạc

(Xi, Yj) =

π2i−12n , π

,với i=1, n, j=1, m Ta có quan sátF, G, H bị nhiễu như sau

Fij(t) = F Xi, Yj, t

+γωij(t), (4.46)ˆ

Gij =G(Xi, Yj) +σijεij, (4.47)ˆ

Hij =H(Xi, Yj) +ϑijχij, (4.48)

với ωij(t)là chuyển động Brown; εij, χiji.i.d

∼ N (0, 1); γ là hằng số dương; σijvà ϑij bị chặn bởi các hằng số Vmax and Wmax, cụ thể, 0 < σij ≤ Vmax và0< ϑij ≤Wmaxvới mọi i, j Các biến ngẫu nhiên ωij(t), εij, χijlà độc lập lẫnnhau.

Ta xét tích vô hướng và chuẩn trong L2(Ω)như sau

,